(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 23. maj 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 13 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 II.3 III.1 III.2 IV.1 IV.2 IV.3 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VII.1 VII.2 VII.3 VIII.1 IX.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar / Opgave IX.2 X.1 X.2 XI.1 XI.2 XII.1 XII.2 XIII.1 XIII.2 XIII.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Ved illegal import af hunde fra Østlandene, fås ofte hunde til landet der ikke er vaccinerede mod en given sygdom. Der er kommet et nyt præparat på markedet til behandling af ikke vaccinerede hunde, hvis de angribes af sygdommen. Hidtil har sygdommen medført en stor dødelighed blandt de importerede hunde, men producenten af det nye præparat påstår at mindst 80% af de angrebne hunde vil overleve, hvis de behandles med præparatet. På en dyreklinik behandles 30 hunde med præparatet, og 19 af disse helbredes. Spørgsmål I.1 (1) Modbeviser dette resultat producentens påstand, hvis et signifikansniveau på α = 5% anvendes: (Både konklusion og argument skal være i orden) 1 Ja, idet P-værdien = P (X 19) = , hvor X er en bin(x; 30, 0.8)-fordeling 2 Nej, idet P-værdien = P (X 19) = , hvor X er en bin(x; 30, 0.8)-fordeling 3 Nej, idet P-værdien = P (X 19) = , hvor X er en bin(x; 30, 0.5)-fordeling 4 Ja, idet P-værdien = P (X 20) = , hvor X er en bin(x; 30, 0.5)-fordeling 5 Nej, idet P-værdien = P (X 20) = , hvor X er en bin(x; 30, 0.8)-fordeling Spørgsmål I.2 (2) Dyrlægerne har pligt til at indberette sygdomstilfældene. I en periode er der i middel indberettet 10 sygdomstilfælde pr. arbejdsdag. Hvis man anvender den sædvanlige sandsynlighedsfordeling for antal hændelser pr. tidsenhed med et gennemsnit på 10 pr. dag, bliver sandsynligheden for at få 16 indberetninger eller flere en given dag: Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Ved produktion af en folie kontrolleres en færdig rulle folie ved at tykkelsen af folien måles i nogle punkter fordelt over rullens bredde. Produktionen anses for stabil, hvis middelværdien af differensen mellem største og mindste mål ikke overstiger 0.35mm. På et givet skift er følgende data fundet for 10 ruller: Rulle Max. mål i mm (y max ) Min. mål i mm (y min ) Max-Min(D) Følgende beregningsstørrelser kan evt. benyttes: ȳ max = 2.508, ȳ min = 2.103, s ymax = , s ymin = , s D = Spørgsmål II.1 (3) Testes følgende hypotese om middelforskellen: H 0 : µ D = 0.35 H 1 : µ D > 0.35 fås følgende t-værdi: ( ) = 3.90 ( )/2 3 10( ) = 0.56 ( )/ ( )/(2 10) = / 10 = 1.80 Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål II.2 (4) Den kritiske værdi for t-testet for hypotesen: H 0 : µ D = 0.35 H 1 : µ D > 0.35 på niveau α = 0.01 bliver (udtrykt vha. R-funktioner) 1 qt(0.99,9) (= 2.821) 2 qnorm(0.995) (= 2.576) 3 qt(0.995,18) (= 2.878) 4 qt(0.005,18) (= 2.878) 5 qnorm(0.025) (= 1.96) Spørgsmål II.3 (5) For én af de folier, der produceres, er kravet, at middeltykkelsen skal være µ = 2.55mm med en spredning på σ = 0.10mm. Hvor mange målinger af tykkelsen skal der foretages, hvis det kræves, at et 95% konfidensinterval for foliens tykkelse har en bredde på maks. 0.1mm: 1 85, idet ( /0.05) = , idet ( /0.10) 2 = , idet ( /0.05) 2 = , idet ( /0.1) 2 = , idet ( /0.1) 2 = 5.12 Fortsæt på side 5 4

5 Opgave III Som led i fødevarekontrollen i et supermarked udtrækkes der fra køledisken 5 ferske kyllinger med andet oprindelsesland end Danmark til kontrol. Det antages, at der i alt er 15 kyllinger i køledisken, og det antages at 3 af disse er inficerede med salmonella. Den stokastiske variabel X beskriver antallet af kyllinger, der er inficerede med salmonella blandt de 5 udtrukne. Spørgsmål III.1 (6) Hvad er middelværdien og spredningen for X? 1 µ X = 3 og σ X = µ X = 1 og σ X = µ X = 1 og σ X = µ X = 1 og σ X = µ X = 1 og σ X = Spørgsmål III.2 (7) Kyllinger modtages i partier på 1500 stk., et parti kontrolleres ved at 15 kyllinger udtages til kontrol og partiet accepteres, hvis alle de kontrollerede kyllinger er frie for salmonella. Antag at kyllinger med andet oprindelsesland end Danmark indeholder 10% kyllinger, der er inficerede med salmonella. Antag at dansk producerede kyllinger indeholder 1% kyllinger, der er inficerede med salmonella. Sandsynligheden for at acceptere partiet, hvis det er kyllinger med andet oprindelsesland end Danmark hhv. hvis det er dansk producerede kyllinger bliver: 1 Andet land: mellem 0 og 1%. Danmark: omtrent 50% 2 Andet land: mellem 20 og 21%. Danmark: omtrent 86% 3 Andet land: omtrent 10%. Danmark: omtrent 99% 4 Andet land: omtrent 0%. Danmark: omtrent 0% 5 Andet land: omtrent 90%. Danmark: omtrent 99% Fortsæt på side 6 5

6 Opgave IV Længden af et afskåret aluminiums profil skal ligge i intervallet: 179.8mm L 180.2mm Det antages, at længden af profilerne L kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med parametrene: µ L = 180mm og σ L = 0.08mm Spørgsmål IV.1 (8) Procentdelen af profiler, der har en længde, der ligger uden for det ønskede interval, bliver: 1 Ca. 50% 2 Ca. 0.6% 3 Ca. 2% 4 Ca. 1.2% 5 Ca. 0.2% Spørgsmål IV.2 (9) For at kontrollere længden af profilerne udtages der løbende stikprøver på 16 profiler. Længden af disse profiler måles og gennemsnittet af disse ȳ beregnes. En produktion accepteres såfremt det 2-sidede hypotesetest for H 0 : µ = 180mm accepteres. Signifikansniveauet sættes til α = 5% og σ L = 0.08mm antages uændret. Inden for hvilke grænser skal ȳ ligge for at produktionen accepteres? ± 0.2mm ± mm ± mm ± 0.08mm ± mm Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål IV.3 (10) På profilet skal der monteres et rør, for hvilket det er givet, at længden af røret R kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdien µ R = 180mm. Kravet til at profil og rør passer sammen er at: 0.25mm < L R < 0.25mm Skal dette krav opfyldes i 99% af tilfældene bliver kravet, der må stilles til spredningen σ R på længden af røret: (µ L = 180mm og σ L = 0.08mm antages uændret) 1 σ R = 0.055mm 2 σ R = 0.097mm 3 σ R = 2.576mm 4 σ R = 0.250mm 5 σ R = 0.500mm Fortsæt på side 8 7

8 Opgave V En virksomhed skal anvende nogle rør. Det er væsentligt for anvendelsen, at rørenes indvendige ruhed er mindst mulig. For at finde de bedst egnede rør, indhentes rørprøver fra fire mulige leverandører. På hver rørprøve foretages 9 målinger af den indvendige ruhed, måledata fremgår af nedenstående tabel: Leverandør Ruhed i µm x i µm s i µm I en R-kørsel for envejs variansanalyse: anova(lm(ruhed~leverandoer)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B, C og D) Analysis of Variance Table Response: Ruhed Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Leverandoer A C D Residuals B Spørgsmål V.1 (11) Værdierne for A, B, C og D er: 1 A = 4, B = 36, C = og D = A = 3, B = 32, C = og D = A = 36, B = 4, C = 3.19 og D = A = 4, B = 36, C = og D = A = 3, B = 32, C = og D = Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål V.2 (12) Testes på et 5% signifikansniveau bliver resultatet af hypotesetestet for, om rørenes ruhed afhænger af den valgte leverandør: (både konklusion og begrundelse skal være i orden) 1 Ruheden af rørene afhænger ikke af den valgte leverandør, idet P-værdien er mindre end 5% 2 Ruheden af rørene afhænger af den valgte leverandør, idet P-værdien er større end 5% 3 Ruheden af rørene afhænger ikke af den valgte leverandør, idet P-værdien er større end 5% 4 Ruheden af rørene afhænger af den valgte leverandør, idet P-værdien er mindre end 5% 5 Ruheden af rørene afhænger ikke af den valgte leverandør, idet < Spørgsmål V.3 (13) Som anført er virksomheden interesseret i, at ruheden er mindst mulig. Konklusionen på analysen bliver derfor: (både begrundelse og konklusion skal være i orden) 1 Der er ikke signifikant forskel på leverandør 3 og 4, idet et 95% konfidensinterval for µ 3 µ 4 bliver 0.2 ± /9, så der kan frit vælges mellem disse 2 Der er signifikant forskel på leverandør 3 og 4, idet et 95% konfidensinterval for µ 3 µ 4 bliver 0.2 ± /36, så leverandør 4 bør vælges 3 Der er ikke signifikant forskel mellem nogen par af leverandørerne, så der kan frit vælges mellem de fire 4 Der er ikke signifikant forskel på leverandør 1 og 3, idet et 95% konfidensinterval for µ 1 µ 3 bliver 3.2 ± /9, så der kan frit vælges mellem disse 5 Der er ikke signifikant forskel på leverandør 1 og 3, idet et 95% konfidensinterval for µ 1 µ 3 bliver 3.2 ± /36, så der kan frit vælges mellem disse Fortsæt på side 10 9

10 Opgave VI Et firma, MM, der sælger varer på nettet ønsker at sammenligne to transportfirmaers tider for levering af varerne. For at sammenligne de to firmaer er der foretaget registreringer af transporttider på en given strækning, med en stikprøvestørrelse på n =9 for hvert firma. Følgende data er fundet: Firma A: ȳ A = 1.93døgn og s A = 0.45døgn Firma B: ȳ B = 1.49døgn og s B = 0.58døgn Det antages, at data kan betragtes som normalfordelt. Spørgsmål VI.1 (14) Følgende hypotese ønskes testet: H 0 : σ 2 A = σ2 B H 1 : σ 2 A σ2 B P-værdi og konklusion for dette test bliver: 1 P-værdi = Det kan afvises, at de to varianser er ens 2 P-værdi = Det kan ikke afvises, at de to varianser er ens 3 P-værdi = Det kan ikke afvises, at de to varianser er ens 4 P-værdi = Det kan ikke afvises, at de to varianser er ens 5 P-værdi = Det kan afvises, at de to varianser er ens Spørgsmål VI.2 (15) Følgende hypotese ønskes testet, idet det her forudsættes at σ 2 A = σ2 B : H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A > µ B P-værdi og konklusion for dette test (på α = 5% niveau) bliver: 1 P-værdi = Så firma B er ikke hurtigere end firma A 2 P-værdi = Så firma B er hurtigere end firma A 3 P-værdi = Så firma B er ikke hurtigere end firma A 4 P-værdi = Så firma B er ikke hurtigere end firma A 5 P-værdi = Så firma B er hurtigere end firma A Fortsæt på side 11 10

11 Opgave VII I en undersøgelse sammenlignes transporttiden for tre transportfirmaer, idet man i undersøgelsen også inddrager størrelsen af det transporterede emne. For transporttider regnet i døgn er følgende data fundet: Forsendelsens størrelse Række- Lille Mellem Stor gennemsnit Firma A Firma B Firma C Søjlegennemsnit I en R-kørsel: anova(lm(tid~firma+stoerrelse)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B, C og D) Analysis of Variance Table Response: Tid Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Firma 2 A B Stoerrelse C D Residuals Spørgsmål VII.1 (16) Hvad er A, B, C og D? 1 A = , B = , C = og D = A = , B = , C =0.723 og D = A = 0.5, B = 0.25, C =0.723 og D = A = 0.5, B = 0.25, C = og D = A = 0.5, B = 0.25, C = og D = 49.6 Fortsæt på side 12 11

12 Spørgsmål VII.2 (17) Konklusionen på analysen bliver: (med et testniveau på 5%) 1 Kun forsendelsens størrelse har signifikant indflydelse på transporttiden 2 Hverken firmaets identitet eller forsendelsens størrelse har signifikant indflydelse på transporttiden 3 Såvel firmaets identitet som forsendelsens størrelse har signifikant indflydelse på transporttiden 4 Kun firmaets identitet har signifikant indflydelse på transporttiden 5 Kun forsendelsens størrelse er uden signifikant indflydelse på transporttiden Spørgsmål VII.3 (18) Et 95% konfidensinterval for den mulige forskel mellem firma A og B ønskes, men uden brug af antagelsen om normalfordelte data. Følgende R-kode anvendes for at finde et bootstrap-baseret konfidensinterval: x = c(1.4,2.5,2.1) y = c(0.8,1.8,1.9) k = # Number of bootstrap samples xsamples = replicate(k, sample (x, replace = TRUE)) ysamples = replicate(k, sample (y, replace = TRUE)) mymeandifs = apply(xsamples, 2, mean)-apply(ysamples, 2, mean) mybootquantiles=quantile(mymeandifs, c(0.005,0.01,0.025,0.05,0.95,0.975,0.99,0.995)) round(mybootquantiles,3) Den næstsidste R-linie finder således otte forskellige fraktiler i bootstrap-fordelingen, som i sidste linie udskrives med 3 betydende cifre: 0.5% 1% 2.5% 5% 95% 97.5% 99% 99.5% Hvad er 95%-konfidensintervallet for den mulige forskel mellem firma A og B baseret på dette? < µ A µ B < < µ A µ B < < µ A µ B < < µ A µ B < < µ A µ B < Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VIII Et firma, der sælger musik på nettet, har i en undersøgelse observeret nedenstående fordeling på valg af musikgenrer og alder. 200 personer deltog i undersøgelsen. Tallene angiver procent ud af de 200. Alder i år Genrer under over 40 Klassisk Jazz Pop Rock Spørgsmål VIII.1 (19) Firmaet ønsker at undersøge, om der er afhængighed mellem valg af musikgenrer og alder. Det relevante test at anvende til besvarelse af spørgsmålet er: (DF=frihedsgrader (degrees of freedom)) 1 Et χ 2 -test, hvor der benyttes DF = 1 2 Et χ 2 -test, hvor der benyttes DF = 6 3 Et F -test, hvor der benyttes DF tæller = 6 og DF nævner = 12 4 Et F -test, hvor der benyttes DF tæller = 3 og DF nævner = 9 5 Et t-test, hvor der benyttes DF = 9 Fortsæt på side 14 13

14 Opgave IX På en maskine, der folder plastfolie, kan temperaturen varieres i området grader celcius. For om muligt, at få en model for temperaturens indflydelse på foldetykkelsen, er der målt n = 12 sammenhørende sæt af værdier af temperatur og foldetykkelse, som er illustreret i følgende figur: Foldetykkelse Temperatur Spørgsmål IX.1 (20) Afgør ved at betragte figuren, hvilket af følgende sæt af estimater for parametrene i den sædvanlige regressionsmodel, der er det rigtige: 1 ˆα = 0, ˆβ = 0.9, ˆσ e = 36 2 ˆα = 0, ˆβ = 0.9, ˆσ e = ˆα = 252, ˆβ = 0.9, ˆσ e = ˆα = 252, ˆβ = 0.9, ˆσ e = 36 5 ˆα = 252, ˆβ = 0.9, ˆσ e = 36 Spørgsmål IX.2 (21) Hvad er det eneste mulige korrekte svar: 1 Forklaringsgraden er 50% og korrelationen er Forklaringsgraden er 0% og korrelationen er Forklaringsgraden er 96% og korrelationen er 1 4 Forklaringsgraden er 96% og korrelationen er Forklaringsgraden er 96% og korrelationen er 0.98 Fortsæt på side 15 14

15 Opgave X En virksomhed, der sælger udendørs belysning, får fremstillet en lampe i 3 materialevarianter, i kobber, med malet overflade og i rustfrit stål. Lamperne sælges i Danmark og eksporteres primært til Holland og Norge. For 250 lamper er den procentvise fordelingen af salget mellem de 3 varianter og de aktuelle lande opgjort. Data fremgår af nedenstående tabel: Følgende ønskes testet: Variant Land Danmark Holland Norge Kobber 7.2% 5.2% 1.2% Malet 28.0% 14.0% 20.8% Rustfri 8.8% 4.8% 10.0% H 0 : Uafhængighed mellem afsætning af variant og land H 1 : Afhængighed ved anvendelse af det for denne situation sædvanlige test. Spørgsmål X.1 (22) Hvad bliver det forventede antal lamper for materialet kobber solgt i Danmark, hvis H 0 gælder: 1 e 11 = 18 2 e 11 = = e 11 = = e 11 = = e 11 = = 7.92 Spørgsmål X.2 (23) Den kritiske værdi for det relevante test på niveau 1% er: Fortsæt på side 16 15

16 Opgave XI På en lampe skal der monteres 2 plastskærme. Det er væsentligt, at disse plastskærme har en god slagstyrke. Der udføres derfor en afprøvning af 5 forskellige plasttyper. Der støbes 6 prøveemner i hver plasttype. Slagstyrkerne af disse emner bestemmes. Følgende måledata blev fundet (slagstyrke i kj/m 2 ): Følgende R-kode blev kørt: Plasttype I II III IV V Slagstyrke=c(44.6,52.8,53.1,51.5,48.2, 50.5,58.3,50.0,53.7,40.8, 46.3,55.4,54.4,50.5,44.5, 48.5,57.4,55.3,54.4,43.9, 45.2,58.1,50.6,47.5,45.9, 52.3,54.6,53.4,47.8,42.5) Plasttype=factor(rep(1:5,6)) anova(lm(slagstyrke~plasttype)) med følgende resultat: Analysis of Variance Table Response: Slagstyrke Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Plasttype e-07 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Spørgsmål XI.1 (24) Forudsætningerne for at anvende den angivne analyse er (mest korrekt og fyldestgørende givet ved): 1 Data skal være normalfordelt inden for hver gruppe, uafhængige og varianserne inden for hver gruppe må antages ens 2 Data skal antages at være simuleret med forskellige varianser i hver gruppe 3 Data skal være log-normalfordelt, uafhængige og med store varianser 4 Data skal være normalfordelt, med forskellige varianser i hver gruppe 5 Der skal være mindst 5 observationer i hver gruppe og uafhængige med små varianser Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål XI.2 (25) Konklusionen på analysen bliver: (begrundelsen skal også være i orden) 1 Mindst et materiale har en slagstyrke, der afviger fra de øvriges, idet P-værdien er omtrent 1 2 Intet materiale har en slagstyrke, der afviger fra de øvriges, idet P-værdien er omtrent 0 3 Intet materiale har en slagstyrke, der afviger fra de øvriges, idet P-værdien er omtrent 1 4 Mindst et materiale har en slagstyrke, der afviger fra de øvriges, idet P-værdien er omtrent 0 5 Residualerne afviger meget, idet P-værdien er omtrent 0 Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XII Plastskærme til en produktion af en specifik lampe påtænkes udliciteret til en underleverandør. Det er væsentligt for lampens tæthed, at plastskærmene har de korrekte dimensioner. To underleverandører kontaktes. Fra underleverandør A modtages 500 prøveemner: af disse er der 4, der ikke overholder de stillede krav til dimensionerne. Fra underleverandør B modtages 700 prøveemner: af disse er der 8, der ikke overholder de stillede krav til dimensionerne. Følgende test ønskes udført: H 0 : p A = p B H 1 : p A < p B Spørgsmål XII.1 (26) P-værdi og konklusion for dette test bliver: 1 P-værdi=0.56. H 0 kan afvises på niveau 5%. A er signifikant bedre end B og kan derfor foretrækkes 2 P-værdi=0.28. H 0 kan ikke afvises på normalt anvendte signifikansniveauer. A er ikke signifikant bedre end B og kan derfor ikke foretrækkes 3 P-værdi=12/1200=0.01. H 0 kan afvises på niveau 5%. A er signifikant bedre end B og kan derfor foretrækkes 4 P-værdi=0.28. H 0 kan afvises på normalt anvendte signifikansniveauer. A er signifikant bedre end B og kan derfor foretrækkes 5 P-værdi=0.56. H 0 kan ikke afvises på normalt anvendte signifikansniveauer. A er ikke signifikant bedre end B og bør derfor foretrækkes Spørgsmål XII.2 (27) For en helt anden type skærme har der været i omegnen af 10% af emner, der ikke var i orden (defekte). Man beder nu en konkret underleverandør om at levere et 95%- konfidensinterval for andelen af defekte med en bredde, der ikke overstiger 0.02, dvs. plus/minus 1 procentpoint. Hvor mange prøveemner skal leverandøren undersøge for at imødegå dette krav? 1 Omtrent 1 4 (1.96/0.02) Omtrent 1 4 (1.65/0.02) Omtrent ( /0.005) Omtrent ( /0.02) Omtrent (1.96/0.01) Fortsæt på side 19 18

19 Opgave XIII I en varmeveksler afhænger varmeovergangstallet af volumenstrømmen. Sammenhængen er lineær på den logaritmerede skala, og kan således skrives som E(y) = α + β x hvor y er logaritmerede varmeovergangstal og x er logaritmerede volumenstrømme. I en måleserie er følgende 11 sammenhørende værdier fundet: x y I R kørtes følgende: x=c(8.81,9.03,9.28,9.47,9.69,9.95,10.16,10.28,10.47,10.59,10.73) y=c(7.60,7.81,7.93,8.07,8.22,8.39,8.50,8.57,8.67,8.73,8.81) summary(lm(y~x)) med følgende resultat: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-08 *** x e-12 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 9 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 2152 on 1 and 9 DF, p-value: 5.031e-12 Derudover kan følgende beregningsstørrelser evt. benyttes: x = 9.86, ȳ = 8.3, S xx = , S yy = og S xy = Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål XIII.1 (28) Et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten β bliver: ± / ± ± / ± ± /11 Spørgsmål XIII.2 (29) Et 95% konfidensinterval for µ x=10 = α + β 10, forventningen til y for en x-værdi på 10 bliver: ± ± ± ± ± Spørgsmål XIII.3 (30) Spredningen for afvigelse mellem datapunkterne og linien estimeres til: