Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393."

Transkript

1 Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur 1 viser syv broer i byen Königsberg. Er det muligt at begynde en vandring i et af de fire områder, således at man går over hver bro netop én gang og vender tilbage til udgangspunktet? Er det muligt at placere en springer i øverste højre hjørnefelt af et skakbræt og derefter flytte springeren, således at hvert felt besøges netop én gang, og således at springeren vender tilbage til udgangspunktet? Begge spørgsmål blev besvaret af den schweiziske matematiker og fysiker Leonhard Euler ( ). Men selvom de to problemer har en overfladisk lighed, tilhører de problemtyper af vidt forskellig art. Den første problemtype forstår man fuldstændigt, og man kan løse konkrete eksempler ved hjælp af en effektiv metode. Det andet problem tilhører en klasse af ekstremt vanskelige problemer, for hvilke man ikke kender effektive løsningsmetoder. Denne skarpe grænse mellem»lette«og»svære«problemer spiller en stor rolle i moderne matematik. For en given problemtype kan det være af stor praktisk betydning at afgøre, på hvilken side af grænsen problemtypen befinder sig. Er det f.eks. muligt at beregne den korteste distance, en robotboremaskine må bevæge sig for at bore 1000 huller i en metalplade? Figur 1: Eulers tegning af broerne i Königsberg. De Königsbergske broer De to førstnævnte problemer kan afgøres i et endeligt antal skridt: Man kan gennemgå samtlige muligheder for vandringer. Men allerede Euler gjorde opmærksom på, at den fremgangsmåde er for tidskrævende. Der er behov for en simplere metode, en effektiv algoritme. Euler løste de Königsbergske broers problem ved først at simplificere Figur 1. Figur 2 viser det samme som Figur 1. Blot er landområderne punkter, og broerne er kurver mellem punkterne. Disse kurver vil vi kalde kanter. Punkterne og kanterne udgør tilsammen en graf. Antallet af kanter, der udgår fra et punkt, er punktets valens. De Königsbergske broers problem består nu i at gennemløbe grafen i Figur 2, således at hver kant gennemløbes netop én gang, og således at man slutter i udgangspunktet. En sådan vandring kaldes en lukket Eulertur. Hvis en graf har en lukket Eulertur, kaldes den en Eulergraf. Hvis C A B Figur 2: Broerne i Königsberg som en graf. D

2 Broer, skak og netværk Side 2 af 6 vi fokuserer på et vilkårligt punkt i en Eulergraf, ser vi, at hver gang vi vandrer ind til punktet, så må vi umiddelbart derefter vandre ud ad en anden kant. Valensen må altså være lige. Omvendt kan man vise, at hvis alle valenser i en sammenhængende graf er lige, så har grafen en lukket Eulertur. Og den er ikke svær at finde. Denne nødvendige og tilstrækkelige betingelse for en lukket Eulertur kaldes Eulers Sætning. Et hurtigt blik på Figur 2 viser, at der er punkter med ulige valens. Grafen er altså ikke en Eulergraf. Før vi omtaler springerproblemet fra indledningen, vil vi give eksempler på andre problemtyper, man kan løse effektivt. Ægteskabsproblemet og jobtildelingsproblemet Ægteskabsproblemet består i at afgøre, om en given mængde mænd m 1, m 2,, m s kan blive gift med (nogle af) k 1, k 2,, k t i en mængde af kvinder, når vi tillader ægteskab mellem to personer af forskelligt køn, hvis og kun hvis de kender hinanden. En oversigt over bekendtskaber kan gives som en graf i Figur 3, hvor mændene er punkter i venstre side, kvinderne er punkter i højre side, og hvor bekendtskaberne er kanter. En nødvendig betingelse for, at alle mænd kan giftes, er, at hver mand kender mindst én kvinde (dvs. han har valens mindst én). Der må også være mindst lige så mange kvinder som mænd. Figur 3 viser to situationer, hvor begge disse betingelser er opfyldt. På Figur 3 (a) er tre mænd gift, og pardannelsen kan ikke udvides. Men på Figur 3 (b) (som er samme graf som 3 (a)) er alle fire mænd gift. På Figur 3 (c) er det ikke muligt at få alle mænd gift, fordi mændene nr. 1, 3, 4 og 6 tilsammen kun kender tre kvinder, nr. 1, 2 og 4. k mænd må tilsammen kende mindst k kvinder. Betingelsen har vist sig at være både nødvendig og tilstrækkelig for, at alle mænd kan giftes. Dette smukke resultat danner grundlag for pardannelsesteorien. Jobtildelingsproblemet er et generelt problem. Det består i at anbringe n mænd m 1, m 2,, m n på n jobs j 1, j 2,, j n, således at den samlede produktivitet maksimeres. Der er på forhånd opgivet n 2 tal a ik, hvor a ik er produktiviteten af mand m i på job j k. Hvis G er en graf, og P er en mængde kanter i G, så kaldes P en parring, hvis ethvert punkt er endepunkt for højst én kant i P. Hvis alle kanter i G er tildelt et positivt tal, som vi kalder kantens vægt, så siger vi, at vægten af P er summen af vægtene i kanterne i P. I 1965 fandt man en sofistikeret og effektiv algoritme til at finde en parring af maksimal vægt. Denne betydningsfulde algoritme, som ikke er let at beskrive, er en del af grundlaget for diskret optimering, som er en vigtig del af operationsanalysen. Jobtildelingsproblemet kan løses ved f.eks. at anvende parringsalgoritmen på den graf, hvor punkterne er mænd og jobs, og hvor der er en kant fra hver mand til hvert job. (a) (b) (c) Figur 3: Eksempler på ægteskabsproblemet.

3 Broer, skak og netværk Side 3 af 6 Tennisbanefejning, plotterproblem og det kinesiske postbud Vi vil nu illustrere, hvorledes de ovennævnte fundamentale problemstillinger kan kombineres. Figur 4 viser en tennisbane. En spiller skal feje striberne på den højre halvdel af banen, så den samlede vandring minimeres. Kosten hentes og afleveres foroven ved nettet. Vi kan betragte striberne som en graf G. Vi danner nu en ny hjælpegraf H, hvis punkter er de punkter i G, som har ulige valens. H indeholder alle mulige kanter. Til enhver kant i H knyttes en vægt, nemlig afstanden mellem endepunkterne. Vi finder nu en parring bestående af kanter i H, så alle punkter i H indgår i parringen, og således at den samlede vægt er mindst mulig. En sådan parring er angivet med røde linjer på Figur 5. Vi tilføjer denne parring i H som nye kanter i G og opnår derved en Eulergraf. En lukket Eulertur i den udvidede graf (som er antydet på Figur 5 (a)) løser fejningsproblemet. De røde linjer angiver, hvorledes man bevæger sig uden at feje. Den samlede længde af disse kanter er 20,10 m. Stribernes samlede længde er 73,12 m. Den samlede vandring bliver altså af længde 93,22 m. En lignende metode løser den variant af problemet, der består i, at kosten afleveres forneden ved nettet. Den samlede længde bliver lidt større, nemlig 95,80 m, og løsningen er angivet i Figur 5 (b). (a) 10,97 m 8,23 m (b) 11,88 m 6,40 m Figur 4: Striber på en tennisbane. Tennisbaneproblemet er et specialtilfælde af et mere betydningsfuldt problem: En plotter skal tegne en kompliceret graf (f.eks. vejene i en storby), således at den samlede spildtid minimeres. Ved spildtid forstås her den tid, plotteren bruger til at bevæge sig fra et punkt til et andet uden at tegne. Metoden anvendt til tennisbanefejningen generaliseres let til at give en Figur 5: Fejning af tennisbane. effektiv algoritme til løsning af plotterproblemet. Det kinesiske postbuds problem består i at gennemløbe et netværk (dvs. en graf, hvor hver kant har en længde), således at hver kant gennemløbes mindst én gang, og således at den samlede vandrings længde minimeres. Man skal slutte i udgangspositionen (dvs. posthuset, hvis man tænker på problemet som et postomdelingsproblem). Løsningsmetoden er den samme som for plotterproblemet, blot med den forskel, at vægtene i hjælpegrafen H nu ikke er de Euklidiske afstande (altså afstandene i lige linje), men afstandene i netværket. Også disse afstande kan findes ved en effektiv algoritme.

4 Broer, skak og netværk Side 4 af 6 Hamiltonkredse, firfarveproblemet og grafisomorfi De problemtyper, vi har omtalt indtil nu, kan alle løses ved hjælp af effektive algoritmer, om end det kan være vanskeligt at finde disse algoritmer. Det forholder sig anderledes med den problemtype, der indeholder det springerproblem, som vi nævnte i indledningen. Figur 6 viser Eulers løsning af problemet: Springerens vandring i den graf, hvor skakbrættets felter er punkter, og kanterne viser et muligt springertræk. Vandringen kaldes også en Hamiltonkreds. Det er ikke altid muligt at finde en sådan f.eks. ikke i grafen på Figur 9 (a). Det er altså ikke muligt at vandre rundt i Figur 9 (a), således at man gennemløber hvert punkt netop én gang og vender tilbage til udgangspunktet. Men man kan ikke give en simpel forklaring herpå i lighed med løsningen på de Königsbergske broers problem. Matematisk set er Hamiltonproblemet derfor mere interessant end Eulerproblemet, og der findes en række undersøgelser og uløste problemer i forbindelse med Hamiltonkredse. En særlig spændende variant af Hamiltonproblemet er knyttet til landkort. Ved et landkort vil vi her forstå en tegning Figur 6: Springer på skakbræt. som f.eks. Figur 7. Grænserne er rette linjestykker. Alle punkter i grænsegrafen har valens 3. Vi vil også tilføje den tekniske betingelse, at grænsegrafen er sammenhændende, og at den vedbliver at være sammenhængende, selvom et eller to af dens punkter fjernes. Det var i mange år et uløst problem (den såkaldte Taitsformodning), om grænsegrafen for landkort altid har en Hamiltonkreds. Dette problem har en tilknytning til det berømte firfarveproblem. En Hamiltonkreds i grænsegrafen deler landene i to klasser: Det indre og det ydre af kredsen. På Figur 7 har vi fundet en Hamiltonkreds og benyttet den til at farve landene i det indre med farverne rød/blå, og landene i det ydre med farverne gul/grøn. To lande, der støder op til hinanden, får altid forskellig farve. Firfarveformodningen, der blev fremsat omkring 1852, siger, at ethvert landkort kan farves med fire farver. Der er publiceret adskillige (forkerte)»beviser«for denne formodning. I 1976 offentliggjordes et kompliceret bevis (udført ved hjælp af en computer). Bevisets korrekthed diskuteres stadig. En motivation for at studere Hamiltonkredse har også været ønsket om at finde, hvad der er blevet kaldt en kanonisk repræsentation af molekyler. Hamiltonkredse kunne være et middel til at få overblik over komplicerede molekyler. Det fører os til det mere generelle problem at få overblik over en graf. Mere præcist, hvis G og H er givne grafer, kan man da afgøre, om de er isomorfe? At to grafer er isomorfe betyder, at deres punkter kan nummereres 1, 2,, n, således at nabopunkter i G svarer til nabopunkter i H. I Figur 9 er (b) isomorf med (a), mens (c) ikke er isomorf med (a) eller (b). Alle tre grafer har samme antal punkter og kanter og samme valenser. Men i modsætning til (a) og (b) har (c) en firkant. Det forholder sig med grafisomorfiproblemet som med Hamiltonproblemet: Man kender ingen nødvendig og tilstrækkelig betingelse, som kan anvendes som idégrundlag for en effektiv algoritme. Begge problemtyper er af stor praktisk betydning. Hvis en computer skal undersøge en række tilfælde eller generere en række konfigurationer, kan man være interesseret i, at samme tilfælde eller konfiguration gentages. Dette vil ofte være et specialtilfælde af grafisomorfiproblemet. Og på samme måde som det kinesiske postbuds problem er en generaliseret version af Eulerproblemet, er den handelsrejsendes problem en generaliseret udgave af Hamiltonproblemet: Hvis en robotarm skal bore huller i printplader, vil man være interesseret i at tilrettelægge armens bevægelse,

5 Broer, skak og netværk Side 5 af 6 således at den samlede længde minimeres. Skønt dette betydningsfulde problem minder om tennisbaneproblemet, kender man ingen effektiv metode til at løse problemet generelt (om end der findes metoder, når problemets størrelse er begrænset, f.eks. når der højst er 1000 huller, der skal bores). Klassifikation af kombinatoriske problemtyper Lad os vende tilbage til de to spørgsmål i indledningen: Har grafen G en lukket Eulertur? Har grafen G en Hamiltonkreds? Disse spørgsmål kaldes problemtyper. For enhver konkret graf kan spørgsmålet besvares i et endeligt antal skridt med et ja eller et nej. Endvidere kan man hurtigt afgøre, om en foreslået løsning virkelig er en løsning. Et hurtigt blik på Figur 6 eller 7 viser, at de foreslåede Hamiltonkredse virkelig er Hamiltonkredse. En problemtype, der opfylder ovennævnte betingelser, siges at tilhøre klassen NP. Optimeringsproblemer er ikke umiddelbart i NP. Men en modifikation af problemtypen fører os ofte over i klassen NP. I stedet for at bede om den korteste vandring for tennisbaneproblemet, skal man spørge: Findes der en løsning til tennisbaneproblemet, hvor vandringen er under f.eks. 100 m? Klassen NP er en meget omfattende klasse af problemtyper. Den omfatter foruden de tidligere omtalte problemer også problemtyper uden for grafteorien, f.eks. det lineære programmeringsproblem. Et eksempel er at maksimere størrelsen 2x + 3y + 5z under betingelserne x + 3y 5, x + y + 7z 15 og y + z 3. Hvis vi insisterer på, at variablene x, y og z skal være hele tal, taler man om heltalsprogrammeringsproblemet. I praksis forekommer varianter med mange tusinde variable. Også primtalsproblemet er i NP. Det er ikke umiddelbart klart, om er et primtal eller et sammensat tal. Men man kan hurtigt verificere, at dette tal kan skrives som produkt af og 641 (efter at man har fået opgivet disse tal). Hvis der for en problemtype i NP yderligere gælder, at man også kan finde løsninger ved hjælp af en effektiv algoritme, så tilhører problemtypen den såkaldte klasse P. Klassen P omfatter f.eks. Eulerproblemet, ægteskabsproblemet, jobtildelingsproblemet, plotterproblemet, det kinesiske postbudsproblem og det lineære programmeringsproblem. Som vi har set, kan man undertiden vise, at en problemtype tilhører P ved at reducere den til andre problemtyper i P. Problemtyperne i P blev i indledningen kaldt»lette«. Det skal forstås på den måde, at i det øjeblik, man har fundet en effektiv algoritme (hvilket kan være overordentligt svært), så kan man i praksis løse eksempler på problemtypen. Man kan sige, at problemtyperne, som er i NP, men uden for P, er»svære«i den forstand, at man ikke ved, om de er»lette«. Man har vist, at nogle af dem, f.eks. Hamiltonproblemet, har en højst bemærkelsesværdig egenskab: Hvis Hamiltonproblemet er i P, så kan alle problemtyper i NP løses ved hjælp af effektive algoritmer. Med andre ord, så vil der gælde, at NP = P. En problemtype (som altså f.eks. Hamiltonproblemet), der har denne forbavsende egenskab, kaldes NP-komplet. Et væld af problemer er blevet klassificeret som NPkomplette, f.eks. heltalsprogrammeringsproblemet, samt spørgsmålet om et givet landkort kan farvelægges med tre farver. Man ved ikke, om grafisomorfiproblemet og faktoriseringsproblemet tilhører P, eller om de er NPkomplette. Af ovennævnte problemer er landkortproblemet det eneste, der ikke har umiddelbar praktisk betydning. Men det er alligevel centralt i den forstand, at hvis man kan angive en effektiv algoritme til løsning af Figur 8: Et modeksempel til Taits formodning.

6 Broer, skak og netværk Side 6 af 6 det, så har man med ét slag også løst de andre nævnte problemtyper. Det forekommer usandsynligt, at man skulle kunne løse samtlige problemtyper i NP på én gang. Det er derfor den almindelige opfattelse, at P NP. At bevise eller modbevise dette er en af de største udfordringer i diskret matematik. (a) (b) (c) Figur 9: Hvilke grafer er isomorfe?

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Om sandhed, tro og viden

Om sandhed, tro og viden Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Beat the Clock Sorteringsnetværk

Beat the Clock Sorteringsnetværk Aktivitet 8 Beat the Clock Sorteringsnetværk Resumé Selvom computer er hurtige, er der en grænse for, hvor hurtigt de kan løse et problem. En måde at speed e det op på er at bruge flere computere til at

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Evaluering af matematik 2. klasse

Evaluering af matematik 2. klasse Evaluering af matematik 2. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde.

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde. Lego Mindstorms Education EV3 Projektarbejde med Lego Mindstorms version EV3. til Windows 7og 8 og Mac Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt,

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING TAXAQUIZZEN GRUPPE 8: SALLY//LARS//ERIK//LINE BRUUN PROGRAM: TAXAQUIZZEN

OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING TAXAQUIZZEN GRUPPE 8: SALLY//LARS//ERIK//LINE BRUUN PROGRAM: TAXAQUIZZEN OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING PROGRAM: Taxaquizzen er en dansk tv-serie på Tv2, produceret efter det internationale koncept Cash Cab, som første gang blev vist på britisk tv i 2005. I programmet

Læs mere

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Errata pr. 1. sept. 2009 Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Rettelserne herunder er foretaget i 2. oplag af bogen. Desuden forekommer der mindre rettelser i 2. oplag, som ikke er medtaget her, da

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere