Introduktion til Excel

Transkript

1 Introduktion til Excel Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium 2006

2 Indhold 1 Generelt om Excel Opstart Indtasning i Excel Formatering og lidt redigering Formler Diagrammer i Excel Søjlediagrammer Cirkeldiagrammer xy-plot Den gode graf Statistik Diskrete observationer Observationssættets størrelse Middeltal, mindsteværdi og størsteværdi Typetal, kvartiler og spredning Hyppigheder, frekvenser og stolpediagrammer Boxplots Grupperede observationer Regression og problemløseren xy-sammenhænge og regression Lineær regression Eksponentiel regression Potens regression Problemløseren i Excel Mindste kvadraters metode Eksempler på optimering

3 Kapitel 1 Generelt om Excel 1.1 Opstart Excel er et regnearksprogram, hvor man kan lave talbehandling, grafer og meget andet. En Excel-l har efternavnet.xls og kaldes en projektmappe, som består af et antal regneark. Når Excel startes, vises et tomt regneark i projektmappen - se gur 1.1. Som sædvanligt for Windows-programmer, er Figur 1.1: Et regneark der foroven en menulinie, se gur 1.2 og under den nogle værktøjslinjer, se gur 1.3 Nogle af knapperne kan være skjult, fordi de ikke har været brugt et 2

4 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 3 Figur 1.2: Menulinje Figur 1.3: Værktøjslinjer stykke tid, men man kan nde dem ved at klikke på dobbeltpilen for enden af linierne. Man kan også tilføje eller fjerne knapper fra værktøjslinjen ved at vælge Funktioner + Tilpas i Menulinjen. Allernederst er der en statuslinie og lige over den, kan man se nogle arkfaner. Excel projektmappe kan indeholde lige så mange ark, det skal være, og man kan kalde dem noget mere sigende end Ark1 osv. Det gør man ved at dobbeltklikke på navnet, skrive et nyt og klikke et sted i arket. På den Figur 1.4: Arkfaner, som kan omdøbes måde kan man adskille forskellige dele af en opgave ved f.eks. at samle alle indtastede data i et ark, beregninger i et andet og grafer i et tredje. Hvert regneark består af en masse celler, som navngives efter hvilken kolonne og hvilken række, de står i. Kolonnerne angives ved et stort bogstav, startende med A, B, C..., mens rækkerne har hvert sit nummer, startende med 1, 2, 3... En celles navn f.eks. B4 kaldes også dens adresse. Man markerer (aktiverer) en celle med et venstreklik med musen. Hvis man vil have markeret cellerne i et helt område, peger man med musen på den første celle i området og holder venstre museknap nede, mens man markerer området. Når museknappen slippes, er det valgte område markeret. Den markerede celle eller det markerede område vises i regnearket med en fed ramme - på gur 1.1 er det A1. Man bevæger den aktive celle rundt i regnearket enten ved brug af tasturets piletaster eller ved at klikke rundt med musen.

5 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL Indtasning i Excel Det er såre simpelt at indtaste data. Klik f.eks. i cellen B4 og tast 1 og tryk ENTER. Celle B4 er skiftet fra at være tom til at indeholde tallet 1 og nu er cellen nedenunder (B5) den aktive celle. Prøv f.eks. at indtaste tallene fra 2 til 10 ind i området B4:B13, som vist på gur 1.5. Hvis man har tastet galt, kan man altid redigere en celle ved at dobbeltklikke på den. Figur 1.5: Indtastede tal Indholdet i den aktive celle kan altid ses i formellinjen øverst på siden, hvor man også kan redigere i cellens indhold. Figur 1.6: Forskellige datatyper i Excel

6 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 5 Celleindholdet kan være et tal, en tekst eller en formel, se gur 1.6. Tal er data, som kun består af cifre evt. med et fortegn eller decimaltegn. Data, der indeholder et bogstav, opfattes som tekst pånær i celleadresser. En indtastning, der starter med = er en formel. 1.3 Formatering og lidt redigering Som i Word kan du ændre udseendet på de data, der står i cellerne. Tekst vil automatisk blive venstrestillet i en celle, mens tal justeres højrestillet i cellerne. Hvis man ønsker, at data skal placeres anderledes, markerer man først de pågældende celler ved pege på den første celle og holde venstre musetast nede, mens der trækkes hen over de celler, der skal formateres, og slippe musetasten. I menulinjen vælges Formater + celler, og man får et undervindue frem, se gur 1.7, hvor man så kan vælge efter lyst. Figur 1.7: Formateringsmuligheder i Excel Normalt vil der også være mulighed for at benytte knapper på værtøjslinjen til de mest almindelige formateringer som placering (venstre, centrer og højre) og skrifttyperne (fed, kursiv og understreget). To rigtigt gode værktøjsknapper er Forøg decimal og Formindsk decimal, som ændrer antallet af viste decimaler i tal. Hvis man ønsker at formatere en hel kolonne eller række, klikker man på kolonnens bogstav eller rækkens nummer. Herved markeres alle cellerne i kolonnen eller rækken og kan formateres efter ønske. Når man sidder og skriver i en celle, sker det gang på gang, at der ikke er

7 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 6 plads til teksten eller tallet i cellen. Hvis det er tekst, der skrives, og cellerne til højre er tomme, skrives teksten bare ind over disse. For tal kan der ske lidt af hvert, afhængig af den formatering man har valgt, se gur 1.8. Figur 1.8: For lange indtastninger Figur 1.9: Kolonne A tilpasset Det er ikke noget problem, for man kan ændre kolonnebredderne efter behov. Når man peger på den lodrette streg mellem to kolonneoverskrifter, ændres musen til en dobbeltpil med en lodret streg igennem, som viser, at nu kan man ytte skillelinjen mellem de to kolonner til venstre eller højre efter behov. På samme måde kan man også ændre en rækkes højde ved at rykke på den vandrette linje mellem to rækkenumre. I regnearket kan man indsætte og fjerne rækker eller kolonner. Hvis man har markeret en række og vælger Indsæt + række, indsættes en ny tom række over den markerede række (altså før det markerede). Hvis man har markeret end kolonne og vælger Indsæt + kolonne, indsættes en ny tom kolonne til venstre (altså før det markerede igen). Hvis man "kvajer sig"virker superkommandoen Ctrl+z ("Ups, glem det jeg lige gjorde"), som i Word. Kommandoerne Ctrl+c (kopier), Ctrl+v (sæt ind) og Ctrl+x (klip ud) virker også. 1.4 Formler Excel er et regneark dvs. et regneprogram, der kan bruges til at udføre beregninger, der både kan være tidskrævende og vanskelige at udføre manuelt. Man indtaster selv nogle tal, og på grundlag af disse og nogle indtastede formler, kan man i regnearket få foretaget beregninger, opstillet tabeller og få tegnet grafer og diagrammer. Når man skal lave en udregning som f.eks , skal man først lave en formel. En formel indledes altid med et lighedstegn =, og når udtrykket skal indtastes, er reglerne for indtastningen stort set de samme som på en lommeregner. Gangetegn indtastes som * og må ikke udelades. Nu til regnestykket, som indtastes i cellen og efterfølges med ENTER, se gur Læg mærke til, at der i cellen står den udregnede værdi. Formlen står i formellinjen. De almindelige regneoperationer indtastes som +,, * og /. Tegnet ("hat") svarer til at opløfte i en potens dvs. at 3 2 indtastes som 3 2. Hatten er en

8 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 7 Figur 1.10: Et simpelt regnestykke Figur 1.11: Hjælp til indbyggede standardfunktioner dødtast, der først vises, når det følgende tegn er indtastet. Hvis man vil tage kvadratroden af et tal, skal man bruge en af de mange standardfunktioner, som er indbygget i Excel. Hvis man f.eks. vil tage kvadratroden af 2809, indtaster man =kvrod(2809), og hvis man ikke lige kan huske, hvad man skal skrive, er der hjælp at hente på værktøjslinjen. Her vælger man Indsæt funktion se gur Klikker man på tasten, vises der et undervindue med forskellige muligheder, og så kan man enten søge efter kvadratroden eller scrolle ned til man Figur 1.12: Indsæt funktion menu møder kvrod og trykke OK. Så indtaster man tallet 2809 og trykker OK, se gur Resultatet vises nu i cellen og formlen i formellinjen, se gur 1.14.

9 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 8 Figur 1.13: Figur 1.14: Den endelige kvadratrod Øvelse 1. Udregn følgende regnestykker ved at indtaste dem i hver sin celle i et regneark a b c. 7 : 2 2 d e. 5 3 f g. 67 Til få, simple regninger vil det selvfølgelig være langt hurtigere at bruge en lommeregner end et regneark. Det er ved de mere besværlige eller mange regninger, at regnearket kommer til sin ret, og det er også et glimrende hjælpemiddel, hvis man hurtigt vil skae sig et overblik over, hvilken betydning en ændring af en bestemt størrelse får for resultatet af en beregning. Regnearket kan nemlig "læres"ved brug af formler at udføre en regneoperation i en bestemt celle, som så kan overføres til en hel søjle eller række ved en simpel

10 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 9 kopiering. Lad os se på nogle muligheder i Excel. Vi starter med et regneark, hvor vi i B4 skriver 10 og markerer cellen B5 (tryk pil ned). I cellen B5 skriver vi nu formelen = B4+10 og ENTER. Nu står der 20 i B5. Går vi op til B5 igen, kan man se formlen i formellinjen. Med musen fanger man nu det nederste højre hjørne (det lille kvadrat) på Figur 1.15: den aktive celle (der fremkommer et lille sort kryds i hjørnet), og nu holder man den venstre museknap nede, mens man fører musen lodret ned gennem kolonne B, se gur Figur 1.16: Figur 1.17: Når man slipper musen, sættes der tal ind i området. Regnearket har kopieret proceduren "læg 10 til tallet i cellen ovenover"ned gennem kolonnen, se gur Nu har vi en liste, der starter med 20 og med 10 imellem tallene, og den kan nemt gøres lige så lang man ønsker; man trækker bare den nederste celle dvs. formlen længere ned. Hvis vi nu går ind og ændrer startværdien i B4 til 7,5, opdaterer regnearket automatisk resten af kolonnen, se gur Når man laver formlerne, behøver man ikke selv skrive celleadressen. Man kan bruge musen til at markere den relevante celle med et venstreklik, og

11 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 10 Figur 1.18: så indsættes celleadressen automatisk. Når man kopierer formlerne, ændrer regnearket cellernes adresser i formlerne, så cellernes relative placering bibeholdes. Hvis man skal henvise til en fast celle dvs. adressen ikke må ændres ved kopiering, indsættes et $ før bogstavet og et $ før tallet i adressen f.eks $A$2. Øvelse 2. Indtast følgende bilpriser på brugte biler i Excel og udfyld kolonnerne med Moms og Pris med moms. Lav en tilsvarende tabel med en moms på 20%. Øvelse 3. Indtast følgende i et regneark startende med Indkøbspris i A1 og 1200 i B1. Indkøbspris 1200 Salgspris 1800 Fortjeneste I procent Indtast en formel i B3, så regnearket beregne fortjenesten og en formel i B4, så fortjenesten beregnes i forhold til indkøbsprisen. I den sidste formel behøver man ikke gange med 100. Det er langt bedre, at markere cellen og formatere tallet til procent. Gør det.

12 KAPITEL 1. GENERELT OM EXCEL 11 Hvad kommer der til at stå i celle B3 og B4? Passer det? Nu skal du ændrer salgsprisen til 2095 og indkøbsprisen til 1785 i regnarket. Hvad bliver fortjenesten i procent? Øvelse 4. På gur 1.19 ses nogen data for et mobil abonnement. Indtast Figur 1.19: disse i et regneark og indtast 27 sms og 5 samtaleminutter i arket. Indtast en formel i B7, der beregner pris per dag udfra tallene i kolonne B. Brug regnearket til at bestemme prisen for dage med følgende kombination af sms og taletid a. 20 sms og 4 min b. 23 sms og 3 min c. 5 sms og 19 min d. 31 sms og 16 min e. 17 sms og 8 min

13 Kapitel 2 Diagrammer i Excel Udfra indtastede data kan man få Excel til at tegne forskellige typer af diagrammer, hvis lay-out man kan tilpasse, så de bliver meget otte og nemt kan sættes ind i andre ler. Men Excel er primært et regneprogram og ikke et statistisk program, så ofte vil de diagrammer, man kan få frem, ikke være helt korrekte. På den anden side er det et brugervenligt program, som de este har til rådighed, og man støder på Exceldiagrammer overalt. 2.1 Søjlediagrammer Først skal vi selvfølgelig have nogle data at gå udfra. Vi vil se på resultaterne af afstemninger om EU, som vi har indtastet i et regneark, se gur 2.1. Figur 2.1: Resultaterne af folkeafstemninger om EU Først skal vi markere de celler, som diagrammet skal laves ud fra. Vi markerer A3:B9 og peger på værktøjsknappen med et søjlediagram. Knappen kaldes Guiden Diagram. 12

14 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 13 Der vises nu et undervindue, det første af re, der kan guide os igennem processen, se gur 2.2. Vi vil tegne et søjlediagram, så vi ændrer ikke dia- Figur 2.2: gramtypen. Til højre i Undertyper kan man vælge søjlernes lay-out og kan se et preview af diagrammet ved at holde bjælken nederst i området nede med musen, se gur 2.3. Hvis man skifter undertype, kan man altid bruge Figur 2.3: af bjælken til se, hvordan diagrammet kommer til at se ud. Vi holder os til den første undertype, der normalt giver det nemmest læselige diagram. Man

15 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 14 kan nu enten vælge at fortsætte i guiden ved at trykke Næste eller bare få tegnet diagrammet ved at trykke Udfør. Når diagrammet først er tegnet, kan man stort set formatere alt i det. Hvis man bare trykker Udfør, tegnes diagrammet, som ses på gur 2.4, i arket. Figur 2.4: Vi fortsætter dog til trin 2, hvor man angiver, om der skal tegnes søjler for kolonneindholdet eller rækkeindhold, se gur 2.5. Figur 2.5:

16 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 15 Excel har her allerede markeret, hvad der er plottet i trin 1. Hvis man skifter til serie i række, vil man få diagrammet på gur 2.6. Figur 2.6: Man kan vælger det diagram, man helst vil have. Under fanebladet serie kan man justere ting vedrørende "Forklaring"og "Etiketter", men det er ikke nødvendigt at gøre det på dette tidspunkt. Det kan altid ændres, når man har fået tegnet sit diagram, og så er det også nemmere at se, hvad det egentlig er man ændrer. Vi fortsætter til trin 3 ved at trykke Næste, se gur 2.7. Figur 2.7:

17 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 16 Her kan man bl.a. skrive en titel til hele diagrammet. Der er selvfølgelig en masse muligheder gemt under de 6 faneblade, som vi springer let henover her. Vi nøjes med at ændre titlen til Resultaterne af folkeafstemninger om EU og trykker Næste, som bringer os til trin 4, som er meget let at overskue. Her skal vi kun tage stilling til, om diagrammet skal sættes ind i vores åbne ark, eller skal placeres i et nyt ark. Hvis det skal gemmes i et nyt ark, som så ses, som et nyt faneblad nederst på siden, skal arket have et navn. Guiden foreslår Diagram 1, men man kan selv give det et andet. Vi placerer bare diagrammet i det oprindelige ark ved at trykke Udfør. Figur 2.8: Diagrammet placeres ikke altid smart i arket, se gur 2.8, og ser heller ikke særligt pænt ud, men det kan ordnes. Peg på diagrammet med musen. Der popper en hjælpetekst op, som forklarer hvad musen peger på i diagrammet. Når musen peger på Diagramområde, har man fat på hele diagrammet og kan ytte det rundt ved at holde venstre museknap nede. Når man slipper museknappen, er diagrammet placeret det nye sted. For at gøre diagrammet større, markerer man diagramområdet og trækker i et hjørne (skrå dobbeltpil). Det gør vi og ender med diagrammet i gur 2.9.

18 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 17 Figur 2.9: Diagrammet kan kopieres ind i Word-ler, PowerPoints mm. ved hjælp af udklipsholderen og gemmes som grak ved hjælp af tegneprogrammer. Det diagram, vi er endt med, er stort set fremkommet ved, at vi har valgt den letteste løsning, nemlig at lade diagramguiden bestemme det hele, pånær titlen. Diagrammet er ikke helt godt; der mangler f.eks. forklaringer til nogle af søjlerne. Hvis man højreklikker (eller dobbeltklikker) på en af de forskellige dele af diagrammet, kan man vælge Formater og så dukker der et undervindue op med mulighederne. Ved højreklik på Kategoriaksen (x) og valg af Formatér akse, dukker et vindue op, se gur Figur 2.10: På denne side vælger vi fanebladet Skala og sætter antallet af kategorier mellem aksemærkerneetiketterne til 1. Under Skrifttype vælges størrelse 10 og under Justering vælges lodret.

19 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 18 Resultatet ses i gur Figur 2.11: Ved at forsætte med at lege med formateringen kan man få søjlediagrammet til at se ud som på gur Figur 2.12:

20 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 19 I det taleksempel vi har set på, har vi set på én serie af tal, nemlig ja-procenten. Man kan også lave søjlediagrammer med ere serier af tal. Indtast f.eks. følgende lille tabel over 3 måneders udgifter, markér området, Figur 2.13: brug diagramguidens trin 1 og Udfør. Søjlediagrammet kan ses på gur I diagrammet svarer de afbildede serier til rækkerne i tabellen. Hvis man Figur 2.14: i stedet følger diagramguiden til trin 2 og skifter til serier i kolonner, bliver søjlediagrammet som på gur Diagrammerne kan formateres efter temperament. Figur 2.15: Når man tegner diagrammer i Excel, bruges der en masse betegnelser, som kan være svære at overskue. Det celleområde, man markerer, kaldes kildedata. Kildedata skal indeholde både tekst og tal. Teksten kan indgå dels i

21 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 20 kollonneetiketterne og dels rækkeetiketterne, mens de dataværdier, som vises i søjlerne, skal være tal. Betegnelserne på de enkelte dele af diagrammet, som kan formateres i guiden eller efter diagrammet er tegnet, ses på gur Figur 2.16:

22 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL Cirkeldiagrammer Hvis man vil lave et cirkeldiagram, markerer man først kildedata, starter diagramguiden og vælger cirkeldiagram i trin 1. Kildedata må kun indeholde en dataserie. Lad os se på et eksempel. Ved folketingsvalget i februar 2005 blev mandatfordelingen Denne tabel skrives ind i et ark, markeres og man Figur 2.17: vælger et cirkeldiagram og får tegnet gur Ved at højreklikke på dia- Figur 2.18: gramområdet og vælge diagramindstillinger kan man tilføje en diagramtitel og dataetiketter. Sammen med en redigering af farverne på datamærkerne kan man få ændret diagrammet til gur 2.19 Figur 2.19:

23 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL xy-plot Sammenhængen mellem to talstørrelser kan også illustreres ved at tegne en graf i et Excel. Som eksempel tager vi et datasæt, der viser befolkningstallet i Kenya fra Datasættet indtastes i Excel og kan enten indtastes i en vandret tabel (i rækker, lige som i et sildeben) eller i en lodret tabel, se gur Vi markerer cellerne og starter diagramguiden. I trin Figur 2.20: 1 vælger vi nu xy-punkt og i undertypen vælges punktdiagram med datapunkter og udglattende kurver, se gur I trin 3 indtastes diagramtitlen Figur 2.21: Befolkningstallet i Kenya, i Værdiakse(X) tastes År og i Værdiakse(Y) ta-

24 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 23 stes Antal. Vi vælger nu Udfør og får grafen i gur 2.22 som gøres pænere Figur 2.22: ved at ytte akseetiketterne År og Antal hen for enden af akserne (peg på teksten med musen, og yt med venstre museknap holdt nede). Man fjerner den overødige forklaringsnøglen Antal længst ude til højre ved at markere den og trykke Delete. Vi vil formatere i diagrammet. Når man vil formatere en komponent, peger man på den og vælger Formatér efter et højreklik. Vi formaterer Aksetitlen Antal til vandret tekst, diagramområde til ingen kant, skifter farve til hvid og fjerne kanten på det grå afbildningsområde, gør gitterlinjer stiplede og ender med grafen i gur Figur 2.23: En lidt pænere graf Hvis man vil tilføje noget til diagrammet, skal man ind i diagramindstil-

25 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 24 linger, som er en valgmulighed, når man enten markere diagramområdet eller afbildningsområdet og højreklikker. Her kan man tilføje overordnede og underordnede, lodrette gitterlinjer. Leger man videre med formateringen (gør overordnede gitterlinjer og kurven "federe", fjerner mærker på dataserie og ændre talformateringen på værdiaksen til millioner), kan man få grafen på gur 2.24 Figur 2.24: Graf over Kenyas befolkningstal Man kan også plotte ere grafer i samme diagram. Vi supplerer tabellen fra gur 2.20 med en kolonne, som indeholder befolkningstallet i Danmark, se gur 2.25.

26 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 25 Figur 2.25: I arket markeres alle tre kolonner, og vi starter diagramguiden, vælger xy-plot og samme undertype som før og udfør. Det uredigerede diagram er i gur Figur 2.26: Man skal være lidt smartere, hvis tabellerne ikke indeholder de samme værdier på x-aksen. Lad os se på følgende to xy-tabeller (sildeben) indtastet i et ark, gur Vi markerer området A1:G2 i arket, starter diagramguiden, Figur 2.27: vælger xy-punkt og samme undertype som før og går videretil trin 2. Her

27 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 26 vælger vi nu fanebladet serie og får følgende frem, gur Figur 2.28: Her ændrer vi navnet til Første graf, gur 2.29 og trykker herefter på Figur 2.29: Tilføj og skriver Anden graf i Navn, gur 2.30.

28 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 27 Figur 2.30: Nu mangler vi at angive i hvilke celler x og y ndes. Det gør vi ved at markere områderne efter tur i arket, se gur Figur 2.31:

29 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL 28 Vi trykker Udfør og får det diagram, der ses i gur Figur 2.32: Lidt formatering giver os graferne i gur 2.33 Figur 2.33:

30 KAPITEL 2. DIAGRAMMER I EXCEL Den gode graf I de naturvidenskabelige fag kræver vi, at graferne ser ud på en bestemt måde, så de er overskuelige og nemme at aæse. Nedenfor er en checkliste med de krav man stiller til en god graf overholde Grafen skal tegnes på ternet papir - helst millimeterpapir Der skal være titler på både første- og andenaksen med eventuelle enheder Akseindelingsenheden skal fremgå klart, dvs. hvor mange tern der er f.eks. 1 enhed Inddelingen af akserne skal vælges, så papiret udnyttes bedst muligt Brudte akser skal markeres med zigzag-linie Der skal være underordnede gitterlinier, som ikke ligge må for tæt eller for spredt Når man tegner en graf i Excel, skal disse krav selvfølgelig også opfyldes, og det kræver en del formatering. Men man bør ikke lade sig nøje med en graf tegnet i Excel, der er dårligere end den graf, man kunne have tegnet i hånden på mm-papir. Fancy farver, sjove skrifttyper, mønstre i baggrunden osv. hører hjemme i reklamebrochurer og ugeblade.

31 Kapitel 3 Statistik Hvis man har en stor talmængde f.eks. fra en opionsundersøgelse, en biologisk undersøgelse eller datafangst i fysik og kemi, er det en rigtig god ide at bruge Excel. Med sine data tastet ind i et regneark, kan man spare mange tidskrævende operationer og undgå regnefejl og forglemmelser. Vi vil her se på, hvordan man kan benytte Excels regnekapacitet og indbyggede faciliteter til foretage statistiske beregninger. 3.1 Diskrete observationer Hvis man har et diskret observationssæt, som skal beskrives ved de simple deskriptorer mindsteværdi, størsteværdi, middeltal, typetal, frekvensfordeling, spredning og kvartilsæt, kan det varmt anbefales, at man udfører beregningerne i et regneark ved brug af formler og tænker selv til indlæring af begreberne. De næste sider sætter fokus på de muligheder, der er indbygget i Excel. Vi vil tage et eksempel med relativt få tal. På gur 3.1 ses antal rigtige, som deltagerne ved en multiplechoise-prøve med 21 spørgsmål opnåede. Tallene Figur 3.1: 30

32 KAPITEL 3. STATISTIK 31 indtastes i et regneark, så det er nemt at markere celleområdet f.eks. i området A1:H13 og begynder en lille oversigtstabel, som skal indeholde de statiske deskriptorer, se gur 3.2. Figur 3.2: Observationssættets størrelse Vi placerer den aktive celle, hvor vi vil have antallet af prøveresultater til at stå f.eks. som på gur 3.2. Vi peger nu på knappen Σ på værktøjslinjen, se gur 3.3 og vælger Antal. Figur 3.3: Det stiplede område på gur 3.4, er det område, hvori Excel tæller antallet af tal. Vi markerer i stedet vores dataområde (eller skriver A1:H13), som på gur 3.5 og trykker ENTER. Resultatet bliver 104, som er observationssættets størrelse. I formellinjen står der =TÆL(A1:H13) og for at nde et observationssæts størrelse, kan man indtaste formlen =TÆL(celleområde) - giver antallet af tal

33 KAPITEL 3. STATISTIK 32 Figur 3.4: Figur 3.5: Middeltal, mindsteværdi og størsteværdi På samme måde kan man bruge knappen Σ på værktøjslinjen til nde middelværdi (=middeltal), størsteværdi og mindsteværdi. Resultaterne ses i gur 3.6. Antallet af decimaler på middeltallet har vi sat ned til 1. Figur 3.6:

34 KAPITEL 3. STATISTIK 33 De benyttede formler er =MIDDEL(celleområde) - giver gennemsnittet =MAKS(celleområde) - giver det største tal =MIN(celleområde) - giver det mindste tal Typetal, kvartiler og spredning I princippet ndes de sidste 4 tal til tabellen og spredningen også på denne måde, men man skal lige have fat på de rigtige funktioner ved at vælge Flere funktioner og lede i kategorien statistik. Det er langt nemmere, at indtaste formlerne =HYPPIGST(celleområde) - giver typetallet =KVARTIL(celleområde,x) x=1 giver nedre kvartil, x=2 giver median x=3 giver øvre kvartil (x=0 giver mindsteværdien og x=4 giver størsteværdien) =STDAFVP(celleområde) - giver spredningen (population) Figur 3.7: Den udfyldte tabel

35 KAPITEL 3. STATISTIK Hyppigheder, frekvenser og stolpediagrammer Excels store regnekapacitet kan vi bruge til få lavet hyppighedstabeller, frekvenstabeller og næsten pæne stolpediagrammer. Vi starter med at nde hyppighederne af observationerne i eksemplet. Først laves en tabel med observationerne i regnearket. Det celleområder, som skal indeholde hyppighederne markeres fra den første celle og der medtages en celle mere end der er brug til sidst. Markeringen låses ved at trykke F2 på tastaturet, se gur 3.8. I formellinjen tastes nu =FREKVENS( og under formlen kan man se syntak- Figur 3.8: Kolonne markeret og låst sen, se gur 3.9. Datavektoren er dataområdet A1:H13 og intervalvektoren er Figur 3.9: celleområdet i tabellen med observationer. Vi indtaster A1:H13 (eller markerer med musen) et semikolon ; og celleområdet A17:A24. Indtastningen skal nu afsluttes med Ctrl+SHIFT+ENTER.. Hyppighederne bliver nu sat ind i det låste område med et 0 i den ekstra celle, se gur Man kan ikke slippe af med dette 0, men det generer ikke. Figur 3.10:

36 KAPITEL 3. STATISTIK 35 Hvis man vil have en tabel med frekvensfordelingen, kan vi bruge formler, gur 3.11, Figur 3.11: som kopieres ned gennem kolonnen, gur 3.12, og cellerne formateres til procent med 1 decimal, gur Figur 3.12: Figur 3.13:

37 KAPITEL 3. STATISTIK 36 Hvis vi skal have tegnet et stolpediagram over frekvenserne, fjerner vi først overskriften observationer, markerer tabellen, vælger søjlediagram og får tegnet et søjlediagram. I dette maximerer man afstanden mellem søjlerne (under Indstillinger i Formater dataserie sættes mellemrumsbredde til 500), fjerner nogle kanter og den grå farve mm. og får følgende diagram Det er nu Figur 3.14: Et bud på et stolpediagram, næsten OK langt hurtigere at tegne stolpediagrammet på ternet papir med den rigtige type stolper (linjestykker) Boxplots Boxplots tegnes bedst og hurtigst i hånden. Der ndes ingen boxplotfaciliteter i Excel, men man kan få tegnet boxplots som stort set er færdige. Boxplots er rigtigt gode, når man skal sammenligne data, så vi vil se på, hvordan man kan tegne ere boxplots for i sammeen gur. Vi går ud fra 4 observationssæt beskrevet i gur 3.15 Figur 3.15: Rækkefølgen af deskriptorerne må ikke ændres Vi markerer hele tabellen og indsætter vha. digramguiden en Kurve med datamærker for hver værdi. I trin 2 vælges serie i rækker og Udfør, og vi får diagrammet i gur 3.16, som vi nu skal til at redigere i.

38 KAPITEL 3. STATISTIK 37 Figur 3.16: Startdiagram Man markerer medianen i det første datasæt og vælger fanebladet Indstillinger i formateringsmenuen. Sæt ueben ved Op-ned-linjer og Høj-lav-linjer. Mellemrumsbredden 150 er god nok. Vælg OK og nu ser diagrammet ud som på gur Figur 3.17: Vi skal nu fjerne forbindelseslinjerne. Vælg dataserien "Maximum"og fanebladet Mønstre i formateringsmenuen. Vælg ingen kurve og vælg en vandret, sort streg som mærke og OK. Dette gentages nu for de re andre dataserier, idet mærket fravælges helt på øvre og nedre kvartil. Fjern gitterlinjerne, den grå farve og kanten på området og forklaringsnøglen. Vi har nu de re boxplots, se gur Hvis man kun har et datasæt, gør man det samme, men slipper selvfølgelig for at fjerne forbindelseslinjer. Normalt tegner man medianen som en linjen, der deler boxen og den kan man indtegne med tegnefaciliteterne i Excel. Hvis man vil have vandrette boxplots kan man kopiere diagrammet over i Paint og dreje/spejle.

39 KAPITEL 3. STATISTIK 38 Figur 3.18: De endelige boxplots 3.2 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i tallene i gur 3.19, som er indsat i et regneark, og som viser nogle biologers opmåling af skeyngels længde i mm. Først Figur 3.19: Længder af skeyngel skal materialet gruppereres. Man kan sortere tallene efter størrelse i hver af kolonnerne for at få et overblik over deres størrelser og fordeling. Vi vælger

40 KAPITEL 3. STATISTIK 39 en inddeling af talområdet fra 100 til 260 i intervaller af længde 20 og skal nde intervalhyppighederne. Det gør vi ved at få Excel til at optælle, hvor mange observationer, der er i hvert interval. I Excel indtastes først de tal, som er de største tal i vores intervaller. Figur 3.20: Højre intervalendepunkter i valgt inddeling Vi vælger nu Funktioner/Dataanalyse/Histogram på menulinjen. På gur 3.21 kan man se den dialogboks der kommer frem. I Inputområdet skrives nu Figur 3.21: adresserne på vores tal og i intervalområdet adresserne på intervalendepunkterne (marker området og ENTER). I Output skrives adressen på en celle, hvor man vil have placeret hyppighedstabellen. Sæt yderligere ueben ved Kumulativ frekvens og Diagramoutput, og tryk OK. Herved får vi tabellen og diagrammet på gur Her kan vi aæse intervalhyppighederne samt de kumulerede frekvenser, som kan bruges til tegning af sumkurven.

41 KAPITEL 3. STATISTIK 40 Figur 3.22: Vi vil lave en tabel med intervallerne og deres frekvens. Det kan gøres hurtigt ved at sætte at redigere i en kopi af tabellen. Vi kopierer tabellen og sletter indholdet i tredje kolonne. Som ny overskrift skriver vi Frekvens, og for at udregne frekvenserne skal vi lige have beregnet antallet af observationer. Det er selvfølgelig summen af hyppighederne, så vi aktivere en tom celle i arket og udregner summen ved brug af Autosum Σ til 132. Ved brug af kopiering af formel kan vi få Excel til at udregne frekvenserne, gur Figur 3.23: Tabellen forbedres ved at slette den nederste række, skrive intervallerne korrekt, reducere antallet af decimaler på frekvenserne til 1 (brug værktøjslinjen) og centrere alle celler, se gur 3.24 Figur 3.24:

42 KAPITEL 3. STATISTIK 41 Udfra tabellen kan man få tegnet et søjlediagram, der minder om et histogram. Excel bruger frekvensen som højde på søjlerne og ikke arealet og overser evt. længdeforskelle på intervallerne. I vores tilfælde gør det ikke noget. Efter diverse formateringer kan vi få tegnet histogrammet på gur Figur 3.25: Sumkurven, som kan bruges til aæsning af kvartilsættet og andre fraktiler, har Excel næsten tegnet i forbindelse med beregningen af hyppigheder. Vi får den frem ved at redigere i diagrammet på gur Først fjernes forklaringen og søjlerne ved et klik og delete og afbildningsområdets kant og farve. Vi sletter Mere i cellen i tabellen, og så forsvinder teksten også i diagrammet. Nu ligner vores gur mere en sumkurve, se gur Figur 3.26: Så tilføjer man gitterlinjer og formaterer løs på akserne og akseetiketter-

43 KAPITEL 3. STATISTIK 42 ne. En mulig udgave efter formatering er på gur Figur 3.27: Det er hurtigere at tegne sumkurven på alm. ternet papir udfra tabellen i gur 3.22, som også kan bruges til at lave en tabel over de kumulerede frekvenser. Vi indsætter en ekstra række og får tabellen i gur Figur 3.28:

44 Kapitel 4 Regression og problemløseren I kapitel 2 har vi set på, hvordan man kan bruge Excel til forskellige graske beskrivelser af et talmateriale, og specielt har vi set på xy-plot, hvor vi lavede grafer, der viste sammenhængen mellem en værdi af x og den tilsvarende værdi af y. I nogle tilfælde bliver den tegnede graf så pæn, at man må forvente, at det er muligt at opskrive en ligning, der beskriver sammenhængen mellem x og y eller næsten gør det. Den ligning man nder, er så en model, som f.eks. kan bruges til at forudsige/fremskrive en udvikling eller opførsel. Hvis vi f.eks. i forbindelse med eksemplet med Kenyas befolkningstal side 23 kunne opstille en ligning for sammenhængen mellem årstallet og befolkningstallet, kunne vi lave et bud på befolkningstallet i år 2010 og regne tilbage til et befolkningstal år Meget eksperimentelt arbejde går ud på at nde sammenhængen mellem to talstørrelser ud fra måleresulataterne. 4.1 xy-sammenhænge og regression Når man skal nde en ligning, der beskriver sammenhængen, skal man selv afgøre hvilken type ligning, der er bedst. Når man har gjort det, kan Excel (og lidt størrelommeregnere) overtage regnearbejdet. Den metode Excel bruger kaldes "mindste kvadraters metode" og man siger, at ligningen er fundet ved regression. Man må ikke forvente at nde en ligning der passer perfekt, men Excel kan nde den bedste indenfor den valgte type. De tre grundlæggende typer af sammenhænge er (a) lineære sammenhænge (b) eksponentielle sammenhænge (c) potens sammenhænge For at nde ud af hvilken type, man skal vælge, plotter man data i et xy-plot for at se, hvordan de ligger. 43

45 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN Lineær regression Den lineære regression giver en ligning på formen y = ax + b som svarer til en ret linje. Den bruges, når punkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje, eller man på forhånd ved, at de burde gøre det. Lad os se på et eksempel, som viser sammenhængen mellem trykket i forskellige dybder under havoveraden. Dybde(m) Tryk(atm) 1, 96 2, 25 4, 36 4, 84 10, 60 Først indtaster vi de to talsæt i Excel og markerer området Figur 4.1: Vi vælger xy-punkt og den første undertype i Diagramguiden og fortsætter til trin 3, hvor vi indtaster diagramtitlen Sammenhæng mellem tryk og dybde og aksetitlerne Dybde i m og Tryk i atm. Vi fortsætter til fanebladet Gitterlinje og sætter ueben ved begge sæt overordnede gitterlinjer.under det sidste faneblad fjerner vi uebenet ved Vis foklaring og trykker Udfør. Vi fjerner også lige kanten og farven på afbildningsområdet. Diagrammet ses på gur 4.2. Punkterne ligger, så de næsten kan forbindes med en ret linje. Figur 4.2:

46 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 45 Den bedste rette linje gennem punkterne nder vi nu på følgende måde. Vi højreklikker på et af datapunkterne og vælger Tilføj tendenslinje, hvor typen allerede er valgt til lineær, klikker på fanebladet Indstillinger og sætter ueben ved Vis ligning i diagram og Vis R-kvadreret og vælger OK. På gur Figur 4.3: 4.3 ses, at den lineære sammenhæng mellem dybden x og trykket y er y = 0, 096x + 1, 008 Størrelsen R 2 kaldes forklaringsgraden. Almindeligvis regnes en model for acceptabel, hvis R 2 er over 0, 95, og glimrende, hvis R 2 er over 0, 99. Den lineære model passer altså glimrende på tallene. Hvis man gerne vil have regressionslinjen forlænget ud over punkterne, kan man højreklikke på den og vælge indstillinger i Formaterdialogboksen. I feltet Prognose kan man så vælge, hvor mange enheder før og efter punkterne, man vil supplere med - vi vælger 10 begge steder og OK. Vi ytter også lige feltet med tendenslinjens ligning og formaterer det ved et højreklik til ingen kant og hvidt område. Grafen, som kan kopieres over i en opgave eller rapport, ser nu ud som på gur 4.4

47 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 46 Figur 4.4: Eksponentiel regression Den eksponentielle sammenhæng beskrives med ligning på formen y = ba x og svarer til en sammenhæng, hvor y ændres med den samme procent, hver gang x gøres 1 større. Eksponentielle sammenhænge bruges f.eks. til at beskrive befolkningsvækst, når man forventer at befolkningen vokser med en fast procent om år. Ligningen ovenfor kan også skrives y = be kx og det er denne notation som Excel benytter. Vi vil undersøge udvklingen i antallet af tankstationer i Danmark efter 1975 udfra tabellen År efter ' Antal Først indtaster vi de to talsæt i Excel og følger fremgangsmåden som ved den linære regression og tegner diagrammet, se 4.5. Vi højreklikker på et datapunkterne og vælger Tilføj tendenslinje. I Type skifter vi til eksponentiel og under Indstillinger sætter vi ueben ved Vis

48 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 47 Figur 4.5: ligning i diagram og Vis R-værdi... og vælger OK. Efter at have yttet på et par felter fås diagrammet i gur 4.6 Figur 4.6: Den eksponentielle regression giver os sammenhængen y = 5180, 3 e 0,0345x og modellen er igen rigtig god med en forklaringsgrad på 0, Ved brug af en lommeregner kan man udregne e 0,0345 0, 9661 og sammenhængen kan derfor også skrives y = 5180, 3 0, 9661 x

49 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 48 Skrevet på denne form kan man faktisk se, at antallet af tankstationer aftager med ca. 3, 4% om året (1 0, , 034 = 3, 4%). Excel gør, hvad man beder det om. Hvis vi højreklikker på tendenslinjen, kan vi ændre regressionstypen til lineær og får gur 4.7 Da forklaringsgraden Figur 4.7: er 0, 9815, er den lineære model også god, men der vil meget stor forskel på de to modeller, hvis vi bruger dem til fremskrivning af udviklingen. Eksemplet viser, at datamaterialer ofte kan modelleres rimeligt godt på ere måder og det er ofte valget af model, der skal overvejes grundigt og kan føre til diskussioner (og politisk manipulation). Vender vi tilbage til Kenyas befolkningstal side 23, giver en eksponentiel regression gur 4.8. Figur 4.8:

50 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 49 Regressionen giver y = e 0,0338x = , 0344 x med R 2 = 0, 9963, et udmærket "t"svarende til en befolkningstilvækst på 3, 44%. På den anden side ser det nu ud til på grafen at væksten aftager mindre sidst i perioden. Modellen må kunne forbedres Potens regression Den sidste simple type sammenhæng er potenssammenhængen, som svarer til en ligning på formen y = bx a Eksemplet denne gang er sammenhængen mellem tryktabet i en gasledning og gasstrømmen (som måles i m 3 pr. time) gennem ledningen. Tryktabet måles i mbar. Gasstrøm 0, 5 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, 0 8, 0 10, 0 Tryktab 0, 002 0, 008 0, 033 0, 075 0, 140 0, 203 0, 294 0, 522 0, 816 Når vi i et xy-punkt plot tilføjer tendenslinje af type potens fås diagrammet på gur 4.9 Figur 4.9:

51 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN Problemløseren i Excel Mindste kvadraters metode De regressionsligninger som Excel angiver er fundet ved mindste kvadraters metode. Man kan selv let bruge mindste kvadraters metode i Excel. Vi vil vise hvordan ved tage et eksempel fra biologiens verden. En mågeart på øen San Juan ud for staten Wasingtons kyst har udviklet en speciel teknik til åbning af hjertemuslinger. De lader muslingen falde ud af næbet, mens de yver hen over en klippe. Det lykkes ikke nødvendigvis ved første overyvning og biologerne har undersøgt sammenhængen mellem den højde muslingen tabes fra, og det antal forsøg, der skal bruges til at åbne muslingen. Sammenhængen ses i tabellen nedenfor. Højde(i m) 0, 5 1, 0 1, , Antal forsøg 15, 2 3, 7 2, 5 2, 1 1, 6 1, 5 1, 4 1, 3 1, 2 1, 1 Vi vil nu nde den ligning på formen y = 1 + a x b som passer bedst på disse data dvs. vi skal nde de bedste værdier af a og b. Vi taster højderne ind i kolonne A og antallet af forsøg ind i kolonne B. I to celler i kolonne F f.eks. i F1 og F2 indtastes to realistiske gæt på bud på a og b, f.eks. 2 og 0, 4. I kolonne C skal vi have udregnet de y-værdier vi får, når vi sætter x-værdierne ind i ligningen med vores gæt. Det gøres lettest ved at indtaste formlen = 1 + $F $1/(A1 $F $2) og kopiere formlen ned. I celle D1 indtastes (B1-C1) 2 og kopier ned. I en ny celle f.eks. D11 indsættes summen af tallene i kolonne D. Dette er den kvadratsum, som skal minimeres, når vi bruger mindste kvadraters metode. Denne celle kaldes målcellen. Vælg nu Problemløser under Funktioner. Så dukker der en dialogboks, se gur 4.10, Figur 4.10:

52 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 51 hvor adressen på målcellen skal indsættes. Sæt prik ved min og indsæt adresserne på cellerne med gættene, da det er disse tal, der må ændres. Vi trykker Figur 4.11: Løs og i Problemløserresultater-dialogboksen på gur vælges Behold Figur 4.12: Problemløser-løsning, marker evt. Svar og tryk OK. I celle F1 og F2 står nu det bedste valg af a og b Figur 4.13: og den bedste beskrivelse af de oprindelige data i den valgte model er y = 1 + 1, 685 x 0, 381 Hvis man markerer de tre første kolonner og vælger xy-plot, kan man lave plots, der viser de oprindelige punkter og den modellerede kurve. I dette tilfælde er tilpasningen så god, at de to grafer er sammenfaldne, hvilket nu også kan ses på tallene i kolonne C.

53 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 52 En meget anvendt model er den logistiske model, som beskriver en vækst, der i starten vokser eksponentielt, hvorefter væksten klinger af og nærmer sig en øvre grænse. Den logistiske model svarer til en ligning på formen y = a 1 + be cx hvor a, b og c er positive konstanter. Modellen benyttes meget indenfor biologi bl.a. til at beskrive dyrebestande, vækst af bakteriekulturer, plantevækst og udvikling af epidemier. Vi vil bruge modellen på et datasæt, som beskriver væksten af en gærkultur,schizosaccharomyces kephir, en forurenende kultur i gær til ølbrygning. Vækstforsøget gav følgende data Tid(timer) Populationsstørrelse 1, 27 1, 70 2, 73 4, 87 5, 80 5, 83 som indskrives i et regneark og vi kopierer fremgangsmåden fra mågeeksemplet. Et muligt udseende og gæt på a, b og c ses på gur 4.14 Figur 4.14: Vi aktiverer cellen med summen af kvadraterne (D8 ovenfor), vælger Problemløser under Funktioner, vælger min og markerer cellerne med vores bud på konstanterne og OK. I Problemløserresultater vælges også OK og vores ark bliver justeret med de nye værdier gur 4.15.

54 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 53 Figur 4.15: Vi markerer også de første tre kolonner og laver grafer vha. xy-punkt for at se, hvor godt modellen passer til data. Lidt formateringen giver gur 4.16 Figur 4.16: Væksten kan altså beskrives med ligning P = 5, , 885e 0,049t hvor vi har indført de mere beskrivende variabelbetegnelser, t for tid og P for population.

55 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 54 Når man bruger Problemløser, skal gættede værdi være fornuftige. H- vis gættene er ikke gode nok, vil Problemløserresultater dialogboksen give beskrivelse af fejltypen som f.eks.på gur 4.17 Figur 4.17: Eksempler på optimering Når man vælger Problemløser, kan man se på dialogboksen gur 4.18, at man kan bruge problemløseren til at udføre rigtigt mange typer regninger. Man kan maximere og minimere udtryk og løse ligninger. Eneste krav er Figur 4.18: indtastning af en formel i målcellen og nogle celler med værdier, som Excel kan tilpasse. Hvis vi ønsker at stille krav til løsningerne f.eks. at de skal være positive, har vi mulighed for det ved at vælge Underlagt betigelserne og klikke på Tilføj. Vi vil demonstrere det med et eksempel fra lineær programmering (meget uheldig historisk betegnelse fra planlægning af bombetogter under 2. verdenskrig). Vi ser på et eksempel med en virksomhed, der ejer tre varehuse

56 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 55 V 1, V 2 og V 3, samt to fabrikker F 1 og F 2, der skal forsyne varehusene med en bestemt vare. Fabrikkerne producerer ugentligt hhv. 550 og 350 vareenheder. De skal hver uge tilsammen levere 300 vareenheder til V 1, 400 vareenheder til til V 2 og 200 vareenheder til V 3. Transportomkostningerne i kr. pr. vareenhed fra fabrikkerne er givet i nedenstående tabel V 1 V 2 V 3 F F Vi vil nde den fordelingsplan, der giver de mindste transportomkostninger. Oplysningerne og betingelserne tastes ind i et regneark f.eks. som på gur 4.19, Figur 4.19: som også viser udtrykket der skal minimeres. Vi indtaster nu værdier for a, b, c, d, e, f og g og erstatter udtrykket for transportomkostningerne med en formel se gur 4.20.

57 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 56 Figur 4.20: De hertil hørende produktioner og vareleveringer indtastes også som formler se f.eks. g 4.21 Vi markerer cellen med transportomkostninger og Figur 4.21: vælger problemløser, hvor vi vælger min og markerer cellerne med vores startværdier. Vi skal nu have betingelsene med. Vi vælger Tilføj i Underlagt betingelserne og markerer alle de redigerbare celler på en gang og vælger >= og indtaster 0 (gur 4.22). Vi fortsætter ved at vælge Tilføj i samme dialogboks og indtaster produktionsbetingelserne og leveringsbetingelserne.

58 KAPITEL 4. REGRESSION OG PROBLEMLØSEREN 57 Figur 4.22: Når alt er indtastet, vælges Annuller og vi kommer tilbage til dialogboksen på gur 4.23, hvor betingelserne kan kontrolleres. Figur 4.23: Vi vælger nu Løs og OK. I regnearket kan man nu se den ønskede fordeling af vareleveringerne og den minimale udgift til transport. Figur 4.24: