Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393."

Transkript

1 Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur 1 viser syv broer i byen Königsberg. Er det muligt at begynde en vandring i et af de fire områder, således at man går over hver bro netop én gang og vender tilbage til udgangspunktet? Er det muligt at placere en springer i øverste højre hjørnefelt af et skakbræt og derefter flytte springeren, således at hvert felt besøges netop én gang, og således at springeren vender tilbage til udgangspunktet? Begge spørgsmål blev besvaret af den schweiziske matematiker og fysiker Leonhard Euler ( ). Men selvom de to problemer har en overfladisk lighed, tilhører de problemtyper af vidt forskellig art. Den første problemtype forstår man fuldstændigt, og man kan løse konkrete eksempler ved hjælp af en effektiv metode. Det andet problem tilhører en klasse af ekstremt vanskelige problemer, for hvilke man ikke kender effektive løsningsmetoder. Denne skarpe grænse mellem»lette«og»svære«problemer spiller en stor rolle i moderne matematik. For en given problemtype kan det være af stor praktisk betydning at afgøre, på hvilken side af grænsen problemtypen befinder sig. Er det f.eks. muligt at beregne den korteste distance, en robotboremaskine må bevæge sig for at bore 1000 huller i en metalplade? Figur 1: Eulers tegning af broerne i Königsberg. De Königsbergske broer De to førstnævnte problemer kan afgøres i et endeligt antal skridt: Man kan gennemgå samtlige muligheder for vandringer. Men allerede Euler gjorde opmærksom på, at den fremgangsmåde er for tidskrævende. Der er behov for en simplere metode, en effektiv algoritme. Euler løste de Königsbergske broers problem ved først at simplificere Figur 1. Figur 2 viser det samme som Figur 1. Blot er landområderne punkter, og broerne er kurver mellem punkterne. Disse kurver vil vi kalde kanter. Punkterne og kanterne udgør tilsammen en graf. Antallet af kanter, der udgår fra et punkt, er punktets valens. De Königsbergske broers problem består nu i at gennemløbe grafen i Figur 2, således at hver kant gennemløbes netop én gang, og således at man slutter i udgangspunktet. En sådan vandring kaldes en lukket Eulertur. Hvis en graf har en lukket Eulertur, kaldes den en Eulergraf. Hvis C A B Figur 2: Broerne i Königsberg som en graf. D

2 Broer, skak og netværk Side 2 af 6 vi fokuserer på et vilkårligt punkt i en Eulergraf, ser vi, at hver gang vi vandrer ind til punktet, så må vi umiddelbart derefter vandre ud ad en anden kant. Valensen må altså være lige. Omvendt kan man vise, at hvis alle valenser i en sammenhængende graf er lige, så har grafen en lukket Eulertur. Og den er ikke svær at finde. Denne nødvendige og tilstrækkelige betingelse for en lukket Eulertur kaldes Eulers Sætning. Et hurtigt blik på Figur 2 viser, at der er punkter med ulige valens. Grafen er altså ikke en Eulergraf. Før vi omtaler springerproblemet fra indledningen, vil vi give eksempler på andre problemtyper, man kan løse effektivt. Ægteskabsproblemet og jobtildelingsproblemet Ægteskabsproblemet består i at afgøre, om en given mængde mænd m 1, m 2,, m s kan blive gift med (nogle af) k 1, k 2,, k t i en mængde af kvinder, når vi tillader ægteskab mellem to personer af forskelligt køn, hvis og kun hvis de kender hinanden. En oversigt over bekendtskaber kan gives som en graf i Figur 3, hvor mændene er punkter i venstre side, kvinderne er punkter i højre side, og hvor bekendtskaberne er kanter. En nødvendig betingelse for, at alle mænd kan giftes, er, at hver mand kender mindst én kvinde (dvs. han har valens mindst én). Der må også være mindst lige så mange kvinder som mænd. Figur 3 viser to situationer, hvor begge disse betingelser er opfyldt. På Figur 3 (a) er tre mænd gift, og pardannelsen kan ikke udvides. Men på Figur 3 (b) (som er samme graf som 3 (a)) er alle fire mænd gift. På Figur 3 (c) er det ikke muligt at få alle mænd gift, fordi mændene nr. 1, 3, 4 og 6 tilsammen kun kender tre kvinder, nr. 1, 2 og 4. k mænd må tilsammen kende mindst k kvinder. Betingelsen har vist sig at være både nødvendig og tilstrækkelig for, at alle mænd kan giftes. Dette smukke resultat danner grundlag for pardannelsesteorien. Jobtildelingsproblemet er et generelt problem. Det består i at anbringe n mænd m 1, m 2,, m n på n jobs j 1, j 2,, j n, således at den samlede produktivitet maksimeres. Der er på forhånd opgivet n 2 tal a ik, hvor a ik er produktiviteten af mand m i på job j k. Hvis G er en graf, og P er en mængde kanter i G, så kaldes P en parring, hvis ethvert punkt er endepunkt for højst én kant i P. Hvis alle kanter i G er tildelt et positivt tal, som vi kalder kantens vægt, så siger vi, at vægten af P er summen af vægtene i kanterne i P. I 1965 fandt man en sofistikeret og effektiv algoritme til at finde en parring af maksimal vægt. Denne betydningsfulde algoritme, som ikke er let at beskrive, er en del af grundlaget for diskret optimering, som er en vigtig del af operationsanalysen. Jobtildelingsproblemet kan løses ved f.eks. at anvende parringsalgoritmen på den graf, hvor punkterne er mænd og jobs, og hvor der er en kant fra hver mand til hvert job. (a) (b) (c) Figur 3: Eksempler på ægteskabsproblemet.

3 Broer, skak og netværk Side 3 af 6 Tennisbanefejning, plotterproblem og det kinesiske postbud Vi vil nu illustrere, hvorledes de ovennævnte fundamentale problemstillinger kan kombineres. Figur 4 viser en tennisbane. En spiller skal feje striberne på den højre halvdel af banen, så den samlede vandring minimeres. Kosten hentes og afleveres foroven ved nettet. Vi kan betragte striberne som en graf G. Vi danner nu en ny hjælpegraf H, hvis punkter er de punkter i G, som har ulige valens. H indeholder alle mulige kanter. Til enhver kant i H knyttes en vægt, nemlig afstanden mellem endepunkterne. Vi finder nu en parring bestående af kanter i H, så alle punkter i H indgår i parringen, og således at den samlede vægt er mindst mulig. En sådan parring er angivet med røde linjer på Figur 5. Vi tilføjer denne parring i H som nye kanter i G og opnår derved en Eulergraf. En lukket Eulertur i den udvidede graf (som er antydet på Figur 5 (a)) løser fejningsproblemet. De røde linjer angiver, hvorledes man bevæger sig uden at feje. Den samlede længde af disse kanter er 20,10 m. Stribernes samlede længde er 73,12 m. Den samlede vandring bliver altså af længde 93,22 m. En lignende metode løser den variant af problemet, der består i, at kosten afleveres forneden ved nettet. Den samlede længde bliver lidt større, nemlig 95,80 m, og løsningen er angivet i Figur 5 (b). (a) 10,97 m 8,23 m (b) 11,88 m 6,40 m Figur 4: Striber på en tennisbane. Tennisbaneproblemet er et specialtilfælde af et mere betydningsfuldt problem: En plotter skal tegne en kompliceret graf (f.eks. vejene i en storby), således at den samlede spildtid minimeres. Ved spildtid forstås her den tid, plotteren bruger til at bevæge sig fra et punkt til et andet uden at tegne. Metoden anvendt til tennisbanefejningen generaliseres let til at give en Figur 5: Fejning af tennisbane. effektiv algoritme til løsning af plotterproblemet. Det kinesiske postbuds problem består i at gennemløbe et netværk (dvs. en graf, hvor hver kant har en længde), således at hver kant gennemløbes mindst én gang, og således at den samlede vandrings længde minimeres. Man skal slutte i udgangspositionen (dvs. posthuset, hvis man tænker på problemet som et postomdelingsproblem). Løsningsmetoden er den samme som for plotterproblemet, blot med den forskel, at vægtene i hjælpegrafen H nu ikke er de Euklidiske afstande (altså afstandene i lige linje), men afstandene i netværket. Også disse afstande kan findes ved en effektiv algoritme.

4 Broer, skak og netværk Side 4 af 6 Hamiltonkredse, firfarveproblemet og grafisomorfi De problemtyper, vi har omtalt indtil nu, kan alle løses ved hjælp af effektive algoritmer, om end det kan være vanskeligt at finde disse algoritmer. Det forholder sig anderledes med den problemtype, der indeholder det springerproblem, som vi nævnte i indledningen. Figur 6 viser Eulers løsning af problemet: Springerens vandring i den graf, hvor skakbrættets felter er punkter, og kanterne viser et muligt springertræk. Vandringen kaldes også en Hamiltonkreds. Det er ikke altid muligt at finde en sådan f.eks. ikke i grafen på Figur 9 (a). Det er altså ikke muligt at vandre rundt i Figur 9 (a), således at man gennemløber hvert punkt netop én gang og vender tilbage til udgangspunktet. Men man kan ikke give en simpel forklaring herpå i lighed med løsningen på de Königsbergske broers problem. Matematisk set er Hamiltonproblemet derfor mere interessant end Eulerproblemet, og der findes en række undersøgelser og uløste problemer i forbindelse med Hamiltonkredse. En særlig spændende variant af Hamiltonproblemet er knyttet til landkort. Ved et landkort vil vi her forstå en tegning Figur 6: Springer på skakbræt. som f.eks. Figur 7. Grænserne er rette linjestykker. Alle punkter i grænsegrafen har valens 3. Vi vil også tilføje den tekniske betingelse, at grænsegrafen er sammenhændende, og at den vedbliver at være sammenhængende, selvom et eller to af dens punkter fjernes. Det var i mange år et uløst problem (den såkaldte Taitsformodning), om grænsegrafen for landkort altid har en Hamiltonkreds. Dette problem har en tilknytning til det berømte firfarveproblem. En Hamiltonkreds i grænsegrafen deler landene i to klasser: Det indre og det ydre af kredsen. På Figur 7 har vi fundet en Hamiltonkreds og benyttet den til at farve landene i det indre med farverne rød/blå, og landene i det ydre med farverne gul/grøn. To lande, der støder op til hinanden, får altid forskellig farve. Firfarveformodningen, der blev fremsat omkring 1852, siger, at ethvert landkort kan farves med fire farver. Der er publiceret adskillige (forkerte)»beviser«for denne formodning. I 1976 offentliggjordes et kompliceret bevis (udført ved hjælp af en computer). Bevisets korrekthed diskuteres stadig. En motivation for at studere Hamiltonkredse har også været ønsket om at finde, hvad der er blevet kaldt en kanonisk repræsentation af molekyler. Hamiltonkredse kunne være et middel til at få overblik over komplicerede molekyler. Det fører os til det mere generelle problem at få overblik over en graf. Mere præcist, hvis G og H er givne grafer, kan man da afgøre, om de er isomorfe? At to grafer er isomorfe betyder, at deres punkter kan nummereres 1, 2,, n, således at nabopunkter i G svarer til nabopunkter i H. I Figur 9 er (b) isomorf med (a), mens (c) ikke er isomorf med (a) eller (b). Alle tre grafer har samme antal punkter og kanter og samme valenser. Men i modsætning til (a) og (b) har (c) en firkant. Det forholder sig med grafisomorfiproblemet som med Hamiltonproblemet: Man kender ingen nødvendig og tilstrækkelig betingelse, som kan anvendes som idégrundlag for en effektiv algoritme. Begge problemtyper er af stor praktisk betydning. Hvis en computer skal undersøge en række tilfælde eller generere en række konfigurationer, kan man være interesseret i, at samme tilfælde eller konfiguration gentages. Dette vil ofte være et specialtilfælde af grafisomorfiproblemet. Og på samme måde som det kinesiske postbuds problem er en generaliseret version af Eulerproblemet, er den handelsrejsendes problem en generaliseret udgave af Hamiltonproblemet: Hvis en robotarm skal bore huller i printplader, vil man være interesseret i at tilrettelægge armens bevægelse,

5 Broer, skak og netværk Side 5 af 6 således at den samlede længde minimeres. Skønt dette betydningsfulde problem minder om tennisbaneproblemet, kender man ingen effektiv metode til at løse problemet generelt (om end der findes metoder, når problemets størrelse er begrænset, f.eks. når der højst er 1000 huller, der skal bores). Klassifikation af kombinatoriske problemtyper Lad os vende tilbage til de to spørgsmål i indledningen: Har grafen G en lukket Eulertur? Har grafen G en Hamiltonkreds? Disse spørgsmål kaldes problemtyper. For enhver konkret graf kan spørgsmålet besvares i et endeligt antal skridt med et ja eller et nej. Endvidere kan man hurtigt afgøre, om en foreslået løsning virkelig er en løsning. Et hurtigt blik på Figur 6 eller 7 viser, at de foreslåede Hamiltonkredse virkelig er Hamiltonkredse. En problemtype, der opfylder ovennævnte betingelser, siges at tilhøre klassen NP. Optimeringsproblemer er ikke umiddelbart i NP. Men en modifikation af problemtypen fører os ofte over i klassen NP. I stedet for at bede om den korteste vandring for tennisbaneproblemet, skal man spørge: Findes der en løsning til tennisbaneproblemet, hvor vandringen er under f.eks. 100 m? Klassen NP er en meget omfattende klasse af problemtyper. Den omfatter foruden de tidligere omtalte problemer også problemtyper uden for grafteorien, f.eks. det lineære programmeringsproblem. Et eksempel er at maksimere størrelsen 2x + 3y + 5z under betingelserne x + 3y 5, x + y + 7z 15 og y + z 3. Hvis vi insisterer på, at variablene x, y og z skal være hele tal, taler man om heltalsprogrammeringsproblemet. I praksis forekommer varianter med mange tusinde variable. Også primtalsproblemet er i NP. Det er ikke umiddelbart klart, om er et primtal eller et sammensat tal. Men man kan hurtigt verificere, at dette tal kan skrives som produkt af og 641 (efter at man har fået opgivet disse tal). Hvis der for en problemtype i NP yderligere gælder, at man også kan finde løsninger ved hjælp af en effektiv algoritme, så tilhører problemtypen den såkaldte klasse P. Klassen P omfatter f.eks. Eulerproblemet, ægteskabsproblemet, jobtildelingsproblemet, plotterproblemet, det kinesiske postbudsproblem og det lineære programmeringsproblem. Som vi har set, kan man undertiden vise, at en problemtype tilhører P ved at reducere den til andre problemtyper i P. Problemtyperne i P blev i indledningen kaldt»lette«. Det skal forstås på den måde, at i det øjeblik, man har fundet en effektiv algoritme (hvilket kan være overordentligt svært), så kan man i praksis løse eksempler på problemtypen. Man kan sige, at problemtyperne, som er i NP, men uden for P, er»svære«i den forstand, at man ikke ved, om de er»lette«. Man har vist, at nogle af dem, f.eks. Hamiltonproblemet, har en højst bemærkelsesværdig egenskab: Hvis Hamiltonproblemet er i P, så kan alle problemtyper i NP løses ved hjælp af effektive algoritmer. Med andre ord, så vil der gælde, at NP = P. En problemtype (som altså f.eks. Hamiltonproblemet), der har denne forbavsende egenskab, kaldes NP-komplet. Et væld af problemer er blevet klassificeret som NPkomplette, f.eks. heltalsprogrammeringsproblemet, samt spørgsmålet om et givet landkort kan farvelægges med tre farver. Man ved ikke, om grafisomorfiproblemet og faktoriseringsproblemet tilhører P, eller om de er NPkomplette. Af ovennævnte problemer er landkortproblemet det eneste, der ikke har umiddelbar praktisk betydning. Men det er alligevel centralt i den forstand, at hvis man kan angive en effektiv algoritme til løsning af Figur 8: Et modeksempel til Taits formodning.

6 Broer, skak og netværk Side 6 af 6 det, så har man med ét slag også løst de andre nævnte problemtyper. Det forekommer usandsynligt, at man skulle kunne løse samtlige problemtyper i NP på én gang. Det er derfor den almindelige opfattelse, at P NP. At bevise eller modbevise dette er en af de største udfordringer i diskret matematik. (a) (b) (c) Figur 9: Hvilke grafer er isomorfe?

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt.

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Design af IT-medier Skriftlig prøve 27. august 1999 Varighed: Hjælpemidler: Bedømmelse: Besvarelse: Opgaver: 4 timer. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Karakter efter 13-skalaen. Alle ark skal være

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Matematik B stx, maj 2010

Matematik B stx, maj 2010 Bilag 36 Matematik B stx, maj 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model:

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model: Kapitel 1: Markedet - et eksempel. Et Markedet for lejeboliger til studerende Model: 1. Alle lejligheder er identiske. 2. Men nogle ligger tæt på universitet (indre ring), andre længere væk (ydre ring).

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Computerprogrammet Stavevejen Start

Computerprogrammet Stavevejen Start Computerprogrammet Stavevejen Start Computerprogrammet Stavevejen Start er en integreret del af systemet Stavevejen Start. Stavevejen Start består af et elevhæfte, en plakat, en lærervejledning og dette

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh11-mat/b-70501 Mandag den 7. maj 01 kl. 9.00-1.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Evaluering af matematik 0. klasse

Evaluering af matematik 0. klasse Evaluering af matematik 0. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere