Komplekse tal og rækker

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal og rækker"

Transkript

1 Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver de fundamentale definitioner givet og, vi viser, at er et legeme. I afsnit 3 tolker vi de komplekse tal geometrisk og giver et argument for eksistens. I afsnit 4 udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal og skriver et par af egenskaberne ved den op. I afsnit 5 giver vi de mest elementære definitioner og egenskaber ved følger og vi konstruerer rækken for en følge af komplekse tal. I afsnit 6 diskuterer vi den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Tilsidst i dette afsnit opskrives den berømte Riemann hypotese. I afsnit 7 giver vi en kort liste over den mest udbredte notation. Håbet er, at det øger læsevenligheden. Sidste afsnit, afsnit 8, er der otte opgaver af varierende sværhedsgrad. Forudsætningerne for at kunne gå igang med noterne er en vis erfaring med at regne med sin og cos. Hvis man ikke kender til vektorregning, kan man ikke forstå argumentet for eksistens af i Bemærkning 3.6, men det er ikke centralt i fremstillingen. 2 De komplekse tals legeme I dette afsnit vil vi vise, at del indledende definitioner., som defineres senere, udgør et legeme. Vi starter med en Definition 2.1. En ring 1, R, er en mængde, der er udstyret med en addition, +, og en multiplikation,, så der gælder, at 1. for alle r,s R er r + s R. 2. for alle r,s R er r s R. 3. addition er kommutativt: r + s = s + r for alle r,s R. 4. addition er associativt: (r + s) + t = r + (s + t) for alle r,s,t R. 5. for alle r R eksisterer der et 0 R så r + 0 = r. 6. for alle r R eksisterer der et s R så r + s = multiplikation er associativ: (r s) t = r (s t) for alle r,s,t R. 8. multiplikation er distributiv: (r + s) t = rt + st for alle r,s,t R. 9. for alle r R eksisterer der et 1 R, så r 1 = 1 r = r. 1 Strengt taget definerer vi en ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver ring, mene ring med enhed. 1

2 Definition 2.2. Lad R være en ring. R kaldes en kommutativ ring 2, hvis der for alle r,s R gælder at r s = s r. Definition 2.3. Lad R være en ring. Et legeme er en kommutativ ring, hvor der gælder, at for alle r 0 R eksisterer et s R, så rs = 1. Hvis ringen ikke er kommutativ kaldes den et skævlegeme. Eksempel 2.4. Det tilrådes læseren at tjekke, at alle punkterne i Defintion 2.1 og 2.2 er opfyldt for. Det vil sige, at er en kommutativ ring. Endvidere bør læseren tjekke at alle punkterne i Defintion 2.1, 2.2 og 2.3 er opfyldt for og. Det vil sige, at og er legemer. Vi vil nu motivere en udvidelse af de reelle tal. Man lærer tidligt i skolesystemet metoder til at løse ligninger af typen ax+b = c, hvor a,b,c, a 0, hvor løsningen selvfølgeligt er x = (c b)/a. Senere i forløbet lærer man, hvorledes man løser ligninger af formen ax 2 +bx+c = 0, hvor a,b,c, a 0. Løsningen til denne ligning er x = ( b± D)/2a, hvor D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger hvis D > 0, en løsning hvis D = 0 og ingen løsninger, hvis D < 0. Specielt har ligningen x = 0 ingen løsning i de reelle tal. Hvis man uden at tænke over, om det har mening indsætter 1 i ligningen, får man ( 1) = = 0. Det betyder at 1 faktisk løser ligningen! Det vil sige, at vi søger en ring, R, som har følgende tre egenskaber 1. R er et legeme 2. R 3. 1 R. Vi definerer en delmængde af R kaldet ved = {x + iy x,y, i = 1 }. Denne delmængde kaldes de komplekse tal. Vi vil indtil videre antage at en sådan delmængde eksisterer. Et argument for eksistens gives i Bemærkning 3.6. Definition 2.5. Lad z = x + iy være et komplekst tal. x kaldes for realdelen af z og y kaldes for imaginærdelen af z. Real- og imaginærdel betegnes henholdsvis R(z) og I(z). For at gøre til en ring, skal vi definere en addition og en multiplikation på. Definition 2.6. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z + w = (x + a) + i(y + b) zw = (x + iy)(a + ib) = xa yb + ixb + iya = (xa yb) + i(xb + ya). Observation 2.7. Da i0 = 0, ses det at {x + i0 x } = {x x } =, det betyder, at. Før vi kan se, at er et legeme, skal vi have nogle flere regneregler på banen. 2 Strengt taget definerer vi en kommutativ ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver kommutativ ring, mene kommutativ ring med enhed. 2

3 Definition 2.8. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z w = (x a) + i(y b) z/w = (x + iy)/(a + ib) = (x + iy)(a ib)/(a + ib)(a ib) = ((xa + yb) + i(ya xb))/(a 2 + b 2 ), w 0 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ), z 0 Bemærkning 2.9. I definitionen af multiplikation og division skal man frem for at memorere slutformlen i højere grad huske på, hvordan den er udledt. Definition Lad z være et komplekst tal givet ved z = x + iy. Da er længden eller normen af z givet ved z = x 2 + y 2. Nu kan vi formulere den første vigtige sætning. Sætning er et legeme. Bevis. Vi skal vise at punkterne 1-9 i Definition 2.1, Definition 2.2 og Definition 2.3 er opfyldt. Punkt 1 og 2 er oplagte per konstruktion af + og. Punkterne 3 og 4 følger af de tilsvarende egenskaber for reelle tal. For at vise at punkt 5 og 9 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Hvis vi sætter 0 = 0 + i0 er z + 0 = z. Hvis vi sætter 1 = 1 + i0, ses det, at 1z = z1 = z. For at vise at punkt 6 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Vi ser at z = x iy opfylder at z + ( z) = 0. Punkt 7 og 8 vises ved en direkte udregning, der overlades til læseren. Nu har vi vist, at er en ring. Vi skal vise, at er en kommutativ ring. Lad z,w og lad z = x + iy og w = a + ib. Da er zw = (xa yb) + i(xb + ya), men da x,y,a,b er xa = ax, yb = by, xb = bx og ya = ay. Dermed er zw = (ax + by) + i(bx + ay) = wz. Vi skal tilsidst se, at er et legeme. Lad z være vilkårlig og lad z = x + iy 0. Da er 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ). Det ses, at z(1/z) = (x + iy)((x iy)/(x 2 + y 2 )) = (x 2 + y 2 )/(x 2 + y 2 ) = 1. Da i åbenlyst er i, er altså vores ønskede udvidelse af. Som belønning for vores anstrengelser har vi følgende fantastiske sætning. Sætning 2.12 (Algebraens fundamentalsætning). Lad a i. Ethvert polynomium af grad n, a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, har præcist n komplekse rødder talt med multiplicitet. Bevis. Udelades. Bemærkning Bemærk at Sætning 2.12 intet siger om, hvordan man finder disse rødder. Faktisk kan man vise, at der kun findes en eksplicit løsningsformel for løsning af ligninger af grad mindre end fem! Dette blev vist af den norske matematiker Niels Henrik Abel. 3

4 3 Geometrisk fortolkning af Casper Wessel, digteren Johan Hermann Wessels bror, var den første til at se tal i geometrisk som punkter i planen, det vil sige at se x + iy som vektoren (x,y). iy r x + iy θ x Den komplekse talplan. Bemærkning 3.1. Der findes en anden måde at opskrive komplekse tal på. Som det ses på figuren er z = x + iy entydigt givet ved talparret (r,θ), hvor r = z, og hvor θ er vinklen med den positive 1.-akse. Talparret (r, θ) kaldes opskrivningen af z på polarform. r kaldes modulus for z og θ kaldes argumentet for z og betegnes med henholdsvis z og arg(z). Ud fra figuren kan man også se, at z er defineret ud fra Pythagoras sætning. Lad os se, hvorledes man kan oversætte fra den ene til den anden opskrivning. Det formulerer vi i et lemma. Lemma 3.2. Lad z = x+iy. Da er θ = cos 1 (x/r) og θ = sin 1 (y/r). Hvis z = 0, er der uendeligt mange vinkler, der bestemmer z. Længden af z er z = r = x 2 + y 2. Hvis vi har z opskrevet som (r,θ) er x = r cos θ og y = r sin θ. Bevis. Dette følger direkte fra definitionen af cos og sin. Bemærkning 3.3. Læg mærke til at et komplekst tal har én modulus men uendeligt mange argumenter. Det skyldes, at en drejning på 360 eller 2π giver det samme punkt i planen. Det viser sig at være meget nemmere at multiplicere to komplekse tal, når de er opskrevet på polarform. Det formuleres i følgende proposition. Proposition 3.4. Lad z 1,z 2 og lad z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ). Da er z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ) Bevis. Beviset benytter faktisk intet andet end additionsformlerne for sin og cos og definition af multiplikation af to komplekse tal, Definition 2.6. Additionsformlerne for sin og cos ser ud som følger: cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 ), sin(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 ). (1) Beviset for disse to formler udelades. 4

5 Vi har set, at hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 = r 1 (cos θ 1 + isin θ 1 ) og z 2 = r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 ). Ved at benytte formlen for multiplikation af to komplekse tal, får man z 1 z 2 = (r 1 cos(θ 1 )r 2 cos(θ 2 ) r 1 sin(θ 1 )r 2 sin(θ 2 )) + i(r 1 cos(θ 1 )r 2 sin(θ 2 ) + r 1 sin(θ 1 )r 2 cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 )) + ir 1 r 2 (cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + isin(θ 1 + θ 2 )), hvor vi i tredje lighedstegn har brugt additionsformlerne, formel (1), for sin og cos. Vi ser dermed, at z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ), som skulle vises. Eksempel 3.5. Lad z 1 = (8,11π/12) og z 2 = ( 1 2,19π/12). Hvad er z 1z 2? Vi benytter sætningen overfor og får z 1 z 2 = (4,5π/2) = (4,π/2). Ved at tegne tallet i den komplekse talplan ses det at (4, π/2) svarer til tallet 4i. Man kunne også oversætte polarformerne til sædvanlig form og så bruge definitionen af multiplikation, men det er meget mere besværligt. Bemærkning 3.6. Vi vil nu give en skitse af et argument for eksistens af. Man identificerer det komplekse tal x+iy med vektoren (x,y) 2 og ser at i svarer til vektoren (0, 1). Addition i svarer til sædvanlig vektoraddition i planen. Ved at opskrive z = x + iy og w = a + ib på polarform ses det, at multiplikation også blot er en operation mellem de to tilhørende vektorer. 4 Den komplekse eksponentialfunktion I dette afsnit udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal. Definition 4.1. Lad z og lad z = x + iy. Da er e z = e x (cos y + isin y). Bemærkning 4.2. Hvis z = x + i0 er e z = e x. Det betyder, at den komplekse eksponentialfunktion er identisk med den velkendte eksponentialfunktion, hvis inputtet er et reelt tal. Bemærkning 4.3. Hvis man lader z = iπ, får man e iπ = e 0 (cos π + isin π). Dermed har vi, at e iπ = 1 eller e iπ + 1 = 0. Denne formel kaldes Eulers identitet og den knytter på smukkeste vis tallene e,π, 1 og 0 sammen. Vi har følgende vigtige sætning om den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 4.4. Lad z,w. Da er e z+w = e z e w. Bevis. Overlades til læseren. Sætning 4.5. Den komplekse eksponentialfunktion er periodisk med periode 2πi, det vil sige for alle z, er e z = e z+2πi. Bevis. Dette er klart, idet sin og cos er 2π periodiske. 5

6 Bemærkning 4.6. Hvis θ er e iθ = cos θ + isin θ per definition af eksponentialfunktionen. Hvis z = (r,θ) har vi set, at vi kan omskrive z, så z = r(cos θ + isin θ). Dermed er z = re iθ. Dette giver os endnu en let måde at multiplicere komplekse tal på. Hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ). Vi har i sidste lighedstegn brugt Sætning 4.4. Tilsidst viser vi en vigtig formel opkaldt efter den franske matematiker Abraham de Moivre. Sætning 4.7 (de Moivres formel). Lad θ og lad n. Da er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ). Bevis. Per definition af den komplekse eksponentialfunktion er e iθ = cos(θ)+isin(θ). Ved at benytte Sætning 4.4 n gange får vi, at (e iθ ) n = e inθ. Dermed er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ), som skulle vises. Vi vil senere se en anden måde at definere den komplekse eksponentialfunktion på. Det involverer rækker, som vi vil studere i næste afsnit. 5 Følger og rækker I dette afsnit vil vi give de vigtigste definitioner og resultater i teorien for rækker. Vi starter med en fundamental definition. Definition 5.1. En kompleks talfølge består af uendeligt mange tal, der er nummererede. Talfølgen betegnes {z n } n=1, hvor {z n} n=1 = {z n z n, n }. Definition 5.2. En talfølge, {z n } n=1, kaldes konvergent mod a, hvis der gælder at ɛ > 0 N : n n > N a z n < ɛ. Med andre ord er en følge konvergent, hvis der gælder, at uanset hvor lille et ɛ man kommer med, skal man kunne finde et N, så når n > N ligger z n i den åbne cirkelskive med centrum a og radius ɛ. Tallet a kaldes følgens grænseværdi. En følge kaldes divergent, hvis den ikke er konvergent. Bemærkning 5.3. Intuitivt skal man tænke på, at en følge er konvergent, hvis der gælder, at jo længere man kommer ud i halen på følgen, jo tættere vil tallene ligge ved et bestemt tal nemlig følgens grænseværdi, a. Intuitivt er en divergent følge en følge, hvor elementerne ikke nærmer sig nogen bestemt værdi, når n vokser. Det kan enten skyldes at følgens elementers norm vokser ubegrænset mod uendeligt eller, at følgens elementer hopper frem og tilbage mellem flere forskellige værdier, når n vokser. Vi vil nu give nogle eksempler på konvergente følger. Det vil vi formulere i to propositioner. Proposition 5.4. Lad z grænseværdi z.. Følgen {z n } n=1, z = z n for alle n er konvergent med 6

7 Bevis. Da følgen konstant er lig z gætter vi på at følgens grænseværdi er z. Vi skal bevise at ɛ > 0 N : n n > N z z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at z z n = z z = 0, og dermed er z z n < ɛ for alle n. N = 1 er dermed et brugbart N, idet z z n < ɛ for n 1. Proposition 5.5. Følgen {z n } n=1, z n = 1/n er konvergent med grænseværdi 0. Bevis. Vi gætter på at følgens grænseværdi er 0. Vi skal bevise ɛ > 0 N : n n > N 0 z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at 0 z n = 1/n. Vi ser at 1/n < ɛ hvis og kun hvis n > 1/ɛ. Hvis vi vælger N så N > 1/ɛ får vi et brugbart N, idet der gælder, at for n > N er n > 1/ɛ, og dermed er 0 z n < ɛ. Bemærkning 5.6. I ovenstående bevis vælges et N, så N > 1/ɛ. Sætningen, der sikrer, at det altid er muligt at vælge et sådant N, kendes under navnet Arkimedes Princip. Beviset for Arkimedes Princip er noget teknisk og udelades. Eksempel 5.7. Eksempler på divergente følger er også ret lette at finde. Vi vil ikke studere dem nærmere, men overlade til læseren at overveje at følgerne {n} n=1 og {ln n} n=1 er divergente. Man skal tænke på, at følgernes elementer vokser ubegrænset og dermed ikke kan være konvergente. Et andet eksempel på en divergent følge er {( 1) n } n=1. Denne følge hopper frem og tilbage mellem 1 og 1 og kan således ikke være konvergent. Nu vil vi ud fra en kompleks talfølge, {z n } n=1, konstruere en anden kompleks talfølge kaldet rækken for {z n } n=1. Definition 5.8. Lad {z n } n=1 være en vilkårlig kompleks talfølge. Vi danner en ny talfølge {s k } k=1 ud fra {z n} n=1 ved at definere s k = k n=1 z n. Talfølgen {s k } k=1 kaldes rækken for {z n } n=1, og rækken betegnes med n=1 z n. Definition 5.9. Rækken n=1 z n kaldes konvergent eller divergent, hvis rækken {s k } k=1 er henholdsvis konvergent eller divergent. Hvis rækken er konvergent kaldes rækkens grænseværdi for rækkens sum. Definition En række, n=1 z n, kaldes absolut konvergent, hvis rækken n=1 z n er konvergent. Bemærkning Hvis en række er absolut konvergent er den konvergent, men det omvendte er ikke altid tilfældet. Et eksempel på dette er n=1 ( 1)n (1/n), hvis sum er ln(2), men som ikke er absolut konvergent. 6 Berømte og vigtige eksempler på rækker I dette afsnit vil vi betragte nogle af de vigtigste eksempler på rækker, blandt andet den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Vi starter med et simpelt men vigtigt eksempel, nemlig den geometriske række. 7

8 Sætning 6.1. Rækken n=0 czn er konvergent på mængden {z z < 1} med sum c/(1 z). Bevis. Udelades. Vi husker at for n er n! = n(n 1)(n 2) 2. Nu kan vi give en anden beskrivelse af den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 6.2. Rækken n=1 z n n! er absolut konvergent for alle z med sum e z. Bevis. Udelades. Bemærkning 6.3. Man kan også vise, at rækkerne n=1 ( 1) n z2n (2n)!, n=1 z2n+1 ( 1) n (2n + 1)! er absolut konvergente med sum henholdsvis cos(z) og sin(z). Bemærkning 6.4. Man kan vende argumentet om og definere funktionerne ved deres rækker. Ud fra den definitionen kan man så vise alle de velkendte egenskaber. Tilsidst vil vi se på den måske vigtigste af alle rækker, Riemanns zeta-funktion. Vi husker at for r,t og r > 0 er r t = e tln(r). Tilsvarende definerer vi for n +, s og s = a + ib n s = n a+ib = n a e ib ln(n). Definition 6.5. Lad s ζ(s) = n=1 1 n s. med R(s) > 1. Riemanns zeta-funktion er givet ved Bemærkning 6.6. Man kan vise, at ζ er konvergent for R(s) > 1. ζ(s) kan udvides til en pæn funktion defineret på hele \ {1}. Vi vil ikke komme yderligere ind på, hvordan den første påstand bevises eller hvad pæn betyder. Den schweiziske matematiker Euler fandt følgende sammenhæng mellem primtallene og Riemanns zeta-funktion. Sætning 6.7. Lad s ζ(s) = p primtal 1 1 p s, med R(s) > 1. Lad ζ være Riemanns-zeta funktion. Da er Bemærkning 6.8. Man er interesseret i at vide for hvilke s ζ(s) = 0. Ved at bruge lidt mere teori end vi kan give her, er det let at se, at ζ(s) = 0, hvis s {..., 6, 4, 2}. Disse nulpunkter kaldes de trivielle nulpunkter for ζ. Det er også rigtigt, at alle ikke trivielle nulpunkter nødvendigvis må ligge i striben {s 0 R(s) 1}. Dette leder frem til et af matematikkens helt store ubesvarede spørgsmål. 8

9 Hypotese 6.9 (Riemann hypotesen). Alle ikke trivielle nulpunkter for ζ ligger på linien R(s) = 1 2. Bemærkning Clay Institute udlover $ til den, der enten viser eller modbeviser Riemann hypotesen. Det vil have enorme konsekvenser for den moderne talteori, hvis man får afklaret, hvorvidt Riemann hypotesen er sand eller ej. Ved hjælp af en computer har man vist at Riemann hypotesen er sand for de første nulpunkter. Det skal også bemærkes, at dusøren ikke gives, hvis man ved hjælp af en computer finder et nulpunkt, der ikke ligger på linien R(s) = 1 2! 9

10 7 Notation : for alle. : eksisterer. : tilhører. : forskellig fra. produkt. = {0,1,2,3,...}. = {..., 2, 1,0,1,2,...}. = {a/b a, b \ 0}. : de reelle tal. : de komplekse tal. + = {x x, x > 0}. ɛ: det græske bogstav epsilon., : medfører. : hvis og kun hvis. 10

11 8 Opgaver Opgaver mærket med ( ) er svære. Øvelse 8.1. z har modulus π og argument π. Opskriv z på formen x + iy. Tegn z i den komplekse plan. Øvelse 8.2. Lad z = 1 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 6. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.3. Lad z = 3 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 4. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.4. Lad z = 1 + 2i, w = 2 i og v = 1 + 3i. 1. Tegn z,w,v i den komplekse plan. 2. Beregn 1/z, 1/w og 1/v og tegn 1/z, 1/w og 1/v i den komplekse plan. 3. Opskriv z, w og v på polarform. 4. Beregn produktet zwv. Tegn produktet zwv i den komplekse plan. Øvelse 8.5. Tegn mængden {z z = e iθ, θ [0,2π]} i den komplekse talplan. Øvelse 8.6. ( ) Lad z,w. Vis at zw = 0 hvis og kun hvis z = 0 eller w = 0. Vink til : Hvis s,t og st = 0 medfører det, at s = 0 eller t = 0. Skriv z = x + iy og w = a + ib og brug Definition 2.6 til at slutte det ønskede. Øvelse 8.7. ( ) I denne øvelse skal vi vise Sætning 4.4. Lad z,w w = a + ib. og z = x + iy, 1. Opskriv e z og e w. 2. Beregn produktet e z e w og benyt additionsformlerne (1) for sin og cos til at vise Sætning 4.4. Øvelse 8.8. lad D være et område i den komplekse plan givet i polære koordinater ved { 5π D = (r,θ) 1 r 2, 6 θ 5π } Tegn området D i den komplekse plan. 2. Find de fire hjørner z 1,z 2,z 3 og z 4 i D og skriv dem på formen re iθ og x + iy. 3. Beregn produktet z 1 z 2 z 3 z 4 og angiv resultatet på tegningen i (1). 4. ( ) Find den reelle og komplekse faktorisering af polynomiet z ( ) Find alle komplekse tal z, der løser ligningen e 3z = 1. Vink: Brug (4). 11

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere