Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning"

Transkript

1 Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion Calculus Uge

2 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Calculus Uge

3 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Calculus Uge

4 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Det er et (overraskende) faktum, at de sædvanlige regneregler for reelle tal udvider meningsfuldt fra realdel til alle komplekse tal. Calculus Uge

5 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så a + bi = (a,b) Calculus Uge

6 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så Im a + bi = (a,b) bi a+bi i 0 1 a Re Calculus Uge

7 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Calculus Uge

8 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Calculus Uge

9 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Eksempel 3 4i = = 25 = 5 Calculus Uge

10 Addition og multiplikation Definition Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Calculus Uge

11 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Calculus Uge

12 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Morale Regn løs med sædvanlige regneregler og reducer til standardform ved at bruge i 2 = 1. Calculus Uge

13 Addition i planen Figur - parallellogramreglen Im z 1 + z 2 z 2 i z Re Calculus Uge

14 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Calculus Uge

15 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Multiplikation: ( 1 + 3i)(2 5i) = ( 1)(2 5i) + (3i)(2 5i) = 2 + 5i + 6i 15i 2 = ( ) + (5 + 6)i = i Calculus Uge

16 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi Calculus Uge

17 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi så Rez = z + z 2, Im z = z z 2i Calculus Uge

18 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Calculus Uge

19 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w zw = z w Calculus Uge

20 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge

21 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Bevis z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge

22 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Calculus Uge

23 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Multiplikativitet zw = z w Calculus Uge

24 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 d c 2 + d 2i Calculus Uge

25 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 For et kompleks tal z = a + bi er brøken z w = z w w w = z w w 2 d c 2 + d 2i a + bi c + di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2 Calculus Uge

26 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi. Calculus Uge

27 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi i 2 + 5i = = ( 1 + 3i)(2 + 5i) (2 + 5i)(2 + 5i) ( 1 + 3i)(2 5i) (2 + 5i)(2 5i) ( ) + (5 + 6)i = = i Calculus Uge

28 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge

29 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge

30 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge

31 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Calculus Uge

32 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Calculus Uge

33 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Calculus Uge

34 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Ligningen x 2 + x + 1 = 0 har løsninger x = 1 ± = 1 ± 3 2 = 1 ± 3i 2 Calculus Uge

35 Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P O 1 θ Calculus Uge

36 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 r O 1 θ x Calculus Uge

37 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y), x > 0 har polœre koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus Uge

38 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater kaldes polarformen. z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) Calculus Uge

39 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Calculus Uge

40 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Im bi a+bi r i θ 0 1 a Re Calculus Uge

41 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Calculus Uge

42 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Calculus Uge

43 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Im i 2 1+i π Re Calculus Uge

44 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Calculus Uge

45 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 er z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 Calculus Uge

46 Multiplikation på polarform Figur - multiplikation z 1 z 2 Im z 1 z 2 θ 1 θ 2 θ 1 + θ 2 Re Calculus Uge

47 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Calculus Uge

48 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 0 er z 1 = z 1 z 2 z 2 arg( z 1 z 2 ) = arg z 1 arg z 2 Calculus Uge

49 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) Calculus Uge

50 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) n-te potens af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te potens af modulus og n gange argument. z n = z n arg(z n ) = n arg z Calculus Uge

51 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Calculus Uge

52 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Løsning så z = i = 1 2 2(cos π 4 + i sin π 4 ) z 10 = ( 2 2 ) 10 (cos 10 π 4 + i sin 10π 4 ) = (cos 5π 2 + i sin 5π 2 ) = 1 32 i Calculus Uge

53 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge

54 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge

55 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge

56 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. Calculus Uge

57 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. n-te rødder af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te rod af modulus og n-te del af alle argumenter. z 1/n = z 1/n arg(z 1/n ) = arg z + 2kπ n Calculus Uge

58 Kvadratrod på polarform Figur - kvadratrod Im z i θ 1 θ 2 z Re Calculus Uge

59 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Calculus Uge

60 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. Calculus Uge

61 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. For eksempel w 0 = 2 [ ( π cos 6) ( π + i sin 6)] = 2 ( ) i Calculus Uge

62 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Calculus Uge

63 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Calculus Uge

64 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Algebraens fundamentalsætning blev vist af Gauss. Calculus Uge

65 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Calculus Uge

66 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Calculus Uge

67 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Eksponentialfunktionen opfylder den sædvanlige regneregel 5 e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 Calculus Uge

68 Kompleks eksponentialfunktion Figur - eksponentialfunktion Im e x+yi e x 0 y Re Calculus Uge

69 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Calculus Uge

70 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 Calculus Uge

71 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 (b) ( e 1+iπ/2 = e 1 cos π 2 + i sin π ) 2 = i e Calculus Uge

72 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Calculus Uge

73 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives log z = ln z + i arg z Calculus Uge

74 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives Der gælder log z = ln z + i arg z e log z = z, log e z = z + 2kπi og log z 1 z 2 = log z 1 + log z 2 + 2kπi Calculus Uge

75 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy 2, siny = eiy e iy 2i Calculus Uge

76 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy, siny = eiy e iy 2 2i Definition De komplekse trigonometriske funktioner defineres ved cosz = eiz + e iz 2, sinz = eiz e iz 2i Calculus Uge

77 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Calculus Uge

78 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Calculus Uge

79 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Tilsvarende for w = sin z er z = arcsin w = 1 i log(wi ± 1 w 2 ) Calculus Uge

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

KOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN

KOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN KOMPLEKS ANALYSE noter til matematik beta H.A. NIELSEN institut for matematiske fag aarhus universitet 23 KOMPLEKS ANALYSE H.A. NIELSEN Indhold. Komplekse tal 2 2. Elementære funktioner 3. Holomorfe funktioner

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S e b a s t i a n Ø r s t e d y 2 1 1 2 x 1 2 3 r(θ) = 2 2sinθ + sinθ cosθ 1/2 sinθ + 7/5 E f t e r å r e t 2 0 1 6 Forord Følgende noter er tænkt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere