Dynamikrapport. Projektopgave 1, Dynamik og Svingninger. Jakob Wulff Andersen, s / Underskrift

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Dynamikrapport. Projektopgave 1, Dynamik og Svingninger. Jakob Wulff Andersen, s / Underskrift"

Transkript

1 Projektopgave 1, Dynamik og Svingninger, s11985 Underskrift 31/10-1

2 Indholdsfortegnelse K1 SPORDESIGN 3 K1 SPORLOKALITETER 4 K MAXIMAL FART 4 K3 MAXIMALGRÆNSER FOR PASSAGERERNES OPLEVEDE G- PÅVIRKNING 4 K4 ELEVATIONSSTYKKE 5 K5 FRITFALDSBAKKE MED CIRKELBUEFORMET GRIBESTYKKE 6 K6 APPROKSIMERET KLOTOIDE-LOOP I LODRET PLAN 8 K7 NORMALHJULKRAFT 9 K8 VANDRET BREMSESTYKKE 11 K9 KRÆNGNING AF VANDRETTE KURVESTYKKER I SVING 1 K10 CORIOLISKRAFT 13 K11 BUFFERMEKANISME 14 Side af 16

3 K1 Spordesign Side 3 af 16

4 K1 Sporlokaliteter Punkt h [m] v [m/s] G t G n ρ [m] ϕ [grader] θ [grader] 1 0 0, , , , , ,8 15, , 0 6 5,8 15,3 0 0,58 5,8 86, 0 7 3,47 34,7 0,3 5, ,47 34, ,65 0 3,44 5, ,47 9,1 0 0,110 7, ,65 0 3,44 60,5 0 73, ,65-1, , K Maximal fart Det er givet: Vognsættet: l vognsæt 3* 3[m]+ *0,5[m] 10[m] m vognsæt 3*( *100)[kg] 1800[kg] v max 35,65[m / s] v min 1[m / s] K3 maximalgrænser for passagerenes oplevede g-påvirkning Det er givet: G n,max+ 3,45 Side 4 af 16

5 G n,max 1,3 G t,max 3,3 K4 Elevationsstykke Da der ikke er friktion eller luftmodstand, er der intet energitab og vi kan derfor regne med energibevarelse i systemet: ΔE mek 0 E mek1 E mek mgh mv 1 mgh + 1 mv Sætter v max til h 0 og beskriver højden som funktion af hastigheden: gh + 1 v v y(v) h v max v min g Det højeste punkt er da givet ved maximal- og minimumshastighed, (K4-1) y max v max v min g 35,65 1 *9,8 64,6[m] For at kunne finde hastigheden til sporlokaliteterne udledes et udtryk for hastigheden som funktion af højden: v(y) v 0 gy Figur K4a For at bestemme motorkraften bruger vi N i x-retningen ud fra et fritlegemediagram (se figur K4a), koordinatsystemet er placeret så vi ikke behøver at regne den lodrette normal-komposant: F x ma x Da elevationen sker med konstant hastighed, er der ingen acceleration og vi får motorkraften til: F motor mgsinϕ 0 F motor mgsinϕ (jf. figur K4b) Følgende fastsættes: v 0 3[m / s], ϕ 45. Og det udregnes at vognsættet Figur K4b med disse bestemmelser er kørt op af strækningen på under et minut: s(t) s 0 + v 0 t + 1 a x t v 0 t s sin(90) y max sinϕ v 0t y max sinϕ t y max v 0 sinϕ 30,45[s] Side 5 af 16

6 Motorkraften for elevationsstykket er derfor: F motor 1800[kg]*9,8[m / s ]*sin(45) 1,5[kN] Motoreffekten er defineret som denne motorkraft multipliceret med hastigheden: P F motor v 0 37,5[kW ] K5 Fritfaldsbakke med cirkelbueformet gribestykke Fritfaldsbakken ønskes udformet så G 0, ud fra definitionen for g- påvirkning G reaktionskr æ fter mg ses det at dvs. der ikke virker nogle reaktionskræfter på vognsættet, det er altså kun tyngdekræften der virker i det frie fald og der er konstant acceleration. Vi ser på bevægelsen i x-retningen og y-retningen: s(t) s 0 + v 0 t + 1 a c t I y-retningen virker kun tyngdeaccelerationen: y(t) y 0 1 gt Og i x-retningen ingen ydre kræfter: x(t) x 0 + v 0 t Vi udtrykker nu y(x) ved at indsætte t fra x(t) i y(t): x(t) t x x 0 v 0 y(x) y 0 1 g x x 0 Afbilder graf for fritfaldsbakkens kurve (se figur K5a), når y 0 y max, v 0 v min og x 0 0: v 0 Figur K5a y(x) 64,6 4,91x Det cirkelbueformede gribestykke designes med en krumningsradius, så den maximale g-påvirkning ikke overstiges, men samtidig så hastigheden kommer så tæt som muligt på maximalhastigheden. Vi anskuer FLD (se figur K5b) i bunden af gribestykket og med N: Side 6 af 16

7 F ma Da det kun er normalkraften og tyngdekraften der virker i bunden fås: F N mg ma n F N m v ρ + mg Bestemmer krumningsradius på gribestykket med maximal g-påvirkning og maximal hastighed: Figur K5b v G F m N mg R + mg G v mg Rg +1 R v max (G n,max+ 1)g 5,83[m] Vi ønsker gribestykket placeret tættest muligt på bunden y 0. Så vi starter gribestykket i højden y(x) 5,83 [m]. x-værdien på fritfaldsbakken i denne højde bestemmes vha. forskriften for fritfaldsbakkekurven y(x): y(x) 64,6 4,91x 5,83[m] 64,6[m] 4,91[ m s ]x x 1,55[m] Cirkelbuen tangere dog ikke fritfaldskurven, hvilket vil give et dræbende knæk på rutsjebanen fordi krumningsradiussen i et knæk er uendeligt lille, hvilket giver en uendelig stor g-påvirkning: G ma n mg v ρg, G for ρ 0 Figur K5c Derfor skal cirkelbuen forskydes opad indtil den tangerer fritfaldskurven (se figur K5c). Hældningen i x-punktet: y'(x) gx y'(1,55) 15,0 Gribestykket forskydes så radius er vinkelret på tangenten: 1 1 B tan 1 y'(x) tan 1 3,76 15,0 Forskydningen bliver da R sin(90) y + sin(b) y + Rsin(B) 3,47[m] Dvs. gribestykkets centrum i forhold til fritfaldsbakken er i punktet: y c R + y + (5,83+ 3,47)[m] 56,3[m] Man kan argumentere for at G-påvirkningen i bunden af gribestykket ikke Side 7 af 16

8 overstiger G n,max + da vi som udgangspunkt valgte krumningsradiussen, så g- påvirkningen ikke overstiges med maximalhastighed. Vores fastsatte gribestykke når ikke ned til bunden og derfor er der ikke maximal hastighed og heller ikke maximal g-påvirkning. Efter loopet følger en lille bakke som fører vognsættet ned til bunden i rutsjebanen, så vognsættet har maximalhastighed i loopet. K6 Approksimeret klotoide-loop i lodret plan Vi konstruerer nu et approksimeret loop i lodret plan. Under K5 bestemte vi krumningsradiussen med maximal g-påvirkning, den samme krumningsradius benytter vi for loopets to store halvcirkler. Krumningsradiussen for loopets mindre cirkelbue der udgør toppen, skal derimod bestemmes. For at kunne bestemme normalkraften i toppen udleder vi først et udtryk for hastigheden i toppen af loopet vha. energibevarelse: E bund E top Der er følgende sammenhæng mellem hastigheden i bunden og toppen af loopet, hvor h top r + R og h bund 0: 1 mv max + mgh bund 1 mv top + mgh top v top v max h top g (K6-1) Figur K6a Nu kigger vi på den FLD (se figur K6a) og den reagerende normalkraft i toppen af loopet. Ud fra N kan vi opstille følgende kraftligevægt: N top + mg ma n N top m v r mg Ud fra dette udtryk kan vi bestemme cirkelbuens radius, så g-påvirkningen ikke overstiger G n,top + 0, ,117 Indsætter (K6-1): G n,top N v m top mg r mg mg v top rg 1 Side 8 af 16

9 G n,top v max Isolerer og bestemmer r: G n,top + 3 v max (r + R)g rg Rg rg 1 v max r v max Rg 3 rg Rg (G n,top + 3)g 7,64[m] K7 Normalhjulkraft Skinne-konstruktørerne skal bruge et funktionsudtryk til beregning af forholdet mellem normalhjulkræfterne og vognvægten. Vi anvender FLD (figur K7a). Først udregner vi normalkræfterne ud fra Newtons. lov for rotation: M G I G α Normalhjulkræfterne virker med en momentarm på halvdelen af længden i positiv omdrejningsretning mod uret: Figur K7a M G (N N 1 ) l Inertimomentet om vognen er givet ved: I G 1 1 m(l + H ) Da vi kan udlede tangentaccelerationen kan vi bestemme vinkelaccelerationen α: F t F g ma t mgsinϕ a t gsinϕ α ϕ v R a t R gsin(ϕ) R Samlet får vi så et udtryk for normalkræfterne med udgangspunkt i momentet: M G I G α (N N 1 ) m(l + H )gsin(ϕ) 6lR (K7-1) Ved hjælp af N for translationen i normal-retningen kan vi opstille endnu et udtryk for normalhjulkræfterne: F N ma n N 1 + N mgcosϕ m v R Side 9 af 16

10 N 1 + N m v R + gcosϕ (K7-) For overskueligheds skyld navngiver vi de to udtryk, så k 1 m(l + H )gsin(ϕ) 6lR og k m v R + gcosϕ Den store forskel på de to formler er at k 1 kan blive negativ, da sinus til en negativ vinkel giver et negativt resultat, dette gælder ikke for k. Vi får så 4 udtryk for normalhjulkræfter som kan kombiners til ét funktionsudtryk: N N 1 k 1 N 1 N + k 1 N N 1 k 1 og N 1 + N k N 1 k N N k N 1 Disse fire ligninger kombineres og omskrives til ét funktionsudtryk: F N1,N 1 (k ± k 1 ) Vi er interesserede i g-påvirkningen på hjulakslerne: F N1,N mg cosϕ + v R ± (L + H )gsin(ϕ) 1lR Vi bemærker at det sidste led k 1 er differensen mellem de to normalhjulkræfter og vi ser på en række eksempler med forskellige hældninger for at belyse forholdet mellem disse: Fortegn for k : cos(ϕ) > 0 ϕ ]90 ;70 [ og cos(ϕ) < 0 ϕ ]70 ;90 [ Fortegn for k 1 : sin(ϕ) > 0 ϕ ]0 ;180 [ og sin(ϕ) < 0 ϕ ]180 ;0 [ Figur K7b Oversigt over vinklerne og de maximale hjulkræfter (jf. figur K7b): Vinkel Udregning Normalhjulkræfterne 0 F N1,N 1 (1± 0) N 1 N 180 F N1,N 1 ( 1± 0) N 1 N 90 F N1,N 1 (0 ±1) N 1 > N Side 10 af 16

11 70 F N1,N 1 (0 ± ( 1)) N 1 < N ]0-90 [ F N1,N 1 (k ± k 1 ) N 1 > N ] [ F N1,N 1 (( k ) ± k 1 ) N 1 > N ] [ F N1,N 1 (( k ) ± ( k 1 ) N 1 < N ] [ F N1,N 1 (k ± ( k 1 )) N 1 < N Den maximale kraft på hjulakslerne er af relevans for skinnekonstruktørerne: Udleder den minimalt tilladte radius defineret af G n,max+ : G n,max+ v gr +1 R v (G n,max+ 1)g og indsætter den i udtrykket for den maximale normalhjulkraft: N max mg 1 m v max R + gcosϕ mg ( ) N max mg G n,max N max 1,75 Det vil sige at hvert hjulaksel maximalt påvirkes af 1,75 gange vognens masse. Denne kraft-påvirkning stiger når hastigheden bliver større eller hvis krumningsradius bliver lavere. K8 Vandret bremsestykke Til slut på rutjsebanen skal der være et bremsestykket som skal designes i den nødvendige længde. På figur Det er givet at decelerationen er: a x a c ( 0.85)g 1,15g 11,9[m / s ] Figur K8a Stempelkraften fra bremserne kan bestemmes ved N i x-retningen ud fra fritlegemediagrammet, hvor finnen er set oppefra (Figur K8a): F x ma x µn ma c N ma c µ 1800[kg]*11,9[m / s ] 0,37kN *0,5 Side 11 af 16

12 Definitionen på effekt: P Fv Den maximalt afsatte varme må da være i det punkt hvor vognsættet har størst hastighed, altså umiddelbart når finnen rammes af stemplerne: P Nv max ma c µ v 1800[kg]*1,15 *9,8[m / s ] max * 35,65[m / s] 74,67[kW ] *0,5 Bremsetiden for vognen er afhængig af vognsættets starthastighed, sluthastighed og decelerationen: a c v 1 v max t t v 1 v max 0 35,65[m / s] a c 11,9[m / s ] 3,16[s] Med kendt bremsetid kan bremselængden bestemmes: s(t) s 0 + v 0 t + 1 a c t v max t + 1 a c t s(3,16) 56,3[m] K9 Krængning af vandrette kurvestykker i sving Figur K9a Vi ønsker at konstruere svinget med en optimal krængning, så sideværtskræfterne minimeres. I denne udregning er det tilsigtet at eliminere sideværtskræfterne, og derfor indgår de ikke i FLD (Figur K9a). Ud fra N bestemmes normalkraften. I x-retningen er der normalacceleration: F x ma x N sin(θ) ma n N sin(θ) m v ρ I y-retningen er der ingen acceleration og tyngdekraften og normalkraft udgør kraftligevægten: F y 0 N cos(θ) mg 0 N cos(θ) mg Kombineres disse to ligninger fås et udtryk for krængningen som funktion af hastighed og krumningsradius: m v N sin(θ) N cos(θ) ρ mg θ v tan 1 ρg Det bemærkes at jo større hastighed, des større krængning skal der til for at minimere sideværtskræfterne. Ydermere skal krængningen være lav hvis Side 1 af 16

13 svinget har en stor krumningsradius. Sammenhængen mellem normalkraftens g-påvirkning og krængingen udtrykkes således: G n N mg mg cos(θ) mg 1 cos(θ) Det ses at når krængningen nærmer sig 90 bliver G n større. Den maximale g-påvirkning er for cos(90), og resulterer i at skinnerne skal reagere med en normalkraft der svarer til hele vognens vægt. Vi ønsker at bestemme krængningen, så vi opnår maximal g-påvirkning i svinget: 1 G n,max+ cos(θ) θ 1 cos 1 G n,max+ 73,15 Svingets krumningsradius med optimalkrænging og maximal g-påvirkning: 1 G n,max+ v cos tan 1 ρg v v θ tan 1 ρ tan 1 max 60,5[m] ρg θg K10 Corioliskraft Vi vil beregne corioliskraften som virker på passagerens kamera, når det rækkes lige frem for sig i bunden af et lodret loop. Corioliskraften er udledt af coriolisaccelerationen, men er defineret ved at være modsatrettet accelerationen: F coriolis mω v B/A (K10-1) Figur K10a Hastigheden for punkt B (se figur K10a) i xyz set fra punkt A i XYZ er den relative hastighed v rel v B / A. Vinkelhastigheden omskriver vi. Vognsættets hastighed (pkt. A) er den absolutte hastighed og beskrives inden for stivlegemkinematikken som: v A Ω r Side 13 af 16

14 Vi kan altså udtrykke vinkelhastigheden med den absolutte hastighed og afstanden r til omdrejningspunktet (altså radius i loopet)(se figur K10b). Der ganges med π for at omregne vinkelhastigheden til [ rad s ]: v A ΩRsin(ϕ) Ω v abs π Rsin(ϕ) Figur K10b Dette indsættes i (K10-1): F coriolis m v abs π R v rel Vi kan nu udtrykke corioliskraften ift. tyngdeaccelerationen, som et udtryk for vægten som passageren oplever i armen: F coriolis g mv absv rel π Rg Det ses på udtrykket at når hastighederne bliver større eller radiussen er mindre bliver corioliskraften større. Vi kan opstille et eksempel, der tager udgangspunkt i loopet under K6, hvor R 5,83[m], maximal hastighed v max og hvor passageren rækker kameraet lige frem for sig med en relativ hastighed v rel 1[ m s ], kameraets masse er 0,5[kg]: F coriolis g mv absv rel π Rg 0,43[kg] Passageren oplever altså at corioliskraften trækker kameraet nedad, så det føles som om kameraet vejer ca. dobbelt så meget, og passageren kan nemt blive overrasket og tabe det. Det er derfor man forbyder folk at tage kameraer med i rutjsebaner. K11 Buffermekanisme Hvis bremserne svigter fortsætter vognsættet ind i en buffermekanisme og der sker et rent plastisk sammenstød. Sammenstødet (skitseret på figur K11a) kan opstilles ved udtrykket for bevægelsesmængdebevarelse: m a v a + m b v b m a v a1 + m b v b1 (K11-1) hvor starthastighederne for vognsættet og buffermekanismen er henholdsvist v a1 v max og v b1 0. Og Sluthastighederne v a og v b er ukendte. Side 14 af 16

15 Masseforholdet mellem buffermekanisme m b og vognsæt m a er givet ved m b αm a. Indsættes disse værdier i BMB (K11-1) får vi: m a v a + αm a v b m a v a1 Ud fra restitutionsloven med e 0 (max energitab) får vi: v b v a e(v b1 v a1 ) v b v a 0 v b v a Vi kan så indsætte v b v a i (K11-1) og får følgende sammenhæng ml. Figur K11a vognsættets sluthastighed og starthastighed afhængigt af masseforholdet: m a v a + αm a v a m a v a1 v a m a v a1 v a1 m a + αm a 1+ α (K11-) Da vognsættet skal bremses fuldstændigt af buffermekanismen bliver vognsættets kinetiske energi overført til potentiel energi i fjederen. Vi kan altså regne med energibevarelse: E kin E pot 1 mv a 1 k(s 1 s 0 ) Vi indsætter og s 0 0[m], udtrykket (K11-) for v a, v a1 v max og sætter m m a (1 + α), da den kinetiske energi udgøres både af vognsættet og buffermekanismens masse: v max 1 m a (1+ α ) 1+ α 1 ks 1 (K11-3) Konstruktørerne ønsker en graf over den maximale g-påvirkning som funktion af masseforholdet, når fjederstivheden vælges så den maximale fjederforlængelse svarer til længden af to vognsæt. Vi isolerer k fra (K11-3): k m v a max (1+ α )s 1 Denne indsætter vi i udtrykket for maximal g-påvirkning: G kδx mg ks 1 m a (1+ α )g m a v max s 1 v max (1+ α )s 1 m a (1+ α )g (1+ α ) gs 1 Fjederkraftens g-påvirkning afhænger altså af hvor langt fjederen forskydes og af masseforholdet mellem buffer og vognsæt. Vi afbilder funktionen grafisk med fjerderforlængelsen s 1 *(9 +1)[m] 0[m], m a 1800[kg], funktionen ser således ud: Side 15 af 16

16 G 6,47 (1+ α ) Grafen (figur K11b) viser den g-påvirkning som fjederen udøver umiddelbart efter sammenstødet. Hvis bufferen har m 0 bremser fjederen vognsættet med en for høj g-påvirkning. Det er dog ikke hensigtsmæssigt at masseforholdet er 1:1, da man vil kunne forestille sig at g-påvirkningen fra bufferen i sammenstødet vil være farligt højt, man skal altså finde et passende kompromis for bufferen ikke må veje for meget eller for lidt. Vi kan udregne masseforholdet for den maximale g-påvirkning G n,max + ud Figur K11b ved ovenstående funktion: α 0,36 Altså skal bufferen veje mindst 36% af vognsættet for at den maximale g- påvirkning ikke overstiges. Side 16 af 16

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

1. Hvor lang tid tager det at blive trukket op til højden 20 m?

1. Hvor lang tid tager det at blive trukket op til højden 20 m? Efterbehandlingsark 1 Nedenfor er vist to grafer for bevægelsen i. Den første graf viser, hvor mange gange du vejer mere eller mindre end din normale vægt. Den anden graf viser højden. Spørgsmål til grafen

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Skråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51

Skråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51 Skråplan Dan Elkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachi Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51 8. januar 2008 Figurer Sider ialt: 5 Indhold 1 Forål 3 2 Teori 3 3 Fregangsåde 4 4 Resultatbehandling

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/12-2012 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane

Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk September 2012

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau maj 2015

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau maj 2015 Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2015 26. maj 2015 Opgave 1: Sous vide a) Når man regner med, at varmelegemet er en simpel modstand, gælder Ohms 1. lov U RI også, når det er vekselstrøm,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmars Tenise Universitet Sriftlig prøve, tirsdag den 15. december, 009, l. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysi 1 Kursus nr. 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen bedømmes

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.?

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.? Inspirationsark 1. I Tivoli kan du lave et forsøg, hvor du får lov til at tage et plastikglas med lidt vand med op i Det gyldne Tårn. Hvad tror du der sker med vandet, når du bliver trukket ned mod jorden?

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 2. juni 2015 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 2. juni 2015 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 2. juni 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi...

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... Indholdsfortegnelse 1. Bevægelse... 3. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 1 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... 19 Opgaver... 5 1. Bevægelse En vigtig del

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009 1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Supplerende. Fysik A. Gnidningskræfter, differentialligninger, vektorer og usikkerhedsberegninger. Mike Auerbach

Supplerende. Fysik A. Gnidningskræfter, differentialligninger, vektorer og usikkerhedsberegninger. Mike Auerbach Supplerende Fysik A Gnidningskræfter, differentialligninger, vektorer og usikkerhedsberegninger. Mike Auerbach www.mathematicus.dk Disse noter er blevet til, fordi luftmodstand er kernestof i fysik på

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 7. august 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 7. august 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 7. august 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE Når en bilist opdager en fare på vejen - legende børn, en hund, der løber på kørebanen, en kvinde i kørestol eller lignende - vil man forsøge at undgå ulykken.

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD Kuglestød er en af atletikkens kastediscipliner, hvor man skal forsøge at støde en metalkugle længst muligt. Historisk set kan kuglestød føres tilbage til antikkens

Læs mere

Tryk. Tryk i væsker. Arkimedes lov

Tryk. Tryk i væsker. Arkimedes lov Tryk. Tryk i væsker. rkimedes lov 1/6 Tryk. Tryk i væsker. rkimedes lov Indhold 1. Definition af tryk...2 2. Tryk i væsker...3 3. Enheder for tryk...4 4. rkimedes lov...5 Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Tryk.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og

Læs mere

Nogle opgaver om fart og kraft

Nogle opgaver om fart og kraft &HQWHUIRU1DWXUIDJHQHV'LGDNWLN 'HWQDWXUYLGHQVNDEHOLJH)DNXOWHW $DUKXV8QLYHUVLWHW &HQWUHIRU6WXGLHVLQ6FLHQFH(GXFDWLRQ)DFXOW\RI6FLHQFH8QLYHUVLW\RI$DUKXV Nogle opgaver om fart og kraft Opgavesættet er oversat

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 23. august 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og

Læs mere

Fysik i billard. Erik Vestergaard

Fysik i billard. Erik Vestergaard Fysik i billard Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

I vil kunne se at der er en forskel på jeres vægt når Ballongyngen kører rundt. 1. Hvornår er vægten størst og hvad er vægten?

I vil kunne se at der er en forskel på jeres vægt når Ballongyngen kører rundt. 1. Hvornår er vægten størst og hvad er vægten? Observationsark Forlystelser: Ballongyngen og Rutschebanen Ballongynge opgave Til denne opgave kan i låne en vægt af den kontrollør der står ved Ballongyngen. En af jer skal sidde på vægten mens Ballongyngen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater

Læs mere

Naturvidenskabeligt grundforløb

Naturvidenskabeligt grundforløb Før besøget i Tivoli De fysiologiske virkninger af g-kræfter. Spørgsmål der skal besvares: Hvorfor er blodtrykket større i fødderne større end blodtrykket i hovedet? Hvorfor øges pulsen, når man rejser

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmark Teknike Univeritet Side 1 af 7 Skriftlig prøve, tordag den 6 maj, 1, kl 9:-1: Kuru navn: Fyik 1 Kuru nr 1 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Bevarelen bedømme om en

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven:

Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven: Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven: Opgaverne er alle bygget op efter samme koncept; eleverne laver observationer i Dyrehaven og på Bakken og bruger derefter observationerne til at lave

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

Vejgeometri. Erik Vestergaard

Vejgeometri. Erik Vestergaard Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere