Gæt et tal Søren Eilers

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gæt et tal Søren Eilers"

Transkript

1 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet af de indkomne svar. Jeg tænkte over det et stykke tid, og da det var gået op for mig at det ikke var en konkurrence jeg ville kunne vinde med matematik alene kom jeg i tanke om at jeg havde set noget lignende før på Politikens bagside. Efter lidt søgning lykkedes det mig at finde data for en tilsvarende konkurrence udført i 2005 i regi af Økonomisk Institut ved Københavns Universitet. Opgaven var der at ramme 2/3 af gennemsnittet af de indkomne svar, og præmien var 5000 kroner. Der indkom 996 svar og gennemsnittet blev 32,407, således at man ville vinde ved at svare 2,605, jf. [] samt figur (øverst). Jeg besluttede mig for at svare i Detektors konkurrence ud fra forudsætningen om at deltagerne der, ville opføre sig på samme måde som deltagerne i Politikens. Men jeg var selvfølgelig nødt til at korrigere for at mens man i den gamle undersøgelse skulle ramme to tredjedele af gennemsnittet, så var min opgave at ramme halvdelen. For begge konkurrencer, tænkte jeg, gælder at jo længere man tænker over sagen (eller tillægger sine konkurrenter at tænke over sagen), jo lavere et svar giver man. I Detektors konkurrence kunne man ræsonnere som følger: Enhver kan se at svaret ikke kan blive mere end 2 00 = 50, så derfor er det dumt at svare med et tal større end 50. Men hvis enhver kan se det, og følgelig svarer med et tal mindre end 50, så kan svaret ikke blive mere end ( 2 )2 00 = 25 Famøs december 20

2 Søren Eilers 23 og så er det jo dumt at svare mere end 25. Men hvis alle andre tænker sådan og derfor svarer med et tal mindre end 25, så kan svaret ikke blive mere end ( 2 )3 00 = 2 2 og så videre, i en proces man ikke meningsfuldt kan tage til grænsen. I konkurrencen fra 2005 bliver ræsonnementet det samme, men med potenser af 2 3 i stedet. For at vinde konkurrencen gælder i begge tilfælde at man skal gennemføre ræsonnementet én gang mere end gennemsnittet af deltagere. Jeg løste derfor ligningen ( 2 3 ) x 00 = 2, 605 ved at tage logaritmer på begge sider, og fik at x = log(0, 2605) log(2/3) 3, 779 Det betyder at i den gamle konkurrence gennemførtes ræsonnementet i snit 2,779 gange, og man ville vinde ved at gennemføre det 3,779 gange, og derfor beregnede jeg ( 2 ) 3, () som er cirka 7,2846. Jeg begik herefter en uvigtig men unødvendig afrundingsfejl og svarede 7,289, og jeg var endda så fræk at jeg gav motivationen fordi det er 00*(0,5)^(log(0,2605)/log(0,6666)) 2. årgang, nr. 2

3 24 Gæt et tal En sejr Og så vandt jeg sgu! De 595 der deltog svarede i snit 4,567 og derfor kom jeg nærmest måltallet 7,2836. Sølvmedaljerne gik til to andre der havde svaret 7,6, så marginalen var ret bred, men det ærgrer mig selvfølgelig lidt at hvis jeg ellers havde evnet at regne rigtigt med tre decimalers nøjagtighed så havde svaret () kun været lige godt en promille forkert. Thomas Buch-Andersen, der er vært for og idemand bag Detektor, ringede mig op og interviewede mig, og i programmet fik jeg spillet en fanfare til min ære, og fik en mulighed for fuldkommen skamløst at reklamere for at matematik er et fantastisk kraftfuldt værktøj. Men jeg fik ikke lov at smage sejrens sødme ret længe. Den første men absolut ikke den sidste der gav lyd var matematikstuderende Sune Jakobsen, der problematiserede den måde jeg havde arbejdet med gennemsnit på. Jeg har to ting at sige til det. Det første er, at det svarer til at fortælle en person der lige har vundet en million i Lotto at han er et fjols når han deltager i et spil med kun 60% tilbagebetaling. Det andet er at det har man jo ret i. Forudsætningen for mit svar var jo at de to konkurrencer var ækvivalente og at man kunne transformere sig frem og tilbage mellem dem med en given funktion φ DP : [0; 00] [0; 00]. Den letteste måde at bestemme φ DP på er nok gennem brug af logaritmer med forskellige grundtal. Sætter vi ( ) x f P (x) = log 3/2 00 ( ) x f D (x) = log 2 00 får vi jo netop at de svar i de to konkurrencer der svarer til samme antal iterationer af argumentet herover sendes til samme værdi i Famøs december 20

4 Søren Eilers 25 ] ; 0], så vi finder at hvor ( ) x α φ DP (x) = fd f P (x) = α = log 2, 7095 log 3 log 2 transformerer svar mellem de to konkurrencer på en måde der bevarer det jeg forestillede mig var det essentielle (udtrykket stemmer også i 0). Mit svar var således φ DP (2, 605). Men hvis vi oplister svarene x,..., x N med N = 996 fra Politikens konkurrence så siger Jensens ulighed, fordi funktionen φ DP er konkav, at N ( N φ DP (x i ) φ DP N ) N x i hvor der yderst sjældent gælder lighedstegn, og hvis vi tror på at folk svarer ens (via φ DP og dens inverse φ P D ) i de to undersøgelser, så var det jo halvdelen af værdien på venstre side jeg burde have svaret. Det var jeg sådan set klar over jeg er trods alt medlem af forskergruppen i ikke-kommutativ geometri men da jeg ikke havde adgang til de individuelle værdier x i, kun deres gennemsnit, var det ikke noget jeg tænkte så meget over. Og da jeg så kom så tæt på følte jeg mig helt sikker på at jeg havde løst opgaven med en blandning af empiri og overlegent ræsonnement, og glemte alle mine matematiske forbehold som jeg uden tvivl ville have fundet frem hvis ikke jeg havde vundet. Nu blev jeg i tvivl igen, og da Sune havde fremskaffet de indkomne data y,..., y M med M = 595 fra Detektors undersøgelse var en oplagt måde at undersøge sagen nærmere på at sammenligne fordelingen af x,..., x N der kunne ses på [] og 2. årgang, nr. 2

5 26 Gæt et tal φ P D (y ),..., φ P D (y N ). Resultatet var ikke ligefrem befordrende for min selvtillid. Som man ser i figur var fordelingen af de transformerede svar fra Detektor dramatisk anderledes end den for de oprindelige fra Politiken; toppene ligger forskellige steder, og der er for de transformerede værdier en stor koncentration af svar omkring φ P D () = 6, 76 der formentlig skyldes at Detektor havde formuleret konkurrencebetingelserne således at der var en del lyttere der, uvant med gængs matematisk terminologi, troede at de ikke måtte svare andet end positive heltal og derfor valgte at svare. Jo længere jeg ser på figur, jo mere forekommer det mig at de eneste de to fordelinger af svar har tilfælles er at ( ) M N y i = φ DP x i M N og at min indsigt således var videnskabsteoretisk ækvivalent med den som Percival Lowell havde da han forudsagde Plutos eksistens og position baseret på en fuldkommen forkert teori om diskrepanser i Uranus og Neptuns baner. Et efterspil Nogle af mine venner har fremført at det var usportsligt af mig at deltage i konkurrencen, og en enkelt har endda ment at jeg burde få konfiskeret præmien, som det skete for den mand der i en alder af 3 år vandt en børnetegnekonkurrence i TV2 Lorry. Det er jeg selvfølgelig uenig i; jeg må nok indrømme at jeg er god til at regne med logaritmer, men i forhold til Nash-ligevægte og spilteori er min væsentligste kvalifikation at jeg har læst [2] (jeg har også set filmen i flyet men jeg sov noget af tiden). Desuden er det ikke så let at konfiskere en fanfare. Famøs december 20

6 Søren Eilers 27!#!*"!#!)"!#!("!#!'"!#!&"!#!%"!#!$"!" +" $!" $%" $'" $)" $+" %!" %%" %'" %)" %+" &!" &%" &'" &)" &+" '!" '%" ''" ')" '+" (!" (%" ('" ()" (+" )!" )%" )'" ))" )+" *!" *%" *'" *)" *+" +!" +%" +'" +)" ++",!",%",'",)",+" $!!"!" %" '" )" -./023"4"56783"9%!!,:";"3<$,$,)"!#!*"!#!)"!#!("!#!'"!#!&"!#!%"!#!$"!" +" $$" $&" $(" $*" $+" %$" %&" %(" %*" %+" &$" &&" &(" &*" &+" '$" '&" '(" '*" '+" ($" (&" ((" (*" (+" )$" )&" )(" )*" )+" *$" *&" *(" **" *+",$",&",(",*",+" +$" +&" +(" +*" ++" $!$" $" &" (" *" -./.0/2"3%!$$4"5"67(+(" Figur Øverst: Svar fra Politikens konkurence. Nederst: Svar fra Detektors konkurrence transformeret med φ P D 2. årgang, nr. 2

7 28 Gæt et tal Men jeg burde måske have vidst at der lige i min nærhed var en klart overkvalificeret person, nemlig Frederik Øvlisen fra Økonomisk Institut, der underviser på ØkIntro og MikØk2. Det var Frederik der i sin tid forestod konkurrencen i Politiken og hans ph.d.-afhandling [3] og artiklen [4] er i høj grad baseret på observationer fra dette et af verdens største adfærdsøkonomiske eksperiment, hvor han fx kunne påvise at deltagere med længerevarende uddannelser svarede anderledes end dem uden. Forleden fik jeg, sammen med de studerende der er så heldige at følge MikØk2 i indeværende blok, en oversigt over denne konkurrences fascinerende historie og om Frederiks forskning i området. Jeg fik lokket ham til at beregne N N φ DP (x i ) = 8, 3488 der altså siger at jeg burde have svaret 9,74, og ladet sejren gå til de to deltagere på 7,6. Jeg trøster mig lidt med at hele øvelsen med konkurrencen var at vise at selv om der er et teoretisk korrekt svar, nemlig ligevægten 0, så kan man ikke vinde ved at være 00% rationel. Men at det skulle være nødvendigt at blæse Jensens ulighed og alt hvad jeg ellers plejer at prædike en hatfuld for at hive sejren hjem er alligevel noget af en kamel at sluge. Så måske vi bare skal blive enige om at jeg var lidt heldig. Det kan jo ske, også for en matematiker. En tak Jeg er taknemmelig for hjælp og bidrag fra Sune Jakobsen, Lotte Folke Kaarsholm, Danny Lund, Mogens Steffensen, Frederik Øvlisen og Detektor på P. Famøs december 20

8 Søren Eilers 29 Litteratur [] Fordeling af gæt i Gæt Et Tal s første runde i september 2005, [2] Sylvia Nasar: A beautiful mind. The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash. Simon & Schuster, 998. [3] Frederik Roose Øvlisen: Essays in Bounded Rationality and Strategic Interaction. Ph.d.-afhandling, Københavns Universitets Økonomiske Institut, 2005, ph.d_serie_2007-/ph.d._37.pdf/ [4] Frederik Roose Øvlisen og Jean-Robert Tyran: Making an educated guess. Working paper, årgang, nr. 2

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg

Læs mere

1 Stress af! - Få energien tilbage Malte Lange, Mind-Set.dk. Alle rettigheder forbeholdes

1 Stress af! - Få energien tilbage Malte Lange, Mind-Set.dk. Alle rettigheder forbeholdes 1 Stress af! - Få energien tilbage Dette er en light version Indholdet og indholdsfortegnelsen er STÆRKT begrænset Køb den fulde version her: http://stress.mind-set.dk 2 Stress af! - Få energien tilbage

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

24-03-2014, 16:05:40 Louise: Ungdomsuddannelse 24-03-2014, 16:05:41 Vejleder : Velkommen til evejledning. Alle vejledere er optaget.

24-03-2014, 16:05:40 Louise: Ungdomsuddannelse 24-03-2014, 16:05:41 Vejleder : Velkommen til evejledning. Alle vejledere er optaget. 24-03-2014, 16:05:40 Louise: Ungdomsuddannelse 24-03-2014, 16:05:41 Vejleder : Velkommen til evejledning. Alle vejledere er optaget. 24-03-2014, 16:05:56 Vejleder : Alle vejledere er fortsat optaget. Du

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Evaluering af SSP dagen elev 1

Evaluering af SSP dagen elev 1 Evaluering af SSP dagen elev 1 1. Hvorfor hedder SSP dagen Det er sejt at sige nej Det gør det fordi at det er godt at sige nej til noget dumt fx: at ryge, at stjæle og andre dumme ting. 2. Hvad lærte

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011 : Transskription af interview d. 14. december 2011 Interviewer (I) 5 Respondent (R) Bemærk: de tre elever benævnes i interviewet som respondent 1 (R1), respondent 2 (R2) og respondent 3 (R3). I 1: jeg

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Viby IFs U13-drenge til internationalt stævne i Tyskland

Viby IFs U13-drenge til internationalt stævne i Tyskland Viby IFs U13-drenge til internationalt stævne i Tyskland Øverst fra venstre: Jacob, Lucas, Christian, Mads, Christian HD og Jonas (træner) Nederst fra venstre: Nikolai, Anton, Mikkel H., Mikkel L., Victor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015. Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Benny Jørgen

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Forslag til rosende/anerkendende sætninger

Forslag til rosende/anerkendende sætninger 1. Jeg elsker dig for den, du er, ikke kun for det, du gør 2. Jeg elsker din form for humor, ingen får mig til at grine som dig 3. Du har sådan et godt hjerte 4. Jeg elsker at være sammen med dig! 5. Du

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

5. Kometer, asteroider og meteorer

5. Kometer, asteroider og meteorer 5. Kometer, asteroider og meteorer 102 1. Faktaboks 2. Solsystemet 3. Meteorer og meteoritter 4. Asteroider 5. Kometer 6. Kratere på jorden 7. Case A: Bedout nedslaget Case B: Tunguska nedslaget Case C:

Læs mere

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - -

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - - SDU og DR Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? Atom-model: - - - + + - + + + + + - - - Hvad er et atom? Alt omkring dig er bygget op af atomer. Alligevel kan du ikke se et enkelt

Læs mere

Syv veje til kærligheden

Syv veje til kærligheden Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Undervisning om Alkoholproblemer i familien

Undervisning om Alkoholproblemer i familien Undervisning om Alkoholproblemer i familien Målgruppe: 7.-10.klasse i grundskoler Samlet omfang: 2 lektioner Desuden mulighed for, at en gruppe elever vælger emnet som fordybelsesområde. Rammer: Emnet

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game The Board Game 1 Målgruppe Før vi kom på vores spil, havde vi lidt en ide om hvad det ville komme til at blive. Vi så på spillet Cards against humanity og vores spil ville blive lidt som det, da der vil

Læs mere

Få din egen hjemmeside

Få din egen hjemmeside I dette afsnit lærer du at bygge din egen hjemmeside tilføje tekst og billeder lave dit eget design lægge en baggrund på hjemmesiden I næste nummer får du hjælp til at bygge en større hjemmeside til en

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

Støt gigtsagen - spil med i Efterårslotteriet og vind

Støt gigtsagen - spil med i Efterårslotteriet og vind SPIL MED OG VIND Støt gigtsagen - spil med i Efterårslotteriet og vind Store vinderchancer Se her, hvor mange lodder du får for pengene... 75 kr. Du får 13 lodder 125 kr. Du får 29 lodder HOVEDTRÆKNINGEN

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Vid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst.

Vid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst. Kald 4: Hvad er dit behov lige nu. Nu er det tid til at ligge ønskerne lidt væk. Vid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst. Men i dag skal vi tale om dit behov.

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Fjernundervisningens bidrag til læring

Fjernundervisningens bidrag til læring Fjernundervisningens bidrag til læring FEM TING VI KAN L ÆRE FRA UNDERSØGELSER AF FJERNUNDERVISNING I DANMARK v/søren Jørgensen, pæd.råd. evidencenter Introduktion Formålet er at vise, hvad erfaringerne

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Spilleregler: Find vej til bedre trivsel. Introduktion til redskabet:

Spilleregler: Find vej til bedre trivsel. Introduktion til redskabet: Introduktion til redskabet: er et redskab til at undersøge trivslen i en virksomhed. Det kan bruges i mindre virksomheder med under 20 ansatte og man behøver ikke hjælp udefra. Det kræver dog, en mødeleder

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Ret smart - men det er jo svært at planlægge hvis du har et firma, hvor kunden henvender sig uden varsel.

Ret smart - men det er jo svært at planlægge hvis du har et firma, hvor kunden henvender sig uden varsel. Det jeg mener er, at du ofte kan kombinere mersalg med god service, ved at informere ud fra de informationer du har. Det vil oftest medføre at kunden enten takker og køber eller blot takker nej. Men han

Læs mere

Jeg har samlet fire blogindlæg fra KommuniCares Facebookside, der handler om forskellige former for notatteknik.

Jeg har samlet fire blogindlæg fra KommuniCares Facebookside, der handler om forskellige former for notatteknik. 1 CVR nr.: 34837678 Kort om notatteknik Jeg har samlet fire blogindlæg fra KommuniCares Facebookside, der handler om forskellige former for notatteknik. Kapitel 1 handler om generelle forhold ved notetagning.

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Mat C Trine Eliasen

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

2.B s matematiske spilledag

2.B s matematiske spilledag 2.B s matematiske spilledag Vi spiller Tarzan og vi spiller også Kalaha og vi har også spillet Up og Down og vi har også spillet Sequence som er et spil om taktik og held og vi har spillet Bohnanza og

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING TAXAQUIZZEN GRUPPE 8: SALLY//LARS//ERIK//LINE BRUUN PROGRAM: TAXAQUIZZEN

OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING TAXAQUIZZEN GRUPPE 8: SALLY//LARS//ERIK//LINE BRUUN PROGRAM: TAXAQUIZZEN OPG. 3: STRATEGI FOR BRUGERINVOLVERING PROGRAM: Taxaquizzen er en dansk tv-serie på Tv2, produceret efter det internationale koncept Cash Cab, som første gang blev vist på britisk tv i 2005. I programmet

Læs mere

MANUAL TIL TRYKMASKINEN

MANUAL TIL TRYKMASKINEN MANUAL TIL TRYKMASKINEN TRYKMASKINEN Trykmaskinen er et stykke software, som du kan bruge til at lave plakater og flyers med. Når du bruger trykmaskinen sikrer vi, at dine plakater og flyers får et look,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg HF

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Oplæg til debat om udviklingen af Skive Golfklub

Oplæg til debat om udviklingen af Skive Golfklub Oplæg til debat om udviklingen af Skive Golfklub Da den nuværende bestyrelsen for Skive Golfklub begyndte på arbejdet i 2014 var der enighed om, at en af de vigtigste opgaver var at prøve at se på klubbens

Læs mere

Velkommen til Nordisk Ministerråds og BIN-Nordens 3. konference i projektet Børn og kultur i det 21. århundrede hvad ved vi?

Velkommen til Nordisk Ministerråds og BIN-Nordens 3. konference i projektet Børn og kultur i det 21. århundrede hvad ved vi? Børn & kultur det æstetiskes betydning? 25.10.07 Velkomst Velkommen til Hotel ÖRK, Island velkommen til sagaernes ø! En mere dramatisk ramme omkring det æstetiskes betydning i liv, i kunst og i medier

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER. Pixi-rapport nr. 2 / 2014 UNGE OG MEDIER BØRNERÅDETS BØRNE- OG UNGEPANEL

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER. Pixi-rapport nr. 2 / 2014 UNGE OG MEDIER BØRNERÅDETS BØRNE- OG UNGEPANEL ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER Pixi-rapport nr. 2 / 2014 UNGE OG MEDIER BØRNERÅDETS BØRNE- OG UNGEPANEL 1 KÆRE DELTAGER I BØRNE- OG UNGEPANELET Jeg er glad for at kunne sende dig den anden pixi-rapport fra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Test af koncept. Indholdsfortegnelse FORMÅL...2 METODE...2 SPØRGESKEMAETS UDFORMNING...4 RESULTATERNE...10

Test af koncept. Indholdsfortegnelse FORMÅL...2 METODE...2 SPØRGESKEMAETS UDFORMNING...4 RESULTATERNE...10 Test af koncept Indholdsfortegnelse FORMÅL...2 METODE...2 SPØRGESKEMAETS UDFORMNING...4 RESULTATERNE...10 UDDANNELSESVALG...11 SØGNING AF INFORMATION...12 EN HJEMMESIDE FOR EN HANDELSSKOLE...12 HJEMMESIDENS

Læs mere

Skjern Badmintonklub

Skjern Badmintonklub Skjern Badmintonklub OPSTARTSFOLDER 2012/13 Velkomst! Velkommen til en ny sæson i Skjern Badmintonklub. I denne sæson har vi flere spændende ting på programmet. Blandt andet en klubtur til Denmark Open

Læs mere

TRIN TIL ØGET OMSÆTNING.

TRIN TIL ØGET OMSÆTNING. 3 TRIN TIL ØGET OMSÆTNING. Tlf. 70 268 264 info@relationwise.dk København - London - Stockholm Introduktion Loyalitets-guruen Frederick Reichheld beskriver, at loyale kunder er en fantastisk profit-generator,

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Samlet Evaluering af modul 5 Hold Feb. 2014.

Samlet Evaluering af modul 5 Hold Feb. 2014. Samlet Evaluering af modul 5 Hold Feb. 2014. Kan indgå i tværprofessionelt samarbejde med respekt for og anerkendelse af egen professions ansvar og kompetence såvel som øvrige sundhedsprofessioners og

Læs mere

5/11/2015. Programmering. Hussein Al-Saidi ROSKILDE TEKNINSK GYMNASIE VEJLEDER: CHRISTOFFER S.

5/11/2015. Programmering. Hussein Al-Saidi ROSKILDE TEKNINSK GYMNASIE VEJLEDER: CHRISTOFFER S. 5/11/2015 Hussein Al-Saidi ROSKILDE TEKNINSK GYMNASIE VEJLEDER: CHRISTOFFER S. 1 Contents... 0 Indledning... 3 Analyse... 3 Problemformulering... 3 Målgruppe... 3 Løsningsforslag... 3 Detaljeret beskrivelse

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Vejledningen er et fælles redskab i arbejdet med logbogen for elever, vejledere og undervisere.

Vejledningen er et fælles redskab i arbejdet med logbogen for elever, vejledere og undervisere. Vejledning til logbogsskrivning Vejledningen er et fælles redskab i arbejdet med logbogen for elever, vejledere og undervisere. Ordet logbog stammer fra den maritime verden, hvor en logbog bruges til at

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL Indledning Den kolde krig er betegnelsen for perioden 1948 til 1989, hvor USA og USSR i kølvandet på anden verdenskrig

Læs mere

Forandringsprocesser i demokratiske organisationer

Forandringsprocesser i demokratiske organisationer Forandringsprocesser i demokratiske organisationer 4 nøgleudfordringer Af Tor Nonnegaard-Pedersen, Implement Consulting Group 16. juni 2014 1 Bagtæppet: Demokratiet som forandringsmaskine I udgangspunktet

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Teamlederen og den enkelte

Teamlederen og den enkelte Teamlederen og den enkelte Tjenestesamling 4. og 5. september 2009 Et netværk af menigheder og et fællesskab af tjenester Gerne tilskrive Lene en stor andel af det som kommer til at foregå den næste time.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Tilmelding til Spillet. Hent spillet

Tilmelding til Spillet. Hent spillet Tilmelding til Spillet For at kunne tilmelde sig Runerod, skal skolen være tilmeldt og have logget ind på www.matematikkensunivers.dk, idet spillet kun kan hentes fra Matematikkens Univers. Det er kun

Læs mere

Mellem lighed og ledelse

Mellem lighed og ledelse Teamsamarbejdet bliver nemt til en masse møder, hvor der snakkes og snakkes og træffes en masse ikke-beslutninger. Men sådan behøver det ikke være, siger Thomas R. S. Albrechtsen, der har undersøgt ts

Læs mere

Årsmøde Landsforeningen af statsaut. fodterapeuter

Årsmøde Landsforeningen af statsaut. fodterapeuter Årsmøde Landsforeningen af statsaut. fodterapeuter Mig Noget om Jer Profilering Jan Borregaard Mail: jan@vipindi.dk Mobil: 21703625 Uddannet sociolog (cand. pæd. soc.) og HD i organisation og ledelse.

Læs mere

Coach dig selv til topresultater

Coach dig selv til topresultater Trin 3 Coach dig selv til topresultater Hvilken dag vælger du? Ville det ikke være skønt hvis du hver morgen sprang ud af sengen og tænkte: Yes, i dag bliver den fedeste dag. Nu sidder du måske og tænker,

Læs mere

PAform 14201/ Copyright ProKomm, 1997, All rights reserved

PAform 14201/ Copyright ProKomm, 1997, All rights reserved Adfærd side 1 Point 1..tror ikke, at du har forstand på det du laver..vil gerne løse mine opgaver i fællesskab med andre..skal nok hjælpe til - selv om jeg næsten ikke har tid..synes der gerne må ske noget

Læs mere

Studie. Døden & opstandelsen

Studie. Døden & opstandelsen Studie 13 Døden & opstandelsen 73 Åbningshistorie Et gammelt mundheld om faldskærmsudspring siger, at det er ikke faldet, der slår dig ihjel, det er jorden. Døden er noget, de færreste mennesker glæder

Læs mere