Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, Komplekse tal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal"

Transkript

1 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig. Mterilet omhdler komplekse tl, specielt degrdsligige. Målet er t give elevere et første idlik i, hvd komplekse tl er, således t de k ikke gekedede til de komplekse løsiger, som de f og til støder på i rejdet med mtemtikprogrmmer og vcerede lommeregere. Mterilet estår f e tekst (som evt. k opgives til mudtlig eksme), ogle opgver og et pr quizzer. Det er muligt t hete tekste i form f e pdf-fil. Opgvere åes i mtemtikprogrmmet Derive, og det forudsættes derfor, t elevere rejder ved e computer, hvor der er istlleret Derive. Opgvere er ummereret fortløede og er plceret i tekste, så de psser med de teori, der lige er rejdet med. He Østergrd, Ishøj Amtsgymsium Idholdsfortegelse Idledig... Defiitio f komplekse tl...3 Regig med komplekse tl...4 Eksistes f komplekse tl... De komplekse tlpl...6 Modulus og rgumet...7 Kojugerig...9 Multipliktio og divisio i polære koorditer...0 Ligige z...4 Ligige z...6 Adegrdsligige z + z + c Adegrdsligiger med reelle koefficieter...

2 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Idledig Hvis vi skl løse degrdsligige x + x + c 0, 0, ruger vi løsigsformle () ± x 4c Vi plejer t sætte d 4c og t klde d for diskrimite. Hvis d > 0 er der to løsiger, hvis d 0 er der é løsig, og hvis d < 0 er der så ige løsig. Hvis vi prøver t løse e degrdsligig med et computerprogrm, fx Derive, så vil vi se det pudsige, t der dukker to løsiger frem, selvom d < 0. Vi skl se på, hvd det er for e tlmægde, der ideholder de løsiger, som vi ellers påstår ikke fides. Dee tlmægde kldes de komplekse tl. Adegrdsligige () x + 0 hr ikke oge løsig, idet der ikke fides et reelt tl, som gget med sig selv giver -. Hvis vi lligevel prøver t ruge de sædvlige løsigsformel, (), for degrdsligiger, får vi 0 ± x 0 4 ± 4 ( ) ± ± Vi vil u prøve t godtge som e løsig, selvom vi godt ved, t ikke er et reelt tl. Hvis skl være e løsig, må der gælde (3) ( ) eller m..o., t er et tl, som gget med sig selv giver -. I de tilfælde, hvor e degrdsligig ikke hr oge løsig idefor de reelle tl, k løsigsformle ltid omskrives, så de står på forme x +,, R og m k sgtes rege med tl på forme +, år lot m husker t ruge regel (3) smt regereglere for de reelle tl. Vi vil prøve t løse degrdsligige x + x Løsigsformle () giver x ± 4 ± 8 ( ) ± ( ) ± ( ) Vi klder de to løsiger x og x og fider

3 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 og x + x ( + ) + ( ) x x ( + ) ( ) x x ( ) ( ) + ( ) 3 Vi ser, t selvom der ikke er tle om rigtige løsiger, så gælder de sædvlige regel, t summe f røddere er lig med mius koefficiete til x, og produktet f røddere er lig med kosttleddet. Prøv selv t rege med tl på forme + i Derive. Opgve Defiitio f komplekse tl Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved et komplekst tl. Defiitio Tllet i er givet ved i Ifølge det foregåede fsit etyder det, t i. Defiitio De komplekse tl estår f mægde f lle tl, der k skrives på forme + i,, R De komplekse tl eteges C og i kldes de imgiære ehed. Nogle gge ruges etegelse imgiære tl for de komplekse tl. De reelle tl og kldes hhv. reldele og imgiærdele f det komplekse tl og eteges hhv. Re() og Im(). Hvis 0 kldes i et ret imgiært tl. Hvis 0 er et reelt tl. Derfor er de reelle tl e delmægde f de komplekse tl. Hvis + i kldes i + 3i det kojugerede tl til. er et komplekst tl med reldel og imgiærdel 3. 3i er det kojugerede tl til. c 7i er et reelt tl. er et ret imgiært tl. 3

4 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Regig med komplekse tl Additio, sutrktio, multipliktio og divisio foregår på smme måde som for reelle tl. M skl lot huske på, t i. M k ltid reducere sit regeudtryk, så resulttet eder med t stå på forme c + c, c, c R. Ld + 3i og + i. Så er + ( + 3i) + ( + i) + + 3i + i + + 8i og ( + 3i) ( + i) + 3i + i 3 i og ( + 3i) ( + i) c + i + 0i 3i + 7i 7 + 7i Ved divisio vil være e røk med et komplekst tl i ævere. Her skl m få de gode idé t forlæge røke med. På de måde liver ævere et reelt tl, så resulttet ige k skrives på forme c + c, c, c R. c Ld + 3i og + i. Så er i og vi får + 3i + i ( + 3i)( i) ( + i)( i) i 0i 3i i 4

5 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, i + 3 3i 6 i M k selvfølgelig også udlede formlere for dditio osv. geerelt. For dditio ser formle såd ud, år + og + : + ( + i ) + ( + i ) + + i + + i + ( + ) + i( + ) For multipliktio kommer formle til t se såd ud: Øvelse Opgve 3 Quiz ( ) + i( + ) Udled formle for multipliktio f to komplekse tl. Eksistes f komplekse tl M k idføre de reelle tl ved først t idføre de hele tl ud fr de turlige tl, deræst de rtiole tl ud fr de hele tl og edelig de reelle tl ud fr de rtiole tl. Ligeledes k m idføre de komplekse tl ud fr de reelle tl. W. R. Hmilto idførte i 837 de komplekse tl på ritmetisk grudlg ved t idføre dditio og multipliktio i mægde f reelle tlpr, ) på følgede måde: (, ) + (, ) ( +, + ) (, ) (, ) (, + ) ( M k u vise, t mægde f reelle tlpr med de to kompositioer defieret ovefor udgør et tllegeme. Ved deræst t idføre etegelse i for tlprret (0,) og etegelse for tlprret (,0), k m ved t eytte oveståede idse, t i -, og herefter k m gå over til de skrivemåde, der er idført i de forrige fsit. I mtemtikudervisige i gymsiet er der ikke trditio for t idføre de reelle tl på e striget måde. Vi tger det i stedet for givet, t de reelle tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( R, +, ). På smme måde vil vi i disse oter

6 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 tge det for givet, t de komplekse tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( C, +, ). Eksistese f komplekse tl er eskrevet mge steder i litterture. Her hevises de iteresserede læser til to øger, som er skrevet til gymsieiveu: Jesper Frdse: Komplekse tl og frktler, Systime, 99. Jes Crstese: Komplekse tl, Systime, 987. De komplekse tlpl M k filde et komplekst tl + i i puktet (, ) i e pl med et sædvligt retviklet koorditsystem. Alle tl på forme + i 0, dvs. lle reelle tl, fildes på.kse. Dee kse kldes derfor de reelle kse. Alle tl på forme 0 + i, dvs. lle ret imgiære tl, fildes på.kse. De kldes derfor de imgiære kse. Specielt ser vi, t fildes i puktet (,0) og t i fildes i puktet (0,). Det er derfor, vi klder i de imgiære ehed. I vektorregig klder vi vektore fr egydelsespuktet (0,0) til for stedvektore til. D + ( + ) + i ( + ), fildes + i puktet (, ) + +. Herf k vi se, t dditio f to komplekse tl svrer til dditio f de tilsvrede stedvektorer. Additio f komplekse tl 6

7 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve 4 Quiz Modulus og rgumet Ved multipliktio og divisio f komplekse tl er det ekvemt t skrive de komplekse tl på e de form. Ld +. Så er lægde f eller modulus f givet ved + Af udtrykket ovefor k vi se, t modulus f er det smme som lægde f stedvektore til. Hvis vi ser på stedvektore til, så ved vi fr vektorregige, t cos(v) og si(v), hvor v er vikle mellem de positive del f.kse og stedvektore til. Vi k derfor skrive på forme cos(v) + i si(v) (cos(v) + isi(v)) Vi siger, t skrives i polære koorditer, som m ogle gge giver såd: (, v). I polære koorditer giver m ltså og v i stedet for og. Modulus og rgumet Vikle v kldes et rgumet f. Hvis v er et rgumet f, er lle vikler, som er lig med v + pπ, p Z også et rgumet f. Normlt eytter m det rgumet, der ligger i itervllet ] π; π]. Dette rgumet kldes hovedrgumetet. M eytter etegelse rg() for et rgumet f. 7

8 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis +, så k vi fide hovedrgumetet ud fr de to formler si(v), som omskrives til cos(v) og cos( v) og si( v) Disse to ligiger hr hver to løsiger i itervllet ] π; π]. De rigtige vikel er de, som er løsig til egge ligiger. Et komplekst tl er givet ved i. Vi vil fide modulus og rgumet for : Vi ereger først : ( 3) + 4 Deræst ereger vi v: 3 cos(v) giver i itervllet ] π; π] løsigere v,4 eller v -,4. si( v) 4 giver i itervllet ] π; π] løsigere v 0,97 eller v -,4. Herf ser vi, t vi må vælge v,4, og derefter k vi omskrive til (cos(,4) + isi(,4)) eller vi k sige, t og v, 4 I stedet for t fide de to løsiger til hver f ligigere cos( v) og si( v) idefor itervllet ] π; π], k m tege stedvektore til i et koorditsystem. Her k m se hvilke vikel, der er tle om, og så øjes med t ruge ete cosius eller sius (eller tges) til estemmelse f vikle. Det er ok det letteste i prksis. 8

9 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Tllet fr forrige eksempel er fst i ple, og der er teget e ehedscirkel. Her k m se, t hovedrgumetet ligger mellem π/ og π. Derfor er det lettest t ruge cosius til t estemme vikle, idet sius vil give e vikel i. kvdrt. Opgve Hvis et komplekst tl er givet ved polære koorditer, k m omskrive, så tllet står på de sædvlige fco. Et komplekst tl er givet ved 6 og π π 6(cos( ) + isi( )) 3 3 π rg(). Så gælder ltså 3 3 6( + i ) i Opgve 6 Kojugerig Hvis +, så er, og herf k vi se, t kojugerig f et tl svrer til t spejle tllet i.kse. Der gælder derfor, t rg( ) rg(). 9

10 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl og det kojugerede tl Idet + får vi + i )( i ) + ( ltså. Desude er. Øvelse Vis t. Hvis skrives på forme (cos(v) + isi(v)), så er (cos( v) + isi( v)). D cos( v) cos(v) og si( v) si(v), og d (cos( v) + isi( v)) og (cos(v) isi(v)) hvor v er et rgumet f., får vi her to skrivemåder for : Multipliktio og divisio i polære koorditer Hvis to komplekse tl og er givet i polære koorditer, ltså ved modulus og rgumet, k multipliktio og divisio udtrykkes simpelt. Sætig Hvis 0 gælder og rg( ) rg( ). 0

11 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Hvis rg( ) u så er (cos(u) + isi(u)) og (cos( u) + isi( u)). Vi ved desude, t og det k omskrives til. Vi får u: (cos( u) + isi( u)) (cos( u) + isi( u)) Nu er skrevet ved hjælp f modulus og rgumet, hvorf vi flæser, t rg( ) rg(). og Sætig : og rg( ) rg() + rg() Bevis: Hvis (cos(u) + isi(u) og (cos(v) + isi(v)) får vi (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) ((cos(u)cos(v) si(u) si(v)) + i(cos(u) si( v) + si(u)cos(v)) Ved rug f de to dditiosformler cos( u) cos(v) si(u) si(v) cos(u + v) og cos( u) si(v) + si(u)cos(v) si(u + v) får vi u (cos(u + v) + isi(u + v)) Herf ser vi t og rg( ) rg() + rg()

12 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis og er givet ved, 3 og π rg() og 3, rg() π, så er 3 π π rg( ) + π 3 3 Vi k også omrege, så tllet står på sædvlig form: π π 3 3 (cos( ) + isi( )) ( + i ) + i 3 3 Sætig 3: Hvis 0, så er og rg( ) rg() rg( ) Bevis Ld (cos(u) + isi(u)) og (cos(v) + isi(v)). Så gælder ifølge sætig (cos( v) + isi( v)) Vi ruger u sætig, me med idst i stedet for : (cos(u + ( v)) + isi(u + ( v))) (cos(u v) + isi(u v)) Herf flæses det øskede. Hvis og er givet ved 6, Sætig 4: og rg( 6 og 3 π rg() og 3 π π π rg( ) ( ) ) rg(), N π 3, rg(), så er 6

13 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Beviset er et iduktiosevis. Vi vil strte med t vise, t sætige er sd for og. D og rg() rg( ) rg() glæder sætige for. Ifølge sætig gælder sætige også for : og rg( ) rg( ) rg() + rg() rg() Vi tger u, t sætige er sd for et turligt tl. Vi vil vise, t så gælder sætige også for. og rg( ) rg( Vi k ltså skrive på forme ) rg( ) + rg() ( )rg() + rg() rg() (cos( v) + isi( v)) hvor v rg(). Øvelse Vis, t sætig 4 gælder for Z. π π Et komplekst tl er givet ved, rg(). Så er cos( ) 0 og π si( ), dvs. + i i. Vi vil u erege, 3 og , rg( 8, rg( 3 π ) π, 3π ), 4 4π 6, rg( ) π, 3 4(cos( π) + isi( π)) 4 3π 3π 8(cos( ) + isi( )) 8i 4 6(cos(π) + isi(π)) 6 3

14 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl er givet ved, og koorditsystemet edefor. π rg(). Tllee,,,, 0 er fildet i 6 Opgve 7 Quiz 3 Ligige z Ide vi går i gg med degrdsligige, vil vi først se på te-grdsligige z, og derefter på de simple degrdsligig, z. Sætig : Ligige z hr løsigere: v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., hvor v rg(). Bevis Vi fider først modulus f z. Ifølge sætig 4 gælder z z og d 4

15 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 z får vi z z z Ifølge sætig 4 gælder rg( z ) rg(z) Idet v er et rgumet f i itervllet ] π π], gælder, t smtlige rgumeter f er givet ved v + pπ, p Z. Derfor er rgumetet f z også lig med rg( z ) v + pπ, p Z Argumetet z k u fides rg( z ) rg(z) v + pπ, p Z rg( z) v π + p, p Z Der er således uedelig mge rgumeter, me det er ok t se på p 0,,,..., -, idet lle øvrige værdier f p giver rgumeter f z, som er idetiske med de llerede v fude, på ær multipl f π. Fx vil p give + π. Derfor er løsigere givet ved v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., Af løsigsformle til ligige z ser vi, t lle løsiger hr smme modulus. Hr m fudet løsige for p 0 og fst de i de komplekse pl, ses det, t de æste π løsig fides ved t dreje de første løsig vikle omkrig (0,0), og så fremdeles. De løsiger vil ltså ligge som hjører i e regulær -kt med cetrum i (0,0). Vi vil løse ligige z 64. Modulus f z er givet ved z 64. Argumetet f z er 0, d 64 ligger på de positive del f de reelle kse. Argumetere f de løsiger er så π rg( z) 0 + p, p ltså, rgumetere er π 4π 6π 8π 0,,, og 0,,, 3, I itervllet ] π; π] får vi rgumetere 4

16 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 π 4π 0, ±, ± Løsigere liver u, idet vi husker t cos( v ) cos(v) og si( v) si(v) z z (cos( π π ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 3 ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 4 ) isi( )) z (cos( π π ) isi( )) Løsigere liver hjørere i e regulær femkt: Løsiger til ligige z 64 M k ltså ved t løse ligige z 64 og fsætte løsigere i de komplekse tlpl kostruere e regulær -kt. Opgve 8 Ligige z Ide vi går i gg med de geerelle degrdsligig, vil vi først se på de simple degrdsligig, z. Sætig 6: Adegrdsligige z hr røddere 6

17 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 v v z ± (cos( ) + isi( )) hvor er modulus f, og rg( ) v. Bevis Af sætig ses, t ligige z hr røddere ltså og v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0, v v z cos( ) + isi( )) z v cos( + π) + i v si( + π)) v v v v D cos( + π) cos( ) og si( + π) si( ) ses det, t z z, ltså k røddere skrives v v z ± cos( ) + isi( )) Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved kvdrtrode f et komplekst tl: Defiitio 3 Kvdrtrode f et komplekst tl er givet ved hvor v rg() v v cos( ) + isi( )) Med dee defiitio kue vi formulere sætig 6 således: Adegrdsligige z hr røddere ±. Vi vil se på eregig f kvdrtrødder i ogle eksempler. Vi vil løse ligige z 4. Her ligger 4 på de positive del f de reelle tlkse. Så er v 0 og dermed er også v 0. Desude er, og vi får z ± (cos(0) + isi(0)) ±. 7

18 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Ved rug f defiitioe ovefor får vi: 4 (cos(0) + isi(0)). Vi ser ltså, t symolet 4 heldigvis hr smme etydig som det tilsvrede reelle symol. Ved i eksemplet ovefor t ersttte tllet 4 med et vilkårligt reelt tl, hvor 0, k vi se, t symolet hr smme etydig ide for de reelle tl og de komplekse tl, år ltså lot 0. Vi vil løse ligige z. Her er og dermed, og vikle mellem og de positive del f de reelle tlkse er v π. Så er v π π z ± (cos( ) + i si( )) ± i π, og løsigere liver π π Ved rug f defiitioe ovefor får vi: (cos( ) + isi( )) i. Vi ser ltså, t defiitio og defiitio 3 stemmer overes. Eksemplet ovefor k let geerliseres til t vise, t hvis er et vilkårligt reelt tl hvor 0, så er i. Øvelse Opgve 9 Vis, t hvis 0, så er i Vi vil løse ligige z 3i. Her er ligigere 3i, og , og vi fider v rg() ved t løse 3 og si(v). De løsig, der tilfredsstiller egge 3 3 v, og dermed er 0, cos( v ) ligiger er v 0, 9879 Løsige til ligige z 3i er så z ± 3 (cos( 0,4940) + isi( 0,4940)) z ± (,674 0,8960i) og vi ser herf edvidere t 3i,674 0,8960i. 8

19 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Vi hr u set tre eksempler på eregig f kvdrtrødder f komplekse tl. M k ifølge defiitio 3 uddrge kvdrtrode f lle komplekse tl, mes m idefor de reelle tl jo ku k tge kvdrtrode f et tl, som er større ed eller lig med ul. Ide for de reelle tl gælder forskellige regeregler, fx. Disse regeregler gælder ikke ide for de komplekse tl. Øvelse Sæt og og vis, t rug f regeregle k føre til e modstrid. Opgve 0 Adegrdsligige z + z + c 0 Sætig 7: Adegrdsligige z + z + c 0, 0. hr røddere ± z hvor d 4c. d Bevis: D 0, k vi omskrive degrdsligige: z + z + c 0 z z + + z + c 0 z + ( ) ( 4c (z + ) (z + ) 4c ((z + )) 4c ) c Nu klder vi det, der står på vestre side f lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y d 9

20 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Dee ligig hr ifølge sætig 6 løsige v v y ± d (cos( ) + isi( )) v v hvor v er et rgumet f d. Idet d d (cos( ) + isi( )), k dette også skrives y ± og vi får derved d y (z + ) ± d z ± d ± d z Vi får ltså, t løsigsformle får det smme udseede som for reelle tl. : Ligige z + ( i)z (8 + 4i) 0 hr diskrimite Vi får så d ( i) 4 ( (8 + 4i)) 8 + 6i d og skl fide v ud fr de to ligiger 8 cos( v) og 0 si( v) Løsige er v 0, 6430 og dermed er v 0, Nu k vi erege kvdrtrode f d: d 0(cos(0,37) + isi(0,37)) 3 + i og edelig k vi erege løsigere: ( i) ± (3 + i) + 3i z + i 0

21 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Adegrdsligiger med reelle koefficieter Sætig 8 Hvis, og c er reelle tl, og d < 0, så er de to rødder i degrdsligige z + z + c 0, 0 hides kojugerede. Bevis De to rødder er og + d z + d z d d D d er egtiv, er rg(d) π, og dermed er Vi får u π d π d (cos( ) + i si( )) d i z d + i og z i d D og d egge er reelle tl, er z z Vi ser ltså, t i det tilfælde, hvor e degrdsligig med reelle koefficieter ikke hr oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hides kojugerede. Adegrdsligige z + z + 0 hr diskrimite d Vi får så d d i i, og løsigere liver + i i z + i og z i

22 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Elementær Matematik. Differentialregning

Elementær Matematik. Differentialregning Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning.

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning. Oversig [S] 4.5, 5. Nøgleord og begreber Ubeseme udryk l Hospils regel l Hospils regel 2 Tes l Hospils regel Uegenlige inegrler Tes uegenlige inegrler Uegenlige inegrler 2 Tes uegenlige inegrler Smmenligning

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere