Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Transkript

1 Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul

2 Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man ikke ved en undervisning hvr de fleste elevers selvstændige beskæftigelse med emnet hvedsagelig består i at efterligne udregninger i besvarelser af eksamenspgaver Grundlæggende typer af pgaver med grafer Regel m tilvækster fr lineære sammenhænge Sådan kan vi finde hældningskefficienten ud fra lineær graf 4 4 Hvad er en tangent?5 5 Differentialkvtient 5 6 Hvrnår er en -tilvækst lille? 6 7 Marginalmkstninger 7 8 Væksthastighed 7 9 Frmel fr y 8 0 Frmel fr y' (tangenthældning, væksthastighed) 8 Udregne y-krdinat g tangenthældning Finde ligning fr tangent 0 Frskelle der ikke kan ses på grafen Udregne mængde g væksthastighed 4 Differentialkvtient af n 5 Differentialkvtient af k g mm 6 Differentialkvtient af knstant gange udtryk 7 Differentialkvtient af udtryk med flere led 8 Skrivemåden h(t), y() sv 9 Ngle typer af pgaver med tangenthældning 5 0 Ngle typer af pgaver med væksthastighed 6 Kntinuert7 Vksende g aftagende 8 Hvad er mntnifrhld? 9 4 Regel fr at finde mntnifrhld9 5 Typisk pgave med mntnifrhld 6 Maksimum g minimum 7 Lkalt maksimum g minimum 5 8 Typisk pgave med lkale ekstrema 6 9 Gør rede fr at funktinen har et minimum (eller maksimum) 7 0 Flere typer pgaver med maksimum eller minimum 7 Differentiabel8 Grænseværdi9 Vi kan finde en differentialkvtient ved at udregne en grænseværdi0 4 Udledning af frmlen fr at differentiere 5 Udledning af frmlen fr at differentiere sum 4 6 Differentialkvtient af e k g ln() 5 7 Differentialkvtient af udtryk gange udtryk6 8 Opdeling af en sammensat funktin i en indre g en ydre funktin 7 9 Metde til at differentiere en sammensat funktin7 Øvelser til hæftet "Differentialregning fr gymnasiet g hf" 00 Karsten Juul Dette hæfte kan dwnlades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til kj@matdk sm dels plyser at dette hæfte benyttes, dels plyser m hld, lærer g skle

3 Øvelse I krdinatsystemet er tegnet en del af grafen fr sammenhængen mellem t variable t g n (a) Læs Type (i terihæftet) Hvad er n når t er 4? (b) Læs Type Hvad frtæller grafpunktet A m sammenhængen mellem t g n? (c) Læs Type Tegn det grafpunkt B der giver følgende plysning: Når t er 5 er n lig 8, 5 (d) Læs Type 4 Vi starter med t g giver t en tilvækst på Hvilken tilvækst får n? (e) Læs Type 5 Når vi starter med t 5 g giver t en tilvækst på så får n tilvæksten Brug dette til at tegne endnu et grafpunkt C A Øvelse På en skærm er der et rektangel Når vi ændrer bredden, ændres højden autmatisk Figuren viser hvrdan højden ændres På figuren mangler en del af grafen (a) Hvad er højden når bredden er? (b) Tegn det punkt A sm giver denne plysning (c) Hvad er højden når bredden er 8? (d) Tegn det punkt B sm giver denne plysning (e) Vi trækker i rektanglet så bredden bliver 6, g ser at højden er 7 Tilføj det grafpunkt C sm viser dette (f) Vi trækker i rektanglet så bredden bliver 7, g ser at højden er 8 Tilføj det grafpunkt D sm viser dette Øvelse På en skærm er et rektangel Når vi ændrer bredden, ændres højden autmatisk Tegn 6 grafpunkter ud fra følgende: Nu er bredde 5 g højde Vi gør bredde 5 enheder større Højde bliver enhed større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver 4 enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver 5 enheder større Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

4 Øvelse 4 På en skærm er et rektangel Når vi ændrer bredde, ændres højde autmatisk Tegn 6 grafpunkter ud fra følgende: Nu er bredde 5 g højde Vi gør bredde 5 enheder større Højde bliver enhed større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Vi gør igen bredde 5 større Højde bliver enheder større Øvelse 5 Tegn en sammenhængende graf så følgende er pfyldt: Når bredden er 0, er højden størrer end når bredden er 5 eller 0 Når bredden er 0, er højden størrer end når bredden er 0 eller 5 Øvelse Se på grafen øverst side i terihæftet (a) Når vi starter med g giver tilvæksten, så får y tilvæksten (b) Når vi starter med g giver tilvæksten, så får y tilvæksten (c) Når vi starter med g giver tilvæksten, så får y tilvæksten (d) Når vi starter med g giver tilvæksten 7, så får y tilvæksten (e) Når vi starter med g giver tilvæksten 0,, så får y tilvæksten (f) Når vi kender den tilvækst h sm får, så kan vi finde den tilvækst sm y får, ved at udføre følgende udregning: Øvelse Læs definitinen g sætningen nederst side i terihæftet (a) Hvad er hældningskefficienten fr grafen øverst på side i terihæftet? (b) Hvad finder vi når vi ganger hældningskefficienten med den tilvækst vi giver? (c) En anden lineær sammenhæng har hældningskefficient Hvilken tilvækst får y når vi ændrer fra 6 til 7, 5? (d) Fr en bestemt lineær sammenhæng gælder at når vi giver tilvæksten 4, så får y tilvæksten Hvad er hældningskefficienten? Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

5 Øvelse Figuren viser hvrdan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når bredden er 6 er højden (b) Når bredden er 8 er højden (c) Når vi ændrer bredden fra 6 til 8, så bliver højden enheder større (d) Når vi ændrer bredden fra 8 til 0, så bliver højden enheder større (e) Når vi gør bredden enheder større, så bliver højden enheder større (f) Når vi gør bredden enhed større, så bliver højden enheder større (g) Grafens hældningskefficient er (h) En tilvækst vi giver bredden, skal vi gange med fr at udregne den tilvækst højden får Øvelse 4 Figuren viser hvrdan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når vi ændrer bredden fra 5 til 5, så bliver højden enheder større (b) Når vi ændrer bredden fra 5 til 5, så bliver højden enheder større (c) Når vi gør bredden 0 enheder større, så bliver højden enheder større (d) Når vi gør bredden enhed større, så bliver højden enheder større (e) Grafens hældningskefficient er (f) En tilvækst vi giver bredden, skal vi gange med fr at udregne den tilvækst højden får Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

6 Øvelse 5 Om et rektangel gælder: Når vi gør bredden enhed større, så bliver højden 0,6 enheder større (a) Når vi gør bredden 0 enheder større, så bliver højden enheder større Om rektanglet gælder gså: Når bredden er enheder, er højden 5 enheder (b) I krdinatsystemet skal du tegne grafen der viser sammenhængen mellem bredde g højde (c) Grafens hældningskefficient er (d) En tilvækst vi giver bredden, skal vi gange med fr at udregne den tilvækst højden får Øvelse 6 Figuren viser hvrdan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når vi ændrer bredden fra til enheder, så bliver højden (b) Når vi gør bredden enhed større, så bliver højden (c) Grafens hældningskefficient er (d) En tilvækst vi giver bredden, skal vi gange med fr at udregne den tilvækst højden får enheder mindre enheder mindre Øvelse (a) Læs den øverste ramme på side i terihæftet Her finder vi en hældningskefficient Hvrfr kan vi ikke finde denne hældningskefficient ved at aflæse hvr meget større y bliver når vi ændrer fra 0 til? (b) Find hældningskefficienten fr grafen til højre Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 4 00 Karsten Juul

7 Øvelse 4 Se på figuren nederst side i terihæftet (a) Har tangenten i Q større hældningskefficient end m? Det punkt på grafen sm har -krdinat, kalder vi R (c) Hvad er hældningskefficienten fr tangenten i R Øvelse 4 Brug plysningerne i Ramme 4 i terihæftet til at finde svarene på følgende spørgsmål: (a) Er linjen n tangent til K-grafen i punktet R? (b) Er linjen n tangent til K-grafen i punktet Q? m n Q K (c) Er linjen m tangent til K-grafen i punktet P? (d) Har tangenten i P større hældningskefficient end linjen m? (e) Tangenten i R kalder vi l Har hældningskefficienten fr l samme frtegn sm hældningskefficienten fr n? P R Øvelse 5 Spørgsmålene drejer sig m figuren på side 4 i terihæftet: (a) Vi starter med 00 g giver en tilvækst på 00 Hvad er så y-tilvæksten fr g g fr f? Brug definitin 5 i terihæftet til at besvare følgende t spørgsmål m f : (b) Hvad er differentialkvtienten i tallet 500? (c) Er differentialkvtienten i tallet 00 større end differentialkvtienten i tallet 00? Brug sætning 5 i terihæftet til at besvare følgende spørgsmål m f : (d) Vi starter med 00 g giver en tilvækst på Hvad er så y-tilvæksten cirka lig? Øvelse 5 På figuren viser den ene graf sammenhængen mellem bredde g højde fr et rektangel L, g den anden graf viser sammenhængen mellem bredde g højde fr et andet rektangel P L-grafen er tangent til P-grafen i punktet A (a) Når vi ændrer bredden i L-rektanglet fra 8 til, så bliver højden enheder større A L P (b) Når vi gør L-rektanglets bredde enhed større, så bliver højden enheder større (c) Fr P-rektanglet gælder at når bredden ændres fra 8 til 8, så bliver højden ca enheder større (d) Fr P-funktinen gælder at i tallet 8 er differentialkvtienten Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 5 00 Karsten Juul

8 Øvelse 5 Vi kan ændre bredden af et rektangel der er på en skærm Grafen viser højden y sm funktin bredden (a) Hvad er y når 0? (b) Hvad er y når 0? (c) Hvilken tilvækst (ca) får y når vi ændrer fra 0 til 0,0? (d) Hvilken tilvækst (ca) får y når vi ændrer fra 0 til 0,05? (e) Hvis 0 g vi giver en lille tilvækst (vi kender), hvrdan kan vi så med gd tilnærmelse udregne den tilvækst sm y vil få? Øvelse 54 Tegn en eller anden krum graf så der både gælder når 0 er y 0, 5 g når 5 er y Øvelse 55 Tegn en eller anden krum graf så der gælder at hvis 5 g vi giver en lille tilvækst, så vil y-tilvæksten være ca lig 0, 8 gange -tilvæksten, uanset hvad -tilvæksten er, blt den ikke er fr str Øvelse 6 Figuren viser grafen fr en funktin Afgør fr hver af følgende påstande m den er rigtig? Når 0 g vi giver en tilvækst på 0, 4 så vil y-tilvæksten være ca 0, Når 0 g vi giver en tilvækst på 4 så vil y-tilvæksten være ca 7 Når 0 g vi giver tilvæksten 0, 6 så vil y-tilvæksten være ca 0, Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 6 00 Karsten Juul

9 Øvelse 7 Spørgsmålene i denne pgave drejer sig m den situatin der er beskrevet i ramme 7 (a) Hvad er marginalmkstningerne når vi fremstiller 50 meter? (b) Hvis vi fremstiller 5 meter i stedet fr 50 meter, hvr meget større vil mkstningerne så blive? (c) Hvis vi fremstiller 5 meter i stedet fr 50 meter, hvr meget større vil frtjenesten så blive? Øvelse 7 Vi fremstiller en vare Omkstningerne i kr kr afhænger af hvr mange gram vi fremstiller (a) Tegn en krum graf fr mkstningerne så: Når vi fremstiller 0 gram er marginalmkstningerne 00 kr Når vi fremstiller 0 gram er marginalmkstningerne 0 kr Når vi fremstiller 0 gram er marginalmkstningerne 50 kr Vi kan sælge hvert gram fr 50 kr (b) Hvis vi fremstiller 0 gram, hvad sker der så med gram frtjenesten hvis vi fremstiller gram mere? (c) Hvis vi fremstiller 0 gram, hvad sker der så med frtjenesten hvis vi fremstiller gram mere? (d) Hvis vi fremstiller 0 gram, hvad sker der så med frtjenesten hvis vi fremstiller gram mere? Øvelse 8 På en skærm er der et rektangel L sm ændrer højde, g et ur Grafen viser hvrdan højden ændres (a) Hvad er højden kl? (b) Hvr meget større bliver højden på 5 timer? (c) Udregn hvr meget større højden bliver på time (d) Udregn hvr meget større højden bliver på 0,5 timer (e) Hvr mange cm pr time er væksthastigheden? L Øvelse 8 På figuren viser P-grafen hvrdan højden af et rektangel vkser L-grafen viser hvrdan rektanglet fra øvelse 8 vkser L-grafen er tangent til P-grafen i punktet A Spørgsmålene drejer sig m P-rektanglets højde (a) Hvad er højdens væksthastighed kl? (b) Udregn hvr meget større (ca) højden bliver fra kl til kl 4 (c) Udregn hvr meget større (ca) højden bliver fra kl til kl :0 A P L Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 7 00 Karsten Juul

10 Øvelse 8 Vi udsætter ngle dyr på en ø Vi indfører følgende betegnelser: t Antal uger efter at vi udsatte dyrene N Antallet af dyr Den persn der hlder øje med dyrene, siger: () Når t 9, 5 er N 8 () Når t 9, 5 er N 5, 5 (a) Skriv hvad () frtæller m dyrene Du skal altså versætte () til dagligsprg (b) Skriv hvad () frtæller m dyrene Du skal altså versætte () til dagligsprg (c) Udregn et skøn ver hvr meget antallet af dyr stiger i periden fra ni en halv uge efter udsættelsen til ti uger efter udsættelsen? (d) Frestil dig at vi tegnede grafen fr antallet af dyr sm funktin af tiden Og frestil dig at vi tegnede tangenten l i det grafpunkt P sm har førstekrdinat 9,5 Hvad er så andenkrdinaten fr P g hældningskefficienten fr l? Øvelse 9 Om en sammenhæng mellem g y gælder at hvis vi kender værdien af, så kan vi udregne y sådan: Opløft,05 til værdien af g gang resultatet med 00 (a) Skriv denne regel sm en ligning (b) Frestil dig at vi tegner grafen fr y sm funktin af, g at vi afmærker det grafpunkt P der har førstekrdinat 9 Hvad er andenkrdinaten fr P? Øvelse 0 Fr sammenhængen fra Øvelse 9 gælder at hvis vi kender værdien af, så kan vi udregne y' sådan: Opløft,05 til værdien af g gang resultatet med 9,758 (a) Skriv denne regel sm en ligning (b) Frestil dig at vi i punktet P fra Øvelse 9 tegner tangenten til grafen Hvad er denne tangents hældningskefficient? Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 8 00 Karsten Juul

11 Øvelse 0 Den krumme graf viser hvrdan højden af et rektangel vkser (a) På figuren kan vi aflæse væksthastigheder Udfyld den tmme plads i følgende tabel: (timer): Væksthastighed:,5 (b) Gæt ud fra tabellen en simpel metde til at udregne væksthastigheden når tidspunktet er kendt Skriv metden sm en frmel: Væksthastighed Brug frmlen fra (b) til at finde ud af hvad der skal stå på de tmme pladser: (c) Kl 4 er væksthastigheden (d) Kl er væksthastigheden,5 enheder pr time (e) I grafpunktet med førstekrdinat 4 er tangenthældningen (f) I grafpunktet med førstekrdinat er tangenthældningen 5 Øvelse 0 På en graf er aflæst følgende tangenthældninger: : 4 Tangenthældning: (a) Gæt ud fra tabellen en simpel metde til at udregne tangenthældningen i et grafpunkt hvis førstekrdinat er kendt Skriv metden sm en frmel: Tangenthældning Brug frmlen fra (a) til at finde ud af hvad der skal stå på de tmme pladser: (b) I grafpunktet med førstekrdinat,8 er tangenthældningen (c) I grafpunktet med førstekrdinat er tangenthældningen 9,5 Øvelse 04 På en graf er aflæst følgende punkter (, y) g tangenthældninger: : 4 y: Tangenthældning: (a) Gæt frmler ud fra tabellen: y Tangenthældning Brug frmlerne fra (a) til at finde ud af hvad der skal stå på de tmme pladser: (b) Grafpunktet med førstekrdinat, 5 har andenkrdinat (c) I grafpunktet med førstekrdinat,5 er tangenthældningen (d) I grafpunktet med førstekrdinat er tangenthældningen 6 (e) Grafpunktet med psitiv førstekrdinat har andenkrdinat 6 Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 9 00 Karsten Juul

12 Øvelse 05 Fr en graf kan følgende frmler bruges til at beregne andenkrdinat y g tangenthældning fr et punkt hvis førstekrdinat er kendt: y g y (a) Grafpunktet med førstekrdinat har andenkrdinat (b) I grafpunktet med førstekrdinat er tangenthældningen (c) I grafpunktet med psitiv førstekrdinat er tangenthældningen 4 (d) Grafpunktet med førstekrdinat har andenkrdinat 0, 4 Øvelse Funktinen y har differentialkvtienten y Funktinen y ln( +) har differentialkvtienten y Øvelse En variabel y sm funktin af en variabel er givet ved ligningen 64 y 4 + Et punkt A ligger på grafen fr denne sammenhæng Førstekrdinaten fr A er En linje m er tangent til grafen i punktet A (a) Udregn andenkrdinaten fr A (b) Udregn hældningskefficienten fr linjen m (c) Find en ligning fr linjen m Øvelse En funktin har frskriften y 0,5, 6 (a) y (b) Når 7, er y (c) Når 4, er y (d) Når y 5, 0 er (e) Når y 9, er Øvelse 4 Figuren viser grafen fr funktinen m y 0, + 0,8 +,5 samt tangenterne i grafpunkterne A, B g C Løs (a)-(g) på regneskærmen uden at bruge menupunkterne minimum g maksimum eller lignende l A B (a) y (b) Førstekrdinaten fr A er I A er tangenthældningen (c) A har andenkrdinaten (d) I B er tangenthældningen 0 B har førstekrdinaten (e) B har andenkrdinaten (f) C har andenkrdinaten, 5 C har førstekrdinaten (g) I C er tangenthældningen n C Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 0 00 Karsten Juul

13 Øvelse 5 En linje l har hældningskefficienten g går gennem punktet P (, ) (a) l har ligningen Linjen m er tangent i punktet Q til grafen fr funktinen y Q har førstekrdinaten 5 Løs (b)-(d) på regneskærmen uden at bruge menupunkter med tangent Du må gerne bruge menupunktet med (b) Q har andenkrdinaten (c) m har hældningskefficienten (d) m har ligningen Øvelse 6 Linjen n er tangent i punktet R til grafen fr funktinen y n har hældningskefficienten 4 Løs (a)-(c) på regneskærmen uden at bruge menupunkter med tangent (a) R har førstekrdinaten (b) R har andenkrdinaten (c) n har ligningen Øvelse Se på den øverste graf på side 9 i terihæftet (a) Når 0, 97 er y så større end, lig eller mindre end? (b) Når 0, 0 er y så større end 0,, lig 0, eller mindre end 0,? (c) Udregn y når 0, 97 (d) Udregn y når 0, 0 Øvelse Se på den nederste graf på side 9 i terihæftet (a) Er der en del af grafen der er en ret linje? (b) Udregn y-krdinaterne til de punkter på grafen sm har -krdinater 0 g 0,0 g 0,06 Øvelse En ppulatin vkser sådan at 50 y + 4 e 0, hvr y er antallet af individer, g er antal døgn efter 5 maj (a) 0 døgn efter 5 maj er antallet af individer (b) 0 døgn efter 5 maj er væksthastigheden individer pr døgn (c) Når 0 er y (d) Når 0 er y (e) Hvad frtæller facit i (c) m ppulatinen? Svar: (f) Hvad frtæller facit i (d) m ppulatinen? Svar: Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

14 Øvelse En plante vkser sådan at d,8, 06 t hvr d er diameteren i cm, g t er antal dage efter maj Med hvilken hastighed vkser diameteren 40 dage efter maj Øvelse Ved visse undersøgelser lader man temperaturen stige sådan at T 8 + ln(t + ) hvr T er temperaturen i C g t er antal minutter efter undersøgelsens start Udregn T når t 4, 5, g skriv hvad dette tal frtæller m undersøgelsen Øvelse 4 Denne øvelse skal du løse uden at bruge lmmeregner/cmputer En dynamisk skulptur er indrettet sådan at der mellem midnat g kl gælder at h hvr h er skulpturens højde (i cm), g er tiden efter midnat (i timer) Hvad er højdens væksthastighed kl? Øvelse 4 5 En linje m er tangent til grafen fr sammenhængen y i det grafpunkt sm har -krdinat Udregn hældningskefficienten fr m uden at bruge lmmeregner/cmputer Øvelse 5 Besvar denne øvelse uden at bruge lmmeregner/cmputer Fr sammenhængen y gælder: Når er y Når 0, 6 er y Fr sammenhængen y 4 gælder: Når er y Når 0, 6 er y Øvelse 6 Besvar denne øvelse uden at bruge lmmeregner/cmputer Fr sammenhængen y er y Fr sammenhængen y 5 er y 4 Fr sammenhængen y 5 gælder: Når er y Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

15 Øvelse 7 Besvar denne øvelse uden at bruge lmmeregner/cmputer (a) Når y 4 + er y (b) Når y 4 er y (c) Når y 5 er y (d) Når y er y 4 + (e) Når y er y Øvelse 8 Figuren viser grafen fr en funktin h (a) h () h () h (b) h () h () (c) Når h ( ), er (d) Når h ( ), er eller Øvelse 8 En funktin f har frskriften + (a) f () (b) Når er + (e) Når er (c) Når er f () (f) Når er f () (d) f () (g) f () Øvelse 8 (a) Tegn en simpel krum graf fr en funktin f så f ( ) < f () g f ( ) > f () (b) Tegn en simpel krum graf fr en funktin g så g () er, 5 enheder større end g () g g () er større end g () Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

16 Øvelse 84 Figuren viser grafen fr en funktin g (a) g (4) g g (4) (b) Når g ( ) 9, er (c) Når g ( ), er g En funktin h har frskriften h ( ) (d) Et punkt P på h-grafen har førstekrdinat 4 P har andenkrdinat I P er tangenthældningen (e) I et punkt Q på h-grafen er tangenthældningen Q har førstekrdinat eller (f) Et punkt R på h-grafen har andenkrdinat 6 R har førstekrdinat Øvelse 85 En funktin f har frskriften Bestem f () uden at bruge lmmeregner/cmputer Øvelse 86 En funktin f har frskriften 4 Bestem f () g f () uden at bruge lmmeregner/cmputer Øvelse 87 En funktin h er givet ved ( h ) 6 Bestem så h ( ) 0 uden at bruge lmmeregner/cmputer Øvelse 88 En funktin f er givet ved (a) Bestem andenkrdinaten til det grafpunkt der har -krdinaten 4 (b) Bestem hældningskefficienten fr tangenten i dette punkt Øvelse 89 Højden af en bunke træflis kan beskrives ved funktinen f ( t) 8,4 t hvr f (t) er højden i cm, g t er antal minutter efter arbejdets start (a) Hvr høj er bunken efter 5 minutter, g efter 0 minutter? (b) Med hvilken hastighed vkser højden efter 5 minutter, g efter 0 minutter? Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 4 00 Karsten Juul

17 Øvelse 9 En linje m har ligningen m + y 4 Linjen m er tangent til grafen fr f i punktet P (a) Udregn Q 's y-krdinat Q P f (b) Udregn P 's y-krdinat (c) Hvad er m 's hældningskefficient? (d) Hvad er f (4)? (e) Hvad er f (4)? Øvelse 9 En linje l har ligningen y + En funktin f har frskriften (a) Find f () (b) Hvad er hældningskefficenten fr l? (c) Find -krdinaten til det punkt P på grafen fr f hvr tangentens hældningskefficient er (d) Find y-krdinaten til P (e) Ligger punktet P på linjen l? (f) Skriv ligningen fr tangenten til grafen fr f i punktet P Øvelse 9 En funktin f har frskriften + k Tangenten til grafen fr f i punktet med -krdinat har hældningskefficienten 0 Find tallet k Øvelse 94 En funktin f har frskriften (a) Hvr mange tangenter til grafen fr f har hældningskefficienten? (b) Hvr mange tangenter til grafen fr f har hældningskefficienten 0? (c) Hvr mange tangenter til grafen fr f har hældningskefficienten? Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 5 00 Karsten Juul

18 Øvelse 95 En funktin f er givet ved + Tre linjer l, m g n er givet ved l : y 4 m : y 4 6 n : y 4 7 Skriv fr hver af de tre linjer en begrundelse fr m den er tangent til grafen fr f i punktet (, f ()) Øvelse 96 En linje l er tangent til grafen fr en funktin f i grafpunktet med -krdinat 4 Linjen l har ligningen y 5 + b hvr b er et tal Der gælder at f ( ) 0 g f ( 4) 9 (a) Find tallet b (b) Gør rede fr m f-grafens punkt med -krdinat ligger under, på eller ver linjen l (c) Find tallet f (4) Øvelse 97 En linje l er tangent til grafen fr en funktin f i punktet (, f ()) Linjen l har ligningen y a + 4 hvr a er et tal Der gælder at f ( ) g at f ( ) 5 (a) Find tallet a (b) Find tallet f () (c) Udregn den ldrette afstand mellem l g f-grafens punkt med -krdinat Øvelse 0 Når vi udfører en bestemt undersøgelse vil temperaturen aftage sådan at t T ( t) 6,4 + 55, 0, 7 hvr T (t) er temperaturen i C g t er tiden målt i timer efter undersøgelsens start (a) Med hvilken hastighed aftager temperaturen,5 time efter undersøgelsens start? (b) På hvilket tidspunkt aftager temperaturen med hastigheden grader pr time? (c) Udregn T (0) g skriv hvad dette tal frtæller m temperaturen Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 6 00 Karsten Juul

19 Øvelse Brug følgende plysninger til at tegne ngle punkter der ligger på grafen fr f : f ( ) 4, f ( 5), f ( 6), f ( 9) Funktinen f er kntinuert i ethvert tal (a) Ifølge Sætning er der et tal mellem g 5 så 0 (b) Kan der være et tal mellem 5 g 6 så 0? (c) Er det sikkert at der er et tal mellem 6 g 9 så 0? (d) Kan antallet af løsninger til 0 i intervallet 6 < < 9 være? Øvelse f () hemmelig frskrift f ( ) 0 + (a) f ( ) 0 netp når eller (b) Ifølge Sætning er f () kntinuert i ethvert tal hvr den er defineret (c) I hvilke tal er f () kntinuert? (d) Da f () er f () psitiv i intervallet < (e) Da f ( ) er f () i intervallet < < 7 Øvelse Følgende er plyst Funktinen f () er kntinuert i alle tal hvr den er defineret Funktinen g () er kntinuert i alle tal i intervallet 6 Funktinen h () er givet ved en sædvanlig regnefrskrift a, b g c er tal Fr hver af følgende påstande skal du enten begrunde at den er krrekt, eller begrunde at vi ikke kan vide m den er krrekt (se side 5 i teri-hæftet) () Hvis f ( ) 5 g f ( ) 6 er f ( ) 0 fr et tal i intervallet () Hvis g ( ) g g ( 6) er g ( 4) 0 () Hvis h ( ) g h ( 5) er h ( ) 0 fr et tal i intervallet 5 (4) Hvis h () kun er lig 0 når, g h () er defineret fr ethvert tal, g h ( 9) 4, så er h (7) et psitivt tal (5) Hvis a + b + c 4 kun er 0 fr, så er a + b + c 4 et negativt tal fr ethvert tal der er mindre end Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 7 00 Karsten Juul

20 Øvelse Tegn grafen fr en funktin f () sm pfylder alle følgende betingelser: Når er er f () lig I intervallet gælder: J større er, j mindre er f () I intervallet gælder: J større er, j større er f () I intervallet gælder: J større er, j mindre er f () Øvelse (a) Når, 5 er funktinsværdien f () (b) Fr f er funktinsværdien når 0, 5 (c) Fr f er funktinsværdien i større end, 5 når er større end g mindre end eller lig,9 f En funktin f er vksende i et -interval hvis der fr alle -værdier i dette interval gælder: J større er, j større er f () Hvis vi skal vise at f ikke er vksende, så skal vi altså finde t -værdier hvr den største af dem ikke har den største funktinsværdi (d) Skriv at f er vksende, eller skriv t -værdier hvr den største af dem ikke har den største funktinsværdi Svar: g (e) Skriv at g er vksende, eller skriv t -værdier hvr den største af dem ikke har den største funktinsværdi Svar: Øvelse En funktin f er aftagende i et -interval hvis der fr alle -værdier i dette interval gælder: J større er, j mindre er f () Hvis vi skal vise at f ikke er aftagende, så skal vi altså finde t -værdier hvr den største af dem ikke har den mindste funktinsværdi En funktin f er givet ved, +,, > 0 (a) Fr f er funktinsværdien når er (b) Skriv at f er aftagende, eller skriv t -værdier hvr den største ikke har den mindste funktinsværdi Svar: Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 8 00 Karsten Juul

21 Øvelse Grafen fr en funktin f () frløber sådan: Den starter i punktet (, 5), går p til ( 6, 4), går ned til ( 8, ), g går videre ned til ( 9, ) Beskriv mntnifrhldene fr f () på den måde der er vist i ramme i terihæftet Øvelse 4 Figuren viser tre punkter på grafen fr en funktin f hemmelig frskrift f ( ) (a) Fr hvert af de tre punkter skal du udregne tangentens hældningskefficient g tegne tangenten Hældninger: (b) Bemærk at det ikke kun er fr -værdierne,9, 4 g 5 at du kan udregne tangenthældningen Du kan udregne tangenthældningen fr enhver -værdi Tangenthældningen er negativ når < Tangenthældningen er psitiv når > Øvelse 4 Fr en funktin g gælder: g ( ) hemmelig frskrift g ( ) 4 (a) I det punkt på g-grafen hvis -krdinat er 0, er tangenthældningen (b) De punkter på g-grafen hvri tangenthældningen er 0, har -krdinaterne g (c) Er g aftagende mellem disse t tal? Svar: Øvelse 4 Figuren viser en del af grafen fr en funktin f hemmelig frskrift f ( ) (6 ) 0 (a) Er f vksende i hele intervallet 0 >? Svar: Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 9 00 Karsten Juul

22 Øvelse 44 Figuren viser en del af grafen fr en funktin f hemmelig frskrift f ( ) 4,4 00 Er f vksende? Svar: Øvelse 45 Figuren viser hele grafen fr en funktin f hemmelig frskrift, 0 < < 4 f 4 ( ), 0 < < 4 Er f vksende nget sted? Svar: Øvelse 46 Figuren viser grafen fr funktinen (a) f () 0,5, + 5,5, 5 (b) Af frskriften får vi at funktinsværdien i, er (c) Når f ( ) 0, er (d) Skriv at f er aftagende i intervallet,, eller angiv t tal i intervallet hvr det største af dem ikke har den mindste funktinsværdi: (e) Skriv at f er vksende i intervallet, 5, eller angiv t tal i intervallet hvr det største af dem ikke har den største funktinsværdi: Øvelse 47 Figuren viser grafen fr funktinen (a) f () (,6) +,8 (b) Af frskriften får vi at funktinsværdien i, 5 er (c) Af frskriften får vi at funktinsværdien i, 6 er (d) Når f ( ) 0, er (e) Skriv at f er vksende, eller angiv t -værdier hvr den største af dem ikke har den største funktinsværdi: Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 0 00 Karsten Juul

23 Øvelse 48 (a) Tegn grafen fr en funktin f så f () er vksende, g f () er aftagende (b) Tegn grafen fr en funktin g så g () er aftagende, g g () er aftagende (c) Tegn grafen fr en funktin h der pfylder følgende fire betingelser: h () er aftagende i intervallet h () er vksende i intervallet h () er vksende i intervallet h () er aftagende i intervallet Øvelse 5 (Uden hjælpemidler) En funktin f () er bestemt ved (a) Find f () (b) Find de tal hvr f ( ) 0 (c) Udregn f ( ) (d) Hvad kan man sige m frtegnet fr f () når man ved at er et tal i intervallet <? (e) Find frtegnet fr f () fr alle tal (f) Opskriv mntnifrhldene fr f () Øvelse 5 (Uden hjælpemidler) Om en funktin f () plyses det at f ( ) (a) Løs ligningen f ( ) 0 (b) Find frtegnet fr f () fr alle tal (c) Opskriv mntnifrhldene fr f () Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

24 Øvelse 5 (a) På lmmeregner finder vi at plynmiet + 6 kun har det ene nulpunkt (b) Så må + 6 være frskellig fra 0 g kntinuert i ethvert tal i intervallet < (c) Og så må + 6 have samme frtegn i alle tal i intervallet (d) På lmmeregneren finder vi at når er + 6 lig, altså et psitivt tal (e) Altså er + 6 et tal når er et tal i intervallet (f) Hvilket frtegn har + 6 hvis er et tal der er større end? (g) Bestem de -intervaller hvr plynmiet har knstant frtegn, g bestem de 4 værdier af fr hvilke er negativ 4 Øvelse 54 En funktin er givet ved + 9 (a) Bestem f () (b) Løs ligningen f ( ) 0 g bestem de værdier af fr hvilke f () er psitiv Øvelse 55 Bestem mntnifrhldene fr funktinen 4 + Øvelse 56 En funktin f pfylder følgende betingelser: f er differentiabel i alle tal g pfylder følgende: : 6 f () : (a) Angiv mntnifrhldene fr f (b) Tegn grafen fr en eller anden funktin f sm pfylder venstående betingelser Øvelse 57 På tallinjen skal du tilføje det manglende så den bliver i verensstemmelse med grafen () f () : : 0 () Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

25 Øvelse 58 (Uden hjælpemidler) En funktin f er bestemt ved (a) Bestem mntnifrhldene fr f 4 4 Øvelse 59 (Uden hjælpemidler) Om en funktin f plyse at f ( ) + + (a) Bestem mntnifrhldene fr f () Øvelse 6 Når er f (),5 er ikke minimum, fr hvis feks er f () sm er mindre end, 5 f () har minimum fr g minimum er f () f () har maksimum fr g maksimum er Øvelse 6 g () har maksimum fr g maksimum er g () har minimum fr g minimum er g() Øvelse 6, > g p er et psitivt tal sm er mindre end 0,0 er ikke minimum fr f (), fr når er f () sm er mindre end 0, 0 p er ikke minimum fr f (), fr når er f () sm er mindre end p Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

26 Øvelse 64 Figuren viser grafen fr funktinen y 4,4 + (a) y (b) I tppunktet er tangenthældningen (c) Brug svarene på (a) g (b) til at udregne tppunktets førstekrdinat: Tppunktets førstekrdinat er (d) Skærinspunktet med andenaksen har førstekrdinaten (e) Når 0, er y (f) I skæringspunktet med andenaksen er tangenthældningen Øvelse 65 Figuren viser grafen fr funktinen y + +, A er det grafpunkt hvis andenkrdinat er funktinens minimum B er det grafpunkt hvis andenkrdinat er funktinens maksimum (a) Angiv på figuren punkterne A g B (b) I A er tangenthældningen (c) I B er tangenthældningen Løs (d)-(g) på regneskærmen uden brug af ekstremumsværktøjer (d) A har førstekrdinaten (e) B har førstekrdinten (f) Funktinens maksimum er (g) Funktinens minimum er Øvelse 66 Temperaturen i en behlder ændres sådan at y + 4 +, 0,4, 5 hvr y er temperaturen målt i C, g er tiden målt i timer Figuren viser grafen fr denne sammenhæng (a) På det tidspunkt hvr temperaturen er højest, er y Løs (b)-(d) på regneskærmen uden brug af ekstremumsværktøjer (b) Temperaturen er højest på tidspunktet timer (c) Den højeste temperatur er C (d) Den laveste temperatur er C Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 4 00 Karsten Juul

27 Øvelse 7 Tegn grafen fr en funktin f så grafen er sammenhængende g krummer hele vejen, g så: f har lkalt maksimum fr, 4 g det lkale maksimum er y, 7 f har lkalt minimum fr, 5 g det lkale minimum er y, 6 Det lkale maksimum er gså maksimum, men det lkale minimum er ikke minimum Øvelse 7 Tegn grafen fr en funktin f så grafen er sammenhængende g krummer hele vejen, g så: Et lkalt minimum er y Et lkalt maksimum er y (altså mindre end det lkale minimum) Der må gerne være mere end t lkale ekstrema Øvelse 7 Figuren viser grafen fr en funktin f (Sm bekendt betyder cirklerne m grafens endepunkter at endepunkterne ikke hører med til grafen) (a) Løs ligningen (b) Hvr mange løsninger har ligningen hvis k er? (c) Hvr mange løsninger har ligningen hvis k er,? k k (d) Hvilke tal kan k være hvis antallet af løsninger skal være? f Øvelse 74 Tegn grafen fr en funktin g sådan at antallet af løsninger til ligningen g ( ) a er 0 hvis a < hvis a 4 hvis < a < hvis a hvis < a Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 5 00 Karsten Juul

28 Øvelse 8 Tegn grafen fr en funktin f så grafen er sammenhængende g krummer hele vejen, g så: f ( ) f ( ) 0 f har ikke lkalt ekstremum fr Øvelse 8 I en pgave står frskriften fr en funktin f () (Frskriften er et plynmium) Vi løser ligningen f ( ) 0 g får 4 eller (a) Hvis f ( ) er g f () er psitiv så har f () lkalt minimum fr g det lkale minimum er lig f ( ) (b) Hvis f ( ) er g f ( ) er så har f () lkalt maksimum fr g det lkale maksimum er lig f ( ) (c) Hvis f ( ) er g f ( ) er så har f () hverken lkalt maksimum eller lkalt minimum fr Øvelse 8 4 En funktin f er givet ved Bestem f () g bestem de lkale ekstrema fr f Øvelse 84 (a) På side i terihæftet fandt vi frem til mntnifrhld g lkale ekstrema fr en funktin f () Benyt disse plysninger til hurtigt at skitsere grafen fr f () Der er ikke brug fr at udregne flere punkter på grafen da den kun skal bruges sm et hjælpemiddel til at besvare spørgsmål (b) (b) Fr hvilke værdier af a har ligningen kun én løsning? a Øvelse 85 En funktin f () er givet ved k, > 0 hvr k er et psitivt tal Det plyses at f () har minimum fr Bestem k Øvelse 86 4 En funktin f () er givet ved + + k hvr k er et reelt tal Det plyses at maksimum fr f () er 50 Bestem k Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 6 00 Karsten Juul

29 Øvelse 87 En funktin f () er bestemt ved (a) Bestem de lkale ekstrema fr f () + (b) Bestem fr enhver værdi af k antallet af løsninger til ligningen Øvelse 88 En funktin f er bestemt ved 5 5 (a) Undersøg f () med hensyn til lkale ekstrema (b) Bestem fr enhver værdi af a antallet af løsninger til ligningen k a Øvelse 9 I en pgave står frskriften fr en funktin f () (Frskriften er et plynmium) Vi løser ligningen f ( ) 0 g får 5 (a) Hvis f ( 6) er psitiv g f ( ) er så har f () maksimum fr g maksimum er lig f ( ) (b) Hvis f ( ) er g f ( ) er så har f () minimum fr g minimum er lig f ( ) (c) Hvis f ( ) er g f ( ) er så er tallet f ( 5) hverken maksimum eller minimum fr f () Øvelse 9 En differentiabel funktin f er defineret fr alle Linjen med ligningen y 6 er tangent til grafen fr f, g grafen går gennem punktet ( 4, ) Nulpunkter g frtegn fr f () er sm angivet på tallinjen: : 4 f () : (a) Gør rede fr at funktinen f har et maksimum (b) Skitsér en mulig graf fr f Øvelse 0 I en bestemt type knstruktin er der en sammenhæng mellem størrelsen af et rørs verflade g dets afstand fra et andet rør Antag at der er givet en regnefrskrift fr afstanden f (), målt i cm, sm funktin af verfladen, målt i cm Antag at knstruktinen er udført så afstanden er den størst mulige Hvis man skal bestemme verfladens størrelse, skal man så bestemme maksimum fr f () eller bestemme det tal hvri f () har maksimum? Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 7 00 Karsten Juul

30 Øvelse 0 En haveejer har lavet et raftehegn hvr højden af en rafte, målt i meter, er givet ved 0, ,08 +, 0 < < 5 hvr er raftens afstand fra lågen, målt i meter Se tegningen nedenfr (a) Bestem den værdi af hvri f () har maksimum, g frklar hvad du herved har fundet ud af m raftehegnet (b) Bestem maksimum fr f (), g frklar hvad du herved har fundet ud af m raftehegnet Øvelse + Få tegnet grafen fr ( ) på lmmeregneren (a) Ser det ud til at f er differentiabel i 0? (b) Ser det ud til at f er differentiabel i? (c) Ser det ud til at f er differentiabel i? Øvelse Få tegnet grafen fr på lmmeregneren Grafen har en tangent i hvert punkt, men der er ét tal hvr f ikke ikke differentiabel Gæt dette tal ud fra grafen Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 8 00 Karsten Juul

31 Øvelse I tabellen har vi skrevet værdien af fr frskellige værdier af : 0, 60 0, 90 0, 98, 0, 0, 40 : 0, 0 0, 45 0, 49 0, 5 0, 55 0, 70 Sm venstående antyder, gælder: Vi kan få så tæt på ved at vælge tæt nk på det skal være Derfr siger vi at er grænseværdien af Med symbler skriver vi grænseværdien sådan: lim Dette symbl betegner altså tallet fr gående md Øvelse I øvelse mtaler vi størrelsen Vi påstår at vi kan få f () så tæt på det skal være, ved at vælge tæt nk på Antag at vi vil have at afstanden mellem f () g skal være mindre end 0, 000 Angiv et lille interval m så det fr alle der ligger i intervallet g er frskellig fra, gælder at afstanden mellem f () g er mindre end 0, 000 (Du skal blt gætte intervallet ved at udregne f () fr ngle tal der ligger tæt på ) Øvelse Udregn ngle funktinsværdier fr funktinen 4 så du kan gætte svar på spørgsmålene nedenfr (a) Hvad er grænseværdien af f () fr gående md? (b) Angiv et interval m så det fr alle der ligger i intervallet g er frskellig fra, gælder at afstanden mellem f () g grænseværdien er mindre end 0, 00 Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 9 00 Karsten Juul

32 Øvelse 4 Figuren viser grafen fr funktinen (a) Udregn andenkrdinaterne til de t grafpunkter hvis førstekrdinater er g 4 (b) Udregn hældningskefficienten fr linjen gennem disse t punkter Lad hk () betegne hældningskefficienten fr linjen gennem grafpunktet med førstekrdinat g et andet grafpunkt med førstekrdinat Tallet hk (4) er altså det tal der er svaret på (b) (c) Udregn hk (, ), hk (,0) g hk (0,999) (d) Gæt ud fra svarene i (c) grænseværdien af hk () fr gående md Se m dit svar kan passe med figuren Øvelse 5 Brug metde til at udregne følgende t tal: + () lim + () lim 4 6 Øvelse Det er plyst at f ( 4) 0 g g ( 4) 5 Brug sætningerne, g til at udregne følgende tre tal: () lim 4 f (4) 4 f (4) () lim f (4) g( ) g(4) () lim Øvelse Tegn grafen fr en funktin f sådan at g f () lim f () når Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 0 00 Karsten Juul

33 Øvelse 4 Når du løser øvelserne 4-44, så frbereder du dig på at læse ramme 4 i terihæftet (a) Når en linje går gennem punkterne (, y) g (, y ), Brøkstreg så er dens hældningskefficient a (b) På grafen fr en funktin f ligger t punkter med -krdinater g Disse punkters y-krdinater er y g y Linjen gennem disse t punkter har hældningskefficienten a y y (c) På grafen fr en funktin g ligger et punkt P med -krdinat -krdinat Linjen gennem P g Q kalder vi l g et punkt Q med l har hældningskefficienten Ved at vælge tilstrækkelig tæt på kan vi pnå at hældningskefficienten fr l er så tæt det skal være på hældningskefficienten fr i det punkt på grafen sm har -krdinaten g ( ) er hældningskefficienten fr i det punkt på grafen sm har -krdinaten lim g( ) g( ) grafen sm har -krdinaten er hældningskefficienten fr i det punkt på Øvelse 4 Når du løser øvelserne 4-44, så frbereder du dig på at læse ramme 4 i terihæftet Fr funktinen gælder: f (5) f (π) f ( ) f ( ) er grafen sm har -krdiater g fr linjen gennem de t punkter på lim er hældningskefficienten fr har -krdinaten i det punkt på grafen sm Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

34 Øvelse 4 Når du løser øvelserne 4-44, så frbereder du dig på at læse ramme 4 i terihæftet (a) Hvilke af de 6 udtryk er lig hinanden uanset hvilke tal vi indsætter fr a g b? () ( a + b) ( a + b) (4) a b () ( a + b) ( a b) (5) ( a b) () ( a b) ( a b) (6) ( a + b) (b) ( ) ( ) (c) Hvilke af de 4 udtryk er lig hinanden uanset hvilke t frskellige tal vi indsætter fr a g b? a b ( a + b) ( a b) () () a b () a + b (4) a b a b (d) Øvelse 44 Når du løser øvelserne 4-44, så frbereder du dig på at læse ramme 4 i terihæftet (a) Når 4, 5 er + Når 4, er + Når 4, 00 er + Når er nær 4, er + nær + (b) Når 4, 5 er + a Når 4, er + a Når 4, 00 er + a Når er nær 4, er (c) Når er nær a, er + a nær + a + a nær + a Øvelse 45 I denne øvelse udleder du frmlen fr at differentiere en lineær funktin Når a + b er f ( ) f ( ) ) ( lim lim lim lim ( ) lim ( ) lim Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

35 Øvelse 46 Når du løser øvelserne 46-47, så frbereder du dig på at løse øvelse 48 (a) (b) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilke tal 0 vi indsætter fr w g v? () w () w () w + w (4) w w (5) w (6) ( w + v)( w v) (7) w v (8) w v + w v (c) Hvilke af følgende ligninger er gyldige fr alle tal g sm er 0? () + )( ) ( () + )( ) ( () Øvelse 47 Når du løser øvelserne 46-47, så frbereder du dig på at løse øvelse 48 Når 4, 5 er + Når 4, er + Når 4, 0 er + Når er nær 4, er + nær Når er nær a, er + nær Øvelse 48 I denne øvelse udleder du frmlen fr at differentiere kvadratrdsfunktinen Når er f ( ) lim f ( ) f ( ) lim lim ( )( ) Se øvelse 46 (c) lim Se øvelse 47 Se øvelse 46 (b) Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 00 Karsten Juul

36 Øvelse 5 Når du løser øvelserne 5-54, så frbereder du dig på at læse ramme 5 i terihæftet Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden? () ( + g( )) ( f ( a) + g( a)) (4) + g( ) f ( a) g( a) () ( g( )) ( f ( a) g( a)) (5) ( f ( a)) + ( g( ) g( a)) () g( ) f ( a) + g( a) (6) ( f ( a)) ( g( ) g( a)) Øvelse 5 Når du løser øvelserne 5-54, så frbereder du dig på at læse ramme 5 i terihæftet Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden? () () () (4) + k (5) + k (6) + k + k Øvelse 5 Når du løser øvelserne 5-54, så frbereder du dig på at læse ramme 5 i terihæftet Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden? () ( h + k) ( p + q) a b () h p + k + q a b () h p k q a b a b (4) h p k q + a b a b (5) h p + k q a b Øvelse 54 Når du løser øvelserne 5-54, så frbereder du dig på at læse ramme 5 i terihæftet Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden? f (4) g( ) g(0) () lim () lim () (4) g (4) (5) f (4) (6) (7) g (0) ln( ) lim ln() Øvelse 55 I denne øvelse udleder du frmlen fr at differentiere differensen mellem t funktiner Når g( ) h( ) er f ( ) f ( lim ) ( g( ) h( )) ( g( ) h( )) lim lim ( g( ) g( )) ( h( ) h( )) g( ) g( ) h( ) h( lim lim g( ) g( g ( ) h ( ) ) ) lim h( Vi har nu fundet frem til følgende: ( g ( ) h( ) ) Øvelse 56 ) h( Udled frmlen fr at differentiere knstant gange funktin, altså frmlen ( ) k ) k Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 4 00 Karsten Juul

37 Øvelse 6 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer 8 6 ( e ) ( e ) ( 6 e ) Øvelse 6 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( ) ( e ) ( ) e e e Øvelse 6 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( 5e + 5 ) ( 0,0 ) 4 e Øvelse 64 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( + ln( )) ( ln( )) ( ln() ) Øvelse 65 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer En funktin f har frskriften e Udregn f (0) Øvelse 66 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer En funktin p har frskriften p( ) Udregn p () 6ln( ) Øvelse 67 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer En funktin g har frskriften g ( ) + ln( ) Skriv en ligning fr tangenten til grafen fr g i punktet (, () ) g Øvelse 68 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden? () () ( ) + ln( )) Har du husket reglen ln( a b) ln( a) + ln( b)? ln( () ( )) ln( (4) Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 5 00 Karsten Juul

38 Øvelse 7 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( 4 5 e ) 5 Svaret er IKKE 4 5e 0 e bruge den lange frmel fra ramme 7 ( 4 ln( ) ) 5, fr da der står "gange" mellem de t -udtryk, så skal du Øvelse 7 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( e + ) Øvelse 7 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Hvilke af udtrykkene er lig hinanden? () () ( ) () ( ) (4) (5) 6 Har du husket reglen a m n m+ n a a? Øvelse 74 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Hvilke af udtrykkene er lig hinanden? () () ( ) 5 4 () 5 (4) (5) 5 Har du rettet dig efter den advarsel der står nederst i ramme 7? m a m n Har du husket reglen a? n a Øvelse 75 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Når + ln( ) er f () Øvelse 76 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Når g( ) er g () ( + ) e Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 6 00 Karsten Juul

39 Øvelse 8 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer ( + ) Når w + er w så w + er indre funktin g y w er ydre funktin g ( ) + ( + ) Når w + er w g ( ) + w + indehlder, så w + er IKKE indre funktin fr g () Fr hver af følgende funktiner skal du enten: skrive den indre funktin g den ydre funktin eller: skrive at der ikke er en indre funktin (se frklaringen til g () venfr) () h ( ) ln( + + 4) (4) () ( ) ( + ) ln( + ) h( ) 4 (9 ) h (5) h ( ) ( ln( ) ) 00 () h( ) e ( + ) (6) h( ) ( )e Øvelse 9 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer f ) 4 ( + e ) Indre funktin: w Ydre funktin: y Indre funktin differentieret: w Ydre funktin differentieret: y f () ( Øvelse 9 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Differentier funktinerne: () e + 4 () g ( ) ( 4 + ln( ) ) Øvelse 9 Øvelserne 6-9 skal du løse uden at bruge lmmeregner eller cmputer Differentier funktinerne: () ( + 7) () g( ) ( + 7) 4 + () h ) + ln(4 + ) ( Øvelser til "Differentialregning fr gymnasiet g hf " Side 7 00 Karsten Juul