Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som"

Transkript

1 Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til at finde rødder i og faktorisere polynomier. Der lægges vægt på metode frem for teori, hvilket afspejler den måske lidt utraditionelle rækkefølge, hvori resultaterne præsenteres, samt den hyppige anvendelse af eksempler. Målgruppen er matematikstuderende på første år på universitetet med forudsætninger svarende til et indledende Calculus-kursus ud fra f.eks. James Stewarts Calculus Concepts & Contexts. Herunder forudsættes et elementært kendskab til de komplekse tal, om end dette kun anvendes i begrænset omfang. Samtlige resultater bevises foruden et enkelt (Algebraens Fundamentalsætning), men beviserne er forsøgt holdt i en så klar og enkel formulering som muligt uden at give køb på formaliteten. De fleste af følgende resultater gælder såvel over de reelle som over de komplekse tal. Det er derfor praktisk på én gang at behandle polynomier over begge disse talkonstruktioner. Vi lader derfor i det følgende K betegne enten R eller C; dette skal forstås på den måde, at resultaterne gælder både, hvis K = R, og hvis K = C. Definition 1. Et polynomium over K er en funktion f : K K på formen f (x) = n a i x i = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (x K), (1) i=0 hvor a 0,a 1,...,a n alle er elementer i K. Lad et polynomium f forskelligt fra 0 være opskrevet som i ligning (1). Da lader vi graden af f være det største heltal k, 0 k n, som opfylder a k 0. Graden af f betegnes deg(f ). Vi siger da, at a k x k er højestegradsleddet for f. Højestegradsleddet er med andre ord det led i f (forskelligt fra nul), som indeholder den højeste potens af x, og graden er størrelsen af denne potens. Hvis deg(f ) = 0, er f konstant. Graden af nulpolynomiet f = 0 defineres normalt ikke. Proposition 2(ii) nedenfor viser, at graden og højestegradsleddet af et polynomium er veldefinerede. For to polynomier f og g over K siger vi, at f går op i g, hvis der findes et polynomium h over K, så f = gh. 1

2 Vi noterer følgende vigtige regneregler for polynomier: Proposition 2. Lad f og g være polynomier over K. Så gælder følgende regneregler: (i) Summen f + g, produktet f g og sammensætningen f g er polynomier. Endvidere er λf et polynomium for alle λ i K. (ii) Koefficienterne a 0,a 1,...,a n i ligning (1) er entydigt bestemte (dvs. det samme polynomium kan ikke opskrives med flere forskellige valg af koefficienter). (iii) Hvis f 0 og g 0, så er f g 0, og deg(f g) = deg(f ) + deg(g). Bevis. (i) er oplagt gyldig. Skriv f på formen fra ligning (1). Hvis K = R, får vi ved udledninger helt analoge til dem i begyndelsen af afsnit 8.7 i Stewart, at den i te koefficient a i i f er givet ved den i te afledte f (i) af f ved formlen a i = f (i) (0). i! Hvis derimod K = C, er denne metode ikke mulig, da vi endnu ikke har defineret differentiation af funktioner C C. Hvis vi derimod lader h: R C betegne restriktionen af f til R, får vi ved helt tilsvarende overvejelser, at a i er givet ved a i = h(i) (0). i! Specielt er a i entydigt bestemt, hvilket viser (ii). For at vise (iii) skriver vi f (x) = n m a i x i = a n x n + + a 1 x + a 0 og g(x) = b j x j = b m x m + + b 1 x + b 0 i=0 for passende a 0,a 1,...,a n,b 0,b 1,...,b m K med a n,b m 0. Idet (a i x i )(b j x j ) = a i b j x i+j for alle i,j, består koefficienten til x k i produktet f g af summen af alle produkter a i b j, hvor i + j = k. Med andre ord er m+n (f g)(x) = k=0 i+j=k j=0 a i b j x k. Da a n b m 0, er højestegradsleddet i f g netop a n b m x n+m. Specielt er f g 0, og deg(f g) = n + m = deg(f ) + deg(g). Dette viser (iii). Vi vil ofte for nemhedens skyld tillade os at skrive polynomiet i ligning (1) som a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Det er således underforstået, at der er tale om den funktion, som sender x K over i dette udtryk. Denne konvention er standard i algebraiske behandlinger af polynomier. Der går ikke lang tid fra indførslen af polynomier, til vi nødvendigvis må begynde at snakke om rødder: 2

3 Definition 3. Et α K kaldes en rod i et polynomium f forskelligt fra nul, hvis der gælder f (α) = 0. Følgende lille resultat er en ualmindeligt motiverende grund til at indføre de komplekse tal: Sætning 4 (Algebraens Fundamentalsætning). Ethvert ikke-konstant polynomium over C har en rod i C. Sætningen er kendt for at have mange forskellige kreative beviser, der tager udgangspunkt i resultater fra hver sin gren af matematikken. Ingen af disse beviser er dog helt trivielle, og at medtage ét af dem her vil gå for vidt. Der gælder ikke et tilsvarende resultat over de reelle tal; eksempelvis har polynomiet x som bekendt ikke nogen rod i R. Vi kan faktisk tænke på de komplekse tal som de reelle tal, hvor vi har tilføjet en rod i polynomiet x 2 +1, nemlig tallet i. Algebraens Fundamentalsætning fortæller os nu, at vi ved tilføjelsen af denne rod automatisk også får rødder i alle andre ikke-konstante polynomier, hvilket jo på ingen måde er åbenlyst. 1 Faktorisering af polynomier For polynomier af grad 1 og 2 er det nemt at finde rødder; i begge tilfælde har vi lukkede formler, der altid giver os rødderne. For polynomier af grad 3 og 4 er det langt sværere, men det er stadig muligt at give løsningsformler. For grad 5 og derover er det generelt ikke muligt. Vi er derfor nødt til at anvende andre metoder til at finde rødder. Følgende lille resultat er i denne forbindelse af største vigtighed. Beviset gives sidst i kapitlet (se alternativt Opgave 26 for et andet bevis, som ikke kræver yderligere forudsætninger). Sætning 5. Lad α K være en rod i et polynomium f over K forskelligt fra nul. Så går x α op i f. Med andre ord findes et polynomium g over K, så f (x) = (x α)g(x) for alle x K. Dette resultat er nyttigt, hvis vi er i stand til at gætte en rod α: Thi i så fald kan vi faktorisere x α uden for vores polynomium som ovenfor. Hvis vi derefter ønsker at finde flere rødder, skal vi altså løse ligningen f (x) = (x α)g(x) = 0. Nulreglen giver, at enten (x α) = 0 eller g(x) = 0; i første tilfælde finder vi blot roden x = α, som vi allerede kender. I det andet tilfælde skal vi altså finde en rod i et nyt polynomium g. Kernen i det hele er dog, at vi altid vil have, at deg(g) = deg(f ) 1; vi har altså reduceret problemet til at finde rødder i et polynomium af lavere grad, hvilket ofte kan være lettere. Eksempel 6. Vi betragter polynomiet f (x) = x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 (det kommer ikke til at gøre nogen forskel, om vi betragter f som et polynomium over R eller C). Vi starter med at prøve at gætte en rod. En tommelfingerregel på Institut for Matematik er, at alle polynomier har rødder at finde blandt tallene 0,±1,±2 (sandsynligvis fordi forelæserne heller ikke selv gider regne med alt for svære polynomier). Vi konstaterer derfor ved efterprøvning, at 1 er en rod. Sætning 5 fra før giver så, at vi kan faktorisere x 1 ud af vores polynomium. 3

4 Det er dog ikke på nuværende tidspunkt klart, hvordan denne faktorisering kan bestemmes. Lad os derfor for en kort stund lege, at vi er meget gode til at gætte og er nået frem til, at x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 2x 2 x + 2) (2) (vi vil senere vise en systematisk metode til at nå frem til denne faktorisering). Vi kan derefter gentage spørgsmålet med polynomiet x 3 2x 2 x + 2. Igen ser vi ved direkte efterprøvning, at 1 er en rod. Ergo kan vi igen faktorisere x 1 udenfor endnu en gang. Vi har stadig heldet med os og gætter faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x 1)(x 2 x 2). Vi kan nu finde samtlige rødder i polynomiet x 2 x 2 via diskriminantformlen: Det er x = 2 og x = 1. Vi kan med andre ord vælge enten at faktorisere x 2 eller x ( 1) uden for dette polynomium. Det viser sig imidlertid, at vi slet ikke behøver at vælge, for der gælder x 2 x 2 = (x 2)(x ( 1)). Vi sammenfatter ovenstående resultater i formlen x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 1)(x 2)(x ( 1)) = (x 1) 2 (x 2)(x ( 1)). Hvis nu x 4 3x 3 +x 2 +3x 2 = 0, giver nulreglen, at én af faktorerne (x 1),(x 2) eller (x ( 1)) er 0. Vi konkluderer, at alle rødderne i f udgøres af 1, 1 og 2. Vi generaliserer metoden herover med følgende resultat: Sætning 7 (Faktorisering af polynomier). Lad f være et polynomium forskelligt fra nul over K. Så kan f faktoriseres på formen f (x) = (x α 1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) (x K), (3) hvor α 1,α 2,...,α r er forskellige tal i K, n 1,n 2,...,n r 1 er hele tal, og g 0 er et polynomium over K, som ikke har nogen rødder. Ydermere gælder, at α 1,α 2,...,α r er samtlige rødder i f, samt at denne faktorisering er entydig op til ombytning af faktorerne (x α i ) n i. Hvis K = C, gælder endvidere, at g er et konstant polynomium, så g = a for et komplekst tal a. Med andre ord har vi da f (x) = a(x α 1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r (x C). (4) At faktoriseringen er»entydig op til ombytning af faktorerne (x α i ) n i «, betyder, at enhver anden tilsvarende faktorisering blot er den samme, men hvor rækkefølgen af faktorerne (x α i ) n i er ændret. Tallet n i omtales ofte som multipliciteten af roden α i i f. Hvis α K ikke er en rod i f, siges α at have multiplicitet 0. Bevis. Sæt f 0 = f. Hvis f 0 har en rod β 1, kan vi jf. Sætning 5 skrive f 0 (x) = (x β 1 )f 1 (x) (x K) for et passende polynomium f 1. Hvis f 1 har en rod β 2, kan vi så gentage proceduren og skrive 4 f 1 (x) = (x β 2 )f 2 (x) (x K)

5 for et passende polynomium f 2. Denne proces kan ikke fortsætte for evigt, thi graden falder med 1 hver gang. Så efter k 0 trin står vi med en faktorisering f (x) = (x β 1 )(x β 2 ) (x β k )g(x), hvor g = f k ikke har nogen rødder (det kunne muligvis være konstant). Det kan nu sagtens hænde, at nogle af β i erne er ens. I så fald kan vi frasortere gengangerne og så skrive de tilbageværende rødder som α 1,α 2,...,α r (hvor r k), som alle er forskellige. Ved at lade n i være antallet af forekomster af α i blandt β 1,β 2...,β k fås en faktorisering som den i ligning (3). Hvis nu f (x) = (x α 1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) = 0, (5) giver nulreglen, at én af faktorerne (x α 1 ),(x α 2 ),...,(x α r ),g(x) er 0. Det kan ikke være g(x), da g ingen rødder har. Vi slutter, at alle rødderne i f er at finde blandt α 1,α 2,...,α r. Da α 1,α 2,...,α r er samtlige rødder i f, er det klart, at enhver anden tilsvarende faktorisering af f må have formen f (x) = (x α 1 ) m 1 (x α 2 ) m2 (x α r ) m r h(x), hvor m 1,m 2,...,m r 1 er heltal, og h er et polynomium uden rødder. For at vise entydigheden af vores faktorisering må vi således vise, at m i = n i for alle i, samt at h = g. Vælg derfor en vilkårlig rod α i, og lad os vise, at de tilhørende multipliciteter m i og n i er ens. Bemærk, at vi ved at bytte om på rækkefølgen af α j erne kan antage, at i = 1. Da ét af tallene m 1 og n 1 nødvendigvis må være størst, kan vi antage, at n 1 m 1. Med andre ord er f (x) = (x α 1 ) n 1( (x α1 ) m 1 n 1 (x α 2 ) m 2 (x α 3 ) m3 (x α r ) m r h(x) ). (6) Idet vi fratrækker ligning (5) fra dette, får vi 0 = (x α 1 ) n 1( (x α1 ) m 1 n 1 (x α 2 ) m2 (x α r ) m r h(x) (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) ). Da (x α 1 ) n 1 ikke er nulpolynomiet, giver Proposition 2(iii), at det må være parentesen til højre, der er 0, altså at dvs. (x α 1 ) m 1 n 1 (x α 2 ) m2 (x α r ) m r h(x) (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) = 0, (x α 1 ) m 1 n 1 (x α 2 ) m2 (x α r ) m r h(x) = (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x). Da α 1 ikke er en rod på højresiden, kan den heller ikke være det på venstresiden, og vi har m 1 n 1 = 0, dvs. m 1 = n 1. Som nævnt tidligere viser dette mere generelt, at m i = n i for alle i. Fra ligning (6) er nu f (x) = (x α 1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r h(x). Fratrækkes igen ligning (5), får vi ( )( ) (x α1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) h(x) = 0. Parentesen til venstre er igen ikke nulpolynomiet, så ligesom før må vi have g(x) h(x) = 0, dvs. g = h. Dette færdiggør beviset for entydighedsudsagnet. Hvis K = C, får vi fra Algebraens Fundamentalsætning, at de eneste polynomier (forskellige fra nul) uden rødder er konstanter. Dette viser, at g er konstant som ønsket. 5

6 Ovenstående resultat gør os nu i stand til at tælle antallet af rødder i et polynomium. Korollar 8. Et polynomium over K af grad n har højst n forskellige rødder. Bevis. Skriv som i Sætning 7 polynomiet f på formen f (x) = (x α 1 ) n 1 (x α 2 ) n2 (x α r ) n r g(x) (x K). Så giver gentagne anvendelser af gradsformlen (Proposition 2(iii)), at deg(f ) = deg ( (x α 1 ) n 1) + deg ( (x α2 ) n 2) + + deg ( (x αr ) n r ) + deg(g) = n 1 + n n r + deg(g) r + deg(g) r. Ergo er antallet af forskellige rødder α 1,α 2,...,α r mindre end eller lig graden af f. Dette viser påstanden. 2 Polynomiers division Jeg smed i Eksempel 6 bare faktoriseringer ud i hovedet på jer. Men der er faktisk en smart algoritme kaldet polynomiers division, som altid gør det muligt at finde dem. Mere generelt tillader algoritmen os at foretage division med rest af polynomier, ligesom vi kender det fra heltallene. Denne mulighed har stor teoretisk såvel som praktisk betydning. Vi lægger ud med et par eksempler, før vi i fuld generalitet formulerer og beviser divisionsalgoritmen. Eksempel 9. Idet vi ved, at x 1 går op i x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2, kan vi altid finde polynomiet fra ligning (2) via polynomiers division. Denne algoritme illustreres oftest med et skema på følgende måde. Vi starter med at skrive polynomierne op med en åben parentes til højre: x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)( Polynomiers division går nu frem efter følgende princip: Vi spørger os selv, hvor mange gange højestegradsleddet i x 1 (som er x) går op i højestegradsleddet i x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 (som er x 4 ). Det gør det x 3 gange. Vi skriver derfor x 3 i parentesen til højre. Men x 3 (x 1) = x 4 x 3 er ikke lig det ønskede polynomium x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2; der er en rest tilbage. Vi trækker derfor x 4 x 3 fra x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 og finder, at denne rest er 2x 3 + x 2 + 3x 2, hvilket vi skriver ind i skemaet: x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 x 4 x 3 2x 3 + x 2 + 3x 2 Vi gentager så spørgsmålet med vores rest: Hvor mange gange går højestegradsleddet i x 1 (som er x) op i højestegradsleddet i 2x 3 + x 2 + 3x 2 (som er 2x 3 )? Det gør det 2x 2 gange; vi skriver derfor 2x 2 i parentesen til højre. Men 2x 2 (x 1) = 2x 3 +2x 2 er ikke lig 2x 3 +x 2 +3x 2; der er en rest, nemlig 6

7 2x 3 + x 2 + 3x 2 ( 2x 3 + 2x 2 ) = x 2 + 3x. Vi skriver så også denne rest ind i vores skema: x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 2x 2 x 4 x 3 2x 3 + x 2 + 3x 2 2x 3 + 2x 2 x 2 + 3x 2 Vi gentager så spørgsmålet med resten x 2 + 3x 2 og fortsætter på samme måde. Før eller senere må algoritmen determinere, idet graden af polynomiet falder hver gang. Vi får til sidst resten 0 forneden: x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 2x 2 x + 2) x 4 x 3 2x 3 + x 2 + 3x 2 2x 3 + 2x 2 x 2 + 3x 2 x 2 + x 2x 2 2x 2 Det betyder, at algoritmen gik op, og vi har vores faktorisering 0 x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 2x 2 x + 2). Det er dog langt fra altid, at vi er så heldige at få resten 0 forneden. Eksempel 10. Vi vil forsøge at dividere polynomiet x 3 +x 2 1 med x +2. Dette giver x 3 + x 2 1 = (x + 2)(x 2 x + 2) 5 x 3 +2x 2 x 2 1 x 2 2x 2x 1 2x Algoritmen går langt hen ad vejen på samme måde som i sidste eksempel. Men når vi får resten 5, er vi nødt til at stoppe; højestegradsleddet i x + 2 er x, og dette går ikke op i højestegradsleddet i 5, som er 5. Vi konkluderer, at algoritmen ikke gik op; vi fik resten 5. Ergo er x 3 + x 2 1 = (x + 2)(x 2 x + 2) 5 det nærmeste, vi kommer en faktorisering. Efter disse indledende eksempler er vi klar til at formulere polynomiers division formelt og give et generelt bevis for, at algoritmen altid virker. Beviset er da også i det store hele blot algoritmen nedskrevet i fuld generalitet. 7

8 Sætning 11 (Division med rest). Lad f og d 0 være polynomier over K. Så findes entydigt bestemte polynomier q og r over K, så f = qd + r, (7) og hvor restpolynomiet r opfylder enten r = 0 eller deg(r) < deg(d). Bevis. Vi viser først eksistensen af den ønskede opskrivning fra ligning (7). Sæt f 0 = f. Hvis f 0 0 og deg(f 0 ) deg(d), går højestegradsleddet i d op i højestegradsleddet i f 0. Lad h 1 (x) være det antal gange, det går op, hvor h 1 er et polynomium. Sæt så f 1 = f 0 h 1 d. Da f 0 og h 1 d har samme højestegradsled, går disse led ud med hinanden i f 1. Ergo er f 1 enten 0 eller har lavere grad end f 0. Hvis der igen gælder f 1 0 og deg(f 1 ) deg(d), går højestegradsleddet i d igen et antal gange op i højestegradsleddet i f 1. Lad dette antal være h 2 (x), hvor h 2 er et polynomium. Sæt så f 2 = f 1 h 2 d. Igen har f 1 og h 2 d samme højestegradsled, så disse led går ud med hinanden i f 2, og f 2 er 0 eller har lavere grad end f 1. Sådan fortsættes. Da graden bliver ved med at falde fra gang til gang, kan vi ikke fortsætte for evigt. Det må altså på et tidspunkt efter k 0 trin gælde, at f k = 0 eller deg(f k ) < deg(d). Ud fra, hvordan vi definerede vores f i er, er nu Ergo er f k = f k 1 h k d = (f k 2 h k 1 d) h k d = f k 2 (h k 1 + h k )d = (f k 3 h k 2 d) (h k 1 + h k )d = f k 3 (h k 2 + h k 1 + h k )d = = f 0 (h 1 + h h k )d. f = f 0 = (h 1 + h h k )d + f k. Vi sætter så r = f k og q = h 1 + h h k og noterer os, at vi pr. antagelse har enten r = 0 eller deg(r) < deg(d). Derved har vi vist det ønskede. Vi viser derefter entydigheden af denne opskrivning. Antag derfor, at f = qd + r = q d + r er to opskrivninger med de ønskede egenskaber. Så er 0 = (q q )d + (r r ), dvs. (q q )d = r r. Pr. antagelse er r og r begge enten 0 eller har strengt mindre grad end d, så ovenstående kan kun lade sig gøre, hvis begge sider af lighedstegnet er 0. Ergo er q = q og r = r, hvilket viser entydighedsudsagnet. Lad os sammenfatte og skitsere divisionsalgoritmen med notationen fra beviset: 8

9 Bemærkning 12 (Polynomiers division). Antag, at vi ønsker at dividere et polynomium f med et polynomium d 0. Sæt da f 0 = f og j = 0. Så udføres algoritmen således: (1) Antag, at f j 0 og deg(f j ) deg(d). I så fald går højestegradsleddet i d et antal gange op i højestegradsleddet i f j. Lad da dette antal være h j+1 (x), hvor h j+1 er et polynomium. Læg da h j+1 (x) til parentesen til højre. Sæt nu f j+1 = f j h j+1 d, og start så denne liste forfra med j udskiftet med j + 1. (2) Hvis f j = 0, er algoritmen gået op, og vi får resten r = f j = 0. (3) Hvis f j 0, men deg(f j ) < deg(d), går algoritmen ikke op, og vi får resten r = f j. Skemaet ved polynomiers division ser i fuld generalitet således ud: f = f 0 = (d)(h 1 + h h k ) + r h 1 d f 1 =f 0 h 1 d h 2 d f 2 =f 1 h 2 d h 3 d... f k 1 =f k 2 h k 1 d h k d r = f k = f k 1 h k d. Eksempel 13. For fuldstændighedens skyld følger her, hvorledes de øvrige faktoriseringer fra Eksempel 6 kan findes via polynomiers division: x 3 2x 2 x + 2 = (x 1)(x 2 x 2) x 3 x 2 x 2 x + 2 x 2 + x 2x + 2 2x x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) x 2 2x x 2 x 2 Resultaterne er præcist de samme, som jeg dér postulerede. 0 9

10 At finde den sidste faktorisering x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) via polynomiers division er dog strengt taget lidt at skyde gråspurve med kanoner. Sagen er, at vi jo som sagt via diskriminantformlen kan finde frem til, at de eneste rødder er x = 2 og x = 1. Vi kan derfor jf. Sætning 7 skrive polynomiet som x 2 x 2 = (x ( 1)) n 1 (x 2) n 2 g(x) for passende heltal n 1,n 2 1 samt et polynomium g, som ikke har nogen rødder. Men da venstresiden skal være et andengradspolynomium, må n 1 = n 2 = 1, og g må have grad 0, så g er konstant. Skriv derfor g = k R, så x 2 x 2 = k(x ( 1))(x 2). Højestegradsleddet på venstresiden er x 2, mens højestegradsleddet på højresiden er kx 2. Ergo er k = 1. Derved slap vi for at bruge algoritmen på dette simple andengradspolynomium. Fordi faktorisering af andengradspolynomiet optræder så ofte, vil vi behandle dette emne særskilt ved at generalisere slutningen af sidste eksempel. Beviset overlades til læseren. Korollar 14. Lad a,b,c K med a 0, og og betragt andengradspolynomiet f (x) = ax 2 + bx + c over K. Hvis f kun har én rod α i K, så er f (x) = a(x α) 2. Hvis f har to forskellige rødder α 1 og α 2 i K, så er f (x) = a(x α 1 )(x α 2 ). Vi afslutter dette kapitel med som lovet at give et bevis for Sætning 5. Resultatet er faktisk et umiddelbart korollar til Sætning 11. Bevis for Sætning 5. Anvend Sætning 11 på d(x) = x α til at finde polynomier q og r, så f (x) = q(x)(x α) + r(x), hvor r = 0 eller deg(r) < deg(x α) = 1, dvs. deg(r) = 0. I begge tilfælde er r et konstant polynomium. Anvendes venstre- og højresiden i x = α, fås 0 = f (α) = q(α)(α α) + r(α) = r(α). Men r var konstant, så r = 0. Ergo er f (x) = (x α)q(x), og g = q opfylder de ønskede egenskaber. 10

11 Opgaver Hvis det i følgende opgaver ikke angives, om polynomiet er over R eller C, skyldes det, at det ikke kommer til at gøre nogen forskel. 1. Find samtlige rødder i x 3 3x 2 + 2x. 2. Går x 1 op i x 2 x 6? 3. Går x + 2 op i x 2 + x 2? 4. Find samtlige rødder i polynomiet 2x 3 2x 2 10x 6, og faktoriser polynomiet som i Sætning Find samtlige rødder i polynomiet x 3 + x x 40, og faktoriser polynomiet som i Sætning Find samtlige rødder i polynomiet x 4 6x x 2 12x Find samtlige rødder i polynomiet x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x + 1 over R. 8. Divider polynomiet 3x x 2 1 med 3x Divider polynomiet 3x 4 + 2x 2 8 med x Divider x 3 x 2 + 3x 1 med x 1, og find resten. 11. Divider 2x 4 x 3 2x 2 + x med x 2 1, og find resten. 12. Faktoriser polynomiet x 4 2x 3 3x 2 + 4x + 4 som i Sætning Faktoriser polynomiet x 3 9x x 16 som i Sætning Faktoriser polynomiet x 3 11x x 25 som i Sætning Faktoriser polynomiet 2x 3 8x x som i Sætning Faktoriser polynomiet x 4 12x x 2 60x + 25 som i Sætning Faktoriser polynomiet x 4 2x x 2 88x + 64 som i Sætning Faktoriser polynomiet 2x 4 14x x x + 48 som i Sætning Lineær algebra virker lige så godt (i nogle tilfælde endda bedre) over C som over R, og alle de sædvanlige sætninger gælder også her (dog med undtagelse af egenskaberne ved skalarproduktet). Vis, at der for enhver kvadratisk matrix A af orden n med indgange i C findes en vektor v C n \ {0} og et λ C, så Av = λv. 20. Lad f være et polynomium med koefficienter i R, men betragt det som et polynomium over C. Antag, at α C er en rod i f. Vis, at det komplekskonjugerede α af α også er en rod, og at multipliciteterne af α og α er ens. 11

12 21. Vis, at ethvert polynomium over R af ulige grad har en rod i R. Vink: Opgave Lad n være et lige, ikke-negativt tal. Vis, at der findes et polynomium af grad n over R, som ikke har nogen rødder i R. 23. Lad f være et ikke-konstant polynomium over C med højestegradsled a n x n (som i ligning (1)). Vis, at hvis f faktoriseres som i ligning (4), så er a = a n. 24. Lad f være et ikke-konstant polynomium over C af grad n. Vis, at med notationen fra Sætning 7 er n = n 1 + n n r. 25. Lad f være et ikke-konstant polynomium over C på formen f (x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 (dvs. a n = 1 med notationen fra ligning (1)). Lad α 1,α 2,...,α r være de forskellige rødder i f, og lad n i være multipliciteten af α i for alle i. Vis, at og at α n 1 1 αn 2 2 αn r r = ( 1) n a 0, n 1 α 1 + n 2 α n r α r = a n Giv et bevis for Sætning 5, som ikke anvender Sætning 11. Vink: Betragt polynomiet h(x) = f (x + α), og bemærk, at x = 0 er en rod i h. Udled, at h(x) = xp(x) for et polynomium p, og brug p smart. 27. Kan man bruge Euklids algoritme på polynomier? (Vink: Sammenlign Sætning 11 herover med Korollar i Tal og Mængder.) I bekræftende fald: Find største fælles divisor d imellem polynomierne f (x) = 2x 4 + 2x og g(x) = 5x 3 8x 2 + 5x 8. Find også polynomier p og q, så d = pf + qg. 28. Vis, at ethvert ikke-konstant polynomium over R uden rødder kan skrives som et produkt af andengradspolynomier over R (Vink: Opgave 20.) Konkluder, at alle ikke-konstante polynomier over R kan skrives som et produkt af førsteog andengradspolynomier over R, hvor sidstnævnte ikke har nogen rødder i R. 29. Et ikke-konstant polynomium f over K kaldes irreducibelt, hvis det om enhver faktorisering f = gh af f i polynomier g og h over K gælder, at enten g eller h er konstant; med andre ord er irreducible polynomier en slags»primtal«blandt polynomier. Karakteriser de irreducible polynomier over R og C. (Vink: I tilfældet R, brug Opgave 28.) 30. Lad f være et ikke-konstant polynomium over C. Vis følgende: (i) Billedet f (C) er hele C. (ii) Hvis deg(f ) > 1, har f et fikspunkt, dvs. et punkt t i C med f (t) = t. 31. Lad f være et ikke-konstant polynomium over R og α et reelt tal. Vis, at multipliciteten af α som rod i f er det minimale heltal n 0, hvorom det gælder, at f (n) (α) 0. (Husk, at f (0) = f.) 12

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S e b a s t i a n Ø r s t e d y 2 1 1 2 x 1 2 3 r(θ) = 2 2sinθ + sinθ cosθ 1/2 sinθ + 7/5 E f t e r å r e t 2 0 1 6 Forord Følgende noter er tænkt

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere