SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5"

Transkript

1 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5

2 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning... 5 Komplekse tal... 6 Definition... 6 Eksempel... 6 Regning med komplekse tal... 7 Den komplekse talplan modulus argument Modulus... 9 Argument polærkoordinater Multiplikation i polære koordinater Division i polære koordinater Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Ligningen komplekse kvadratrødder Andengradsligningen

3 Tallenes udvikling (Efterfølgende afsnit er hentet fra) Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk aksiomatisk introduktion - Tallene er alle tings væsen, sagde Pythagoras. Han mente, at vejen til sjælens frigørelse lå i et studium af de talmæssige forhold, som gør naturen til et harmonisk kosmos. Selv om vi nu til dags - cirka 2500 år senere - nok ikke ville udtrykke os helt på denne måde, må vi indrømme, at tallene spiller en væsentlig rolle for vores forståelse af verden. Vi har opnået så stor fortrolighed med dem, at vi er tilbøjelige til at betragte dem som evige naturgivne. Men den opfattelse er forkert. Ideen om tallene er skabt af mennesker, som gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Den mest betydningsfulde drivkraft har været skiftende kulturers forsøg på at forklare naturens forskelligartede fænomener som for eksempel årstidernes rytme månens bevægelser. Men så rent praktiske gøremål har inspireret. Oldtidsbonden har haft brug for at holde styr på antallet af husdyr, søfareren behøvede en vis form for navigation. Alle disse aktiviteter involverede beregninger, som blev mere mere avancerede i takt med naturvidenskabernes udvikling. Når kravene til tallenes anvendelighed steg, måtte man udvide forbedre forældede talsystemer. De reelle tal bør derfor betragtes som en kulturel frembringelse, der har været undervejs, siden de første civilisationer opstod. Historien slutter ikke med de reelle tal. For kun et par hundrede år siden lykkedes det at udvide dem, så vi i dag har en endnu mere anvendelig talstruktur til rådighed - de komplekse tal. Følgende oversigt fremhæver i stærkt forenklet form nle af hovedpunkterne i tallenes regnemæssige udvikling frem mod de komplekse tal. De naturlige tal Den mest primitive af de sædvanlige talmængder er mængden af naturlige tal: N = {1, 2, 3,...}. De kaldes så tælletallene, fordi det er dem, man bruger, når man tæller. Men de kan så i begrænset udstrækning bruges til aritmetiske operationer. De naturlige tal er stabile over for addition multiplikation i den forstand, at såvel summen som produktet af to naturlige tal altid er et naturligt tal. Men stabiliteten er langt fra tilstrækkelig til at sikre, at alle additive eller multiplikative problemstillinger kan løses inden for mængden af de naturlige tal. Et så simpelt problem som»hvis jeg lægger 5 kroner til min formue, har jeg 3 kroner. Hvor stor er min formue?«har ingen løsning. Med andre ord: der findes ikke net naturligt tal x, som tilfredsstiller ligningen 5 + x = 3. Heller ikke ligningen 5 + x = 5 har nen løsning. De hele tal For at kunne løse alle ligninger af formen a + x = b er det nødvendigt at udvide talmængden til så at omfatte nul de negative hele tal. Dermed har vi mængden af alle de hele tal: 2

4 Z = {..., - 3, - 2, -1, 0,1, 2, 3,...}. De hele tal er - ligesom de naturlige - stabile over for addition multiplikation, man kan løse alle additive ligninger inden for denne mængde. Først i 1600-tallet begyndte negative tal at blive regnet for egentlig tal, helt frem til starten af 1800-tallet blev det blandt europæiske akademikere diskuteret, hvorvidt negative tal nul skulle tillades i matematikken. Men de multiplikative problemstillinger kniber det stadig med. Eksempelvis har problemet»fem personer har delt tre kager. Hvor meget fik de hver?«ingen løsning. Det er det samme som at sige, at ligningen 5 x = 3 ikke tilfredsstilles af net helt tal. De rationale tal Man kan kun løse alle ligninger af typen med, såfremt man udvider talmængden til så at omfatte alle brøker med heltallig tæller nævner. Denne mængde kaldes de rationale tal: { } De rationale tal indeholder de hele tal, thi et vilkårligt helt tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Med denne udvidelse er man, foruden de additive ligninger, så i stand til at løse alle ligninger af formen, når blot. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses uden at forlade de rationale tal. Lommeregnere computere klarer sig endda med en ganske lille del af de rationale tal, nemlig dem, der kan skrives som endelige decimalbrøker med et bestemt maksimalt antal betydende cifre. De reelle tal Den næste udvidelse var dramatisk. Man opdagede, at forholdet mellem længderne af to linjestykker ikke altid kan angives ved hjælp af et rationalt tal. Sådanne linjestykker kaldes inkommensurable, deres forhold siges at være irrationalt. Allerede 300 år f. Kr. kendtes et bevis for, at forholdet mellem diagonalen en af siderne i et kvadrat er irrationalt (hvad er dette forhold?). Opdagelsen af de inkommensurable størrelser øvede en gennemgribende indflydelse på erkendelsesfilosofien. Man havde hidtil været overbevist om, at alle naturens fænomener kunne udtrykkes ved hjælp af simple rationale tal, at verden i hele sit væsen var rational. I oldtidens Grækenland havde medlemmerne af den navnkundige Pythagoræiske Skole viet hele deres liv til studiet af den guddommelige natur set i lyset af de rationale tal. Tallenes utilstrækkelighed kom som et chok for disse mennesker. Overleveringen siger, at guderne lod pythagoræeren Hippasos omkomme ved et frygteligt skibsforlis, fordi han med sin opdagelse af de inkommensurable størrelser kom dem for nær. Nle hemmeligheder er forbeholdt guderne. Opdagelsen var den direkte årsag til en total omlægning af den kurs, den græske matematik hidtil havde fulgt. Man måtte indrømme, at geometrien åbenbart var mere fuldkommen end tallene, thi geometrien kunne jo fremvise længder, som ikke kunne udtrykkes ved net tal. Som konsekvens heraf helligede man sig geometrien. Det førte i øvrigt til et yderst frugtbart arbejde, som resulterede i den klassiske geometri, der har holdt sig næsten uændret frem til vor tid. 3

5 De reelle tal, R, indeholder foruden de rationale tal så de irrationale. Dermed har man fået lukket de sidste huller på talaksen. Til ethvert punkt på talaksen svarer et reelt tal, til ethvert reelt tal svarer et punkt på talaksen. Det teoretiske grundlag for de reelle tal har været et virkeligt stort problem, som først er blevet løst på tilfredsstillende måde i nyere tid. Inden for de reelle tal er man i stand til at udtrykke længden af alle rette liniestykker andre geometriske størrelser som for eksempel forholdet p mellem en cirkels omkreds dens diameter. Desuden kan man inden for R løse alle ligninger af typen x n = a, hvor. Det vil sige, man kan uddrage n te-roden af alle positive tal. Men man kan ikke uddrage kvadratroden af negative tal, dermed har ligningen ingen løsning. Det skyldes, at x 2 altid - uanset værdien af x - er større end eller lig med 0. Altså vil x 2 +1 altid være større end eller lig med 1, derfor kan x 2 +1 aldrig være 0. Der er mange af den slags ligninger, som ikke kan løses, man har efterhånden affundet sig med, at»sådan er det bare«. Når man for eksempel skal løse en andengradsligning, beregner man først dens diskriminant. Hvis denne er negativ, er der ikke net at gøre: ligningen har ingen løsning. De komplekse tal Det ville lette mange beregninger, hvis det var tilladt at uddrage kvadratroden af -1. Belært af den allerede beskrevne udvikling, er det en nærliggende tanke at forsøge at udvide de reelle tal, således at x 2 +1 = 0 kan løses. Ideen er i sig selv ikke mere revolutionerende end den, der førte til de hele tal. Men regnetraditionen har rødder langt tilbage i tiden, den naturlige skepsis over for alt nyt har været svær at rokke på netop dette punkt. Derfor betragtedes ideen om at uddrage kvadratroden af -1 som næsten kættersk. Nle kritikere argumenterede med, at talaksen jo allerede var helt fuld af tal, så hvor skulle man finde plads til? Andre var mere konkrete i deres kritik. For eksempel fremførte de, at hvis eksisterede, ville man kunne opstille følgende to modstridende regnestykker: (1) (er ikke bevist at gælde) (2) På trods af al skepsis alle indvendinger har det d vist sig både muligt yderst anvendeligt at udvide talbegrebet. De komplekse tal, C, repræsenterer en udvidelse af de reelle tal, hvori ethvert polynomium af mindst første grad har et nulpunkt. Derfor har specielt ligningen x 2 +1 = 0 en løsning, derfor har det god mening at tale om. De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. Komplekse tal (betegnes C) forener et reelt et imaginært tal i en slags "par". Man kan beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen maginærdelen, sat sammen til en enhed. (2 + 3i) er et eksempel på et kompleksttal. Lav intro til kompleksetal.docx fra fronter 4

6 Indledning Hvis vi skal løse andengradsligningen så bruger vi løsningsformlen (1) Vi plejer at sætte at kalde d for diskriminanten. Hvis d > 0 er der to løsninger, hvis d = 0 er der én løsning, hvis d < 0 er der så ingen løsning. Som vi så i Intro til kompleksetal.docx, havde andengradsligningen (2) ikke nen løsning, idet der ikke findes et reelt tal, som ganget med sig selv giver -1. Hvis vi alligevel prøver at bruge den sædvanlige løsningsformel, (1), for andengradsligninger, får vi Nu prøver vi at godtage som en løsning, selvom vi godt ved, at ikke er et reelt tal. Hvis (3) ( ) skal være en løsning, må der gælde eller m.a.o., at er et tal, som ganget med sig selv giver -1. I de tilfælde, hvor en andengradsligning ikke har nen løsning indenfor de reelle tal, kan løsningsformlen altid omskrives, så den står på formen man kan sagtens regne med tal på formen, når blot man husker at bruge regel (3) samt regnereglerne for de reelle tal. I praksis erstatter vi med i skriver I TII benytter vi csolve til at bestemme komplekse løsninger. 5

7 Komplekse tal Definition Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved et komplekst tal. Tallet i er givet ved Ifølge det foregående afsnit betyder det, at. De komplekse tal består af mængden af alle tal, der kan skrives på formen De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. De reelle tal x y kaldes hhv. realdelen imaginærdelen af det komplekse tal betegnes hhv. Re(z) Im(z). Hvis kaldes et rent imaginært tal. Hvis er et reelt tal. Derfor er de reelle tal en delmængde af de komplekse tal. Hvis kaldes det komplekst konjugerede tal til z. Eksempel er et komplekst tal med realdel 2 imaginærdel 3. det konjugerede tal til z er et reelt tal. er et rent imaginært tal. Bestem nulpunkter til følgende funktioner (manuelt, kontrol ved TII), angiv imaginærdelen realdelen. (UHM),, Vi kan så få TII til at bestemme nulpunkterne for os. Hvis vi taster solve(x 2-2x + 17 = 0, x) fortæller TII, at resultatet er false, da der ikke er nle løsninger i de reelletal. Men hvis vi taster csolve(x 2-2x + 17 = 0, x) giver den os de komplekse løsninger. 6

8 Regning med komplekse tal Addition, subtraktion, multiplikation division foregår på samme måde som for reelle tal. Man skal blot huske på, at. Sætning 1 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Sum af de to tal: læg realdelene imaginærdelene sammen hver for sig, dvs.: Differens af de to tal: På samme måde som ved en sum regnes på real- imaginærdele for sig. Konstant gange et tal: konstanten ganges på både realdelen imaginærdelen. Bevis: Sum, differens konstant gange et tal føres som øvelser i klassen Hertil skal det nævnes at to komplekse tal er identiske præcis hvis. Multiplikation division med komplekse tal, er lidt mere omstændigt. Sætning 2 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Multiplikation giver et nyt komplekst tal Division foretages ved at forlænge med nævnerens komplekst konjugerede giver et nyt komplekst tal. Bevis: Multiplikation (gange): Hermed vist 7

9 Division: Hermed vist Øvelse Opdigt 5 tilfældige komplekse tal (a, b, c, d, e), få din makker til at lægge to af disse sammen, trække to fra hinanden, dividere to af tallene eller gange to af tallene sammen. Den komplekse talplan modulus argument. Vi har fra de naturlige tal hele tiden udvidet vores talakse til at indeholde flere flere tal. Ved de reelletal var vores tallinje komplet (ingen huller). Vi har endvidere siden 1g været vant til at tegne reelle tal på en tallinje/talakse. På den måde har vi kunnet identificere et punkt på talaksen med et reelt tal et reelt tal har vi kunnet tegne som ét punkt på talaksen. Men med udvidelsen af de komplekse tal møder vi et illustrationsproblem med vores nuværende tallinje. I sidste afsnit i vores arbejdsark indførte vi de komplekse tal specielt set på den imaginære enhed, i. Men vi mangler at sige mere præcist hvad i er, kigge på hvordan vi kan angive det iforhold til en tallinje. Da vi til et hvert reelt tal nu an koble uendelig mange imaginære tal, så vil det for de fleste give god mening at illustrere dette ved et koordinat-system. Som vi nu skal se, kan komplekse tal så tegnes som punkter - men nu i et koordinatsystem med to vinkelrette talakser. Dette koordinatsystem kaldes den komplekse talplan. Øvelse: Indtegn de komplekse tal samt svarene fra forrige øvelse i et komplekst plan. 8

10 Det er meget let at addere to komplekse tal, som vi allerede har set i vores arbejdsark. I den komplekse plan kan dette illustreres med en enkel tegning. Figuren viser, at tallenes stedvektorer (stedvektor: pil fra (0, 0) til punktet) lægges i forlængelse af hinanden. Vi kan altså komme fra origo til vores resultat ved konsekvent at gå den reelle del hen ad første aksen den imaginære del op/ned ad anden aksen. Nle vil nok genkende processen fra vektorregning. Øvelse: Få sidemanden til at opdigte 3 komplekse tal, bestemme hvordan de skal lægges sammen/trækkes fra hinanden. Find nu svaret ved grafisk at indtegne disse vektorer efter hinanden (som illustreret oven over). Modulus Afstanden fra origo til punktet kaldes så for modulus. Sætning: Lad være et komplekst tal. Længden af stedvektoren til z (afstanden fra origo til punktet) i den komplekse plan kaldes modulus af z skrives z : Bevis: Vi har en retvinklet trekant. Dermed kan vi benytte pythagoras til at bestemme z. Da vi ikke kan have negative længder må Øvelse: Bestem nu modulus til de komplekse tal i den foregående øvelse. 9

11 Argument polærkoordinater Når vi nu har et komplekst tal angivet som en linje så kaldet en vektor fra origo til punktet, vi kan bestemme længden af denne, så vil der ligeledes kunne bestemmes en vinkel (altså en retning) for vektoren. Som en indledning skal det nævnes, at det normalt er standard at benytte radianer, når der regnes i komplekse tal. Her i noterne benytter vi d grader. Her skal vi lige have fat på vores viden fra geometrien omkring cosinus sinus. 1 T Kort ridset op: Punktet R har koordinaterne (cos (v), sin (v) ). Dette R er nu repræsenteret ved vores komplekse tal. sin (v) cos (v) cosinus til vinklen v er første-koordinaten -1 A v cos (v) S 1 P til retningspunktet (vores komplekse tal). sin (v) sinus til vinklen v er anden-koordinaten til retningspunktet (vores komplekse tal). -1 Øvelse: Hvis vi kobler vores viden fra ensvinklede trekanter med dette, hvordan kan vi så omskrive, så det indeholder cosinus sinus. Tip: kig på z Definition Vinklen fra den positive reelle akse til stedvektoren til z kaldes argumentet af z skrives arg(z). Sætning Et komplekst tal kan skrives på såkaldt polær form: Hvor z er modulus v er argumentet arg(z)., Bevis. For en vinkel v mellem 0 90 følger af ensvinklede trekanter vores viden om sinus cosinus, at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Hermed bevist 10

12 Hvis vinklen v er større end 90, forløber beviset næsten på samme måde, Vi husker på at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Tilsvarende for de øvrige kvadranter Hermed bevist. BEMÆRKNING: Et tals argument er ikke entydigt (som modulus er), da da vi kan måle vinklen med mod uret (positivomløbsregning er mod uret). Derfor kan et tal have uendelig mange argumenter. På tegningen ses to argumenter, men vi kan jo blot løbe yderligere 360 rundt, så igen, så.. Der er tradition for at kalde den værdi af arg(z), der ligger mellem , for hovedargumentet af z, hvilket skrives Arg(z). Dermed er, hvor. Årsagen er at mange regner i radianer, der gælder at Når vi (her) taler om argumentet af tallet z, menes den værdi, som ligger mellem Bemærkning: To komplekse tal er identiske når de har identiske modulus argumenter., Øvelse: Omskriv følgende tal til polær form angiv modulus argument: Om tallet w ved du, at w =2 arg(w)=45. Skriv w på formen Multiplikation i polære koordinater. Vores mål er at vise hvordan kan beregnes. Vi starter med en hjælpesætning, så kaldet et lemma. Sætning Om produktet af to komplekse tal gælder der at: dvs. at, hvor, hvor 11

13 Bevis: Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver os at: Dermed ses at Hermed bevist Sætning Hvis hvor, så er dvs. at Bevis: Beviset føres som et induktionsbevis n=2: Følger direkte fra sætningen om multiplikation af kompleksetal n=k: Vi antager, at sætningen gælder (induktionsantagelse) n=k+1: (induktionsskridtet). Direkte fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Da n=k+1 Herfra kan vi se at der må gælde at Hermed bevist Lad. Bestem 12

14 Division i polære koordinater. Sætning Om kvotienten af to komplekse tal gælder: ( ), hvor, hvor dvs. at: Bevis: Da, har vi Med vores viden omkring enhedscirklen:, fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Her af ses at ( ) Hermed bevist. Lad. Bestem 13

15 Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Tidligere i noterne har vi vist at Nu skal vi se vores potenser af z i relation til rødder. Hvis, vil vi forsøge af finde z., hvor Sætning Ligningen hvor har n løsninger ( ) ( ) hvor Bevis: Løsningerne til ligningen er præcis de tal z som opfylder, hvor p=0,1 Da, er kravet altså at. Da modulus er et ikke negativt tal, har vi: Da jævnfør tidligere sætning om. Da, jævnfør vores viden om vinkler/argumenter. Derfor må have at Lad nu p løbe fra 0 op efter. Nu bliver argumenterne heraf fremgår det at der er præcis n forskellige argumenter til z. Dermed Hermed bevist Løs. Løs (fra stud. eksamen 1969). Tegn løsningerne ind i et komplekst talplan. 14

16 I TII kan vi blot løse opgaverne med csolve (husk at benytte i fra mathboksen). I opgaverne oven over ser det ud til at der dannes to trekanter. Det viser sig, at løsningerne danner en regulær n-kant. Årsagen er selvfølgelig den vinkel som hele tiden ligges til i ovenstående sætning. Modulus af løsningerne er ens. Argumentet til løsningerne er forskellige, men adskiller sig ved. Im(z) 3 Im(z) Re(z) Re(z) Løsninger til z^6 = Løsninger til z^7 = 2 + 8i Prøv selv at danne en grafisk løsning af en selvvalgt ligning Ligningen Sætning Ligningen hvor komplekse kvadratrødder har n løsninger ( ) ( ) Løsningerne kan skrives på formen hvor Bevis: ( ) ( ) Første del følger direkte af fra sætningen om. Anden del kommer af at ( ) ( ) ( ) kvadratroden kan vælges til enten + eller efter behag. Hermed bevist. 15

17 Andengradsligningen Tidligere har vi arbejdet med andengradsligningen, hvor. Vi kunne løse denne ligning hvis diskriminanten. Vi generalisere nu denne ligning tillader at koefficienterne kan være komplekse. Definition En general andengradsligning har formen hvor både koefficienterne den ubekendte z kan være komplekse tal. Sætning Enhver andengradsligning har altid to løsninger: Bevis: Beviset følger opskriften fra tidligere. Se AB1 s. 44 for yderligere info. Hermed kan vi se at diskriminantens værdi er underordnet i de komplekse tal. Hermed bevist Løs andengradsligningen 16

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 09- jun 10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium htx Matematik

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere