Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006"

Transkript

1 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4; 5; : : : Hele tal. Z er mængden af hele tal : : : 5; 4; 3; ; ; 0; ; ; 3; 4; 5; : : :. Z er en udvidelse af N. Rationale tal. Q er mængden af rationale tal, d.v.s. brøker og hele tal. Q er en udvidelse af Z. Reelle tal. R er mængden af reelle tal, der sædvanligvis identi ceres med mængden af punkter på en tallinie. R er en udvidelse af Q. De reelle tal, der ikke er rationale, kaldes irrationale. Komplekse tal. C er mængden af komplekse tal, hvorom dette skal handle. C er en udvidelse af R. De komplekse tal, der ikke er reelle, kaldes imaginære. Begyndende med de naturlige tal kan vi sige, at hver klasse af tal er opnået ved udvidelse af den foregående klasse: N Z Q R C. Regneregler Vi nævner her de egenskaber, som de reelle tal har. Disse består af regnereglerne ()-(9) og egenskaben (0): a + b = b + a (den kommutative lov for addition) () (a + b) + c = a + (b + c) (den associative lov for addition) () ab = ba (den kommutative lov for multiplikation) (3) (ab) c = a (bc) (den associative lov for multiplikation) (4) a (b + c) = ab + ac (den distributive lov) (5) a + 0 = a (6) a = a (7) a + x = 0 har præcis én løsning for x (8) ax = har præcis én løsning for x, når a 6= 0 (9) Enhver Cauchy-følge har en grænseværdi (0)

2 Ved en Cauchy-følge forstås en uendelig følge af tal (x n ) n= = x ; x ; x 3 ; : : : ; x n ; : : : med den egenskab, at x n x m! 0 for n; m!. At enhver Cauchy-følge har en grænseværdi betyder, at man af x n x m! 0 for n; m! kan slutte, at der ndes et tal x, så x n! x for n!. Det er denne ønskværdige egenskab, der gjorde det nødvendigt at udvide de rationale tal til de reelle tal. De rationale tal besidder nemlig ikke denne egenskab. Dette viser vi i eksempel nedenfor. Eksemplet kan overspringes, hvis man vil hurtigt videre. Vi bemærker, at N har egenskaberne () (5); (7) og (trivielt) (0). Z har egenskaberne () (8) og (trivielt) (0). Q har egenskaberne () (9), men ikke (0). R og C har egenskaberne () (0). C har desuden den meget vigtige egenskab, at ethvert polynomium af grad har mindst én rod. Eksempel Vi kan konstruere en følge af rationale tal (x n ) n=, der approksimerer p vilkårligt godt på følgende måde: Vi begynder med at konstatere, at p er den positive løsning til ligningen x = x + x. Denne ligning kan skrives på formen x = F (x), når F (x) = x + x. Lad x =. Beregn nu successivt x = F (x ) ; x 3 = F (x ) ; x 4 = F (x 3 ) ; : : :. Generelt for n Konkret nder vi ved hjælp af Maple: x n+ = F (x n ) x = ; x = 3 ; x 3 = 7 ; x 4 = ; x 5 = ; x 6 = Kvadraterne af disse værdier giver ved omregning til decimalbrøk og ved brug af 4 betydende cifre: x = 4:; x = : ; x 3 = : ; x 4 = : ; x 5 = : ; x 6 = : Det ses, at allerede x 3 må være en udmærket tilnærmelse til p, men at de følgende hurtigt bliver meget bedre. Med 4 betydende cifre er x 6 faktisk lig med. Men x 6 er ikke lig med : x 6 = Udregner vi x 6 med 7 betydende cifre fås Vi må dog sige, at = x 6 = : x 6 = er en fortrinlig rational approksimation til p. Følgen (x n ) n= kan relativt let vises at være en Cauchy-følge. Denne er altså konvergent indenfor de reelle tal R. Grænseværdien x må være positiv p og opfylde ligningen F (x) = x, som er ækvivalent med x =. Grænseværdien er altså. Efter franskmanden Augustin Louis Cauchy, Bevis: () F afbilder [; ] ind i sig selv. () jf 0 (x)j for alle x [; ]. (3) Ifølge middelværdisætningen ndes et tal [; ] så x n+ x n = F (x n) F (x n ) = F 0 () (x n x n ). (4) jx n+ x nj = jf 0 ()j jx n x n j jxn x n j. (5) Gentagen anvendelse af uligheden i (4) giver: jx n+ x nj n jx x j.

3 Der kan imidlertid ikke være noget noget rationalt tal x, så x =. Antag nemlig, at den uforkortelige brøk x = p q opfyldte ligningen. Så ville vi have, at p = q. Men højresiden q er et lige tal, det er venstresiden p altså også. Med så må p selv være lige, og p derfor være delelig med 4. Men det er højresiden q altså også. Derfor må q være lige og altså q lige. Men når nu både p og q er lige, er brøken p q ikke uforkortelig - i modstrid med antagelsen. Vi konkluderer, at p ikke er et rationalt tal. Dette eksempel viser, at det for mængden af rationale tal Q ikke gælder, at enhver Cauchy-følge har en grænseværdi. Beskrivelse af de komplekse tal Vi vil konstruere de komplekse tal. C skal være mængden af punkter i planen. Med et koordinatsystem indlagt, identi ceres et punkt med et talpar, så vi kan sige, at C = R. Desuden ønsker vi selvfølgelig at indføre en addition og en multiplikation. De nition Komplekse tal (punkter i planen) adderes som deres stedvektorer, altså hvis a = (a ; a ) og b = (b ; b ), så er a + b givet ved a + b = (a + b ; a + b ) Komplekse tal multipliceres med et reelt tal ligesom vektorer multipliceres med en skalar, altså hvis s R så skal sa være givet ved sa = (sa ; sa ) Lad os give navne til tre af punkterne i planen: e = (; 0) i = (0; ) o = (0; 0) Vi har nu åbenbart, at ethvert komplekst tal a = (a ; a ) kan skrives på formen a = a e + a i Bemærkning 3 Vi ser, at det komplekse tal o = (0; 0) agerer som et nulelement, dvs. a + o = o + a = a for alle a C. De nition 4 Produktet af to komplekse tal a = (a ; a ) = a e + a i og b = (b ; b ) = b e + b i er givet ved ab = (a e + a i) (b e + b i) = (a b a b ) e + (a b + a b ) i Produktets de nition ser i hvertfald i første omgang en smule mærkelig ud. Men vi har jo også ambitioner om at kunne løse en ligning som z + = 0, så vi må nde os i det. Bemærkning 5 Det følger af de nitionen, at i = ( ) e. Sætning 6 Multiplikation med et reelt tal s er det samme som multiplikation med se, altså (se) a = sa for s R; a C For s; t R gælder, at se + te = (s + t) e (se) (te) = (st) e 3

4 Bevis. Vi viser den første. Med a = a e + a i fås (se) a = (se + 0i) (a e + a i) = (sa 0a ) e + (sa + 0a ) i = sa e + sa i = s (a e + a i) = sa Den sidste påstand følger af den første således (se) (te) = s (te) = s (t; 0) = (st; 0) = (st) e Lad R være den delmængde af de komplekse tal, der ligger på førsteaksen, altså R = f(x; 0) jx R g = fxe jx R g. Både nulelementet o og ét-elementet e tilhører mængden R. Desuden viser sætning 6, at tallene i R opfører sig som reelle tal, vi slæber bare rundt på et (synes det) over ødigt bogstav e. Vi kan derfor med god ret sige, at R er en kopi af de reelle tal. Da nu multiplikation med en skalar s og multiplikation med se giver samme resultat, kan vi i fremtiden dermed også totalt undlade at skrive e erne, således at det komplekse tal a = a e + a i nu vil blive skrevet a = a + a i eller ofte med foranstillet i: a = a + ia med andre ord: vi erstatter e med et et-tal. I overensstemmelse med skrivemåden a = a + a i vil vi i fremtiden skrive 0 i stedet for o. Bemærkning 7 Tidligere fandt vi, at i = ( ) e. Dette vil nu blive skrevet som i =. Vi har hermed fundet en løsning til ligningen z + = 0, nemlig z = i. En anden er z = i. Sætning 8 Regnereglerne for de reelle tal gælder også for de komplekse tal. For alle a; b; c C gælder altså a + b = b + a (den kommutative lov for addition) (a + b) + c = a + (b + c) (den associative lov for addition) ab = ba (den kommutative lov for multiplikation) (ab) c = a (bc) (den associative lov for multiplikation) a (b + c) = ab + ac (den distributive lov) a + 0 = a (0 fungerer som nul-element) a = a ( eller e fungerer som ét-element) a + z = 0 har præcis én løsning for z az = har præcis én løsning for z, når a 6= 0 Enhver Cauchy-følge har en grænseværdi Bevis. De første tre er simple og behøver ingen omtale. Den associative lov for multiplikationen følger ved simpel beregning af begge sider. Først (ab) c: (ab) c = [(a + a i) (b + b i)] (c + c i) = [(a b a b ) + (a b + a b ) i] (c + c i) = [(a b a b ) c (a b + a b ) c ] + [(a b a b ) c + (a b + a b ) c ] i = [a b c a b c a b c a b c ] + [a b c + a b c + a b c a b c ] i 4

5 Dernæst a (bc): a (bc) = (a + a i) [(b + b i) (c + c i)] = (a + a i) [(b c b c ) + (b c + b c ) i] = [a b c a b c a b c a b c ] + [a b c + a b c + a b c a b c ] i Den distributive lov bevises også ved simpel udregning. Først a (b + c): Dernæst ab + ac: a (b + c) = (a + a i) [(b + b i) + (c + c i)] = (a + a i) [(b + c ) + (b + c ) i] = [a (b + c ) a (b + c )] + [a (b + c ) + a (b + c )] i = [a b + a c a b a c ] + [a b + a b + a c + a c ] i ab + ac = (a + a i) (b + b i) + (a + a i) (c + c i) = (a b a b ) + (a b + a b ) i + (a c a c ) + (a c + a c ) i = (a b a b + a c a c ) + (a b + a b + a c + a c ) i At det komplekse tal e (som vi nu skriver som et almindeligt ettal) fungerer som ét-element følger af at multiplikation med en skalar s er det samme som multiplikation med se, som vi har set i sætning 6. At ligningen a + z = 0 har en løsning (og præcis én) er klart ud fra de nitionen af addition som addition af stedvektorer. Når a = a +a i, så er løsningen åbenbart z = ( a )+( a ) i = ( )a, der vil blive betegnet med a. At ligningen az = har en og præcis én løsning, når a 6= 0, følger af følgende regning. Sæt z = z + z i og a = a + a i, og a = a a i (den kompleks konjugerede af a). Bemærk først, at da vi allerede har vist den distributive lov, og da i =, har vi aa = (a a i) (a + a i) = a (ia ) = a + a Dvs. at aa er et reelt og positivt tal. Vi har nu: az = ) a (az) = a ) (aa) z = a Heraf følger nu ved multiplikation med det relle tal aa at z = aa a Hvis ligningen az = altså overhovedet har en løsning, så er den nødvendigvis givet ved dette udtryk. At dette også løser ligningen ses ved indsættelse i ligningen: az = za = aa a a = aa (aa) = Vi har her benyttet både den kommutative og den associative regel, som vi jo allerede har vist. Egenskaben, at enhver Cauchy-følge af komplekse tal er konvergent, arves umiddelbart fra de reelle tal. Er nemlig (z n ) n= = (x n + iy n ) n= en Cauchy-følge, så følger at de reelle talfølger (x n ) n= og (y n) n= begge er Cauchy-følger og derfor konvergente. Derfor er også (z n) n= konvergent. 5

6 Bemærkning 9 Løsningen til az = (med a 6= 0) betegnes med a. Ligningen az = b (med a 6= 0) har nu åbenbart netop én løsning, nemlig z = a b. Dette vil også blive skrevet som b a. Herved er divisionen de neret. Nu gælder altså alle de sædvanlige regneregler, som vi kender fra de reelle tal. Regning med komplekse tal er derfor let: Regn som altid, men husk, at i =. De nition 0 Lad a = a + a i, hvor a ; a R: Tallet a kaldes realdelen af a, med symboler: a = Re a. Tallet a kaldes imaginærdelen af a, med symboler: a = Im a: Den kompleks konjugerede af a er det komplekse tal a a i, og det betegnes med a, altså a + a i = a Førsteaksen kaldes den reelle akse, andenaksen kaldes den imaginære akse. Tallet a kaldes imaginært, hvis Im a 6= 0. Det kaldes rent imaginært, hvis yderligere Re a = 0, altså hvis det ligger på den imaginære akse. a i x + iy og x iy er hinandens kompleks konjugerede Eksempel Addition. ( + 3i) + ( 4 + 7i) = ( + ( 4)) + (3i + 7i) = + 0i. Multiplikation. ( + 3i) ( 4 + 7i) = ( 4)+3i7i+7i+3i ( 4) = 8 +4i i = 9+i. Division. Her bruges et simpelt trick, som også blev brugt i beviset for eksistensen af a, når a 6= 0. Vi forlænger med den kompleks konjugerede af nævneren: + 3i 4 + 7i = = ( + 3i) ( 4 7i) ( + 3i) ( 4 7i) = ( 4 + 7i) ( 4 7i) ( 4) (7i) ( + 3i) ( 4 7i) Sætning Lad a og b være komplekse tal. Så gælder = 3 6i 65 Re (a + b) = Re a + Re b Im (a + b) = Im a + Im b a + b = a + b (ab) = ab Bevis. De tre første påstande er meget lette at vise. Det sker blot ved udregning af begge sider. Det samme gælder den sidste, som vi viser nu. Lad a = a + ia og b = b + ib. Så fås (ab) = (a + ia ) (b + ib ) = a b a b + i (a b + a b ) = a b a b i (a b + a b ) ab = (a + ia ) (b + ib ) = (a ia ) (b ib ) = a b a b i (a b + ia b ) = 5 5 i 6

7 Vi konkluderer, at (ab) = ab. Polære koordinater r og v for punktet a De nition 3 (Polære koordinater) Modulus for et kompleks tal a er punktets afstand fra 0 (som begyndelsespunktet jo nu hedder). Betegnelse jaj. Vinklen fra den reelle akses positive del til linien fra 0 til a kaldes argumentet for a, betegnelse: arg (a). Dette regnes med fortegn. Argumentet er dog mangetydigt. Hvis v er et argument for a, så er også v + p; p Z; et argument for a: Med hovedargumentet, Arg (a), menes det argument, der ligger i intervallet ] ; ]. Bemærkning 4 Andre navne for modulus jaj er numerisk værdi og absolutværdi. Bemærkning 5 Hvis tallet (punktet) a har modulus r og argument v, så ligger det jo på en cirkel med radius r (og med centrum i 0 ), og tallet (punktet) ligger i retningen givet ved vinklen v, så vi har åbenbart følgende formel a = r (cos v + i sin v) Hermed er tallet a skrevet på polær form. Vi vil lidt senere ændre skrivemåden, når den komplekse eksponentialfunktion er blevet indført, så vil den polære form for a få udseendet re iv. Sætning 6 Lad a; b C. Så gælder, at absolutværdien af produktet ab er produktet af absolutværdierne for a og b: jabj = jaj jbj og ét af argumenterne for ab er summen af et argument for a og et argument for b: Som en konsekvens gælder for alle n N, at Yderligere gælder arg (ab) = arg a + arg b ja n j = jaj n arg (a n ) = n arg a jaj = jaj arg a = arg a hvor sidste udsagn skal forstås således, at ét af argumenterne for arg a er arg a. 7

8 Bevis. Ved beviset får vi brug for de trigonometriske additionsformler Med u = arg a og v = arg b har vi nu: cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v ab = jaj (cos u + i sin u) jbj (cos v + i sin v) = jaj jbj (cos u cos v sin u sin v + i (cos u sin v + sin u cos v)) = (jaj jbj) (cos (u + v) + i sin (u + v)) Det sidste tal har åbenbart modulus jaj jbj og argument u + v. Udsagnene om a fås enten ved en geometrisk betragtning eller således (hvor igen arg a = u): a = jaj (cos u + i sin u) = jaj (cos u i sin u) = jaj (cos ( u) + i sin ( u)) Tallet på højre side har åbenbart modulus jaj og argument u. Bemærkning 7 De trigonometriske additionsformler kan bevises således: Afstanden mellem de to punkter på enhedscirklen med argumenter u og v (altså cos u + i sin u og cos v + i sin v) kan kun afhænge af forskellen u v, og må derfor være den samme som afstanden mellem punkterne cos (u v) + i sin (u v) og. Derfor har vi jcos u + i sin u (cos v + i sin v)j = jcos (u v) + i sin (u v) j Ved kvadrering fås, at dette er ensbetydende med Heraf fås efter reduktion (cos u cos v) + (sin u sin v) = (cos (u v) ) + (sin (u v)) cos (u v) = cos u cos v + sin u sin v Da denne relation gælder for alle u; v R, følger begge de ovenfor brugte formler. Øvelse: Forklar hvordan! Eksempel 8 Lad a = + i p 3 og b = q3. Vi vil nde produktet ab ved regning i polære koordinater. Vi nder modulus af a til jaj = + p 3 = : Et argument ndes allerbedst ved at indtegne punktet a i den komplekse plan og så udnytte ens kendskab til trekantsberegning. Se guren. To trekanter udgør en ligesidet trekant 8

9 Vi nder arg a = 3. For b ndes jbj = 3 og arg (b) =. Altså fås jabj = jaj jbj = 3 = 6 og arg (ab) = 3 + = 4 3 således at 4 4 ab = 6 cos 3 + i sin 3 = 6 i p 3 = 3 i 3 p 3 Af de polære koordinater ses, at ab ligger i en afstand på 6 fra 0 og i retningen givet ved vinklen 4 3. Eksempel 9 Vi vil nde i. Vi ved allerede, at det er. Men vi vil nu regne polært. Vi har jij = og arg (i) =. Derfor har vi i = jij = og arg i = = således at i = cos + i sin = Bemærkning 0 Indenfor de reelle tal ndes (som bekendt) en ordning <, der opfylder følgende krav: For hver to forskellige tal a; b gælder enten a < b eller b < a (ikke begge). Desuden gælder for alle a; b; c: a < b ^ b < c =) a < c a < b =) a + c < b + c a < b ^ c > 0 =) ac < bc Her betyder c > 0 selvfølgelig 0 < c. En sådan ordning kan ikke indføres indenfor de komplekse tal. Antag nemlig en sådan ordning eksisterede. Så ville enten 0 < i eller i < 0. Hvis 0 < i; så er ifølge sidste krav ovenfor også 0 < i (tag a = 0 og b = c = i). Da i =, har vi hermed, at 0 <. Dette ville ved samme regel medføre, at 0 < ( ) =. Men af midterste regel og 0 < følger ved addition af, at < 0. Vi har nu både 0 < og < 0, i modstrid med kravet om, at kun én af disse må gælde. Tilfældet i < 0 fører også til en modstrid, idet vi først af midterste krav får, at i+( i) < 0+( i) altså 0 < i. Herefter fås af sidste krav 0 < ( i) =, hvorefter vi kan fortsætte som før. Bemærkning Vi har udvidet de reelle tal repræsenteret ved tallinien til de komplekse tal repræsenteret ved planen. Det er da naturligt at spørge, om en yderligere udvidelse til det tredimensionale rum er mulig. Svaret er nej, og heller ikke engang hvis vi tillader, at multiplikationen ikke er kommutativ. Antag nemlig, at k var et tal, der ikke lå i C. Vi kan tænke os C som f(x; y; 0) jx; y Rg. Lad som sædvanlig i betegne den imaginære enhed. Så ville produktet ik kunne skrives på formen ik = + i + k hvor ; og R. Ved multiplikation med i fra venstre fås hvoraf fås k = i + ik = i + ( + i + k) + k = ( + ) i hvilket strider mod at k = C. Derimod er en udvidelse til et redimensionalt rum mulig, men kun hvis vi tillader, at multiplikationen ikke er kommutativ. Herved opnås de såkaldte kvaternioner. Yderligere udvidelser er ikke mulige. 3 3 Se Svend Bundgaard, Tallene og den abstrakte algebras grundbegreber. 94, pp

10 3 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at kalde den exp. Selvfølgelig har vi exp x = e x men skrivemåden exp x har den fordel, at tankerne ledes i retning af funktionsbegrebet: exp x er eksponentialfunktionen exp anvendt på x, ganske svarende til, at sin x er sinusfunktionen anvendt på x. Skrivemåden e x har også fordele, idet det bliver let at huske den fundamentale regel, at e x+y = e x e y, der jo blot er en af potensreglerne. Vi tænker her på e x som tallet e opløftet til tallet x. Reglen e x+y = e x e y ser således ud, når vi benytter funktionsskrivemåde exp (x + y) = exp x exp y I denne form minder den jo også mere om logaritmereglen ln (xy) = ln x + ln y hvor gangetegn og additionstegn er byttet om sammenlignet med exp-reglen. Vi vil nu udvide eksponentialfunktionens de nitionsområde fra R til C. Herunder vil den fundamentale exp-regel blive bevaret. De nition For x; y R sættes exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y) hvor exp x på højre side er den sædvanlige reelle eksponentialfunktion anvendt på x. Anderledes skrevet: e x+iy = e x (cos y + i sin y) Tallet e x+iy har altså modulus e x og argument y: e x+iy = e x arg e x+iy = y Bemærkning 3 Da vi ikke tidligere har lavet de nitioner af, hvad eksponentialfunktionen skulle gøre ved imaginære tal, kan man med en vis ret sige, at vi kan de nere, hvad vi vil. Vi må dog kontrollere, om der skulle være mulige kon ikter med de nitionen i det reelle tilfælde. Vi ønsker jo kun en udvidelse af de nitionsområdet, ikke en omde nition. Sætter vi y = 0; bliver tallet x + iy reelt, og exp (x + iy) bør derfor blot være den sædvanlige eksponentialfunktion anvendt på x. Med y = 0 på højre side fås exp x (cos 0 + i sin 0) = exp x ( + 0) = exp x. Der er altså ingen kon ikt med tidligere de nitioner. Man kan med rette spørge, hvorfor den udvidede funktion exp fortjener at blive kaldt en eksponentialfunktion. Svaret er, at den fundamentale exp-regel stadig gælder: Sætning 4 For alle z ; z C gælder exp (z + z ) = exp z exp z eller anderledes skrevet e z+z = e z e z 0

11 Bevis. Sæt z = x + iy og z = x + iy, hvor x ; y ; x ; y R, så har vi: je z e z j = je z j je z j = e x +iy e x +iy = e x e x = e x+x = e x+x+i(y+y) = e z +z arg (e z e z ) = arg (e z ) + arg (e z ) = arg e x+iy + arg e x+iy = y + y = arg e x+x+i(y+y) = arg e z+z Tallene e z+z og e z e z har altså samme modulus og samme argument. De er derfor ens. Bemærkning 5 Den polære form for tallet a med modulus r og argument v blev tidligere skrevet a = r (cos v + i sin v). Den vil i fremtiden blive skrevet således: a = r exp (iv) = re iv p q Eksempel 6 Den polære form for tallet 3 i er exp i 5 p3 6, idet modulus er + ( ) = 5 og et argument er 6. (For at indse dette, kan man indtegne tallet i den komplekse plan og ræsonnere på en passende trekant, en trekant.) Sætning 7 Moivre s formel. For n N og x R gælder (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx Bevis. Vi har (cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx. Formlen skyldes franskmanden Abraham de Moivre ( ). Eksempel 8 Lad x R. Vi vil nde en formel, der udtrykker cos 3x ved cos x (og sin x om nødvendigt). Vi udnytter Moivres formel og nder cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re (cos x + i sin x) 3 = Re cos 3 x + 3i cos x sin x 3 cos x sin x i sin 3 x = cos 3 x 3 cos x sin x = cos 3 x 3 cos x cos x = 4 cos 3 x 3 cos x 3. Den komplekse logaritmefunktion Når nu den reelle eksponentialfunktion har en omvendt funktion, nemlig logaritmefunktionen, hvad så med den komplekse eksponentialfunktion, har den en omvendt, og er denne en slags kompleks logaritmefunktion? Svaret er, at den komplekse eksponentialfunktion ikke har en omvendt funktion, men at der alligevel er noget, der kaldes en kompleks logaritmefunktion. Den komplekse eksponentialfunktion har ingen omvendt funktion, da den ikke er injektiv, dvs. ikke en-entydig, Vi har jo for alle z C og p Z, at exp (z + ip) = exp z exp (ip) = exp z (cos (p) + i sin (p)) = exp z Dvs. at for ethvert komplekst tal z er der uendeligt mange andre, der har samme exp-værdi som z. Ikke desto mindre de neres en kompleks logaritme som følger:

12 De nition 9 Lad z C. Et tal w C, der opfylder exp w = z, kaldes en logaritme til z, og betegnes med ln z: Sætning 30 Lad z C og antag, at z 6= 0. Så har z følgende logaritmer ln z = ln jzj + i (arg z + p) = ln jzj + i arg z + ip hvor p Z, og arg z er et vilkårligt argument for z, og hvor den logaritme, der optræder på højre side ( ln jzj ), er den reelle velkendte logaritme af et positivt tal. Bemærk, at to forskellige logaritmer afviger fra hinanden med et helt multiplum af i. Tallet 0 har ingen logaritme. Bevis. Vi skal løse ligningen exp w = z for w. Vi sætter w = w + iw og z = re iv, hvor r > 0 og v R. Så har vi altså e w e iw = e w+iw = exp (w + iw ) = exp w = z = re iv Yderste højre og yderste venstre side er begge polære former for samme tal, så vi har e w = r; w = v + p; p Z men hermed har vi, at w er den sædvanlige reelle logaritme af det positive tal r, altså w = ln r = ln jzj, således at w = w + iw = ln jzj + i (v + p) = ln jzj + i (arg z + p). At tallet 0 ikke har nogen logaritme, følger af ovenstående regninger, idet vi nu har r = 0, således at vi nu skal løse ligningen e w = r = 0 for det reelle tal w : Men for reelle tal w er e w > 0. Eksempel 3 Vi vil nde samtlige logaritmer til tallet a = p 3 i: Da jaj = og arg a = 6 fås (med p Z): p ln a = ln 3 i = ln i 6 + pi Eksempel 3 Samtlige logaritmer til det negative tal 5 er givet ved ln ( 5) = ln 5 + i + pi, hvor p Z. Bemærkning 33 Hovedlogaritmen til z Cn f0g de neres som den logaritme, der svarer til at man bruger hovedargumentet for z: Ln (z) = ln jzj + i Arg (z) Eksempel 34 Vi har Ln p 3 i = ln i 6 og Ln ( 5) = ln 5 + i Bemærkning 35 Prøver man i Maple at nde det ubestemte integral R xdx så får man Z dx = ln x x Accepterer man kun reelle tal, må man enten forudsætte, at x > 0 eller rette formlen til Z dx = ln jxj x Computeralgebraprogrammer som Maple og Mathematica gør uhæmmet brug af komplekse tal og funktioner, herunder den komplekse logaritme.

13 4 Rødder i polynomier 4. Den binome ligning Et polynomium er et udtryk med mange led (poly kommer af græsk og betyder mange). Et binomium er et udtryk med to led. En binom ligning er en ligning af formen z n = a hvor n N og a C. Vi ønsker at løse denne ligning for den ubekendte z. Denne opgave kan også formuleres således: Vi ønsker at bestemme samtlige komplekse n te rødder af a. Ved en kompleks n te rod af a vil vi forstå et tal som opløftet til n te giver a. Bemærkning 36 Det skal vise sig, at antallet af komplekse n te rødder af et tal a altid er n; når undtages a = 0, der kun har én n te rod, nemlig 0. Man bør derfor være varsom ved brugen af rodtegn til angivelse af en rod. Vær opmærksom på, at det er en strengt overholdt konvention, at hvis a R + ;så betyder np a dét positive reelle tal, der opløftet til n te, giver a. Eksempelvis har ligningen z = to løsninger, den ene er p p, den anden er. Den første af disse er positiv (og lig med ca. : 44 ), den anden negativ. Men begge kan betragtes som komplekse kvadratrødder af. Sætning 37 Rødderne i den binome ligning z n = a, hvor a = re iv ; r 0; v R, er givet ved z = np re i( v n +p n ) ; p = 0; ; ; : : : ; n Bevis. Vi skriver også den ubekendte z på polær form z = e i, med 0 og R. Ved indsættelse af z = e i og a = re iv i ligningen z n = a, fås e i n = re iv Ved brug af sædvanlige regneregler (der jo gælder!) fås n e in = re iv De to sider af denne ligning er polære former af samme tal, så n = r og n = v + p, hvor p Z: Da 0 fås heraf, at = np r, hvor rodtegnet angiver den konventionelle positive rod af et positivt tal. Desuden nder vi, at = v n + p n. Bemærk, at vi kun behøver betragte p = 0; ; ; : : : ; n, idet ere p-værdier blot vil give -værdier, der afviger fra en allerede betragtet -værdi med et multiplum af. Man bør specielt bemærke, at samtlige rødder i den binome ligning z n = a = re iv har modulus np r og således i den komplekse plan ligger på en cirkel med denne radius og centrum i 0. Desuden bemærker man, at to på hinanden følgende rødder har argumenter, der afviger fra hinanden med n. Rødderne er altså jævnt fordelt på den omtalte cirkel. Har man fundet én rod, så er de andre let placeret. Vi noterer os dette resultat: Korollar 38 Er z 0 en rod i ligningen z n = a, så er samtlige rødder givet ved z = z 0 e ip n ; p = 0; ; ; : : : ; n Eksempel 39 Vi vil løse ligningen z 5 = 3. Vi bemærker, at én rod kan gættes, nemlig Men ligningen er jo binom, så de andre 4 rødder ligger derfor på en cirkel med radius (og centrum i 0). To på hinanden følgende rødder ligger desuden på cirklen i en vinkelafstand på 5. Vi kan altså indtegne røddernes placering i den komplekse plan før vi overhovedet har fundet et udtryk for mere end én af dem. 3

14 Rødderne i z 5 = 3 For at nde et udtryk for rødderne kan vi bruge korollar 38 ovenfor og nder så z = e ip 5 = cos p + i sin p 5 5 hvor p = 0; ; ; 3; 4. Idet vi nummererer rødderne efter deres p-værdier nder vi z 0 = z = e i 5 z = e i 4 5 z 3 = e i 6 5 z 4 = e i 8 5 = cos + i sin = p q ip 5 + p = cos + i sin = p q ip p 5 5 = e i 4 5 = z = q p 5 ip p 5 5 = e i 5 = z = q p 5 ip 5 + p 5 Som det ses er det let at nde rødderne på polær form, hvorimod det ikke altid er let at nde eksakte værdier for den tilsvarende rektangulære form. Vi har brugt Maple i dette tilfælde. Eksempel 40 Find de 3 komplekse tredierødder af 5. Anderledes sagt: Løs den binome ligning z 3 = 5. Én løsning er åbenbart 5, de to andre ligger på en cirkel med radius 5 og centrum i 0. Rødderne ligger i en vinkelafstand fra hinanden på 3. For hurtigt at nde et udtryk for rødderne laves en gur og der ræsonneres på en passende valgt trekant (en trekant). Man nder, at de to andre rødder er 5 i p 5 3. Rødderne i z 3 = 5 4

15 Bemærkning 4 Man bør hér bemærke, at beder man Maple om ( 5)^(=3); så får man roden 5 + i 5 p 3. Vil man have 5, skal man bede om surd( 5, 3); Selvfølgelig kan man bare bede Maple om at løse ligningen vha. solve. Da ligningen er polynomial, fås samtlige 3 rødder. Eksempel 4 Komplekse kvadratrødder får man let styr på. Der er jo kun, og de ligger jævnt fordelt på en cirkel. Så hvis den ene rod er x + iy, så må den anden være x iy. Vi prøver at løse ligningen z = 4i. Bruges formlen i sætning 37, skrives først 4i = 4e i. Herefter har vi hvor p = 0; : Løsningerne er altså z 0 = e i 4 = cos z = z 0 = p + i p z = e i( 4 +p) + i sin = p i p 4 4 Eksempel 43 Lad os løse ligningen z 4 = + i, og nøjes med at give løsningerne på polær form. (Der er god grund til denne nøjsomhed!). Vi har j + ij = p og arg ( + i) = 4, så løsningerne er ifølge sætning 37 givet ved z = 8p exp i 6 + p hvor p = 0; ; ; 3. Rødderne ligger på en cirkel med radius 8p, og de deler cirkelbuen i 4 lige store stykker. Den ene af rødderne ligger i første kvadrant i en vinkelafstand fra x-aksen på Andengradsligningen Betragt andengradsligningen Rødderne i z 4 = + i az + bz + c = 0 hvor a; b; c C, og a 6= 0. Vi vil vise, at ligningen kan løses på sædvanlig vis. Omskriv venstresiden således: az + bz + c = a z ba b b 4ac + z + 4a 4a = a z + b! b 4ac a 4a 5

16 Løsningerne til andengradsligningen opfylder derfor følgende ligning z + b = b 4ac a 4a som vi kan anse for binom, hvis vi midlertidigt opfatter w = z + b a som den ubekendte. Den binome ligning w = b 4ac 4a har som enhver anden binom ligning af anden grad q løsninger, nemlig de komplekse kvadratrødder af b 4ac b 4a, som vi kan skrive på formen 4ac 4a : Altså kan løsningerne til andengradsligningen skrives z = b r b a 4ac 4a der også kan skrives på den traditionelle form z = b p b 4ac a Hvilke af de to komplekse kvadratrødder p b da vi med p b 4ac jo skal have dem begge. 4ac refererer til, behøver vi ikke tage stilling til, Eksempel 44 Vi løser ligningen z z + ( + i) = 0. Vi nder z = p 4 4 ( + i) = p 4i I et tidligere eksempel har vi imidlertid løst den binome ligning w = 4i, dvs. fundet de to komplekse kvadratrødder p 4i. Resultatet var p 4i = p i p. Altså nder vi z = p i p ( = p + p ( i) = i p p + i p Eksempel 45 Vi vil løse ligningen z + z + = 0. Vi nder z = p 4 = p 3 = ip 3 = ( + i p 3 i p 3 idet de to løsninger til den binome ligning w = 3 er w = i p Polynomier generelt Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 hvor koe cienterne a 0 ; a ; : : : ; a n er tal (i dette afsnit komplekse). Bemærk, at eksponenterne til z alle er ikke-negative hele tal. Hvis a n 6= 0; vil vi kalde a n for den ledende koe cient og sige, at polynomiets grad er n: Et polynomium af 0 te grad er blot et tal a 0 6= 0. Nulpolynomiet er blot udtrykket 0. Når dette overhovedet tillægges en grad, siger man, at den er : 6

17 Eksempel 46 Udtrykkene z 3 z + ; z 6 + 5z 5 + (5 + 3i) z + z og 7 er polynomier i den variable z af grader henholdsvis 3, 6 og 0. Udtrykkene 4z +6z 8+z+ z og 5z 3 z er ikke polynomier i den variable z. Et udtryk med uendeligt mange led som +z+z +z 3 +z 4 +: : :+z k +: : : er ikke et polynomium, men kaldes en uendelig række. Vi skal i dette afsnit behandle rødder i polynomier. I det foregående afsnit viste vi, at den sædvanlige formel til bestemmelse af rødderne i et andengradspolynomium stadig gælder, når blot kvadratroden tolkes som bestemmelse af en kompleks kvadratrod. Der ndes også formler til bestemmelse af rødderne i et tredie- og fjerdegradspolynomium. Disse formler er ret komplicerede og kan ikke generelt anbefales brugt. Det interessante er imidlertid, at formlerne overhovedet ndes. Det kan nemlig vises, at rødderne i et polynomium af femte eller højere grad ikke generelt kan udtrykkes ved brug af endeligt mange af følgende symboler: De naturlige tal N, polynomiets koe cienter, +; ; = og rodtegn. Dette resultat går tilbage til 86 og skyldes nordmanden Niels Henrik Abel (80-9). Påstanden om manglen på formler skal ikke overfortolkes. Husk, at bestemmelsen af rødderne i polynomiet z n a jo blot er bestemmelsen af samtlige n te rødder af a: Franskmanden Evariste Galois (8-3) gav et kriterium for, om rødderne i et givet polynomium kan udtrykkes ved rodtegn. På trods af manglen på formler for rødderne i et generelt polynomium af grad 5 har disse polynomier rødder indenfor C. Der gælder nemlig følgende sætning, der går tilbage til Carl Friedrich Gauss ( ): Sætning 47 Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert polynomium af grad har mindst én rod indenfor de komplekse tal. Bevis. Beviset er indviklet, hvis det skal føres uden forudgående kendskab til kompleks funktionsteori. Vi vil ikke give noget bevis hér. De nition 48 Et tal z C som er rod i polynomiet p siges at have multipliciteten k N, hvis p (z) = (z z ) k q (z), hvor q (z) er et polynomium og hvor z ikke er rod i q (z). Hvis multipliciteten er, siges roden at være simpel. Eksempel 49 Polynomiet 5z 4 50z 3 + 0z + 60z 640 kan faktoriseres til 5 (z + ) (z 4) 3. Vi ser derfor, at 4 er rod af multiplicitet 3, og er rod af multiplicitet. er altså en simpel rod. Korollar 50 Polynomiet p (z) = a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0, hvor n (og a n 6= 0) kan skrives som et produkt af a n og n førstegradsfaktorer: p (z) = a n (z z ) (z z ) : : : (z z n ) Ethvert polynomium af grad n har altså n rødder, hvis disse regnes med multiplicitet. Bevis. Da n har polynomiet en rod z C. Polynomiers division af p (z) med førstegradsfaktoren z z vil give en rest på 0, divisionen går op. Altså p (z) = (z z ) q (z), hvor q er et polynomium af grad n. Hvis n = er q (z) blot en konstant, der nødvendigvis må være a n = a : Hvis n >, må q (z) have en rod z. Ved polynomiers division fås da, at q (z) = (z z ) q (z), hvor q er et polynomium af grad n. Hvis n = er q (z) blot en konstant, der nødvendigvis må være a n = a : Hvis n >, må q (z) have en rod z 3. Således fortsættes og vi nder p (z) = (z z ) q (z) = (z z ) (z z ) q (z) = : : : = (z z ) (z z ) (z z 3 ) : : : (z z n ) q n (z) hvor nu q n (z) har grad nul, altså er en konstant, og denne er nødvendigvis a n. 7

18 Sætning 5 Hvis et polynomium har reelle koe cienter og z C er rod, så er også z rod. Bevis. Lad polynomiet p (z) = a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 have reelle koe cienter, altså a k R, for k = 0; ; : : : ; n. Da z er rod har vi Ved kompleks konjugation fås a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = p (z ) = 0 a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = 0 = 0 Vi udnytter egenskaberne for kompleks konjugation ( a + b = a + b og (ab) = ab ), og får først a n z n + a n z n + : : : + a z + a 0 = 0 og dernæst, da koe cienterne er reelle og da z k = (z ) k : a n (z ) n + a n (z ) n + : : : + a z + a 0 = 0 men venstre side er jo p (z ), hvorfor vi altså har p (z ) = 0. Korollar 5 Ethvert polynomium af grad n og med reelle koe cienter kan skrives som et produkt af reelle første- og andengradsfaktorer. Bevis. Et sådant polynomium kan jo skrives som et produkt af komplekse førstegradsfaktorer. Nogle af disse kan være reelle. De imaginære førstegradsfaktorer kommer i par af formen (z z ) (z z ). Med z = a + ib, a; b R, fås (z z ) (z z ) = (z (a + ib)) (z (a ib)) = ((z a) ib) ((z a) + ib) = (z a) + b = z za + a + b og dette andengradspolynomium har jo reelle koe cienter. Bestemmelse af rødder i polynomier gøres naturligvis lettest ved brug af computer: Eksempel 53 Den følgende Maple-kode frembringer et tilfældigt polynomium af grad højst 00 og med heltallige koe cienter mellem 99 og 99. Vi har også sorteret polynomiet, så leddene kommer i aftagende gradsrækkefølge with(randomtools): p:=sort(generate(polynom(integer(range= ),z,degree=00))); Vi viser kun en meget lille del af det lange udtryk: p := 8z z 99 6z 98 64z 97 8z 96 + : : : 87z 4 75z z 6z + 38 Rødderne kan ndes ved en numerisk metode således: r:=fsolve(p=0, z, complex): De 00 rødder, som polynomiet har, viser vi kun på en gur. Dette kan gøres således: plots[complexplot]( [r], style=point, symbol=circle, scaling=constrained); 8

19 Rødderne for vores 00.-gradspolynomium Det er bemærkelsesværdigt, at mange (de este!) af rødderne ligger meget tæt på enhedscirklen. Dette fænomen er mindre udtalt, når den maksimale grad vælges mindre. Skulle man ønske at bestemme rødderne i et polynomium i hånden er følgende sætning undertiden nyttig: Sætning 54 Lad polynomiet a n z n +a n z n +: : :+a z+a 0 med a n 6= 0, have hele koe cienter, altså a k Z for k = 0; ; : : : ; n. Antag polynomiet har en rational rod z = p q ; p; q Z, hvor brøken er uforkortelig. Så gælder, at p ja 0 og q ja n. Bevis. Vi har a n p q n + a n Multiplikation med q n på begge sider giver n p q + : : : + a p q + a 0 = 0 a n p n + a n p n q + : : : + a pq n + a 0 q n = 0 der også kan skrives a n p n + a n p n q + : : : + a q n p + a 0 q n = 0 Vi ser, at p går op i første led, p må derfor også gå op i andet led a 0 q n. Men p og q har ingen fælles primtalsfaktorer, så p går ikke op i q n. Derfor må p gå op i a 0. Beviset for, at q ja n forløber ganske analogt. Korollar 55 Har et polynomium a n z n +a n z n +: : :+a z+a 0 med a n 6= 0, hele koe cienter, skal evt. rationale rødder søges blandt divisorer i a 0 divisorer i a n Med denne skrivemåde menes her at alle kombinationer skal undersøges. Eksempel 56 Vi vil nde rødderne i polynomiet p (z) = 5z 4 30z z + 30z 50, og samtidigt faktorisere polynomiet. Polynomiet har hele koe cienter. Da divisorerne i 50 er temmelig mange, og da 5p (z) har de samme rødder som p (z) og stadig hele koe cienter, nder vi rødderne i 5 p (z) = z4 6z 3 + 3z + 6z 04: Divisorer i 04 er ; 4; 8; 3; 6; 5; 04. Den ledende koe cient er. De mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 8; 3; 6; 5; 04. Hvis 9

20 vi begynder afprøvningen nedefra, nder vi først, at er rod. Ved polynomiers division af z 4 6z 3 + 3z + 6z 04 med z + fås z 3 8z + 9z 5. Vi skal nu bestemme rødder i dette polynomium. Mulige rationale rødder er ; ; 4; 8; 3; 6; 5. Bemærk dog, at polynomiet ikke kan have en negativ rod pga. de alternerende fortegn. De mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 8; 3; 6; 5. Afprøvning nedefra viser, at 4 er rod. Polynomiers division af z 3 8z +9z 5 med z 4 giver z 4z +3. Dette andengradspolynomium har ingen rationale rødder, til gengæld har vi en formel for rødderne. Vi nder, at disse er z = 4 p 36 = 3i Rødderne i det givne polynomium er altså ; 4; 3i. Polynomiet kan faktoriseres i komplekse førstegradsfaktorer således p (z) = 5 (z + ) (z 4) (z ( + 3i)) (z ( 3i)) I reelle første- og andengradsfaktorer ser faktoriseringen således ud p (z) = 5 (z + ) (z 4) z 4z + 3 Eksempel 57 Vi vil nde rødderne i polynomiet p (z) = z 6 7z z4 + 4z 8z + 49, og samtidigt faktorisere polynomiet. Polynomiet har ikke hele koe cienter, men det har polynomiet 4p (z) = 4z 6 8z 5 +49z 4 +6z z +96, der jo har de samme rødder. Vi bemærker med det samme, at polynomiet ikke har negative rødder. Divisorerne i 96 er ; ; 4; 7; 4; 8; 49; 98; 96. Divisorer i den ledende koe cient (4) er ; ; 4. De mulige rationale rødder er herefter: ; ; 4; 7; 4; 8; 49; 98; 96; ; 7 ; 49 ; 4 ; 7 4 ; 49 4 Ved afprøvning nder man, at 7 er rod. Polynomiers divison af 4z6 8z 5 +49z 4 +6z z+96 7 med z = z 7 giver z 5 7z 4 + 8z 8. Dette polynomium har (selvfølgelig) heller ingen negative rødder. Divisorer i 8 er ; ; 4; 7; 4; 8 og divisorer i den ledende koe cient er ;. Mulige rationale rødder er derfor ; ; 4; 7; 4; 8; ; 7 Ved kontrol ses det, at 7 er rod (hermed er den altså dobbeltrod i det oprindelige polynomium). Polynomiers division af z 5 7z 4 + 8z 8 med z 7 giver z Bestemmelse af rødderne i z betyder løsning af den binome ligning z 4 = 4 = 4e i. Den sædvanlige formel giver de re løsninger i og i. Rødderne i det oprindelige polynomium er altså 7 (med multiplicitet ), i og i. Polynomiet kan faktoriseres i komplekse førstegradsfaktorer således p (z) = (z 7) (z ( + i)) (z ( i)) (z ( + i)) (z ( i)) og i reelle første- og andengradsfaktorer således (z 7) z z + z + z + 5 Eulers formler. De komplekse trigonometriske funktioner. Ifølge de nitionen af den komplekse eksponentialfunktion har vi for v R e iv = cos v + i sin v e iv = cos v i sin v 0

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier . 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Taylorpolynomier og Taylors sætning

Taylorpolynomier og Taylors sætning og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere