SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5"

Transkript

1 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5

2 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning... 5 Komplekse tal... 6 Definition... 6 Eksempel... 6 Regning med komplekse tal... 7 Den komplekse talplan modulus argument Modulus... 9 Argument polærkoordinater Multiplikation i polære koordinater Division i polære koordinater Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Ligningen komplekse kvadratrødder Andengradsligningen

3 Tallenes udvikling (Efterfølgende afsnit er hentet fra) Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk aksiomatisk introduktion - Tallene er alle tings væsen, sagde Pythagoras. Han mente, at vejen til sjælens frigørelse lå i et studium af de talmæssige forhold, som gør naturen til et harmonisk kosmos. Selv om vi nu til dags - cirka 2500 år senere - nok ikke ville udtrykke os helt på denne måde, må vi indrømme, at tallene spiller en væsentlig rolle for vores forståelse af verden. Vi har opnået så stor fortrolighed med dem, at vi er tilbøjelige til at betragte dem som evige naturgivne. Men den opfattelse er forkert. Ideen om tallene er skabt af mennesker, som gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Den mest betydningsfulde drivkraft har været skiftende kulturers forsøg på at forklare naturens forskelligartede fænomener som for eksempel årstidernes rytme månens bevægelser. Men så rent praktiske gøremål har inspireret. Oldtidsbonden har haft brug for at holde styr på antallet af husdyr, søfareren behøvede en vis form for navigation. Alle disse aktiviteter involverede beregninger, som blev mere mere avancerede i takt med naturvidenskabernes udvikling. Når kravene til tallenes anvendelighed steg, måtte man udvide forbedre forældede talsystemer. De reelle tal bør derfor betragtes som en kulturel frembringelse, der har været undervejs, siden de første civilisationer opstod. Historien slutter ikke med de reelle tal. For kun et par hundrede år siden lykkedes det at udvide dem, så vi i dag har en endnu mere anvendelig talstruktur til rådighed - de komplekse tal. Følgende oversigt fremhæver i stærkt forenklet form nle af hovedpunkterne i tallenes regnemæssige udvikling frem mod de komplekse tal. De naturlige tal Den mest primitive af de sædvanlige talmængder er mængden af naturlige tal: N = {1, 2, 3,...}. De kaldes så tælletallene, fordi det er dem, man bruger, når man tæller. Men de kan så i begrænset udstrækning bruges til aritmetiske operationer. De naturlige tal er stabile over for addition multiplikation i den forstand, at såvel summen som produktet af to naturlige tal altid er et naturligt tal. Men stabiliteten er langt fra tilstrækkelig til at sikre, at alle additive eller multiplikative problemstillinger kan løses inden for mængden af de naturlige tal. Et så simpelt problem som»hvis jeg lægger 5 kroner til min formue, har jeg 3 kroner. Hvor stor er min formue?«har ingen løsning. Med andre ord: der findes ikke net naturligt tal x, som tilfredsstiller ligningen 5 + x = 3. Heller ikke ligningen 5 + x = 5 har nen løsning. De hele tal For at kunne løse alle ligninger af formen a + x = b er det nødvendigt at udvide talmængden til så at omfatte nul de negative hele tal. Dermed har vi mængden af alle de hele tal: 2

4 Z = {..., - 3, - 2, -1, 0,1, 2, 3,...}. De hele tal er - ligesom de naturlige - stabile over for addition multiplikation, man kan løse alle additive ligninger inden for denne mængde. Først i 1600-tallet begyndte negative tal at blive regnet for egentlig tal, helt frem til starten af 1800-tallet blev det blandt europæiske akademikere diskuteret, hvorvidt negative tal nul skulle tillades i matematikken. Men de multiplikative problemstillinger kniber det stadig med. Eksempelvis har problemet»fem personer har delt tre kager. Hvor meget fik de hver?«ingen løsning. Det er det samme som at sige, at ligningen 5 x = 3 ikke tilfredsstilles af net helt tal. De rationale tal Man kan kun løse alle ligninger af typen med, såfremt man udvider talmængden til så at omfatte alle brøker med heltallig tæller nævner. Denne mængde kaldes de rationale tal: { } De rationale tal indeholder de hele tal, thi et vilkårligt helt tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Med denne udvidelse er man, foruden de additive ligninger, så i stand til at løse alle ligninger af formen, når blot. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses uden at forlade de rationale tal. Lommeregnere computere klarer sig endda med en ganske lille del af de rationale tal, nemlig dem, der kan skrives som endelige decimalbrøker med et bestemt maksimalt antal betydende cifre. De reelle tal Den næste udvidelse var dramatisk. Man opdagede, at forholdet mellem længderne af to linjestykker ikke altid kan angives ved hjælp af et rationalt tal. Sådanne linjestykker kaldes inkommensurable, deres forhold siges at være irrationalt. Allerede 300 år f. Kr. kendtes et bevis for, at forholdet mellem diagonalen en af siderne i et kvadrat er irrationalt (hvad er dette forhold?). Opdagelsen af de inkommensurable størrelser øvede en gennemgribende indflydelse på erkendelsesfilosofien. Man havde hidtil været overbevist om, at alle naturens fænomener kunne udtrykkes ved hjælp af simple rationale tal, at verden i hele sit væsen var rational. I oldtidens Grækenland havde medlemmerne af den navnkundige Pythagoræiske Skole viet hele deres liv til studiet af den guddommelige natur set i lyset af de rationale tal. Tallenes utilstrækkelighed kom som et chok for disse mennesker. Overleveringen siger, at guderne lod pythagoræeren Hippasos omkomme ved et frygteligt skibsforlis, fordi han med sin opdagelse af de inkommensurable størrelser kom dem for nær. Nle hemmeligheder er forbeholdt guderne. Opdagelsen var den direkte årsag til en total omlægning af den kurs, den græske matematik hidtil havde fulgt. Man måtte indrømme, at geometrien åbenbart var mere fuldkommen end tallene, thi geometrien kunne jo fremvise længder, som ikke kunne udtrykkes ved net tal. Som konsekvens heraf helligede man sig geometrien. Det førte i øvrigt til et yderst frugtbart arbejde, som resulterede i den klassiske geometri, der har holdt sig næsten uændret frem til vor tid. 3

5 De reelle tal, R, indeholder foruden de rationale tal så de irrationale. Dermed har man fået lukket de sidste huller på talaksen. Til ethvert punkt på talaksen svarer et reelt tal, til ethvert reelt tal svarer et punkt på talaksen. Det teoretiske grundlag for de reelle tal har været et virkeligt stort problem, som først er blevet løst på tilfredsstillende måde i nyere tid. Inden for de reelle tal er man i stand til at udtrykke længden af alle rette liniestykker andre geometriske størrelser som for eksempel forholdet p mellem en cirkels omkreds dens diameter. Desuden kan man inden for R løse alle ligninger af typen x n = a, hvor. Det vil sige, man kan uddrage n te-roden af alle positive tal. Men man kan ikke uddrage kvadratroden af negative tal, dermed har ligningen ingen løsning. Det skyldes, at x 2 altid - uanset værdien af x - er større end eller lig med 0. Altså vil x 2 +1 altid være større end eller lig med 1, derfor kan x 2 +1 aldrig være 0. Der er mange af den slags ligninger, som ikke kan løses, man har efterhånden affundet sig med, at»sådan er det bare«. Når man for eksempel skal løse en andengradsligning, beregner man først dens diskriminant. Hvis denne er negativ, er der ikke net at gøre: ligningen har ingen løsning. De komplekse tal Det ville lette mange beregninger, hvis det var tilladt at uddrage kvadratroden af -1. Belært af den allerede beskrevne udvikling, er det en nærliggende tanke at forsøge at udvide de reelle tal, således at x 2 +1 = 0 kan løses. Ideen er i sig selv ikke mere revolutionerende end den, der førte til de hele tal. Men regnetraditionen har rødder langt tilbage i tiden, den naturlige skepsis over for alt nyt har været svær at rokke på netop dette punkt. Derfor betragtedes ideen om at uddrage kvadratroden af -1 som næsten kættersk. Nle kritikere argumenterede med, at talaksen jo allerede var helt fuld af tal, så hvor skulle man finde plads til? Andre var mere konkrete i deres kritik. For eksempel fremførte de, at hvis eksisterede, ville man kunne opstille følgende to modstridende regnestykker: (1) (er ikke bevist at gælde) (2) På trods af al skepsis alle indvendinger har det d vist sig både muligt yderst anvendeligt at udvide talbegrebet. De komplekse tal, C, repræsenterer en udvidelse af de reelle tal, hvori ethvert polynomium af mindst første grad har et nulpunkt. Derfor har specielt ligningen x 2 +1 = 0 en løsning, derfor har det god mening at tale om. De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. Komplekse tal (betegnes C) forener et reelt et imaginært tal i en slags "par". Man kan beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen maginærdelen, sat sammen til en enhed. (2 + 3i) er et eksempel på et kompleksttal. Lav intro til kompleksetal.docx fra fronter 4

6 Indledning Hvis vi skal løse andengradsligningen så bruger vi løsningsformlen (1) Vi plejer at sætte at kalde d for diskriminanten. Hvis d > 0 er der to løsninger, hvis d = 0 er der én løsning, hvis d < 0 er der så ingen løsning. Som vi så i Intro til kompleksetal.docx, havde andengradsligningen (2) ikke nen løsning, idet der ikke findes et reelt tal, som ganget med sig selv giver -1. Hvis vi alligevel prøver at bruge den sædvanlige løsningsformel, (1), for andengradsligninger, får vi Nu prøver vi at godtage som en løsning, selvom vi godt ved, at ikke er et reelt tal. Hvis (3) ( ) skal være en løsning, må der gælde eller m.a.o., at er et tal, som ganget med sig selv giver -1. I de tilfælde, hvor en andengradsligning ikke har nen løsning indenfor de reelle tal, kan løsningsformlen altid omskrives, så den står på formen man kan sagtens regne med tal på formen, når blot man husker at bruge regel (3) samt regnereglerne for de reelle tal. I praksis erstatter vi med i skriver I TII benytter vi csolve til at bestemme komplekse løsninger. 5

7 Komplekse tal Definition Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved et komplekst tal. Tallet i er givet ved Ifølge det foregående afsnit betyder det, at. De komplekse tal består af mængden af alle tal, der kan skrives på formen De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. De reelle tal x y kaldes hhv. realdelen imaginærdelen af det komplekse tal betegnes hhv. Re(z) Im(z). Hvis kaldes et rent imaginært tal. Hvis er et reelt tal. Derfor er de reelle tal en delmængde af de komplekse tal. Hvis kaldes det komplekst konjugerede tal til z. Eksempel er et komplekst tal med realdel 2 imaginærdel 3. det konjugerede tal til z er et reelt tal. er et rent imaginært tal. Bestem nulpunkter til følgende funktioner (manuelt, kontrol ved TII), angiv imaginærdelen realdelen. (UHM),, Vi kan så få TII til at bestemme nulpunkterne for os. Hvis vi taster solve(x 2-2x + 17 = 0, x) fortæller TII, at resultatet er false, da der ikke er nle løsninger i de reelletal. Men hvis vi taster csolve(x 2-2x + 17 = 0, x) giver den os de komplekse løsninger. 6

8 Regning med komplekse tal Addition, subtraktion, multiplikation division foregår på samme måde som for reelle tal. Man skal blot huske på, at. Sætning 1 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Sum af de to tal: læg realdelene imaginærdelene sammen hver for sig, dvs.: Differens af de to tal: På samme måde som ved en sum regnes på real- imaginærdele for sig. Konstant gange et tal: konstanten ganges på både realdelen imaginærdelen. Bevis: Sum, differens konstant gange et tal føres som øvelser i klassen Hertil skal det nævnes at to komplekse tal er identiske præcis hvis. Multiplikation division med komplekse tal, er lidt mere omstændigt. Sætning 2 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Multiplikation giver et nyt komplekst tal Division foretages ved at forlænge med nævnerens komplekst konjugerede giver et nyt komplekst tal. Bevis: Multiplikation (gange): Hermed vist 7

9 Division: Hermed vist Øvelse Opdigt 5 tilfældige komplekse tal (a, b, c, d, e), få din makker til at lægge to af disse sammen, trække to fra hinanden, dividere to af tallene eller gange to af tallene sammen. Den komplekse talplan modulus argument. Vi har fra de naturlige tal hele tiden udvidet vores talakse til at indeholde flere flere tal. Ved de reelletal var vores tallinje komplet (ingen huller). Vi har endvidere siden 1g været vant til at tegne reelle tal på en tallinje/talakse. På den måde har vi kunnet identificere et punkt på talaksen med et reelt tal et reelt tal har vi kunnet tegne som ét punkt på talaksen. Men med udvidelsen af de komplekse tal møder vi et illustrationsproblem med vores nuværende tallinje. I sidste afsnit i vores arbejdsark indførte vi de komplekse tal specielt set på den imaginære enhed, i. Men vi mangler at sige mere præcist hvad i er, kigge på hvordan vi kan angive det iforhold til en tallinje. Da vi til et hvert reelt tal nu an koble uendelig mange imaginære tal, så vil det for de fleste give god mening at illustrere dette ved et koordinat-system. Som vi nu skal se, kan komplekse tal så tegnes som punkter - men nu i et koordinatsystem med to vinkelrette talakser. Dette koordinatsystem kaldes den komplekse talplan. Øvelse: Indtegn de komplekse tal samt svarene fra forrige øvelse i et komplekst plan. 8

10 Det er meget let at addere to komplekse tal, som vi allerede har set i vores arbejdsark. I den komplekse plan kan dette illustreres med en enkel tegning. Figuren viser, at tallenes stedvektorer (stedvektor: pil fra (0, 0) til punktet) lægges i forlængelse af hinanden. Vi kan altså komme fra origo til vores resultat ved konsekvent at gå den reelle del hen ad første aksen den imaginære del op/ned ad anden aksen. Nle vil nok genkende processen fra vektorregning. Øvelse: Få sidemanden til at opdigte 3 komplekse tal, bestemme hvordan de skal lægges sammen/trækkes fra hinanden. Find nu svaret ved grafisk at indtegne disse vektorer efter hinanden (som illustreret oven over). Modulus Afstanden fra origo til punktet kaldes så for modulus. Sætning: Lad være et komplekst tal. Længden af stedvektoren til z (afstanden fra origo til punktet) i den komplekse plan kaldes modulus af z skrives z : Bevis: Vi har en retvinklet trekant. Dermed kan vi benytte pythagoras til at bestemme z. Da vi ikke kan have negative længder må Øvelse: Bestem nu modulus til de komplekse tal i den foregående øvelse. 9

11 Argument polærkoordinater Når vi nu har et komplekst tal angivet som en linje så kaldet en vektor fra origo til punktet, vi kan bestemme længden af denne, så vil der ligeledes kunne bestemmes en vinkel (altså en retning) for vektoren. Som en indledning skal det nævnes, at det normalt er standard at benytte radianer, når der regnes i komplekse tal. Her i noterne benytter vi d grader. Her skal vi lige have fat på vores viden fra geometrien omkring cosinus sinus. 1 T Kort ridset op: Punktet R har koordinaterne (cos (v), sin (v) ). Dette R er nu repræsenteret ved vores komplekse tal. sin (v) cos (v) cosinus til vinklen v er første-koordinaten -1 A v cos (v) S 1 P til retningspunktet (vores komplekse tal). sin (v) sinus til vinklen v er anden-koordinaten til retningspunktet (vores komplekse tal). -1 Øvelse: Hvis vi kobler vores viden fra ensvinklede trekanter med dette, hvordan kan vi så omskrive, så det indeholder cosinus sinus. Tip: kig på z Definition Vinklen fra den positive reelle akse til stedvektoren til z kaldes argumentet af z skrives arg(z). Sætning Et komplekst tal kan skrives på såkaldt polær form: Hvor z er modulus v er argumentet arg(z)., Bevis. For en vinkel v mellem 0 90 følger af ensvinklede trekanter vores viden om sinus cosinus, at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Hermed bevist 10

12 Hvis vinklen v er større end 90, forløber beviset næsten på samme måde, Vi husker på at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Tilsvarende for de øvrige kvadranter Hermed bevist. BEMÆRKNING: Et tals argument er ikke entydigt (som modulus er), da da vi kan måle vinklen med mod uret (positivomløbsregning er mod uret). Derfor kan et tal have uendelig mange argumenter. På tegningen ses to argumenter, men vi kan jo blot løbe yderligere 360 rundt, så igen, så.. Der er tradition for at kalde den værdi af arg(z), der ligger mellem , for hovedargumentet af z, hvilket skrives Arg(z). Dermed er, hvor. Årsagen er at mange regner i radianer, der gælder at Når vi (her) taler om argumentet af tallet z, menes den værdi, som ligger mellem Bemærkning: To komplekse tal er identiske når de har identiske modulus argumenter., Øvelse: Omskriv følgende tal til polær form angiv modulus argument: Om tallet w ved du, at w =2 arg(w)=45. Skriv w på formen Multiplikation i polære koordinater. Vores mål er at vise hvordan kan beregnes. Vi starter med en hjælpesætning, så kaldet et lemma. Sætning Om produktet af to komplekse tal gælder der at: dvs. at, hvor, hvor 11

13 Bevis: Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver os at: Dermed ses at Hermed bevist Sætning Hvis hvor, så er dvs. at Bevis: Beviset føres som et induktionsbevis n=2: Følger direkte fra sætningen om multiplikation af kompleksetal n=k: Vi antager, at sætningen gælder (induktionsantagelse) n=k+1: (induktionsskridtet). Direkte fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Da n=k+1 Herfra kan vi se at der må gælde at Hermed bevist Lad. Bestem 12

14 Division i polære koordinater. Sætning Om kvotienten af to komplekse tal gælder: ( ), hvor, hvor dvs. at: Bevis: Da, har vi Med vores viden omkring enhedscirklen:, fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Her af ses at ( ) Hermed bevist. Lad. Bestem 13

15 Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Tidligere i noterne har vi vist at Nu skal vi se vores potenser af z i relation til rødder. Hvis, vil vi forsøge af finde z., hvor Sætning Ligningen hvor har n løsninger ( ) ( ) hvor Bevis: Løsningerne til ligningen er præcis de tal z som opfylder, hvor p=0,1 Da, er kravet altså at. Da modulus er et ikke negativt tal, har vi: Da jævnfør tidligere sætning om. Da, jævnfør vores viden om vinkler/argumenter. Derfor må have at Lad nu p løbe fra 0 op efter. Nu bliver argumenterne heraf fremgår det at der er præcis n forskellige argumenter til z. Dermed Hermed bevist Løs. Løs (fra stud. eksamen 1969). Tegn løsningerne ind i et komplekst talplan. 14

16 I TII kan vi blot løse opgaverne med csolve (husk at benytte i fra mathboksen). I opgaverne oven over ser det ud til at der dannes to trekanter. Det viser sig, at løsningerne danner en regulær n-kant. Årsagen er selvfølgelig den vinkel som hele tiden ligges til i ovenstående sætning. Modulus af løsningerne er ens. Argumentet til løsningerne er forskellige, men adskiller sig ved. Im(z) 3 Im(z) Re(z) Re(z) Løsninger til z^6 = Løsninger til z^7 = 2 + 8i Prøv selv at danne en grafisk løsning af en selvvalgt ligning Ligningen Sætning Ligningen hvor komplekse kvadratrødder har n løsninger ( ) ( ) Løsningerne kan skrives på formen hvor Bevis: ( ) ( ) Første del følger direkte af fra sætningen om. Anden del kommer af at ( ) ( ) ( ) kvadratroden kan vælges til enten + eller efter behag. Hermed bevist. 15

17 Andengradsligningen Tidligere har vi arbejdet med andengradsligningen, hvor. Vi kunne løse denne ligning hvis diskriminanten. Vi generalisere nu denne ligning tillader at koefficienterne kan være komplekse. Definition En general andengradsligning har formen hvor både koefficienterne den ubekendte z kan være komplekse tal. Sætning Enhver andengradsligning har altid to løsninger: Bevis: Beviset følger opskriften fra tidligere. Se AB1 s. 44 for yderligere info. Hermed kan vi se at diskriminantens værdi er underordnet i de komplekse tal. Hermed bevist Løs andengradsligningen 16

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk introduktion -

Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk introduktion - Til minde om min gode ven, kollega og forlægger Preben Frederiksen. Bogen må ikke ændres eller anvendes kommercielt. Venlig hilsen, Jørgen Ebert, marts 00 Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Quaternioner blev første gang beskrevet

Quaternioner blev første gang beskrevet vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse. Fag:matematik Hold:18 Lærer:ym Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 33-37 Hovedvægten er elevernes forståelse for matematiske begreber.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Snyd af Anders Bodelsen 1967

Snyd af Anders Bodelsen 1967 18-12-2014 SRP-Matematik i litteraturen Snyd af Anders Bodelsen 1967 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Anders Bodelsens forfatterskab... 4-5 Analyse af Snyd... 5 Referat... 5-6 Indhold...

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere