Komplekse tal. enote Indledning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning"

Transkript

1 enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal, herunder de elementære reelle funktioner som de trigonometriske funktioner og den naturlige eksponentialfunktion. Endelig forudsættes elementær kendskab til vektorer i planen Indledning En simpel andengradsligning som x 2 = 25 har to reelle løsninger, nemlig x = 5 og x = 5 idet 5 2 = 25 og ( 5) 2 = 25. På tilsvarende vis har ligningen x 2 = 2 to løsninger, nemlig x = 2 og x = 2 idet 2 2 = 2 og ( 2) 2 = 2. Med ligningen x 2 = k, k R skal vi passe mere på, her afhænger alt nemlig af fortegnet på k. Hvis k 0 har ligningen løsningerne x = k og x = k

2 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 2 idet k 2 = k og ( k) 2 = k. Men hvis k < 0, har ligningen ingen løsninger, da der ikke findes reelle tal hvis kvadrat er negativt. Men nu stiller vi os det spørgsmål, om man kunne forestille sig en større mængde af tal end de reelle, en mængde der indeholder alle de reelle tal og derudover også er løsninger til en ligning som x 2 = 1. Ligningen måtte da i analogi med de ovenstående ligninger have to løsninger x = 1 og x = 1. Lad os være dristige og antage at dette faktisk er muligt, og kalde tallet 1 for i. Ligningen x 2 = 1 har da to løsninger, nemlig idet x = i og x = i i 2 = 1 2 = 1 og ( i) 2 = ( 1 ) 2 = 1. Vi stiller nu det ekstra krav til det hypotetiske tal i at man skal kunne regne med det efter de samme regneregler som gælder de reelle tal. Man skal for eksempel kunne gange i med et reelt tal b og lægge denne størrelse til et andet reelt tal a. Herved opstår en ny slags tal z af typen z = a + ib, (a, b) R 2. Nedenfor beskriver vi hvordan de nævnte ambitioner kan imødekommes. Vi ser på hvordan strukturen af en sådan større talmængde må være, og hvilke lovmæssigheder den indeholder. Talmængden kalder vi de komplekse tal og giver den symbolet C. Der skal altså gælde at R er en ægte delmængde af C. Som allerede antydet må C være to-dimensional i den forstand at et komplekst tal indeholder to reelle tal! 29.2 Komplekse tal indført som reelle talpar Den sædvanlige skrivemåde for et komplekst tal z er z = a + ib (29-1)

3 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 3 hvor a og b er reelle tal, og i er et nyt imaginært tal der opfylder i 2 = 1. Denne form er særdeles praktisk ved regning med komplekse tal, og derfor den der oftest benyttes ved tekniske anvendelser. Men af teoretiske grunde kan vi ikke definere de komplekse tal ud fra formen (29-1). For hvad betyder egentlig et produkt som ib, og hvad betyder additionen a + ib? En teoretisk tilfredsstillende måde at indføre komplekse tal på er som mængden af reelle talpar (a, b). Vi vil i dette afsnit vise hvordan man i denne mængde kan definere regneoperationer (addition, subtraktion, multiplikation og division), der opfylder de sædvanlige regneregler fra reelle tal. Og som vil vise sig at give skrivemåden (29-1) fuld mening. Definition 29.1 De komplekse tal De komplekse tal C defineres som mængden af ordnede reelle talpar: C = {(a, b) a, b R} (29-2) Som symbol for komplekse tal vil vi ofte bruge bogstavet z. Eksempel 29.2 Her angives fem forskellige komplekse tal: z 1 = (2, 7), z 2 = (7, 2), z 3 = (0, 1), z 4 = ( 5, 0), z 5 = (0, 0). Først indfører vi regnearten addition for komplekse tal. Derefter subtraktion som en særlig form for addition. Definition 29.3 Addition af komplekse tal Lad z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) være to komplekse tal. Summen z 1 + z 2 defineres ved z 1 + z 2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (29-3)

4 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 4 Eksempel 29.4 Addition For de to komplekse tal z 1 = (2, 7) og z 2 = (4, 3) gælder z 1 + z 2 = (2, 7) + (4, 3) = (2 + 4, 7 + ( 3)) = (6, 4). Det komplekse tal (0, 0) er neutralt med hensyn til addition idet der for ethvert komplekst tal z = (a, b) gælder z + (0, 0) = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z. Det er klart at (0, 0) er det eneste komplekse tal som er neutralt med hensyn til addition. For ethvert komplekst tal findes et modsat tal som adderet med z giver (0, 0). Det komplekse tal z = (a, b) har det modsatte tal ( a, b) idet (a, b) + ( a, b) = (a + ( a), b + ( b)) = (a a, b b) = (0, 0). Det er klart at ( a, b) er det eneste modsatte tal for z = (a, b). Det entydigt bestemte modsatte tal til et komplekst tal z betegnes z. Ved hjælp heraf kan subtraktion af komplekse tal indføres som en særlig form form addition. Definition 29.5 Subtraktion af komplekse tal For to komplekse tal z 1 og z 2 defineres differensen z 1 z 2 ved summen af z 1 og det modsatte tal for z 2 : z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ). (29-4) Lad os for to vilkårlige komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) beregne differensen z 1 z 2 ud fra definition 29.5: z 1 z 2 = (a, b) + ( c, d) = (a + ( c), b + ( d)) = (a c, b d). Dette giver følgende enkle formel z 1 z 2 = (a c, b d). (29-5) Eksempel 29.6 Subtraktion af komplekse tal For de to komplekse tal z 1 = (5, 2) og z 2 = (4, 3) gælder z 1 z 2 = (5 4, 2 ( 3)) = (1, 5).

5 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 5 Mens addition (og subtraktion) af komplekse tal synes enkel og naturlig, virker multiplikation (og division) af komplekse tal mere ejendommelig. Vi skal senere se at alle fire regningsarter har markante geometriske ækvivalenter i den såkaldte komplekse talplan. Men i første omgang må vi blot tage definitionerne for gode varer. Først giver vi definitionen på multiplikation. Derefter division som en særlig form for multiplikation. Definition 29.7 Multiplikation af komplekse tal Lad z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) være to komplekse tal. Produktet z 1 z 2 defineres ved z 1 z 2 = z 1 z 2 = (ac bd, ad + bc). (29-6) Eksempel 29.8 Multiplikation af komplekse tal For de to komplekse tal z 1 = (2, 3) og z 2 = (1, 4) gælder z 1 z 2 = (2, 3) (1, 4) = (2 1 (3 ( 4)), 2 ( 4) + 3 1) = (14, 5). Det komplekse tal (1, 0) er neutralt med hensyn til multiplikation idet der for ethvert komplekst tal z = (a, b) gælder z (1, 0) = (a, b) (1, 0) = (a 1 b 0, a 0 + b 1) = (a, b) = z. Det er klart at (1, 0) er det eneste komplekse tal som er neutralt med hensyn til multiplikation. For ethvert komplekst tal z som ikke er (0, 0), findes et unikt reciprokt tal som ganget med det givne tal giver (1, 0). Det betegnes 1. Det komplekse tal z = (a, b) har det z reciprokke tal ( 1 a z = a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 (29-7) idet ( a (a, b) a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 = ( a 2 a 2 + b 2 + b2 a 2 + b 2, ab a 2 + b 2 + ba ) a 2 + b 2 = (1, 0).

6 enote KOMPLEKSE TAL INDFØRT SOM REELLE TALPAR 6 Opgave 29.9 Vis at ethvert komplekst tal z = (0, 0) har netop ét reciprokt tal. Ved hjælp af reciprokke tal kan vi nu indføre division som en særlig form for multiplikation. Definition Division af komplekse tal Lad z 1 og z 2 være vilkårlige komplekse tal, hvor z 2 = (0, 0). Kvotienten z 1 z 2 defineres som produktet af z 1 og det reciprokke tal for z 2 z 1 = z 1 1 (29-8) z 2 z 2 Lad os for to vilkårlige komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d) = (0, 0) beregne kvotienten z 1 ud fra definition 29.10: z 2 z 1 1 ( c = (a, b) z 2 c 2 + d 2, d ) ( ) ac + bd bc ad c 2 + d 2 = c 2, + d2 c 2 + d 2. Vi får hermed følgende formel for division: ( ) z 1 ac + bd bc ad = z 2 c 2, + d2 c 2 + d 2. (29-9) Eksempel Division af komplekse tal Betragt de to komplekse tal z 1 = (1, 2) og z 2 = (3, 4). ( z = z , ) ( ) = 25, Vi slutter afsnittet med at vise at de komplekse tal med de indførte regneoperationer opfylder regneregler kendt fra de reelle tal.

7 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 7 Sætning Egenskaber for komplekse tal De komplekse tal overholder de følgende regneregler: 1. Kommutativ regel for addition: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2. Associativ regel for addition: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) 3. Tallet (0, 0) er neutral mht. addition 4. Ethvert z har et modsat tal z hvor z + ( z) = (0, 0) 5. Kommutativ regel for multiplikation z 1 z 2 = z 2 z 1 6. Associativ regel for multiplikation: (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) 7. Tallet (1, 0) er neutralt mht. multiplikation 8. Ethvert z = (0, 0) har et reciprokt tal 1 z hvor z 1 z 9. Distributiv regel: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 = (1, 0) Bevis Lad os se på den kommutative regel. Der er givet to komplekse tal z 1 = (a, b) og z 2 = (c, d). Der gælder z 1 + z 2 = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = z 2 + z 1. Ved det andet lighedstegn er der for både første- og andenkoordinat benyttet at den kommutative lov for addition gælder for de reelle tal. Dermed ses at den kommutative regel også gælder for komplekse tal. I beviset for reglerne 2, 5, 6 og 9 udnyttes på samme måde, at de tilsvarende regler gælder for reelle tal. Detaljerne overlades til læseren. For reglerne 3, 4 og 7, 8 se gennemgangen tidligere i dette afsnit Komplekse tal på rektangulær form Da der til ethvert ordnet reelt talpar svarer et unikt punkt i (x, y)-planen, og omvendt til ethvert punkt i (x, y)-planen svarer et unikt ordnet reelt talpar, kan C opfattes som mængden af punkter i (x, y)-planen. På figur 29.1 er vist seks punkter i (x, y)-planen,

8 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 8 det vil sige seks komplekse tal. Y (0,b) (a,b) (0,1) (0,0) (1,0) (a,0) X Figur 29.1: Seks komplekse tal i (x, y)-planen. Vi vil i det følgende ændre skrivemåden for komplekse tal. Først identificerer vi alle komplekse tal af typen (a, 0), det vil sige de tal der ligger på x-aksen, med de tilsvarende reelle tal a. Specielt skrives tallet (0, 0) som 0 og tallet (1, 0) som 1. Bemærk at dette ikke fører til konflikt mellem de indførte regnearter for komplekse tal og de sædvanlige for reelle tal, idet og (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0 + 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (a b 0 0, a b) = (ab, 0). Derved kan x-aksen opfattes som en almindelig reel talakse og betegnes realaksen. Og på den måde kan de reelle tal ses som en delmængde af de komplekse. At y-aksen kaldes imaginæraksen hænger sammen med de forunderlige egenskaber for det komplekse tal i som vi nu skal indføre og undersøge. Definition Tallet i Ved det komplekse tal i forstås tallet (0, 1).

9 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 9 En afgørende motivation for indføringen af de komplekse tal var ønsket om en talmængde der indeholder en løsning på ligningen x 2 = 1. Med tallet i har vi fået en løsning idet der gælder i 2 = i i = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. Sætning Komplekse tals rektangulære form Ethvert komplekst tal z = (a, b) kan skrives på formen Den skrivemåde kaldes den rektangulære form for z. z = a + i b = a + ib. (29-10) Bevis Beviset består i simple omregninger hvor den nye skrivemåde for tal af typen (a, 0) indgår. (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b. Da 0 = (0, 0) er neutralt med hensyn addition, og 1 = (1, 0) er neutralt med hensyn multiplikation gælder følgende identiteter: Endvidere ses nemt at 0 + z = z og 1z = z. 0z = 0. Lad os specielt betragte komplekse tal af typen (0, b). Da (0, b) = 0 + ib = ib, kan i forstås som y-aksens enhed, og man omtaler derfor i som den imaginære enhed. Heraf kommer betegnelsen imaginæraksen for y-aksen. På figur 29.2 ses en opdatering af situationen fra figur 29.1 hvor de nævnte ændringer er benyttet.

10 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 10 imaginæraksen ib a+ib i 0 1 a realaksen Figur 29.2: Seks komplekse tal i den komplekse talplan. Metode Udregninger ved hjælp af rektangulær form En afgørende fordel ved den rektangulære form af komplekse tal er at man ikke behøver huske de formler for regneoperationerne addition, subtraktion, multiplikation og division, der blev givet i definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og Alle udregninger kan nemlig udføres ved at man følger de sædvanlige regneregler for reelle tal, herunder at man behandler tallet i som man ville behandle en reel parameter og husker at erstatte i 2 med 1. I det følgende eksempel vises hvordan multiplikation kan udføres ved sædvanlig regning med faktorernes rektangulære form. Eksempel Multiplikation vha. rektangulær form Vi udregner produktet af de to komplekse tal givet på rektangulær form z 1 z 2 = c + id : = a + ib og z 1 z 2 = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ac + iad + ibc bd = (ac bd) + i(ad + bc). Resultatet svarer til definitionen 29.7! Opgave Bevis at den såkaldte nulregel for reelle tal også gælder for komplekse tal: Et produkt af to tal er 0 hvis og kun hvis mindst én af faktorerne er 0.

11 enote KOMPLEKSE TAL PÅ REKTANGULÆR FORM 11 Bemærkning Potenser for komplekse tal Egenskaben 6. i sætning giver os mulighed for indføring af heltals-potenser for komplekse tal, der svarer til heltalige potenser for reelle tal. Lad i det følgende n betegne et naturligt tal. 1. z 1 = z ; z 2 = z z ; z 3 = z z z og så videre. 2. Pr. definition sættes z 0 = Endelig sættes z n = 1 z n. De sædvanlige regneregler for heltals-potenser af reelle tal gælder også for de komplekse: z n z m = z n+m og (z n ) m = z n m Vi afslutter dette afsnit med at indføre begreberne realdel og imaginærdel for komplekse tal. Definition Realdel og imaginærdel Givet et komplekst tal z med rektangulær form z = a + ib. Ved realdelen af z forstås det reelle tal Re(z) = Re(a + ib) = a, (29-11) og ved imaginærdelen af z forstås det reelle tal Im(z) = Im(a + ib) = b. (29-12) Udtrykket rektangulær form hentyder til tallets placering i den komplekse talplan, hvor Re(z) er tallets vinkelrette nedfældningspunkt på real-aksen, og Im(z) dets vinkelrette nedfældningspunkt på imaginæraksen. Realværdien er kort sagt tallets førstekoordinat, mens imaginærværdien er tallets andenkoordinat. Bemærk at ethvert komplekst tal z kan opskrives på rektangulær form således z = Re(z) + iim(z).

12 enote KONJUGERING AF KOMPLEKSE TAL 12 Eksempel Realværdi og Imaginærværdi Tre komplekse tal er givet ved: z 1 = 3 2i, z 2 = i5, z 3 = 25 + i. Vi finder realdelen og imaginærdelen af tallene: Re(z 1 ) = 3, Im(z 1 ) = 2 ; Re(z 2 ) = 0, Im(z 2 ) = 5 ; Re(z 3 ) = 25, Im(z 3 ) = 1. (29-13) To komplekse tal på rektangulær form er ens, hvis og kun hvis såvel deres realdele som deres imaginærdele er ens Konjugering af komplekse tal Definition Konjugering Lad z være et komplekst tal med rektangulær form z = a + ib. Ved det konjugerede tal til z forstås det komplekse tal z givet ved z = a ib (29-14) At konjugere et komplekst tal svarer til at det spejles i realaksen som vist på figur imaginæraksen z=a+ib 0 v v realaksen _ z=a ib Figur 29.3: Spejling i realaksen

13 enote KONJUGERING AF KOMPLEKSE TAL 13 Det er indlysende at det konjugerede tal til et konjugeret tal er det oprindelige tal selv: z = z. (29-15) I det følgende eksempel finder vi en snild metode til omskrivning af en brøk til rektangulær form. Eksempel Udregning af brøk Vi kan nu opstille følgende huskeregel for omregning af en kompleks brøk til rektangulær form: Forlæng brøken med nævneren konjugeret. Den bygger på at produktet af et tal og dets konugerede altid er et reelt tal (se om dette senere i enoten: formel (29-19)). 2 i 1 + i (2 i)(1 i) = (1 + i)(1 i) = 1 3i = 1 3i 2 = i. For konjugering i forbindelse med de fire sædvanlige regnearter gælder der følgende meget simple regneregler Sætning Regneregler for konjugering 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 3. z 1 z 2 = z 1 z 2 4. (z 1 /z 2 ) = z 1 /z 2, z 2 = 0. Bevis Beviset gennemføres ved simple omformninger ud fra tallenes rektangulære form. Som eksempel tager vi den første formel. Antag z 1 = a 1 + ib 1 og z 2 = a 2 + ib 2. Så gælder z 1 + z 2 = (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 ) = (a 1 + a 2 ) i(b 1 + b 2 ) = (a 1 ib 1 ) + (a 2 ib 2 ) = z 1 + z 2.

14 enote POLÆRE KOORDINATER 14 Til sidst bemærker vi at alle komplekse tal på realaksen er identiske med deres konjugerede tal, og at de er de eneste komplekse tal der opfylder denne egenskab. Vi kan i forlængelse heraf opstille et kriterium for om et givet tal i en mængde af komplekse tal er reelt: Sætning Realkriteriet Lad A være en delmængde af C, og lad A R betegne den delmængde af A som består af reelle tal. Der gælder A R = {z A z = z}. Bevis Lad z være et vilkårligt tal i A C med rektangulær form z = a + ib. Der gælder da z = z a ib = a + ib b = 0 z A R Polære koordinater Den oplagte måde at angive et punkt i et sædvanligt (x, y)-koordinatsystem på, er naturligvis punktets retvinklede koordinater. I mange situationer er det imidlertid nyttigt at kunne bestemme et punkt ved dets polære koordinater, som består af punktets afstand til Origo samt punktets retningsvinkel fra x-aksen til punktets stedvektor, idet den regnes positiv hvis den udmåles mod uret, og negativ hvis den udmåles med uret. I det følgende indfører vi på tilsvarende vis polære koordinater for komplekse tal. Lad os først præcisere en orientering af den komplekse talplan:

15 enote POLÆRE KOORDINATER 15 Definition Orientering af den komplekse talplan Orientering af den komplekse talplan fastlægges ved at en cirkel med centrum i tallet 0 gennemløbes mod uret. Im 0 Re Figur 29.4: Den komplekse talplans orientering Ingredienserne i det komplekse tals polære koordinater er dets absolutværdi og argument. Dem indfører vi nu. Definition Absolutværdi og argument Givet et komplekst tal z. Ved absolutværdien af z forstås længden af den til z hørende stedvektor. Absolutværdien skrives z og kaldes også for tallets modulus eller numeriske værdi. Antag z = 0. Enhver vinkel fra realaksens positive del til stedvektoren for z kaldes et argument for z og betegnes arg(z). Vinklen regnes med fortegn i overensstemmelse med orienteringen af den komplekse talplan. Im z 0 z arg(z) Re Figur 29.5: Absolutværdi og argument Et sammenhørende par ( z, arg(z) ) af absolutværdien af z og et argument for z kaldes for tallets polære koordinater.

16 enote POLÆRE KOORDINATER 16 Bemærk at argumentet for et tal z ikke er entydigt. Hvis man for eksempel til et valgt argument for z lægger vinklen 2π, opnår man igen en gyldig retningsvinkel for stedvektoren for z og dermed et nyt argument for tallet. Et komplekst tal har uendeligt mange argumenter. Man kan imidlertid altid vælge et argument for z som ligger i intervallet fra π til π. Der er tradition for at give dette argument en fortrinsstilling. Det kaldes for tallets hovedargument. Definition Hovedargument Givet et komplekst tal z som ikke er 0. Ved hovedargumentet Arg(z) for z forstås det entydigt bestemte argument for z som opfylder Arg(z) ] π, π ]. To komplekse tal er ens hvis og kun hvis såvel deres absolutværdier som deres hovedargumenter er ens. Eksempel Hovedargumenter Im 2+2i 2+2i π 3π 4 π 4 2 Re _ 3π 4 _ π 4 2 2i 2 2i Figur 29.6: Hovedargumenter På figuren er angivet fem komplekse tal hvoraf de fire ligger på vinkelhalveringslinjer mellem akserne. Vi aflæser: 2 + 2i har hovedargumentet π 4, 2 2i har hovedargumentet π 4,

17 enote POLÆRE KOORDINATER i har hovedargumentet 3π 4, 2 2i har hovedargumentet 3π 4 hovedargumentet π., og endelig har 2 Om det er mests fordelagtigt at benytte komplekse tals rektangulære form eller deres polære koordinater, afhænger af situationen. Det er derfor vigtigt at man hurtigt kan veksle mellem dem. I metode demonstreres hvordan man kan veksle mellem de to former. Metode Rektangulære og polær koordinater Vi betragter et komplekst tal z = 0 som har den rektangulære form z = a + ib og et argument v : i z sin(v) z=a+ib i 0 1 v z a b z cos(v) Figur 29.7: Omformning mellem rektangulær form og polære koordinater 1. Rektangulær form fås ud fra de polære koordinater således: a = z cos(v) og b = z sin(v). (29-16) 2. Absolutværdien fås ud fra den rektangulære form således: z = a 2 + b 2. (29-17) 3. Et argument fås ud fra den rektangulære form således: cos(v) = a z og sin(v) = b z. (29-18)

18 enote POLÆRE KOORDINATER 18 NB: Når z som på figuren i metode er tegnet i 1. kvadrant, er det oplagt at regel (29-16) og (29-18) kommer fra velkendte formler for cosinus og sinus til spidse vinkler i retvinklede trekanter og (29-17) fra Pythagoras sætning. Med de samme formler kan det vises at de indførte metoder gælder uanset hvilken kvadrant z ligger i. Eksempel Fra rektangulær til polær form Vi vil finde de polære koordinater for tallet z = 3 + i ved hjælp af metode z = 3 +i Im z 0 v Re Figur 29.8: Bestemme polære koordinater Vi bestemmer først absolutværdien: z = ( 3) = = 2. Ud fra ligningen 3 cos(v) = 2 får vi to bud på et hovedargument for z, nemlig v = 5π 6 og v = 5π 6. På figuren ses at z ligger i 2. kvadrant, og det korrekte hovedargument må derfor være det førstnævnte. Men dette kan også fastlægges uden inspektion af figuren, idet også ligningen sin(v) = 1 2 skal være opfyldt. Fra denne får vi også to bud på et hovedargument for z, nemlig v = π 6 og v = 5π 6. Da kun v = 5π 6 opfylder begge ligninger, ser vi at Arg(z) = 5π 6. Hermed har vi fundet det polære koordinatsæt for z : ( ) ( 5π ) z, Arg(z) = 2,. 6

19 enote POLÆRE KOORDINATER 19 Vi slutter dette afsnit med nogle vigtige regneregler for absolutværdier og argumenter for komplekse tal. Først giver vi en nyttig formel for produktet af et komplekst tal og dets konjugerede tal: som bevises ved simpel udregning. z z = z 2 (29-19) Herefter behandler vi de vigtige produktregler for absolutværdier og for argumenter. Sætning Produktreglen for absolutværdi Absolutværdien for produktet af to komplekse tal z 1 og z 2 fås ved z 1 z 2 = z 1 z 2 (29-20) Af sætning fås Følgesætning Absolutværdien for kvotienten af to komplekse tal z 1 og z 2, hvor z 2 = 0, fås ved z 1 z = z 1 (29-21) 2 z 2 Absolutværdien af den n te potens af et komplekst tal z fås for ethvert n Z ved z 1 n = z 1 n (29-22) Opgave Nedskriv i ord hvad formlerne (29-20), 29-21) og (29-22) udsiger, og bevis dem. Sætning Produktreglen for argumenter Givet to komplekse tal z 1 = 0 og z 2 = 0 (hvorved også z 1 z 2 = 0). Der gælder: Hvis v 1 er et argument for z 1, og v 2 er et argument for z 2, så er v 1 + v 2 et argument for produktet z 1 z 2.

20 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 20 Følgesætning Givet to komplekse tal z 1 = 0 og z 2 = 0 som begge er forskellige fra 0. Der gælder: 1. Hvis v 1 er et argument for z 1 og v 2 et argument for z 2, så er v 1 v 2 et argument for brøken z 1 z Hvis v er et argument for z, så er n v et argument for potensen z n. Opgave Bevis sætning og følgesætning Geometrisk forståelse af de fire regnearter Vi startede med at indføre addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal som algebraiske operationer udført på reelle talpar (a, b), se definitionerne 29.3, 29.5, 29.7 og Derefter viste vi at de komplekse tals rektangulære form a + ib fører til en mere praktisk måde at dyrke regnearterne på: Man kan regne med de komplekse tal på samme måde som de reelle, når blot tallet i behandles på samme måde som en reel parameter, og det udnyttes at i 2 = 1. I dette afsnit skal vi se at regneoperationerne også kan forstås som geometriske konstruktioner. Den første præcise beskrivelse af de komplekse tal blev udarbejdet af den norske landmåler Caspar Wessel i Wessel indførte komplekse tal som linjestykker med givne længder og retninger, altså det vi i dag kalder vektorer i planen. Regning med komplekse tal var derfor geometriske operationer udført på vektorer. I det følgende gengiver vi ideen i Wessels definitioner. Det er nemt at indse ækvivalensen mellem den algebraiske og geometriske repræsentation af addition og substraktion, det kræver mere at forstå ækvivalensen forsåvidt angår multiplikation og division. Sætning Geometrisk addition Addition af to komplekse tal z 1 og z 2 kan opnås geometrisk på følgende måde: Stedvektoren for z 1 + z 2 er summen af stedvekorerne for z 1 og z 2.

21 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 21 z 2 =c+id i z 1 +z 2 =(a+c)+i( b+d) 0 1 z 1 =a+ib Figur 29.9: Addition ved parallelogram-metoden Bevis Antag at z 1 og z 2 er givet på rektangulær form ved z 1 = a + ib og z 2 = c + id. Så har stedvektoren for z 1 koordinatsættet (a, b) og stedvektoren for z 2 koordinatsættet (c, d). Summen af de to stedvektorer er dermed (a + c, b + d), som er stedvektor for det komplekse tal (a + c) + i(b + d). Da der algebraisk gælder z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), er det ønskede vist. Geometrisk subtraktion fås som en særlig form af geometrisk addition: Stedvektoren for z 1 z 2 er summen af stedvektoren for z1 og den modsatte vektor til stedvektoren for z 2. Situationen er illustreret på figur z 1 =a+ib z 2 =c+id i z 1 -z 2 =(a-c)+i(b-d) 0 1 -z 2 =-c-id Figur 29.10: Subtraktion ved parallelogram-metoden Mens vi ved undersøgelsen af geometrisk addition (og substraktion) har benyttet de komplekse tals rektangulære form, får vi ved geometrisk multiplikation (og division) brug for deres polære koordinater.

22 enote GEOMETRISK FORSTÅELSE AF DE FIRE REGNEARTER 22 Sætning Geometrisk multiplikation Givet to komplekse tal z 1 og z 2 som begge er forskellige fra 0 (hvorved også z 1 z 2 = 0). Multiplikation af z 1 og z 2 kan opnås geometrisk på følgende måde: 1. Absolutværdien for produktet z 1 z 2 fås når man ganger absolutværdien af z 1 med absolutværdien af z Et argument for produktet af z 1 z 2 fås når man lægger et argument for z 1 sammen med et argument for z 2. Bevis Første del af sætningen fremgår af sætning 29.31, mens anden del fremgår af sætning Eksempel Multiplikation vha. polære koordinater To komplekse tal z 1 og z 2 er givet ved de polære koordinater ( 1 Im 2, π 4 ) henholdsvis ( 2, 2π 3 ). z 2 2π 3 11π 12 z 1 z 2 z 1 π 4 1/2 1 2 Re Figur 29.11: Multiplikation Vi udregner produktet af z 1 og z 2 ved hjælp af deres absolutværdier og argumenter: z 1 z 2 = z 1 z 2 = = 1 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) = π 4 + 2π 3 = 11π 12 Produktet z 1 z 2 er altså det komplekse tal som har absolutværdien 1 og argumentet 11π 12.

23 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 23 Eksempel Division vha. polære koordinater Tallene z 1 og z 2 er givet ved z 1 = 6 og arg(z Im 1 ) = u henholdvis z 2 = 2 og arg(z 1 ) = v. z 1 u z 1 z 2 z 2 v 2 u-v 3 6 Re Figur 29.12: Division Derved kan z 1 z 2 bestemmes ved z 1 z 2 = 6 ( ) 2 = 3 og arg z1 = u v. z Den komplekse eksponentialfunktion Den sædvanlige eksponentialfunktion x e x, x R har som bekendt de karakteristiske egenskaber 1. e 0 = 1 2. e x 1+x 2 = e x 1 e x 2 for alle x 1, x 2 R 3. (e x ) n = e nx for alle n Z og x R. I dette afsnit vil vi indføre en særdeles nyttig udvidelse af den reelle eksponentialfunktion til en kompleks eksponentialfunktion, som viser sig at opfylde de samme regneregler som den reelle.

24 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 24 Definition Kompleks eksponentialfunktion Ved den komplekse eksponentialfunktion exp C forstås en funktion som til ethvert tal z C med rektangulær form z = x + iy lader svarer tallet exp C (z) = exp C (x + iy) = e x (cos(y) + i sin(y)) (29-23) hvor e er grundtallet for den reelle (naturlige) eksponentialfunktion. Da vi for ethvert reelt tal x får exp C (x) = exp C (x + i 0) = e x (cos(0) + i sin(0)) = e x, ser vi at den komplekse eksponentialfuntion overalt på real-aksen er identisk med den reelle. Vi risikerer derfor ikke modstrid når vi i det følgende vil tillade (og flittigt bruge) skrivemåden exp C (z) = e z for z C. (29-24) Vi betragter nu det komplekse tal e z hvor z er et vilkårligt komplekst tal med rektangulær form z = x + iy. Der gælder da (med brug af sætning 29.31) at e z = e x (cos(y) + i sin(y)) = e x (cos(y) + i sin(y)) = e x = e x. Endvidere gælder (med brug af sætning 29.34) at arg (e z ) = arg (e x ) + arg (cos(y) + i sin(y)) = 0 + y = y. Disse pointer er illustreret i figur Im e z e x 0 y Re Figur 29.13: Geometrisk fortolkning af e z

25 enote DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 25 For de trigonometriske funktioner cos(x) og sin(x) vides at der for ethvert helt tal p gælder cos(x + p2π) = cos(x) og sin(x + p2π) = sin(x). Hvis man forskyder grafen for cos(x) eller sin(x) med et vilkårligt multiplum af 2π, vil den derfor gå over i sig selv. Funktionerne kaldes derfor periodiske med perioden 2π. Et lignende fænomen kan ses ved den komplekse eksonentialfunktion. Den har den imaginære periode i 2π Dette hænger i høj grad sammen med periodiciteten af de trigonometriske funktioner hvilket kan ses i beviset for den følgende sætning. Sætning Periodicitet af e z For ethvert komplekst tal z og ethvert helt tal p gælder e z+i p2π = e z. (29-25) Bevis Antag at z har rektangulær form z = x + iy og p Z. Der gælder e z+i p2π = e x+i(y+p2π) = e x( cos(y + p2π) + i sin(y + p2π) ) = e x( cos(y) + i sin(y) ) = e z. Hermed er sætningen vist. I det følgende eksempel illustreres periodiciteten af den komplekse eksponentialfunktion. Eksempel Eksponentiel ligning Bestem samtlige løsninger for ligningen e z = 3 + i. (29-26) Løsning: Vi skriver først z på rektangulær form: z = x + iy. I eksempel har vi fundet at højresiden i har absolutværdien z = 2 og hovedargumentet v = 5π 6. Da venstresiden og højresiden skal have samme absolutværdi og samme argument på nær et vilkårligt

26 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 26 multiplum af 2π fås e z = e x = 2 x = ln(2), Samtlige løsninger for er dermed arg(z) = y = v + p2π = 5π 6 + p2π, p Z. z = x + iy = ln(2) + i( 5π 6 + p2π), p Z. Vi slutter afsnittet med at vise at den komplekse eksponentialfunktion opfylder de fra den reelle kendte regneregler. Sætning Regneregler for kompleks eksponentialfunktion 1. e 0 = 1 2. e z 1+z 2 = e z 1 e x 2 for alle z 1, z 2 C 3. (e z ) n = e nz for alle n Z og x C. Bevis Er med i næste opdatering af enoten. Additionsformlerne er afgørende. Opgave Vis at der for ethvert z C gælder e z = Komplekse tals eksponentielle form Lad v være et vilkårligt reelt tal. Indsættes det rent imaginære tal iv i den komplekse eksponentialfunktion fås af definition 29.41: e iv = e 0+iv = e 0 (cos(v) + i sin(v)) hvorved den berømte Eulers formel fremkommer

27 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 27 Sætning Eulers formel For ethvert v R gælder e iv = cos(v) + i sin(v). (29-27) Im e iv isin(v) v cos(v) 0 1 Re Figur 29.14: Tallet e iv i den komplekse talplan Ved hjælp af definitionen på den komplekse eksponentialfunktion udledte vi Eulers formel. Nu kan vi omvendt benytte Eulers formel til at opskrive den komplekse eksponentialfunktion på den bekvemme form e z = e x( cos(y) + i sin(y) ) = e x e iy. (29-28) De to mest brugte skrivemåder for komplekse tal i både teoretisk og anvendt matematik er rektangulær form (som vi har benyttet så ofte ovenfor), og eksponentiel form. I den eksponentielle form optræder tallets polære koordinater (absolutværdi og argument) i forbindelse med den komplekse eksponentialfunktion: Sætning Komplekse tals eksponentiel form Ethvert komplekst tal z = 0 kan skrives på formen z = z e iv (29-29) hvor v er et argument for z. Skrivemåden kaldes tallets eksponentielle form.

28 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 28 Bevis Lad v være et argument for det komplekse tal z = 0, og sæt r = z. Vi viser at tallet re iv har samme absolutværdi og argument som z, hvormed de to tal er ens: 1. re iv = r e iv = r. 2. Da 0 er et argument for r og v et argument for e iv, er 0 + v = v et argument for produktet re iv. Metode Udregninger ved hjælp af eksponentiel form En afgørende fordel ved den eksponentielle form af komplekse tal er at man ikke behøver tænke på regnereglerne for multiplikation, division og potensopløftning når tallenes polære koordinater benyttes, se sætning 29.31, følgesætning og sætning Alle udregninger kan nemlig udføres ved at man bruger de sædvanlige regneregler på tallenes eksponentielle form. Vi giver nu et eksempel på multiplikation efter metode 29.48, sammenlign med eksempel Eksempel Multiplikation på eksponentiel form To komplekse tal er givet på eksponentiel form: z 1 = 1 2 e π 4 i og z 2 = 2 e 3π 2 i. Produktet af tallene fås på eksponentiel form ved z 1 z 2 = ( 1 2 e π 4 i)( 2 e 3π 2 i ) = ( 1 2 2)e π 4 i+ 3π 2 i = 1e i( π 4 + 3π 2 ) = e 7π 4 i. Opgave Gør rede for at den i indførte metode er korrekt. I det følgende vil vi vise hvordan såkaldte binome ligninger kan løses ved hjælp af eksponentiel form. En binom ligning er en toleddet ligning på formen z n = w (29-30)

29 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 29 hvor w C og n N. Vi viser først et eksempel på løsning af en binom ligning ved hjælp af eksponentiel form og opstiller derefter den generelle metode. Eksempel Binom ligning på eksponentiel form Find samtlige løsninger på den binome ligning z 4 = i. (29-31) Løsning: Ideen er at vi skriver såvel z som højresiden på eksponentiel form. Hvis z har den eksponentielle form z = se iu, kan ligningens venstreside udregnes ved Højresidens absolutværdi r findes ved z 4 = (se iu ) 4 = s 4 (e iu ) 4 = s 4 e i4u (29-32) r = i = Højresidens argument v opfylder: cos(v) = 8 16 = 1 2 ( 8) 2 + (8 3) 2 = og sin(v) = 16 = 2. Ved hjælp af de to ligninger kan højresidens hovedargument fastlægges til og dermed den eksponentielle form Vi indsætter nu (29-32) og (29-33) i (29-31) v = Arg( ) = 2π 3, re iv = 16e 2π 3 i. (29-33) s 4 e i4u = 16e 2π 3 i. Da ventresidens absolutværdi skal være lig højresidens får vi s 4 = 16 s = 4 16 = 2. Venstresidens argument 4u og højresidens argument 2π 3 af 2π. Heraf fås 4u = 2π 3 + p2π u = π 6 + p π 2, p Z. skal være ens på nær et multiplum

30 enote KOMPLEKSE TALS EKSPONENTIELLE FORM 30 Disse uendeligt mange argumenter svarer vel at mærke kun til fire halvlinjer ud fra 0, bestemt ved de argumenter der fås ved p = 0, p = 1, p = 2 og p = 3. For alle andre værdier af p vil den tilsvarende halvlinje være identisk med en af de fire nævnte. For eksempel vil halvlinjen for p = 4 være givet ved argumentet u = π π 2 = π 6 + 2π, det vil sige samme halvlinje som svarer til p = 0, da forskellen på argumenterne er 2π. Den givne ligning (29-31) har derfor netop fire løsninger, som ligger på de nævnte fire halvlinjer i afstanden s = 2 fra 0. Angivet på eksponentiel form: z = 2 e i( π 6 +p π 2 ), p = 0, 1, 2, 3. Eller omregnet hver for sig til rektangulær form ved brug af Eulers formel (29-27) z 0 = 3 + i, z 1 = 1 + i 3, z 2 = 3 i, z 3 = 1 i 3. Alle løsningerne for en binom ligning ligger på en cirkel med centrum i 0 og radius lig med højresidens absolutværdi. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler cirklen i lige store vinkler. Dette eksemplificeres på figur der viser løsningerne på fjerdegradsligningen fra eksempel Im z 1 z Re z 2 Figur 29.15: De fire løsningerne for z 4 = i Fremgangsmåden i eksempel generaliserer vi i den følgende sætning. Sætningen bevises i enote 30 om polynomier. z 3

31 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 31 Sætning Binom ligning løst vha. eksponentiel form Givet et komplekst tal w, som ikke er 0, og som har den eksponentielle form w = w e iv. Den binome ligning z n = w, n N (29-34) har n løsninger som kan findes ved formlen z = w n e i( n v +p 2π n ) hvor p = 0, 1,..., n 1. (29-35) Opgave Binom ligning med negativ højreside Lad r være et vilkårligt positivt reelt tal. Vis ved hjælp af sætning at den binome andengradsligning z 2 = r har to løsninger z 0 = i r og z 1 = i r Første og andengradsligninger Lad a og b være komplekse tal med a = 0. En førstegradsligning på formen az = b har ligesom den tilsvarende reelle førstegradsligning netop én løsning: z = b a. Hvis a og b er på rektangulær form, finder man nemt en løsning på rektangulær form, som vist i det følgende eksempel.

32 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 32 Eksempel Løsning af førstegradsligning Ligningen (1 i) z = (5 + 2i) har løsningen z = 5 + 2i 1 i = (5 + 2i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = 3 + 7i 2 = i. Også ved løsning af komplekse andengradsligninger benytter vi en formel der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger. I denne enote indfører vi ikke kvadratrødder af komplekse tal, derfor afviger den komplekse løsningsformel der udledes nedenfor, i en enkelt detalje fra den sædvanlige reelle. Ved en kompleks andengradsligning forstås en ligning på formen hvor a, b og c er komplekse tal med a = 0. az 2 + bz + c = 0 (29-36) Vi indfører ligningens diskriminant D ved D = b 2 4ac. Lad w 0 være en vilkårlig løsning til den binome ligning w 2 = D (der er to løsninger hvis D = 0 og kun nulløsningen hvis D = 0 ). Der gælder da: ( az 2 + bz + c = a z 2 + b a z + c ) a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 2a 4a 2 + c a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 D 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 w2 0 2a 4a 2 (( = a z + b ) + w ) (( 0 z + b ) w ) 0 2a 2a 2a 2a ( = a z + b + w ) ( 0 z b + w ) 0 = 0 2a 2a z = b w 0 2a eller z = b + w 0 2a.

33 enote FØRSTE OG ANDENGRADSLIGNINGER 33 Heraf fås følgende sætning: Sætning Løsningsformel for kompleks andengradsligning Lad a, b og c være vilkårlige komplekse tal med a = 0. Vi sætter D = b 2 4ac. Andengradsligningen az 2 + bz + c = 0 (29-37) har to løsninger z 0 = b w 0 2a og z 1 = b + w 0 2a hvor w 0 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D. (29-38) Hvis specielt D = 0, gælder der z 0 = z 1 = b 2a. Eksempel Andengradsligning med positiv diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter 2z 2 + 5z 3 = 0. Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 2, b = 5, c = 3. Diskriminanten findes: D = ( 3) = 49. Det ses at w 0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 49. Nu kan løsningerne udregnes: z 0 = = 1 2 og z 1 = = 3. (29-39) Eksempel Andengradsligning med negativ diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter z 2 2z + 5 = 0. Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminanten findes: D = ( 2) (5) = 16. I følge opgave (29.53) fås en løsning for den binome andengradsligning w 2 = D = 16 ved w 0 = i 16 = 4i. Nu kan løsningerne udregnes: z 0 = ( 2) + 4i 2 1 = 1 + 2i og z 1 = ( 2) 4i 2 1 = 1 2i. (29-40)

34 enote KOMPLEKSE FUNKTIONER AF EN REEL VARIABEL 34 Eksempel Andengradsligning med komplekse koefficienter Vi løser andengradsligningen z 2 (1 + i)z 2 + 2i = 0. (29-41) Ved sammenligning med formel (29-37) fås a = 1, b = 1 i, c = 2 + 2i. Diskriminanten findes: D = ( 1 i) ( 2 + 2i) = 8 6i. Da D ikke er reel må såvel realdel som imaginærværdi for en løsning til ligningen w 2 = D = 8 6i være forskellige fra 0. Vi sætter w = x + iy og betragter ligningen som er ensbetydende med w 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi = D = 8 6i x 2 y 2 = 8 og 2xy = 6. Indsættes y = 6 2x = 3 x i x2 y 2 = 8 og sættes x 2 = u opnås andengradsligningen u 2 8u 9 = 0 u = 1 eller u = 9. For ligningen x 2 = u = 9 vælges løsningen x 0 = 3 hvoraf y = 3 x 0 = 1. Da w 0 = x 0 + i y 0 = 3 i er en løsning til w 2 = D = 8 6i finder vi løsningerne for (29-41) ved z 0 = (1 + i) + (3 i) 2 1 = 2 og z 1 = (1 + i) (3 i) 2 1 = 1 + i. (29-42) Komplekse funktioner af en reel variabel Du bør bide godt mærke i funktioner af typen f : t e ct, t R (29-43) hvor c er et givet komplekst tal. De har vid udbredelse i såvel teoretisk som anvendt matematik. Et hovedformål med dette afsnit er at beskrive dem nærmere. De er eksempler på de såkaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Vores undersøgelse starter bredt med denne større klasse af funktioner. Vi viser blandt andet hvordan begreber som differentiabilitet og differentialkvotient kan overføres til dem. Derefter går vi dybden med funktionstypen (29-43).

35 enote KOMPLEKSE FUNKTIONER AF EN REEL VARIABEL 35 Definition Kompleks funktion af en reel variabel Ved en kompleks funktion af en reel variabel forstås en funktion f som til ethvert t R knytter ét komplekst tal som betegnes f (t). En kort skrivemåde for en funtion f af denne type er f : R C. Lad os betragte en funktion f : R C. Vi indfører to relle funktioner g og h ved g(t) = Re ( f (t) ) og h(t) = Im ( f (t) ) for alle t R. Herved kan f angives på rektangulær form: f (t) = g(t) + i h(t), t R. (29-44) Når vi i det følgende skal indføre differentiabilitet for komplekse funktioner af en reel variabel, får vi brug for en speciel type af dem, nemlig de såkalde epsilonfunktioner. I lighed med reelle epsilonfunktioner er det hjælpefunktioner, hvis funktionsudtryk man som regel ikke er interesseret i. De to afgørende egenskaber for en reel epsilon-funktion ɛ : R R er at den opfylder ɛ(0) = 0, og ɛ(t) 0 når t 0. De komplekse indføres på tilsvarende vis. Definition Epsilon-funktion Ved en kompleks epsilonfunktion af en reel variabel forstås en funktion ɛ : R C som opfylder 1. ɛ(0) = 0 2. ɛ(t) 0 for t 0 Bemærk at hvis ɛ er en epsilonfunktion, så følger det direkte af definition at der for ethvert t 0 R gælder ɛ(t t 0 ) 0 for t t 0. I det følgende eksempel vises et par komplekse epsilon-funtioner af reel variabel.

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere