Komplekse tal og rækker

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse tal og rækker"

Transkript

1 Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver de fundamentale definitioner givet og, vi viser, at er et legeme. I afsnit 3 tolker vi de komplekse tal geometrisk og giver et argument for eksistens. I afsnit 4 udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal og skriver et par af egenskaberne ved den op. I afsnit 5 giver vi de mest elementære definitioner og egenskaber ved følger og vi konstruerer rækken for en følge af komplekse tal. I afsnit 6 diskuterer vi den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Tilsidst i dette afsnit opskrives den berømte Riemann hypotese. I afsnit 7 giver vi en kort liste over den mest udbredte notation. Håbet er, at det øger læsevenligheden. Sidste afsnit, afsnit 8, er der otte opgaver af varierende sværhedsgrad. Forudsætningerne for at kunne gå igang med noterne er en vis erfaring med at regne med sin og cos. Hvis man ikke kender til vektorregning, kan man ikke forstå argumentet for eksistens af i Bemærkning 3.6, men det er ikke centralt i fremstillingen. 2 De komplekse tals legeme I dette afsnit vil vi vise, at del indledende definitioner., som defineres senere, udgør et legeme. Vi starter med en Definition 2.1. En ring 1, R, er en mængde, der er udstyret med en addition, +, og en multiplikation,, så der gælder, at 1. for alle r,s R er r + s R. 2. for alle r,s R er r s R. 3. addition er kommutativt: r + s = s + r for alle r,s R. 4. addition er associativt: (r + s) + t = r + (s + t) for alle r,s,t R. 5. for alle r R eksisterer der et 0 R så r + 0 = r. 6. for alle r R eksisterer der et s R så r + s = multiplikation er associativ: (r s) t = r (s t) for alle r,s,t R. 8. multiplikation er distributiv: (r + s) t = rt + st for alle r,s,t R. 9. for alle r R eksisterer der et 1 R, så r 1 = 1 r = r. 1 Strengt taget definerer vi en ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver ring, mene ring med enhed. 1

2 Definition 2.2. Lad R være en ring. R kaldes en kommutativ ring 2, hvis der for alle r,s R gælder at r s = s r. Definition 2.3. Lad R være en ring. Et legeme er en kommutativ ring, hvor der gælder, at for alle r 0 R eksisterer et s R, så rs = 1. Hvis ringen ikke er kommutativ kaldes den et skævlegeme. Eksempel 2.4. Det tilrådes læseren at tjekke, at alle punkterne i Defintion 2.1 og 2.2 er opfyldt for. Det vil sige, at er en kommutativ ring. Endvidere bør læseren tjekke at alle punkterne i Defintion 2.1, 2.2 og 2.3 er opfyldt for og. Det vil sige, at og er legemer. Vi vil nu motivere en udvidelse af de reelle tal. Man lærer tidligt i skolesystemet metoder til at løse ligninger af typen ax+b = c, hvor a,b,c, a 0, hvor løsningen selvfølgeligt er x = (c b)/a. Senere i forløbet lærer man, hvorledes man løser ligninger af formen ax 2 +bx+c = 0, hvor a,b,c, a 0. Løsningen til denne ligning er x = ( b± D)/2a, hvor D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger hvis D > 0, en løsning hvis D = 0 og ingen løsninger, hvis D < 0. Specielt har ligningen x = 0 ingen løsning i de reelle tal. Hvis man uden at tænke over, om det har mening indsætter 1 i ligningen, får man ( 1) = = 0. Det betyder at 1 faktisk løser ligningen! Det vil sige, at vi søger en ring, R, som har følgende tre egenskaber 1. R er et legeme 2. R 3. 1 R. Vi definerer en delmængde af R kaldet ved = {x + iy x,y, i = 1 }. Denne delmængde kaldes de komplekse tal. Vi vil indtil videre antage at en sådan delmængde eksisterer. Et argument for eksistens gives i Bemærkning 3.6. Definition 2.5. Lad z = x + iy være et komplekst tal. x kaldes for realdelen af z og y kaldes for imaginærdelen af z. Real- og imaginærdel betegnes henholdsvis R(z) og I(z). For at gøre til en ring, skal vi definere en addition og en multiplikation på. Definition 2.6. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z + w = (x + a) + i(y + b) zw = (x + iy)(a + ib) = xa yb + ixb + iya = (xa yb) + i(xb + ya). Observation 2.7. Da i0 = 0, ses det at {x + i0 x } = {x x } =, det betyder, at. Før vi kan se, at er et legeme, skal vi have nogle flere regneregler på banen. 2 Strengt taget definerer vi en kommutativ ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver kommutativ ring, mene kommutativ ring med enhed. 2

3 Definition 2.8. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z w = (x a) + i(y b) z/w = (x + iy)/(a + ib) = (x + iy)(a ib)/(a + ib)(a ib) = ((xa + yb) + i(ya xb))/(a 2 + b 2 ), w 0 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ), z 0 Bemærkning 2.9. I definitionen af multiplikation og division skal man frem for at memorere slutformlen i højere grad huske på, hvordan den er udledt. Definition Lad z være et komplekst tal givet ved z = x + iy. Da er længden eller normen af z givet ved z = x 2 + y 2. Nu kan vi formulere den første vigtige sætning. Sætning er et legeme. Bevis. Vi skal vise at punkterne 1-9 i Definition 2.1, Definition 2.2 og Definition 2.3 er opfyldt. Punkt 1 og 2 er oplagte per konstruktion af + og. Punkterne 3 og 4 følger af de tilsvarende egenskaber for reelle tal. For at vise at punkt 5 og 9 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Hvis vi sætter 0 = 0 + i0 er z + 0 = z. Hvis vi sætter 1 = 1 + i0, ses det, at 1z = z1 = z. For at vise at punkt 6 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Vi ser at z = x iy opfylder at z + ( z) = 0. Punkt 7 og 8 vises ved en direkte udregning, der overlades til læseren. Nu har vi vist, at er en ring. Vi skal vise, at er en kommutativ ring. Lad z,w og lad z = x + iy og w = a + ib. Da er zw = (xa yb) + i(xb + ya), men da x,y,a,b er xa = ax, yb = by, xb = bx og ya = ay. Dermed er zw = (ax + by) + i(bx + ay) = wz. Vi skal tilsidst se, at er et legeme. Lad z være vilkårlig og lad z = x + iy 0. Da er 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ). Det ses, at z(1/z) = (x + iy)((x iy)/(x 2 + y 2 )) = (x 2 + y 2 )/(x 2 + y 2 ) = 1. Da i åbenlyst er i, er altså vores ønskede udvidelse af. Som belønning for vores anstrengelser har vi følgende fantastiske sætning. Sætning 2.12 (Algebraens fundamentalsætning). Lad a i. Ethvert polynomium af grad n, a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, har præcist n komplekse rødder talt med multiplicitet. Bevis. Udelades. Bemærkning Bemærk at Sætning 2.12 intet siger om, hvordan man finder disse rødder. Faktisk kan man vise, at der kun findes en eksplicit løsningsformel for løsning af ligninger af grad mindre end fem! Dette blev vist af den norske matematiker Niels Henrik Abel. 3

4 3 Geometrisk fortolkning af Casper Wessel, digteren Johan Hermann Wessels bror, var den første til at se tal i geometrisk som punkter i planen, det vil sige at se x + iy som vektoren (x,y). iy r x + iy θ x Den komplekse talplan. Bemærkning 3.1. Der findes en anden måde at opskrive komplekse tal på. Som det ses på figuren er z = x + iy entydigt givet ved talparret (r,θ), hvor r = z, og hvor θ er vinklen med den positive 1.-akse. Talparret (r, θ) kaldes opskrivningen af z på polarform. r kaldes modulus for z og θ kaldes argumentet for z og betegnes med henholdsvis z og arg(z). Ud fra figuren kan man også se, at z er defineret ud fra Pythagoras sætning. Lad os se, hvorledes man kan oversætte fra den ene til den anden opskrivning. Det formulerer vi i et lemma. Lemma 3.2. Lad z = x+iy. Da er θ = cos 1 (x/r) og θ = sin 1 (y/r). Hvis z = 0, er der uendeligt mange vinkler, der bestemmer z. Længden af z er z = r = x 2 + y 2. Hvis vi har z opskrevet som (r,θ) er x = r cos θ og y = r sin θ. Bevis. Dette følger direkte fra definitionen af cos og sin. Bemærkning 3.3. Læg mærke til at et komplekst tal har én modulus men uendeligt mange argumenter. Det skyldes, at en drejning på 360 eller 2π giver det samme punkt i planen. Det viser sig at være meget nemmere at multiplicere to komplekse tal, når de er opskrevet på polarform. Det formuleres i følgende proposition. Proposition 3.4. Lad z 1,z 2 og lad z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ). Da er z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ) Bevis. Beviset benytter faktisk intet andet end additionsformlerne for sin og cos og definition af multiplikation af to komplekse tal, Definition 2.6. Additionsformlerne for sin og cos ser ud som følger: cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 ), sin(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 ). (1) Beviset for disse to formler udelades. 4

5 Vi har set, at hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 = r 1 (cos θ 1 + isin θ 1 ) og z 2 = r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 ). Ved at benytte formlen for multiplikation af to komplekse tal, får man z 1 z 2 = (r 1 cos(θ 1 )r 2 cos(θ 2 ) r 1 sin(θ 1 )r 2 sin(θ 2 )) + i(r 1 cos(θ 1 )r 2 sin(θ 2 ) + r 1 sin(θ 1 )r 2 cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 )) + ir 1 r 2 (cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + isin(θ 1 + θ 2 )), hvor vi i tredje lighedstegn har brugt additionsformlerne, formel (1), for sin og cos. Vi ser dermed, at z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ), som skulle vises. Eksempel 3.5. Lad z 1 = (8,11π/12) og z 2 = ( 1 2,19π/12). Hvad er z 1z 2? Vi benytter sætningen overfor og får z 1 z 2 = (4,5π/2) = (4,π/2). Ved at tegne tallet i den komplekse talplan ses det at (4, π/2) svarer til tallet 4i. Man kunne også oversætte polarformerne til sædvanlig form og så bruge definitionen af multiplikation, men det er meget mere besværligt. Bemærkning 3.6. Vi vil nu give en skitse af et argument for eksistens af. Man identificerer det komplekse tal x+iy med vektoren (x,y) 2 og ser at i svarer til vektoren (0, 1). Addition i svarer til sædvanlig vektoraddition i planen. Ved at opskrive z = x + iy og w = a + ib på polarform ses det, at multiplikation også blot er en operation mellem de to tilhørende vektorer. 4 Den komplekse eksponentialfunktion I dette afsnit udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal. Definition 4.1. Lad z og lad z = x + iy. Da er e z = e x (cos y + isin y). Bemærkning 4.2. Hvis z = x + i0 er e z = e x. Det betyder, at den komplekse eksponentialfunktion er identisk med den velkendte eksponentialfunktion, hvis inputtet er et reelt tal. Bemærkning 4.3. Hvis man lader z = iπ, får man e iπ = e 0 (cos π + isin π). Dermed har vi, at e iπ = 1 eller e iπ + 1 = 0. Denne formel kaldes Eulers identitet og den knytter på smukkeste vis tallene e,π, 1 og 0 sammen. Vi har følgende vigtige sætning om den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 4.4. Lad z,w. Da er e z+w = e z e w. Bevis. Overlades til læseren. Sætning 4.5. Den komplekse eksponentialfunktion er periodisk med periode 2πi, det vil sige for alle z, er e z = e z+2πi. Bevis. Dette er klart, idet sin og cos er 2π periodiske. 5

6 Bemærkning 4.6. Hvis θ er e iθ = cos θ + isin θ per definition af eksponentialfunktionen. Hvis z = (r,θ) har vi set, at vi kan omskrive z, så z = r(cos θ + isin θ). Dermed er z = re iθ. Dette giver os endnu en let måde at multiplicere komplekse tal på. Hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ). Vi har i sidste lighedstegn brugt Sætning 4.4. Tilsidst viser vi en vigtig formel opkaldt efter den franske matematiker Abraham de Moivre. Sætning 4.7 (de Moivres formel). Lad θ og lad n. Da er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ). Bevis. Per definition af den komplekse eksponentialfunktion er e iθ = cos(θ)+isin(θ). Ved at benytte Sætning 4.4 n gange får vi, at (e iθ ) n = e inθ. Dermed er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ), som skulle vises. Vi vil senere se en anden måde at definere den komplekse eksponentialfunktion på. Det involverer rækker, som vi vil studere i næste afsnit. 5 Følger og rækker I dette afsnit vil vi give de vigtigste definitioner og resultater i teorien for rækker. Vi starter med en fundamental definition. Definition 5.1. En kompleks talfølge består af uendeligt mange tal, der er nummererede. Talfølgen betegnes {z n } n=1, hvor {z n} n=1 = {z n z n, n }. Definition 5.2. En talfølge, {z n } n=1, kaldes konvergent mod a, hvis der gælder at ɛ > 0 N : n n > N a z n < ɛ. Med andre ord er en følge konvergent, hvis der gælder, at uanset hvor lille et ɛ man kommer med, skal man kunne finde et N, så når n > N ligger z n i den åbne cirkelskive med centrum a og radius ɛ. Tallet a kaldes følgens grænseværdi. En følge kaldes divergent, hvis den ikke er konvergent. Bemærkning 5.3. Intuitivt skal man tænke på, at en følge er konvergent, hvis der gælder, at jo længere man kommer ud i halen på følgen, jo tættere vil tallene ligge ved et bestemt tal nemlig følgens grænseværdi, a. Intuitivt er en divergent følge en følge, hvor elementerne ikke nærmer sig nogen bestemt værdi, når n vokser. Det kan enten skyldes at følgens elementers norm vokser ubegrænset mod uendeligt eller, at følgens elementer hopper frem og tilbage mellem flere forskellige værdier, når n vokser. Vi vil nu give nogle eksempler på konvergente følger. Det vil vi formulere i to propositioner. Proposition 5.4. Lad z grænseværdi z.. Følgen {z n } n=1, z = z n for alle n er konvergent med 6

7 Bevis. Da følgen konstant er lig z gætter vi på at følgens grænseværdi er z. Vi skal bevise at ɛ > 0 N : n n > N z z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at z z n = z z = 0, og dermed er z z n < ɛ for alle n. N = 1 er dermed et brugbart N, idet z z n < ɛ for n 1. Proposition 5.5. Følgen {z n } n=1, z n = 1/n er konvergent med grænseværdi 0. Bevis. Vi gætter på at følgens grænseværdi er 0. Vi skal bevise ɛ > 0 N : n n > N 0 z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at 0 z n = 1/n. Vi ser at 1/n < ɛ hvis og kun hvis n > 1/ɛ. Hvis vi vælger N så N > 1/ɛ får vi et brugbart N, idet der gælder, at for n > N er n > 1/ɛ, og dermed er 0 z n < ɛ. Bemærkning 5.6. I ovenstående bevis vælges et N, så N > 1/ɛ. Sætningen, der sikrer, at det altid er muligt at vælge et sådant N, kendes under navnet Arkimedes Princip. Beviset for Arkimedes Princip er noget teknisk og udelades. Eksempel 5.7. Eksempler på divergente følger er også ret lette at finde. Vi vil ikke studere dem nærmere, men overlade til læseren at overveje at følgerne {n} n=1 og {ln n} n=1 er divergente. Man skal tænke på, at følgernes elementer vokser ubegrænset og dermed ikke kan være konvergente. Et andet eksempel på en divergent følge er {( 1) n } n=1. Denne følge hopper frem og tilbage mellem 1 og 1 og kan således ikke være konvergent. Nu vil vi ud fra en kompleks talfølge, {z n } n=1, konstruere en anden kompleks talfølge kaldet rækken for {z n } n=1. Definition 5.8. Lad {z n } n=1 være en vilkårlig kompleks talfølge. Vi danner en ny talfølge {s k } k=1 ud fra {z n} n=1 ved at definere s k = k n=1 z n. Talfølgen {s k } k=1 kaldes rækken for {z n } n=1, og rækken betegnes med n=1 z n. Definition 5.9. Rækken n=1 z n kaldes konvergent eller divergent, hvis rækken {s k } k=1 er henholdsvis konvergent eller divergent. Hvis rækken er konvergent kaldes rækkens grænseværdi for rækkens sum. Definition En række, n=1 z n, kaldes absolut konvergent, hvis rækken n=1 z n er konvergent. Bemærkning Hvis en række er absolut konvergent er den konvergent, men det omvendte er ikke altid tilfældet. Et eksempel på dette er n=1 ( 1)n (1/n), hvis sum er ln(2), men som ikke er absolut konvergent. 6 Berømte og vigtige eksempler på rækker I dette afsnit vil vi betragte nogle af de vigtigste eksempler på rækker, blandt andet den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Vi starter med et simpelt men vigtigt eksempel, nemlig den geometriske række. 7

8 Sætning 6.1. Rækken n=0 czn er konvergent på mængden {z z < 1} med sum c/(1 z). Bevis. Udelades. Vi husker at for n er n! = n(n 1)(n 2) 2. Nu kan vi give en anden beskrivelse af den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 6.2. Rækken n=1 z n n! er absolut konvergent for alle z med sum e z. Bevis. Udelades. Bemærkning 6.3. Man kan også vise, at rækkerne n=1 ( 1) n z2n (2n)!, n=1 z2n+1 ( 1) n (2n + 1)! er absolut konvergente med sum henholdsvis cos(z) og sin(z). Bemærkning 6.4. Man kan vende argumentet om og definere funktionerne ved deres rækker. Ud fra den definitionen kan man så vise alle de velkendte egenskaber. Tilsidst vil vi se på den måske vigtigste af alle rækker, Riemanns zeta-funktion. Vi husker at for r,t og r > 0 er r t = e tln(r). Tilsvarende definerer vi for n +, s og s = a + ib n s = n a+ib = n a e ib ln(n). Definition 6.5. Lad s ζ(s) = n=1 1 n s. med R(s) > 1. Riemanns zeta-funktion er givet ved Bemærkning 6.6. Man kan vise, at ζ er konvergent for R(s) > 1. ζ(s) kan udvides til en pæn funktion defineret på hele \ {1}. Vi vil ikke komme yderligere ind på, hvordan den første påstand bevises eller hvad pæn betyder. Den schweiziske matematiker Euler fandt følgende sammenhæng mellem primtallene og Riemanns zeta-funktion. Sætning 6.7. Lad s ζ(s) = p primtal 1 1 p s, med R(s) > 1. Lad ζ være Riemanns-zeta funktion. Da er Bemærkning 6.8. Man er interesseret i at vide for hvilke s ζ(s) = 0. Ved at bruge lidt mere teori end vi kan give her, er det let at se, at ζ(s) = 0, hvis s {..., 6, 4, 2}. Disse nulpunkter kaldes de trivielle nulpunkter for ζ. Det er også rigtigt, at alle ikke trivielle nulpunkter nødvendigvis må ligge i striben {s 0 R(s) 1}. Dette leder frem til et af matematikkens helt store ubesvarede spørgsmål. 8

9 Hypotese 6.9 (Riemann hypotesen). Alle ikke trivielle nulpunkter for ζ ligger på linien R(s) = 1 2. Bemærkning Clay Institute udlover $ til den, der enten viser eller modbeviser Riemann hypotesen. Det vil have enorme konsekvenser for den moderne talteori, hvis man får afklaret, hvorvidt Riemann hypotesen er sand eller ej. Ved hjælp af en computer har man vist at Riemann hypotesen er sand for de første nulpunkter. Det skal også bemærkes, at dusøren ikke gives, hvis man ved hjælp af en computer finder et nulpunkt, der ikke ligger på linien R(s) = 1 2! 9

10 7 Notation : for alle. : eksisterer. : tilhører. : forskellig fra. produkt. = {0,1,2,3,...}. = {..., 2, 1,0,1,2,...}. = {a/b a, b \ 0}. : de reelle tal. : de komplekse tal. + = {x x, x > 0}. ɛ: det græske bogstav epsilon., : medfører. : hvis og kun hvis. 10

11 8 Opgaver Opgaver mærket med ( ) er svære. Øvelse 8.1. z har modulus π og argument π. Opskriv z på formen x + iy. Tegn z i den komplekse plan. Øvelse 8.2. Lad z = 1 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 6. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.3. Lad z = 3 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 4. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.4. Lad z = 1 + 2i, w = 2 i og v = 1 + 3i. 1. Tegn z,w,v i den komplekse plan. 2. Beregn 1/z, 1/w og 1/v og tegn 1/z, 1/w og 1/v i den komplekse plan. 3. Opskriv z, w og v på polarform. 4. Beregn produktet zwv. Tegn produktet zwv i den komplekse plan. Øvelse 8.5. Tegn mængden {z z = e iθ, θ [0,2π]} i den komplekse talplan. Øvelse 8.6. ( ) Lad z,w. Vis at zw = 0 hvis og kun hvis z = 0 eller w = 0. Vink til : Hvis s,t og st = 0 medfører det, at s = 0 eller t = 0. Skriv z = x + iy og w = a + ib og brug Definition 2.6 til at slutte det ønskede. Øvelse 8.7. ( ) I denne øvelse skal vi vise Sætning 4.4. Lad z,w w = a + ib. og z = x + iy, 1. Opskriv e z og e w. 2. Beregn produktet e z e w og benyt additionsformlerne (1) for sin og cos til at vise Sætning 4.4. Øvelse 8.8. lad D være et område i den komplekse plan givet i polære koordinater ved { 5π D = (r,θ) 1 r 2, 6 θ 5π } Tegn området D i den komplekse plan. 2. Find de fire hjørner z 1,z 2,z 3 og z 4 i D og skriv dem på formen re iθ og x + iy. 3. Beregn produktet z 1 z 2 z 3 z 4 og angiv resultatet på tegningen i (1). 4. ( ) Find den reelle og komplekse faktorisering af polynomiet z ( ) Find alle komplekse tal z, der løser ligningen e 3z = 1. Vink: Brug (4). 11

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere