Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant"

Transkript

1 Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er kondensatorer / spoler involveret i et ACkredsløb, opstår der fasedrejning, Komplekse tal er ideelle til at beskrive forholdene ved fasedrejning. Og OCAD er eminent til at analysere analoge kredsløb. Se kompendiet om Komplekse tal!!! Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

2 VDB VDB VDB Delefilter: Forstærker Vac Vdc V L.8mH C 56uF Bas 4 Højtaler Op til 5 Hz C 7uF L 5uH Diskant 4 Højtaler Over 4 Hz C3 7uF L3 5uH L4.8mH C4 56uF Mellemtone 8 Højtaler Mellem 5 Hz og 4 Hz Højpas Lavpas Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz VDB(L:) VDB(L:) VDB(Mellemtone:) Frequency Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

3 X-aksen er logaritmisk. Y = db, log Uout Uin frekvensafhængig kredsløb Kondensator, Spole, ikke modstand! Når vi har noget, der er frekvensafhængig, har vi også fasedrejning.!!! Udskrevet d. -- 3:43: Side 3 af 5

4 Modstand: Tilsluttes en sinus - spændingsgenerator direkte til en modstand, findes at der går en vekselstrøm. Generatoren pumper ladningerne frem og tilbage. Det er de samme elektroner, der skubbes. Og de løber kun ganske kort, under mm. Men alle elektroner skubber til de næste osv. Dvs. at når spændingen er positiv, er strømmen positiv, og når spændingen er negativ, er også strømmen negativ. Når spændingen er størst, vil strømmen også være størst, og i spændingens nulgennemgang vil også strømmen være nul. Strøm Vac V Ur k Man siger, at strøm og spænding er i fase. De er der samtidig. S p æ n d i n g.v V S t r ø m ua A Spænding Strøm >> -.V -ua s.5ms.ms.5ms.ms.5ms 3.ms V(V:+) I() Time Plot af Spænding og strøm i fase Fasedrejning φ =. Det ses, at frekvensen er KHz, dvs. hel svingning på ms I U Vinklen mellem spænding og strøm kaldes Fi, φ. Vinklen er grader. Udskrevet d. -- 3:43: Side 4 af 5

5 Kondensator Sættes en sinus spændingsgenerator, uendelig god, direkte til en kondensator, vil kondensatorens spænding til enhver tid være den sammen som generatorens. Der er ingen modstand til at bremse ladningerne / strømmens flow, så opladningen af kondensatoren sker lynhurtigt. Der er uendelig strøm til rådighed. U C er altså lig U gen. Altså når U gen er i max, er U C også i max. Generatoren forbundet til en kondensator. Men kondensatoren skal jo oplades / aflades for at spændingen over den kan ændres. Og til opladning / afladning kræves, at der flyttes elektroner / ladninger, at der går en strøm.. Dvs. at hvis spændingen over kondensatoren ændres, må der gå en strøm. Og hvis spændingen skal ændres meget på kort tid, må der en stor strøm til. Det betyder også, at hvis der ikke ændres på spændingen over kondensatoren, går der ingen strøm. Dette sker jo hvis hældningen på den påtrykte sinus er. du/dt =. Og dette sker netop i toppunktet og i bunden. Altså hvis sinusspændingen er i top, vil strømmen I c være. Tilsvarende når generatorspændingen U C krydser, vil spændingensændringen = hældningen duc/dt være størst, og dermed må spændingsændringen over kondensatoren også være størst. Og altså også strømmen I c. der går til eller fra kondensatoren. På en graf ser det ud som på følgende: Udskrevet d. -- 3:43: Side 5 af 5

6 .ma.v Ugen A V IC -.ma >> -.V s.5ms.ms.5ms.ms.5ms 3.ms -I(C) V(V:+) Time Graf for spænding og strøm i en kondensator. Φ = 9 grader Grafen for den påtrykte spænding er markeret med trekanter, strømmen med firkanter. Efter et spændings-toppunkt falder spændingen, og kondensatoren må følgelig aflades. Altså er strømmen på vej ud af kondensatoren, hen mod generatoren. Hvis strømmen hen til kondensatoren regnes positiv ses, at efter et spændingstoppunkt er strømmen til kondensatoren negativ. Og i spændingens nulgennemgang er dens hældning størst, positiv eller negativ, og derfor er spændingsændringen størst og der skal flyttes flest elektroner pr tidsenhed ud af eller ind i kondensatoren. Følgelig må strømmen her være størst. Altså må der, som der ses på grafen, være en forskydning mellem strøm og spænding på 9 grader. Og strømmen er 9 grader før spændingen. E hel svingning er jo 36 grader. Tegnes en graf af Uc og Ic som ovenfor, med tiden ud ad X-aksen, vil først Ic krydse [V] på vej ned, og 9 grader senere krydser Uc [V] på vej nedad. Uc er altså 9 grader bagefter Ic, eller Ic er 9 grader foran Uc. Fasedrejningen FI =. For at huske at strømmen er foran, kan anvendes navnet ELICE. Omkring C`et ses at I er før E. Egentlig bruges U for spændingen, men tidligere brugtes E. På vektorform ser det således ud. Vektorerne drejer venstre om. Man står et sted og venter, og den første vektor, der ankommer, er strømmen. 9 grader efter kommer spændingen. Fasedrejningen eller faseforskydningen er 9 Grader. Udskrevet d. -- 3:43: Side 6 af 5

7 I Uc Fi Strømmen tegnes vandret Strømmen er 9 grader forud for den påtrykte spænding. I dagligdagen kender vi fx faseforskydning fra årstiderne. Det er ikke koldest ved dec, der er den korteste dag, og ikke varmest til Sct. Hans. Temperaturen er forskudt bagud et par måneder. Og vores døgnrytme er forskudt. Vi står jo ikke op og udnytter de første lyse timer. Og vi er vågne til sent aften. Kondensatorens modstand. En kondensators modstand ved DC er uendelig, hvis man ser bort fra lækstrømme.. Når den er opladt, går der jo ikke mere strøm, og modstanden afgør, hvor stor strømmen er ved en given spænding. Ved AC bliver kondensatoren hele tiden opladt og afladt. Dvs. der går en strøm til og fra kondensatoren. Ved samme spænding er det samme ladningsmængde, der skal transporteres til og fra kondensatoren, - uanset frekvens. Ladningerne ankommer til den ene plade, og ophobes, samtidig med at der forlader samme mængde ladninger fra den anden plade. Generatoren pumper blot ladninger rundt i kredsløbet. Ved højere frekvens skal samme ladningsmængde transporteres hurtigere frem og tilbage fra Q kondensatoren for at opnå samme spænding, idet U C. Kondensatorens spænding er lig med C dens ladning Q delt med kondensatorens størrelse i Farad. En hurtigere ladningstransport er ensbetydende med en større strøm. Altså ved stigende frekvens virker kondensatoren som en mindre modstand. Udskrevet d. -- 3:43: Side 7 af 5

8 En kondensators modstand ved vekselspænding kan beregnes med : X C f c Hvorfor kan strøm gå gennem en kondensator? En kondensator er to ledere ( plader ) adskilt af et dielectricum ( en isolator). Derfor kan strøm ikke passere gennem den. Men hvis strømmen er AC kan det observeres, at noget ækvivalent til strømmen passerer. AC strøm vender dets retning med en given frekvens. esultatet er, at polariteten af spændingen målt ved input-terminalerne på kondensatoren svinger fra positive til negative spændinger. Hvis den påtrykte spænding går negativ, bliver elektroner opmagasineret på den kondensator-plade, spændingen er tilsluttet. Og da elektroner frastøder andre elektroner, bliver elektroner frastødt på den anden plade. Hvis spændingen går positiv, trækkes elektroner væk fra pladen, hvilket betyder, at det lades op positiv, og dette tiltrækker elektroner til den modsatte plade. Man kan også sige, at elektroner løber til den ene side af en kondensator, og andre forlader den anden side, efterladende huller. Den øjebliks-energi, der til enhver tid er opmagasineret i en kondensator, er WC CU. C-LED Forbindes nu en serieforbindelse af en modstand og en kondensator, - et C-led, - til generatoren haves en mellemting mellem en ren ohmsk belastning og en kapacitiv belastning. Alt afhængig af frekvensen. Den påtrykte spænding deler sig mellem modstanden og kondensatoren, og idet kondensatorens modstand er frekvensafhængig, må der også være et frekvensafhængig forhold mht. spændingsdelingen. Udskrevet d. -- 3:43: Side 8 af 5

9 Ugen Uout C Generatoren påtrykker C-leddet en sinus-spænding. Strømmen I er ens i de to komponenter. Når der går en strøm i den ene, går der også strøm i den anden. Der kan ikke ophobes ladninger! Strøm ophobes ikke. Størrelsen af strømmen I er afhængig af modstanden, generatoren ser ind i. Og modstanden er igen afhængig af generatorens frekvens, idet kondensatorens modstand Xc jo er frekvensafhængig. Hvis modstanden ikke er ren ohmsk, kaldes den for en impedans. Ved ren ohmsk belastning ville strøm og spænding være i fase, dvs. at når spændingen er på sit højeste, er strømmen det også. Og når spændingen er, er strømmen også. Fasedrejningen Fi φ er grader. ( vist tidligere ) I vektordiagrammet afsættes ved ren ohmsk belastning både strøm og spænding ud af samme akse vandret til højre og vinklen mellem dem er grader. Men nu er der en ikke ohmsk komponent med. Dvs at strøm og spænding ikke længere er i fase. I et vektordiagram se nedenfor - afsættes den, der er ens, altid vandret til højre. Det er i en serieforbindelse strømmen, der er ens eller fælles. Strømmen går jo gennem begge komponenter samtidigt. Spændingen over modstanden U er altid i fase med strømmen og afsættes ud ad X-aksen i fase med strømmen. I kondensatoren er strømmen I C 9 grader foran spændingen U C - og det betyder jo også, at spændingen er bagud for strømmen. 9 grader bagud. Vektordiagrammet drejer mod uret. Man står så et sted, og ser, hvad der først kommer forbi. Derfor afsættes U C lodret nedad, altså 9 grader bagud. Generatorspændingen U Gen er den geometriske sum af U og U C. Strømmen er altså foran den påtrykte generatorspænding. U OUT, der er lig U C, er bagud i forhold til generatorspændingen, altså haves en faseforskydning bagud eller en negativ faseforskydning. Faseforskydningen er vinklen mellem U gen og U OUT og kaldes for Fi. Udskrevet d. -- 3:43: Side 9 af 5

10 Ur I Fi Ugen Uout = Uc Vektordiagram for U, U C og U GEN i et C-led. U gen er den påtrykte spænding. Dennes længde ændres ikke ved forskellige frekvenser. Den bestemmes jo af generatoren. Men fordelingen af spændingen over og X C ændres ved forskellige frekvenser. Uc bliver mindre ved højere frekvenser. Dvs. at vektoren U gen vandrer / drejer fra næsten lodret cirkelformet op mod vandret mod højre omkring origo ved stigende frekvens. Ved meget lave frekvenser er X C meget stor, og næsten hele generatorspændingen kan måles over kondensatoren. Modstandens værdi er lille i forhold til X C. Vektoren U gen er næsten lodret. I må være lille! Stiger frekvensen, falder X C, og vektoren U gen drejer mod højre. Spændingen over X C falder mens den stiger over. I må også blive større. Ved en bestemt frekvens er X C faldet til samme værdi som modstanden. X C og er lige store, og derfor også U C og U. I er jo den samme i både modstand og kondensator. Sammenlagt vektorielt er de lig med den påtrykte spænding U gen. U gen må gå 45 grader ned mod højre. Altså ses, at jo større U C er i forhold til U, jo mindre vinkel. Den største U C fås ved den laveste frekvens, hvor modstanden i kondensatoren jo er meget stor. Jo mere frekvensen stiger, jo mindre bliver modstanden i kondensatoren, og jo mindre bliver U C - og vinklen Fi stiger. Den frekvens, hvor Xc er faldet til samme værdi som modstanden, kaldes overgangsfrekvensen, eller knækfrekvensen, eller f. Ved overgangsfrekvensen eller knækfrekvensen f er kondensatorens modstand faldet til samme værdi som modstandens værdi, og U C og U er lige store, og vinklen vil være 45 grader. U out ses i vektordiagrammet at være U gen gange Cos (45), som også er U Gen, eller U gen gange,77. tg(fi) = Modstående Hosliggend e U U C X C Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

11 tg U U C tg X C S p æ n d i n g.v Ugen V Uc Ur -.V s.ms.ms 3.ms V(UGEN) V(UC) V()- V() Time C-led, = KOhm, C = nf, Det ses, at Uc + Ur = Ugen. Ved valgte komponenter og frekvens er U X lav, som det ses. U C er næsten lig Ugen. Med andre komponentværdier findes følgende:.v Ugen Uc V Delta Ur -.V s.5ms.ms.5ms.ms.5ms 3.ms V(UGEN) V(UC) V()- V() Time C-led, = KOhm, C = nf, Det ses, at summen af Uc og Ur er lig Ugen. Kondensatoren er nu kun nf, dvs. at en større del af spændingen nu ligger over kondensatoren. Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

12 Ved hjælp af to grafer, kaldet et Bodeplot, får man et fint billede af situationen ved forskellige frekvenser. Den ene graf er for systemets forstærkning, dvs. Uout / Uin. Forstærkningern er ganske vist under, dvs. en dæmpning, men kan godt opfattes som en forstærkning. Grafen har logaritmisk X-akse, og forstærkningen afbildes i db (decibel). Forstærkningen i db Uout findes som db log Uin Den anden graf viser fasedrejningen, igen med frekvensen ( logaritmisk ) ud ad X-aksen. Sammenlignes grafen ovenover med Bodeplot skitsen nedenfor ses, at ved f, hvor vi har knækket, er forstærkningen iflg. ovenstående faldet til,77 gange U gen selv om det ikke tegnes. Der tegnes med rette linier.,77 omregnet til db er -3, eller blot -3 db. I knækket siges også, at man har nået 3 db grænsen. ' db A = log log U U OUT Gen Bodeplot skitse af Uout i forhold til Uin ( = forstærkning ) og tilhørende fasedrejning. Ovenstående skitse vises på næste graf tegnet med et simuleringsprogram: Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

13 -5 -.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz MHz VDB(:) VP(:) Frequency Bodeplot og fasedrejning fra simuleringsprogrammet OCAD. VDB, (U db ) markeret på grafen med firkanter, er et Bodeplot af forstærkningen, og VP, U Phase, markeret med firkanter på spidsen, er udgangsspændingens fase. Højpas-led ( -led ) I et højpasled er igen strømmen I ens. Det er jo en serieforbindelse. U er i fase med strømmen, og I C 9 grader foran U C. Ugen,som er den geometriske sum af U og U C, er bagud i forhold til strømmen, dvs. strømmen er foran U gen. U out tages over U og er således foran generatorspændingen. Fi er altså positiv og er vinklen fra U gen til U. Vektordiagram for et -led. Uout er foran generatorspændingen. Det ses af vektordiagrammet at jo højere frekvens, jo mindre X C og U C jo mindre vinkel Fi, og jo større bliver U. Udskrevet d. -- 3:43: Side 3 af 5

14 Ved meget lave frekvenser er X C meget stor i forhold til, heraf er U C også stor i forhold til U, og fasedrejningen er næsten 9 grader. Ugen er jo konstant, og deles vektorielt af X C og. Ved høje frekvenser er kondensatoren næsten kortsluttet, derfor er U C lille i forhold til U, og fasedrejningen er næsten grader. Ved lave frekvenser er XC stor, og der kommer næsten ikke noget ud på Uout. Ved meget høje frekvenser er kondensatoren næsten kortsluttet, og derfor er Uout næsten den samme som Ugen. Høje frekvenser passerer altså, og deraf navnet Højpasled. Skitse af bodeplot af -led, et Højpasled med tilhørende fasedrejning Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz MHz VDB(:) VP(:) Frequency Bodeplot af et højpasled og tilhørende fasedrejning vist med simuleringsprogrammet OCAD. Udskrevet d. -- 3:43: Side 4 af 5

15 VDB er Bodeplot af forstærkningen i db, som selvfølgelig er under ( ganges forstærkning ), og VP er udgangsspændingens fasedrejning. BUG AF KOMPLEKSE TAL. I ovenstående eksempler er brugt et roterende koordinatsystem, med en X-akse til ikke faseforskudte størrelser, dvs. reelle, og en Y-akse til de faseforskudte, ( kaldes imaginære = svært forståelige ) størrelser. Vektorer heri udtrykker størrelser og fasedrejning for et givet kredsløb ved en given frekvens. Komplekse Vektorer. Fra venstre: Tilfældig vektor, så for kondensator og sidst for en spole. Ved matematisk beskrivelse af vektorerne bruges "j" foran de lodrette vektorer for at angive, at de er 9 grader foran eller bagud, dvs. i vores system opad eller nedad. Modstand: Kompleks fremstilling af vektoren for en modstand er : Z = + j "j" angiver, at modstanden ikke har en imaginær del, altså er ren ohmsk eller "reel". Kondensator: For kondensatorer fås, at Zc jxc j fc Udskrevet d. -- 3:43: Side 5 af 5

16 fc kan også skrives som C, ( omega * C ), så Zc j C eller Zc j C idet j j j j C j C j C C Bemærk j*j = -! Vektoren starter i origo, og minustegnet indikerer, at den går nedad. Hvorfor er j = -?? Den komplekse vektor j kan også skrives som + j. Dvs. ud ad x-aksen, og opad Y-aksen. På polær form er + j = 9 j * j er altså lig ( 9) * ( 9).Dette er lig * (9 + 9 ) = 8. Som igen er lig. EKSEMPEL Der ses i dette eksempel på en serieforbindelse af en modstand og en kondensator. Den samlede impedans "Z" er den vektorielle sum af vektoren "" og "X C " lodret nedad. Modstanden kan på kompleks form skrives som + j, og kondensatorens værdi som - jx C. Minusset angiver "nedad". Impedansen Z bliver sammenlagt idet "j" angiver de 9 graders drejning: Vektoren Z in = ( + j ) + ( - jx C ). De reelle komposanter adderes for sig, og de imaginære adderes for sig, begge med fortegn. I øvrigt henvises til separat afsnit om regneregler. Her fås: Z in = - jx C. Dette angiver at vektoren Z in kan opløses i en projektion på x-aksen som er "" og en projektion på y-aksen der er X C lang i negativ, lodret retning. Længden af Z bliver vha Pythagoras : Z Xc Z C Fasedrejningen Inv-tan( X C / ) eller på en anden skrivemåde "fi" = tg - (X C /) bliver : Udskrevet d. -- 3:43: Side 6 af 5

17 tg Im e eller tg Xc Eksempel på beregning af impedansen Z og fi. Eksempel med spændingsdeler: Flg. eksempel med en spændingsdeler bestående af en modstand og en kondensator, et såkaldt "lavpas-led", vil være noget svær at overskue vha vektorer. Men med en undersøgelse eller beregning vha. kompleks regning kan det lade sig gøre, omend mellemregningerne kan være svære at tolke. Først ses rent logisk, at høje frekvenser nærmest vil være kortsluttede ved udgangen, idet en kondensator er en lille modstand ved høje frekvenser. U Out er altså dæmpet. Modsat har kondensatoren en meget stor modstand ved meget lave frekvenser, og dette fører til at kondensatoren ikke belaster eller "stjæler" ret meget af signalet ved lave frekvenser. U Out er altså næsten lig U In ved lave frekvenser. Heraf navnet, LAVPASFILTE. Lave frekvenser passerer nærmest uhindret, og høje dæmpes. Dæmpningen, eller forstærkningen, der er under gange, er altså frekvensafhængig. Udskrevet d. -- 3:43: Side 7 af 5

18 Kredsløb med C-led og skitse af dets boodeplot. Inddelingen på X-aksen er logaritmisk! Boodeplottet viser kredsløbets "forstærkningen" ved forskellige frekvenser og angiver hvor knækfrekvensen eller f ligger. Ved knækfrekvensen er forstærkningen faldet 3 db, og fasedrejningen er 45 grader. Ved knækfrekvensen er X C Undersøgelse af kredsløbet vha. vektorer: Som det ses af diagrammet ovenover, tages udgangsspændingen U Out over kondensatoren. Fasedrejningen må altså være forskellen mellem Ugen og Uc. U C er bagud i forhold til U Gen. Stiger frekvensen,bliver X C mindre, derfor også vektoren, og fasedrejningen stiger. U C er bagud i forhold til U Generator. Vinklen "fi" på fasedrejnin-gen, dvs. vinklen mellem U gen og U Out beregnes: Tangens "fi" = Modstående Hosliggende = U U C = X C "fi" er følgelig tg X C Længden af XC ændres når frekvensen ændres. XC bliver meget kortere ved høje frekvenser. Det indses også af formlen til beregning af XC. X C Frekvensen f optræder i nævneren. Altså bliver X fc C mindre ved stigende frekvens. Samtidig ses af tegningen, at fasedrejningen bliver meget større ved høje frekvenser, op mod 9 grader. Er X C og lige store, er "fi" = tg - (/) = 45 grader. Det sker ved f. Udskrevet d. -- 3:43: Side 8 af 5

19 Undersøges spændingsdeleren, eller lavpasleddet, med kompleks notation, fås, idet der ses på overføringsfunktionen for kredsløbet: A` X C X C j C j j C Man bør ikke have "j" i nævneren da det ikke er håndterlig. Ligningen forlænges derfor ved at gange i tæller og nævner med den kompleks konjungerede ( den kompleks modsatte ). A` j j j j j j j De to midterste led i nævneren går ud. Nu optræder der et "j ", og der er det specielle ved det komplekse system, at j*j er lig -. Altså fås: A` j Dette er en sammensat ligning, hvor nogle af leddene angivet med "j" er vinkelret på den reelle, vandrette akse. Ligningen opdeles nu i en vandret, dvs. reel del uden "j", og en imaginær, lodret del med "j" foran. Nævneren må være fælles. A` j Længden af de vektorielt sammenlagte dele er: Udskrevet d. -- 3:43: Side 9 af 5

20 A` Im Og fasedrejningen tg tg e Prøve: esultatet underkastes nu en prøve for at teste resultatet. Der undersøges først for frekvensen f gående mod nul, dvs. også går mod nul: A` tg A` tg U out er altså ved meget lave frekvenser U in ganget med Dvs. at U out går imod U in ganget med og "" grader fasedrejning. Det må også være resultatet af en logiske betragtning da kondensatoren ikke udgør en belastning ved f gående mod.. Herefter undersøges for frekvensen f gående mod uendelig, dvs. også går mod uendelig: A` tg A` U out er altså ved meget høje frekvenser U in ganget med 9. Dvs. at U out går imod U in ganget med og "9" grader fasedrejning bagud. Outputamplituden går imod "", eller "kortsluttet", og fasedrejningen er -9 grader. Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

21 For frekvensen gående mod f, dvs. knækfrekvensen i boodeplottet eller den frekvens hvor = Xc fås: Xc C Dette indsættes: A` tg A` 45 A` A`, A` =,77 og fasedrejningen = 45 grader bagud ved knækfrekvensen. Flg. viser sammenhængen mellem boodeplot og graf for fasedrejningen: Måleskema: Eksempel: Spændingsdeler: Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

22 = KOhm, C = 5 nf Udskrevet d. -- 3:43: Side af 5

23 4 Uout Generatoren påtrykker en spænding. I er afhængig af impedansen, dvs. den samlede modstand. Vac Vdc V C5 Nul Ved ren ohmsk belastning er strøm og spænding i fase. Faseforskydningen er nul grader. I U Men her findes: Det er en serieforbindelse. Altså er strømmen ens. Og afsættes vandret ud mod højre. Uout = Uc Fi Ur Ugen I Ur er i fase med I For kondensatoren gælder, at Ic er 9 grader foran Uc, eller omvendt, Uc er 9 grader bagefter Ic. Altså tegnes nedad. Ugenerator er den geometriske sum. Det ses, at generatoren leverer strøm før spænding.! Men også, at spændingen på udgangen er bagefter generatorens spænding. Derfor vil der også ske fasedrejning i et filter. Fasedrejningen er vinklen mellem Uout og Ugenerator. Kaldes Fi,. Fi er negativ tg Modstående Hosliggend e Ur Uc Xc tg Ur Uc Dvs. jo større Uc er i forhold til Ur, jo mindre vinkel. Udskrevet d. -- 3:43: Side 3 af 5

24 Jo højere frekvens, dvs. jo mindre Uc, jo større vinkel. Altså er fasedrejningen også afhængig af frekvensen. I knækket kaldes frekvensen = f, der er = Xc, og altså er fi = 45 grader. Ugen Uc Ugen cos 45 Ugen,77 Altså er forstærkningen faldet til,77 gange,77 gg ~ 3, db. C-led betragtet kompleks: Vac Vdc V 4 C5 Uout A' Xc Xc j C j C j Nul Vi vil gerne fjerne j i nævneren, derfor ganges gennem med den kompleks konjungerede A ' j j j j A ' tg Prøve: f, => A ' tg Altså for meget lave frekvenser er det, der kommer ud, lig med det, der kommer ind, uden fasedrejning. Ved lave frekvenser er modstanden i kondensatoren jo også meget stor. f Udskrevet d. -- 3:43: Side 4 af 5

25 A ' tg 9 Eks: = K, C = nf Knæk i 59 Hz. Udskrevet d. -- 3:43: Side 5 af 5

Fasedrejning i RC / CR led og betragtninger vedrørende spoler

Fasedrejning i RC / CR led og betragtninger vedrørende spoler Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers frekvensafhængighed,

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

De fleste kender den typiske RIAA forstærkers frekvensgang(rød). Her er også vist dens fasegang (grøn). (simuleret)

De fleste kender den typiske RIAA forstærkers frekvensgang(rød). Her er også vist dens fasegang (grøn). (simuleret) Fasedrejning og dens betydning for lyden Hvad er fasedrejning? Hvis vi lige starter med den hardcore teori, så er fasedrejning en forskydning af strøm i forhold til spænding. Det opstår i spoler og kondensatorer,

Læs mere

Analyseopgaver. Forklar kredsløbet. Forklar kredsløbet. 3.0 DC Adapter med Batteri Backup.

Analyseopgaver. Forklar kredsløbet. Forklar kredsløbet. 3.0 DC Adapter med Batteri Backup. Analyseopgaver. Simpel NiMH lader. Forklar kredsløbet.. Infrarød Remote Control tester Forklar kredsløbet.. DC Adapter med Batteri Backup. Der bruges en ustabiliseret Volt adapter. Den giver normalt ca.

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Design & Produktion. Valle Thorø. Sønderborg. ELektronik. ( Pendler-ordning gør det muligt! )

Design & Produktion. Valle Thorø. Sønderborg. ELektronik. ( Pendler-ordning gør det muligt! ) Design & Produktion Valle Thorø Sønderborg ELektronik ( Pendler-ordning gør det muligt! ) 1.G 2.G 3.G Teknologi B Teknologi B Evt. teknologi A Teknikfag, Elektronik 5 lekt. Pr uge 5 lekt. Pr uge 9 lekt.

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Harmonisk- Benny Haar Nielsen Applikationsingeniør OEM Industri

Harmonisk- Benny Haar Nielsen Applikationsingeniør OEM Industri Harmonisk- forvrængning Benny Haar Nielsen Applikationsingeniør OEM Industri Faldgrupper med frekvensomformer Højfrekvent støj EMC-filter (øger lækstrøm) Skærmetkabel (øger lækstrøm) Switch frekvens (Akustisk

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Lenze Global Drive Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori

Lenze Global Drive Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori 1 Hvad skal Frekvens konverter bruges til Hastigheds regulering af en asynkron AC motor => Energibesparelser Mindre slidtage og vedligehold Bedre arbejdsmiljø

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Matematik C Nst 16A Oversigt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

til undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk El-Fagets Uddannelsesnævn

til undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk El-Fagets Uddannelsesnævn Lysrørs faktorer For at et lysstofrør kan tænde, er der to faktorer, som skal opfyldes: 1. Varme glødetråde 2. Høj tændspænding Disse to faktorer opnås på forskellig vis, alt efter hvilken lysstofrørs-koblingsmetode,

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter Kollektor Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999 Basis Emitter 1 Indholdsfortegnelse Problemformulering 3 Transistorens opbygning 4 Transistoren DC forhold

Læs mere

Øvelse i termisk analyse

Øvelse i termisk analyse Øvelse i termisk analyse Fysisk teknik ved Bo Jakobsen http://dirac.ruc.dk/~boj/teaching Efterår 2011 1 Baggrund Øvelsenhartilformålatsættejerindienmetodetilatbestemmeetmateriales frekvensafhængige varmekapacitet.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

DSO - Drift, Styring og Overvågning af elforsyningen

DSO - Drift, Styring og Overvågning af elforsyningen DSO - Drift, Styring og Overvågning af elforsyningen Del 1. Kapacitiv spændingsmåling Af Peter Johansen, www.jomitek.dk Denne artikelserie omhandler emnet DSO, primært for mellemspændingsnettet. Artiklerne

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Maskiner og robotter til hjælp i hverdagen

Maskiner og robotter til hjælp i hverdagen Elektronik er en videnskab og et fagområde, der beskæftiger sig med elektriske kredsløb og komponenter. I daglig tale bruger vi også udtrykket elektronik om apparater, der udnytter elektroniske kredsløb,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger. Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie???

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie??? Romertal. Hvordan var de struktureret?? Systematisk?? I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Regler: Hvis et lille tal skrives foran et stort tal trækkes tallet fra: IV = 5-1 = 4 Hvis et lille tal skrives

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Brugsanvisning Brugervejledning til digital multimeter 57806 1.0. Artikel-nr. / Article No.: Sprog / Languages: Version / Version:

Brugsanvisning Brugervejledning til digital multimeter 57806 1.0. Artikel-nr. / Article No.: Sprog / Languages: Version / Version: Brugsanvisning Brugervejledning til digital multimeter 57806 Artikel-nr. / Article No.: 57806 Sprog / Languages: da Version / Version: 1.0 BERNER_71167.pdf 2012-12-13 Art-Nr.: 57806 Multimeter DK Digitalt

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Øvelse 1 Capture:... 2 Oprettelse af projekt til simulering samt navigering i projektet... 2

Indholdsfortegnelse. Øvelse 1 Capture:... 2 Oprettelse af projekt til simulering samt navigering i projektet... 2 Indholdsfortegnelse Øvelse 1 Capture:... 2 Oprettelse af projekt til simulering samt navigering i projektet... 2 Øvelse 2:... 8 Opsætning og kørsel af bias punkt og DC simuleringer... 8 Øvelse 3:... 14

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger.

ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger. ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger. Betjeningsvejledning Micro Temp. Datalogger. Side 1. Micro Temp. er en 1 kanals temperatur datalogger, der leveres i et vandtæt rustfrit kabinet,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Spørgsmål Emne Afsnit (vejledende) Øvelse Emner, der ønskes behandlet ved eksaminationen 1 Elektriske grundbegreber og jævnstrømskredsløb

Spørgsmål Emne Afsnit (vejledende) Øvelse Emner, der ønskes behandlet ved eksaminationen 1 Elektriske grundbegreber og jævnstrømskredsløb M4EAU1. Eksamensspørgsmål juni 2015 Spørgsmål Emne Afsnit (vejledende) Øvelse Emner, der ønskes behandlet ved eksaminationen 1 Elektriske grundbegreber og jævnstrømskredsløb 1+2+3 (på nær afsnit 3.3) i

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER QUICK-GUIDE. F4-C VERSION (0,75 315 kw)

KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER QUICK-GUIDE. F4-C VERSION (0,75 315 kw) KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER ANTRIEBSTECHNIK QUICK-GUIDE F4-C VERSION (0,75 315 kw) REGAL A/S Industrivej 4, DK - 4000 Roskilde Tlf. 46 77 70 00 Fax 46 75 76 20 regal@regal.dk www.regal.dk Forord Denne

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere