Opsætning af vandtransportmodel

Transkript

1 Opsætning af vandtransportmodel I dette afsnit beskrives grundlæggende teori og anvendt metode til modellering af den 2- dimensionelle vandtransport i sandkassen i Del 2. Vandtransporten modelleres ved implicit finit differens approksimation af Ricards ligning. Trykniveauer i diskretiserede bokse udregnes implicit ved ælp af flux- og massebalancebetragtninger. Diskretisering og randbetingelser Sandkassen diskretiseres i længde (x) og øde (z), som vist på figur a. Øvre og nedre rand forudsættes impermeable, dvs. at bokskanterne op mod disse defineres som nul-flux rande. Høre og venstre rand er indlagt som boks-knudepunkter, det er muligt at definere trykniveauet i de tilstødende vandkamre som randbetingelse. figur b viser ledes fluxe og konduktiviteter defineres i forold til den enkelte boks (i,). Figur a og b. Diskretisering af sandkassen i længde (x) og øde (z). I og J er antallet af - punkter i v. x- og z-retningen. Øvre og nedre rand defineres som nul-flux rande, og øre og venstre rand defineres som -rande, tilsvarende trykniveauet i de tilstødende vandkamre. Notationer for boksen markeret med fed er vist i forstørrelsen på figur b. vx i, og vz i, er Darcyastigeder ud af boks (i,) i v. x- og z-retning. KI i, og KJ i, er ydrauliske ledningsevner på boksgrænserne tilstødende boks (i,) i v. positiv x- og z-retning. Randbetingelserne ved øre og venstre rand er skitseret på figur 2. Trykniveauerne langs randen er bestemt ved relationen z + ψ således, at der bliver konstant trykniveau fra bund til vandoverflade, samt at z over vandoverfladen, idet ψ er er 0.

2 Figur 2. Randbetingelse ved øre og venstre rand. Der er konstant trykniveau (z vs ) fra kammerets bund op til vandoverfladen. Derover er trykniveauet lig øden over bunden. Begyndelsesbetingelser Vandstanden oldes konstant i de to sidekamre gennem ele modelleringen. Der trækkes en imaginær line fra vandspelet i det ene kammer til vandspelet i det andet. Som begyndelsesbetingelse sættes vandindoldet til mætning i boksene under denne line og til markkapacitet i boksene over linen. Fluxligning Fluxen mellem de enkelte bokse regnes ved Darcyligningen, vilket i x-retningen er givet ved. formel, notationer f. figur b., i, vx KIi, KIi, () x x vx i, : Darcyastiged i x-retningen [cm/] KI i, : Hydraulisk ledningsevne i grænselag mellem boks (i,) og (,) [cm/] (formel 2) : Trykniveau i aktuel boks [cm] x: Stedsskridt i x-retningen [cm] Beregning af astiged i z-retningen foregår tilsvarende. Hydraulisk ledningsevne på grænselaget mellem to bokse regnes som et armonisk gennemsnit mellem de ydrauliske ledningsevner i de tilstødende bokse, f. formel 2. 2 K K, KIi, (2) K + K, 2

3 Massebalance Den overordnede massebalance pr. bredde-ened for den enkelte boks er givet ved formel 3. (3) mind m ud m m ind : Vandmængde tilført boks [cm 2 /] m ud : Vandmængde transporteret ud af boks [cm 2 /] m: Tilvækst i vandmængde [cm 2 /] (formel 4) m ind og m ud er givet ved udtryk af formen Darcyastiged ganget med gennemstrømmet areal. Et eksempel erpå er givet i formel 4, som udtrykker transport ud af boks (i,) i x-retningen. (4) m ud,x () vx z KI, x z z: Stedsskridt i z-retning [cm] n: Aktuelt tidsskridt I denne forbindelse letter det overblikket at indføre størrelsen konduktansen, C, som i x-retningen er givet ved formel 5. z CI KIi, (5) x Tilsvarende udledes CJ i z-retningen. Dermed kan m ind og m ud udtrykkes på formen led ind i boksen og 2 led ud af boksen). C i, (2 Tilvæksten i vandmængde er givet ved tilvæksten i volumetrisk vandindold gange boksrumfanget, f. formel 6. (6) m x z t t x z n + n t x z t: n θ + Tidsskridts længde [] : Gradient på retentionskurve til tidsskridtet [(cm H 2 0) - ] Løsning af ligningssystem Massebalancen i formel 3 opstilles for ver boks (undtagen bokse med -randbetingelser). Dette giver et ligningssystem på (I-2)J ligninger, med tilsvarende antal ubekendte. Alle led med kendte - værdier - dvs. -værdier til kendt tidsskridt samt randbetingelser samles på øresiden, og ligningssystemet løses for at bestemme -værdier til ukendt tidsskridt. Ligningssystemet er på formen vist i formel 7. 3

4 (7) coeff b coeff : Koefficientmatrix til ukendt tidsskridt. Dimension (I-2)J (I-2)J : b : Vektor med -værdier til ukendt tidsskridt. Længde (I-2)J Kendt-værdi vektor. Længde (I-2)J Ligningssystemet løses ved matrix-left-division i MatLab, ved b ganges med den inverse matrix til coeff, og bestemmes. Når er bestemt kan ψ bestemmes ud fra relationen z + ψ, og θ kan beregnes ud fra figur 3, som omtales senere. Bestemmelse af retentionskurve-gradient n θ + Det er ikke muligt umiddelbart at bestemme retentionskurve-gradienten i formel 7, da den skal bestemmes til det ukendte tidsskridt (). Desuden bestemmes størrelsen forskelligt, afængigt af om der er mættede eller umættede forold. Efterfølgende udledes en procedure til bestemmelse af gradienten. Denne består dels af en metode til bestemmelse af gradient til kendt tidsskridt, og dels af en metode til iteration af gradient til ukendt tidsskridt. Bestemmelse af gradient til kendt tidsskridt I den umættede zone ved poreundertryk mellem pf og pf 3 forudsættes det, at gradienten kan beregnes ved et Campbell-udtryk, f. formel 8 (som er en differentiering af formel 2.7 i Loll og Moldrup, 2000). ψ e θs dθ ψ (8) dψ umættet ψ b b θ S : Volumetrisk vandindold ved mætning [cm 3 /cm 3 ] ψ e : Porevandspotentiale ved air entry [cm H 2 O] ψ: Aktuelt porevandspotentiale [cm H 2 O] b: Campbell b [-] I den mættede zone regnes gradienten lig den specifikke magasinkoefficient S S, som udtrykker mængden af frigivet vand som følge af en sænkning af trykniveauet på m. Det var meningen, at gradienten i et ψ-interval omkring overgangen fra mættet til umættet zone skulle beregnes som en glidende overgang mellem mættede og umættede gradienter. Dette giver dog fel i gradient-beregningen. En forklaring på dette findes er. I stedet defineres overgangen mellem mættet og umættet zone at gå skarpt ved ψ e. Ved ψ lavere end denne værdi (umættet zone) regnes gradienten ved formel 6, og ved øere ψ (mættet zone) regnes gradienten lig S S. Dette er skitseret på Figur 3. 4

5 Figur 3. Bestemmelse af gradienten i v. mættet og umættet zone. I kapillarzonen regnes gradienten som i den mættede zone. Iteration af gradient til ukendt tidsskridt Når gradienten til ukendt tidsskridt skal bestemmes gættes først på at den ar værdien i kendt tidsskridt,, efter ligningssystemet (7) løses. Dette giver nogle midlertidige værdier af θ og ψ til tidsskridtet. Ud fra disse kan en midlertidig beregnes. Denne gradient sammenlignes med den gættede gradient i alle bokse, og vis den mindst én boks afviger mere end en bestemt afskæringsværdi, gennemregnes ligningssystemet igen med den nye gradient. Denne iteration fortsætter indtil forskellen mellem gættet og beregnet gradient i alle bokse er under afskæringsværdien. Afskæringsværdien er sat til 0-7 (cm H 2 0) -. 5