Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel"

Transkript

1

2 Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel af Jens Dahl Poulsen(c973463) og Hans Jacob Simonsen(c973782) Special kursusved MEK, DTU, Lyngby I Samarbejde med Per Madsen og Harry Bingham Efterår 2002

3 Abstract In this report the nonlinear shallow water equations are solved numerically in two dimensions using a Adams-Bashforth-Moulton scheme. Windstress and bottomfriction are included. The domain is closed and discretized using a staggered grid. A Von Neumann stability analysis is carried out showing a theoretical stability criterium given as a maximum Courant-number. The numerical implementation is done in Fortran 95 using MATLAB for graphical presentation of the results. A brief chapter discusses the theory behind the linear and nonlinear water equations. The model is tested with progressiv and standing waves and winddriven flows. Resumé I denne rapport bliver de ulineære fladvandsligninger løst numerisk i to dimensioner ved brug af Adams-Bashforth-Moulton metoden. Friktion fra vind og bund er inkluderet. Domænet er lukket og diskretiseret ved brug af et staggered grid. Der er foretaget en Von Neumann stabilitetsanalyse, som giver et teoretisk stabilitetskrav udtryk ved et maksimalt Couranttal. Den numeriske implementering er sket i Fortran 95 og den grafiske præsentation af resultaterne sker i MATLAB. Et kort kapitel diskuterer teorien bag de lineære og ulineære fladvandsligninger. Modellen bliver testet med fremadskridende og stående bølger samt vinddrevne strømninger. 2

4 Kapitel 1 Indledning Rapporten omhandler opbygningen og testen af en to-dimensionel numerisk strømningsog bølgemodel. Motivationen for at opbygge modellen er dels at lære programmeringssproget Fortran 95 i forbindelse med et praktisk problem. Numerisk implementering af hydrodynamiske problemer er ligeledes en del af motivationen, idet der er mange spændende områder at tage fat på, både i numerikken og teorien. Modellen kaldes HENNING2045 efter inspiration af DHI s MIKE21 model. Forventningerne skal dog ikke sættes for højt, idet der på næsten alle områder er et stykke vej til samme funktionalitet som hos MIKE 21. Projektet er skrevet som et specielkursus ved Institut for Mekanik, Energi og Konstrukton, Danmarks Tekniske Universitet i Lyngby. Vejledere på kurset var Per Madsen og Harry Bingham som vi gerne vil takke for deres hjælp og bidrag. Desuden vil vi gerne takke Jess Michelsen for hans gode råd i forbindelse med Fortran Problemformulering Det forsøges at opbygge en numerisk model baseret på de ulineære fladvandsligninger, der ud over bølger også håndterer vinddrevne strømninger og bundspænding. Der udarbejdes et teoretisk afsnit til at understøtte modellen samt vise forståelse for bølgedynamikken bag modellen. I teoriafsnittet vil der også blive gennemgået forskellige numeriske aspekter ligesom der også vil blive lavet en Von Neumann stabilitetsanalyse af det numeriske skema. Modellen dokumenteres med relevante testkørsler og resultaterne sammenlignes med analytiske udregninger. Modellen skrives i Fortran 95, idet en del af formålet med opgaven er at lære dette programmeringssprog. 3

5 1.2 Læsevejledning Meget af arbejdet med opbygningen af modellen er sket med Wei et al. (1995) som kogebog. Det blev gjort, da modellen oprindeligt var tiltænkt at skulle kunne medtage Boussinesq led. Dette er baggrunden for den valgte orden af det numeriske skema, struktureringen af koden med mere. Differentiale koefficienter benævnes med subscript således at η = η x x. Diskrete afstande benævnes eksempelvis i x retningen x Programmet er kompileret med kompileren fra Compaq Visual Fortran version 6.6B på en Windows platform. Da programmet er et samspil mellem MATLAB og Fortran er det nødvendigt, at brugeren har MATLAB installeret på den computer hvorfra programmet kører. Illustrative film, program og kildekoder kan downloades på 4

6 1.3 Nomenklatur c m/s Bølgehastigheden C w - Friktionskoefficient mellem vind og vandoverflade Cu - Couranttallet E J = Nm Energi E f N/s Energiflux f - Friktionsfaktor for vindspændinger g m/s 2 Tyngde accelerationen, g= 9,82 m/s 2 h m Vanddybde H m Bølgehøjden k m 1 Bølgetallet l x, l y m Domænets længde i x- og y-retningen L m Bølgelængden L relaks m Længden af relakseringszonen M m 1/3 /s Manning-tallet p N/m 2 Tryk T s Bølgeperioden W m/s Vindhastigheder i 10 m over vandoverfladen u,v,w m/s Partikelhastigheder i henholdsvis x-, y- og z-retningen x,y,z m Retvinklede koordinater. z lodret, x vandret og y vandret og optræder kun i 2D. x m Afstand fra enden af den numeriske bufferzone α 1/s Fase af pertubation β Vindretningens vinkel med x-aksen. Γ Generel funktion afledt i tid, dækkende η,u og v t s Skridtlængde i tid x m Skridtlængde i x-retning y m Skridtlængde i y-retning ζ m Generelt skridt i sted dækkende både x og y η m Overflade elevation / højde over middelvandspejl Θ - Bølgefase Θ = ωt kx ϑ Generel diskret værdi af funktion, dækkende η,u og v κ Parameter til skalering af funktion ξ Diskretiseringsfaktor ρ kg/m 3 Massefylde σ Ekspansions faktor τw,τ x w y m/s 2 Tværspænding fra vinden i henholdsvis x- og y-retningen τb x,τ y B m/s 2 Tværspænding fra bundfriktionen i henholdsvis x- og y-retningen Ψ Generel funktion afledt i sted, dækkende η,u og v ω s 1 Vinkelhastighed 5

7 Indhold 1 Indledning Problemformulering Læsevejledning Nomenklatur I Teori 9 2 Bølgeteori Lineære fladvandsligningerne i 1D Fremadskridende bølge Stående bølge Shoaling af lineære fladvandsbølger Ulineære fladvandsligninger i 1D Amplitudens indflydelse på bølgen Verifikationsudfordringer Udvidelse til 2D Fladvandsligningernes anvendelsesområde Vinddrevne strømninger og friktion Dybdevariation Friktion Setup Randbetingelser Reflektion Absorbtion Numerisk teori Diskretisering Diskretisering i tid Diskretisering i sted Randbetingelser

8 3.2.1 Reflektion Absorption Generering af bølger Stabilitetsanalyse II Implementering 32 4 Fortran Hukommelsesforbrug Hastighedsoptimering MATLAB-Fortran sammenspil Fremgangsmåde Brugervenlighed III Resultater 39 6 Lineære bølger Stående bølger Fremadskridende bølger Flad bund Variabel bund og shoaling Ulineære bølger Fremadskridende bølger Begrænsninger fra overfladehældningen Stående bølge Vindreven setup Flad bund Krum bund Von Neumann stabilitetsanalyse 76 IV Opsamling Evaluering af model Udvidelsesmuligheder 81 7

9 V Bilag 83 A Analyse af ulineære fladvandsligninger 84 B Stabilitets analyse 87 C Diskretisering i sted af staggered grid 95 D Kildekode til programmet HENNING D.1 source kode for: HENNING2045.f D.2 source kode for: main.m D.3 source kode for: runfortran.m D.4 source kode for: calcu.m D.5 source kode for: findt.m D.6 source kode for: vindpil.m D.7 source kode for: visual1.m D.8 source kode for: visual2.m D.9 source kode for: visual3.m

10 Del I Teori 9

11 Kapitel 2 Bølgeteori I det følgende vil fladvandsteorien blive gennemgået med henblik på en øget forståelse af modellen og resultaterne. En vigtig forudsætning i fladvands teori er, som navnet antyder det (på engelsk: shallow water theory), at vandet skal være lavt. Hermed forstås der, at bølgelængden skal være meget længere en vanddybden. Altså at kh 0 (Svendsen Jonsson, 1982). Idet bølgen er meget flad, h L, kan der regnes med hydrostatisk trykfordeling, hvor højden af vandsøjlen er den lokale dybde, η + h. Bunden antages også at være kun svagt hældende, det vil sige at h 1. Desuden antages w = 0. Trykgradienten x accelerer bølgen (Fredsøe, 1994) ( p η u = ρg x x = ρdu dt = ρ t + u u x + w u ) (2.1) z En anden central antagelse i fladvandsteori er, at partikelhastigheden regnes konstant over dybden, u = 0. Uden denne antagelse skulle Boussinesq led medtages. Et z lodret snit i x-retningen benyttes som kontrol volumen, og en analyse til tiden t og t + dt og stedet x og x + dx giver følgende (Fredsøe, 1994) (h + η)u dxdt = η dxdt (2.2) x t Ligningerne (2.1) og (2.2) kan skrives sammen til de generelle styrende ligninger for bølger på fladt vand og med svagt hældende bund gη x + u t + uu x = 0 ((h + η)u) x + η t = 0 (2.3) 10

12 2.1 Lineære fladvandsligningerne i 1D De konvektive led (uu x ) er af orden O(δ 2 ), hvor δ = H h, idet u er proportional med H h (Svendsen Jonsson, 1982). I denne 1. ordens analyse ser vi på lineære bølger, det vil sige bølger med en meget lille amplitude, H h, hvorfor der kan ses bort fra led af orden O(δ 2 ). Idet η også er proportional med H gør lignende ordensbetragtninger, at (h + η)u tilnærmes til blot hu. Ved ovennævnte tilnærmelser er de styrende ligninger for lineære fladvandsbølger (hu) x + η t = 0 u t + gη x = 0 (2.4) Fremadskridende bølge En overfladeprofil af en fremadskridende lineær bølge defineres som værende η(x,t) = H 2 cos(θ(x,t)) (2.5) Fra de styrende ligninger (2.4) ses det umiddelbart, at hastigheden må være i fase med overflade profilen for at (η,u) skal være en løsning til ligningerne (2.4). Et fornuftigt gæt på et udtryk for hastigheden er derfor u(x,t) = A cos(θ(x,t)) (2.6) Indsættes (2.5) og (2.6) i de styrende ligninger, (2.4) opstår et lineært ligningssystem i ω og k, som kræver en determinant identisk med nul for at have en løsning til ethvert (ω, k) (Eising, 1997). Er determinanten 0 kræver det at A = g H. h 2 For en bølge med konstant form haves Θ(x,t), som beskrevet i Svendsen Jonsson (1982) ( t Θ(x,t) = 2π T x ) = ωt kx (2.7) L Hvor k er bølgetallet og ω er vinkelhastigheden. Bølge udbredelses hastigheden, c er c = L/T = ω k. De styrende ligninger, (2.4), krydsdifferentieres og u xt elimineres. Ligningen i η ser da således ud 11

13 1 gη xx = η tt h Indsættes ligning (2.5) og (2.7) kan ligning (2.8)omskrives til (2.8) ω k = c = gh (2.9) Det ses af ligning (2.9), at hastigheden af bølgen hverken er amplitude eller frekvens dispertiv, men kun er afhængig af den dybde bølgen er på. Partikel hastigheden, u kan skrives om til Stående bølge u(x,t) = ch 2h cos(ωt kx) (2.10) Ved at addere to identiske, men modsatrettede, fremadskridende bølger fås en anden løsning til (2.4): η(x,t) = H cos(kx) cos(ωt) (2.11) Bølgen er ikke fremadskridende eller af konstant form, hvilket kan ses blandt andet ved, at der er knudepunkter i kx = pπ, p Z. For at ligningerne (2.4) skal være opfyldt for alle (x,t) kommer et udtryk for partikelhastigheden u(x,t) til at se således ud u(x,t) = A sin(kx) sin(ωt) (2.12) Ved på samme måde som i forrige afsnit, at indsætte (2.11) og (2.12) i de lineære fladvandsligninger (2.4), og kræve at determinanten for ligningssystemet i (u,η) er lig 0 fås A = g h H Shoaling af lineære fladvandsbølger Når dybden, hvorpå bølgen bevæges, varierer, ændrer bølgen karakter. Det ses blandt andet af ligning (2.9), hvor det ses, at bølgehastigheden er proportional med h. Det vides, at perioden, T er konstant, hvorfor bølgelængden også ændres, jævnfør definitionen for bølgehastigheden. Energifluksen igennem to snit vinkelret på bølgens retning vil være konstant forudsat at der ingen energitab er. Som argumenteret i Svendsen Jonsson (1982) er der i et lille lodret snit, dz, til tiden dt energien ( p ) 2 ρ(u2 + w 2 ) udzdt (2.13) 12

14 Hvor p + er trykket over det hydrostatiske i z = 0, som antager værdien p + = ρgη, idet der tidligere er argumenteret for, at der kan regnes med hydrostatisk trykfordeling. Det vides fra tidligere, at den lodrette hastighed, w = 0. Idet vi her vil lave en 2.ordens betragtning, ses der bort fra led af orden O(δ 3 ), hvorfor leddet indeholdende u 3 også smides bort. Energien i hele dybden til tiden t er derfor fundet ved vertikal integration over dybden af (2.13): E f (t) = η = p + u p + udz h η h dz = p + u(η + h) (2.14) Idet p + u er af orden O(δ 2 ) og η er af orden O(δ) ses der bort fra denne, da der kun ses på led med orden mindre end O(δ 3 ): E f (t) = p + uh = ρghηu = ρgh ( H 2 ) 2 g h cos2 (Θ) (2.15) Hvor udtrykket for partikelhastigheden u (2.10) og η (2.5) er indsat. Midles (2.15) over en periode er cos 2 (Θ) = 1, hvorfor udtrykket for middel energifluxen 2 bliver E f = 1 8 ρgh2 gh (2.16) Sammenlignes ovenstående med energifluxen i en stokes bølge ses det, at de to udtryk er ens, når det blot holdes i mente, at udbredelses hastigheden i fladvandsbølgen, i modsætning til stokes bølgen, er c = gh. Antages ingen energitab over en strækning hvor bunden ændres, er energifluxen i to vilkårlige lodrette snit ens. Bølgehøjden kan derved udtrykkes som funktion af den lokale dybde 13

15 E f,1 = E f,2 1 8 ρgh2 2 gh2 = 1 8 ρgh2 1 gh1 H 2 2 h2 = H 2 1 h1 (H2 H 1 ) 4 = h 1 h 2 (2.17) Det må derfor forventes små ændringer i bølgehøjden når dybden ændres. Når dybden mindskes i bølgens udbredelsesretning øges bølgehøjden. 2.2 Ulineære fladvandsligninger i 1D De styrende ligninger for ulineære fladvandsbølger er dem der ses i ligning (2.3). Det ses hvorledes de ekstra led der er kommet med er uu x og (ηu) x. Det bemærkes, at der ved opstilling af de ulineære fladvandsligninger ikke er gjort nogen tilnærmelser eller antagelser, hvad angår ordensbetragtninger. De normale fladvands approksimationer er dog stadig gældende, dvs. u regnes konstant over dybden og deraf er den lodrette hastigheds komponent w = 0 samt kh 0. Det er ikke umiddelbart nemt at finde en analytisk løsning til ligningerne (2.3). En perturbationsekspansion, som foreslået i Jonsson (1990) er ikke brugbar, idet perturbationsfaktoren er omvendt proportional med kh. En central antagelse i fladvandsteorien er, at denne er gående mod nul, hvorfor perturbationsfaktoren vil gå mod uendelig Amplitudens indflydelse på bølgen For at opnå et udtryk for bølge udbredelseshastigheden, c, analyseres ligningerne (2.3) med en kvasilineær metode. Metoden indebærer, at det ikke-afledte led i de ulineære led bliver betragtet som kontant. Eksempelvis bliver det konvektive led, u(x,t)u x (x,t) u 0u x (x,t), hvor u 0 er amplituden af u regnet som konstant. De øvrige komponenter, u og η tilnærmes med dem fundet fra lineær teori, (2.5) og (2.6). Dermed bliver det en implicit antagelse i den kvasilineære analyse at H < 1. H kan derfor have større h h værdier end i den lineære analyse men stadig ikke så store værdier som i en fuldt ulineære. 14

16 I samme stil som ved lineær analyse indsættes η og u i ligningerne (2.3). Som det ses i bilag A er determinanten for koefficient matricen til ligningssystemet i (η, u): gkhk ω 2 + gk 2 η 0 + ku 0(2ω ku 0) (2.18) Som tidligere kræves determinanten at være nul for at ligningssystemet skal have en løsning. Som det ses i bilag A kan dette reduceres til = ± gh H 2h ± gh ( 1 + H 2h ) = gh ± 1 + H 2h ± H 2h = ± ( ) ( ) 2 (2 ± 1)H H gh O( ) (2.19) 4 2h Hvor sidste linie er lavet ved en Taylor polynomie med en trunkeringsfejl på O( ( H 2). 2h) Det ses også, at der er fire løsninger til problemet. Vi vælger den positive, hvor amplitude dispertionen har mindst effekt. Årsagen er, at valget giver den største overensstemmelse mellem analytiske beregninger og modelforsøg. c = ( gh ) H (2.20) 4 h Som det ses af ligning (2.20) er bølge udbredelses hastigheden afhængig af bølgehøjden H. De ulineære fladvandsligninger forventes derfor at være amplitudedispertiv. Bemærk at udtrykkene for η og u er de samme i lineær og ulineær teori. Det ses også at for H h 0 vil c gh, som er den lineære bølgehastighed Verifikationsudfordringer Det store problem med at verificere den ulineære model er, at de ulineære fladvandsligninger numerisk løses eksakt i modellen, kun begrænset af diskretiseringsfejlen, som omtales senere. Det eneste sammenligning er tilnærmede analytiske løsninger, som set i forrige afsnit. Det vides fra blandt andet Svendsen Jonsson (1982), at bølgerne, der er løsning til (2.3), bevæges med en hastighed afhængig af den lokale overflade elevation: c = g(h + η), når H/h h 2 /L 2 altså stor amplitude. Det betyder, at bølgetoppen bevæger sig hurtigere end resten af bølgen og den bliver derved asymmetrisk. En anden konsekvens af, at toppen bevæger sig hurtigere end dalen er, at bølgen før eller siden vil bryde sammen på flad bund. Det vil ikke ske i praksis. En måde at undgå 15

17 at bølgen bryder sammen på grund af den voksende gradient er at tilføje Boussinesq led, som modvirker disse voksende gradienter. Det er derfor svært at sammenligne den ulineære bølgemodel med analytiske løsninger. Sammenlignerne laves derfor mellem centrale paramtre som eksempelvis den bølgeperioden. Af mangel på bedre sammenlignes den i modellen fundne periode med den der kan findes fra ligning (2.20). 2.3 Udvidelse til 2D For at udvide de styrende ligninger til 2D vendes der tilbage til udledningen af de grundlæggende ligninger. Eulers ligning, som før så ud som (2.1), ser i 3D således ud (x og y komponenterne er taget ud). Der er nu en trykgradient både i x-retningen og i y-retningen g η ( u x = g η y = t + u u x + v u y + w u ) z ( u t + u v x + v v y + w v ) z (2.21) Det gælder selvfølgelig også i y-retningen, at hastigheden regnes konstant over dybden. Derfor bliver impulsligningerne i 2D gη x + u t + uu x + vu y = 0 gη y + v t + uv x + vv y = 0 (2.22) Fra et 3D kontrol volumen kan det indses, at kontinuitetsligningen i 2D ser ud som følger ((h + η)u) x + ((h + η)v) y + η t = 0 (2.23) Udledningen af de 2D lineære ligninger sker med de samme antagelser og argumentation, som ved udledningen af de 1D lineære fladvandsligninger. Det ses af ligningerne, at der ikke er sket nogen uventede ændringer, men blot tilføjet ekstra led. Alligevel kan sammenligningen med analytisk løsning blive meget kompliceret, selv i en lineær udgave. Især tolkningen og fremstilling af denne. Sammenligningen bliver derfor begrænset til at sende en bølge afsted i x-retningen og sammenligne den med en analytisk 1D bølge. Samme gøres i y-retningen. Desuden modelleres en stående bølge, der har hastigheder i begge retninger, således at bølgen er stående i begge dimensioner. 16

18 2.4 Fladvandsligningernes anvendelsesområde Der er flere begrænsninger på anvendelsesområderne for de lineære og ulineære fladvandsligninger. En vigtig og meget central antagelse er, at kh er meget lille. I lineær teori er det meget nemt at lave et mål for fladvandsligningernes nøjagtighed. Den relative forskel mellem bølgehatigheden af en lineær fladvandsbølge og en lineær stokes bølge er c flad c stokes = kh tanh(kh) (2.24) Stokes bølgen er ikke udledt under nogen antagelser af værdien for kh og må derfor i denne sammenligning betragtes som den ønskede løsning. Forholdet, som funktion af kh, kan ses på figur c flad /c stokes kh Figur 2.1: c flad /c stokes som funktion af kh. Det bemærkes hvorledes der allerede ved kh = 0,56 er en afvigelse på 5% En anden antagelse er, at H/L er lille. Det er i dette tilfælde ikke informativt at sammenligne med Stokes lineær teori, idet H/L angiver hvor ulineær bølgen er. Hvis fejlen skal findes, skal der sammenlignes med en ulineær model. En mulighed er, at sammenligne den lineære fladvandsbølge med strømfunktionen, idet denne er en eksakt løsning af de styrende ulineære ikke fladvandsligninger (Skourup, 1998). En sådan sammenligning kan ses på figur 2.2. På figuren ses det, hvordan overfladeprofilerne afviger mere og mere for større værdi af H/L. Det dårlige resultat skyldes også, at vi har antaget, at den lineære overflade profil er tilstrækkelig i det ulineære tilfælde. Som det ses er ligningerne vi bruger som tilnærmet løsning til de ulineære fladsvandsligninger, ligning (2.5) og (2.6), ikke særlig gode. 17

19 0.5 Sammenligning mellem lineær bølge og stream function, H/L= η(x,t)/(h/2) Sammenligning mellem lineær bølge x/(l/2) og stream function, H/L= η(x,t)/(h/2) Sammenligning mellem lineær x/(l/2) bølge og stream function, H= η(x,t)/(h/2) x/(l/2) Figur 2.2: På figuren ses sammenligning mellem overfladeelevationen af en lineær fladvandsbølge og en bølge beregnet ved hjælp af et program, der findes på kh = 0,14, h = 50 m. Stiplet linier markerer bølgeprofilen beregnet fra kvasilineær fladvandsteori, mens fuldt optrukne er overflade profilen beregnet med strøm funktions teorien Som tidligere nævnt har vi ikke lavet en analytisk løsning til de ulineære fladvandsligninger, men blot brugt et sinusformet overfladeprofil. En sådan løsning måtte forventes at passe bedre end hvad der ses på figur 2.2. Modellen håndterer refraktion og shoaling idet vi, som tidligere argumenteret, har set hvorledes bølgehastigheden er afhængig af den lokale dybde. Det er netop dette fænomen, der fører til refraktion, hvorfor modellen håndterer dette. Modellen håndterer også diffraktion da den reagerer på overflade gradienter i begge retninger, η x og η y. Passerer et bølgetog en forhindring, hvor der bag den er en læside, vil der opstå overfladegradienter, som vil påvirke bølgefeltet. Modellen er dog ikke direkte designet med dette formål. Den numeriske implementering gør det derfor meget svært at vise og teste denne funktionalitet. 2.5 Vinddrevne strømninger og friktion Idet vinden blæser over et vandområde vil vandet blive trukket med af vinden. I et afgrænset vandområde vil det betyde, at vandspejlet vil hælde, idet vandet vil samle sig i den ende af bassinet som vinden blæser imod. Dette fænomen kaldes vindsetup. 18

20 Når bunden er plan, kan der opstå en stationær situation, hvor der ingen strøm er i bassinet. Hvis bunden ikke er plan, vil der, selv i den stationære tilstand, opstå mere komplicerede strømfelter. Leddene for vindfriktion indgår i impulsligningen (2.22). De er opskrevet herunder for henholdsvis x- og y-retningen, som formuleret af Per A. Madsen τ x w = f h W 2 cos(β) τ y w = f h W 2 sin(β) (2.25) Når disse led bliver inkluderet bliver impulsligningerne gη x + u t + uu x + vu y f h W 2 cos(β) = 0 gη y + v t + uv x + vv y f h W 2 sin(β) = 0 (2.26) hvor W er vindhastighederne 10 m over vandspejlet, h er vanddybden, β er vindens ρ vinkel med x-aksen, f = C luft w ρ vand er friktionsfaktoren og C w = 0,0026 er en empirisk friktionskoefficient mellem luft og vand. Det bemærkes, at dette er en stor simplifikation af den virkelige interaktion mellem en fri overflade og vind. Det er ikke svært at forstille sig, at strømningsfeltet på begge sider af overfladen bliver meget kompliceret når overfladen ikke er plan. Desuden bør friktionen gå imod nul, når vandhastigheden og vindhastigheden nærmes hinanden. Ovenstående ligninger beskriver derfor den tilnærmede situation hvor strømningshastigheden er nul. Det vil kun være en god tilnærmelse, når vindhastighederne er væsentlig større end strømningshastighederne. Simplifikationen retfærdiggøres imidlertidig i denne sammenhæng, da der ikke ses på vindgenerede bølger men på vindsetup, som er et fænomen, der optræder i større målestok end en enkelt bølge. Partikelhastighederne forventes derudover også er være væsentlig langsommere end vindhastighederne Dybdevariation Bundvariationen i modellen er meget vigtig. Som det fremgår af de tidligere afsnit har vanddybden betydning både for bølgers udbredelseshastighed, samt, som det vil fremgå, for friktionen fra vinden og bunden, se ligningerne (2.25) og (2.31). Uden bundvariation vil fænonmener som refraktion og shoaling ikke kunne opstå. Bundvariationen kan på analytisk vis eksempelvis beskrives som summen af to 2.grads polynomier, der afhænger af henholdsvis x og y. Det vil sige h(x,y) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 + a 2 y 2 + b 2 y + c 2 = a 1 x 2 + b 1 x + a 2 y 2 + b 2 y + h min (2.27) 19

21 Gradienten i x- og y-retningen findes analytisk til h x = 2a 1 x + b 1 (2.28) h y = 2a 2 y + b 2 (2.29) Hvis h min udtrykker den mindste vanddybde og resten af variablene, som vist på figur 2.3 får man at a 1 = h min zbulex zendx LBuleX (LBuleX 1) LBuleX l 2 x a 2 = h min zbuley zendy LBuleY (LBuleY 1) LBuleY l 2 y b 1 = h min zbulex zendx LBuleX 2 (LBuleX 1) LBuleX l x b 2 = h min zbuley zendy LBuleY 2 (LBuleY 1) LBuleY l y (2.30) Friktion Bundfriktionen har ifølge Svendsen Jonsson (1982) kun væsentlig betydning når ( HL = H L ) 2 h 2 L h > Da de styrende ligninger i denne undersøgelse er fladvandsligninger ligger den betingelse implicit at h < 0,05 for at disse ligninger er en god L tilnærmelse. Med de to betingelser må det også kræves at H < 20 = 0,05 for at L 20 2 bundfriktionen kan ignoreres. Fladvandsbølgen når imidlertidig at blive begrænset af ulineariteten, inden dette bliver et problem, se afsnit 2.4. Når der ses på tidevand, hvor bølgelængden er meget større end bølgehøjden, er det indlysende, at friktionen får stor betydning. Det samme gælder for vindsetup. Da en del af undersøgelsens formål er at se på vinddrevne strømninger, er det derfor naturligt at medtage bundfriktionen i impulsligningerne. Bundfriktionen kan ifølge Per A. Madsen defineres som τb x = g M 2 h u u 2 + v 2 4/3 τ y B = g (2.31) M 2 h v u 2 + v 2 4/3 hvor u og v er strømningshastighederne, h er dybden og M er Manning-tallet, som afhænger af bundforholdene og som typisk sættes til 32. Ønskes det at øge bundfriktionens betydning skal Manning-tallet, som det ses, mindskes. Med vind og friktion 20

22 inkluderet bliver impulsligningerne gη x + u t + uu x + vu y f h W 2 g cos(β) + M 2 h u u 2 + v 2 = 0 4/3 gη y + v t + uv x + vv y f h W 2 sin(β) + g M 2 h 4/3 v u 2 + v 2 = 0 (2.32) Setup Er bunden plan, er det forholdsvis enkelt at få et analytisk udtryk for overfladens hældning ud fra (2.32) og (2.22). I den stationære tilstand er hastighederne og de tidsafledte nul, og der fås derved følgende udtryk for overfladens hældning η x = η y = f g h W 2 cos(β) (2.33) f g h W 2 sin(β) (2.34) Et andet specialtilfælde fås, når dybden kun varierer på tværs af vindretningen, for eksempel som en parabel. Ved en kanal, som er dybest på midten, kan der regnes på hastigheden langs med kanalens sider. Der ses på den stationære tilstand og dermed er de tidsafledte nul. Vindretningen blæser i y-retningen, β = 90 og langs kanten, dvs., for x = 0 er u = h y = 0. Midt i domænet, y = L y /2, antages det at v y η y 0. Herved kan fås et tilnærmet udtryk for v det pågældende sted v 2 fw 2 M 2 h 1/3 g (2.35) 2.6 Randbetingelser De randbetingelser, der påtrykkes fladvandsligningerne afhænger af den ønskede model. I denne model arbejdes der ikke med åbne rande. Derfor sættes normalhastigheden på alle rande til nul. Det kan udtrykkes som u x=0 = u x=lx = 0 (2.36) v y=0 = v y=ly = 0 (2.37) Der er også nødvendigt at sætte randbetingelser for η. Denne betingelse findes fra impulsligningerne hvor henholdsvis u og v sættes til nul. Det bliver til η x x=0 = η x x=lx = 0 (2.38) η y y=0 = η y y=ly = 0 (2.39) 21

23 2.6.1 Reflektion Effektivt betyder lukkede rande, at en fremadskridende bølge vil blive fuldstændig reflekteret, og der vil kunne dannes en stående bølge. En analog situation opstår, når to bølger, der er identiske, på nær at de har modsat fortegn på ω eller k, mødes. Fra (2.11) og (2.12) haves følgende udtryk for hastigheden og overfladeelevationen η = H cos(ωt) cos(kx) (2.40) u = A sin(ωt) sin(kx) (2.41) Det ses at u altid er nul i x = 0 og x = π/k. Differentieres overfladeelevationen med hensyn til x fås η x = Hk cos(ωt) sin(kx) (2.42) Det ses at η x = 0 for x = 0 og x = π/k, hvilket er de samme steder som hvor u = 0. Hvis domænets længde defineres som værende π/k langt vil der haves et domæne, hvor ovenstående randbetingelser altid er opfyldt. Denne analogi kommer tydeligt til udtryk når randbetingelserne skal implementeres i den numeriske model Absorbtion Ønskes det ikke at en bølge bliver reflekteret, må der i et lukket domæne, indbygge en bølgeabsorber. Absorbtionszonen skal være mindst samme længde som bølgelængden for at være fuldt absorberende. Er den for kort vil noget af bølgen blive reflekteret. Der kan i den numeriske implementering af en bølgeabsorber, anvendes en relakseringsfunktion og en eksakt løsning, som beskrevet i Bingham Agnon (2002). Det er her vigtigt, for alle x eller y, at relakseringsfunktionen og dens to første afledte er kontinuerte. I modsat fald vil en diskontinuitet i den 2. afledte forårsagde, at noget af bølgen reflekteres ved dette knæk. Denne relakseringsfunktion skal virke på η, u og v. 22

24 z x Lx hmin zendx zbulex Bund LBuleX z y Ly hmin zendy zbuley Bund LBuleY Figur 2.3: Illustration af de størrelser som definerer bundprofilet i 2 dimensioner. 23

25 Kapitel 3 Numerisk teori 3.1 Diskretisering Idet der ønskes en numerisk løsning af de partielle differentialligninger (2.3), skal der vælges en diskretiseringsmetode af variablerne i domænet. De mest nærliggende metoder er finite volume og finte difference. Den første metode er nærliggende, hvis løsningsdomænet har en kompliceret geometri. Ulempen ved volume element i forhold til finte difference er, at den er vanskeligere at implementere. Da løsningsdomænet er et simpelt rektangel, er der derfor ingen grund til at vælge andet end finte difference. Den næste overvejelse vedrører fordelingen af netpunkter i domænet. Der er også her flere valgmuligheder. Der kan vælges mellem at bestemme alle variablene samme sted, kaldet non-staggered. Der kan også vælges at bestemme alle variable i punkter forskudt fra hinanden, kaldet staggered. Den umiddelbare fordel ved staggered, for det foreliggende problem, ligger i, at det er nemt at beskrive en lukket rand. Det nemme bunder i, at man ikke nødvendigvis behøver at kende overfladeelevationen på randen.; dette vil blive beskrevet afsnit 3.2. Ulempen ved en staggered netstruktur er først og fremmest, at det er nødvendig med interpolation af variablene for at bestemme deres værdier oven i de andre variable. Desuden forringes stabiliteten noget. Dette vil blive nærmere beskrevet i afsnit og 3.3. Da det aktuelle løsningsdomæne er lukket, er fordelene ved et staggered netstruktur dog større end ulemperne, og der vælges derfor den forskudte netstruktur. Ud over fordelingen af variablene kan det også overvejes, om skridtafstandene i tid og sted skal være konstante eller variable. For at reducere trunkeringsfejlen i diskretiseringen, kan det være hensigtsmæssig at reducere skridtafstanden i de områder af løsningsdomænet, hvor de højere afledede for den pågældende variabel er store. Forklaringen ligger i, at trunkeringsfejlen afhænger af de led, som der ses bort fra i Taylorudviklingen af den pågældende variabel. Disse led er et produkt af variablens afledte i sted af en given orden samt skridtlængden opløftet i en given potens. I 24

26 områder med store hastighedsgradienter vil den afledte også blive stor. For at holde leddet og dermed trunkeringsfejlen lille må skridtlængden derfor reduceres. Eftersom løsningen ikke forventes at indeholde områder med særligt store gradienter, vælges en konstant skridtlængde i tid og sted. Efter disse indledende overvejelser med hensyn til diskretiseringen vil diskretiseringen i tid og sted blive nærmere gennemgået Diskretisering i tid Stærkt inspireret af Wei et al. (1995) vælges en Adams-Bashforth-Moulton metode til at skridte frem i tid. Denne metode tilhører familen predictor-corrector. I tråd med artiklen, vælges et eksplicit 3. ordens Adams-Bashforth skema som predictor, og et implicit 4. ordens Adams-Moulton skema som corrector. Da metoderne altså bruger henholdsvis 3 og 4 punkter vil de ifølge definition fra Ferziger Peric (2002) have ordenen O( t 3 ) henholdsvis O( t 4 ). Lader vi Ψ n betegne de sted-afhængige led til tidsskridet n i et givent punkt (x,y) og Γ n den tidafhængige variabel til tidsskridtet n i samme punkt (x,y) ser predictor skemaet således ud Γ n+1 Γ n + t ( 23Ψ n 16Ψ n 1 + 5Ψ n 2) (3.1) 12 og corrector skemaet Γ n+1 Γ n + t ( 9Ψ n Ψ n 5Ψ n 1 + Ψ n 2) (3.2) 24 Det skal her bemærkes, at de valgte høje ordens skemaer i tid, ikke er tvingende nødvendigt for at få nøjagtig løsninger af de lineære eller ulineære fladvandsligninger. De er valgt for at gøre det simpelt senere, at inkludere højere ordens Boussinesq led. Her er de til gængæld også nødvendige, idet den situation opstår, at kildeleddene til trunkeringsfejlen er af samme form som de dispertive Boussinesqled i de styrende ligninger (Wei et al., 1995). Den iøjefaldende ulempe ved disse højere ordens predictor-corrector skemaer er, at de benytter løsningen fra tidligere tidsskridt og derfor kræver mere hukommelsesplads. En anden ulempe er at stabilitetskravene strammes og tidsskridtet derfor skal være kortere end for metoderne af lavere orden, se afsnit 3.3. Ideen bag predictor-corrector konceptet er, kort fortalt, at kombinationen af predictor og corrector giver en væsentlig mere stabil metode end metoderne hver for sig. Dette bliver gennemgået nærmere i afsnit Diskretisering i sted Diskretiseringen af domænet med fordelingen af de diskrete variable er vist på figur

27 De stedsligt første ordens afledte er diskretiseret med en 4 punkts centered difference skema, CDS, af orden O( ζ 4 ). Derved bliver den førsteafledte på dette staggered net diskretiseret til samme orden som Wei et al. (1995). Hermed fås ϑ ζ ϑ ww 27ϑ w + 27ϑ e ϑ ee 24 ζ (3.3) Subindicerne ww, w, e og ee henviser til punkterne (-1 1, - 1, 1,1 1 ) ζ fra udviklingspunket regnet positiv mod højre (øst). Skemaet er udledt fra tilpasningen af et 3.grad spolynomie til de fire punkter. For at beregne de ulineære led numerisk, er det nødvendigt med interpolation af variablene i det tilfælde hvor, for eksempel, η t afhænger af u. I de tilfælde hvor værdien af u eller v ønskes kendt i et punkt hvor η er defineret, interpoleres der med et 3. ordens polynomie. Når det er nødvendigt at kende u ved v eller omvendt, y : η : U : V j u, η v u v,η i x Figur 3.1: Skematisk opstilling af det diskrete domæne med placeringen af variablene indtegnet. Desuden er nummereringen af indeks for de diskrete variable vist. 26

28 interpoleres variablene først ind på et punkt hvor en diskret værdi af η, og herefter bruges igen et 3. ordens polynomie. 3.2 Randbetingelser Reflektion På figur 3.2 ses punkterne tættest på randen. Diskretiseringen kan forklares fra, at reflektionen, som tidligere nævnt, analytisk kan simuleres ved at addere en virtuel spejlet bølge med den virkelige. Spejlingsaksen er selvfølgelig randen, hvorfor formen af den virkelige og den virtuelle bølge er den samme på hver side af randen. Partikel hastighederne er derimod modsat rettede på hver side af randen, hvorfor følgende gælder u x= x = u x= x (3.4) Hvor u x= x angiver hastigheden i afstanden x vinkelret fra randen. Ved at udnytte gradienten af η er nul på randen og at den virtuelle bølge er af samme form, blot spejlet fås det η x= x = η x= x (3.5) De to betingelser indsættes i den generelle 4 punkts centered difference scheme, ligning (3.3). Ordnen af skemaet påvirkes ikke idet udtrykkene (3.4) og (3.5) er baseret på en eksakt analytisk modellering af randbetingelserne. Randbetingelserne er her gennemgået i et 1D tilfælde. I 2D er y-retningen fuldstændig analog til x-retningen. Hjørnepunkterne bliver ligeledes ikke problematiske, da ingen variable er defineret i de punkter. Ughost = Ui+1,j = Ui,j U i+1,j dx/2 dx ηghost=η i,j η i,j x Figur 3.2: Randbetingelser i η og u. 27

29 3.2.2 Absorption Ved den praktiske implementering af randbetingelsen er der før absorptions-/relaksationszonen også lagt en lille numerisk buffer, som skitseret på figur 3.3. Grunden til at indlægge en sådan er, at så kan spejlingsrandbetingelsen påtrykkes randen. Idet de to første punkter i henhold til figur 3.3 udregnes rent analytisk kan det tredie punkt, som er det første der udregnes numerisk, ikke mærke spejl-betingelsen. Grunden til at den ikke kan mærke randen er, at vi benytter et fire punkts centered difference scheme, som kun refererer til de nærmeste to punkter til hver side. Fordelen er så, at hele modellen kan bygges op med spejlende rande langs alle kanter og ved de kanter, hvor der ønskes absorption kan relaksationszonen slåes til. 1 Cr x Figur 3.3: Skitse af relaksations koefficienten Cr som funktion af x. Funktionsforløbet er ikke det der benyttes i programmet, da figuren kun skal bruges til at illustrere beliggenheden af den numeriske buffer. Relaksation funktionen der bruges er Cr(x) = sech(κx ) x L relaks y sech,min = 2 e κx + e κx x L relaks y sech,min (3.6) hvor y sech,min = sech(κl relaks ), L relaks er længden af relaksationslaget og κ er en faktor, der gør, at funktionen strækkes således, at førnævnte gælder, når y sech,min og L relaks specificeres. x er afstanden fra enden af den numeriske bufferzone. Cr(x /L relaks ) kan ses på figur 3.4. Måden metoden benyttes på er her vist for η η(x) = Cr(x)η analytisk (x) + (1 Cr(x))η numeriskskema (x). (3.7) Generering af bølger Genereringen af bølger er tæt forbundet med absorptionszonen, der er omtalt i afsnittet ovenfor. Den analytiske funktion, der bliver multipliceret på, vil i tilfælde af 28

30 genererede bølger blot være et analytisk udtryk for η, u og v, hvorimod den ved absorption vil være 0. På denne måde kan numerikken få den mest simple struktur. 1 y sech,min =0,1 y sech,min =0,01 y sech,min =0,001 y sech,min =0,0001 y sech,min =0,00001 y sech,min =10 10 CrFunk=e κ x Cr x /L relax Figur 3.4: Relaksationskoefficient som funktion af x for forskellige værdier af y sech,min. Funktionen ses i ligning. (3.6) 29

31 3.3 Stabilitetsanalyse Der laves i det efterfølgende en Von Neumann stabilitetsanalyse af de diskretiserede lineære fladvandsligninger i een dimension på flad bund. Der indsættes perturbationer af formen η(j,n) = η 0 σ n e ijα u(j,n) = u 0 σ n e ijα (3.8) Hvor i er den imaginære enhed i = 1, j er skridtet i x-retningen, n er skridtet i tiden og α er en arbitrær bølgefase af pertubationen. Formålet med stabilitets analyses er at sætte nogle betingelser således at σ 1. Længden af σ skal være mindre end 1 for at sikre, at perturbationsløsningen ikke eksploderer. Indsættes (3.8) i (3.1) eller (3.2) indses det, at der indgår σ i en potens i alle leddene. Med hensyn til diskretiseringen i x-retningen kommer der her til at indgå led med e iα samt en faktor på alle led af formen: e ijα. Eksempelvis vil en 2 punkts centered difference i u blive til u x = u(j + 1,n) u(j 1,n) 2 x = u 0 σ n ei(j+1)α e i(j 1)α 2 x = u 0 σ n ijα i sin(α) e x (3.9) Diskretiseringen i stedet ændres selvfølgelig ikke i tiden, hvorfor faktoren stammende fra diskretiseringen i x er konstant for alle n. Således omskrives de stedlige diskretiseringer i henholdsvis u og η som η x (j,n) = η 0 ξ(α)σ n e ijα u x (j,n) = u 0 ξ(α)σ n e ijα (3.10) Hvor ξ er afhængig af den diskretiseringsmetode der benyttes. ξ fra eksemplet ovenfor er derfor ξ = i sin(α) x max = i i sin(α). Grunden til er vurderet op er for at få x x σ 1 for alle α. Eksempelvis kommer Adams-Bashforth skemaet for massebevarelsen til at se således ud η n+1 η n = h t 12 (23u x(n,j) 16u x (n 1,j) + 5u x (n 2,j)) η 0 e ( ijα σ n+1 σ n) = u 0 hξeijα ( 23σ n 16σ n 1 + 5σ n 2) 12 σ 3 σ 2 = u0 hξ ( 23σ 2 16σ + 5 ) (3.11) η 0 12 Ved at opstille de to lineære fladvandsligninger i η 0 og u 0 fremkommer et homogent ligningssystem, som kræver determinant lig 0 for at have en løsning. Fra 30

32 denne determinant opstår et polynomium i σ, hvor produktet Cu 2 = t 2 ξ 2 gh indgår. Ved at lade dette produkt gennemløbe både positive og negative tal omkring nul og finde rødder i σ kan det med god nøjagtighed bestemmes hvornår σ > 1, altså hvor systemet er ustabilt. Ved analysen af Adams-Bashforth-Moulton indsættes det implicitte led taget fra den eksplicitte Adams-Bashforth. Som det sker ved selve kodningen af programmet, findes eksempelvis η n+1 fra Adams-Bashforth, massebevarelse. Den sættes ind i Adams-Bashforth-Moulton impulsligning. Det efterlignes i stabilitetsanalysen, hvor σ = σ(ξ,u 0,η 0, g, h) findes fra Adams-Bashforth og substitueres ind på højresiden i Adams-Bashforth-Moulton skemaet (3.2) til tidsskridtet n + 1. Stabilitets analysen kan ses i bilag B. I bilaget er Adams-Bashforth, Adams- Moulton og Adams-Bashforth-Moulton analyseret, samtidig med at ξ er fundet for forskellige diskretiseringsmetoder. Couranttallet defineres som Cu = t gh (3.12) x I tabel 3.1 ses begrænsninger på Couranttallet til forskellige diskretiseringer. Tabel 3.1: Stabilitet for Adam-Bashforth-Moulton skema til forskellige diskretiseringer. 2. række i tabellen viser ξ til de undersøgte diskretiseringer. 2. kolonne viser begrænsningen på γω Gen. stab. betingelse 2 punkts CDS 4 punkts CDS 4 punkts CDS Staggered ξ = Ω h = γ g - i x A-B 0 γω 0,524 Cu 0,724 Cu 0,543 Cu 0,310 A-M Ubetinget ustabil A-B-M 0 γω 1,390 Cu 1,179 Cu 0,884 Cu 0,505 Det ses, at stabiliteten falder ved højere orden i x- diskretiseringen. Det bemærkes også, at stabiliteten falder ved brug af staggered grid. Stabiliteten falder så meget, at en Adam-Bashforth-Moulton på staggered grid er mindre stabil end en Adam- Bashforth på ikke staggered grid. Desuden ses det, at Adams-Moulton skemaet for sig selv er ubetinget ustabilt. Iterationerne, der udføres i programmets corrector del, kan således ikke konvergere, uden at der findes et fornuftigt startgæt. I vores tilfælde leveres det af Adams-Bashforth. Det understreges, at analysen er lavet for lineær ligninger på flad bund i 1D. Resultatet giver derfor blot en indikation af hvordan stabiliteten af skemaet er ved, eksempelvis, variabel bund eller når de ulineære fladvandsligninger løses. i4 3 x i7 3 x 31

33 Del II Implementering 32

34 Kapitel 4 Fortran 4.1 Hukommelsesforbrug For at begrænse hukommelsesforbruget ved udregningerne af mange tidsskridt er der valgt kun at lagre de sidste 4 tidsskridt i RAM, som er dem programmet hele tiden arbejder med. Herved bliver antallet af tidsskridt kun begrænset af tid og harddisk plads, hvor det sidste sjældent er en begrænsning. Ulempen er, at skrivehastigheden til harddisken bliver en stor flaskehals i nyere systemer med hurtige CPU er. Dette bliver særligt udtalt, når der i hvert tidsskridt skal skrives flere variable til seperate filer. Her bruges der ikke blot forholdsvis megen CPU tid på skrivningen; filerne bliver også voldsomt fragmenteret, hvilket sænker den senere læsehastighed meget. En anden måde at begrænse hukommelsesforbruget på, er at beskrive variablene med mindre præcision. I den aktuelle implementering er benyttet double precision hvilket kræver 8 bytes per element. Her kunne være benyttetsingle precision repræsentation af variablene, som kræver 4 bytes per element. Denne løsning udskyder dog kun det uafvendelige, idet der kun vindes en faktor 2 på det samlede antal elementer. Dermed vil der med stor sandsynlighed alligevel skulle skrives løbende til harddisken. 4.2 Hastighedsoptimering Når der skrives numeriske koder, som skal lave større beregninger, er det vigtigt at skrive koder, der afvikles effektivt på computeren. De faktorer, der påvirker effektiviteten, kan inddeles i to grupper. Den ene gruppe er de faktorer som påvirker effektiviteten uanset systemarkitekturen og den anden gruppe er afhængig af systemarkitekturen. Den sidste gruppe er vanskelig at beskrive uden at have nøje kendskab til computerens indre funktionalitet. Den vil derfor ikke blive berørt nærmere. Den første og generelle gruppe vil derimod blive undersøgt nøjere. 33

35 Alle beregninger i en computer sker på det laveste nivau i det binære talsystem. Den sædvanlige repræsentationen af tal og de fire regnearter i 10-tals systemet, addition, substraktion, multiplikation og division, skal derfor omsættes til det binære talsystem før de kan beregnes. En vigtig pointe er her, at division er en væsentlig mere krævende omsætning end de 3 andre. Det er derfor hensigtsmæssigt, at undgå division i størst muligt omfang. Det har især betydning i løkker, som kan blive gennemløbet tusindvis af gange. Løkker bør også holdes fri for overflødige beregninger. Denne omskrivning og optimering af kode har den ulempe, at kodningen tager tid og koden kan blive uoverskuelig. Graden af optimering bliver derfor, som så meget andet, et spørgsmål om at finde et fornuftigt kompromis. Koden til denne implementering er et forsøg i den retning. En anden vigtig pointe er hvordan programmeringssproget lagrer variable i flere dimensioner i hukommelsen. Hukommelsen kan anses for at være endimensionel. Flerdimensionelle variable må derfor nødvendigvis blive gjort endimensionelle, før de lagres i hukommelsen. I Compaq Visual Fortran og de fleste andre Fortranimplementeringer sker dette ved at den sidste dimension, hørende til det sidste indeks i en variabel, lægges i forlængelse af hinanden. Dette kaldes column major. Det vil sige at en todimensionel variabel lagres kolonnevis i hukommelsen. I programmeringssproget C, vil en todimensionel variabel blive lagret rækkevis og den form kaldes row major. (Metcalf Reid, 2002) Når der arbejdes med flerdimensionelle variable i løkker, skal der ikke arbejdes på tværs af denne strutur i hukommelsen. Ellers bliver resultat en væsentlig langsommere afvikling af programmet ifølge hjælpfilen til Compaq Visual Fortran. I praksis vil mange komercielle kompilere have mulighed for at kompensere for de ovennævnte svagheder i kildekoden, når maskinkoden, også kaldet objektkoden, dannes. Det er dog meget svingende hvor meget optimeringen, fra kompilerens side, kan ændre i afviklingstiden for et program. Det afhænger meget af hvad programmet i det hele taget foretager sig. Dette kan illustreres ved, at forskellen mellem ingen og maksimal optimering af HENNING2045 kildenkoden er omkring 20 % i afviklingstid. Optimering af et andet program, som har alle tidskridt i RAM, gav en reduktion i afviklingstid på omkring 70 %. Problemet med HENNING2045 er, at skrivning af de binære filer skal ske som direct access. Dette betyder, at kompileren ikke har mulighed for at benytte iobuffering. Det vil sige, at RAM bliver benyttet som buffer og programmet kan dermed skrive større mængder af data til harddisken samtidig. 4.3 MATLAB-Fortran sammenspil MATLAB har en af sine stærkeste sider i visualiseringen af data. Et af MATLABs største svagheder er hastigheden hvormed den afvikler kode, her tænkes især på 34

36 løkker. Fortran svagheder og styrker ligger helt modsat og det er derfor oplagt at forsøge at få det bedste fra begge verdener. For at opnå dette er det nødvendigt, at programmerne kan udveksle data. Dette kan gøres på flere måder, som har det til fælles, at harddisken benyttes som midlertidigt lager. Den metode, som er valgt, er, at information flyttes fra MATLAB til Fortran via mat-filer, som er MATLABs binære dataformat. Den anden vej flyttes informationen dels i mat-filer og dels i et generelt binært dataformat. mat-filer kan læses og skrives i Fortran ved hjælp af funktioner, der ligger i biblioteker, som følger med MATLAB. Navnet på disse biblioteker er libmx.lib og libmat.lib og de findes i MATLABs installationsfolder under \extern\lib\win32. Det skal bemærkes, at der findes flere udgaver til hver deres udviklingsmiljø. Her er valgt version hørende til Digital Fortran 6.0, som er en foreløber til Compaq Visual Fotran. Fortranbibliotekerne indholder imidlertidig ikke selve funktionen, men linker videre til en række dynamic links liberieseller dll-filer. Det er derfor nødvendigt at have MATLAB installeret, for at kunne afvikle Henning2045 i den aktuelle implementering. De binære filer i det generelle dataformat skrives af Fortran og læses af MATLAB uden større vanskeligheder. Årsagen til, at der ikke udelukkende benyttes det generelle binære dataformat bunder i en akademisk interesse for at anvende MATLABs binære dataformat. Undersøgelsen af dette format har vist en svaghed i det funktionsbibliotek, som følger med MATLAB Release 12. Svagheden ligger i, at en variable skal skrives til en mat-fil på én gang. Derved er det ikke nok at have 4 tidskridt i hukommelsen og hukommelsesforbruget kan derved ikke begrænses. Det er endnu en årsag til, at det generelle binære dataformat benyttes. En anden svaghed er, at kun variable af højest 2 dimensioner kan lagres i mat-filerne. Disse svagheder er muligvis rettet i MATLAB release 13. I stedet for at vente på MATLAB release 13 er der også den mulighed at optimere på I/O implementeringen i HENNING2045. En ide, som der ikke har været tid til at implementere, består i at gemme mere end 4 tidsskridt i hukommelsen. Med mellemrum, for eksempel når 50 % af systemhukommelsen er fyldt op, skrives disse tidsskridt til harddisken. Dette forbedrer HENNING2045 på tre områder. For det første går en langt større del af CPU-tiden med at regne. For det andet bliver den gennemsnitlige skrivehastighed langt større på harddisken når større elementer skrives. Sidst men ikke mindst bliver filerne mindre fragmenteret. Ved få ændringer i Fortran kildekoden kan HENNING2045 gøres uafhængig af MATLAB. Muligheden åbnes derfor for sammenspil med andre programmer og grafiske præsentationer af resultater. 35

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-07. Opsætning og kalibrering af Mike21 til stormflodsvarsling for Limfjorden

DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-07. Opsætning og kalibrering af Mike21 til stormflodsvarsling for Limfjorden DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-07 Opsætning og kalibrering af Mike21 til stormflodsvarsling for Limfjorden Jesper Larsen og Jacob Woge Nielsen DMI København 2001 ISSN 0906-897X ISSN

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Fagets IT Introduktion til MATLAB

Fagets IT Introduktion til MATLAB Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Regneark til bestemmelse af CDS- regn

Regneark til bestemmelse af CDS- regn Regneark til bestemmelse af CDS- regn Teknisk dokumentation og brugervejledning Version 2.0 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet Dette er en netpublikation, der

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2 Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal

Læs mere

Numerisk differentiation og integration med Python

Numerisk differentiation og integration med Python Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Numeriske metoder i matlab

Numeriske metoder i matlab NMM minimodul 6 p. 1/2 Numeriske metoder i matlab Lektion 6 Tom Søndergaard Pedersen Palle Andersen Aalborg University NMM minimodul 6 p. 2/2 Interpolation Polynomium, splines, mindste kvadraters metode.

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere