MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004

2 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære differetialligiger, og i svigigsteorie. Avacerede lommeregere som Ti89 og matematkprogrammer som Maple ka let foretage beregiger med komplekse tal, fide rødder i polyomier osv. Der vil derfor blive givet eksempler på hvorledes ma ka foretage beregigere med etop disse to regemidler, me det må dog betoes, at hvis ma ikke er i stad til at maipulere med simpe udtryk, bliver det æste umuligt at læse e tekisk tekst eller forstå et foredrag, hvori der idgår oge matematik. Det er derfor vigtigt. at ma mauelt foretager beregigere af ekle problemer samtidig med, at ma er i stad til at kue få e avaceret lommereger til at foretager mere komplicerede beregiger, og aturligvis også ka fortolke disse. Det forudsættes derfor, at ma har rådighed over e matematiklommereger som eksempelvis Ti 89. Som eksempel på hvorledes ma ka avede et egetligt matematikprogram, agives også ogle af ordrere i programmet Maple Adre oter i samme serie er Matematiske grudbegreber Giver e kort geemgag af defiitioer og regeregler for de mest almidelige reelle fuktioer af. variabel, disses differetiatio og itegratio, Vektorer Idhold: ) Vektorer i pla og rum, ) Rumgeometri (relatioer mellem pukt, liie og pla) ) Kurver i pla givet ved e parameterfremstillig Matricer og lieære ligiger Idhold: ) Regeregler for matricer, ) Lieære ligigssystemer, heruder løsig af overbestemt ligigssystem Differetialligiger Idhold: ). orde (seperable, lieære, umerisk løsig), ). og højere orde med kostate koefficieter, ) Laplacetrasformetio til løsig af differetialligigssystemer og differetialligiger med forsikelse Fourieraalyse Idhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks form, ) Fouriertrasformatio 4) Diskret Fouriertrasformatio Alle de ævte otater ka i pdf-format fides på adresse december 004 Moges Oddershede Larse ii

3 Idhold INDHOLD Talmægder... Defiitio af komplekse tal.... Additio af komplekse tal.... Multiplikatio og divisio... Rektagulær form Polær form Ekspoetialfuktioe Polyomier De biome ligig z = a Adegradsligige Polyomier af højere grad ed Dekompoerig af polyomiers brøker... 4 Opgaver... 6 Stikord... 7 iii

4 Talmægder. Talmægder Geem si tilværelse har ma ofte måttet udvide sit talbegreb. Ma starter før skolealdere med med de aturlige tal N:,,,... Hurtigt derefter udvider ma med tallet 0. På et tidspukt møder ma problemer, hvor det er ødvedigt, at udvide talbegrebet til de hele tal Z :...., -, -, -, 0,,,.... Mmatematisk skyldes det, at ma øsker, at ligiger som x + 4 = skal have e løsig. Det bliver også ødvedigt at idføre brøker, dvs. de ratioale tal Q:...,,,,,,,... matematisk fordi ma øsker, at ligiger som 0 x = 5 skal have e løsig. De ratioale tal udgør et såkaldt tallegeme, hvor de 4 regigsarter additio, subtraktio, multiplikatio og divisio af ratioale tal ige giver ratioale tal. Det er derfor ikke mærkeligt, at ma i si dagligdag ikke føler oget behov for et mere omfattede talbegreb. Matematisk betyder det, at Q er et tallegeme, dvs opgylder følgede regler: ) a + b = b + a, a b = b a kommutative love ) (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) associative love ) 0 + a = a + 0 = a, a = a = a 0 og er eutrale elemeter 4) a + (-a) = (-a) + a =0, a a = a a = (a 0) modsat og iverst elemet eksisterer 5) ( a+ b) c= a c+ b c distributive lov De reelle tal R. Allerede oldtides grækere opdagede dog, at lægde af hypoteuse i e retviklet ligebeet trekat hvor katedere havde lægde, ikke ka udtrykkes ved ratioalt tal, eller med adre ord så ka ikke skrives som e brøk. Bevis: Lad os atage, at = p p p p, hvor p og q er hele tal og er uforkortelig. Vi har da = = p = q. q q q q Heraf følger, at p er et lige tal. Nu gælder det jo, at produktet af ulige tal ige er ulige, så p ka ikke være ulige. p må følgelig være lige, dvs. kue skrives p =, hvor er et helt tal.vi har u p = q ( ) = q = q. Heraf følger p ige at q er et lige tal. At både p og q er lige tal strider imidlertid mod at brøke er uforkortelig. ka følgelig ikke skrives q siom e brøk. For at kue løse ligiger som x = må vi derfor udvide vort talbegreb til de relle tal R. Ma ka vise, at der til ethvert pukt på e talliie svarer et reelt tal, og omvedt. De reelle tal udgår også et tallegeme, og lagt de fleste matematiske problemer, løses idefor de reelle tal Komplekse tal C: Imidlertid fadt ma allerede ca. år 550, at for at berege sædvalige reelle løsiger til trediegradsligiger ville det være praktisk at idføre ogle ye tal, svarede til, at ligige x = har e løsig. Som vi vil se, vil disse tal med fordel kue askueliggøres som pukter i e talpla. Mægde af komplekse tal C vil også udgøre et tallegeme. I dag betyder de komplekse tal e begrebsmæssig og arbejdsmæssig foreklig af mage problemstilliger og løsigsmetoder, især år der idgår svigiger.

5 Komplekse tal Defiitio af komplekse tal På samme måde som vi kytter de reelle tal til e talliie de reelle tals akse, kyttes de komplekse tal til puktere i e pla. De kaldes de "komplekse talpla". Rektagulære koordiater. I de komplekse talpla idlægges et retviklet koordiatsystem, hvor førsteakse er de reelle tals akse, og adeakse kaldes de imagiære tals akse. Lad et pukt P have koordiatere ( a, a). Ma siger da, at det der til puktet svarer et komplekst tal a, som har realdele og imagiærdele a. Ma skriver kort Re(a) = a og Im(a)= a (se figur.). a Fig... Rektagulære koordiater Polære koordiater. Et pukt P's placerig i et koordiatsystem ka agives i såkaldte polære koordiater (r,v) (se figur.), hvor r = lægde OP af stedvektore til P og v = vikle fra første- akse til stedvektore OP.Vikle måles i plaes positive omløbsretig (mod uret) og er aturligvis ku bestemt på ær et multiplum af. Hvis P = O er vikle ude betydig og ka gives e vilkårlig værdi. Fig. De polære koordiater r,v. Lad det til puktet P svarede komplekse tal være a. De polære koordiater til a beteges a og arg(a) (se figur.4), hvor a kaldes modulus af a eller de umeriske værdi af a, mes arg(a) kaldes argumetet af a. De værdi for arg(a), som tilhører itervallet ; kaldes hovedværdie af arg(a). ] [ E kort skrivemåde er a = () r v, eksempelvis = (). Som det vil blive vist i et seere Fig... Et komplekst tals polære koordiater afsit, er e ade skrivemåde mere hesigtsmæssig. Det komplekse tal med realdel 0 og imagiærdel kaldes de "imagiære ehed" og beteges med bogstavet i (eller med bogstavet j ). Vi har altså i = () (se figur.)

6 Defiitio af komplekse tal Ma ka aturligvis ikke tale om tal, ude at defiere additio og multiplikatio, og de omvedte regigsarter subtraktio og diviso, samt idse at de sædvalige regeregler gælder. Additio og subtraktio Defiitio af additio. To komplekse tal a og b adderes ved at addere deres stedvektorer (Re(a), Im(a)) og (Re(b), Im(b)), dvs. summe a+b har realdele Re(a)+Re(b) og imagiærdele Im(a)+Im(b), (se figur.4). Fig.4. Additio a + b Fig..5. Subtraktio a - b Subtraktio af to komplekse tal a b udføres som vektorsubtraktio (figur.5), dvs. a b får realdel Re(a) - Re(b) og imagiærdel Im(a) - Im(b). Subtraktioe a - b plejer ma at defiere ved additioe a+(- b), hvor det "modsatte tal" - b er givet ved, at der skal gælde b+(- b) = 0, dvs. - b må have realdel - Re(b) og imagiærdel - Im(b) og altså stedvektor modsat b's. Additioe og subtraktio af to reelle tal efter dee regel giver åbebart samme resultat som sædvalig, f.eks. + = 5, +(- ) = - og (- )+(- ) = - 5. Tallet 0 er eutralt elemet ved additio, da a + 0 = 0 + a = a.. Multiplikatio og divisio Defiitio af multiplikatio. To komplekse tal a og b multipliceres ved at multiplicere deres modulus'er og addere deres argumeter, dvs. stedvektore til produktet ab fås, ved at stedvektore til a drejes e vikel på arg(b) og derpå multipliceres med b (se figur.6). a b Fig.6. Multiplikatio ab

7 Komplekse tal Divisio a udføres grafisk ved at stedvektore til a drejes - arg(b) og multipliceres med b ( b 0) b a Divisioe plejer ma at defiere ved multiplikatioe a b hvor det "reciprokke tal" b er givet ved, at der b skal gælde b b = dvs. b må have modulus b og argumet - arg(b). Ligesom de ratioale tal Q og de reelle tal R udgør de komplekse tal C et tallegeme Bevis: Vi skal vise, at der gælder følgede regler: ) a + b = b + a, a b = b a kommutative love ) (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) associative love ) 0 + a = a + 0 = a, a = a = a 0 og er eutrale elemeter 4) a + (-a) = (-a) + a =0, a a = a a = (a 0) modsat og iverst elemet eksisterer 5) ( a+ b) c= a c+ b c distributive lov Af afsittee om additio og multiplikatio følger umiddelbart, at puktere -4 er opfyldt. De distributive lov bevises lettest grafisk. ( a+ b) c= ac+ bc Multipliceres a, b og a + b med c, betyder det grafisk, at stedvektorere til a, b og a + b først drejes vikle arg(c) og derefter multipliceres deres lægder med c Da et parallelogram ved e såda drejig efterfulgt af e multiplikatio ige afbildes i et parallelogram, er love bevist. Multiplikatio af to reelle tal efter dee regel giver åbebart samme resultat som sædvalig, f.eks. fås 4 = idet 4 = og arg()+arg() = 0+0 = 0 = arg (6). Aalogt fås ( ) ( ) 4 =, idet 4 = og arg(- ) + arg(- 4) = + = = arg(). Det ses, at ai fås ved at tallet a drejes 90 0, dvs. ai er bestemt ved tværvektore af stedvektore til a. Specielt gælder, at ii = i = da i i = = og arg(i ) = + = Ved regig med komplekse tal vil vi meget ofte skulle beytte at i =. 4

8 . Rektagulær form Rektagulær form Lad et vilkårligt komplekst tal have realdele og imagiærdele. a a Sætig.. (Tal på rektagulær form) Lad et vilkårligt komplekst tal have realdele a og imagiærdele a. Der gælder da a = a + a i. Bevis. Tallet a i fides, ved at stedvektore til det reelle tal a drejes (så vi får tværvektore). Additio med stedvektore for a giver derfor stedvektore til tallet med x - værdie a og y - værdie a dvs. a. (se figur.) Fig.. Rektagulær form De rektagulære forms store fordel ligger i, at regeoperatioere + / ka udføres efter de samme vaer (algebraiske love) som for reelle tal, med de tilføjelse, at tallet i har egeskabe i =. Eksempel.. Regig med komplekse tal. Skriv følgede udtryk på rektagulær form. 5+ i ) ( + i) ( 4+ i) + 6 i ) + 4i Løsig: ) ( + i) ( 4 i) + 6 i = 8+ i 4i 6i + 6 i = 0+ 6i (idet i =.) ) 5 + i + 4i ( 5+ i)( 4i) = = i i i ( + 4i)( 4i) ( ) ( 4i) 5 56i = = i 5 5 Bemærk, at ma ved divisio forlæger med 4i i brøkes tæller og æver, således at ævere bliver et reelt tal. a ibkaldes det kojugerede af a+ ib Ti 89: Idtast udtrykket som det står (beyt d i, tast ligger over Catalog ) Maple: (5+*I)*(-+4*I) 5

9 Komplekse tal 4. Polær form Ved tallet e iθ forstås et komplekst tal med modulus og argumet θ (se figur 4.). e iθ ae iθ θ Fig 4.. Ekspoetialfuktioe θ Fig 4.. Tal på polær form a Sætig 4.. (komplekst tal på polær form). Det komplekse tal a med modulus a og argumetet θ ka skrives a ae i θ =. Bevis. Ved multiplikatio af a med e iα bliver stedvektore til det reelle tal a multipliceret med og drejet vikle α, så vi etop får a (figur 4.). Omregig mellem polære og rektagulære koordiater. Af defiitioe på cos og si fås følgede formler til omregige fra polær form rektagulær form a = a + ia (se figur 4.): a = a cos θ, a = a siθ og omvedt a = a + a a ta θ = ( a 0). a a = ae i θ til a = a + ia = ae i θ θ a = a siθ a = a cosθ Fig 4.. Omregig mellem polær og rektagulær form Bemærk: Ved bestemmelse af θ tilrådes det øje at bemærke, i hvilke kvadrat a ligger. 6

10 Eksempel 4.. Omregig mellem rektagulær og polær form. ) Omskriv tallet a = + i til polær form. e i ) Omskriv tallet b = 4 til rektagulær form. Løsig. ) a = ( ) + = + = taθ = θ = + p 6 5 Da puktet ligger i kvadrat må θ = + = 6 6 a i ) b = e = i 4 4cos 4 si = 4 + i i + 5. Ekspoetialfuktioe = e i Ti89: ) Idtast udtrykket som det står (beyt d i, tast ligger over Catalog ) Da resultatet øskes i polære koordiater skal vælges MODE, COMPLEX FORMAT= Polar Normalt vises beregigere i radiaer. Vælges MODE, ANGLE, Degree fås resultatet i grader: 50 ) Vælg MODE, ANGLE = Radia, COMPLEX FORMAT=Rektagulær Idtast 4*e^(-i* /) Maple: ) covert(-sqrt()+i,polar); Resultat: ) covert(4*exp(-i*pi/),exp); Resultat: Ekspoetialfuktioe. Defiitio af kompleks ekspoetialfuktio.lad x og y være reelle tal. Ved e x+ iy x iy forstås e e, dvs e x+ iy er det komplekse tal, der fås ved, at stedvektore til det reelle tal e x drejes vikle y. Tallet + har åbebart de rektagulære form e cos y+ ie si y e x iy e x+ iy At de ekspoetielle skriveform er rimelig, fremgår af de følgede sætig, der siger, at de sædvalige regeregler for reelle ekspoetialfuktioer også gælder for komplekse ekspoetialfuktioer. x x 7

11 Komplekse tal Sætig 5.. Regler for ekspoetialfuktioe. Lad zz,, z, avære komplekse tal, lad t være et reelt tal og lad være et helt tal. Der gælder da følgede regler z z z + z z e z z z = z ( e ) ) e e = e, ) = e ) e 4) z z e e at de ( ) 5) = at ae 5) e at dt dt a e at = ( a 0) Bevis: ) Når e z = [stedvektore til e x drejet y ] multipliceres med e z = [stedvektore til e x drejet y ] fås e z = [stedvektore til e x + x x drejet y + y ] = + x + i( y e + y ) z = e + z ) Fremkommer af ) ved at erstatte z med z z og dividere igeem med e z ) Fremkommer af ) for z = 0 og z = z. 4) Fremkommer ved getage avedelse af ) for z = z = z og suppleret med ) for < 0 5) Lad a = a+ ia Vi får da at de d dt dt e at iat d at at = + = e cos( a t + ie a t dt ) si( ) at = ae at at at cos( at ) ae si( at ) + iae si( at ) + iae cos( at ) = at = + + a e at at at at iat a t ie a t ia e a t ie a t a ia e at cos( = ae ) si( ) cos( ) si( ) ( ) 6) Ved differetiatio af fås etop a eat e at = e z iu iu iu iu Eulers formler. cosu e + e si e e = og u = i iu iu Bevis: Af e = cosu+ i si u og e = cosu i siu fås ved at lægge ligigere samme og trække dem fra hiade. iu iu iu iu e + e e e iu iu iu iu e + e = cosu og e e = i si u og dermed cosu = og siu = i Eulers formler beyttes til eksempelvis i itegraler at erstatte de trigoometriske fuktioer med ekspoetialfuktioer, som er emmere at itegrere. 8

12 5. Ekspoetialfuktioe Eksempel 5.. Avedelse på vekselstrøm. Lad e elektromotorisk kraft U = U0cos( ωt) være serieforbudet med e modstad på R, e spole med e selviduktio på L og e kodesator med kapacitete C. Der gælder da følgede skema: Nav Symbol Notatio Ehed Spædigsforskel Kompleks Imperdas Ohms modstad R Ohm Ri R Iduktor, spole L H (hery) L di dt iωl Kodesator, Kapacitor C F (Farad) Q t = C C itdt () t 0 ωc Idet (spædigsforskelle over R) +( spædigsforskelle over L) + (spædigsforskelle over C ) = U = U0cos( ωt) fås fra elektricitetslære RI L di Idt + + = U0 cos( ωt) dt C ) Kompleks impedas Z. Der gælder ohms lov U = Z I, hvor Z = R+ iωl+ i ω C ) Seriekoblig. To serieforbude komplekse impedaser Z og Z ka erstattes med e ekelt Zserie = Z + Z 4) Parallelkoblig. To parallelforbude komplekse impedaser Z og Z ka erstattes med e ekelt Z parallel = dvs. = + Zparallel Z Z Z ZZ + Z 9

13 Komplekse tal 6. Polyomier. Ved et polyomium af te grad ( helt positivt tal) forstås fuktioe P () x = a x + a x a x+ a, a 0 0 Ved polyomiets rødder forstås løsigere til ligige P ( x) = 0. I afsit.4 i Matematiske grudbegreber forudsatte vi at såvel koefficieter som rødder var reelle tal, og da idså vi, at et sådat polyomium af te grad højst har rødder. Tillader vi u både koefficieter og rødder at være komplekse tal gælder følgede sætig: Sætig 6. Algebraes fudametalsætig, Polyomiet P z az () = + a z az + a0 hvor er et helt positivt tal a 0 har etop rødder α, α,..., α (hvoraf ogel ka være es). Polyomiet derfor på ku é måde ka opløses i førstegradsfaktorer P z az ( ) = + a z az + a0 = a( z α) ( z α),,, ( z α) Et geerelt bevis for sætige ka fides i matematik for Igeiører Bid supplemet 5A. Vi vil i det følgede betragte ogle af de polyomier, som er af særlig iteresse, og her idse, at sætige er korrekt. 6. De biome ligig z = a Lad være er et helt positivt tal, og a er et vilkårligt komplekst tal forskelligt fra 0. For at fide e rod z til de biome ligig z = a omskrives såvel a som z på polær form, dvs. a ae i θ = og z ze iu iu iθ =. Vi har da z = a z e = ae At de to komplekse tal er es betyder, at θ z = a u = θ + p z = a u= + p, p er et helt tal. Geometrisk ligger røddere altså på e cirkel med radius a og vikle mellem stedvektorere til to på hiade følgede rødder er. Røddere er derfor vikelspidser i e regulær - kat. Eksempelvis vil ligige z 4 = aligge som vikelspidser i et kvadrat (se figur i eksempel 6.) Vi har følgelig, at de biome ligig z = ae ( a 0) har etop forskellige rødder. z = a e θ i + p, iθ hvor p = 0,,,,...., - Eksempel 6. Biom ligig. 4 Løs ligige z = + i. Røddere øskes agivet på såvel polær som rektagulær form. Edvidere øskes de afsat i e kompleks talpla. Avedelse. Fire es systemer, hver med kompleks forstærkig z, serieforbides, og ma måler, at de samlede komplekse forstærkig er + i Hvilke værdier ka z have? 0

14 Løsig: a = + i a = + =, taθ = θ = (da a ligger i. kvadrat) 4 4 i + p i p z = + i z = e z= e i i i i 5, p = 0,,, z= e z= e z= e z= e Ved omskrivig fra polær form til rektagulær form fås: 4 z = cos + isi = ( + i) Da viklere ligger i et kvadrat fås de øvrige rødder lettest ved at tage tværvektore z = ( + i) z = z = ( + i ) z = ( + i) z = z = ( i ) Ti89:MATH, ALGEBRA, csolve(z^4=-+i (),z) 6. Polyomier Hvis ma har sat MODE til polær fås resultatere ovefor (dog med visse egative vikler) Tilsvarede hvis ma har sat MODE til Rektagular Maple: > solve(z^4=-+sqt()*i); Resultat: På figure er afsat de fire rødder )vikelspidser i kvadrat) 6 4

15 Komplekse tal 6. Adegradsligige Az + Bz + C = 0, A 0 Sætig 6.. Adegradsligig Adegradsligige Az Bz C 0, med komplekse koefficieter, B og C og + + = A 0 B D diskrimiate D= B 4 AC har røddere z = ±, hvor α = D bestemmes som e rod A i de biome ligig α = D. Bevis: Vi foretager omskrivige B Az Bz C z A z C B B C B B + + = = 0 z + 0 z A A A + A = + = A 4 A B B 4 AC B D z + = z + = A 4 A A 4 A Idet α er e rod i de biome ligig α = D fås B B B B D z + = z + = α z z A A A α α + =± = ± 4 A A A A C A Problemet er derfor u reduceret til at løse de biome ligig α = D. Tilfælde I: A, B og C reelle tal: Diskrimiate er da et reelt tal, så for D 0 er løsige de kedte fra reelle tal. Er D < 0 beyttes blot, at i =, idet f.eks ± 9 = ± i 9 = ± i (jævfør eksempel 6.) Eksempel 6.. Adegradsligig med reelle koefficieter Løs ligige 4z 8z + = 0 Løsig: i 8 i 4z 8z+ = 0 z = ± z = ± z = ± z = ± z = ± i Tilfælde II: A, B. C er komplekse tal. I dette tilfælde ka formle omskrives til D + Re( D) D Re( D) + i B z = ±α α =, hvor A D + Re( D) D Re( D) i for for Im( D) 0 Im( D) < 0

16 6. Polyomier Eksempel 6.. Adegradsligig med komplekse koefficieter. Løs ligige z + iz 4+ 4i = 0 Løsig: i z + iz 4+ 4i = 0 z = ±α Diskrimiate er D= ( i) 4 ( 4+ 4i) = i = 6i Da Im(D)=-6 < 0 og D = + 6 = 400 = 0 fås α = i Vi har derfor z iz i z i 4 i = 0 = ± ( ) z = z = i = 4 i 6. Polyomier af højere grad ed I forbidelse med eksempelvis løsig af visse typer differetialligiger, ka ma få brug for at studere polyomer af højere grad ed. Lagt de fleste avedelser vil dog være polyomier med reelle koefficieter, så vi vil i det følgede begræse os til sådae. For adegradspolyomier med reelle koefficieter fadt vi, at hvis a = a + ia var e rod, så var også a = a iae rod. Ma kalder a = a ia for det kojugerede tal til a = a + ia (se figure) Geerelt gælder det for alle polyomier med reelle koeficieter, at er a e rod vil også a være e rod. Sætig 6., Rødder i polyomier med reelle koefficieter Lad Pz () = az + a z az+ a, hvor er et positivt helt tal, 0 koefficietere a, a,,..., a, a0 er reelle tal og a 0. Hvis α er e kompleks (ikke-reel) rod i så vil det kojugerede tal α også være e rod. Bevis: Af defiitioe på kojugeret følger a + b = a + b (da a + b = ( a ia) + ( b ib = a + b i( a + b) = a+ b ) a b = a b (da a b = ( a ia) ( b ib = a b ab i( a b + a b) = a b) Hvis α = a+ ia er e "kompleks rod" er P a ( α) = 0 α + a α aα + a0 = 0 Ved kojugerig fås uder brug af de oveævte regler for kojugerig P( α ) = 0 aα + a α aα + a0 = 0 Da koefficietere er reelle tal og dermed a = a osv.fås aα + a α aα + a0 = 0. Heraf ses, at α er e rod i Pz ()

17 Komplekse tal Sætig 6.4. Opløsig af polyomium i faktorer. Lad P() z = az + a z az+ a0, hvor er et positivt helt tal, koefficietere a, a,,..., a, a0 er reelle tal og a 0. P () z ka opløses i et produkt af førstegradsfaktorer med reelle koefficieter og adegradsfaktorer med reelle koefficieter. Bevis: Ifølge sætig 6. (algebraes fudametalsætig har et te grads polyomium P( z) rødder. Det betyder, at P( z) ka opløses i et produkt af førstegradsfaktorer P () z = a z + a z a z+ a = a ( z α )( z α )...( z α ) 0 Nogle af disse er førstegradsfaktorer med reelle koefficieter. Er e rod α ikke reel ved vi fra sætig 6. at så er de kojugerede α også rod. ( z α)( z α) = z ( α + α) z+ α α. Da α + α = ( α + iα ) + ( α iα ) = α er et reelt tal og a a = ( a + ia ) ( a ia ) = a + a også er et reelt tal, ses, at adegradspolyomiet Hermed er sætige bevist. z ( α + α) z+ α α er et polyomium med reelle koefficieter. Er specielt α p gage rod, vil P () z ideholder adegradsfaktore p gage. Eksempel 6.4. Opløsig af polyomium i faktorer 5 4 Opløs polyomiet Pz ()= z 0z + 0z 50z + 48z 0 iet produkt af førstegradsfaktorer med reellle koefficieter og adegradsfaktorer med reellle koefficieter. Løsig: Ti89: MATH, ALGEBRA, FACTOR(z^5-0z^4+0z^-50z^+48z-0,x) Resultat: ( z )( z z+ )( z z+ 5) Maple: factor(*z^5-0*z^4+0*z^-50*z^+48*z-0); Resultat: 6.4 Dekompoerig af polyomiums brøker Px ( ) Vi betragter i dette afsit brøker hvor tæller og æver er polyomier med reelle Qx ( ) x + 7 koefficieter.et eksempel herpå er brøke x x x + Ved ogle avedelser, bl.a, år ma skal løse visse typer differetialligiger, får ma brug for at opløse sådae brøker i e sum af simple stambrøker x + 7 Skal ma eksempelvis itegrere f ( x) = vil dette være ødvedigt, da ma så ka x x x + itegrere hver af disse simplere stambrøker hver for sig. Ver dekompoerige faktoriserer ma ævere som beskrevet i sætig 6.4, og derefter spaltes op i e sum af brøker med disse faktorer som ævere.stambrøkere er brøker, hvor tælleres grad er mider ed æveres, og hvor ævere ete er ( x α ), eller ( ax + bx + c), hvor α, abc,, er reelle tal og er et helt positivt tal. E såda dekompoerig af e brøk og ka opfattes som det modsatte af at sætte på fælles brøkstreg. 4

18 6. Polyomier Beregigere ka hurtig blive omfattede, så ma vil sædvaligvis vælge at lade eksempelvis Ti89 eller Maple foretage beregigere: Eksempel 6.5. Dekompoerig. 8 4 x + 7 x 4x + x + 9 Dekompoer ) f ( x) = ) gx ( ) = x x x + x x + x x x + x x + Løsig: ) Ti 89: MATH ALGEBRA expad((x^+7)/(x^-x^-x+),x) 7 Resultat: f ( x) = + + x + x 4( x ) Maple: covert((x^+7)/(x^-*x^-x+), parfrac, x); Resultat: ) Ti 89: MATH ALGEBRA expad(udtryk),x) x + 7x Resultat: gx ( ) = x ( x + ) ( x + ) ( x + ) 8( x+ ) 8( x ) ( x ) Maple: Giver samme resultat. 5

19 Komplekse tal Opgaver.. Reducér ( i) ( 6+ 5i)( + i) + ( 4+ 7i)( i).. Skriv følgede brøker på rektagulær form ) + 4i 4i + 5i i 5 4, ) ) 4) i i 4i i + + i i i + i.. Bereg ( 5 i) ( 5i) + ( i) ( + i) 4.. Omskriv følgede tal til polær form ) -5 ) 4i ) + i 4) - i 5) i 4.. Omskriv følgede tal til rektagulær form ) e i ) e i ) e i 4 4) Omskriv følgede tal til rektagulær form i i i 5 e i 6 e 6 e ) ) 4e 6 ) 4) i i e i i e e 5.. ) Omskriv +i til polær form og bereg ( + i) 4. Facit skal skrives på rektagulær form ) Skriv ( i) 7 på rektagulær form. ( ) ( ) 6 i ) Skriv på rektagulær form. 6 i 6.. Løs ligigere ) z = ) z = i ) z 4 = i 4) z 6 = i 5) z 6 = Fid alle røddere i ligige z = 7 i Løs ligigere ) z z + = 0. ) z 4z + = Løs ligigere ) z ( + i) z+ ( i) = 0 ) z ( + i) z+ ( + i) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + 7z + 6i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + 4z + 6z+ 50i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + 7z + 6i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + z i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = 0 4 x x x Dekompoer fuktioe f ( x) = 5 4 x x + x 5 4 x + x + 9x 4x 6x 6.. Dekompoer fuktioe f ( x) = 4 x + x x + x x + x + 5x 6.. Dekompoer fuktioe f ( x) = x 7x + 6 e i 4 6

20 Stikord STIKORD A additio af komplekse tal algebraes fudametalsætig 0 adegrasdligig argumet B biom ligig 0 C D dekompoerig af polyomiumsbrøk 4 divisio af komplekse tal E ekspoetialfuktio 7 elektromotorisk kraft 9 F faktoriserig af polyomium 4 P polyomier 0, polær form 6 polære koordiater R ratioale tal Q reelle tal R rektagulær form 5 rektagulære koordiater rødder i polyomium 0 S subtraktio af komplekse tal T U V G H I K kojugeret tal kompleks talmægde C kodesator 9 kodesator 9 L M modulus multiplikatio af komplekse tal N aturlige tal N umerisk værdi af kompleks tal O opløsig af polyomium i faktorer 4 opgaver 6 7

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK Søre Halse Erik Laage-Peterse Jes Peter Touborg GYLDENDAL Gyldedals miilex Matematik. e-udgave, 2007 ISBN 978-87-62-5085-0 2005 Gyldedalske Boghadel,

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere