Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006"

Transkript

1 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4; 5; : : : Hele tal. Z er mængden af hele tal : : : 5; 4; 3; ; ; 0; ; ; 3; 4; 5; : : :. Z er en udvidelse af N. Rationale tal. Q er mængden af rationale tal, d.v.s. brøker og hele tal. Q er en udvidelse af Z. Reelle tal. R er mængden af reelle tal, der sædvanligvis identi ceres med mængden af punkter på en tallinie. R er en udvidelse af Q. De reelle tal, der ikke er rationale, kaldes irrationale. Komplekse tal. C er mængden af komplekse tal, hvorom dette skal handle. C er en udvidelse af R. De komplekse tal, der ikke er reelle, kaldes imaginære. Begyndende med de naturlige tal kan vi sige, at hver klasse af tal er opnået ved udvidelse af den foregående klasse: N Z Q R C. Regneregler Vi nævner her de egenskaber, som de reelle tal har. Disse består af regnereglerne ()-(9) og egenskaben (0): a + b = b + a (den kommutative lov for addition) () (a + b) + c = a + (b + c) (den associative lov for addition) () ab = ba (den kommutative lov for multiplikation) (3) (ab) c = a (bc) (den associative lov for multiplikation) (4) a (b + c) = ab + ac (den distributive lov) (5) a + 0 = a (6) a = a (7) a + x = 0 har præcis én løsning for x (8) ax = har præcis én løsning for x, når a 6= 0 (9) Enhver Cauchy-følge har en grænseværdi (0)

2 Ved en Cauchy-følge forstås en uendelig følge af tal (x n ) n= = x ; x ; x 3 ; : : : ; x n ; : : : med den egenskab, at x n x m! 0 for n; m!. At enhver Cauchy-følge har en grænseværdi betyder, at man af x n x m! 0 for n; m! kan slutte, at der ndes et tal x, så x n! x for n!. Det er denne ønskværdige egenskab, der gjorde det nødvendigt at udvide de rationale tal til de reelle tal. De rationale tal besidder nemlig ikke denne egenskab. Dette viser vi i eksempel nedenfor. Eksemplet kan overspringes, hvis man vil hurtigt videre. Vi bemærker, at N har egenskaberne () (5); (7) og (trivielt) (0). Z har egenskaberne () (8) og (trivielt) (0). Q har egenskaberne () (9), men ikke (0). R og C har egenskaberne () (0). C har desuden den meget vigtige egenskab, at ethvert polynomium af grad har mindst én rod. Eksempel Vi kan konstruere en følge af rationale tal (x n ) n=, der approksimerer p vilkårligt godt på følgende måde: Vi begynder med at konstatere, at p er den positive løsning til ligningen x = x + x. Denne ligning kan skrives på formen x = F (x), når F (x) = x + x. Lad x =. Beregn nu successivt x = F (x ) ; x 3 = F (x ) ; x 4 = F (x 3 ) ; : : :. Generelt for n Konkret nder vi ved hjælp af Maple: x n+ = F (x n ) x = ; x = 3 ; x 3 = 7 ; x 4 = ; x 5 = ; x 6 = Kvadraterne af disse værdier giver ved omregning til decimalbrøk og ved brug af 4 betydende cifre: x = 4:; x = : ; x 3 = : ; x 4 = : ; x 5 = : ; x 6 = : Det ses, at allerede x 3 må være en udmærket tilnærmelse til p, men at de følgende hurtigt bliver meget bedre. Med 4 betydende cifre er x 6 faktisk lig med. Men x 6 er ikke lig med : x 6 = Udregner vi x 6 med 7 betydende cifre fås Vi må dog sige, at = x 6 = : x 6 = er en fortrinlig rational approksimation til p. Følgen (x n ) n= kan relativt let vises at være en Cauchy-følge. Denne er altså konvergent indenfor de reelle tal R. Grænseværdien x må være positiv p og opfylde ligningen F (x) = x, som er ækvivalent med x =. Grænseværdien er altså. Efter franskmanden Augustin Louis Cauchy, Bevis: () F afbilder [; ] ind i sig selv. () jf 0 (x)j for alle x [; ]. (3) Ifølge middelværdisætningen ndes et tal [; ] så x n+ x n = F (x n) F (x n ) = F 0 () (x n x n ). (4) jx n+ x nj = jf 0 ()j jx n x n j jxn x n j. (5) Gentagen anvendelse af uligheden i (4) giver: jx n+ x nj n jx x j.

3 Der kan imidlertid ikke være noget noget rationalt tal x, så x =. Antag nemlig, at den uforkortelige brøk x = p q opfyldte ligningen. Så ville vi have, at p = q. Men højresiden q er et lige tal, det er venstresiden p altså også. Med så må p selv være lige, og p derfor være delelig med 4. Men det er højresiden q altså også. Derfor må q være lige og altså q lige. Men når nu både p og q er lige, er brøken p q ikke uforkortelig - i modstrid med antagelsen. Vi konkluderer, at p ikke er et rationalt tal. Dette eksempel viser, at det for mængden af rationale tal Q ikke gælder, at enhver Cauchy-følge har en grænseværdi. Beskrivelse af de komplekse tal Vi vil konstruere de komplekse tal. C skal være mængden af punkter i planen. Med et koordinatsystem indlagt, identi ceres et punkt med et talpar, så vi kan sige, at C = R. Desuden ønsker vi selvfølgelig at indføre en addition og en multiplikation. De nition Komplekse tal (punkter i planen) adderes som deres stedvektorer, altså hvis a = (a ; a ) og b = (b ; b ), så er a + b givet ved a + b = (a + b ; a + b ) Komplekse tal multipliceres med et reelt tal ligesom vektorer multipliceres med en skalar, altså hvis s R så skal sa være givet ved sa = (sa ; sa ) Lad os give navne til tre af punkterne i planen: e = (; 0) i = (0; ) o = (0; 0) Vi har nu åbenbart, at ethvert komplekst tal a = (a ; a ) kan skrives på formen a = a e + a i Bemærkning 3 Vi ser, at det komplekse tal o = (0; 0) agerer som et nulelement, dvs. a + o = o + a = a for alle a C. De nition 4 Produktet af to komplekse tal a = (a ; a ) = a e + a i og b = (b ; b ) = b e + b i er givet ved ab = (a e + a i) (b e + b i) = (a b a b ) e + (a b + a b ) i Produktets de nition ser i hvertfald i første omgang en smule mærkelig ud. Men vi har jo også ambitioner om at kunne løse en ligning som z + = 0, så vi må nde os i det. Bemærkning 5 Det følger af de nitionen, at i = ( ) e. Sætning 6 Multiplikation med et reelt tal s er det samme som multiplikation med se, altså (se) a = sa for s R; a C For s; t R gælder, at se + te = (s + t) e (se) (te) = (st) e 3

4 Bevis. Vi viser den første. Med a = a e + a i fås (se) a = (se + 0i) (a e + a i) = (sa 0a ) e + (sa + 0a ) i = sa e + sa i = s (a e + a i) = sa Den sidste påstand følger af den første således (se) (te) = s (te) = s (t; 0) = (st; 0) = (st) e Lad R være den delmængde af de komplekse tal, der ligger på førsteaksen, altså R = f(x; 0) jx R g = fxe jx R g. Både nulelementet o og ét-elementet e tilhører mængden R. Desuden viser sætning 6, at tallene i R opfører sig som reelle tal, vi slæber bare rundt på et (synes det) over ødigt bogstav e. Vi kan derfor med god ret sige, at R er en kopi af de reelle tal. Da nu multiplikation med en skalar s og multiplikation med se giver samme resultat, kan vi i fremtiden dermed også totalt undlade at skrive e erne, således at det komplekse tal a = a e + a i nu vil blive skrevet a = a + a i eller ofte med foranstillet i: a = a + ia med andre ord: vi erstatter e med et et-tal. I overensstemmelse med skrivemåden a = a + a i vil vi i fremtiden skrive 0 i stedet for o. Bemærkning 7 Tidligere fandt vi, at i = ( ) e. Dette vil nu blive skrevet som i =. Vi har hermed fundet en løsning til ligningen z + = 0, nemlig z = i. En anden er z = i. Sætning 8 Regnereglerne for de reelle tal gælder også for de komplekse tal. For alle a; b; c C gælder altså a + b = b + a (den kommutative lov for addition) (a + b) + c = a + (b + c) (den associative lov for addition) ab = ba (den kommutative lov for multiplikation) (ab) c = a (bc) (den associative lov for multiplikation) a (b + c) = ab + ac (den distributive lov) a + 0 = a (0 fungerer som nul-element) a = a ( eller e fungerer som ét-element) a + z = 0 har præcis én løsning for z az = har præcis én løsning for z, når a 6= 0 Enhver Cauchy-følge har en grænseværdi Bevis. De første tre er simple og behøver ingen omtale. Den associative lov for multiplikationen følger ved simpel beregning af begge sider. Først (ab) c: (ab) c = [(a + a i) (b + b i)] (c + c i) = [(a b a b ) + (a b + a b ) i] (c + c i) = [(a b a b ) c (a b + a b ) c ] + [(a b a b ) c + (a b + a b ) c ] i = [a b c a b c a b c a b c ] + [a b c + a b c + a b c a b c ] i 4

5 Dernæst a (bc): a (bc) = (a + a i) [(b + b i) (c + c i)] = (a + a i) [(b c b c ) + (b c + b c ) i] = [a b c a b c a b c a b c ] + [a b c + a b c + a b c a b c ] i Den distributive lov bevises også ved simpel udregning. Først a (b + c): Dernæst ab + ac: a (b + c) = (a + a i) [(b + b i) + (c + c i)] = (a + a i) [(b + c ) + (b + c ) i] = [a (b + c ) a (b + c )] + [a (b + c ) + a (b + c )] i = [a b + a c a b a c ] + [a b + a b + a c + a c ] i ab + ac = (a + a i) (b + b i) + (a + a i) (c + c i) = (a b a b ) + (a b + a b ) i + (a c a c ) + (a c + a c ) i = (a b a b + a c a c ) + (a b + a b + a c + a c ) i At det komplekse tal e (som vi nu skriver som et almindeligt ettal) fungerer som ét-element følger af at multiplikation med en skalar s er det samme som multiplikation med se, som vi har set i sætning 6. At ligningen a + z = 0 har en løsning (og præcis én) er klart ud fra de nitionen af addition som addition af stedvektorer. Når a = a +a i, så er løsningen åbenbart z = ( a )+( a ) i = ( )a, der vil blive betegnet med a. At ligningen az = har en og præcis én løsning, når a 6= 0, følger af følgende regning. Sæt z = z + z i og a = a + a i, og a = a a i (den kompleks konjugerede af a). Bemærk først, at da vi allerede har vist den distributive lov, og da i =, har vi aa = (a a i) (a + a i) = a (ia ) = a + a Dvs. at aa er et reelt og positivt tal. Vi har nu: az = ) a (az) = a ) (aa) z = a Heraf følger nu ved multiplikation med det relle tal aa at z = aa a Hvis ligningen az = altså overhovedet har en løsning, så er den nødvendigvis givet ved dette udtryk. At dette også løser ligningen ses ved indsættelse i ligningen: az = za = aa a a = aa (aa) = Vi har her benyttet både den kommutative og den associative regel, som vi jo allerede har vist. Egenskaben, at enhver Cauchy-følge af komplekse tal er konvergent, arves umiddelbart fra de reelle tal. Er nemlig (z n ) n= = (x n + iy n ) n= en Cauchy-følge, så følger at de reelle talfølger (x n ) n= og (y n) n= begge er Cauchy-følger og derfor konvergente. Derfor er også (z n) n= konvergent. 5

6 Bemærkning 9 Løsningen til az = (med a 6= 0) betegnes med a. Ligningen az = b (med a 6= 0) har nu åbenbart netop én løsning, nemlig z = a b. Dette vil også blive skrevet som b a. Herved er divisionen de neret. Nu gælder altså alle de sædvanlige regneregler, som vi kender fra de reelle tal. Regning med komplekse tal er derfor let: Regn som altid, men husk, at i =. De nition 0 Lad a = a + a i, hvor a ; a R: Tallet a kaldes realdelen af a, med symboler: a = Re a. Tallet a kaldes imaginærdelen af a, med symboler: a = Im a: Den kompleks konjugerede af a er det komplekse tal a a i, og det betegnes med a, altså a + a i = a Førsteaksen kaldes den reelle akse, andenaksen kaldes den imaginære akse. Tallet a kaldes imaginært, hvis Im a 6= 0. Det kaldes rent imaginært, hvis yderligere Re a = 0, altså hvis det ligger på den imaginære akse. a i x + iy og x iy er hinandens kompleks konjugerede Eksempel Addition. ( + 3i) + ( 4 + 7i) = ( + ( 4)) + (3i + 7i) = + 0i. Multiplikation. ( + 3i) ( 4 + 7i) = ( 4)+3i7i+7i+3i ( 4) = 8 +4i i = 9+i. Division. Her bruges et simpelt trick, som også blev brugt i beviset for eksistensen af a, når a 6= 0. Vi forlænger med den kompleks konjugerede af nævneren: + 3i 4 + 7i = = ( + 3i) ( 4 7i) ( + 3i) ( 4 7i) = ( 4 + 7i) ( 4 7i) ( 4) (7i) ( + 3i) ( 4 7i) Sætning Lad a og b være komplekse tal. Så gælder = 3 6i 65 Re (a + b) = Re a + Re b Im (a + b) = Im a + Im b a + b = a + b (ab) = ab Bevis. De tre første påstande er meget lette at vise. Det sker blot ved udregning af begge sider. Det samme gælder den sidste, som vi viser nu. Lad a = a + ia og b = b + ib. Så fås (ab) = (a + ia ) (b + ib ) = a b a b + i (a b + a b ) = a b a b i (a b + a b ) ab = (a + ia ) (b + ib ) = (a ia ) (b ib ) = a b a b i (a b + ia b ) = 5 5 i 6

7 Vi konkluderer, at (ab) = ab. Polære koordinater r og v for punktet a De nition 3 (Polære koordinater) Modulus for et kompleks tal a er punktets afstand fra 0 (som begyndelsespunktet jo nu hedder). Betegnelse jaj. Vinklen fra den reelle akses positive del til linien fra 0 til a kaldes argumentet for a, betegnelse: arg (a). Dette regnes med fortegn. Argumentet er dog mangetydigt. Hvis v er et argument for a, så er også v + p; p Z; et argument for a: Med hovedargumentet, Arg (a), menes det argument, der ligger i intervallet ] ; ]. Bemærkning 4 Andre navne for modulus jaj er numerisk værdi og absolutværdi. Bemærkning 5 Hvis tallet (punktet) a har modulus r og argument v, så ligger det jo på en cirkel med radius r (og med centrum i 0 ), og tallet (punktet) ligger i retningen givet ved vinklen v, så vi har åbenbart følgende formel a = r (cos v + i sin v) Hermed er tallet a skrevet på polær form. Vi vil lidt senere ændre skrivemåden, når den komplekse eksponentialfunktion er blevet indført, så vil den polære form for a få udseendet re iv. Sætning 6 Lad a; b C. Så gælder, at absolutværdien af produktet ab er produktet af absolutværdierne for a og b: jabj = jaj jbj og ét af argumenterne for ab er summen af et argument for a og et argument for b: Som en konsekvens gælder for alle n N, at Yderligere gælder arg (ab) = arg a + arg b ja n j = jaj n arg (a n ) = n arg a jaj = jaj arg a = arg a hvor sidste udsagn skal forstås således, at ét af argumenterne for arg a er arg a. 7

8 Bevis. Ved beviset får vi brug for de trigonometriske additionsformler Med u = arg a og v = arg b har vi nu: cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v ab = jaj (cos u + i sin u) jbj (cos v + i sin v) = jaj jbj (cos u cos v sin u sin v + i (cos u sin v + sin u cos v)) = (jaj jbj) (cos (u + v) + i sin (u + v)) Det sidste tal har åbenbart modulus jaj jbj og argument u + v. Udsagnene om a fås enten ved en geometrisk betragtning eller således (hvor igen arg a = u): a = jaj (cos u + i sin u) = jaj (cos u i sin u) = jaj (cos ( u) + i sin ( u)) Tallet på højre side har åbenbart modulus jaj og argument u. Bemærkning 7 De trigonometriske additionsformler kan bevises således: Afstanden mellem de to punkter på enhedscirklen med argumenter u og v (altså cos u + i sin u og cos v + i sin v) kan kun afhænge af forskellen u v, og må derfor være den samme som afstanden mellem punkterne cos (u v) + i sin (u v) og. Derfor har vi jcos u + i sin u (cos v + i sin v)j = jcos (u v) + i sin (u v) j Ved kvadrering fås, at dette er ensbetydende med Heraf fås efter reduktion (cos u cos v) + (sin u sin v) = (cos (u v) ) + (sin (u v)) cos (u v) = cos u cos v + sin u sin v Da denne relation gælder for alle u; v R, følger begge de ovenfor brugte formler. Øvelse: Forklar hvordan! Eksempel 8 Lad a = + i p 3 og b = q3. Vi vil nde produktet ab ved regning i polære koordinater. Vi nder modulus af a til jaj = + p 3 = : Et argument ndes allerbedst ved at indtegne punktet a i den komplekse plan og så udnytte ens kendskab til trekantsberegning. Se guren. To trekanter udgør en ligesidet trekant 8

9 Vi nder arg a = 3. For b ndes jbj = 3 og arg (b) =. Altså fås jabj = jaj jbj = 3 = 6 og arg (ab) = 3 + = 4 3 således at 4 4 ab = 6 cos 3 + i sin 3 = 6 i p 3 = 3 i 3 p 3 Af de polære koordinater ses, at ab ligger i en afstand på 6 fra 0 og i retningen givet ved vinklen 4 3. Eksempel 9 Vi vil nde i. Vi ved allerede, at det er. Men vi vil nu regne polært. Vi har jij = og arg (i) =. Derfor har vi i = jij = og arg i = = således at i = cos + i sin = Bemærkning 0 Indenfor de reelle tal ndes (som bekendt) en ordning <, der opfylder følgende krav: For hver to forskellige tal a; b gælder enten a < b eller b < a (ikke begge). Desuden gælder for alle a; b; c: a < b ^ b < c =) a < c a < b =) a + c < b + c a < b ^ c > 0 =) ac < bc Her betyder c > 0 selvfølgelig 0 < c. En sådan ordning kan ikke indføres indenfor de komplekse tal. Antag nemlig en sådan ordning eksisterede. Så ville enten 0 < i eller i < 0. Hvis 0 < i; så er ifølge sidste krav ovenfor også 0 < i (tag a = 0 og b = c = i). Da i =, har vi hermed, at 0 <. Dette ville ved samme regel medføre, at 0 < ( ) =. Men af midterste regel og 0 < følger ved addition af, at < 0. Vi har nu både 0 < og < 0, i modstrid med kravet om, at kun én af disse må gælde. Tilfældet i < 0 fører også til en modstrid, idet vi først af midterste krav får, at i+( i) < 0+( i) altså 0 < i. Herefter fås af sidste krav 0 < ( i) =, hvorefter vi kan fortsætte som før. Bemærkning Vi har udvidet de reelle tal repræsenteret ved tallinien til de komplekse tal repræsenteret ved planen. Det er da naturligt at spørge, om en yderligere udvidelse til det tredimensionale rum er mulig. Svaret er nej, og heller ikke engang hvis vi tillader, at multiplikationen ikke er kommutativ. Antag nemlig, at k var et tal, der ikke lå i C. Vi kan tænke os C som f(x; y; 0) jx; y Rg. Lad som sædvanlig i betegne den imaginære enhed. Så ville produktet ik kunne skrives på formen ik = + i + k hvor ; og R. Ved multiplikation med i fra venstre fås hvoraf fås k = i + ik = i + ( + i + k) + k = ( + ) i hvilket strider mod at k = C. Derimod er en udvidelse til et redimensionalt rum mulig, men kun hvis vi tillader, at multiplikationen ikke er kommutativ. Herved opnås de såkaldte kvaternioner. Yderligere udvidelser er ikke mulige. 3 3 Se Svend Bundgaard, Tallene og den abstrakte algebras grundbegreber. 94, pp

10 3 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at kalde den exp. Selvfølgelig har vi exp x = e x men skrivemåden exp x har den fordel, at tankerne ledes i retning af funktionsbegrebet: exp x er eksponentialfunktionen exp anvendt på x, ganske svarende til, at sin x er sinusfunktionen anvendt på x. Skrivemåden e x har også fordele, idet det bliver let at huske den fundamentale regel, at e x+y = e x e y, der jo blot er en af potensreglerne. Vi tænker her på e x som tallet e opløftet til tallet x. Reglen e x+y = e x e y ser således ud, når vi benytter funktionsskrivemåde exp (x + y) = exp x exp y I denne form minder den jo også mere om logaritmereglen ln (xy) = ln x + ln y hvor gangetegn og additionstegn er byttet om sammenlignet med exp-reglen. Vi vil nu udvide eksponentialfunktionens de nitionsområde fra R til C. Herunder vil den fundamentale exp-regel blive bevaret. De nition For x; y R sættes exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y) hvor exp x på højre side er den sædvanlige reelle eksponentialfunktion anvendt på x. Anderledes skrevet: e x+iy = e x (cos y + i sin y) Tallet e x+iy har altså modulus e x og argument y: e x+iy = e x arg e x+iy = y Bemærkning 3 Da vi ikke tidligere har lavet de nitioner af, hvad eksponentialfunktionen skulle gøre ved imaginære tal, kan man med en vis ret sige, at vi kan de nere, hvad vi vil. Vi må dog kontrollere, om der skulle være mulige kon ikter med de nitionen i det reelle tilfælde. Vi ønsker jo kun en udvidelse af de nitionsområdet, ikke en omde nition. Sætter vi y = 0; bliver tallet x + iy reelt, og exp (x + iy) bør derfor blot være den sædvanlige eksponentialfunktion anvendt på x. Med y = 0 på højre side fås exp x (cos 0 + i sin 0) = exp x ( + 0) = exp x. Der er altså ingen kon ikt med tidligere de nitioner. Man kan med rette spørge, hvorfor den udvidede funktion exp fortjener at blive kaldt en eksponentialfunktion. Svaret er, at den fundamentale exp-regel stadig gælder: Sætning 4 For alle z ; z C gælder exp (z + z ) = exp z exp z eller anderledes skrevet e z+z = e z e z 0

11 Bevis. Sæt z = x + iy og z = x + iy, hvor x ; y ; x ; y R, så har vi: je z e z j = je z j je z j = e x +iy e x +iy = e x e x = e x+x = e x+x+i(y+y) = e z +z arg (e z e z ) = arg (e z ) + arg (e z ) = arg e x+iy + arg e x+iy = y + y = arg e x+x+i(y+y) = arg e z+z Tallene e z+z og e z e z har altså samme modulus og samme argument. De er derfor ens. Bemærkning 5 Den polære form for tallet a med modulus r og argument v blev tidligere skrevet a = r (cos v + i sin v). Den vil i fremtiden blive skrevet således: a = r exp (iv) = re iv p q Eksempel 6 Den polære form for tallet 3 i er exp i 5 p3 6, idet modulus er + ( ) = 5 og et argument er 6. (For at indse dette, kan man indtegne tallet i den komplekse plan og ræsonnere på en passende trekant, en trekant.) Sætning 7 Moivre s formel. For n N og x R gælder (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx Bevis. Vi har (cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx. Formlen skyldes franskmanden Abraham de Moivre ( ). Eksempel 8 Lad x R. Vi vil nde en formel, der udtrykker cos 3x ved cos x (og sin x om nødvendigt). Vi udnytter Moivres formel og nder cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re (cos x + i sin x) 3 = Re cos 3 x + 3i cos x sin x 3 cos x sin x i sin 3 x = cos 3 x 3 cos x sin x = cos 3 x 3 cos x cos x = 4 cos 3 x 3 cos x 3. Den komplekse logaritmefunktion Når nu den reelle eksponentialfunktion har en omvendt funktion, nemlig logaritmefunktionen, hvad så med den komplekse eksponentialfunktion, har den en omvendt, og er denne en slags kompleks logaritmefunktion? Svaret er, at den komplekse eksponentialfunktion ikke har en omvendt funktion, men at der alligevel er noget, der kaldes en kompleks logaritmefunktion. Den komplekse eksponentialfunktion har ingen omvendt funktion, da den ikke er injektiv, dvs. ikke en-entydig, Vi har jo for alle z C og p Z, at exp (z + ip) = exp z exp (ip) = exp z (cos (p) + i sin (p)) = exp z Dvs. at for ethvert komplekst tal z er der uendeligt mange andre, der har samme exp-værdi som z. Ikke desto mindre de neres en kompleks logaritme som følger:

12 De nition 9 Lad z C. Et tal w C, der opfylder exp w = z, kaldes en logaritme til z, og betegnes med ln z: Sætning 30 Lad z C og antag, at z 6= 0. Så har z følgende logaritmer ln z = ln jzj + i (arg z + p) = ln jzj + i arg z + ip hvor p Z, og arg z er et vilkårligt argument for z, og hvor den logaritme, der optræder på højre side ( ln jzj ), er den reelle velkendte logaritme af et positivt tal. Bemærk, at to forskellige logaritmer afviger fra hinanden med et helt multiplum af i. Tallet 0 har ingen logaritme. Bevis. Vi skal løse ligningen exp w = z for w. Vi sætter w = w + iw og z = re iv, hvor r > 0 og v R. Så har vi altså e w e iw = e w+iw = exp (w + iw ) = exp w = z = re iv Yderste højre og yderste venstre side er begge polære former for samme tal, så vi har e w = r; w = v + p; p Z men hermed har vi, at w er den sædvanlige reelle logaritme af det positive tal r, altså w = ln r = ln jzj, således at w = w + iw = ln jzj + i (v + p) = ln jzj + i (arg z + p). At tallet 0 ikke har nogen logaritme, følger af ovenstående regninger, idet vi nu har r = 0, således at vi nu skal løse ligningen e w = r = 0 for det reelle tal w : Men for reelle tal w er e w > 0. Eksempel 3 Vi vil nde samtlige logaritmer til tallet a = p 3 i: Da jaj = og arg a = 6 fås (med p Z): p ln a = ln 3 i = ln i 6 + pi Eksempel 3 Samtlige logaritmer til det negative tal 5 er givet ved ln ( 5) = ln 5 + i + pi, hvor p Z. Bemærkning 33 Hovedlogaritmen til z Cn f0g de neres som den logaritme, der svarer til at man bruger hovedargumentet for z: Ln (z) = ln jzj + i Arg (z) Eksempel 34 Vi har Ln p 3 i = ln i 6 og Ln ( 5) = ln 5 + i Bemærkning 35 Prøver man i Maple at nde det ubestemte integral R xdx så får man Z dx = ln x x Accepterer man kun reelle tal, må man enten forudsætte, at x > 0 eller rette formlen til Z dx = ln jxj x Computeralgebraprogrammer som Maple og Mathematica gør uhæmmet brug af komplekse tal og funktioner, herunder den komplekse logaritme.

13 4 Rødder i polynomier 4. Den binome ligning Et polynomium er et udtryk med mange led (poly kommer af græsk og betyder mange). Et binomium er et udtryk med to led. En binom ligning er en ligning af formen z n = a hvor n N og a C. Vi ønsker at løse denne ligning for den ubekendte z. Denne opgave kan også formuleres således: Vi ønsker at bestemme samtlige komplekse n te rødder af a. Ved en kompleks n te rod af a vil vi forstå et tal som opløftet til n te giver a. Bemærkning 36 Det skal vise sig, at antallet af komplekse n te rødder af et tal a altid er n; når undtages a = 0, der kun har én n te rod, nemlig 0. Man bør derfor være varsom ved brugen af rodtegn til angivelse af en rod. Vær opmærksom på, at det er en strengt overholdt konvention, at hvis a R + ;så betyder np a dét positive reelle tal, der opløftet til n te, giver a. Eksempelvis har ligningen z = to løsninger, den ene er p p, den anden er. Den første af disse er positiv (og lig med ca. : 44 ), den anden negativ. Men begge kan betragtes som komplekse kvadratrødder af. Sætning 37 Rødderne i den binome ligning z n = a, hvor a = re iv ; r 0; v R, er givet ved z = np re i( v n +p n ) ; p = 0; ; ; : : : ; n Bevis. Vi skriver også den ubekendte z på polær form z = e i, med 0 og R. Ved indsættelse af z = e i og a = re iv i ligningen z n = a, fås e i n = re iv Ved brug af sædvanlige regneregler (der jo gælder!) fås n e in = re iv De to sider af denne ligning er polære former af samme tal, så n = r og n = v + p, hvor p Z: Da 0 fås heraf, at = np r, hvor rodtegnet angiver den konventionelle positive rod af et positivt tal. Desuden nder vi, at = v n + p n. Bemærk, at vi kun behøver betragte p = 0; ; ; : : : ; n, idet ere p-værdier blot vil give -værdier, der afviger fra en allerede betragtet -værdi med et multiplum af. Man bør specielt bemærke, at samtlige rødder i den binome ligning z n = a = re iv har modulus np r og således i den komplekse plan ligger på en cirkel med denne radius og centrum i 0. Desuden bemærker man, at to på hinanden følgende rødder har argumenter, der afviger fra hinanden med n. Rødderne er altså jævnt fordelt på den omtalte cirkel. Har man fundet én rod, så er de andre let placeret. Vi noterer os dette resultat: Korollar 38 Er z 0 en rod i ligningen z n = a, så er samtlige rødder givet ved z = z 0 e ip n ; p = 0; ; ; : : : ; n Eksempel 39 Vi vil løse ligningen z 5 = 3. Vi bemærker, at én rod kan gættes, nemlig Men ligningen er jo binom, så de andre 4 rødder ligger derfor på en cirkel med radius (og centrum i 0). To på hinanden følgende rødder ligger desuden på cirklen i en vinkelafstand på 5. Vi kan altså indtegne røddernes placering i den komplekse plan før vi overhovedet har fundet et udtryk for mere end én af dem. 3

14 Rødderne i z 5 = 3 For at nde et udtryk for rødderne kan vi bruge korollar 38 ovenfor og nder så z = e ip 5 = cos p + i sin p 5 5 hvor p = 0; ; ; 3; 4. Idet vi nummererer rødderne efter deres p-værdier nder vi z 0 = z = e i 5 z = e i 4 5 z 3 = e i 6 5 z 4 = e i 8 5 = cos + i sin = p q ip 5 + p = cos + i sin = p q ip p 5 5 = e i 4 5 = z = q p 5 ip p 5 5 = e i 5 = z = q p 5 ip 5 + p 5 Som det ses er det let at nde rødderne på polær form, hvorimod det ikke altid er let at nde eksakte værdier for den tilsvarende rektangulære form. Vi har brugt Maple i dette tilfælde. Eksempel 40 Find de 3 komplekse tredierødder af 5. Anderledes sagt: Løs den binome ligning z 3 = 5. Én løsning er åbenbart 5, de to andre ligger på en cirkel med radius 5 og centrum i 0. Rødderne ligger i en vinkelafstand fra hinanden på 3. For hurtigt at nde et udtryk for rødderne laves en gur og der ræsonneres på en passende valgt trekant (en trekant). Man nder, at de to andre rødder er 5 i p 5 3. Rødderne i z 3 = 5 4

15 Bemærkning 4 Man bør hér bemærke, at beder man Maple om ( 5)^(=3); så får man roden 5 + i 5 p 3. Vil man have 5, skal man bede om surd( 5, 3); Selvfølgelig kan man bare bede Maple om at løse ligningen vha. solve. Da ligningen er polynomial, fås samtlige 3 rødder. Eksempel 4 Komplekse kvadratrødder får man let styr på. Der er jo kun, og de ligger jævnt fordelt på en cirkel. Så hvis den ene rod er x + iy, så må den anden være x iy. Vi prøver at løse ligningen z = 4i. Bruges formlen i sætning 37, skrives først 4i = 4e i. Herefter har vi hvor p = 0; : Løsningerne er altså z 0 = e i 4 = cos z = z 0 = p + i p z = e i( 4 +p) + i sin = p i p 4 4 Eksempel 43 Lad os løse ligningen z 4 = + i, og nøjes med at give løsningerne på polær form. (Der er god grund til denne nøjsomhed!). Vi har j + ij = p og arg ( + i) = 4, så løsningerne er ifølge sætning 37 givet ved z = 8p exp i 6 + p hvor p = 0; ; ; 3. Rødderne ligger på en cirkel med radius 8p, og de deler cirkelbuen i 4 lige store stykker. Den ene af rødderne ligger i første kvadrant i en vinkelafstand fra x-aksen på Andengradsligningen Betragt andengradsligningen Rødderne i z 4 = + i az + bz + c = 0 hvor a; b; c C, og a 6= 0. Vi vil vise, at ligningen kan løses på sædvanlig vis. Omskriv venstresiden således: az + bz + c = a z ba b b 4ac + z + 4a 4a = a z + b! b 4ac a 4a 5

16 Løsningerne til andengradsligningen opfylder derfor følgende ligning z + b = b 4ac a 4a som vi kan anse for binom, hvis vi midlertidigt opfatter w = z + b a som den ubekendte. Den binome ligning w = b 4ac 4a har som enhver anden binom ligning af anden grad q løsninger, nemlig de komplekse kvadratrødder af b 4ac b 4a, som vi kan skrive på formen 4ac 4a : Altså kan løsningerne til andengradsligningen skrives z = b r b a 4ac 4a der også kan skrives på den traditionelle form z = b p b 4ac a Hvilke af de to komplekse kvadratrødder p b da vi med p b 4ac jo skal have dem begge. 4ac refererer til, behøver vi ikke tage stilling til, Eksempel 44 Vi løser ligningen z z + ( + i) = 0. Vi nder z = p 4 4 ( + i) = p 4i I et tidligere eksempel har vi imidlertid løst den binome ligning w = 4i, dvs. fundet de to komplekse kvadratrødder p 4i. Resultatet var p 4i = p i p. Altså nder vi z = p i p ( = p + p ( i) = i p p + i p Eksempel 45 Vi vil løse ligningen z + z + = 0. Vi nder z = p 4 = p 3 = ip 3 = ( + i p 3 i p 3 idet de to løsninger til den binome ligning w = 3 er w = i p Polynomier generelt Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 hvor koe cienterne a 0 ; a ; : : : ; a n er tal (i dette afsnit komplekse). Bemærk, at eksponenterne til z alle er ikke-negative hele tal. Hvis a n 6= 0; vil vi kalde a n for den ledende koe cient og sige, at polynomiets grad er n: Et polynomium af 0 te grad er blot et tal a 0 6= 0. Nulpolynomiet er blot udtrykket 0. Når dette overhovedet tillægges en grad, siger man, at den er : 6

17 Eksempel 46 Udtrykkene z 3 z + ; z 6 + 5z 5 + (5 + 3i) z + z og 7 er polynomier i den variable z af grader henholdsvis 3, 6 og 0. Udtrykkene 4z +6z 8+z+ z og 5z 3 z er ikke polynomier i den variable z. Et udtryk med uendeligt mange led som +z+z +z 3 +z 4 +: : :+z k +: : : er ikke et polynomium, men kaldes en uendelig række. Vi skal i dette afsnit behandle rødder i polynomier. I det foregående afsnit viste vi, at den sædvanlige formel til bestemmelse af rødderne i et andengradspolynomium stadig gælder, når blot kvadratroden tolkes som bestemmelse af en kompleks kvadratrod. Der ndes også formler til bestemmelse af rødderne i et tredie- og fjerdegradspolynomium. Disse formler er ret komplicerede og kan ikke generelt anbefales brugt. Det interessante er imidlertid, at formlerne overhovedet ndes. Det kan nemlig vises, at rødderne i et polynomium af femte eller højere grad ikke generelt kan udtrykkes ved brug af endeligt mange af følgende symboler: De naturlige tal N, polynomiets koe cienter, +; ; = og rodtegn. Dette resultat går tilbage til 86 og skyldes nordmanden Niels Henrik Abel (80-9). Påstanden om manglen på formler skal ikke overfortolkes. Husk, at bestemmelsen af rødderne i polynomiet z n a jo blot er bestemmelsen af samtlige n te rødder af a: Franskmanden Evariste Galois (8-3) gav et kriterium for, om rødderne i et givet polynomium kan udtrykkes ved rodtegn. På trods af manglen på formler for rødderne i et generelt polynomium af grad 5 har disse polynomier rødder indenfor C. Der gælder nemlig følgende sætning, der går tilbage til Carl Friedrich Gauss ( ): Sætning 47 Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert polynomium af grad har mindst én rod indenfor de komplekse tal. Bevis. Beviset er indviklet, hvis det skal føres uden forudgående kendskab til kompleks funktionsteori. Vi vil ikke give noget bevis hér. De nition 48 Et tal z C som er rod i polynomiet p siges at have multipliciteten k N, hvis p (z) = (z z ) k q (z), hvor q (z) er et polynomium og hvor z ikke er rod i q (z). Hvis multipliciteten er, siges roden at være simpel. Eksempel 49 Polynomiet 5z 4 50z 3 + 0z + 60z 640 kan faktoriseres til 5 (z + ) (z 4) 3. Vi ser derfor, at 4 er rod af multiplicitet 3, og er rod af multiplicitet. er altså en simpel rod. Korollar 50 Polynomiet p (z) = a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0, hvor n (og a n 6= 0) kan skrives som et produkt af a n og n førstegradsfaktorer: p (z) = a n (z z ) (z z ) : : : (z z n ) Ethvert polynomium af grad n har altså n rødder, hvis disse regnes med multiplicitet. Bevis. Da n har polynomiet en rod z C. Polynomiers division af p (z) med førstegradsfaktoren z z vil give en rest på 0, divisionen går op. Altså p (z) = (z z ) q (z), hvor q er et polynomium af grad n. Hvis n = er q (z) blot en konstant, der nødvendigvis må være a n = a : Hvis n >, må q (z) have en rod z. Ved polynomiers division fås da, at q (z) = (z z ) q (z), hvor q er et polynomium af grad n. Hvis n = er q (z) blot en konstant, der nødvendigvis må være a n = a : Hvis n >, må q (z) have en rod z 3. Således fortsættes og vi nder p (z) = (z z ) q (z) = (z z ) (z z ) q (z) = : : : = (z z ) (z z ) (z z 3 ) : : : (z z n ) q n (z) hvor nu q n (z) har grad nul, altså er en konstant, og denne er nødvendigvis a n. 7

18 Sætning 5 Hvis et polynomium har reelle koe cienter og z C er rod, så er også z rod. Bevis. Lad polynomiet p (z) = a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 have reelle koe cienter, altså a k R, for k = 0; ; : : : ; n. Da z er rod har vi Ved kompleks konjugation fås a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = p (z ) = 0 a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = 0 = 0 Vi udnytter egenskaberne for kompleks konjugation ( a + b = a + b og (ab) = ab ), og får først a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = 0 og dernæst, da koe cienterne er reelle og da z k = (z ) k : a n (z ) n + a n (z ) n + : : : + a z + a 0 = 0 men venstre side er jo p (z ), hvorfor vi altså har p (z ) = 0. Korollar 5 Ethvert polynomium af grad n og med reelle koe cienter kan skrives som et produkt af reelle første- og andengradsfaktorer. Bevis. Et sådant polynomium kan jo skrives som et produkt af komplekse førstegradsfaktorer. Nogle af disse kan være reelle. De imaginære førstegradsfaktorer kommer i par af formen (z z ) (z z ). Med z = a + ib, a; b R, fås (z z ) (z z ) = (z (a + ib)) (z (a ib)) = ((z a) ib) ((z a) + ib) = (z a) + b = z za + a + b og dette andengradspolynomium har jo reelle koe cienter. Bestemmelse af rødder i polynomier gøres naturligvis lettest ved brug af computer: Eksempel 53 Den følgende Maple-kode frembringer et tilfældigt polynomium af grad højst 00 og med heltallige koe cienter mellem 99 og 99. Vi har også sorteret polynomiet, så leddene kommer i aftagende gradsrækkefølge with(randomtools): p:=sort(generate(polynom(integer(range= ),z,degree=00))); Vi viser kun en meget lille del af det lange udtryk: p := 8z z 99 6z 98 64z 97 8z 96 + : : : 87z 4 75z z 6z + 38 Rødderne kan ndes ved en numerisk metode således: r:=fsolve(p=0, z, complex): De 00 rødder, som polynomiet har, viser vi kun på en gur. Dette kan gøres således: plots[complexplot]( [r], style=point, symbol=circle, scaling=constrained); 8

19 Rødderne for vores 00.-gradspolynomium Det er bemærkelsesværdigt, at mange (de este!) af rødderne ligger meget tæt på enhedscirklen. Dette fænomen er mindre udtalt, når den maksimale grad vælges mindre. Skulle man ønske at bestemme rødderne i et polynomium i hånden er følgende sætning undertiden nyttig: Sætning 54 Lad polynomiet a n z n +a n z n +: : :+a z+a 0 med a n 6= 0, have hele koe cienter, altså a k Z for k = 0; ; : : : ; n. Antag polynomiet har en rational rod z = p q ; p; q Z, hvor brøken er uforkortelig. Så gælder, at p ja 0 og q ja n. Bevis. Vi har a n p q n + a n Multiplikation med q n på begge sider giver n p q + : : : + a p q + a 0 = 0 a n p n + a n p n q + : : : + a pq n + a 0 q n = 0 der også kan skrives a n p n + a n p n q + : : : + a q n p + a 0 q n = 0 Vi ser, at p går op i første led, p må derfor også gå op i andet led a 0 q n. Men p og q har ingen fælles primtalsfaktorer, så p går ikke op i q n. Derfor må p gå op i a 0. Beviset for, at q ja n forløber ganske analogt. Korollar 55 Har et polynomium a n z n +a n z n +: : :+a z+a 0 med a n 6= 0, hele koe cienter, skal evt. rationale rødder søges blandt divisorer i a 0 divisorer i a n Med denne skrivemåde menes her at alle kombinationer skal undersøges. Eksempel 56 Vi vil nde rødderne i polynomiet p (z) = 5z 4 30z z + 30z 50, og samtidigt faktorisere polynomiet. Polynomiet har hele koe cienter. Da divisorerne i 50 er temmelig mange, og da 5p (z) har de samme rødder som p (z) og stadig hele koe cienter, nder vi rødderne i 5 p (z) = z4 6z 3 + 3z + 6z 04: Divisorer i 04 er ; 4; 8; 3; 6; 5; 04. Den ledende koe cient er. De mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 8; 3; 6; 5; 04. Hvis 9

20 vi begynder afprøvningen nedefra, nder vi først, at er rod. Ved polynomiers division af z 4 6z 3 + 3z + 6z 04 med z + fås z 3 8z + 9z 5. Vi skal nu bestemme rødder i dette polynomium. Mulige rationale rødder er ; ; 4; 8; 3; 6; 5. Bemærk dog, at polynomiet ikke kan have en negativ rod pga. de alternerende fortegn. De mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 8; 3; 6; 5. Afprøvning nedefra viser, at 4 er rod. Polynomiers division af z 3 8z +9z 5 med z 4 giver z 4z +3. Dette andengradspolynomium har ingen rationale rødder, til gengæld har vi en formel for rødderne. Vi nder, at disse er z = 4 p 36 = 3i Rødderne i det givne polynomium er altså ; 4; 3i. Polynomiet kan faktoriseres i komplekse førstegradsfaktorer således p (z) = 5 (z + ) (z 4) (z ( + 3i)) (z ( 3i)) I reelle første- og andengradsfaktorer ser faktoriseringen således ud p (z) = 5 (z + ) (z 4) z 4z + 3 Eksempel 57 Vi vil nde rødderne i polynomiet p (z) = z 6 7z z4 + 4z 8z + 49, og samtidigt faktorisere polynomiet. Polynomiet har ikke hele koe cienter, men det har polynomiet 4p (z) = 4z 6 8z 5 +49z 4 +6z z +96, der jo har de samme rødder. Vi bemærker med det samme, at polynomiet ikke har negative rødder. Divisorerne i 96 er ; ; 4; 7; 4; 8; 49; 98; 96. Divisorer i den ledende koe cient (4) er ; ; 4. De mulige rationale rødder er herefter: ; ; 4; 7; 4; 8; 49; 98; 96; ; 7 ; 49 ; 4 ; 7 4 ; 49 4 Ved afprøvning nder man, at 7 er rod. Polynomiers divison af 4z6 8z 5 +49z 4 +6z z+96 7 med z = z 7 giver z 5 7z 4 + 8z 8. Dette polynomium har (selvfølgelig) heller ingen negative rødder. Divisorer i 8 er ; ; 4; 7; 4; 8 og divisorer i den ledende koe cient er ;. Mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 7; 4; 8; ; 7 Ved kontrol ses det, at 7 er rod (hermed er den altså dobbeltrod i det oprindelige polynomium). Polynomiers division af z 5 7z 4 + 8z 8 med z 7 giver z Bestemmelse af rødderne i z betyder løsning af den binome ligning z 4 = 4 = 4e i. Den sædvanlige formel giver de re løsninger i og i. Rødderne i det oprindelige polynomium er altså 7 (med multiplicitet ), i og i. Polynomiet kan faktoriseres i komplekse førstegradsfaktorer således p (z) = (z 7) (z ( + i)) (z ( i)) (z ( + i)) (z ( i)) og i reelle første- og andengradsfaktorer således (z 7) z z + z + z + 5 Eulers formler. De komplekse trigonometriske funktioner. Ifølge de nitionen af den komplekse eksponentialfunktion har vi for v R e iv = cos v + i sin v e iv = cos v i sin v 0

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere