Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel"

Transkript

1

2 Opbygning af numerisk fladvands bølgemodel af Jens Dahl Poulsen(c973463) og Hans Jacob Simonsen(c973782) Special kursusved MEK, DTU, Lyngby I Samarbejde med Per Madsen og Harry Bingham Efterår 2002

3 Abstract In this report the nonlinear shallow water equations are solved numerically in two dimensions using a Adams-Bashforth-Moulton scheme. Windstress and bottomfriction are included. The domain is closed and discretized using a staggered grid. A Von Neumann stability analysis is carried out showing a theoretical stability criterium given as a maximum Courant-number. The numerical implementation is done in Fortran 95 using MATLAB for graphical presentation of the results. A brief chapter discusses the theory behind the linear and nonlinear water equations. The model is tested with progressiv and standing waves and winddriven flows. Resumé I denne rapport bliver de ulineære fladvandsligninger løst numerisk i to dimensioner ved brug af Adams-Bashforth-Moulton metoden. Friktion fra vind og bund er inkluderet. Domænet er lukket og diskretiseret ved brug af et staggered grid. Der er foretaget en Von Neumann stabilitetsanalyse, som giver et teoretisk stabilitetskrav udtryk ved et maksimalt Couranttal. Den numeriske implementering er sket i Fortran 95 og den grafiske præsentation af resultaterne sker i MATLAB. Et kort kapitel diskuterer teorien bag de lineære og ulineære fladvandsligninger. Modellen bliver testet med fremadskridende og stående bølger samt vinddrevne strømninger. 2

4 Kapitel 1 Indledning Rapporten omhandler opbygningen og testen af en to-dimensionel numerisk strømningsog bølgemodel. Motivationen for at opbygge modellen er dels at lære programmeringssproget Fortran 95 i forbindelse med et praktisk problem. Numerisk implementering af hydrodynamiske problemer er ligeledes en del af motivationen, idet der er mange spændende områder at tage fat på, både i numerikken og teorien. Modellen kaldes HENNING2045 efter inspiration af DHI s MIKE21 model. Forventningerne skal dog ikke sættes for højt, idet der på næsten alle områder er et stykke vej til samme funktionalitet som hos MIKE 21. Projektet er skrevet som et specielkursus ved Institut for Mekanik, Energi og Konstrukton, Danmarks Tekniske Universitet i Lyngby. Vejledere på kurset var Per Madsen og Harry Bingham som vi gerne vil takke for deres hjælp og bidrag. Desuden vil vi gerne takke Jess Michelsen for hans gode råd i forbindelse med Fortran Problemformulering Det forsøges at opbygge en numerisk model baseret på de ulineære fladvandsligninger, der ud over bølger også håndterer vinddrevne strømninger og bundspænding. Der udarbejdes et teoretisk afsnit til at understøtte modellen samt vise forståelse for bølgedynamikken bag modellen. I teoriafsnittet vil der også blive gennemgået forskellige numeriske aspekter ligesom der også vil blive lavet en Von Neumann stabilitetsanalyse af det numeriske skema. Modellen dokumenteres med relevante testkørsler og resultaterne sammenlignes med analytiske udregninger. Modellen skrives i Fortran 95, idet en del af formålet med opgaven er at lære dette programmeringssprog. 3

5 1.2 Læsevejledning Meget af arbejdet med opbygningen af modellen er sket med Wei et al. (1995) som kogebog. Det blev gjort, da modellen oprindeligt var tiltænkt at skulle kunne medtage Boussinesq led. Dette er baggrunden for den valgte orden af det numeriske skema, struktureringen af koden med mere. Differentiale koefficienter benævnes med subscript således at η = η x x. Diskrete afstande benævnes eksempelvis i x retningen x Programmet er kompileret med kompileren fra Compaq Visual Fortran version 6.6B på en Windows platform. Da programmet er et samspil mellem MATLAB og Fortran er det nødvendigt, at brugeren har MATLAB installeret på den computer hvorfra programmet kører. Illustrative film, program og kildekoder kan downloades på 4

6 1.3 Nomenklatur c m/s Bølgehastigheden C w - Friktionskoefficient mellem vind og vandoverflade Cu - Couranttallet E J = Nm Energi E f N/s Energiflux f - Friktionsfaktor for vindspændinger g m/s 2 Tyngde accelerationen, g= 9,82 m/s 2 h m Vanddybde H m Bølgehøjden k m 1 Bølgetallet l x, l y m Domænets længde i x- og y-retningen L m Bølgelængden L relaks m Længden af relakseringszonen M m 1/3 /s Manning-tallet p N/m 2 Tryk T s Bølgeperioden W m/s Vindhastigheder i 10 m over vandoverfladen u,v,w m/s Partikelhastigheder i henholdsvis x-, y- og z-retningen x,y,z m Retvinklede koordinater. z lodret, x vandret og y vandret og optræder kun i 2D. x m Afstand fra enden af den numeriske bufferzone α 1/s Fase af pertubation β Vindretningens vinkel med x-aksen. Γ Generel funktion afledt i tid, dækkende η,u og v t s Skridtlængde i tid x m Skridtlængde i x-retning y m Skridtlængde i y-retning ζ m Generelt skridt i sted dækkende både x og y η m Overflade elevation / højde over middelvandspejl Θ - Bølgefase Θ = ωt kx ϑ Generel diskret værdi af funktion, dækkende η,u og v κ Parameter til skalering af funktion ξ Diskretiseringsfaktor ρ kg/m 3 Massefylde σ Ekspansions faktor τw,τ x w y m/s 2 Tværspænding fra vinden i henholdsvis x- og y-retningen τb x,τ y B m/s 2 Tværspænding fra bundfriktionen i henholdsvis x- og y-retningen Ψ Generel funktion afledt i sted, dækkende η,u og v ω s 1 Vinkelhastighed 5

7 Indhold 1 Indledning Problemformulering Læsevejledning Nomenklatur I Teori 9 2 Bølgeteori Lineære fladvandsligningerne i 1D Fremadskridende bølge Stående bølge Shoaling af lineære fladvandsbølger Ulineære fladvandsligninger i 1D Amplitudens indflydelse på bølgen Verifikationsudfordringer Udvidelse til 2D Fladvandsligningernes anvendelsesområde Vinddrevne strømninger og friktion Dybdevariation Friktion Setup Randbetingelser Reflektion Absorbtion Numerisk teori Diskretisering Diskretisering i tid Diskretisering i sted Randbetingelser

8 3.2.1 Reflektion Absorption Generering af bølger Stabilitetsanalyse II Implementering 32 4 Fortran Hukommelsesforbrug Hastighedsoptimering MATLAB-Fortran sammenspil Fremgangsmåde Brugervenlighed III Resultater 39 6 Lineære bølger Stående bølger Fremadskridende bølger Flad bund Variabel bund og shoaling Ulineære bølger Fremadskridende bølger Begrænsninger fra overfladehældningen Stående bølge Vindreven setup Flad bund Krum bund Von Neumann stabilitetsanalyse 76 IV Opsamling Evaluering af model Udvidelsesmuligheder 81 7

9 V Bilag 83 A Analyse af ulineære fladvandsligninger 84 B Stabilitets analyse 87 C Diskretisering i sted af staggered grid 95 D Kildekode til programmet HENNING D.1 source kode for: HENNING2045.f D.2 source kode for: main.m D.3 source kode for: runfortran.m D.4 source kode for: calcu.m D.5 source kode for: findt.m D.6 source kode for: vindpil.m D.7 source kode for: visual1.m D.8 source kode for: visual2.m D.9 source kode for: visual3.m

10 Del I Teori 9

11 Kapitel 2 Bølgeteori I det følgende vil fladvandsteorien blive gennemgået med henblik på en øget forståelse af modellen og resultaterne. En vigtig forudsætning i fladvands teori er, som navnet antyder det (på engelsk: shallow water theory), at vandet skal være lavt. Hermed forstås der, at bølgelængden skal være meget længere en vanddybden. Altså at kh 0 (Svendsen Jonsson, 1982). Idet bølgen er meget flad, h L, kan der regnes med hydrostatisk trykfordeling, hvor højden af vandsøjlen er den lokale dybde, η + h. Bunden antages også at være kun svagt hældende, det vil sige at h 1. Desuden antages w = 0. Trykgradienten x accelerer bølgen (Fredsøe, 1994) ( p η u = ρg x x = ρdu dt = ρ t + u u x + w u ) (2.1) z En anden central antagelse i fladvandsteori er, at partikelhastigheden regnes konstant over dybden, u = 0. Uden denne antagelse skulle Boussinesq led medtages. Et z lodret snit i x-retningen benyttes som kontrol volumen, og en analyse til tiden t og t + dt og stedet x og x + dx giver følgende (Fredsøe, 1994) (h + η)u dxdt = η dxdt (2.2) x t Ligningerne (2.1) og (2.2) kan skrives sammen til de generelle styrende ligninger for bølger på fladt vand og med svagt hældende bund gη x + u t + uu x = 0 ((h + η)u) x + η t = 0 (2.3) 10

12 2.1 Lineære fladvandsligningerne i 1D De konvektive led (uu x ) er af orden O(δ 2 ), hvor δ = H h, idet u er proportional med H h (Svendsen Jonsson, 1982). I denne 1. ordens analyse ser vi på lineære bølger, det vil sige bølger med en meget lille amplitude, H h, hvorfor der kan ses bort fra led af orden O(δ 2 ). Idet η også er proportional med H gør lignende ordensbetragtninger, at (h + η)u tilnærmes til blot hu. Ved ovennævnte tilnærmelser er de styrende ligninger for lineære fladvandsbølger (hu) x + η t = 0 u t + gη x = 0 (2.4) Fremadskridende bølge En overfladeprofil af en fremadskridende lineær bølge defineres som værende η(x,t) = H 2 cos(θ(x,t)) (2.5) Fra de styrende ligninger (2.4) ses det umiddelbart, at hastigheden må være i fase med overflade profilen for at (η,u) skal være en løsning til ligningerne (2.4). Et fornuftigt gæt på et udtryk for hastigheden er derfor u(x,t) = A cos(θ(x,t)) (2.6) Indsættes (2.5) og (2.6) i de styrende ligninger, (2.4) opstår et lineært ligningssystem i ω og k, som kræver en determinant identisk med nul for at have en løsning til ethvert (ω, k) (Eising, 1997). Er determinanten 0 kræver det at A = g H. h 2 For en bølge med konstant form haves Θ(x,t), som beskrevet i Svendsen Jonsson (1982) ( t Θ(x,t) = 2π T x ) = ωt kx (2.7) L Hvor k er bølgetallet og ω er vinkelhastigheden. Bølge udbredelses hastigheden, c er c = L/T = ω k. De styrende ligninger, (2.4), krydsdifferentieres og u xt elimineres. Ligningen i η ser da således ud 11

13 1 gη xx = η tt h Indsættes ligning (2.5) og (2.7) kan ligning (2.8)omskrives til (2.8) ω k = c = gh (2.9) Det ses af ligning (2.9), at hastigheden af bølgen hverken er amplitude eller frekvens dispertiv, men kun er afhængig af den dybde bølgen er på. Partikel hastigheden, u kan skrives om til Stående bølge u(x,t) = ch 2h cos(ωt kx) (2.10) Ved at addere to identiske, men modsatrettede, fremadskridende bølger fås en anden løsning til (2.4): η(x,t) = H cos(kx) cos(ωt) (2.11) Bølgen er ikke fremadskridende eller af konstant form, hvilket kan ses blandt andet ved, at der er knudepunkter i kx = pπ, p Z. For at ligningerne (2.4) skal være opfyldt for alle (x,t) kommer et udtryk for partikelhastigheden u(x,t) til at se således ud u(x,t) = A sin(kx) sin(ωt) (2.12) Ved på samme måde som i forrige afsnit, at indsætte (2.11) og (2.12) i de lineære fladvandsligninger (2.4), og kræve at determinanten for ligningssystemet i (u,η) er lig 0 fås A = g h H Shoaling af lineære fladvandsbølger Når dybden, hvorpå bølgen bevæges, varierer, ændrer bølgen karakter. Det ses blandt andet af ligning (2.9), hvor det ses, at bølgehastigheden er proportional med h. Det vides, at perioden, T er konstant, hvorfor bølgelængden også ændres, jævnfør definitionen for bølgehastigheden. Energifluksen igennem to snit vinkelret på bølgens retning vil være konstant forudsat at der ingen energitab er. Som argumenteret i Svendsen Jonsson (1982) er der i et lille lodret snit, dz, til tiden dt energien ( p ) 2 ρ(u2 + w 2 ) udzdt (2.13) 12

14 Hvor p + er trykket over det hydrostatiske i z = 0, som antager værdien p + = ρgη, idet der tidligere er argumenteret for, at der kan regnes med hydrostatisk trykfordeling. Det vides fra tidligere, at den lodrette hastighed, w = 0. Idet vi her vil lave en 2.ordens betragtning, ses der bort fra led af orden O(δ 3 ), hvorfor leddet indeholdende u 3 også smides bort. Energien i hele dybden til tiden t er derfor fundet ved vertikal integration over dybden af (2.13): E f (t) = η = p + u p + udz h η h dz = p + u(η + h) (2.14) Idet p + u er af orden O(δ 2 ) og η er af orden O(δ) ses der bort fra denne, da der kun ses på led med orden mindre end O(δ 3 ): E f (t) = p + uh = ρghηu = ρgh ( H 2 ) 2 g h cos2 (Θ) (2.15) Hvor udtrykket for partikelhastigheden u (2.10) og η (2.5) er indsat. Midles (2.15) over en periode er cos 2 (Θ) = 1, hvorfor udtrykket for middel energifluxen 2 bliver E f = 1 8 ρgh2 gh (2.16) Sammenlignes ovenstående med energifluxen i en stokes bølge ses det, at de to udtryk er ens, når det blot holdes i mente, at udbredelses hastigheden i fladvandsbølgen, i modsætning til stokes bølgen, er c = gh. Antages ingen energitab over en strækning hvor bunden ændres, er energifluxen i to vilkårlige lodrette snit ens. Bølgehøjden kan derved udtrykkes som funktion af den lokale dybde 13

15 E f,1 = E f,2 1 8 ρgh2 2 gh2 = 1 8 ρgh2 1 gh1 H 2 2 h2 = H 2 1 h1 (H2 H 1 ) 4 = h 1 h 2 (2.17) Det må derfor forventes små ændringer i bølgehøjden når dybden ændres. Når dybden mindskes i bølgens udbredelsesretning øges bølgehøjden. 2.2 Ulineære fladvandsligninger i 1D De styrende ligninger for ulineære fladvandsbølger er dem der ses i ligning (2.3). Det ses hvorledes de ekstra led der er kommet med er uu x og (ηu) x. Det bemærkes, at der ved opstilling af de ulineære fladvandsligninger ikke er gjort nogen tilnærmelser eller antagelser, hvad angår ordensbetragtninger. De normale fladvands approksimationer er dog stadig gældende, dvs. u regnes konstant over dybden og deraf er den lodrette hastigheds komponent w = 0 samt kh 0. Det er ikke umiddelbart nemt at finde en analytisk løsning til ligningerne (2.3). En perturbationsekspansion, som foreslået i Jonsson (1990) er ikke brugbar, idet perturbationsfaktoren er omvendt proportional med kh. En central antagelse i fladvandsteorien er, at denne er gående mod nul, hvorfor perturbationsfaktoren vil gå mod uendelig Amplitudens indflydelse på bølgen For at opnå et udtryk for bølge udbredelseshastigheden, c, analyseres ligningerne (2.3) med en kvasilineær metode. Metoden indebærer, at det ikke-afledte led i de ulineære led bliver betragtet som kontant. Eksempelvis bliver det konvektive led, u(x,t)u x (x,t) u 0u x (x,t), hvor u 0 er amplituden af u regnet som konstant. De øvrige komponenter, u og η tilnærmes med dem fundet fra lineær teori, (2.5) og (2.6). Dermed bliver det en implicit antagelse i den kvasilineære analyse at H < 1. H kan derfor have større h h værdier end i den lineære analyse men stadig ikke så store værdier som i en fuldt ulineære. 14

16 I samme stil som ved lineær analyse indsættes η og u i ligningerne (2.3). Som det ses i bilag A er determinanten for koefficient matricen til ligningssystemet i (η, u): gkhk ω 2 + gk 2 η 0 + ku 0(2ω ku 0) (2.18) Som tidligere kræves determinanten at være nul for at ligningssystemet skal have en løsning. Som det ses i bilag A kan dette reduceres til = ± gh H 2h ± gh ( 1 + H 2h ) = gh ± 1 + H 2h ± H 2h = ± ( ) ( ) 2 (2 ± 1)H H gh O( ) (2.19) 4 2h Hvor sidste linie er lavet ved en Taylor polynomie med en trunkeringsfejl på O( ( H 2). 2h) Det ses også, at der er fire løsninger til problemet. Vi vælger den positive, hvor amplitude dispertionen har mindst effekt. Årsagen er, at valget giver den største overensstemmelse mellem analytiske beregninger og modelforsøg. c = ( gh ) H (2.20) 4 h Som det ses af ligning (2.20) er bølge udbredelses hastigheden afhængig af bølgehøjden H. De ulineære fladvandsligninger forventes derfor at være amplitudedispertiv. Bemærk at udtrykkene for η og u er de samme i lineær og ulineær teori. Det ses også at for H h 0 vil c gh, som er den lineære bølgehastighed Verifikationsudfordringer Det store problem med at verificere den ulineære model er, at de ulineære fladvandsligninger numerisk løses eksakt i modellen, kun begrænset af diskretiseringsfejlen, som omtales senere. Det eneste sammenligning er tilnærmede analytiske løsninger, som set i forrige afsnit. Det vides fra blandt andet Svendsen Jonsson (1982), at bølgerne, der er løsning til (2.3), bevæges med en hastighed afhængig af den lokale overflade elevation: c = g(h + η), når H/h h 2 /L 2 altså stor amplitude. Det betyder, at bølgetoppen bevæger sig hurtigere end resten af bølgen og den bliver derved asymmetrisk. En anden konsekvens af, at toppen bevæger sig hurtigere end dalen er, at bølgen før eller siden vil bryde sammen på flad bund. Det vil ikke ske i praksis. En måde at undgå 15

17 at bølgen bryder sammen på grund af den voksende gradient er at tilføje Boussinesq led, som modvirker disse voksende gradienter. Det er derfor svært at sammenligne den ulineære bølgemodel med analytiske løsninger. Sammenlignerne laves derfor mellem centrale paramtre som eksempelvis den bølgeperioden. Af mangel på bedre sammenlignes den i modellen fundne periode med den der kan findes fra ligning (2.20). 2.3 Udvidelse til 2D For at udvide de styrende ligninger til 2D vendes der tilbage til udledningen af de grundlæggende ligninger. Eulers ligning, som før så ud som (2.1), ser i 3D således ud (x og y komponenterne er taget ud). Der er nu en trykgradient både i x-retningen og i y-retningen g η ( u x = g η y = t + u u x + v u y + w u ) z ( u t + u v x + v v y + w v ) z (2.21) Det gælder selvfølgelig også i y-retningen, at hastigheden regnes konstant over dybden. Derfor bliver impulsligningerne i 2D gη x + u t + uu x + vu y = 0 gη y + v t + uv x + vv y = 0 (2.22) Fra et 3D kontrol volumen kan det indses, at kontinuitetsligningen i 2D ser ud som følger ((h + η)u) x + ((h + η)v) y + η t = 0 (2.23) Udledningen af de 2D lineære ligninger sker med de samme antagelser og argumentation, som ved udledningen af de 1D lineære fladvandsligninger. Det ses af ligningerne, at der ikke er sket nogen uventede ændringer, men blot tilføjet ekstra led. Alligevel kan sammenligningen med analytisk løsning blive meget kompliceret, selv i en lineær udgave. Især tolkningen og fremstilling af denne. Sammenligningen bliver derfor begrænset til at sende en bølge afsted i x-retningen og sammenligne den med en analytisk 1D bølge. Samme gøres i y-retningen. Desuden modelleres en stående bølge, der har hastigheder i begge retninger, således at bølgen er stående i begge dimensioner. 16

18 2.4 Fladvandsligningernes anvendelsesområde Der er flere begrænsninger på anvendelsesområderne for de lineære og ulineære fladvandsligninger. En vigtig og meget central antagelse er, at kh er meget lille. I lineær teori er det meget nemt at lave et mål for fladvandsligningernes nøjagtighed. Den relative forskel mellem bølgehatigheden af en lineær fladvandsbølge og en lineær stokes bølge er c flad c stokes = kh tanh(kh) (2.24) Stokes bølgen er ikke udledt under nogen antagelser af værdien for kh og må derfor i denne sammenligning betragtes som den ønskede løsning. Forholdet, som funktion af kh, kan ses på figur c flad /c stokes kh Figur 2.1: c flad /c stokes som funktion af kh. Det bemærkes hvorledes der allerede ved kh = 0,56 er en afvigelse på 5% En anden antagelse er, at H/L er lille. Det er i dette tilfælde ikke informativt at sammenligne med Stokes lineær teori, idet H/L angiver hvor ulineær bølgen er. Hvis fejlen skal findes, skal der sammenlignes med en ulineær model. En mulighed er, at sammenligne den lineære fladvandsbølge med strømfunktionen, idet denne er en eksakt løsning af de styrende ulineære ikke fladvandsligninger (Skourup, 1998). En sådan sammenligning kan ses på figur 2.2. På figuren ses det, hvordan overfladeprofilerne afviger mere og mere for større værdi af H/L. Det dårlige resultat skyldes også, at vi har antaget, at den lineære overflade profil er tilstrækkelig i det ulineære tilfælde. Som det ses er ligningerne vi bruger som tilnærmet løsning til de ulineære fladsvandsligninger, ligning (2.5) og (2.6), ikke særlig gode. 17

19 0.5 Sammenligning mellem lineær bølge og stream function, H/L= η(x,t)/(h/2) Sammenligning mellem lineær bølge x/(l/2) og stream function, H/L= η(x,t)/(h/2) Sammenligning mellem lineær x/(l/2) bølge og stream function, H= η(x,t)/(h/2) x/(l/2) Figur 2.2: På figuren ses sammenligning mellem overfladeelevationen af en lineær fladvandsbølge og en bølge beregnet ved hjælp af et program, der findes på kh = 0,14, h = 50 m. Stiplet linier markerer bølgeprofilen beregnet fra kvasilineær fladvandsteori, mens fuldt optrukne er overflade profilen beregnet med strøm funktions teorien Som tidligere nævnt har vi ikke lavet en analytisk løsning til de ulineære fladvandsligninger, men blot brugt et sinusformet overfladeprofil. En sådan løsning måtte forventes at passe bedre end hvad der ses på figur 2.2. Modellen håndterer refraktion og shoaling idet vi, som tidligere argumenteret, har set hvorledes bølgehastigheden er afhængig af den lokale dybde. Det er netop dette fænomen, der fører til refraktion, hvorfor modellen håndterer dette. Modellen håndterer også diffraktion da den reagerer på overflade gradienter i begge retninger, η x og η y. Passerer et bølgetog en forhindring, hvor der bag den er en læside, vil der opstå overfladegradienter, som vil påvirke bølgefeltet. Modellen er dog ikke direkte designet med dette formål. Den numeriske implementering gør det derfor meget svært at vise og teste denne funktionalitet. 2.5 Vinddrevne strømninger og friktion Idet vinden blæser over et vandområde vil vandet blive trukket med af vinden. I et afgrænset vandområde vil det betyde, at vandspejlet vil hælde, idet vandet vil samle sig i den ende af bassinet som vinden blæser imod. Dette fænomen kaldes vindsetup. 18

20 Når bunden er plan, kan der opstå en stationær situation, hvor der ingen strøm er i bassinet. Hvis bunden ikke er plan, vil der, selv i den stationære tilstand, opstå mere komplicerede strømfelter. Leddene for vindfriktion indgår i impulsligningen (2.22). De er opskrevet herunder for henholdsvis x- og y-retningen, som formuleret af Per A. Madsen τ x w = f h W 2 cos(β) τ y w = f h W 2 sin(β) (2.25) Når disse led bliver inkluderet bliver impulsligningerne gη x + u t + uu x + vu y f h W 2 cos(β) = 0 gη y + v t + uv x + vv y f h W 2 sin(β) = 0 (2.26) hvor W er vindhastighederne 10 m over vandspejlet, h er vanddybden, β er vindens ρ vinkel med x-aksen, f = C luft w ρ vand er friktionsfaktoren og C w = 0,0026 er en empirisk friktionskoefficient mellem luft og vand. Det bemærkes, at dette er en stor simplifikation af den virkelige interaktion mellem en fri overflade og vind. Det er ikke svært at forstille sig, at strømningsfeltet på begge sider af overfladen bliver meget kompliceret når overfladen ikke er plan. Desuden bør friktionen gå imod nul, når vandhastigheden og vindhastigheden nærmes hinanden. Ovenstående ligninger beskriver derfor den tilnærmede situation hvor strømningshastigheden er nul. Det vil kun være en god tilnærmelse, når vindhastighederne er væsentlig større end strømningshastighederne. Simplifikationen retfærdiggøres imidlertidig i denne sammenhæng, da der ikke ses på vindgenerede bølger men på vindsetup, som er et fænomen, der optræder i større målestok end en enkelt bølge. Partikelhastighederne forventes derudover også er være væsentlig langsommere end vindhastighederne Dybdevariation Bundvariationen i modellen er meget vigtig. Som det fremgår af de tidligere afsnit har vanddybden betydning både for bølgers udbredelseshastighed, samt, som det vil fremgå, for friktionen fra vinden og bunden, se ligningerne (2.25) og (2.31). Uden bundvariation vil fænonmener som refraktion og shoaling ikke kunne opstå. Bundvariationen kan på analytisk vis eksempelvis beskrives som summen af to 2.grads polynomier, der afhænger af henholdsvis x og y. Det vil sige h(x,y) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 + a 2 y 2 + b 2 y + c 2 = a 1 x 2 + b 1 x + a 2 y 2 + b 2 y + h min (2.27) 19

21 Gradienten i x- og y-retningen findes analytisk til h x = 2a 1 x + b 1 (2.28) h y = 2a 2 y + b 2 (2.29) Hvis h min udtrykker den mindste vanddybde og resten af variablene, som vist på figur 2.3 får man at a 1 = h min zbulex zendx LBuleX (LBuleX 1) LBuleX l 2 x a 2 = h min zbuley zendy LBuleY (LBuleY 1) LBuleY l 2 y b 1 = h min zbulex zendx LBuleX 2 (LBuleX 1) LBuleX l x b 2 = h min zbuley zendy LBuleY 2 (LBuleY 1) LBuleY l y (2.30) Friktion Bundfriktionen har ifølge Svendsen Jonsson (1982) kun væsentlig betydning når ( HL = H L ) 2 h 2 L h > Da de styrende ligninger i denne undersøgelse er fladvandsligninger ligger den betingelse implicit at h < 0,05 for at disse ligninger er en god L tilnærmelse. Med de to betingelser må det også kræves at H < 20 = 0,05 for at L 20 2 bundfriktionen kan ignoreres. Fladvandsbølgen når imidlertidig at blive begrænset af ulineariteten, inden dette bliver et problem, se afsnit 2.4. Når der ses på tidevand, hvor bølgelængden er meget større end bølgehøjden, er det indlysende, at friktionen får stor betydning. Det samme gælder for vindsetup. Da en del af undersøgelsens formål er at se på vinddrevne strømninger, er det derfor naturligt at medtage bundfriktionen i impulsligningerne. Bundfriktionen kan ifølge Per A. Madsen defineres som τb x = g M 2 h u u 2 + v 2 4/3 τ y B = g (2.31) M 2 h v u 2 + v 2 4/3 hvor u og v er strømningshastighederne, h er dybden og M er Manning-tallet, som afhænger af bundforholdene og som typisk sættes til 32. Ønskes det at øge bundfriktionens betydning skal Manning-tallet, som det ses, mindskes. Med vind og friktion 20

22 inkluderet bliver impulsligningerne gη x + u t + uu x + vu y f h W 2 g cos(β) + M 2 h u u 2 + v 2 = 0 4/3 gη y + v t + uv x + vv y f h W 2 sin(β) + g M 2 h 4/3 v u 2 + v 2 = 0 (2.32) Setup Er bunden plan, er det forholdsvis enkelt at få et analytisk udtryk for overfladens hældning ud fra (2.32) og (2.22). I den stationære tilstand er hastighederne og de tidsafledte nul, og der fås derved følgende udtryk for overfladens hældning η x = η y = f g h W 2 cos(β) (2.33) f g h W 2 sin(β) (2.34) Et andet specialtilfælde fås, når dybden kun varierer på tværs af vindretningen, for eksempel som en parabel. Ved en kanal, som er dybest på midten, kan der regnes på hastigheden langs med kanalens sider. Der ses på den stationære tilstand og dermed er de tidsafledte nul. Vindretningen blæser i y-retningen, β = 90 og langs kanten, dvs., for x = 0 er u = h y = 0. Midt i domænet, y = L y /2, antages det at v y η y 0. Herved kan fås et tilnærmet udtryk for v det pågældende sted v 2 fw 2 M 2 h 1/3 g (2.35) 2.6 Randbetingelser De randbetingelser, der påtrykkes fladvandsligningerne afhænger af den ønskede model. I denne model arbejdes der ikke med åbne rande. Derfor sættes normalhastigheden på alle rande til nul. Det kan udtrykkes som u x=0 = u x=lx = 0 (2.36) v y=0 = v y=ly = 0 (2.37) Der er også nødvendigt at sætte randbetingelser for η. Denne betingelse findes fra impulsligningerne hvor henholdsvis u og v sættes til nul. Det bliver til η x x=0 = η x x=lx = 0 (2.38) η y y=0 = η y y=ly = 0 (2.39) 21

23 2.6.1 Reflektion Effektivt betyder lukkede rande, at en fremadskridende bølge vil blive fuldstændig reflekteret, og der vil kunne dannes en stående bølge. En analog situation opstår, når to bølger, der er identiske, på nær at de har modsat fortegn på ω eller k, mødes. Fra (2.11) og (2.12) haves følgende udtryk for hastigheden og overfladeelevationen η = H cos(ωt) cos(kx) (2.40) u = A sin(ωt) sin(kx) (2.41) Det ses at u altid er nul i x = 0 og x = π/k. Differentieres overfladeelevationen med hensyn til x fås η x = Hk cos(ωt) sin(kx) (2.42) Det ses at η x = 0 for x = 0 og x = π/k, hvilket er de samme steder som hvor u = 0. Hvis domænets længde defineres som værende π/k langt vil der haves et domæne, hvor ovenstående randbetingelser altid er opfyldt. Denne analogi kommer tydeligt til udtryk når randbetingelserne skal implementeres i den numeriske model Absorbtion Ønskes det ikke at en bølge bliver reflekteret, må der i et lukket domæne, indbygge en bølgeabsorber. Absorbtionszonen skal være mindst samme længde som bølgelængden for at være fuldt absorberende. Er den for kort vil noget af bølgen blive reflekteret. Der kan i den numeriske implementering af en bølgeabsorber, anvendes en relakseringsfunktion og en eksakt løsning, som beskrevet i Bingham Agnon (2002). Det er her vigtigt, for alle x eller y, at relakseringsfunktionen og dens to første afledte er kontinuerte. I modsat fald vil en diskontinuitet i den 2. afledte forårsagde, at noget af bølgen reflekteres ved dette knæk. Denne relakseringsfunktion skal virke på η, u og v. 22

24 z x Lx hmin zendx zbulex Bund LBuleX z y Ly hmin zendy zbuley Bund LBuleY Figur 2.3: Illustration af de størrelser som definerer bundprofilet i 2 dimensioner. 23

25 Kapitel 3 Numerisk teori 3.1 Diskretisering Idet der ønskes en numerisk løsning af de partielle differentialligninger (2.3), skal der vælges en diskretiseringsmetode af variablerne i domænet. De mest nærliggende metoder er finite volume og finte difference. Den første metode er nærliggende, hvis løsningsdomænet har en kompliceret geometri. Ulempen ved volume element i forhold til finte difference er, at den er vanskeligere at implementere. Da løsningsdomænet er et simpelt rektangel, er der derfor ingen grund til at vælge andet end finte difference. Den næste overvejelse vedrører fordelingen af netpunkter i domænet. Der er også her flere valgmuligheder. Der kan vælges mellem at bestemme alle variablene samme sted, kaldet non-staggered. Der kan også vælges at bestemme alle variable i punkter forskudt fra hinanden, kaldet staggered. Den umiddelbare fordel ved staggered, for det foreliggende problem, ligger i, at det er nemt at beskrive en lukket rand. Det nemme bunder i, at man ikke nødvendigvis behøver at kende overfladeelevationen på randen.; dette vil blive beskrevet afsnit 3.2. Ulempen ved en staggered netstruktur er først og fremmest, at det er nødvendig med interpolation af variablene for at bestemme deres værdier oven i de andre variable. Desuden forringes stabiliteten noget. Dette vil blive nærmere beskrevet i afsnit og 3.3. Da det aktuelle løsningsdomæne er lukket, er fordelene ved et staggered netstruktur dog større end ulemperne, og der vælges derfor den forskudte netstruktur. Ud over fordelingen af variablene kan det også overvejes, om skridtafstandene i tid og sted skal være konstante eller variable. For at reducere trunkeringsfejlen i diskretiseringen, kan det være hensigtsmæssig at reducere skridtafstanden i de områder af løsningsdomænet, hvor de højere afledede for den pågældende variabel er store. Forklaringen ligger i, at trunkeringsfejlen afhænger af de led, som der ses bort fra i Taylorudviklingen af den pågældende variabel. Disse led er et produkt af variablens afledte i sted af en given orden samt skridtlængden opløftet i en given potens. I 24

26 områder med store hastighedsgradienter vil den afledte også blive stor. For at holde leddet og dermed trunkeringsfejlen lille må skridtlængden derfor reduceres. Eftersom løsningen ikke forventes at indeholde områder med særligt store gradienter, vælges en konstant skridtlængde i tid og sted. Efter disse indledende overvejelser med hensyn til diskretiseringen vil diskretiseringen i tid og sted blive nærmere gennemgået Diskretisering i tid Stærkt inspireret af Wei et al. (1995) vælges en Adams-Bashforth-Moulton metode til at skridte frem i tid. Denne metode tilhører familen predictor-corrector. I tråd med artiklen, vælges et eksplicit 3. ordens Adams-Bashforth skema som predictor, og et implicit 4. ordens Adams-Moulton skema som corrector. Da metoderne altså bruger henholdsvis 3 og 4 punkter vil de ifølge definition fra Ferziger Peric (2002) have ordenen O( t 3 ) henholdsvis O( t 4 ). Lader vi Ψ n betegne de sted-afhængige led til tidsskridet n i et givent punkt (x,y) og Γ n den tidafhængige variabel til tidsskridtet n i samme punkt (x,y) ser predictor skemaet således ud Γ n+1 Γ n + t ( 23Ψ n 16Ψ n 1 + 5Ψ n 2) (3.1) 12 og corrector skemaet Γ n+1 Γ n + t ( 9Ψ n Ψ n 5Ψ n 1 + Ψ n 2) (3.2) 24 Det skal her bemærkes, at de valgte høje ordens skemaer i tid, ikke er tvingende nødvendigt for at få nøjagtig løsninger af de lineære eller ulineære fladvandsligninger. De er valgt for at gøre det simpelt senere, at inkludere højere ordens Boussinesq led. Her er de til gængæld også nødvendige, idet den situation opstår, at kildeleddene til trunkeringsfejlen er af samme form som de dispertive Boussinesqled i de styrende ligninger (Wei et al., 1995). Den iøjefaldende ulempe ved disse højere ordens predictor-corrector skemaer er, at de benytter løsningen fra tidligere tidsskridt og derfor kræver mere hukommelsesplads. En anden ulempe er at stabilitetskravene strammes og tidsskridtet derfor skal være kortere end for metoderne af lavere orden, se afsnit 3.3. Ideen bag predictor-corrector konceptet er, kort fortalt, at kombinationen af predictor og corrector giver en væsentlig mere stabil metode end metoderne hver for sig. Dette bliver gennemgået nærmere i afsnit Diskretisering i sted Diskretiseringen af domænet med fordelingen af de diskrete variable er vist på figur

27 De stedsligt første ordens afledte er diskretiseret med en 4 punkts centered difference skema, CDS, af orden O( ζ 4 ). Derved bliver den førsteafledte på dette staggered net diskretiseret til samme orden som Wei et al. (1995). Hermed fås ϑ ζ ϑ ww 27ϑ w + 27ϑ e ϑ ee 24 ζ (3.3) Subindicerne ww, w, e og ee henviser til punkterne (-1 1, - 1, 1,1 1 ) ζ fra udviklingspunket regnet positiv mod højre (øst). Skemaet er udledt fra tilpasningen af et 3.grad spolynomie til de fire punkter. For at beregne de ulineære led numerisk, er det nødvendigt med interpolation af variablene i det tilfælde hvor, for eksempel, η t afhænger af u. I de tilfælde hvor værdien af u eller v ønskes kendt i et punkt hvor η er defineret, interpoleres der med et 3. ordens polynomie. Når det er nødvendigt at kende u ved v eller omvendt, y : η : U : V j u, η v u v,η i x Figur 3.1: Skematisk opstilling af det diskrete domæne med placeringen af variablene indtegnet. Desuden er nummereringen af indeks for de diskrete variable vist. 26

28 interpoleres variablene først ind på et punkt hvor en diskret værdi af η, og herefter bruges igen et 3. ordens polynomie. 3.2 Randbetingelser Reflektion På figur 3.2 ses punkterne tættest på randen. Diskretiseringen kan forklares fra, at reflektionen, som tidligere nævnt, analytisk kan simuleres ved at addere en virtuel spejlet bølge med den virkelige. Spejlingsaksen er selvfølgelig randen, hvorfor formen af den virkelige og den virtuelle bølge er den samme på hver side af randen. Partikel hastighederne er derimod modsat rettede på hver side af randen, hvorfor følgende gælder u x= x = u x= x (3.4) Hvor u x= x angiver hastigheden i afstanden x vinkelret fra randen. Ved at udnytte gradienten af η er nul på randen og at den virtuelle bølge er af samme form, blot spejlet fås det η x= x = η x= x (3.5) De to betingelser indsættes i den generelle 4 punkts centered difference scheme, ligning (3.3). Ordnen af skemaet påvirkes ikke idet udtrykkene (3.4) og (3.5) er baseret på en eksakt analytisk modellering af randbetingelserne. Randbetingelserne er her gennemgået i et 1D tilfælde. I 2D er y-retningen fuldstændig analog til x-retningen. Hjørnepunkterne bliver ligeledes ikke problematiske, da ingen variable er defineret i de punkter. Ughost = Ui+1,j = Ui,j U i+1,j dx/2 dx ηghost=η i,j η i,j x Figur 3.2: Randbetingelser i η og u. 27

29 3.2.2 Absorption Ved den praktiske implementering af randbetingelsen er der før absorptions-/relaksationszonen også lagt en lille numerisk buffer, som skitseret på figur 3.3. Grunden til at indlægge en sådan er, at så kan spejlingsrandbetingelsen påtrykkes randen. Idet de to første punkter i henhold til figur 3.3 udregnes rent analytisk kan det tredie punkt, som er det første der udregnes numerisk, ikke mærke spejl-betingelsen. Grunden til at den ikke kan mærke randen er, at vi benytter et fire punkts centered difference scheme, som kun refererer til de nærmeste to punkter til hver side. Fordelen er så, at hele modellen kan bygges op med spejlende rande langs alle kanter og ved de kanter, hvor der ønskes absorption kan relaksationszonen slåes til. 1 Cr x Figur 3.3: Skitse af relaksations koefficienten Cr som funktion af x. Funktionsforløbet er ikke det der benyttes i programmet, da figuren kun skal bruges til at illustrere beliggenheden af den numeriske buffer. Relaksation funktionen der bruges er Cr(x) = sech(κx ) x L relaks y sech,min = 2 e κx + e κx x L relaks y sech,min (3.6) hvor y sech,min = sech(κl relaks ), L relaks er længden af relaksationslaget og κ er en faktor, der gør, at funktionen strækkes således, at førnævnte gælder, når y sech,min og L relaks specificeres. x er afstanden fra enden af den numeriske bufferzone. Cr(x /L relaks ) kan ses på figur 3.4. Måden metoden benyttes på er her vist for η η(x) = Cr(x)η analytisk (x) + (1 Cr(x))η numeriskskema (x). (3.7) Generering af bølger Genereringen af bølger er tæt forbundet med absorptionszonen, der er omtalt i afsnittet ovenfor. Den analytiske funktion, der bliver multipliceret på, vil i tilfælde af 28

30 genererede bølger blot være et analytisk udtryk for η, u og v, hvorimod den ved absorption vil være 0. På denne måde kan numerikken få den mest simple struktur. 1 y sech,min =0,1 y sech,min =0,01 y sech,min =0,001 y sech,min =0,0001 y sech,min =0,00001 y sech,min =10 10 CrFunk=e κ x Cr x /L relax Figur 3.4: Relaksationskoefficient som funktion af x for forskellige værdier af y sech,min. Funktionen ses i ligning. (3.6) 29

31 3.3 Stabilitetsanalyse Der laves i det efterfølgende en Von Neumann stabilitetsanalyse af de diskretiserede lineære fladvandsligninger i een dimension på flad bund. Der indsættes perturbationer af formen η(j,n) = η 0 σ n e ijα u(j,n) = u 0 σ n e ijα (3.8) Hvor i er den imaginære enhed i = 1, j er skridtet i x-retningen, n er skridtet i tiden og α er en arbitrær bølgefase af pertubationen. Formålet med stabilitets analyses er at sætte nogle betingelser således at σ 1. Længden af σ skal være mindre end 1 for at sikre, at perturbationsløsningen ikke eksploderer. Indsættes (3.8) i (3.1) eller (3.2) indses det, at der indgår σ i en potens i alle leddene. Med hensyn til diskretiseringen i x-retningen kommer der her til at indgå led med e iα samt en faktor på alle led af formen: e ijα. Eksempelvis vil en 2 punkts centered difference i u blive til u x = u(j + 1,n) u(j 1,n) 2 x = u 0 σ n ei(j+1)α e i(j 1)α 2 x = u 0 σ n ijα i sin(α) e x (3.9) Diskretiseringen i stedet ændres selvfølgelig ikke i tiden, hvorfor faktoren stammende fra diskretiseringen i x er konstant for alle n. Således omskrives de stedlige diskretiseringer i henholdsvis u og η som η x (j,n) = η 0 ξ(α)σ n e ijα u x (j,n) = u 0 ξ(α)σ n e ijα (3.10) Hvor ξ er afhængig af den diskretiseringsmetode der benyttes. ξ fra eksemplet ovenfor er derfor ξ = i sin(α) x max = i i sin(α). Grunden til er vurderet op er for at få x x σ 1 for alle α. Eksempelvis kommer Adams-Bashforth skemaet for massebevarelsen til at se således ud η n+1 η n = h t 12 (23u x(n,j) 16u x (n 1,j) + 5u x (n 2,j)) η 0 e ( ijα σ n+1 σ n) = u 0 hξeijα ( 23σ n 16σ n 1 + 5σ n 2) 12 σ 3 σ 2 = u0 hξ ( 23σ 2 16σ + 5 ) (3.11) η 0 12 Ved at opstille de to lineære fladvandsligninger i η 0 og u 0 fremkommer et homogent ligningssystem, som kræver determinant lig 0 for at have en løsning. Fra 30

32 denne determinant opstår et polynomium i σ, hvor produktet Cu 2 = t 2 ξ 2 gh indgår. Ved at lade dette produkt gennemløbe både positive og negative tal omkring nul og finde rødder i σ kan det med god nøjagtighed bestemmes hvornår σ > 1, altså hvor systemet er ustabilt. Ved analysen af Adams-Bashforth-Moulton indsættes det implicitte led taget fra den eksplicitte Adams-Bashforth. Som det sker ved selve kodningen af programmet, findes eksempelvis η n+1 fra Adams-Bashforth, massebevarelse. Den sættes ind i Adams-Bashforth-Moulton impulsligning. Det efterlignes i stabilitetsanalysen, hvor σ = σ(ξ,u 0,η 0, g, h) findes fra Adams-Bashforth og substitueres ind på højresiden i Adams-Bashforth-Moulton skemaet (3.2) til tidsskridtet n + 1. Stabilitets analysen kan ses i bilag B. I bilaget er Adams-Bashforth, Adams- Moulton og Adams-Bashforth-Moulton analyseret, samtidig med at ξ er fundet for forskellige diskretiseringsmetoder. Couranttallet defineres som Cu = t gh (3.12) x I tabel 3.1 ses begrænsninger på Couranttallet til forskellige diskretiseringer. Tabel 3.1: Stabilitet for Adam-Bashforth-Moulton skema til forskellige diskretiseringer. 2. række i tabellen viser ξ til de undersøgte diskretiseringer. 2. kolonne viser begrænsningen på γω Gen. stab. betingelse 2 punkts CDS 4 punkts CDS 4 punkts CDS Staggered ξ = Ω h = γ g - i x A-B 0 γω 0,524 Cu 0,724 Cu 0,543 Cu 0,310 A-M Ubetinget ustabil A-B-M 0 γω 1,390 Cu 1,179 Cu 0,884 Cu 0,505 Det ses, at stabiliteten falder ved højere orden i x- diskretiseringen. Det bemærkes også, at stabiliteten falder ved brug af staggered grid. Stabiliteten falder så meget, at en Adam-Bashforth-Moulton på staggered grid er mindre stabil end en Adam- Bashforth på ikke staggered grid. Desuden ses det, at Adams-Moulton skemaet for sig selv er ubetinget ustabilt. Iterationerne, der udføres i programmets corrector del, kan således ikke konvergere, uden at der findes et fornuftigt startgæt. I vores tilfælde leveres det af Adams-Bashforth. Det understreges, at analysen er lavet for lineær ligninger på flad bund i 1D. Resultatet giver derfor blot en indikation af hvordan stabiliteten af skemaet er ved, eksempelvis, variabel bund eller når de ulineære fladvandsligninger løses. i4 3 x i7 3 x 31

33 Del II Implementering 32

34 Kapitel 4 Fortran 4.1 Hukommelsesforbrug For at begrænse hukommelsesforbruget ved udregningerne af mange tidsskridt er der valgt kun at lagre de sidste 4 tidsskridt i RAM, som er dem programmet hele tiden arbejder med. Herved bliver antallet af tidsskridt kun begrænset af tid og harddisk plads, hvor det sidste sjældent er en begrænsning. Ulempen er, at skrivehastigheden til harddisken bliver en stor flaskehals i nyere systemer med hurtige CPU er. Dette bliver særligt udtalt, når der i hvert tidsskridt skal skrives flere variable til seperate filer. Her bruges der ikke blot forholdsvis megen CPU tid på skrivningen; filerne bliver også voldsomt fragmenteret, hvilket sænker den senere læsehastighed meget. En anden måde at begrænse hukommelsesforbruget på, er at beskrive variablene med mindre præcision. I den aktuelle implementering er benyttet double precision hvilket kræver 8 bytes per element. Her kunne være benyttetsingle precision repræsentation af variablene, som kræver 4 bytes per element. Denne løsning udskyder dog kun det uafvendelige, idet der kun vindes en faktor 2 på det samlede antal elementer. Dermed vil der med stor sandsynlighed alligevel skulle skrives løbende til harddisken. 4.2 Hastighedsoptimering Når der skrives numeriske koder, som skal lave større beregninger, er det vigtigt at skrive koder, der afvikles effektivt på computeren. De faktorer, der påvirker effektiviteten, kan inddeles i to grupper. Den ene gruppe er de faktorer som påvirker effektiviteten uanset systemarkitekturen og den anden gruppe er afhængig af systemarkitekturen. Den sidste gruppe er vanskelig at beskrive uden at have nøje kendskab til computerens indre funktionalitet. Den vil derfor ikke blive berørt nærmere. Den første og generelle gruppe vil derimod blive undersøgt nøjere. 33

35 Alle beregninger i en computer sker på det laveste nivau i det binære talsystem. Den sædvanlige repræsentationen af tal og de fire regnearter i 10-tals systemet, addition, substraktion, multiplikation og division, skal derfor omsættes til det binære talsystem før de kan beregnes. En vigtig pointe er her, at division er en væsentlig mere krævende omsætning end de 3 andre. Det er derfor hensigtsmæssigt, at undgå division i størst muligt omfang. Det har især betydning i løkker, som kan blive gennemløbet tusindvis af gange. Løkker bør også holdes fri for overflødige beregninger. Denne omskrivning og optimering af kode har den ulempe, at kodningen tager tid og koden kan blive uoverskuelig. Graden af optimering bliver derfor, som så meget andet, et spørgsmål om at finde et fornuftigt kompromis. Koden til denne implementering er et forsøg i den retning. En anden vigtig pointe er hvordan programmeringssproget lagrer variable i flere dimensioner i hukommelsen. Hukommelsen kan anses for at være endimensionel. Flerdimensionelle variable må derfor nødvendigvis blive gjort endimensionelle, før de lagres i hukommelsen. I Compaq Visual Fortran og de fleste andre Fortranimplementeringer sker dette ved at den sidste dimension, hørende til det sidste indeks i en variabel, lægges i forlængelse af hinanden. Dette kaldes column major. Det vil sige at en todimensionel variabel lagres kolonnevis i hukommelsen. I programmeringssproget C, vil en todimensionel variabel blive lagret rækkevis og den form kaldes row major. (Metcalf Reid, 2002) Når der arbejdes med flerdimensionelle variable i løkker, skal der ikke arbejdes på tværs af denne strutur i hukommelsen. Ellers bliver resultat en væsentlig langsommere afvikling af programmet ifølge hjælpfilen til Compaq Visual Fortran. I praksis vil mange komercielle kompilere have mulighed for at kompensere for de ovennævnte svagheder i kildekoden, når maskinkoden, også kaldet objektkoden, dannes. Det er dog meget svingende hvor meget optimeringen, fra kompilerens side, kan ændre i afviklingstiden for et program. Det afhænger meget af hvad programmet i det hele taget foretager sig. Dette kan illustreres ved, at forskellen mellem ingen og maksimal optimering af HENNING2045 kildenkoden er omkring 20 % i afviklingstid. Optimering af et andet program, som har alle tidskridt i RAM, gav en reduktion i afviklingstid på omkring 70 %. Problemet med HENNING2045 er, at skrivning af de binære filer skal ske som direct access. Dette betyder, at kompileren ikke har mulighed for at benytte iobuffering. Det vil sige, at RAM bliver benyttet som buffer og programmet kan dermed skrive større mængder af data til harddisken samtidig. 4.3 MATLAB-Fortran sammenspil MATLAB har en af sine stærkeste sider i visualiseringen af data. Et af MATLABs største svagheder er hastigheden hvormed den afvikler kode, her tænkes især på 34

36 løkker. Fortran svagheder og styrker ligger helt modsat og det er derfor oplagt at forsøge at få det bedste fra begge verdener. For at opnå dette er det nødvendigt, at programmerne kan udveksle data. Dette kan gøres på flere måder, som har det til fælles, at harddisken benyttes som midlertidigt lager. Den metode, som er valgt, er, at information flyttes fra MATLAB til Fortran via mat-filer, som er MATLABs binære dataformat. Den anden vej flyttes informationen dels i mat-filer og dels i et generelt binært dataformat. mat-filer kan læses og skrives i Fortran ved hjælp af funktioner, der ligger i biblioteker, som følger med MATLAB. Navnet på disse biblioteker er libmx.lib og libmat.lib og de findes i MATLABs installationsfolder under \extern\lib\win32. Det skal bemærkes, at der findes flere udgaver til hver deres udviklingsmiljø. Her er valgt version hørende til Digital Fortran 6.0, som er en foreløber til Compaq Visual Fotran. Fortranbibliotekerne indholder imidlertidig ikke selve funktionen, men linker videre til en række dynamic links liberieseller dll-filer. Det er derfor nødvendigt at have MATLAB installeret, for at kunne afvikle Henning2045 i den aktuelle implementering. De binære filer i det generelle dataformat skrives af Fortran og læses af MATLAB uden større vanskeligheder. Årsagen til, at der ikke udelukkende benyttes det generelle binære dataformat bunder i en akademisk interesse for at anvende MATLABs binære dataformat. Undersøgelsen af dette format har vist en svaghed i det funktionsbibliotek, som følger med MATLAB Release 12. Svagheden ligger i, at en variable skal skrives til en mat-fil på én gang. Derved er det ikke nok at have 4 tidskridt i hukommelsen og hukommelsesforbruget kan derved ikke begrænses. Det er endnu en årsag til, at det generelle binære dataformat benyttes. En anden svaghed er, at kun variable af højest 2 dimensioner kan lagres i mat-filerne. Disse svagheder er muligvis rettet i MATLAB release 13. I stedet for at vente på MATLAB release 13 er der også den mulighed at optimere på I/O implementeringen i HENNING2045. En ide, som der ikke har været tid til at implementere, består i at gemme mere end 4 tidsskridt i hukommelsen. Med mellemrum, for eksempel når 50 % af systemhukommelsen er fyldt op, skrives disse tidsskridt til harddisken. Dette forbedrer HENNING2045 på tre områder. For det første går en langt større del af CPU-tiden med at regne. For det andet bliver den gennemsnitlige skrivehastighed langt større på harddisken når større elementer skrives. Sidst men ikke mindst bliver filerne mindre fragmenteret. Ved få ændringer i Fortran kildekoden kan HENNING2045 gøres uafhængig af MATLAB. Muligheden åbnes derfor for sammenspil med andre programmer og grafiske præsentationer af resultater. 35

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning 3-ugers kursus, s011337 og s011394 Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Kapitel 7 STED DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Adam Brun Afdeling for Grundvand, Affald og Mikrobiologi, DHI - Institut for Vand og Miljø Nøglebegreber: Randbetingelser, stationær, ikke stationær,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

VARME OG STOFTRANSPORT Suppleringsopgaver

VARME OG STOFTRANSPORT Suppleringsopgaver INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS VARME OG STOFTRANSPORT Suppleringsopgaver Ingeniørhøjskolen i Århus Januar 2009 Udgave: 01 Suppleringsopgaver Side 2 af 18 Indholdsfortegnelse Suppleringsopgave 1... 3 Suppleringsopgave

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

COMPUTER ANATOMI. 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE

COMPUTER ANATOMI. 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE COMPUTER ANATOMI 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE 1 Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Opbygning s.2 Kapitel 2: CPU s.3 Kapitel 3: Motherboard s.4 Kapitel 4: Ram s.6 Kapitel 5: Grafikkort s.7 Kapitel

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Modulationer i trådløs kommunikation

Modulationer i trådløs kommunikation Modulationer i trådløs kommunikation Valg af modulationstype er et af de vigtigste valg, når man vil lave trådløs kommunikation. Den rigtige modulationstype kan afgøre, om du kan fordoble din rækkevidde

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999 )LDVLHO$DO\VH 3. september 1999 1\XONXSRUHHVUXNXUPRGHO 8LEDNVRIILFLHOOHXONXSRUHHVUXNXUVNLIHVXGIUDGHXY UHGH1HOVR 6LHJHOPRGHOLOHPHUHNRPSOLFHUHPRGHO 'H\HPRGHOJLYHUEHGUHILLJDISULVHUSnVDVREOLJDLRHURJHOLPLHUHUEODG

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger. Anvendt på tennisbold med topspin

Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger. Anvendt på tennisbold med topspin Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger Anvendt på tennisbold med topspin KORT AFGANGSPROJEKT (4. SEMESTER, MSC) MAJBRITT SLOTH THOMASSEN MATEMATIK & STATISTIK AALBORG

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Indholdsfortegnelse Indledning Prisudvikling 2.1 Prisudviklingen fra 2014 til

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere