Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori"

Transkript

1 Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori Af Lasse B. Vilhelmsen og Anton M.H. Rasmussen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet De fleste er klar over, at guld er ædelt, og nogle er måske også klar over at dette skyldes at guldoverflader ikke indgår i kemiske reaktioner med molekyler fra luften. I denne artikel undersøger vi de kvantemekaniske årsager til dette fænomen. Det viser sig, at metallers kvantemekaniske egenskaber er utroligt svære at udregne i praksis, og derfor må vi bruge både den snedige beregningsmetode tæthedsfunktionalteori (DFT) og supercomputere for at nå frem til en konklusion. Introduktion Fra Niels Bohr udgav sin atommodel for 100 år siden, gik der kun godt 10 år, før Erwin Schrödinger fremsatte, hvad der idag er kendt som Schrödingers ligning. Denne ligning kan benyttes til at beskrive alle ikkerelativistiske kvantemekaniske systemer og benyttes i atomfysikken og kemien til at beskrive elektroner bundet omkring atomkerner. Udfordringen ved Schrödingers ligning er, at den er en andenordens koblet differentialligning i 3N variable, hvor N er antallet af elektroner. Vil man således beskrive f.eks. et O 2 molekyle (indeholdende 16 elektroner) skal man løse en differentialligning i 3 16 = 48 variable. Denne udfordring blev opdaget tidligt og bl.a. udtrykt af Paul Dirac, en af kvantemekanikkens fædre:... a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much too complicated to be soluble. It therefore becomes desirable that approximate practical methods of applying quantum mechanics should be developed... [1] Siden da er der sket udvikling på to fronter, der tilsammen gør det muligt at lave en kvantemekanisk beskrivelse af systemer med flere tusinde elektroner. Den første udvikling er rent praktisk, nemlig at man ikke længere er begrænset til pen og papir. Gigantiske ligningssystemer kan idag løses på kort tid i supercomputere bygget netop til løsning af videnskabelige problemer. Den anden udvikling omhandler approksimationer og løsningsteknikker til Schrödingers ligning. Disse metoder indeholder nok fysik til at give en korrekt beskrivelse af mange fysiske og kemiske systemer, men de kan løses langt hurtigere end en direkte løsning af Schrödingers ligning. Vi vil i denne artikel fokusere på en bestemt løsningsteknik til Schrödingers ligning kaldet tæthedsfunktionalteori (forkortet DFT fra det engelske Density Functional Theory). DFT er en løsningsteknik oprindeligt udviklet til at beskrive faste stoffer, men den har vist sig særdeles anvendelig i beskrivelsen af kemiske reaktioner på overflader. Teorien bag DFT blev udviklet i løbet af 1970 erne, men først fra midten af 1990 erne var computere blevet hurtige nok til at man rutinemæssigt kunne udføre disse typer af beregninger. Dette er også grunden til at nobelprisen i kemi for udviklingen af DFT først blev givet i 1998 [2]. Som eksempel på hvordan DFT kan anvendes, ser vi på vores forståelse af guldoverflader. Guld er som bekendt det ædleste af metaller, men det var først i 1995 at man ved hjælp af DFT kunne udføre beregninger af de elektroniske egenskaber, der viser sig at være afgørende for molekylers binding på metaloverflader og dermed afgørende for metallets ædelhed. Før vi går efter guldet, starter vi med i næste sektion at give en introduktion til DFT. Baggrunden for tæthedsfunktionalteori DFT er udviklet til at beskrive bindingen imellem atomer. En binding opstår når elektronerne i de yderste baner omkring hvert atom opnår en lavere energi ved at ændre deres baner, idet de vekselvirker med valenselektronerne i de nærliggende atomer. Når man løser Schrödingers ligning er målet at bestemme energien og den tilhørende bølgefunktion Ψ, der beskriver systemets tilstand. Bølgefunktionen er en funktion af alle elektronernes koordinater, Ψ(r 1, r 2,..., r N ), og vi kan således ud fra Ψ spørge til en hvilken som helst placering af de N elektroner i systemet. Figur 1. Til venstre er illustreret hvordan alle elektroner beskrives samtidig når Schrödingers ligning løses. Til højre er vist hvordan hver pseudo-elektron i DFT kun har kendskab til den samlede tæthed n(r). 12 Hvorfor guld er det ædleste metal

2 I DFT bestemmer man derimod den totale elektrontæthed, n(r), der kun er en funktion af de tre rumlige koordinater r = (x, y, z). Tætheden n(r) fortæller os, hvor stor sandsynligheden er for at observere en vilkårlig elektron et givent sted i rummet. Den indeholder dermed ikke information om opførslen af hver enkelt elektron i systemet. På trods af dette, viser det sig at der er en direkte korrespondance mellem elektrontætheden og systemets totale energi. Det åbner muligheden for at udregne systemets energi udfra n(r), uden at udregne den komplicerede bølgefunktion Ψ(r 1, r 2,..., r N ). For at beskrive kemiske bindinger har det dog vist sig at en simplificeret beskrivelse af de enkelte elektronbaner er praktisk. Denne beskrivelse foregår stadig via Schrödingers ligning, men istedet for at beskrive alle elektroner samtidigt i én bølgefunktion, kan man løse Schrödingers ligning N gange, én gang for hver såkaldt pseudo-elektron. Pseudo-elektronerne vekselvirker da med hinanden igennem n(r). Det beregningsmæssige arbejde er nu ændret fra en differentialligning i 3N variable, til N differentialligninger i 3 variable hver dette er et langt nemmere problem. Billedeligt kan det ovenstående forstås som illustreret i figur 1. Ved løsningen af den fulde Schrödinger ligning skal hver enkelt elektron have styr på hvor alle andre elektroner er. I DFT derimod skal hver enkelt pseudo-elektron kun have styr på den totale ladningsfordeling, altså summen af alle elektroner i systemet (inklusiv den selv). En af ulemperne ved denne simplere beskrivelse er, at DFT ikke korrekt kan beskrive elektroner, der er meget stærkt koblede. Det viser sig dog, måske noget overraskende, at en stor klasse af materialer og reaktioner bliver beskrevet særdeles nøjagtigt med DFT. Det er således muligt at beskrive de fleste kemiske reaktioner med en nøjagtighed på omkring 0,1 ev (1 ev = 1, J). Til sammenligning er bindingsenergien i f.eks. et H 2 molekyle cirka 4,5 ev. Hvorfor guld er det ædleste af metaller Det er et kendt fænomen at guld- og sølvtøj ikke let korroderer. Det skyldes at guld og sølv er såkaldte ædelmetaller, der ikke reagerer med f.eks. ilt fra luften. Sølvtøj skal dog pudses oftere end guld og guld bliver generelt betragtet som det ædleste af alle metallerne. For at opnå en forståelse for hvorfor guld er det ædleste af metallerne, kan vi sammenligne beregninger for adsorptionen (dvs. bindingen) af et simpelt molekyle på en guldoverflade og på andre metaller i nærheden af guld i det periodiske system [4]. Figur 2 viser et udsnit af det periodiske system. Vi kan se at hvis vi går højre-venstre ændres fyldningen af d-skallen og hvis vi går op-ned ændres antallet af skaller. For at se på betydningen af d-skallens fyldning (d 9 mod d 10 ) vil vi sammenligne beregninger for platin og guld, og for at undersøge betydningen af antallet af skaller (3d imod 5d) vil vi sammenligne guld og kobber. Figur 2. Udsnit af det periodiske system i nærheden af guld. Angivet er atomnummeret, navnet på atomtypen og den elektroniske konfiguration. Den elektroniske konfiguration er angivet så tallet i potens angiver antallet af elektroner i den givne konfiguration. F.eks betyder [Ar]3d 10 4s 1 at der er ti 3d elektroner, én 4s elektron og en kerne svarende til ædelgassen argons elektronstruktur [3]. Som testmolekyle vil vi benytte H 2, det simpleste (neutrale) molekyle vi kan forestille os. På figur 3 er vist hvordan H 2 under bindingen til guldoverfladen bliver splittet til to hydrogenatomer. Dette sker fordi det er favorabelt for hvert hydrogenatom at være i direkte kontakt med tre metalatomer. Det viser sig at for både guld, kobber og platin binder hydrogen på samme plads i overfladen. Bemærk hvordan der i figur 3 kun er indtegnet tre lag af overfladen. Det skyldes at man i DFT gerne vil beskrive så få atomer som muligt for at spare beregningstid. Det viser sig at 3 6 lag atomer til at beskrive en metalkrystal er nok til at give en korrekt beskrivelse af små molekylers binding til overfladen. Figur 3. Illustration af H 2 der binder til en guldoverflade. Til venstre er H 2 molekylet lige over overfladen og til højre er H 2 molekylet splittet til to hydrogenatomer der hver binder til overfladen. Figur 4. Energien langs adsorptionsvejen for et H 2 molekyle ned på hhv. guld, kobber og platin. KVANT, maj

3 På figur 4 er plottet energien af det samlede system under H 2 s adsorptionsproces. Når H 2 molekylet er langt fra overfladen (til venstre) er energien af interaktionen per definition 0 ev. En negativ energi betyder at H 2 molekylet vinder energi ved at binde til overfladen (en eksoterm reaktion), hvorimod en positiv energi betyder at det koster energi at binde molekylet til overfladen (en endoterm reaktion). Vi kan se at helt som ventet bliver H 2 ikke bundet på guldoverfladen, hvorimod det bliver stærkt bundet til platin og kun svagt til kobber. Guld kontra platin Lad os nu se nærmere på forskellen imellem guld og platin. Hvis vi igen ser på det periodiske system i figur 2 kan vi se at forskellen imellem de to metaller er antallet af 5d-elektroner. Fra atomfysik ved vi at der i en d-skal kan være 10 elektroner. Vi ser derfor at guld har en fyldt d-skal, hvorimod platin har en plads ledig i sin. Før vi kommer til betydningen af fyldningen af d- skallen i adsorptionsprocessen er det instruktivt først at se på hvad der sker når et H 2 molekyle bliver dannet i vakuum. På figur 5 er vist et energidiagram for dannelsen af H 2 fra 2H. Når de to atomer føres sammen dannes to nye tilstande ved en såkaldt hybridisering af de atomare elektrontilstande. De to nye tilstande er hhv. en bindende tilstand og en antibindende tilstand. Den bindende hedder en bindende tilstand fordi den har lavere energi end de oprindelige tilstande, og tilsvarende har den antibindende tilstand højere energi end de oprindelige tilstande. Hver af disse tilstande kan indeholde to elektroner, og fordi vi kun har to elektroner i alt, bliver begge elektroner fyldt i den bindende tilstand, idet de mest stabile tilstande altid bliver fyldt først. Bemærk at den antibindende tilstand bliver forskudt mere op i energi end den bindende tilstand bliver forskudt ned. Dette vil blive et vigtigt resultat senere. Figur 5. Energidiagram der viser at 1s elektronerne i hydrogen kan danne en ny tilstand med lavere energi ved at danne et H 2 molekyle. Bemærk at den antibindende tilstands energiskift op er større end den bindende tilstands energiskift ned. Det samme billede kan overføres til adsorptionen af H på en metaloverflade. Der bliver stadig dannet en bindende og antibindende tilstand under adsorptionen, men disse tilstande bliver nu ikke dannet ved en hybridisering imellem to atomare tilstande, men istedet mellem 1s tilstanden fra hydrogenatomet og den samlede tilstand af overfladen. Fordi en metaloverflade indeholder et stort antal elektroner, er der et stort antal tilstande i overfladen. Man har derfor ikke længere at gøre med enkelte tilstande med en given energi, men derimod såkaldte bånd af tilstande. I disse bånd er der et varierende antal tilstande for hver energi og denne variation kaldes for tilstandstætheden. På figur 6 er vist tilstandstætheden for 5delektronerne (venstre) og for hydrogens 1s-elektron efter hydrogen er blevet adsorberet på overfladen (højre). Energiaksen er justeret så alle tilstande med negativ energi er fyldte. Figur 6. Venstre: Den del af tilstandstætheden der har karakter af 5d-elektronerne i guld og platin. Højre: Den del af tilstandstætheden der har karakter af 1s elektronen i hydrogen. Pilene angiver positionen af den antibindende tilstand (se figur 5). Det første vi kan se fra tilstandstætheden er at 5delektronerne danner et sammenhængende bånd, der starter omkring 6 ev. Fordi d-båndet kun er delvist fyldt for platin, passerer dette bånd forbi 0 ev, således at nogle tilstande kan være fyldte og nogle tomme. For guld, hvor båndet er fyldt, er hele båndet placeret under 0 ev. Fordi de nye tilstande, der bliver dannet under adsorptionen af H, opstår ved en hybridisering med bl.a. d-båndet, er d-båndets placering afgørende for energien af de nye tilstande. Man kunne i den sammenhæng forestille sig, at det vil være en fordel hvis d-båndet ligger ved en lav energi, så energien af de nye tilstande ville blive tilsvarende lave. Vi husker dog fra dannelsen af H 2 i figur 5 at den antibindende tilstand bliver skiftet mere op i energi end den bindende bliver skiftet ned. Hvis d-båndet ligger så lavt at både den bindende og antibindende tilstand bliver fyldt, vil nettoresultatet derfor være en højere energi. Altså er bindingen ustabil. Dette er netop hvad der sker for guld. På tilstandstætheden for hydrogen 1s på guld og platin (til højre på figur 6) er indtegnet hvor den antibindende tilstand er placeret. Vi ser at for guld er denne tilstand blevet trukket ned under 0 ev og tilstanden er dermed fyldt. For platin derimod ligger tilstanden ved en positiv energi og er dermed ikke fyldt. 14 Hvorfor guld er det ædleste metal

4 Ovenstående er således forklaringen på hvorfor ædelmetallerne er ædle: Fordi valens d-skallen er fyldt, ligger den så lavt i energi, at både bindende og antibindende tilstande bliver fyldt, når et molekyle interagerer med disse metaller. Den fyldte antibindende tilstand gør adsorptionen kostbar. Guld kontra kobber Nu har vi argumenteret for hvorfor guld, sølv og kobber er mere ædle end platin: Deres fyldte d-bånd gør reaktioner med molekyler energikrævende. Det kan derfor virke overraskende at H 2 alligevel kan binde til kobber, som vist på figur 4. Dette kan forstås ved at opdele bindingen imellem hydrogenatomet og metaloverfladen i to bidrag. Det ene bidrag er hydrogens vekselvirkning med d-båndet, som vi allerede har set på. Det andet bidrag stammer fra vekselvirkningen med metallets s- bånd. Vekselvirkningen med s-båndet giver for både guld, platin og kobber anledning til en væsentlig binding med omtrent samme styrke for alle tre metaller. Til gengæld påvirker denne stærke vekselvirkning med s-båndet vekselvirkningen med d-båndet forskelligt for forskellige metaller. For at forstå dette sammenspil vil vi sammenligne guld og kobber. På figur 7 er vist valens s-tilstanden og én af valens d-tilstandene for kobber (venstre) og guld (højre). Vi kan se at for kobber ligger d-tilstanden begravet dybere bag s-tilstanden. Dette betyder at et molekyle, der vekselvirker med kobber, vil opnå et stort overlap med s-tilstande, før der kan opnås overlap med d-tilstandene. For guld har d-tilstandene en større udstrækning, og overlap med s-tilstanden medfører derfor et stort overlap med d-tilstandene. Dette overlap mellem hydrogens 1s og gulds 5d-tilstande bliver faktisk for stort, i den forstand at energien stiger. Dette skyldes Paulis udelukkelsesprincip, der siger at elektroner ikke kan optræde i samme tilstand (hvilket også er årsagen til at elektronerne i et atom ikke alle kan henfalde til den laveste 1s-tilstand). Når guld bliver småt Vi har i det foregående set hvordan DFT-beregninger kan benyttes til at forklare hvorfor guld er et ædelmetal. Overraskende nok har det vist sig at små guldpartikler på 1-3 nm er særdeles reaktive og dermed ikke længere ædle. Dette har været eksperimentelt kendt siden slutningen af 1980 erne, men nu 25 år senere er nanometrisk guld stadig et særdeles aktivt forskningsfelt. Det skyldes deres potentielle anvendelser indenfor katalyse [5]. For mange kemiske reaktioner eksisterer en energibarriere, der skal overkommes for at reaktionen kan forløbe. En katalysators opgave er at mindske denne energibarriere, så reaktionen kan forløbe hurtigere eller med lavere energiforbrug. På figur 4 kan vi se, at H 2 kan splittes på en platinoverflade nærmest uden barriere. Derimod er der en barriere på omkring 1,1 ev for at splitte H 2 ned på en guldoverflade. Platin er dermed en god katalysator i reaktionen H 2 (gas) 2H(adsorberet), hvorimod guld ikke er det. En af de reaktioner, der forløber i en bilkatalysator, er omdannelsen af CO til CO 2. Denne reaktion er vigtig, fordi CO er giftigt at indånde, hvorimod CO 2 er ganske ufarligt. Det har vist sig, at små guldpartikler er særdeles gode som katalysatorer for netop denne reaktion, men en fyldestgørende forklaring på hvorfor det er tilfældet, er stadig ikke opnået. Det skyldes, at denne ellers simple reaktion udført på små guldpartikler påvirkes af mange faktorer samtidigt. Figur 8. Illustration af de forskellige aspekter der skal medregnes når nanometriske guldkrystaller undersøges. Figur 7. Den semi-transparente kugle viser 4s-orbitalen (kobber) og 6s-orbitalen (guld). Indenfor er vist en af 3d (kobber) og 5d (guld) orbitalerne. Alle orbitaler er tegnet ved samme tæthed. Forklaringen på hvorfor kobber er mindre ædelt end guld, er dermed at finde i den forskellige fysiske udstrækning af 3d- og 5d-elektronerne: gulds 5delektroners store udstrækning er i vejen, når bindingen til s-båndet etableres, og det koster energi. På figur 8 er illustreret nogle af de mekanismer, der kan spille ind når vi skal undersøge en katalytisk proces på en nanopartikel. Modsat reaktioner på overfladen af en perfekt metalkrystal har vi i nanopartiklerne mange forskellige typer atomer. Vi har atomer på hjørner, kanter og forskelligt orienterede overflader. Vi har atomer i toppen af partiklen eller på kontaktfladen imellem metalpartiklen og den overflade partiklen er placeret på. Disse atomer er alle placeret i forskellige omgivelser og de kan bidrage forskelligt i den katalytiske proces. I tillæg til disse geometriske faktorer kommer elektroniske effekter. Fordi guldpartiklerne nu har en begrænset størrelse, er de ikke længere nødvendigvis metalliske. Der kan også ske ladningsoverførsel fra den overflade partiklen er understøttet på. KVANT, maj

5 Vi kan med DFT beregninger isolere de forskellige effekter beskrevet ovenfor og se på hvordan de påvirker f.eks. barrieren for reaktionen O 2 (gas) 2O(adsorberet). Netop muligheden for at isolere forskellige aspekter ved at opstille tænkte scenarier er en af de største styrker ved DFT, men samtidigt også en af de største udfordringer. Der er i DFT beregninger ikke en indbygget mekanisme der kan fortælle os om de beregninger vi laver er det rene tankespin. Det er derfor vigtigt at have eksperimentelle data at sammenligne med. Konklusioner Vi har i denne artikel vist, hvordan DFT beregninger kan benyttes til at opnå en øget forståelse af kemiske processer. Ved at sammenligne den beregnede tilstandstæthed for guld og platin kan vi forstå hvorfor en fyldt d-skal giver anledning til et mere ædelt metal. Ud fra forskellene i d-tilstandenes udstrækninger for kobber og guld, forklares hvorfor gulds store 5d-tilstand forhindrer guld i at reagere, og dermed gør det endnu mere ædelt. I den sidste del af artiklen har vi kort beskrevet at små guldpartikler ikke længere er ædle og vi har forsøgt at illustrere hvor komplekst det er at undersøge disse små partikler ifht. at undersøge hele krystaloverflader. Litteratur [1] Paul A. M. Dirac, Quantum Mechanics of Many- Electron Systems, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 123 (792): , [2] Walter Kohn, Nobel Lecture Electronic Structure of Matter Wave Functions and Density Functionals /kohn-lecture.html, [3] Neil W. Ashcroft og N. David Mermin. Solid State Physics. Brooks Cole, [4] Bjørk Hammer og Jens K. Nørskov. Why gold is the noblest of all the metals. Nature, 376 (6537): , [5] A. S. K. Hashmi og Graham J. Hutchings. Gold Catalysis. Angewandte Chemie International Edition, 45 (47): , Lasse B. Vilhelmsen er ph.d.-studerende i fysik ved Aarhus Universitet og arbejder til dagligt med DFT til at beskrive de katalytiske egenskaber af nanopartikler på overflader ved hjælp af en genetisk algoritme. Anton M.H. Rasmussen er ph.d.-studerende ved Aarhus Universitet. Han anvender DFT til at undersøge, hvordan molekyler indgår i katalytiske reaktioner på metaloverflader, især hvordan reaktionerne kan kende forskel på molekyler, der er hinandens spejlbilleder. 16 Hvorfor guld er det ædleste metal

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

IONER OG SALTE. Et stabilt elektronsystem kan natrium- og chlor-atomerne også få, hvis de reagerer kemisk med hinanden:

IONER OG SALTE. Et stabilt elektronsystem kan natrium- og chlor-atomerne også få, hvis de reagerer kemisk med hinanden: IONER OG SALTE INDLEDNING Når vi i daglig tale bruger udtrykket salt, mener vi altid køkkensalt, hvis kemiske navn er natriumchlorid, NaCl. Der findes imidlertid mange andre kemiske forbindelser, som er

Læs mere

TILBUD TIL DIG OG DINE ELEVER PÅ NATURVIDENSKAB

TILBUD TIL DIG OG DINE ELEVER PÅ NATURVIDENSKAB SCIENCE AND TECHNOLOGY AARHUS UNIVERSITET TILBUD TIL DIG OG DINE ELEVER PÅ NATURVIDENSKAB Jens Holbech, Science and Technology 1 Klaus Mølmers bog Kvantemekanik atomernes vilde verden Jesper Nymann Madsen

Læs mere

Opgave: Du skal udfylde de manglende felter ud fra den information der er givet

Opgave: Du skal udfylde de manglende felter ud fra den information der er givet pgave 1a.01 Brug af det periodiske system pgave: Du skal udfylde de manglende felter ud fra den information der er givet Eks: I rubrik 1 kendte vi grundstof nummeret (nr. 11). Ved brug af det periodiske

Læs mere

Spørgsmål 1. Øvelse: Kobber plus dibrom. Teori: Atomers opbygning.

Spørgsmål 1. Øvelse: Kobber plus dibrom. Teori: Atomers opbygning. Spørgsmål 1. Øvelse: Kobber plus dibrom. Atomers opbygning. Atomets struktur. Det periodiske system. Betydning af hovedgrupperne. Ædelgassernes elektronstruktur i den yderste skal. Dannelse af ioner og

Læs mere

NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10

NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10 NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10 Elevens navn: CPR-nr.: Skole: Klasse: Tilsynsførendes navn: 1 Tilstandsformer Tilstandsformer Opgave 1.1 Alle stoffer har 3 tilstandsformer.

Læs mere

Intra- og intermolekylære bindinger.

Intra- og intermolekylære bindinger. Intra- og intermolekylære bindinger. Dipol-Dipol bindinger Londonbindinger ydrogen bindinger ydrofil ydrofob 1. Tilstandsformer... 1 2. Dipol-dipolbindinger... 2 3. Londonbindinger... 2 4. ydrogenbindinger....

Læs mere

Brombærsolcellen - introduktion

Brombærsolcellen - introduktion #0 Brombærsolcellen - introduktion Solceller i lommeregneren, solceller på hustagene, solceller til mobiltelefonen eller solceller til den bærbare computer midt ude i regnskoven- Solcellen har i mange

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse

nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse I dette hæfte kan du læse baggrunden for udviklingen af brombærsolcellen og hvordan solcellen fungerer. I

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Mundtlige eksamensopgaver

Mundtlige eksamensopgaver Mundtlige eksamensopgaver Kemi C 3ckecmh11308 Grundstoffer og det periodiske system Øvelse: Kobber + dibrom Spørgsmål 1 Forklar hvordan et atom er opbygget og hvad isotoper er. Grundstofferne er ordnet

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Projektkatalog SRP hos ScienceTalenter

Projektkatalog SRP hos ScienceTalenter Projektkatalog SRP hos ScienceTalenter Katalog over udbudte studieretningsprojekter ScienceTalenter udbyder i skoleåret 2014/2015 en række studieretningsprojekter, hvori talenter tilbydes kompetent og

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Kemi B Anja Skaar Jacobsen

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA)

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Liv i Universet Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Er der liv andre steder i universet end her på Jorden? Det er et af de store spørgsmål, som menneskeheden har stillet sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie

Læs mere

Molekyler & Mere Godt Kemi

Molekyler & Mere Godt Kemi Molekyler & Mere Godt Kemi Elektronparbindinger Molekylgeometri Elektronegativitet Ethanol Buchminster Fulleren Carbondioid Asbest influenza vaccine Diamant Indhold. 1. Molekyler og Kovalente Bindinger....

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

1 Atomets opbygning. Du skal fortælle om det periodiske system og atomets opbygning. Inddrag eksperimentet Reaktionen mellem kobber og dibrom.

1 Atomets opbygning. Du skal fortælle om det periodiske system og atomets opbygning. Inddrag eksperimentet Reaktionen mellem kobber og dibrom. 1 Atomets opbygning Du skal fortælle om det periodiske system og atomets opbygning. Inddrag eksperimentet Reaktionen mellem kobber og dibrom. Kernepartikler og elektronstruktur Periodisk system - hovedgrupper

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget 14 TEMA: TRE TIGERSPRING FOR MATERIALEFORSKNINGEN Hvis man skal forstå forskellen på en glas og en væske er det ikke nok at vide, hvordan atomerne sidder placeret, man skal også vide hvordan de bevæger

Læs mere

Oste-kemi. Størstedelen af proteinerne i mælken findes som små kugleformede samlinger, kaldet miceller.

Oste-kemi. Størstedelen af proteinerne i mælken findes som små kugleformede samlinger, kaldet miceller. Man behøver ikke at sætte sig ind i de mere tekniske eller kemiske forhold for at lave ost selv, men for dem som gerne vil vide mere om hvad der grundlæggende sker ved forvandlingen af mælk til ost, så

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance Fag: Fysik/kemi Hold: 20 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 36-37 Jordens dannelse Kende nogle af nutidens forestillinger om universets opbygning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Årstid/årstal Institution Sommer 2015 VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Uddannelse Hf/hfe/hhx/htx/stx/gsk/

Læs mere

Alt om galvanisk tæring

Alt om galvanisk tæring Alt om galvanisk tæring For de fleste har galvanisk tæring været et begreb forbundet med noget totalt uforståeligt. Vi forklarer hvorfor og hvordan galvanisk korrosion sker, hvordan du kan måle det, og

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - -

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - - SDU og DR Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? Atom-model: - - - + + - + + + + + - - - Hvad er et atom? Alt omkring dig er bygget op af atomer. Alligevel kan du ikke se et enkelt

Læs mere

May the force be with you

May the force be with you May the force be with you Esben Thormann, Department of Chemistry, Surface Chemistry, Royal Institute of Technology, Stockholm. Adam C. Simonsen og Ole G. Mouritsen, MEMPHYS-Center for Biomembran fysik,

Læs mere

Energiform. Opgave 1: Energi og energi-former

Energiform. Opgave 1: Energi og energi-former Energiformer Opgave 1: Energi og energi-former a) Gå sammen i grupper og diskutér hvad I forstår ved begrebet energi? Hvilket symbol bruger man for energi, og hvilke enheder (SI-enhed) måler man energi

Læs mere

Lys fra silicium-nanopartikler. Fysiklærerdag 22. januar 2010 Brian Julsgaard

Lys fra silicium-nanopartikler. Fysiklærerdag 22. januar 2010 Brian Julsgaard Lys fra silicium-nanopartikler Fysiklærerdag 22. januar 2010 Brian Julsgaard Oversigt Hvorfor silicium? Hvorfor lyser nano-struktureret silicium? Hvad er en nanokrystal og hvordan laver man den? Hvad studerer

Læs mere

Eksamensopgaverne offentliggøres selvfølgelig med det forbehold, at censor kan komme med ændringsforslag.

Eksamensopgaverne offentliggøres selvfølgelig med det forbehold, at censor kan komme med ændringsforslag. VUC Århus, 17. maj. 2011 Kære alle kursister på holdene ke02da1c (kemi C flex, helårsholdet) og ke05da1c (kemi C flex, halvårsholdet) På de næste mange sider vil I kunne se Jeres kommende eksamensopgaver

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX

Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX 1 Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX STX, HHX, HTX og HF Indledning Der sondres mellem 2 typer optagelsesprøver : Den obligatoriske optagelsesprøve:

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse HF Fag og niveau Lærer(e) Hold Kemi C Susanne Brunsgaard Hansen

Læs mere

Brombærsolcellens Fysik

Brombærsolcellens Fysik Brombærsolcellens Fysik Søren Petersen En brombærsolcelle er, ligesom en almindelig solcelle, en teknologi som udnytter sollysets energi til at lave elektricitet. I brombærsolcellen bliver brombærfarvestof

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie

Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie Dato: 22-08-2014 Copyright af Bach & McKenzie 2014 Introduktion Indholdsfortegnelse 03 Hovedtal Kære VIRKSOMHED A/S Tillykke med jeres nye Social

Læs mere

Anvendt BioKemi: Blod som et kemisk system, Struktur af blod

Anvendt BioKemi: Blod som et kemisk system, Struktur af blod Anvendt BioKemi: Struktur 1) MM1 Intro: Terminologi, Enheder Math/ biokemi : Kemiske ligninger, syre, baser, buffer Små / Store molekyler: Aminosyre, proteiner 2) MM2 Anvendelse: blod som kemiske systemer

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Redoxprocessernes energiforhold

Redoxprocessernes energiforhold Bioteknologi 2, Tema 3 Opgave 8 Redoxprocessernes energiforhold Dette link uddyber energiforholdene i redoxprocesser. Stofskiftet handler jo netop om at der bindes energi i de organiske stoffer ved de

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Eksamensspørgsma l kemi C, 2015, kec324 (CHT)

Eksamensspørgsma l kemi C, 2015, kec324 (CHT) Oversigt Sp. 1 og 2 Ioner og Ionforbindelser Sp. 3, 4 og 5 Molekylforbindelser Sp. 6 Kemisk mængdeberegning Sp. 7 Koncentration i en opløsning Sp. 8 og 9 Organisk kemi Sp. 10 og 11 Syrer og baser Sp. 12

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Eksamen maj/juni 2015 Institution Kolding VUC Uddannelse Hfe Fag og niveau Kemi C, prøveform a) Lærer(e) Anneke

Læs mere

1 X, Y, Z: Bekendt/Ubekendt - Naturvidenskabelige dage 8. februar og 1. marts 2012 i 3. og 4. lektion

1 X, Y, Z: Bekendt/Ubekendt - Naturvidenskabelige dage 8. februar og 1. marts 2012 i 3. og 4. lektion 1 X, Y, Z: Bekendt/Ubekendt - Naturvidenskabelige dage 8. februar og 1. marts 2012 i 3. og 4. lektion ONSDAG d. 8. februar og torsdag d. 1. marts er 3. og 4. lektion afsat til valgaktiviteter under overskriften

Læs mere

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Røntgenstråling : Røntgenstråling

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Introduktion til sundhedsøkonomi

Introduktion til sundhedsøkonomi Introduktion til sundhedsøkonomi Lars Ehlers Center for Folkesundhed Definition af økonomi: Studiet af hvordan mennesker og samfund vælger med eller uden brug af pengefastsættelse at anvende knappe ressourcer,

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Den studerende skal i studiet anvende lærings- og arbejdsformer, der baserer sig på informations og kommunikationsteknologi.

Den studerende skal i studiet anvende lærings- og arbejdsformer, der baserer sig på informations og kommunikationsteknologi. 11.2 Fysik/kemi Fagets identitet Fysik og kemi handler om menneskets udforskning og fortolkning af den fysiske verden og interaktion med verden lige fra subatomare fænomener til universet efter big bang.

Læs mere

Ny karakterskala nye mål?

Ny karakterskala nye mål? Ny karakterskala nye mål? Workshop Camilla Rump Lene Møller Madsen Mål for workshoppen Efter workshoppen skal deltagerne kunne Lave en operationel mål- og kriteriebeskrivelse af 12-tallet og 2-tallet for

Læs mere

Grundstoffer og det periodiske system

Grundstoffer og det periodiske system Grundstoffer og det periodiske system Gør rede for atomets opbygning. Definer; atom, grundstof, isotop, molekyle, ion. Beskriv hvorfor de enkelte grundstoffer er placeret som de er i Det Periodiske System.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Effektmålsmodifikation

Effektmålsmodifikation Effektmålsmodifikation Mads Kamper-Jørgensen, lektor, maka@sund.ku.dk Afdeling for Social Medicin, Institut for Folkesundhedsvidenskab It og sundhed l 21. april 2015 l Dias nummer 1 Sidste gang Vi snakkede

Læs mere

Forord. Undervisere kan bruge arket ved først at kontakte pierre@naae.dk og få et skriftligt tilsagn.

Forord. Undervisere kan bruge arket ved først at kontakte pierre@naae.dk og få et skriftligt tilsagn. Forord Dette hjælpeark til mol og molberegninger er lavet af til brug på Nørre Åby Efterskole. Man er som studerende/elev meget velkommen til at hente og bruge arket. Undervisere kan bruge arket ved først

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Kemi. Formål og perspektiv

Kemi. Formål og perspektiv Kemi Formål og perspektiv Formålet med undervisningen er, at eleverne skal få kendskab til forskellige stoffers kemiske egenskaber og til processer og lovmæssigheder. Vejen dertil går gennem aktiv iagttagelse

Læs mere

Fagbeskrivelse for Fysik/kemi. Aabenraa friskole

Fagbeskrivelse for Fysik/kemi. Aabenraa friskole Fagbeskrivelse for Fysik/kemi på Aabenraa friskole Grundlæggende tanker og formål Fysik og Kemi på Aabenraa Friskole 9. klasse 8. klasse 5. og 6. klasse 7. klasse Overordnet beskrivelse og formål: Formålsbeskrivelse:

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Social kapital i skolen vejen til bedre trivsel og kvalitet?

Social kapital i skolen vejen til bedre trivsel og kvalitet? i skolen vejen til bedre trivsel og kvalitet? Resultater fra en undersøgelse af københavnske skoler Af Tage Søndergård Kristensen, arbejdsmiljøforsker, mag.scient.soc. & dr.med. Et nyt begreb er ved at

Læs mere

Kontakthierarkier i. Denne vejledning beskriver forskellige måder, man kan præsentere sin myndighed over for borgere og virksomheder

Kontakthierarkier i. Denne vejledning beskriver forskellige måder, man kan præsentere sin myndighed over for borgere og virksomheder Kontakthierarkier i digital post Denne vejledning beskriver forskellige måder, man kan præsentere sin myndighed over for borgere og virksomheder i digital post. Version: 3.0 Udarbejdet: november 2011 Udarbejdet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2012 ZBC Ringsted

Læs mere

Årsplan Skoleåret 2014/2015 Fysik/Kemi Nedenfor følger i rækkefølge undervisningsplaner for skoleåret 14/15. Skolens del og slutmål følger

Årsplan Skoleåret 2014/2015 Fysik/Kemi Nedenfor følger i rækkefølge undervisningsplaner for skoleåret 14/15. Skolens del og slutmål følger Årsplan Skoleåret 2014/2015 Fysik/Kemi Nedenfor følger i rækkefølge undervisningsplaner for skoleåret 14/15. Skolens del og slutmål følger folkeskolens fællesmål slut 2009. 1 Årsplan FAG: Fysik/kemi KLASSE:

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

NGG Studieretning X: MA-FY-KE

NGG Studieretning X: MA-FY-KE Studieretning NGG Studieretning X: MA-FY-KE Matematik A - Fysik B - Kemi B Disse sider indeholder en række links til uddannelsessteder og bekendtgørelser etc. Derfor ligger de også på skolens hjemmeside.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Marie

Læs mere