Komplekse tal. enote Indledning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning"

Transkript

1 enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal, herunder de elementære reelle funktioner som de trigonometriske funktioner og den naturlige eksponentialfunktion. Endelig forudsættes elementær kendskab til vektorer i planen Indledning En simpel andengradsligning som x 2 = 25 har to reelle løsninger, nemlig x = 5 og x = 5 idet 5 2 = 25 og ( 5) 2 = 25. På tilsvarende vis har ligningen x 2 = 2 to løsninger, nemlig x = 2 og x = 2 idet 2 2 = 2 og ( 2) 2 = 2. Med ligningen x 2 = k, k R skal vi passe mere på, her afhænger alt nemlig af fortegnet på k. Hvis k 0 har ligningen løsningerne x = k og x = k

2 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 2 idet k 2 = k og ( k) 2 = k. Men hvis k < 0, har ligningen ingen løsninger, da der ikke findes reelle tal hvis kvadrat er negativt. Men nu stiller vi os det spørgsmål, om man kunne forestille sig en større mængde af tal end de reelle, en mængde der indeholder alle de reelle tal og derudover også er løsninger til en ligning som x 2 = 1. Ligningen måtte da i analogi med de ovenstående ligninger have to løsninger x = 1 og x = 1. Lad os være dristige og antage at dette faktisk er muligt, og kalde tallet 1 for i. Ligningen x 2 = 1 har da to løsninger, nemlig idet x = i og x = i i 2 = 1 2 = 1 og ( i) 2 = ( 1 ) 2 = 1. Vi stiller nu det ekstra krav til det hypotetiske tal i at man skal kunne regne med det efter de samme regneregler som gælder de reelle tal. Man skal for eksempel kunne gange i med et reelt tal b og lægge denne størrelse til et andet reelt tal a. Herved opstår en ny slags tal z af typen z = a + ib, (a, b) R 2. Nedenfor beskriver vi hvordan de nævnte ambitioner kan imødekommes. Vi ser på hvordan strukturen af en sådan større talmængde må være, og hvilke lovmæssigheder den indeholder. Talmængden kalder vi de komplekse tal og giver den symbolet C. Der skal altså gælde at R er en ægte delmængde af C. Som allerede antydet må C være to-dimensional i den forstand at et komplekst tal indeholder to reelle tal! 29.2 Komplekse tal indført som reelle talpar Den sædvanlige skrivemåde for et komplekst tal z er z = a + ib (29-1)

3 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 3 hvor a og b er reelle tal, og i er et nyt imaginært tal der opfylder i 2 = 1. Denne form er særdeles praktisk ved regning med komplekse tal, og derfor den der oftest benyttes ved tekniske anvendelser. Men af teoretiske grunde kan vi ikke definere de komplekse tal ud fra formen (29-1). For hvad betyder egentlig et produkt som ib, og hvad betyder additionen a + ib? En teoretisk tilfredsstillende måde at indføre komplekse tal på er som mængden af reelle talpar (a, b). Vi vil i dette afsnit vise hvordan man i denne mængde kan definere regneoperationer (addition, subtraktion, multiplikation og division), der opfylder de sædvanlige regneregler fra reelle tal. Og som vil vise sig at give skrivemåden (29-1) fuld mening. Definition 29.1 De komplekse tal De komplekse tal C defineres som mængden af ordnede reelle talpar: C = {(a, b) a, b R} (29-2) Som symbol for komplekse tal vil vi ofte bruge bogstavet z. Eksempel 29.2 Her angives fem forskellige komplekse tal: z 1 = (2, 7), z 2 = (7, 2), z 3 = (0, 1), z 4 = ( 5, 0), z 5 = (0, 0). Først indfører vi regnearten addition for komplekse tal. Derefter subtraktion som en særlig form for addition. Definition 29.3 Addition af komplekse tal Lad z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) være to komplekse tal. Summen z 1 + z 2 defineres ved z 1 + z 2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (29-3)

4 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 4 Eksempel 29.4 Addition For de to komplekse tal z 1 = (2, 7) og z 2 = (4, 3) gælder z 1 + z 2 = (2, 7) + (4, 3) = (2 + 4, 7 + ( 3)) = (6, 4). Det komplekse tal (0, 0) er neutralt med hensyn til addition idet der for ethvert komplekst tal z = (a, b) gælder z + (0, 0) = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z. Det er klart at (0, 0) er det eneste komplekse tal som er neutralt med hensyn til addition. For ethvert komplekst tal findes et modsat tal som adderet med z giver (0, 0). Det komplekse tal z = (a, b) har det modsatte tal ( a, b) idet (a, b) + ( a, b) = (a + ( a), b + ( b)) = (a a, b b) = (0, 0). Det er klart at ( a, b) er det eneste modsatte tal for z = (a, b). Det entydigt bestemte modsatte tal til et komplekst tal z betegnes z. Ved hjælp heraf kan subtraktion af komplekse tal indføres som en særlig form form addition. Definition 29.5 Subtraktion af komplekse tal For to komplekse tal z 1 og z 2 defineres differensen z 1 z 2 ved summen af z 1 og det modsatte tal for z 2 : z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ). (29-4) Lad os for to vilkårlige komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) beregne differensen z 1 z 2 ud fra definition 29.5: z 1 z 2 = (a, b) + ( c, d) = (a + ( c), b + ( d)) = (a c, b d). Dette giver følgende enkle formel z 1 z 2 = (a c, b d). (29-5) Eksempel 29.6 Subtraktion af komplekse tal For de to komplekse tal z 1 = (5, 2) og z 2 = (4, 3) gælder z 1 z 2 = (5 4, 2 ( 3)) = (1, 5).

5 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 5 Mens addition (og subtraktion) af komplekse tal synes enkel og naturlig, virker multiplikation (og division) af komplekse tal mere ejendommelig. Vi skal senere se at alle fire regningsarter har markante geometriske ækvivalenter i den såkaldte komplekse talplan. Men i første omgang må vi blot tage definitionerne for gode varer. Først giver vi definitionen på multiplikation. Derefter division som en særlig form for multiplikation. Definition 29.7 Multiplikation af komplekse tal Lad z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) være to komplekse tal. Produktet z 1 z 2 defineres ved z 1 z 2 = z 1 z 2 = (ac bd, ad + bc). (29-6) Eksempel 29.8 Multiplikation af komplekse tal For de to komplekse tal z 1 = (2, 3) og z 2 = (1, 4) gælder z 1 z 2 = (2, 3) (1, 4) = (2 1 (3 ( 4)), 2 ( 4) + 3 1) = (14, 5). Det komplekse tal (1, 0) er neutralt med hensyn til multiplikation idet der for ethvert komplekst tal z = (a, b) gælder z (1, 0) = (a, b) (1, 0) = (a 1 b 0, a 0 + b 1) = (a, b) = z. Det er klart at (1, 0) er det eneste komplekse tal som er neutralt med hensyn til multiplikation. For ethvert komplekst tal z som ikke er (0, 0), findes et unikt reciprokt tal som ganget med det givne tal giver (1, 0). Det betegnes 1. Det komplekse tal z = (a, b) har det z reciprokke tal ( 1 a z = a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 (29-7) idet ( a (a, b) a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 = ( a 2 a 2 + b 2 + b2 a 2 + b 2, ab a 2 + b 2 + ba ) a 2 + b 2 = (1, 0).

6 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 6 Opgave 29.9 Vis at ethvert komplekst tal z = (0, 0) har netop ét reciprokt tal. Ved hjælp af reciprokke tal kan vi nu indføre division som en særlig form for multiplikation. Definition Division af komplekse tal Lad z 1 og z 2 være vilkårlige komplekse tal, hvor z 2 = (0, 0). Kvotienten z 1 z 2 defineres som produktet af z 1 og det reciprokke tal for z 2 z 1 = z 1 1 (29-8) z 2 z 2 Lad os for to vilkårlige komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) = (0, 0) beregne kvotienten z 1 ud fra definition 29.10: z 2 z 1 1 ( c = (a, b) z 2 c 2 + d 2, d ) ( ) ac + bd bc ad c 2 + d 2 = c 2, + d2 c 2 + d 2. Vi får hermed følgende formel for division: ( ) z 1 ac + bd bc ad = z 2 c 2, + d2 c 2 + d 2. (29-9) Eksempel Division af komplekse tal Betragt de to komplekse tal z 1 = (1, 2) og z 2 = (3, 4). ( z = z , ) ( ) = 25, Vi slutter afsnittet med at vise at de komplekse tal med de indførte regneoperationer opfylder regneregler kendt fra de reelle tal.

7 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 7 Sætning Egenskaber for komplekse tal De komplekse tal overholder de følgende regneregler: 1. Kommutativ regel for addition: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2. Associativ regel for addition: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) 3. Tallet (0, 0) er neutral mht. addition 4. Ethvert z har et modsat tal z hvor z + ( z) = (0, 0) 5. Kommutativ regel for multiplikation z 1 z 2 = z 2 z 1 6. Associativ regel for multiplikation: (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) 7. Tallet (1, 0) er neutralt mht. multiplikation 8. Ethvert z = (0, 0) har et reciprokt tal 1 z hvor z 1 z 9. Distributiv regel: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 = (1, 0) Bevis Lad os se på den kommutative regel. Der er givet to komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d). Der gælder z 1 + z 2 = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = z 2 + z 1. Ved det andet lighedstegn er der for både første- og andenkoordinat benyttet at den kommutative lov for addition gælder for de reelle tal. Dermed ses at den kommutative regel også gælder for komplekse tal. I beviset for reglerne 2, 5, 6 og 9 udnyttes på samme måde, at de tilsvarende regler gælder for reelle tal. Detaljerne overlades til læseren. For reglerne 3, 4 og 7, 8 se gennemgangen tidligere i dette afsnit Komplekse tal på rektangulær form Da der til ethvert ordnet reelt talpar svarer et unikt punkt i (x, y)-planen, og omvendt til ethvert punkt i (x, y)-planen svarer et unikt ordnet reelt talpar, kan C opfattes som mængden af punkter i (x, y)-planen. På figur 29.1 er vist seks punkter i (x, y)-planen,

8 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 8 det vil sige seks komplekse tal. Y (0,b) (a,b) (0,1) (0,0) (1,0) (a,0) X Figur 29.1: Seks komplekse tal i (x, y)-planen. Vi vil i det følgende ændre skrivemåden for komplekse tal. Først identificerer vi alle komplekse tal af typen (a, 0), det vil sige de tal der ligger på x-aksen, med de tilsvarende reelle tal a. Specielt skrives tallet (0, 0) som 0 og tallet (1, 0) som 1. Bemærk at dette ikke fører til konflikt mellem de indførte regnearter for komplekse tal og de sædvanlige for reelle tal, idet og (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0 + 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (a b 0 0, a b) = (ab, 0). Derved kan x-aksen opfattes som en almindelig reel talakse og betegnes realaksen. Og på den måde kan de reelle tal ses som en delmængde af de komplekse. At y-aksen kaldes imaginæraksen hænger sammen med de forunderlige egenskaber for det komplekse tal i som vi nu skal indføre og undersøge. Definition Tallet i Ved det komplekse tal i forstås tallet (0, 1).

9 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 9 En afgørende motivation for indføringen af de komplekse tal var ønsket om en talmængde der indeholder en løsning på ligningen x 2 = 1. Med tallet i har vi fået en løsning idet der gælder i 2 = i i = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. Sætning Komplekse tals rektangulære form Ethvert komplekst tal z = (a, b) kan skrives på formen Den skrivemåde kaldes den rektangulære form for z. z = a + i b = a + ib. (29-10) Bevis Beviset består i simple omregninger hvor den nye skrivemåde for tal af typen (a, 0) indgår. (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b. Da 0 = (0, 0) er neutralt med hensyn addition, og 1 = (1, 0) er neutralt med hensyn multiplikation gælder følgende identiteter: Endvidere ses nemt at 0 + z = z og 1z = z. 0z = 0. Lad os specielt betragte komplekse tal af typen (0, b). Da (0, b) = 0 + ib = ib, kan i forstås som y-aksens enhed, og man omtaler derfor i som den imaginære enhed. Heraf kommer betegnelsen imaginæraksen for y-aksen. På figur 29.2 ses en opdatering af situationen fra figur 29.1 hvor de nævnte ændringer er benyttet.

10 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 10 imaginæraksen ib a+ib i 0 1 a realaksen Figur 29.2: Seks komplekse tal i den komplekse talplan. Metode Udregninger ved hjælp af rektangulær form En afgørende fordel ved den rektangulære form af komplekse tal er at man ikke behøver huske de formler for regneoperationerne addition, subtraktion, multiplikation og division, der blev givet i definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og Alle udregninger kan nemlig udføres ved at man følger de sædvanlige regneregler for reelle tal, herunder at man behandler tallet i som man ville behandle en reel parameter og husker at erstatte i 2 med 1. I det følgende eksempel vises hvordan multiplikation kan udføres ved sædvanlig regning med faktorernes rektangulære form. Eksempel Multiplikation vha. rektangulær form Vi udregner produktet af de to komplekse tal givet på rektangulær form z 1 z 2 = c + id : = a + ib og z 1 z 2 = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ac + iad + ibc bd = (ac bd) + i(ad + bc). Resultatet svarer til definitionen 29.7! Opgave Bevis at den såkaldte nulregel for reelle tal også gælder for komplekse tal: Et produkt af to tal er 0 hvis og kun hvis mindst én af faktorerne er 0.

11 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 11 Bemærkning Potenser for komplekse tal Egenskaben 6. i sætning giver os mulighed for indføring af heltals-potenser for komplekse tal, der svarer til heltalige potenser for reelle tal. Lad i det følgende n betegne et naturligt tal. 1. z 1 = z ; z 2 = z z ; z 3 = z z z og så videre. 2. Pr. definition sættes z 0 = Endelig sættes z n = 1 z n. De sædvanlige regneregler for heltals-potenser af reelle tal gælder også for de komplekse: z n z m = z n+m og (z n ) m = z n m Vi afslutter dette afsnit med at indføre begreberne realdel og imaginærdel for komplekse tal. Definition Realdel og imaginærdel Givet et komplekst tal z med rektangulær form z = a + ib. Ved realdelen af z forstås det reelle tal Re(z) = Re(a + ib) = a, (29-11) og ved imaginærdelen af z forstås det reelle tal Im(z) = Im(a + ib) = b. (29-12) Udtrykket rektangulær form hentyder til tallets placering i den komplekse talplan, hvor Re(z) er tallets vinkelrette nedfældningspunkt på real-aksen, og Im(z) dets vinkelrette nedfældningspunkt på imaginæraksen. Realværdien er kort sagt tallets førstekoordinat, mens imaginærværdien er tallets andenkoordinat. Bemærk at ethvert komplekst tal z kan opskrives på rektangulær form således z = Re(z) + iim(z).

12 enote KONJUGERING AF KOMPLEKSE TAL 12 Eksempel Realværdi og Imaginærværdi Tre komplekse tal er givet ved: z 1 = 3 2i, z 2 = i5, z 3 = 25 + i. Vi finder realdelen og imaginærdelen af tallene: Re(z 1 ) = 3, Im(z 1 ) = 2 ; Re(z 2 ) = 0, Im(z 2 ) = 5 ; Re(z 3 ) = 25, Im(z 3 ) = 1. (29-13) To komplekse tal på rektangulær form er ens, hvis og kun hvis såvel deres realdele som deres imaginærdele er ens Konjugering af komplekse tal Definition Konjugering Lad z være et komplekst tal med rektangulær form z = a + ib. Ved det konjugerede tal til z forstås det komplekse tal z givet ved z = a ib (29-14) At konjugere et komplekst tal svarer til at det spejles i realaksen som vist på figur imaginæraksen z=a+ib 0 v v realaksen _ z=a ib Figur 29.3: Spejling i realaksen

13 enote KONJUGERING AF KOMPLEKSE TAL 13 Det er indlysende at det konjugerede tal til et konjugeret tal er det oprindelige tal selv: z = z. (29-15) I det følgende eksempel finder vi en snild metode til omskrivning af en brøk til rektangulær form. Eksempel Udregning af brøk Vi kan nu opstille følgende huskeregel for omregning af en kompleks brøk til rektangulær form: Forlæng brøken med nævneren konjugeret. Den bygger på at produktet af et tal og dets konugerede altid er et reelt tal (se om dette senere i enoten: formel (29-19)). 2 i 1 + i (2 i)(1 i) = (1 + i)(1 i) = 1 3i = 1 3i 2 = i. For konjugering i forbindelse med de fire sædvanlige regnearter gælder der følgende meget simple regneregler Sætning Regneregler for konjugering 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 3. z 1 z 2 = z 1 z 2 4. (z 1 /z 2 ) = z 1 /z 2, z 2 = 0. Bevis Beviset gennemføres ved simple omformninger ud fra tallenes rektangulære form. Som eksempel tager vi den første formel. Antag z 1 = a 1 + ib 1 og z 2 = a 2 + ib 2. Så gælder z 1 + z 2 = (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 ) = (a 1 + a 2 ) i(b 1 + b 2 ) = (a 1 ib 1 ) + (a 2 ib 2 ) = z 1 + z 2.

14 enote POLÆRE KOORDINATER 14 Til sidst bemærker vi at alle komplekse tal på realaksen er identiske med deres konjugerede tal, og at de er de eneste komplekse tal der opfylder denne egenskab. Vi kan i forlængelse heraf opstille et kriterium for om et givet tal i en mængde af komplekse tal er reelt: Sætning Realkriteriet Lad A være en delmængde af C, og lad A R betegne den delmængde af A som består af reelle tal. Der gælder A R = {z A z = z}. Bevis Lad z være et vilkårligt tal i A C med rektangulær form z = a + ib. Der gælder da z = z a ib = a + ib b = 0 z A R Polære koordinater Den oplagte måde at angive et punkt i et sædvanligt (x, y)-koordinatsystem på, er naturligvis punktets retvinklede koordinater. I mange situationer er det imidlertid nyttigt at kunne bestemme et punkt ved dets polære koordinater, som består af punktets afstand til Origo samt punktets retningsvinkel fra x-aksen til punktets stedvektor, idet den regnes positiv hvis den udmåles mod uret, og negativ hvis den udmåles med uret. I det følgende indfører vi på tilsvarende vis polære koordinater for komplekse tal. Lad os først præcisere en orientering af den komplekse talplan:

15 enote POLÆRE KOORDINATER 15 Definition Orientering af den komplekse talplan Orientering af den komplekse talplan fastlægges ved at en cirkel med centrum i tallet 0 gennemløbes mod uret. Im 0 Re Figur 29.4: Den komplekse talplans orientering Ingredienserne i det komplekse tals polære koordinater er dets absolutværdi og argument. Dem indfører vi nu. Definition Absolutværdi og argument Givet et komplekst tal z. Ved absolutværdien af z forstås længden af den til z hørende stedvektor. Absolutværdien skrives z og kaldes også for tallets modulus eller numeriske værdi. Antag z = 0. Enhver vinkel fra realaksens positive del til stedvektoren for z kaldes et argument for z og betegnes arg(z). Vinklen regnes med fortegn i overensstemmelse med orienteringen af den komplekse talplan. Im z 0 z arg(z) Re Figur 29.5: Absolutværdi og argument Et sammenhørende par ( z, arg(z) ) af absolutværdien af z og et argument for z kaldes for tallets polære koordinater.

16 enote POLÆRE KOORDINATER 16 Bemærk at argumentet for et tal z ikke er entydigt. Hvis man for eksempel til et valgt argument for z lægger vinklen 2π, opnår man igen en gyldig retningsvinkel for stedvektoren for z og dermed et nyt argument for tallet. Et komplekst tal har uendeligt mange argumenter. Man kan imidlertid altid vælge et argument for z som ligger i intervallet fra π til π. Der er tradition for at give dette argument en fortrinsstilling. Det kaldes for tallets hovedargument. Definition Hovedargument Givet et komplekst tal z som ikke er 0. Ved hovedargumentet Arg(z) for z forstås det entydigt bestemte argument for z som opfylder Arg(z) ] π, π ]. To komplekse tal er ens hvis og kun hvis såvel deres absolutværdier som deres hovedargumenter er ens. Eksempel Hovedargumenter Im 2+2i 2+2i π 3π 4 π 4 2 Re _ 3π 4 _ π 4 2 2i 2 2i Figur 29.6: Hovedargumenter På figuren er angivet fem komplekse tal hvoraf de fire ligger på vinkelhalveringslinjer mellem akserne. Vi aflæser: 2 + 2i har hovedargumentet π 4, 2 2i har hovedargumentet π 4,

17 enote POLÆRE KOORDINATER i har hovedargumentet 3π 4, 2 2i har hovedargumentet 3π 4 hovedargumentet π., og endelig har 2 Om det er mests fordelagtigt at benytte komplekse tals rektangulære form eller deres polære koordinater, afhænger af situationen. Det er derfor vigtigt at man hurtigt kan veksle mellem dem. I metode demonstreres hvordan man kan veksle mellem de to former. Metode Rektangulære og polær koordinater Vi betragter et komplekst tal z = 0 som har den rektangulære form z = a + ib og et argument v : i z sin(v) z=a+ib i 0 1 v z a b z cos(v) Figur 29.7: Omformning mellem rektangulær form og polære koordinater 1. Rektangulær form fås ud fra de polære koordinater således: a = z cos(v) og b = z sin(v). (29-16) 2. Absolutværdien fås ud fra den rektangulære form således: z = a 2 + b 2. (29-17) 3. Et argument fås ud fra den rektangulære form således: cos(v) = a z og sin(v) = b z. (29-18)

18 enote POLÆRE KOORDINATER 18 NB: Når z som på figuren i metode er tegnet i 1. kvadrant, er det oplagt at regel (29-16) og (29-18) kommer fra velkendte formler for cosinus og sinus til spidse vinkler i retvinklede trekanter og (29-17) fra Pythagoras sætning. Med de samme formler kan det vises at de indførte metoder gælder uanset hvilken kvadrant z ligger i. Eksempel Fra rektangulær til polær form Vi vil finde de polære koordinater for tallet z = 3 + i ved hjælp af metode z = 3 +i Im z 0 v Re Figur 29.8: Bestemme polære koordinater Vi bestemmer først absolutværdien: z = ( 3) = = 2. Ud fra ligningen 3 cos(v) = 2 får vi to bud på et hovedargument for z, nemlig v = 5π 6 og v = 5π 6. På figuren ses at z ligger i 2. kvadrant, og det korrekte hovedargument må derfor være det førstnævnte. Men dette kan også fastlægges uden inspektion af figuren, idet også ligningen sin(v) = 1 2 skal være opfyldt. Fra denne får vi også to bud på et hovedargument for z, nemlig v = π 6 og v = 5π 6. Da kun v = 5π 6 opfylder begge ligninger, ser vi at Arg(z) = 5π 6. Hermed har vi fundet det polære koordinatsæt for z : ( ) ( 5π ) z, Arg(z) = 2,. 6

19 enote POLÆRE KOORDINATER 19 Vi slutter dette afsnit med nogle vigtige regneregler for absolutværdier og argumenter for komplekse tal. Først giver vi en nyttig formel for produktet af et komplekst tal og dets konjugerede tal: som bevises ved simpel udregning. z z = z 2 (29-19) Herefter behandler vi de vigtige produktregler for absolutværdier og for argumenter. Sætning Produktreglen for absolutværdi Absolutværdien for produktet af to komplekse tal z 1 og z 2 fås ved z 1 z 2 = z 1 z 2 (29-20) Af sætning fås Følgesætning Absolutværdien for kvotienten af to komplekse tal z 1 og z 2, hvor z 2 = 0, fås ved z 1 z = z 1 (29-21) 2 z 2 Absolutværdien af den n te potens af et komplekst tal z fås for ethvert n Z ved z 1 n = z 1 n (29-22) Opgave Nedskriv i ord hvad formlerne (29-20), 29-21) og (29-22) udsiger, og bevis dem. Sætning Produktreglen for argumenter Givet to komplekse tal z 1 = 0 og z 2 = 0 (hvorved også z 1 z 2 = 0). Der gælder: Hvis v 1 er et argument for z 1, og v 2 er et argument for z 2, så er v 1 + v 2 et argument for produktet z 1 z 2.

20 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 20 Følgesætning Givet to komplekse tal z 1 = 0 og z 2 = 0 som begge er forskellige fra 0. Der gælder: 1. Hvis v 1 er et argument for z 1 og v 2 et argument for z 2, så er v 1 v 2 et argument for brøken z 1 z Hvis v er et argument for z, så er n v et argument for potensen z n. Opgave Bevis sætning og følgesætning Geometrisk forståelse af de fire regnearter Vi startede med at indføre addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal som algebraiske operationer udført på reelle talpar (a, b), se definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og Derefter viste vi at de komplekse tals rektangulære form a + ib fører til en mere praktisk måde at dyrke regnearterne på: Man kan regne med de komplekse tal på samme måde som de reelle, når blot tallet i behandles på samme måde som en reel parameter, og det udnyttes at i 2 = 1. I dette afsnit skal vi se at regneoperationerne også kan forstås som geometriske konstruktioner. Den første præcise beskrivelse af de komplekse tal blev udarbejdet af den norske landmåler Caspar Wessel i Wessel indførte komplekse tal som linjestykker med givne længder og retninger, altså det vi i dag kalder vektorer i planen. Regning med komplekse tal var derfor geometriske operationer udført på vektorer. I det følgende gengiver vi ideen i Wessels definitioner. Det er nemt at indse ækvivalensen mellem den algebraiske og geometriske repræsentation af addition og substraktion, det kræver mere at forstå ækvivalensen forsåvidt angår multiplikation og division. Sætning Geometrisk addition Addition af to komplekse tal z 1 og z 2 kan opnås geometrisk på følgende måde: Stedvektoren for z 1 + z 2 er summen af stedvekorerne for z 1 og z 2.

21 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 21 z 2 =c+id i z 1 +z 2 =(a+c)+i( b+d) 0 1 z 1 =a+ib Figur 29.9: Addition ved parallelogram-metoden Bevis Antag at z 1 og z 2 er givet på rektangulær form ved z 1 = a + ib og z 2 = c + id. Så har stedvektoren for z 1 koordinatsættet (a, b) og stedvektoren for z 2 koordinatsættet (c, d). Summen af de to stedvektorer er dermed (a + c, b + d), som er stedvektor for det komplekse tal (a + c) + i(b + d). Da der algebraisk gælder z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), er det ønskede vist. Geometrisk subtraktion fås som en særlig form af geometrisk addition: Stedvektoren for z 1 z 2 er summen af stedvektoren for z1 og den modsatte vektor til stedvektoren for z 2. Situationen er illustreret på figur z 1 =a+ib z 2 =c+id i z 1 -z 2 =(a-c)+i(b-d) 0 1 -z 2 =-c-id Figur 29.10: Subtraktion ved parallelogram-metoden Mens vi ved undersøgelsen af geometrisk addition (og substraktion) har benyttet de komplekse tals rektangulære form, får vi ved geometrisk multiplikation (og division) brug for deres polære koordinater.

22 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 22 Sætning Geometrisk multiplikation Givet to komplekse tal z 1 og z 2 som begge er forskellige fra 0 (hvorved også z 1 z 2 = 0). Multiplikation af z 1 og z 2 kan opnås geometrisk på følgende måde: 1. Absolutværdien for produktet z 1 z 2 fås når man ganger absolutværdien af z 1 med absolutværdien af z Et argument for produktet af z 1 z 2 fås når man lægger et argument for z 1 sammen med et argument for z 2. Bevis Første del af sætningen fremgår af sætning 29.31, mens anden del fremgår af sætning Eksempel Multiplikation vha. polære koordinater To komplekse tal z 1 og z 2 er givet ved de polære koordinater ( 1 Im 2, π 4 ) henholdsvis ( 2, 2π 3 ). z 2 2π 3 11π 12 z 1 z 2 z 1 π 4 1/2 1 2 Re Figur 29.11: Multiplikation Vi udregner produktet af z 1 og z 2 ved hjælp af deres absolutværdier og argumenter: z 1 z 2 = z 1 z 2 = = 1 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) = π 4 + 2π 3 = 11π 12 Produktet z 1 z 2 er altså det komplekse tal som har absolutværdien 1 og argumentet 11π 12.

23 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 23 Eksempel Division vha. polære koordinater Tallene z 1 og z 2 er givet ved z 1 = 6 og arg(z Im 1 ) = u henholdvis z 2 = 2 og arg(z 1 ) = v. z 1 u z 1 z 2 z 2 v 2 u-v 3 6 Re Figur 29.12: Division Derved kan z 1 z 2 bestemmes ved z 1 z 2 = 6 ( ) 2 = 3 og arg z1 = u v. z Den komplekse eksponentialfunktion Den sædvanlige eksponentialfunktion x e x, x R har som bekendt de karakteristiske egenskaber 1. e 0 = 1 2. e x 1+x 2 = e x 1 e x 2 for alle x 1, x 2 R 3. (e x ) n = e nx for alle n Z og x R. I dette afsnit vil vi indføre en særdeles nyttig udvidelse af den reelle eksponentialfunktion til en kompleks eksponentialfunktion, som viser sig at opfylde de samme regneregler som den reelle.

24 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 24 Definition Kompleks eksponentialfunktion Ved den komplekse eksponentialfunktion exp C forstås en funktion som til ethvert tal z C med rektangulær form z = x + iy lader svarer tallet exp C (z) = exp C (x + iy) = e x (cos(y) + i sin(y)) (29-23) hvor e er grundtallet for den reelle (naturlige) eksponentialfunktion. Da vi for ethvert reelt tal x får exp C (x) = exp C (x + i 0) = e x (cos(0) + i sin(0)) = e x, ser vi at den komplekse eksponentialfuntion overalt på real-aksen er identisk med den reelle. Vi risikerer derfor ikke modstrid når vi i det følgende vil tillade (og flittigt bruge) skrivemåden exp C (z) = e z for z C. (29-24) Vi betragter nu det komplekse tal e z hvor z er et vilkårligt komplekst tal med rektangulær form z = x + iy. Der gælder da (med brug af sætning 29.31) at e z = e x (cos(y) + i sin(y)) = e x (cos(y) + i sin(y)) = e x = e x. Endvidere gælder (med brug af sætning 29.34) at arg (e z ) = arg (e x ) + arg (cos(y) + i sin(y)) = 0 + y = y. Disse pointer er illustreret i figur Im e z e x 0 y Re Figur 29.13: Geometrisk fortolkning af e z

25 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 25 For de trigonometriske funktioner cos(x) og sin(x) vides at der for ethvert helt tal p gælder cos(x + p2π) = cos(x) og sin(x + p2π) = sin(x). Hvis man forskyder grafen for cos(x) eller sin(x) med et vilkårligt multiplum af 2π, vil den derfor gå over i sig selv. Funktionerne kaldes derfor periodiske med perioden 2π. Et lignende fænomen kan ses ved den komplekse eksonentialfunktion. Den har den imaginære periode i 2π Dette hænger i høj grad sammen med periodiciteten af de trigonometriske funktioner hvilket kan ses i beviset for den følgende sætning. Sætning Periodicitet af e z For ethvert komplekst tal z og ethvert helt tal p gælder e z+i p2π = e z. (29-25) Bevis Antag at z har rektangulær form z = x + iy og p Z. Der gælder e z+i p2π = e x+i(y+p2π) = e x( cos(y + p2π) + i sin(y + p2π) ) = e x( cos(y) + i sin(y) ) = e z. Hermed er sætningen vist. I det følgende eksempel illustreres periodiciteten af den komplekse eksponentialfunktion. Eksempel Eksponentiel ligning Bestem samtlige løsninger for ligningen e z = 3 + i. (29-26) Løsning: Vi skriver først z på rektangulær form: z = x + iy. I eksempel har vi fundet at højresiden i har absolutværdien z = 2 og hovedargumentet v = 5π 6. Da venstresiden og højresiden skal have samme absolutværdi og samme argument på nær et vilkårligt

26 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 26 multiplum af 2π fås e z = e x = 2 x = ln(2), Samtlige løsninger for er dermed arg(z) = y = v + p2π = 5π 6 + p2π, p Z. z = x + iy = ln(2) + i( 5π 6 + p2π), p Z. Vi slutter afsnittet med at vise at den komplekse eksponentialfunktion opfylder de fra den reelle kendte regneregler. Sætning Regneregler for kompleks eksponentialfunktion 1. e 0 = 1 2. e z 1+z 2 = e z 1 e x 2 for alle z 1, z 2 C 3. (e z ) n = e nz for alle n Z og x C. Bevis Er med i næste opdatering af enoten. Additionsformlerne er afgørende. Opgave Vis at der for ethvert z C gælder e z = Komplekse tals eksponentielle form Lad v være et vilkårligt reelt tal. Indsættes det rent imaginære tal iv i den komplekse eksponentialfunktion fås af definition 29.41: e iv = e 0+iv = e 0 (cos(v) + i sin(v)) hvorved den berømte Eulers formel fremkommer

27 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 27 Sætning Eulers formel For ethvert v R gælder e iv = cos(v) + i sin(v). (29-27) Im e iv isin(v) v cos(v) 0 1 Re Figur 29.14: Tallet e iv i den komplekse talplan Ved hjælp af definitionen på den komplekse eksponentialfunktion udledte vi Eulers formel. Nu kan vi omvendt benytte Eulers formel til at opskrive den komplekse eksponentialfunktion på den bekvemme form e z = e x( cos(y) + i sin(y) ) = e x e iy. (29-28) De to mest brugte skrivemåder for komplekse tal i både teoretisk og anvendt matematik er rektangulær form (som vi har benyttet så ofte ovenfor), og eksponentiel form. I den eksponentielle form optræder tallets polære koordinater (absolutværdi og argument) i forbindelse med den komplekse eksponentialfunktion: Sætning Komplekse tals eksponentiel form Ethvert komplekst tal z = 0 kan skrives på formen z = z e iv (29-29) hvor v er et argument for z. Skrivemåden kaldes tallets eksponentielle form.

28 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 28 Bevis Lad v være et argument for det komplekse tal z = 0, og sæt r = z. Vi viser at tallet re iv har samme absolutværdi og argument som z, hvormed de to tal er ens: 1. re iv = r e iv = r. 2. Da 0 er et argument for r og v et argument for e iv, er 0 + v = v et argument for produktet re iv. Metode Udregninger ved hjælp af eksponentiel form En afgørende fordel ved den eksponentielle form af komplekse tal er at man ikke behøver tænke på regnereglerne for multiplikation, division og potensopløftning når tallenes polære koordinater benyttes, se sætning 29.31, følgesætning og sætning Alle udregninger kan nemlig udføres ved at man bruger de sædvanlige regneregler på tallenes eksponentielle form. Vi giver nu et eksempel på multiplikation efter metode 29.48, sammenlign med eksempel Eksempel Multiplikation på eksponentiel form To komplekse tal er givet på eksponentiel form: z 1 = 1 2 e π 4 i og z 2 = 2 e 3π 2 i. Produktet af tallene fås på eksponentiel form ved z 1 z 2 = ( 1 2 e π 4 i)( 2 e 3π 2 i ) = ( 1 2 2)e π 4 i+ 3π 2 i = 1e i( π 4 + 3π 2 ) = e 7π 4 i. Opgave Gør rede for at den i indførte metode er korrekt. I det følgende vil vi vise hvordan såkaldte binome ligninger kan løses ved hjælp af eksponentiel form. En binom ligning er en toleddet ligning på formen z n = w (29-30)

29 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 29 hvor w C og n N. Vi viser først et eksempel på løsning af en binom ligning ved hjælp af eksponentiel form og opstiller derefter den generelle metode. Eksempel Binom ligning på eksponentiel form Find samtlige løsninger på den binome ligning z 4 = i. (29-31) Løsning: Ideen er at vi skriver såvel z som højresiden på eksponentiel form. Hvis z har den eksponentielle form z = se iu, kan ligningens venstreside udregnes ved Højresidens absolutværdi r findes ved z 4 = (se iu ) 4 = s 4 (e iu ) 4 = s 4 e i4u (29-32) r = i = Højresidens argument v opfylder: cos(v) = 8 16 = 1 2 ( 8) 2 + (8 3) 2 = og sin(v) = 16 = 2. Ved hjælp af de to ligninger kan højresidens hovedargument fastlægges til og dermed den eksponentielle form Vi indsætter nu (29-32) og (29-33) i (29-31) v = Arg( ) = 2π 3, re iv = 16e 2π 3 i. (29-33) s 4 e i4u = 16e 2π 3 i. Da ventresidens absolutværdi skal være lig højresidens får vi s 4 = 16 s = 4 16 = 2. Venstresidens argument 4u og højresidens argument 2π 3 af 2π. Heraf fås 4u = 2π 3 + p2π u = π 6 + p π 2, p Z. skal være ens på nær et multiplum

30 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 30 Disse uendeligt mange argumenter svarer vel at mærke kun til fire halvlinjer ud fra 0, bestemt ved de argumenter der fås ved p = 0, p = 1, p = 2 og p = 3. For alle andre værdier af p vil den tilsvarende halvlinje være identisk med en af de fire nævnte. For eksempel vil halvlinjen for p = 4 være givet ved argumentet u = π π 2 = π 6 + 2π, det vil sige samme halvlinje som svarer til p = 0, da forskellen på argumenterne er 2π. Den givne ligning (29-31) har derfor netop fire løsninger, som ligger på de nævnte fire halvlinjer i afstanden s = 2 fra 0. Angivet på eksponentiel form: z = 2 e i( π 6 +p π 2 ), p = 0, 1, 2, 3. Eller omregnet hver for sig til rektangulær form ved brug af Eulers formel (29-27) z 0 = 3 + i, z 1 = 1 + i 3, z 2 = 3 i, z 3 = 1 i 3. Alle løsningerne for en binom ligning ligger på en cirkel med centrum i 0 og radius lig med højresidens absolutværdi. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler cirklen i lige store vinkler. Dette eksemplificeres på figur der viser løsningerne på fjerdegradsligningen fra eksempel Im z 1 z Re z 2 Figur 29.15: De fire løsningerne for z 4 = i Fremgangsmåden i eksempel generaliserer vi i den følgende sætning. Sætningen bevises i enote 30 om polynomier. z 3

31 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 31 Sætning Binom ligning løst vha. eksponentiel form Givet et komplekst tal w, som ikke er 0, og som har den eksponentielle form w = w e iv. Den binome ligning z n = w, n N (29-34) har n løsninger som kan findes ved formlen z = w n e i( n v +p 2π n ) hvor p = 0, 1,..., n 1. (29-35) Opgave Binom ligning med negativ højreside Lad r være et vilkårligt positivt reelt tal. Vis ved hjælp af sætning at den binome andengradsligning z 2 = r har to løsninger z 0 = i r og z 1 = i r Første og andengradsligninger Lad a og b være komplekse tal med a = 0. En førstegradsligning på formen az = b har ligesom den tilsvarende reelle førstegradsligning netop én løsning: z = b a. Hvis a og b er på rektangulær form, finder man nemt en løsning på rektangulær form, som vist i det følgende eksempel.

32 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 32 Eksempel Løsning af førstegradsligning Ligningen (1 i) z = (5 + 2i) har løsningen z = 5 + 2i 1 i = (5 + 2i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = 3 + 7i 2 = i. Også ved løsning af komplekse andengradsligninger benytter vi en formel der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger. I denne enote indfører vi ikke kvadratrødder af komplekse tal, derfor afviger den komplekse løsningsformel der udledes nedenfor, i en enkelt detalje fra den sædvanlige reelle. Ved en kompleks andengradsligning forstås en ligning på formen hvor a, b og c er komplekse tal med a = 0. az 2 + bz + c = 0 (29-36) Vi indfører ligningens diskriminant D ved D = b 2 4ac. Lad w 0 være en vilkårlig løsning til den binome ligning w 2 = D (der er to løsninger hvis D = 0 og kun nulløsningen hvis D = 0 ). Der gælder da: ( az 2 + bz + c = a z 2 + b a z + c ) a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 2a 4a 2 + c a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 D 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 w2 0 2a 4a 2 (( = a z + b ) + w ) (( 0 z + b ) w ) 0 2a 2a 2a 2a ( = a z + b + w ) ( 0 z b + w ) 0 = 0 2a 2a z = b w 0 2a eller z = b + w 0 2a.

33 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 33 Heraf fås følgende sætning: Sætning Løsningsformel for kompleks andengradsligning Lad a, b og c være vilkårlige komplekse tal med a = 0. Vi sætter D = b 2 4ac. Andengradsligningen az 2 + bz + c = 0 (29-37) har to løsninger z 0 = b w 0 2a og z 1 = b + w 0 2a hvor w 0 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D. (29-38) Hvis specielt D = 0, gælder der z 0 = z 1 = b 2a. Eksempel Andengradsligning med positiv diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter 2z 2 + 5z 3 = 0. Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 2, b = 5, c = 3. Diskriminanten findes: D = ( 3) = 49. Det ses at w 0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 49. Nu kan løsningerne udregnes: z 0 = = 1 2 og z 1 = = 3. (29-39) Eksempel Andengradsligning med negativ diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter z 2 2z + 5 = 0. Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminanten findes: D = ( 2) (5) = 16. I følge opgave (29.53) fås en løsning for den binome andengradsligning w 2 = D = 16 ved w 0 = i 16 = 4i. Nu kan løsningerne udregnes: z 0 = ( 2) + 4i 2 1 = 1 + 2i og z 1 = ( 2) 4i 2 1 = 1 2i. (29-40)

34 enote KOMPLEKSE FUNKTIONER AF EN REEL VARIABEL 34 Eksempel Andengradsligning med komplekse koefficienter Vi løser andengradsligningen z 2 (1 + i)z 2 + 2i = 0. (29-41) Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 1, b = 1 i, c = 2 + 2i. Diskriminanten findes: D = ( 1 i) ( 2 + 2i) = 8 6i. Da D ikke er reel må såvel realdel som imaginærværdi for en løsning til ligningen w 2 = D = 8 6i være forskellige fra 0. Vi sætter w = x + iy og betragter ligningen som er ensbetydende med w 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi = D = 8 6i x 2 y 2 = 8 og 2xy = 6. Indsættes y = 6 2x = 3 x i x2 y 2 = 8 og sættes x 2 = u opnås andengradsligningen u 2 8u 9 = 0 u = 1 eller u = 9. For ligningen x 2 = u = 9 vælges løsningen x 0 = 3 hvoraf y = 3 x 0 = 1. Da w 0 = x 0 + i y 0 = 3 i er en løsning til w 2 = D = 8 6i finder vi løsningerne for (29-41) ved z 0 = (1 + i) + (3 i) 2 1 = 2 og z 1 = (1 + i) (3 i) 2 1 = 1 + i. (29-42) Komplekse funktioner af en reel variabel Du bør bide godt mærke i funktioner af typen f : t e ct, t R (29-43) hvor c er et givet komplekst tal. De har vid udbredelse i såvel teoretisk som anvendt matematik. Et hovedformål med dette afsnit er at beskrive dem nærmere. De er eksempler på de såkaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Vores undersøgelse starter bredt med denne større klasse af funktioner. Vi viser blandt andet hvordan begreber som differentiabilitet og differentialkvotient kan overføres til dem. Derefter går vi dybden med funktionstypen (29-43).

35 enote KOMPLEKSE FUNKTIONER AF EN REEL VARIABEL 35 Definition Kompleks funktion af en reel variabel Ved en kompleks funktion af en reel variabel forstås en funktion f som til ethvert t R knytter ét komplekst tal som betegnes f (t). En kort skrivemåde for en funtion f af denne type er f : R C. Lad os betragte en funktion f : R C. Vi indfører to relle funktioner g og h ved g(t) = Re ( f (t) ) og h(t) = Im ( f (t) ) for alle t R. Herved kan f angives på rektangulær form: f (t) = g(t) + i h(t), t R. (29-44) Når vi i det følgende skal indføre differentiabilitet for komplekse funktioner af en reel variabel, får vi brug for en speciel type af dem, nemlig de såkalde epsilonfunktioner. I lighed med reelle epsilonfunktioner er det hjælpefunktioner, hvis funktionsudtryk man som regel ikke er interesseret i. De to afgørende egenskaber for en reel epsilon-funktion ɛ : R R er at den opfylder ɛ(0) = 0, og ɛ(t) 0 når t 0. De komplekse indføres på tilsvarende vis. Definition Epsilon-funktion Ved en kompleks epsilonfunktion af en reel variabel forstås en funktion ɛ : R C som opfylder 1. ɛ(0) = 0 2. ɛ(t) 0 for t 0 Bemærk at hvis ɛ er en epsilonfunktion, så følger det direkte af definition at der for ethvert t 0 R gælder ɛ(t t 0 ) 0 for t t 0. I det følgende eksempel vises et par komplekse epsilon-funtioner af reel variabel.

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik A Peter Lundøer

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere