Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning"

Transkript

1 Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion Calculus Uge

2 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Calculus Uge

3 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Calculus Uge

4 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Det er et (overraskende) faktum, at de sædvanlige regneregler for reelle tal udvider meningsfuldt fra realdel til alle komplekse tal. Calculus Uge

5 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så a + bi = (a,b) Calculus Uge

6 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så Im a + bi = (a,b) bi a+bi i 0 1 a Re Calculus Uge

7 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Calculus Uge

8 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Calculus Uge

9 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Eksempel 3 4i = = 25 = 5 Calculus Uge

10 Addition og multiplikation Definition Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Calculus Uge

11 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Calculus Uge

12 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Morale Regn løs med sædvanlige regneregler og reducer til standardform ved at bruge i 2 = 1. Calculus Uge

13 Addition i planen Figur - parallellogramreglen Im z 1 + z 2 z 2 i z Re Calculus Uge

14 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Calculus Uge

15 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Multiplikation: ( 1 + 3i)(2 5i) = ( 1)(2 5i) + (3i)(2 5i) = 2 + 5i + 6i 15i 2 = ( ) + (5 + 6)i = i Calculus Uge

16 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi Calculus Uge

17 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi så Rez = z + z 2, Im z = z z 2i Calculus Uge

18 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Calculus Uge

19 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w zw = z w Calculus Uge

20 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge

21 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Bevis z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge

22 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Calculus Uge

23 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Multiplikativitet zw = z w Calculus Uge

24 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 d c 2 + d 2i Calculus Uge

25 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 For et kompleks tal z = a + bi er brøken z w = z w w w = z w w 2 d c 2 + d 2i a + bi c + di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2 Calculus Uge

26 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi. Calculus Uge

27 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi i 2 + 5i = = ( 1 + 3i)(2 + 5i) (2 + 5i)(2 + 5i) ( 1 + 3i)(2 5i) (2 + 5i)(2 5i) ( ) + (5 + 6)i = = i Calculus Uge

28 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge

29 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge

30 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge

31 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Calculus Uge

32 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Calculus Uge

33 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Calculus Uge

34 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Ligningen x 2 + x + 1 = 0 har løsninger x = 1 ± = 1 ± 3 2 = 1 ± 3i 2 Calculus Uge

35 Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P O 1 θ Calculus Uge

36 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 r O 1 θ x Calculus Uge

37 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y), x > 0 har polœre koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus Uge

38 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater kaldes polarformen. z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) Calculus Uge

39 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Calculus Uge

40 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Im bi a+bi r i θ 0 1 a Re Calculus Uge

41 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Calculus Uge

42 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Calculus Uge

43 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Im i 2 1+i π Re Calculus Uge

44 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Calculus Uge

45 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 er z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 Calculus Uge

46 Multiplikation på polarform Figur - multiplikation z 1 z 2 Im z 1 z 2 θ 1 θ 2 θ 1 + θ 2 Re Calculus Uge

47 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Calculus Uge

48 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 0 er z 1 = z 1 z 2 z 2 arg( z 1 z 2 ) = arg z 1 arg z 2 Calculus Uge

49 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) Calculus Uge

50 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) n-te potens af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te potens af modulus og n gange argument. z n = z n arg(z n ) = n arg z Calculus Uge

51 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Calculus Uge

52 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Løsning så z = i = 1 2 2(cos π 4 + i sin π 4 ) z 10 = ( 2 2 ) 10 (cos 10 π 4 + i sin 10π 4 ) = (cos 5π 2 + i sin 5π 2 ) = 1 32 i Calculus Uge

53 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge

54 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge

55 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge

56 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. Calculus Uge

57 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. n-te rødder af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te rod af modulus og n-te del af alle argumenter. z 1/n = z 1/n arg(z 1/n ) = arg z + 2kπ n Calculus Uge

58 Kvadratrod på polarform Figur - kvadratrod Im z i θ 1 θ 2 z Re Calculus Uge

59 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Calculus Uge

60 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. Calculus Uge

61 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. For eksempel w 0 = 2 [ ( π cos 6) ( π + i sin 6)] = 2 ( ) i Calculus Uge

62 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Calculus Uge

63 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Calculus Uge

64 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Algebraens fundamentalsætning blev vist af Gauss. Calculus Uge

65 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Calculus Uge

66 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Calculus Uge

67 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Eksponentialfunktionen opfylder den sædvanlige regneregel 5 e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 Calculus Uge

68 Kompleks eksponentialfunktion Figur - eksponentialfunktion Im e x+yi e x 0 y Re Calculus Uge

69 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Calculus Uge

70 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 Calculus Uge

71 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 (b) ( e 1+iπ/2 = e 1 cos π 2 + i sin π ) 2 = i e Calculus Uge

72 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Calculus Uge

73 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives log z = ln z + i arg z Calculus Uge

74 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives Der gælder log z = ln z + i arg z e log z = z, log e z = z + 2kπi og log z 1 z 2 = log z 1 + log z 2 + 2kπi Calculus Uge

75 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy 2, siny = eiy e iy 2i Calculus Uge

76 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy, siny = eiy e iy 2 2i Definition De komplekse trigonometriske funktioner defineres ved cosz = eiz + e iz 2, sinz = eiz e iz 2i Calculus Uge

77 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Calculus Uge

78 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Calculus Uge

79 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Tilsvarende for w = sin z er z = arcsin w = 1 i log(wi ± 1 w 2 ) Calculus Uge

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

HP 6S Videnskabelig kalkulator

HP 6S Videnskabelig kalkulator HP 6S Videnskabelig kalkulator H 1 1 FRALÆGGELSE Denne håndbog og eksempler heri stilles til rådighed uden forandringer, og er underkastet ændringer uden varsel. Undtagen i den udstrækning som loven forbyder,

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje:

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje: TI-92 / TI-92 Plus TI-92 har et væld af indbyggede funktioner og i dette lille hæfte kan vi kun stifte bekendskab med nogle ganske få udvalgte, der har til formål at vise den regnekraft og fleksibilitet,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Laplace transformationen

Laplace transformationen MODUL 6 Laplace transformationen Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN 24. juni 214 2 Indhold 1 Laplace transformationen 5 1.1 En lineær transformation.............................. 7 1.2

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Snyd af Anders Bodelsen 1967

Snyd af Anders Bodelsen 1967 18-12-2014 SRP-Matematik i litteraturen Snyd af Anders Bodelsen 1967 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Anders Bodelsens forfatterskab... 4-5 Analyse af Snyd... 5 Referat... 5-6 Indhold...

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

1 Videnskabens værktøj

1 Videnskabens værktøj Videnskabens værktøj Videnskabens værktøj Ethvert erhverv har sine værktøjer. Det særlige værktøj, der efterhånden er blevet fælleseje for næsten alle grene af videnskab, er matematikken. I dette kapitel

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere