MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004

2 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære differetialligiger, og i svigigsteorie. Avacerede lommeregere som Ti89 og matematkprogrammer som Maple ka let foretage beregiger med komplekse tal, fide rødder i polyomier osv. Der vil derfor blive givet eksempler på hvorledes ma ka foretage beregigere med etop disse to regemidler, me det må dog betoes, at hvis ma ikke er i stad til at maipulere med simpe udtryk, bliver det æste umuligt at læse e tekisk tekst eller forstå et foredrag, hvori der idgår oge matematik. Det er derfor vigtigt. at ma mauelt foretager beregigere af ekle problemer samtidig med, at ma er i stad til at kue få e avaceret lommereger til at foretager mere komplicerede beregiger, og aturligvis også ka fortolke disse. Det forudsættes derfor, at ma har rådighed over e matematiklommereger som eksempelvis Ti 89. Som eksempel på hvorledes ma ka avede et egetligt matematikprogram, agives også ogle af ordrere i programmet Maple Adre oter i samme serie er Matematiske grudbegreber Giver e kort geemgag af defiitioer og regeregler for de mest almidelige reelle fuktioer af. variabel, disses differetiatio og itegratio, Vektorer Idhold: ) Vektorer i pla og rum, ) Rumgeometri (relatioer mellem pukt, liie og pla) ) Kurver i pla givet ved e parameterfremstillig Matricer og lieære ligiger Idhold: ) Regeregler for matricer, ) Lieære ligigssystemer, heruder løsig af overbestemt ligigssystem Differetialligiger Idhold: ). orde (seperable, lieære, umerisk løsig), ). og højere orde med kostate koefficieter, ) Laplacetrasformetio til løsig af differetialligigssystemer og differetialligiger med forsikelse Fourieraalyse Idhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks form, ) Fouriertrasformatio 4) Diskret Fouriertrasformatio Alle de ævte otater ka i pdf-format fides på adresse december 004 Moges Oddershede Larse ii

3 Idhold INDHOLD Talmægder... Defiitio af komplekse tal.... Additio af komplekse tal.... Multiplikatio og divisio... Rektagulær form Polær form Ekspoetialfuktioe Polyomier De biome ligig z = a Adegradsligige Polyomier af højere grad ed Dekompoerig af polyomiers brøker... 4 Opgaver... 6 Stikord... 7 iii

4 Talmægder. Talmægder Geem si tilværelse har ma ofte måttet udvide sit talbegreb. Ma starter før skolealdere med med de aturlige tal N:,,,... Hurtigt derefter udvider ma med tallet 0. På et tidspukt møder ma problemer, hvor det er ødvedigt, at udvide talbegrebet til de hele tal Z :...., -, -, -, 0,,,.... Mmatematisk skyldes det, at ma øsker, at ligiger som x + 4 = skal have e løsig. Det bliver også ødvedigt at idføre brøker, dvs. de ratioale tal Q:...,,,,,,,... matematisk fordi ma øsker, at ligiger som 0 x = 5 skal have e løsig. De ratioale tal udgør et såkaldt tallegeme, hvor de 4 regigsarter additio, subtraktio, multiplikatio og divisio af ratioale tal ige giver ratioale tal. Det er derfor ikke mærkeligt, at ma i si dagligdag ikke føler oget behov for et mere omfattede talbegreb. Matematisk betyder det, at Q er et tallegeme, dvs opgylder følgede regler: ) a + b = b + a, a b = b a kommutative love ) (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) associative love ) 0 + a = a + 0 = a, a = a = a 0 og er eutrale elemeter 4) a + (-a) = (-a) + a =0, a a = a a = (a 0) modsat og iverst elemet eksisterer 5) ( a+ b) c= a c+ b c distributive lov De reelle tal R. Allerede oldtides grækere opdagede dog, at lægde af hypoteuse i e retviklet ligebeet trekat hvor katedere havde lægde, ikke ka udtrykkes ved ratioalt tal, eller med adre ord så ka ikke skrives som e brøk. Bevis: Lad os atage, at = p p p p, hvor p og q er hele tal og er uforkortelig. Vi har da = = p = q. q q q q Heraf følger, at p er et lige tal. Nu gælder det jo, at produktet af ulige tal ige er ulige, så p ka ikke være ulige. p må følgelig være lige, dvs. kue skrives p =, hvor er et helt tal.vi har u p = q ( ) = q = q. Heraf følger p ige at q er et lige tal. At både p og q er lige tal strider imidlertid mod at brøke er uforkortelig. ka følgelig ikke skrives q siom e brøk. For at kue løse ligiger som x = må vi derfor udvide vort talbegreb til de relle tal R. Ma ka vise, at der til ethvert pukt på e talliie svarer et reelt tal, og omvedt. De reelle tal udgår også et tallegeme, og lagt de fleste matematiske problemer, løses idefor de reelle tal Komplekse tal C: Imidlertid fadt ma allerede ca. år 550, at for at berege sædvalige reelle løsiger til trediegradsligiger ville det være praktisk at idføre ogle ye tal, svarede til, at ligige x = har e løsig. Som vi vil se, vil disse tal med fordel kue askueliggøres som pukter i e talpla. Mægde af komplekse tal C vil også udgøre et tallegeme. I dag betyder de komplekse tal e begrebsmæssig og arbejdsmæssig foreklig af mage problemstilliger og løsigsmetoder, især år der idgår svigiger.

5 Komplekse tal Defiitio af komplekse tal På samme måde som vi kytter de reelle tal til e talliie de reelle tals akse, kyttes de komplekse tal til puktere i e pla. De kaldes de "komplekse talpla". Rektagulære koordiater. I de komplekse talpla idlægges et retviklet koordiatsystem, hvor førsteakse er de reelle tals akse, og adeakse kaldes de imagiære tals akse. Lad et pukt P have koordiatere ( a, a). Ma siger da, at det der til puktet svarer et komplekst tal a, som har realdele og imagiærdele a. Ma skriver kort Re(a) = a og Im(a)= a (se figur.). a Fig... Rektagulære koordiater Polære koordiater. Et pukt P's placerig i et koordiatsystem ka agives i såkaldte polære koordiater (r,v) (se figur.), hvor r = lægde OP af stedvektore til P og v = vikle fra første- akse til stedvektore OP.Vikle måles i plaes positive omløbsretig (mod uret) og er aturligvis ku bestemt på ær et multiplum af. Hvis P = O er vikle ude betydig og ka gives e vilkårlig værdi. Fig. De polære koordiater r,v. Lad det til puktet P svarede komplekse tal være a. De polære koordiater til a beteges a og arg(a) (se figur.4), hvor a kaldes modulus af a eller de umeriske værdi af a, mes arg(a) kaldes argumetet af a. De værdi for arg(a), som tilhører itervallet ; kaldes hovedværdie af arg(a). ] [ E kort skrivemåde er a = () r v, eksempelvis = (). Som det vil blive vist i et seere Fig... Et komplekst tals polære koordiater afsit, er e ade skrivemåde mere hesigtsmæssig. Det komplekse tal med realdel 0 og imagiærdel kaldes de "imagiære ehed" og beteges med bogstavet i (eller med bogstavet j ). Vi har altså i = () (se figur.)

6 Defiitio af komplekse tal Ma ka aturligvis ikke tale om tal, ude at defiere additio og multiplikatio, og de omvedte regigsarter subtraktio og diviso, samt idse at de sædvalige regeregler gælder. Additio og subtraktio Defiitio af additio. To komplekse tal a og b adderes ved at addere deres stedvektorer (Re(a), Im(a)) og (Re(b), Im(b)), dvs. summe a+b har realdele Re(a)+Re(b) og imagiærdele Im(a)+Im(b), (se figur.4). Fig.4. Additio a + b Fig..5. Subtraktio a - b Subtraktio af to komplekse tal a b udføres som vektorsubtraktio (figur.5), dvs. a b får realdel Re(a) - Re(b) og imagiærdel Im(a) - Im(b). Subtraktioe a - b plejer ma at defiere ved additioe a+(- b), hvor det "modsatte tal" - b er givet ved, at der skal gælde b+(- b) = 0, dvs. - b må have realdel - Re(b) og imagiærdel - Im(b) og altså stedvektor modsat b's. Additioe og subtraktio af to reelle tal efter dee regel giver åbebart samme resultat som sædvalig, f.eks. + = 5, +(- ) = - og (- )+(- ) = - 5. Tallet 0 er eutralt elemet ved additio, da a + 0 = 0 + a = a.. Multiplikatio og divisio Defiitio af multiplikatio. To komplekse tal a og b multipliceres ved at multiplicere deres modulus'er og addere deres argumeter, dvs. stedvektore til produktet ab fås, ved at stedvektore til a drejes e vikel på arg(b) og derpå multipliceres med b (se figur.6). a b Fig.6. Multiplikatio ab

7 Komplekse tal Divisio a udføres grafisk ved at stedvektore til a drejes - arg(b) og multipliceres med b ( b 0) b a Divisioe plejer ma at defiere ved multiplikatioe a b hvor det "reciprokke tal" b er givet ved, at der b skal gælde b b = dvs. b må have modulus b og argumet - arg(b). Ligesom de ratioale tal Q og de reelle tal R udgør de komplekse tal C et tallegeme Bevis: Vi skal vise, at der gælder følgede regler: ) a + b = b + a, a b = b a kommutative love ) (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) associative love ) 0 + a = a + 0 = a, a = a = a 0 og er eutrale elemeter 4) a + (-a) = (-a) + a =0, a a = a a = (a 0) modsat og iverst elemet eksisterer 5) ( a+ b) c= a c+ b c distributive lov Af afsittee om additio og multiplikatio følger umiddelbart, at puktere -4 er opfyldt. De distributive lov bevises lettest grafisk. ( a+ b) c= ac+ bc Multipliceres a, b og a + b med c, betyder det grafisk, at stedvektorere til a, b og a + b først drejes vikle arg(c) og derefter multipliceres deres lægder med c Da et parallelogram ved e såda drejig efterfulgt af e multiplikatio ige afbildes i et parallelogram, er love bevist. Multiplikatio af to reelle tal efter dee regel giver åbebart samme resultat som sædvalig, f.eks. fås 4 = idet 4 = og arg()+arg() = 0+0 = 0 = arg (6). Aalogt fås ( ) ( ) 4 =, idet 4 = og arg(- ) + arg(- 4) = + = = arg(). Det ses, at ai fås ved at tallet a drejes 90 0, dvs. ai er bestemt ved tværvektore af stedvektore til a. Specielt gælder, at ii = i = da i i = = og arg(i ) = + = Ved regig med komplekse tal vil vi meget ofte skulle beytte at i =. 4

8 . Rektagulær form Rektagulær form Lad et vilkårligt komplekst tal have realdele og imagiærdele. a a Sætig.. (Tal på rektagulær form) Lad et vilkårligt komplekst tal have realdele a og imagiærdele a. Der gælder da a = a + a i. Bevis. Tallet a i fides, ved at stedvektore til det reelle tal a drejes (så vi får tværvektore). Additio med stedvektore for a giver derfor stedvektore til tallet med x - værdie a og y - værdie a dvs. a. (se figur.) Fig.. Rektagulær form De rektagulære forms store fordel ligger i, at regeoperatioere + / ka udføres efter de samme vaer (algebraiske love) som for reelle tal, med de tilføjelse, at tallet i har egeskabe i =. Eksempel.. Regig med komplekse tal. Skriv følgede udtryk på rektagulær form. 5+ i ) ( + i) ( 4+ i) + 6 i ) + 4i Løsig: ) ( + i) ( 4 i) + 6 i = 8+ i 4i 6i + 6 i = 0+ 6i (idet i =.) ) 5 + i + 4i ( 5+ i)( 4i) = = i i i ( + 4i)( 4i) ( ) ( 4i) 5 56i = = i 5 5 Bemærk, at ma ved divisio forlæger med 4i i brøkes tæller og æver, således at ævere bliver et reelt tal. a ibkaldes det kojugerede af a+ ib Ti 89: Idtast udtrykket som det står (beyt d i, tast ligger over Catalog ) Maple: (5+*I)*(-+4*I) 5

9 Komplekse tal 4. Polær form Ved tallet e iθ forstås et komplekst tal med modulus og argumet θ (se figur 4.). e iθ ae iθ θ Fig 4.. Ekspoetialfuktioe θ Fig 4.. Tal på polær form a Sætig 4.. (komplekst tal på polær form). Det komplekse tal a med modulus a og argumetet θ ka skrives a ae i θ =. Bevis. Ved multiplikatio af a med e iα bliver stedvektore til det reelle tal a multipliceret med og drejet vikle α, så vi etop får a (figur 4.). Omregig mellem polære og rektagulære koordiater. Af defiitioe på cos og si fås følgede formler til omregige fra polær form rektagulær form a = a + ia (se figur 4.): a = a cos θ, a = a siθ og omvedt a = a + a a ta θ = ( a 0). a a = ae i θ til a = a + ia = ae i θ θ a = a siθ a = a cosθ Fig 4.. Omregig mellem polær og rektagulær form Bemærk: Ved bestemmelse af θ tilrådes det øje at bemærke, i hvilke kvadrat a ligger. 6

10 Eksempel 4.. Omregig mellem rektagulær og polær form. ) Omskriv tallet a = + i til polær form. e i ) Omskriv tallet b = 4 til rektagulær form. Løsig. ) a = ( ) + = + = taθ = θ = + p 6 5 Da puktet ligger i kvadrat må θ = + = 6 6 a i ) b = e = i 4 4cos 4 si = 4 + i i + 5. Ekspoetialfuktioe = e i Ti89: ) Idtast udtrykket som det står (beyt d i, tast ligger over Catalog ) Da resultatet øskes i polære koordiater skal vælges MODE, COMPLEX FORMAT= Polar Normalt vises beregigere i radiaer. Vælges MODE, ANGLE, Degree fås resultatet i grader: 50 ) Vælg MODE, ANGLE = Radia, COMPLEX FORMAT=Rektagulær Idtast 4*e^(-i* /) Maple: ) covert(-sqrt()+i,polar); Resultat: ) covert(4*exp(-i*pi/),exp); Resultat: Ekspoetialfuktioe. Defiitio af kompleks ekspoetialfuktio.lad x og y være reelle tal. Ved e x+ iy x iy forstås e e, dvs e x+ iy er det komplekse tal, der fås ved, at stedvektore til det reelle tal e x drejes vikle y. Tallet + har åbebart de rektagulære form e cos y+ ie si y e x iy e x+ iy At de ekspoetielle skriveform er rimelig, fremgår af de følgede sætig, der siger, at de sædvalige regeregler for reelle ekspoetialfuktioer også gælder for komplekse ekspoetialfuktioer. x x 7

11 Komplekse tal Sætig 5.. Regler for ekspoetialfuktioe. Lad zz,, z, avære komplekse tal, lad t være et reelt tal og lad være et helt tal. Der gælder da følgede regler z z z + z z e z z z = z ( e ) ) e e = e, ) = e ) e 4) z z e e at de ( ) 5) = at ae 5) e at dt dt a e at = ( a 0) Bevis: ) Når e z = [stedvektore til e x drejet y ] multipliceres med e z = [stedvektore til e x drejet y ] fås e z = [stedvektore til e x + x x drejet y + y ] = + x + i( y e + y ) z = e + z ) Fremkommer af ) ved at erstatte z med z z og dividere igeem med e z ) Fremkommer af ) for z = 0 og z = z. 4) Fremkommer ved getage avedelse af ) for z = z = z og suppleret med ) for < 0 5) Lad a = a+ ia Vi får da at de d dt dt e at iat d at at = + = e cos( a t + ie a t dt ) si( ) at = ae at at at cos( at ) ae si( at ) + iae si( at ) + iae cos( at ) = at = + + a e at at at at iat a t ie a t ia e a t ie a t a ia e at cos( = ae ) si( ) cos( ) si( ) ( ) 6) Ved differetiatio af fås etop a eat e at = e z iu iu iu iu Eulers formler. cosu e + e si e e = og u = i iu iu Bevis: Af e = cosu+ i si u og e = cosu i siu fås ved at lægge ligigere samme og trække dem fra hiade. iu iu iu iu e + e e e iu iu iu iu e + e = cosu og e e = i si u og dermed cosu = og siu = i Eulers formler beyttes til eksempelvis i itegraler at erstatte de trigoometriske fuktioer med ekspoetialfuktioer, som er emmere at itegrere. 8

12 5. Ekspoetialfuktioe Eksempel 5.. Avedelse på vekselstrøm. Lad e elektromotorisk kraft U = U0cos( ωt) være serieforbudet med e modstad på R, e spole med e selviduktio på L og e kodesator med kapacitete C. Der gælder da følgede skema: Nav Symbol Notatio Ehed Spædigsforskel Kompleks Imperdas Ohms modstad R Ohm Ri R Iduktor, spole L H (hery) L di dt iωl Kodesator, Kapacitor C F (Farad) Q t = C C itdt () t 0 ωc Idet (spædigsforskelle over R) +( spædigsforskelle over L) + (spædigsforskelle over C ) = U = U0cos( ωt) fås fra elektricitetslære RI L di Idt + + = U0 cos( ωt) dt C ) Kompleks impedas Z. Der gælder ohms lov U = Z I, hvor Z = R+ iωl+ i ω C ) Seriekoblig. To serieforbude komplekse impedaser Z og Z ka erstattes med e ekelt Zserie = Z + Z 4) Parallelkoblig. To parallelforbude komplekse impedaser Z og Z ka erstattes med e ekelt Z parallel = dvs. = + Zparallel Z Z Z ZZ + Z 9

13 Komplekse tal 6. Polyomier. Ved et polyomium af te grad ( helt positivt tal) forstås fuktioe P () x = a x + a x a x+ a, a 0 0 Ved polyomiets rødder forstås løsigere til ligige P ( x) = 0. I afsit.4 i Matematiske grudbegreber forudsatte vi at såvel koefficieter som rødder var reelle tal, og da idså vi, at et sådat polyomium af te grad højst har rødder. Tillader vi u både koefficieter og rødder at være komplekse tal gælder følgede sætig: Sætig 6. Algebraes fudametalsætig, Polyomiet P z az () = + a z az + a0 hvor er et helt positivt tal a 0 har etop rødder α, α,..., α (hvoraf ogel ka være es). Polyomiet derfor på ku é måde ka opløses i førstegradsfaktorer P z az ( ) = + a z az + a0 = a( z α) ( z α),,, ( z α) Et geerelt bevis for sætige ka fides i matematik for Igeiører Bid supplemet 5A. Vi vil i det følgede betragte ogle af de polyomier, som er af særlig iteresse, og her idse, at sætige er korrekt. 6. De biome ligig z = a Lad være er et helt positivt tal, og a er et vilkårligt komplekst tal forskelligt fra 0. For at fide e rod z til de biome ligig z = a omskrives såvel a som z på polær form, dvs. a ae i θ = og z ze iu iu iθ =. Vi har da z = a z e = ae At de to komplekse tal er es betyder, at θ z = a u = θ + p z = a u= + p, p er et helt tal. Geometrisk ligger røddere altså på e cirkel med radius a og vikle mellem stedvektorere til to på hiade følgede rødder er. Røddere er derfor vikelspidser i e regulær - kat. Eksempelvis vil ligige z 4 = aligge som vikelspidser i et kvadrat (se figur i eksempel 6.) Vi har følgelig, at de biome ligig z = ae ( a 0) har etop forskellige rødder. z = a e θ i + p, iθ hvor p = 0,,,,...., - Eksempel 6. Biom ligig. 4 Løs ligige z = + i. Røddere øskes agivet på såvel polær som rektagulær form. Edvidere øskes de afsat i e kompleks talpla. Avedelse. Fire es systemer, hver med kompleks forstærkig z, serieforbides, og ma måler, at de samlede komplekse forstærkig er + i Hvilke værdier ka z have? 0

14 Løsig: a = + i a = + =, taθ = θ = (da a ligger i. kvadrat) 4 4 i + p i p z = + i z = e z= e i i i i 5, p = 0,,, z= e z= e z= e z= e Ved omskrivig fra polær form til rektagulær form fås: 4 z = cos + isi = ( + i) Da viklere ligger i et kvadrat fås de øvrige rødder lettest ved at tage tværvektore z = ( + i) z = z = ( + i ) z = ( + i) z = z = ( i ) Ti89:MATH, ALGEBRA, csolve(z^4=-+i (),z) 6. Polyomier Hvis ma har sat MODE til polær fås resultatere ovefor (dog med visse egative vikler) Tilsvarede hvis ma har sat MODE til Rektagular Maple: > solve(z^4=-+sqt()*i); Resultat: På figure er afsat de fire rødder )vikelspidser i kvadrat) 6 4

15 Komplekse tal 6. Adegradsligige Az + Bz + C = 0, A 0 Sætig 6.. Adegradsligig Adegradsligige Az Bz C 0, med komplekse koefficieter, B og C og + + = A 0 B D diskrimiate D= B 4 AC har røddere z = ±, hvor α = D bestemmes som e rod A i de biome ligig α = D. Bevis: Vi foretager omskrivige B Az Bz C z A z C B B C B B + + = = 0 z + 0 z A A A + A = + = A 4 A B B 4 AC B D z + = z + = A 4 A A 4 A Idet α er e rod i de biome ligig α = D fås B B B B D z + = z + = α z z A A A α α + =± = ± 4 A A A A C A Problemet er derfor u reduceret til at løse de biome ligig α = D. Tilfælde I: A, B og C reelle tal: Diskrimiate er da et reelt tal, så for D 0 er løsige de kedte fra reelle tal. Er D < 0 beyttes blot, at i =, idet f.eks ± 9 = ± i 9 = ± i (jævfør eksempel 6.) Eksempel 6.. Adegradsligig med reelle koefficieter Løs ligige 4z 8z + = 0 Løsig: i 8 i 4z 8z+ = 0 z = ± z = ± z = ± z = ± z = ± i Tilfælde II: A, B. C er komplekse tal. I dette tilfælde ka formle omskrives til D + Re( D) D Re( D) + i B z = ±α α =, hvor A D + Re( D) D Re( D) i for for Im( D) 0 Im( D) < 0

16 6. Polyomier Eksempel 6.. Adegradsligig med komplekse koefficieter. Løs ligige z + iz 4+ 4i = 0 Løsig: i z + iz 4+ 4i = 0 z = ±α Diskrimiate er D= ( i) 4 ( 4+ 4i) = i = 6i Da Im(D)=-6 < 0 og D = + 6 = 400 = 0 fås α = i Vi har derfor z iz i z i 4 i = 0 = ± ( ) z = z = i = 4 i 6. Polyomier af højere grad ed I forbidelse med eksempelvis løsig af visse typer differetialligiger, ka ma få brug for at studere polyomer af højere grad ed. Lagt de fleste avedelser vil dog være polyomier med reelle koefficieter, så vi vil i det følgede begræse os til sådae. For adegradspolyomier med reelle koefficieter fadt vi, at hvis a = a + ia var e rod, så var også a = a iae rod. Ma kalder a = a ia for det kojugerede tal til a = a + ia (se figure) Geerelt gælder det for alle polyomier med reelle koeficieter, at er a e rod vil også a være e rod. Sætig 6., Rødder i polyomier med reelle koefficieter Lad Pz () = az + a z az+ a, hvor er et positivt helt tal, 0 koefficietere a, a,,..., a, a0 er reelle tal og a 0. Hvis α er e kompleks (ikke-reel) rod i så vil det kojugerede tal α også være e rod. Bevis: Af defiitioe på kojugeret følger a + b = a + b (da a + b = ( a ia) + ( b ib = a + b i( a + b) = a+ b ) a b = a b (da a b = ( a ia) ( b ib = a b ab i( a b + a b) = a b) Hvis α = a+ ia er e "kompleks rod" er P a ( α) = 0 α + a α aα + a0 = 0 Ved kojugerig fås uder brug af de oveævte regler for kojugerig P( α ) = 0 aα + a α aα + a0 = 0 Da koefficietere er reelle tal og dermed a = a osv.fås aα + a α aα + a0 = 0. Heraf ses, at α er e rod i Pz ()

17 Komplekse tal Sætig 6.4. Opløsig af polyomium i faktorer. Lad P() z = az + a z az+ a0, hvor er et positivt helt tal, koefficietere a, a,,..., a, a0 er reelle tal og a 0. P () z ka opløses i et produkt af førstegradsfaktorer med reelle koefficieter og adegradsfaktorer med reelle koefficieter. Bevis: Ifølge sætig 6. (algebraes fudametalsætig har et te grads polyomium P( z) rødder. Det betyder, at P( z) ka opløses i et produkt af førstegradsfaktorer P () z = a z + a z a z+ a = a ( z α )( z α )...( z α ) 0 Nogle af disse er førstegradsfaktorer med reelle koefficieter. Er e rod α ikke reel ved vi fra sætig 6. at så er de kojugerede α også rod. ( z α)( z α) = z ( α + α) z+ α α. Da α + α = ( α + iα ) + ( α iα ) = α er et reelt tal og a a = ( a + ia ) ( a ia ) = a + a også er et reelt tal, ses, at adegradspolyomiet Hermed er sætige bevist. z ( α + α) z+ α α er et polyomium med reelle koefficieter. Er specielt α p gage rod, vil P () z ideholder adegradsfaktore p gage. Eksempel 6.4. Opløsig af polyomium i faktorer 5 4 Opløs polyomiet Pz ()= z 0z + 0z 50z + 48z 0 iet produkt af førstegradsfaktorer med reellle koefficieter og adegradsfaktorer med reellle koefficieter. Løsig: Ti89: MATH, ALGEBRA, FACTOR(z^5-0z^4+0z^-50z^+48z-0,x) Resultat: ( z )( z z+ )( z z+ 5) Maple: factor(*z^5-0*z^4+0*z^-50*z^+48*z-0); Resultat: 6.4 Dekompoerig af polyomiums brøker Px ( ) Vi betragter i dette afsit brøker hvor tæller og æver er polyomier med reelle Qx ( ) x + 7 koefficieter.et eksempel herpå er brøke x x x + Ved ogle avedelser, bl.a, år ma skal løse visse typer differetialligiger, får ma brug for at opløse sådae brøker i e sum af simple stambrøker x + 7 Skal ma eksempelvis itegrere f ( x) = vil dette være ødvedigt, da ma så ka x x x + itegrere hver af disse simplere stambrøker hver for sig. Ver dekompoerige faktoriserer ma ævere som beskrevet i sætig 6.4, og derefter spaltes op i e sum af brøker med disse faktorer som ævere.stambrøkere er brøker, hvor tælleres grad er mider ed æveres, og hvor ævere ete er ( x α ), eller ( ax + bx + c), hvor α, abc,, er reelle tal og er et helt positivt tal. E såda dekompoerig af e brøk og ka opfattes som det modsatte af at sætte på fælles brøkstreg. 4

18 6. Polyomier Beregigere ka hurtig blive omfattede, så ma vil sædvaligvis vælge at lade eksempelvis Ti89 eller Maple foretage beregigere: Eksempel 6.5. Dekompoerig. 8 4 x + 7 x 4x + x + 9 Dekompoer ) f ( x) = ) gx ( ) = x x x + x x + x x x + x x + Løsig: ) Ti 89: MATH ALGEBRA expad((x^+7)/(x^-x^-x+),x) 7 Resultat: f ( x) = + + x + x 4( x ) Maple: covert((x^+7)/(x^-*x^-x+), parfrac, x); Resultat: ) Ti 89: MATH ALGEBRA expad(udtryk),x) x + 7x Resultat: gx ( ) = x ( x + ) ( x + ) ( x + ) 8( x+ ) 8( x ) ( x ) Maple: Giver samme resultat. 5

19 Komplekse tal Opgaver.. Reducér ( i) ( 6+ 5i)( + i) + ( 4+ 7i)( i).. Skriv følgede brøker på rektagulær form ) + 4i 4i + 5i i 5 4, ) ) 4) i i 4i i + + i i i + i.. Bereg ( 5 i) ( 5i) + ( i) ( + i) 4.. Omskriv følgede tal til polær form ) -5 ) 4i ) + i 4) - i 5) i 4.. Omskriv følgede tal til rektagulær form ) e i ) e i ) e i 4 4) Omskriv følgede tal til rektagulær form i i i 5 e i 6 e 6 e ) ) 4e 6 ) 4) i i e i i e e 5.. ) Omskriv +i til polær form og bereg ( + i) 4. Facit skal skrives på rektagulær form ) Skriv ( i) 7 på rektagulær form. ( ) ( ) 6 i ) Skriv på rektagulær form. 6 i 6.. Løs ligigere ) z = ) z = i ) z 4 = i 4) z 6 = i 5) z 6 = Fid alle røddere i ligige z = 7 i Løs ligigere ) z z + = 0. ) z 4z + = Løs ligigere ) z ( + i) z+ ( i) = 0 ) z ( + i) z+ ( + i) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + 7z + 6i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + 4z + 6z+ 50i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + 7z + 6i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = ) Opløs polyomiet Pz ()= z + z + z i faktorer af første og ade grad. ) Løs ligige P(z) = 0 4 x x x Dekompoer fuktioe f ( x) = 5 4 x x + x 5 4 x + x + 9x 4x 6x 6.. Dekompoer fuktioe f ( x) = 4 x + x x + x x + x + 5x 6.. Dekompoer fuktioe f ( x) = x 7x + 6 e i 4 6

20 Stikord STIKORD A additio af komplekse tal algebraes fudametalsætig 0 adegrasdligig argumet B biom ligig 0 C D dekompoerig af polyomiumsbrøk 4 divisio af komplekse tal E ekspoetialfuktio 7 elektromotorisk kraft 9 F faktoriserig af polyomium 4 P polyomier 0, polær form 6 polære koordiater R ratioale tal Q reelle tal R rektagulær form 5 rektagulære koordiater rødder i polyomium 0 S subtraktio af komplekse tal T U V G H I K kojugeret tal kompleks talmægde C kodesator 9 kodesator 9 L M modulus multiplikatio af komplekse tal N aturlige tal N umerisk værdi af kompleks tal O opløsig af polyomium i faktorer 4 opgaver 6 7

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere