Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, Komplekse tal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal"

Transkript

1 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig. Mterilet omhdler komplekse tl, specielt degrdsligige. Målet er t give elevere et første idlik i, hvd komplekse tl er, således t de k ikke gekedede til de komplekse løsiger, som de f og til støder på i rejdet med mtemtikprogrmmer og vcerede lommeregere. Mterilet estår f e tekst (som evt. k opgives til mudtlig eksme), ogle opgver og et pr quizzer. Det er muligt t hete tekste i form f e pdf-fil. Opgvere åes i mtemtikprogrmmet Derive, og det forudsættes derfor, t elevere rejder ved e computer, hvor der er istlleret Derive. Opgvere er ummereret fortløede og er plceret i tekste, så de psser med de teori, der lige er rejdet med. He Østergrd, Ishøj Amtsgymsium Idholdsfortegelse Idledig... Defiitio f komplekse tl...3 Regig med komplekse tl...4 Eksistes f komplekse tl... De komplekse tlpl...6 Modulus og rgumet...7 Kojugerig...9 Multipliktio og divisio i polære koorditer...0 Ligige z...4 Ligige z...6 Adegrdsligige z + z + c Adegrdsligiger med reelle koefficieter...

2 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Idledig Hvis vi skl løse degrdsligige x + x + c 0, 0, ruger vi løsigsformle () ± x 4c Vi plejer t sætte d 4c og t klde d for diskrimite. Hvis d > 0 er der to løsiger, hvis d 0 er der é løsig, og hvis d < 0 er der så ige løsig. Hvis vi prøver t løse e degrdsligig med et computerprogrm, fx Derive, så vil vi se det pudsige, t der dukker to løsiger frem, selvom d < 0. Vi skl se på, hvd det er for e tlmægde, der ideholder de løsiger, som vi ellers påstår ikke fides. Dee tlmægde kldes de komplekse tl. Adegrdsligige () x + 0 hr ikke oge løsig, idet der ikke fides et reelt tl, som gget med sig selv giver -. Hvis vi lligevel prøver t ruge de sædvlige løsigsformel, (), for degrdsligiger, får vi 0 ± x 0 4 ± 4 ( ) ± ± Vi vil u prøve t godtge som e løsig, selvom vi godt ved, t ikke er et reelt tl. Hvis skl være e løsig, må der gælde (3) ( ) eller m..o., t er et tl, som gget med sig selv giver -. I de tilfælde, hvor e degrdsligig ikke hr oge løsig idefor de reelle tl, k løsigsformle ltid omskrives, så de står på forme x +,, R og m k sgtes rege med tl på forme +, år lot m husker t ruge regel (3) smt regereglere for de reelle tl. Vi vil prøve t løse degrdsligige x + x Løsigsformle () giver x ± 4 ± 8 ( ) ± ( ) ± ( ) Vi klder de to løsiger x og x og fider

3 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 og x + x ( + ) + ( ) x x ( + ) ( ) x x ( ) ( ) + ( ) 3 Vi ser, t selvom der ikke er tle om rigtige løsiger, så gælder de sædvlige regel, t summe f røddere er lig med mius koefficiete til x, og produktet f røddere er lig med kosttleddet. Prøv selv t rege med tl på forme + i Derive. Opgve Defiitio f komplekse tl Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved et komplekst tl. Defiitio Tllet i er givet ved i Ifølge det foregåede fsit etyder det, t i. Defiitio De komplekse tl estår f mægde f lle tl, der k skrives på forme + i,, R De komplekse tl eteges C og i kldes de imgiære ehed. Nogle gge ruges etegelse imgiære tl for de komplekse tl. De reelle tl og kldes hhv. reldele og imgiærdele f det komplekse tl og eteges hhv. Re() og Im(). Hvis 0 kldes i et ret imgiært tl. Hvis 0 er et reelt tl. Derfor er de reelle tl e delmægde f de komplekse tl. Hvis + i kldes i + 3i det kojugerede tl til. er et komplekst tl med reldel og imgiærdel 3. 3i er det kojugerede tl til. c 7i er et reelt tl. er et ret imgiært tl. 3

4 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Regig med komplekse tl Additio, sutrktio, multipliktio og divisio foregår på smme måde som for reelle tl. M skl lot huske på, t i. M k ltid reducere sit regeudtryk, så resulttet eder med t stå på forme c + c, c, c R. Ld + 3i og + i. Så er + ( + 3i) + ( + i) + + 3i + i + + 8i og ( + 3i) ( + i) + 3i + i 3 i og ( + 3i) ( + i) c + i + 0i 3i + 7i 7 + 7i Ved divisio vil være e røk med et komplekst tl i ævere. Her skl m få de gode idé t forlæge røke med. På de måde liver ævere et reelt tl, så resulttet ige k skrives på forme c + c, c, c R. c Ld + 3i og + i. Så er i og vi får + 3i + i ( + 3i)( i) ( + i)( i) i 0i 3i i 4

5 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, i + 3 3i 6 i M k selvfølgelig også udlede formlere for dditio osv. geerelt. For dditio ser formle såd ud, år + og + : + ( + i ) + ( + i ) + + i + + i + ( + ) + i( + ) For multipliktio kommer formle til t se såd ud: Øvelse Opgve 3 Quiz ( ) + i( + ) Udled formle for multipliktio f to komplekse tl. Eksistes f komplekse tl M k idføre de reelle tl ved først t idføre de hele tl ud fr de turlige tl, deræst de rtiole tl ud fr de hele tl og edelig de reelle tl ud fr de rtiole tl. Ligeledes k m idføre de komplekse tl ud fr de reelle tl. W. R. Hmilto idførte i 837 de komplekse tl på ritmetisk grudlg ved t idføre dditio og multipliktio i mægde f reelle tlpr, ) på følgede måde: (, ) + (, ) ( +, + ) (, ) (, ) (, + ) ( M k u vise, t mægde f reelle tlpr med de to kompositioer defieret ovefor udgør et tllegeme. Ved deræst t idføre etegelse i for tlprret (0,) og etegelse for tlprret (,0), k m ved t eytte oveståede idse, t i -, og herefter k m gå over til de skrivemåde, der er idført i de forrige fsit. I mtemtikudervisige i gymsiet er der ikke trditio for t idføre de reelle tl på e striget måde. Vi tger det i stedet for givet, t de reelle tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( R, +, ). På smme måde vil vi i disse oter

6 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 tge det for givet, t de komplekse tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( C, +, ). Eksistese f komplekse tl er eskrevet mge steder i litterture. Her hevises de iteresserede læser til to øger, som er skrevet til gymsieiveu: Jesper Frdse: Komplekse tl og frktler, Systime, 99. Jes Crstese: Komplekse tl, Systime, 987. De komplekse tlpl M k filde et komplekst tl + i i puktet (, ) i e pl med et sædvligt retviklet koorditsystem. Alle tl på forme + i 0, dvs. lle reelle tl, fildes på.kse. Dee kse kldes derfor de reelle kse. Alle tl på forme 0 + i, dvs. lle ret imgiære tl, fildes på.kse. De kldes derfor de imgiære kse. Specielt ser vi, t fildes i puktet (,0) og t i fildes i puktet (0,). Det er derfor, vi klder i de imgiære ehed. I vektorregig klder vi vektore fr egydelsespuktet (0,0) til for stedvektore til. D + ( + ) + i ( + ), fildes + i puktet (, ) + +. Herf k vi se, t dditio f to komplekse tl svrer til dditio f de tilsvrede stedvektorer. Additio f komplekse tl 6

7 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve 4 Quiz Modulus og rgumet Ved multipliktio og divisio f komplekse tl er det ekvemt t skrive de komplekse tl på e de form. Ld +. Så er lægde f eller modulus f givet ved + Af udtrykket ovefor k vi se, t modulus f er det smme som lægde f stedvektore til. Hvis vi ser på stedvektore til, så ved vi fr vektorregige, t cos(v) og si(v), hvor v er vikle mellem de positive del f.kse og stedvektore til. Vi k derfor skrive på forme cos(v) + i si(v) (cos(v) + isi(v)) Vi siger, t skrives i polære koorditer, som m ogle gge giver såd: (, v). I polære koorditer giver m ltså og v i stedet for og. Modulus og rgumet Vikle v kldes et rgumet f. Hvis v er et rgumet f, er lle vikler, som er lig med v + pπ, p Z også et rgumet f. Normlt eytter m det rgumet, der ligger i itervllet ] π; π]. Dette rgumet kldes hovedrgumetet. M eytter etegelse rg() for et rgumet f. 7

8 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis +, så k vi fide hovedrgumetet ud fr de to formler si(v), som omskrives til cos(v) og cos( v) og si( v) Disse to ligiger hr hver to løsiger i itervllet ] π; π]. De rigtige vikel er de, som er løsig til egge ligiger. Et komplekst tl er givet ved i. Vi vil fide modulus og rgumet for : Vi ereger først : ( 3) + 4 Deræst ereger vi v: 3 cos(v) giver i itervllet ] π; π] løsigere v,4 eller v -,4. si( v) 4 giver i itervllet ] π; π] løsigere v 0,97 eller v -,4. Herf ser vi, t vi må vælge v,4, og derefter k vi omskrive til (cos(,4) + isi(,4)) eller vi k sige, t og v, 4 I stedet for t fide de to løsiger til hver f ligigere cos( v) og si( v) idefor itervllet ] π; π], k m tege stedvektore til i et koorditsystem. Her k m se hvilke vikel, der er tle om, og så øjes med t ruge ete cosius eller sius (eller tges) til estemmelse f vikle. Det er ok det letteste i prksis. 8

9 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Tllet fr forrige eksempel er fst i ple, og der er teget e ehedscirkel. Her k m se, t hovedrgumetet ligger mellem π/ og π. Derfor er det lettest t ruge cosius til t estemme vikle, idet sius vil give e vikel i. kvdrt. Opgve Hvis et komplekst tl er givet ved polære koorditer, k m omskrive, så tllet står på de sædvlige fco. Et komplekst tl er givet ved 6 og π π 6(cos( ) + isi( )) 3 3 π rg(). Så gælder ltså 3 3 6( + i ) i Opgve 6 Kojugerig Hvis +, så er, og herf k vi se, t kojugerig f et tl svrer til t spejle tllet i.kse. Der gælder derfor, t rg( ) rg(). 9

10 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl og det kojugerede tl Idet + får vi + i )( i ) + ( ltså. Desude er. Øvelse Vis t. Hvis skrives på forme (cos(v) + isi(v)), så er (cos( v) + isi( v)). D cos( v) cos(v) og si( v) si(v), og d (cos( v) + isi( v)) og (cos(v) isi(v)) hvor v er et rgumet f., får vi her to skrivemåder for : Multipliktio og divisio i polære koorditer Hvis to komplekse tl og er givet i polære koorditer, ltså ved modulus og rgumet, k multipliktio og divisio udtrykkes simpelt. Sætig Hvis 0 gælder og rg( ) rg( ). 0

11 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Hvis rg( ) u så er (cos(u) + isi(u)) og (cos( u) + isi( u)). Vi ved desude, t og det k omskrives til. Vi får u: (cos( u) + isi( u)) (cos( u) + isi( u)) Nu er skrevet ved hjælp f modulus og rgumet, hvorf vi flæser, t rg( ) rg(). og Sætig : og rg( ) rg() + rg() Bevis: Hvis (cos(u) + isi(u) og (cos(v) + isi(v)) får vi (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) ((cos(u)cos(v) si(u) si(v)) + i(cos(u) si( v) + si(u)cos(v)) Ved rug f de to dditiosformler cos( u) cos(v) si(u) si(v) cos(u + v) og cos( u) si(v) + si(u)cos(v) si(u + v) får vi u (cos(u + v) + isi(u + v)) Herf ser vi t og rg( ) rg() + rg()

12 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis og er givet ved, 3 og π rg() og 3, rg() π, så er 3 π π rg( ) + π 3 3 Vi k også omrege, så tllet står på sædvlig form: π π 3 3 (cos( ) + isi( )) ( + i ) + i 3 3 Sætig 3: Hvis 0, så er og rg( ) rg() rg( ) Bevis Ld (cos(u) + isi(u)) og (cos(v) + isi(v)). Så gælder ifølge sætig (cos( v) + isi( v)) Vi ruger u sætig, me med idst i stedet for : (cos(u + ( v)) + isi(u + ( v))) (cos(u v) + isi(u v)) Herf flæses det øskede. Hvis og er givet ved 6, Sætig 4: og rg( 6 og 3 π rg() og 3 π π π rg( ) ( ) ) rg(), N π 3, rg(), så er 6

13 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Beviset er et iduktiosevis. Vi vil strte med t vise, t sætige er sd for og. D og rg() rg( ) rg() glæder sætige for. Ifølge sætig gælder sætige også for : og rg( ) rg( ) rg() + rg() rg() Vi tger u, t sætige er sd for et turligt tl. Vi vil vise, t så gælder sætige også for. og rg( ) rg( Vi k ltså skrive på forme ) rg( ) + rg() ( )rg() + rg() rg() (cos( v) + isi( v)) hvor v rg(). Øvelse Vis, t sætig 4 gælder for Z. π π Et komplekst tl er givet ved, rg(). Så er cos( ) 0 og π si( ), dvs. + i i. Vi vil u erege, 3 og , rg( 8, rg( 3 π ) π, 3π ), 4 4π 6, rg( ) π, 3 4(cos( π) + isi( π)) 4 3π 3π 8(cos( ) + isi( )) 8i 4 6(cos(π) + isi(π)) 6 3

14 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl er givet ved, og koorditsystemet edefor. π rg(). Tllee,,,, 0 er fildet i 6 Opgve 7 Quiz 3 Ligige z Ide vi går i gg med degrdsligige, vil vi først se på te-grdsligige z, og derefter på de simple degrdsligig, z. Sætig : Ligige z hr løsigere: v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., hvor v rg(). Bevis Vi fider først modulus f z. Ifølge sætig 4 gælder z z og d 4

15 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 z får vi z z z Ifølge sætig 4 gælder rg( z ) rg(z) Idet v er et rgumet f i itervllet ] π π], gælder, t smtlige rgumeter f er givet ved v + pπ, p Z. Derfor er rgumetet f z også lig med rg( z ) v + pπ, p Z Argumetet z k u fides rg( z ) rg(z) v + pπ, p Z rg( z) v π + p, p Z Der er således uedelig mge rgumeter, me det er ok t se på p 0,,,..., -, idet lle øvrige værdier f p giver rgumeter f z, som er idetiske med de llerede v fude, på ær multipl f π. Fx vil p give + π. Derfor er løsigere givet ved v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., Af løsigsformle til ligige z ser vi, t lle løsiger hr smme modulus. Hr m fudet løsige for p 0 og fst de i de komplekse pl, ses det, t de æste π løsig fides ved t dreje de første løsig vikle omkrig (0,0), og så fremdeles. De løsiger vil ltså ligge som hjører i e regulær -kt med cetrum i (0,0). Vi vil løse ligige z 64. Modulus f z er givet ved z 64. Argumetet f z er 0, d 64 ligger på de positive del f de reelle kse. Argumetere f de løsiger er så π rg( z) 0 + p, p ltså, rgumetere er π 4π 6π 8π 0,,, og 0,,, 3, I itervllet ] π; π] får vi rgumetere 4

16 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 π 4π 0, ±, ± Løsigere liver u, idet vi husker t cos( v ) cos(v) og si( v) si(v) z z (cos( π π ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 3 ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 4 ) isi( )) z (cos( π π ) isi( )) Løsigere liver hjørere i e regulær femkt: Løsiger til ligige z 64 M k ltså ved t løse ligige z 64 og fsætte løsigere i de komplekse tlpl kostruere e regulær -kt. Opgve 8 Ligige z Ide vi går i gg med de geerelle degrdsligig, vil vi først se på de simple degrdsligig, z. Sætig 6: Adegrdsligige z hr røddere 6

17 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 v v z ± (cos( ) + isi( )) hvor er modulus f, og rg( ) v. Bevis Af sætig ses, t ligige z hr røddere ltså og v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0, v v z cos( ) + isi( )) z v cos( + π) + i v si( + π)) v v v v D cos( + π) cos( ) og si( + π) si( ) ses det, t z z, ltså k røddere skrives v v z ± cos( ) + isi( )) Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved kvdrtrode f et komplekst tl: Defiitio 3 Kvdrtrode f et komplekst tl er givet ved hvor v rg() v v cos( ) + isi( )) Med dee defiitio kue vi formulere sætig 6 således: Adegrdsligige z hr røddere ±. Vi vil se på eregig f kvdrtrødder i ogle eksempler. Vi vil løse ligige z 4. Her ligger 4 på de positive del f de reelle tlkse. Så er v 0 og dermed er også v 0. Desude er, og vi får z ± (cos(0) + isi(0)) ±. 7

18 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Ved rug f defiitioe ovefor får vi: 4 (cos(0) + isi(0)). Vi ser ltså, t symolet 4 heldigvis hr smme etydig som det tilsvrede reelle symol. Ved i eksemplet ovefor t ersttte tllet 4 med et vilkårligt reelt tl, hvor 0, k vi se, t symolet hr smme etydig ide for de reelle tl og de komplekse tl, år ltså lot 0. Vi vil løse ligige z. Her er og dermed, og vikle mellem og de positive del f de reelle tlkse er v π. Så er v π π z ± (cos( ) + i si( )) ± i π, og løsigere liver π π Ved rug f defiitioe ovefor får vi: (cos( ) + isi( )) i. Vi ser ltså, t defiitio og defiitio 3 stemmer overes. Eksemplet ovefor k let geerliseres til t vise, t hvis er et vilkårligt reelt tl hvor 0, så er i. Øvelse Opgve 9 Vis, t hvis 0, så er i Vi vil løse ligige z 3i. Her er ligigere 3i, og , og vi fider v rg() ved t løse 3 og si(v). De løsig, der tilfredsstiller egge 3 3 v, og dermed er 0, cos( v ) ligiger er v 0, 9879 Løsige til ligige z 3i er så z ± 3 (cos( 0,4940) + isi( 0,4940)) z ± (,674 0,8960i) og vi ser herf edvidere t 3i,674 0,8960i. 8

19 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Vi hr u set tre eksempler på eregig f kvdrtrødder f komplekse tl. M k ifølge defiitio 3 uddrge kvdrtrode f lle komplekse tl, mes m idefor de reelle tl jo ku k tge kvdrtrode f et tl, som er større ed eller lig med ul. Ide for de reelle tl gælder forskellige regeregler, fx. Disse regeregler gælder ikke ide for de komplekse tl. Øvelse Sæt og og vis, t rug f regeregle k føre til e modstrid. Opgve 0 Adegrdsligige z + z + c 0 Sætig 7: Adegrdsligige z + z + c 0, 0. hr røddere ± z hvor d 4c. d Bevis: D 0, k vi omskrive degrdsligige: z + z + c 0 z z + + z + c 0 z + ( ) ( 4c (z + ) (z + ) 4c ((z + )) 4c ) c Nu klder vi det, der står på vestre side f lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y d 9

20 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Dee ligig hr ifølge sætig 6 løsige v v y ± d (cos( ) + isi( )) v v hvor v er et rgumet f d. Idet d d (cos( ) + isi( )), k dette også skrives y ± og vi får derved d y (z + ) ± d z ± d ± d z Vi får ltså, t løsigsformle får det smme udseede som for reelle tl. : Ligige z + ( i)z (8 + 4i) 0 hr diskrimite Vi får så d ( i) 4 ( (8 + 4i)) 8 + 6i d og skl fide v ud fr de to ligiger 8 cos( v) og 0 si( v) Løsige er v 0, 6430 og dermed er v 0, Nu k vi erege kvdrtrode f d: d 0(cos(0,37) + isi(0,37)) 3 + i og edelig k vi erege løsigere: ( i) ± (3 + i) + 3i z + i 0

21 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Adegrdsligiger med reelle koefficieter Sætig 8 Hvis, og c er reelle tl, og d < 0, så er de to rødder i degrdsligige z + z + c 0, 0 hides kojugerede. Bevis De to rødder er og + d z + d z d d D d er egtiv, er rg(d) π, og dermed er Vi får u π d π d (cos( ) + i si( )) d i z d + i og z i d D og d egge er reelle tl, er z z Vi ser ltså, t i det tilfælde, hvor e degrdsligig med reelle koefficieter ikke hr oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hides kojugerede. Adegrdsligige z + z + 0 hr diskrimite d Vi får så d d i i, og løsigere liver + i i z + i og z i

22 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere