Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet."

Transkript

1 Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0

2 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige uddaelsestid til at elevere ka arbejde med forberedelsesmaterialet forud for de skriftlige prøve 3-5 delspørgsmål i delprøve af de skriftlige prøve tager udgagspukt i det materiale, der fides i dette oplæg De øvrige spørgsmål omhadler emer fra kerestoffet Oplægget ideholder teori, eksempler og øvelser i tilkytig til et eme, der ligger umiddelbart i forlægelse af et kerestofeme Resultatere af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbriges til de skriftlige prøve Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledig

3 6 timer med vejledig Komplekse tal Når vi skal løse adegradsligige ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsigsformle -b b -4ac x = a Ligiges diskrimiat opskriver vi som det selvstædige udtryk d = b - 4ac, fordi diskrimiate jo har afgørede betydig for atallet af løsig til adegradsligige Der gælder som bekedt, at år d < 0, så har ligige ige løsiger Adegradsligige x + = 0, har ige løsiger, idet der ikke er oget reelt tal, der gaget med sig selv giver - Havde der været e løsig, så skulle vi kue give meig til udtrykket -, fordi år vi løser ligige efter de sædvalige regler, så får vi x =- x = - Accepterer vi u, at der fides et sådat tal, så skal der jo gælde, at ( - ) =- I det følgede vil vi atage at tallet i har de egeskab, at i =- Ud fra oveståede er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal Ligige ovefor har ige reelle tal som løsiger, me ligige har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsiger Vi vil i det følgede vise, at ehver adegradsligig altid har to løsiger, år vi arbejder ide for de komplekse tal Defiitio De komplekse tal består af alle tal på forme = x+ y i, hvor x og y er reelle tal Tallet x kaldes de reelle del af og skrives også Re( ), mes y kaldes imagiærdele af og skrives Im( ) Øvelse Eksempler på komplekse tal: = + 3i, = 4 og 3 =-5i a) Agiv de reelle del af de tre komplekse tal, og 3 b) Opskriv selv tre ye komplekse tal Regig med komplekse tal Additio (lægge til), subtraktio (trække fra), multiplikatio (gage) og divisio (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal Ma skal blot huske på, at i =- Ma ka altid kue reducere sit regeudtryk, så resultatet eder med at stå på forme x + y i To komplekse tal er givet ved = + 3i og = 4-5i Vi illustrerer de tre første regeoperatioer med disse to komplekse tal: Additio ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 3i + 4-5i = + 3i+ 4-5i= i- 5i = 6- i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

4 6 timer med vejledig Subtraktio (-) ( ) ( ) ( ) ( ) - = + 3i - 4-5i = + 3i- 4+ 5i= i+ 5i =- + 8 i Multiplikatio ( ) ( ) ( ) = + 3i 4-5i = 4-5i+ 3i 4-3i 5i= 8-0i+ i-5i Nu udytter vi at i =-, og så får vi = 8+ i-5 ( - ) = 8+ i+ 5= 3+ i Divisio af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og ide vi itroducerer de regeoperatio vil vi idføre e y regeoperatio, som er kyttet specielt til de komplekse tal, emlig kompleks kojugerig Defiitio Ved de kompleks kojugerede til et komplekst tal = x+ y i forstås det komplekse tal = x- y i Vi illustrerer u de sidste af de fire regeoperatio med de samme to komplekse tal som ovefor: Divisio (:) Vi vil udføre divisioe + 3i = 4-5i, idet vi beytter de kompleks kojugerede til, dvs = 4-5i= 4+ 5i, til i første omgag at forlæge brøke + 3i + 3i 4-5i + 3i 4+ 5 i (+ 3 i) (4+ 5 i) = = = =, 4-5i 4-5i 4-5i 4-5i 4+ 5 i (4-5 i) (4+ 5 i) Vi gager paretesere ud, idet vi i ævere udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får 8+ 0i+ i+ 5i - 7+ i - 7+ i -7 = = = = + i=- 0,7 + 0,54 i 6-5i Eksempel Der gælder, at = x + y Vi ka eftervise dette ved multiplikatio af de to komplekse tal = x+ y i og = x- y i, idet vi ige udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får ( ) ( ) = x-y i x+ y i = x -( y i ) = x + y Regig med komplekse tal ka emt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Iteractive), idet tallet i fides som et idbygget symbol ligesom e og p : ( i) ( 5-7 i) = 4-3 i og i - = + 58 i 6-7 i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

5 6 timer med vejledig Øvelse Bestem ved hådregig edeståede 3 komplekse tal og kotrollér resultatere vha et CAS-værktøj: a) ( + 3i) -( 7-4i) b) ( + 3 ) ( 7+ 6 ) i i c) ( + i) ( 7+ 6i) 3 De komplekse talpla Ma ka afbilde det komplekse tal = x + yi i Imagiær akse puktet ( x, y ) i e pla med et sædvaligt retviklet koordiatsystem Alle komplekse tal på forme x + 0i repræseterer 4i blot alle de reelle tal, fordi de imagiære del er ul 3 3i Disse tal afbildes på akse, og ma kalder derfor dee akse for de reelle akse Der gælder altså, at alle de reeelle tal er ideholdt i de komplekse tal Specielt ser vi, at tallet afbildes i puktet (,0) svarede til at ehede på de reelle akse er Reel akse i Alle komplekse tal på forme 0 + yi, hvor de reelle del er ul kaldes ret imagiære tal Disse tal afbildes på akse, som derfor kaldes de imagiære akse Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i puktet (0,), og derfor kalder vi i de imagiære ehed æ ö I vektorregig kalder vi vektore = a OA ç çèa fra begydelsespuktet (0,0) til puktet A( a, a) for ø stedvektore til A, og additio af to komplekse tal svarer geometrisk set til additio af stedvektorere til de pukter som repræseterer de komplekse tal i de komplekse talpla Eksempel To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi Ved additio får vi: + = ( x + x ) + ( y + y ) i, og derfor afbildes det komplekse tal + i puktet ( x+ x, y+ y ) Dette pukt har etop sumvektore for de to stedvektorer til hhv og som æ ö æ ö æ + ö stedvektor: x x + = x x ç ç ç + èy ø èy ø èy y ø Øvelse To komplekse tal er givet ved = 6+ i og = 7 i a) Teg de to pukter, der repræseterer og i de komplekse talpla b) Bestem lægde af stedvektorere til hvert af de to pukter, som repræseterer de komplekse tal og c) Bestem for hvert af de komplekse tal og de vikel som disse stedvektorer daer med x-akse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7

6 6 timer med vejledig Øvelse 3 To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi a) Bestem -, og giv e geometrisk fortolkig af tallet Øvelse 4 Overvej, at de kompleks kojugerede til = x + yi, dvs = x- yi, geometrisk set blot svarer til at spejle i de reelle akse Modulus og argumet Ved multiplikatio og divisio af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på e ade form I de forbidelse får vi brug for begrebere modulus af et komplekst tal og argumet for et komplekst tal Defiitio 3 Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Ved modulus af, som beteges, forstår vi lægde af stedvektore til det pukt ( x, y ), der repræseterer i de komplekse talpla, dvs = x + y Sætig Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Da gælder der, at = Øvelse 5 a) Vis, at sætig gælder for det komplekse tal =- + 5i b) Bevis sætig Betragt et komplekst tal = x+ yi Vi vil vise, at ( cos ) si( ) ) = ( q + q i, hvor er modulus for, og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, der repræseterer i de komplekse talpla (se figur) Im x yi Re Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7

7 6 timer med vejledig Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved = 3+ i a) Teg stedvektore til, og bestem vikle q mellem stedvektore til og førsteakse reget i positiv omløbsretig b) Bestem modulus af, og udreg x= cos ( q ) og y= si ( q ) Deræst ser vi på det geerelle tilfælde: Betragt et komplekst tal = x+ yi Lad være q vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla c) Vis, at x= co s( q ) og y= si ( q ) d) Vis u, at = ( cos q) + si( q) i ) ( Defiitio 4 Ved de polære koordiater for det komplekse tal forstås talparret ( r, q ), hvor r= og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla Tallet ka skrives på forme ( + i( ) ) = r cos( q) s q i Dette skriver vi også som r θ = e i, og vi siger i begge tilfælde, at er agivet på polær form Vikle q kaldes argumetet for, og agives som: Arg( ) De overraskede skrivemåde med brug af e θ i avedes af CAS-værktøjere og bag dette ligger e sammehæg mellem ekspoetialfuktioe og de trigoometriske fuktioer, som etop viser sig i de komplekse talpla, me som vi ikke vil komme ærmere id på her CAS-værktøjere ka let rege frem og tilbage mellem polære og rektagulære koordiater (her TI- Iteractive): ( 4 i) / 3 ( 3 4 ) topolar e 5 og 5 e ( p i - + i ) i Bemærk, at viklere her er reget i radiaer Im Im 3 4i,5 4,330i,4 Re 3 Re Hvis (, ) r, q+ p p, pîz repræsetere det samme komplekse tal, fordi år vi lægger p p til q, så svarer det jo blot til at løbe et helt atal gage rudt om (0,0) De værdi bladt + p, pîz - p, p kaldes hovedargumetet for r q repræseterer et komplekst tal på polær form, så vil ( ) q p, der ligger i itervallet ] ] Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7

8 6 timer med vejledig Bemærk, at tallet 0 i de komplekse talpla svarer til skærigspuktet mellem de reelle akse og de imagiære akse Vi vil fremover kalde dette pukt for O Øvelse 7 Tre komplekse tal er givet ved = + 3 i, = - 3 i, 3 =- 7 i og 4 =-3-4 i a) Teg de pukter som repræseterer, og 3i de komplekse talpla b) Agiv, og 3 på polær form, og kotroller modulus og argumet for hvert af de tre komplekse tal på figure fra a) Øvelse 8 Bereg modulus af og argumetet for hvert af de komplekse tal: a) = + i b) = -i c) 3 = ( + i) ( - i ) Sætig Bevis: For ethvert kompleks tal gælder, der at Arg( ) =-Arg( ) og = Skriver vi på polær form r ( cos( q) + si( q) ) = i, dvs = r og Arg( ) = q, fås ( ( q) + si( q) i) ( os( q) -si( q i ) = r cos = r c ), og da - si( q) = si( -q) og cos( q) = cos( -q), så får vi ( ) = r cos( -q) + si( -q) i Heraf ses, at = r og Arg( ) =- q Multiplikatio og divisio i polære koordiater Hvis to komplekse tal og er givet i polære koordiater, altså ved modulus og argumet, ka multiplikatio og divisio udtrykkes simpelt Sætig 3 For ethvert komplekst tal ¹ 0 gælder der, at = og æö Argç =-Arg( ) çè ø Bevis: Vi skriver på forme = r ( cos( q) + si( q) i), hvor r= og q = Arg( ) Da er de komplekst kojugerede til givet ved = r ( cos( -q) + si( -q) i) og derfor får vi ved at forlæge med og avede sætig : ( cos( q) + si( -q) i), r - = = = = ( c o s( -q) + si ( -q ) i) r r Nu er skrevet på polær form, og vi ser, at = = r og at æö Argç =-q çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7

9 6 timer med vejledig Sætig 4 For to komplekse tal og gælder der, at Bevis: Vi skriver og på forme = og Arg( ) = Arg( ) + Arg( ) = r ( cos( q ) + si( q ) i ) og = ( cos( ) + si( ) ) r q q i, hvor r = og q = Arg( ), og tilsvarede r = og q = Arg( ) Ved multiplikatio får vi således ( cos( q ) + si( q ) i) ( cos( q ) + si( q ) i) = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i si( q )cos( q ) i si( q)si ( q) i ) = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i+ si( q )cos( q ) i si( q )si( q )) (( cos( ) cos( ) si( ) si ( )) ( cos( ) si( ) si( )cos( )) ) = r r + - = r r q q - q q + q q + q q i ved brug af de to additiosformler for de trigoometriske fuktioer: cos( q + q ) = cos( q ) cos( q )- si( q ) si( q ) følger det u at si( q + q ) = cos( q ) si( q ) + si( q ) cos( q ) ( cos( + ) + si( + ) ) = r r q q q q i Nu er skrevet på polær form, og det fremgår at = r r = og Arg( ) = q + q =Arg( ) + Arg( ) q i Øvelse 9 Et komplekst tal er givet ved = e = cos( q) + si( q) i, dvs har modulus, = j Et adet komplekst tal er givet ved e i w= w = w (cos( j) + si( j) i ) a) Teg e skitse, der viser de pukter i de komplekse talpla, som repræseterer de tre komplekse tal, w og w b) Formuler på baggrud af skitse e påstad om, hvilke sammehæg der er mellem de to komplekse tal w og w, år har modulus 4 Øvelse 0 To komplekse tal er givet ved = 3+ i og = e 4 a) Beyt resultatet af øvelse ovefor til at bestemme de to komplekse tal, der π fremkommer ved at dreje hhv og vikle omkrig O 3 π i Sætig 5 For to komplekse tal og gælder der, at æ ö Arg ç = Arg -Arg = og ( ) ( ) ç çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7

10 6 timer med vejledig Øvelse Bevis sætig 5 ved at avede sætig 4 på ligige: = Øvelse To komplekse tal er givet ved =-- 4 i og = -7 i a) Bestem modulus og argumet for og, og agiv og på polær form b) Agiv ved avedelse af sætig 4 og sætig 5 og c) Teg de fire komplekse tal,, og To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi på polær form id i et koordiatsystem d) Giv e geometriske beskrivelse af, hvorda de to komplekse tal og fremkommer af og Sætig 6 For et komplekst tal gælder der, at = og Arg( ) = Arg( ), hvor er et helt tal Bevis: Beviset er et iduktiosbevis, som bygger på at e bestemt egeskab går i arv fra et tal i række til det æste tal i række Dee bevistype avedes ofte, år ma skal vise, at e bestemt formel gælder for alle aturlige tal,, 3, 4, Vi sikrer os allerførst, at det første tal i række er bærer af egeskabe, dvs at vores formler giver meig for det første tal i række, som er = Når =, så får vi = = og Arg( ) = Arg( ) = Arg( ), dvs formle gælder for = Fortsætter vi til det æste tal i række = = = og Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) = + =,, så får vi altså gælder sætige også for = Dvs det første (og det adet) tal i række er bærer af egeskabe Såda kue vi fortsætte, hvis talrække var begræset, me her skal vi jo vise, at formlere gælder for alle hele tal Derfor laver ma det lille trick, at ma atager, at et tilfældigt tal i række er bærer af egeskabe, og derefter viser ma så, at det efterfølgede tal bliver bærer af egeskabe, og dermed har ma jo vist at alle tallee i række er bærer af egeskabe Vi atager derfor u, at det m te tal i række er bærer af egeskabe, dvs at formle gælder for = m m = m m og Arg( ) = Arg( ) m Vi vil u vise, at så bliver det æste tal i række = m+ også bærer af egeskabe, dvs så vil formlere også gælde for = m + m+ + = m og Arg ( m+ ) = ( + ) Arg( ) m Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 8 af 7

11 6 timer med vejledig Ved brug af potesregereglere og sætig 4 samt atagelse om, at sætige gælder for = m, får vi og m m m m m+ + = = = = Arg m ( + m ) = Arg( ) m = Arg( ) + Arg( ) ( ) Arg( ) ( ) = m Arg + = ( m+ ) Arg Vi har u vist, at tallet = m + er bærer af egeskabe, etop hvis tallet før = m er bærer af egeskabe altså hvis et tal i række er bærer, så arver det æste tal i række egeskabe! Me vi ved jo, at = er bærer, altså er alle de efterfølgede tal i række også bærere! Hermed er iduktiosbeviset fuldført Vi ka altså ifølge sætig 6 skrive det komplekse tal hvor q = Arg( ) ( cos( ) si( ) ) = q + q i, på forme 6 Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved =, e p i Im Så ka tallee, hvor =,,0, afbildes i de komplekse talpla som vist på figure Ved omskrivig får vi emlig p p i i 6 6 = (, e ) =, e p p =, (cos( ) + si( ) i ) 6 6 i Re Da =,>, så vil = =, blive større og større, år geemløber =,,0, og tilsvarede vil Arg ( ) = Arg( ) blive større og større, år geemløber =,,0 4 Øvelse 3 Et komplekst tal er givet ved =,3 e p i a) Teg puktere der repræseterer de komplekse tal, =,,0 i de komplekse talpla Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 9 af 7

12 6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med adegradsligige, vil vi først se på te-gradsligige de simple adegradsligig = a, hvor a er et komplekst tal = a, og derefter på Sætig 7 Bevis: Ligige hvor q = ( a) = a, hvor a er et komplekst tal, har løsigere q pp q pp ( i ) = a cos( + ) + si( + ), p= 0,,,, -, Arg Vi fider først modulus af Ifølge sætig 6 gælder og da = =, a får vi = = a, og dermed = a Herefter fider vi argumetet for Ifølge sætig 6 gælder der, at dvs ( ) ( ) ( a) Arg = Arg = Arg, Arg( a) Arg ( ) = Som tidligere ævt repræseterer (, ) r q og ( r, q+ p ) samme komplekse tal Da argumetet for a er θ, så vil ( r, q+ p ) helt tal, også være argumet for a Arg a = q+ p p, pîz ( ) og dermed Arg = q+ p p, pîz ( ) og ved divisio med får vi q p Arg( ) = + p, p ÎZ Bemærk, at dette giver forskellige vikler for p= 0,,, - p, hvor p er et helt tal, det Derfor ka løsigere til ligige = a skrives som q pp q pp = a cos( + ) + si( + ) i, p= 0,,,, - ( ) p, hvor p er et Af løsigsformle til ligige = a ser vi, at alle løsiger har samme modulus Har ma fudet løsige for p = 0 og afsat de i de komplekse pla, fider vi blot de æste løsig ved at dreje de første løsig vikle p omkrig O De løsiger vil altså ligge som hjører i e regulær -kat med cetrum i O Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 0 af 7

13 6 timer med vejledig Ma bruger ofte symbolet a for e vilkårlig af de løsiger i ligige ligig, vælger ma så a til at være é bestemt løsig = a Når ma løser e kokret Eksempel 4 Vi vil løse ligige 5 = 3 Modulus af er givet ved = 5 3 = Argumetet af er 0, da 3 ligger på de positive del af de reelle akse Argumetere for de 5 løsiger er så p Arg( ) = 0 + p = 0, p = 0,,,3, 4 5 Altså er argumetere til løsigere Løsigere til ligige 5 = , p, p, p og p bliver derfor = = p i = p i 3 = p i 4 = p i, e, e, e og e De 5 løsiger er illustreret på figure edefor Im e i 5 e 4 i 5 i 0 Re 3 e 6 i 5 4 e 8 i 5 5 Løsiger til ligige 3 Ligige ka også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): 5 csolve( 3, ) = = = = = =,5664 i -,5664 i,537 i -,537 i e or e or e or e or Bemærk at CAS-programmet agiver hovedargumetet for de komplekse tal, dvs det argumet der ligger i itervallet ] π; π] - Fx er hovedargumetet for = e 5 6 p i 4 lig med - p»-,537 5 Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

14 6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med de geerelle adegradsligig, vil vi først se på de simple adegradsligig, = a Sætig 8 Adegradsligige = a har løsigere q q = a (cos( ) + si( ) i ) hvor a er modulus af a, og ( a) Arg = q Bevis: Af sætig 7 ses, at ligige = a har røddere q q = ( cos( ) + si( ) i ) og = a ( cos( + ) + si( + ) ) a q q 0 p p i q q cos( + p) =- cos( ) og si( + p) =- si( ) ifølge ehedscirkle, gælder der, at q q Da q q q q ( cos( ) si( ) i) ( cos( ) si( ) i ) = a - - =- a + dvs =- 0 Altså har ligige = a løsigere ( ) q q = a cos( ) + si( ) i Vi vil u defiere, hvad der skal forstås ved kvadratrode af et komplekst tal: Defiitio 5 Kvadratrode af et komplekst tal a er givet ved hvor q = Arg( a) ( ) q q a = a cos( ) + si( ) i, Med dee defiitio kue vi formulere sætig 8 således: Adegradsligige = a har røddere a Vi vil se på beregige af kvadratrødder i ogle eksempler Eksempel 5 Vi vil løse ligige = 4 Tallet a = 4 er jo et reelt tal, som ligger på de positive del af de reelle talakse Derfor er argumetet for a : q =Arg( a) = 0, og modulus af a : a = = 4 Heraf følger, at q = 0 og a =, og dermed bliver løsigere til ligige som vetet = (cos(0) + si(0) i ) = = 4 Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovefor med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ³ 0 a har samme betydig ide for de reelle tal og de komplekse tal, år altså blot a ³ 0, ka vi se, at symbolet Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

15 6 timer med vejledig Eksempel 6 Vi vil løse ligige =- Tallet a =- er et reelt tal, som ligger på de egative reelle akse Modulus af a er: q p a =, og argumetet for a er: Arg( a ) = θ = π Dermed er a =, og = Løsiger til ligige =-bliver således = (cos( ) + si( ) i) = i p p p p Ved brug af defiitioe ovefor får vi: - = (cos( ) + si( ) i) = i Vi ser altså, at det stemmer overes med det valg, vi foretog ved idførelse af de komplekse tal Øvelse 4 Vis ved at geeralisere ud fra eksemplet ovefor, at hvis a ³ 0, så er - a = a i Eksempel 7 Vi vil løse ligige Her er 3 3,60555 = -3i a = = og = ( ) Løsigere bliver derfor eller q q Arg a =-0,9879, dvs 0,4940 =- = 3,60555 (cos( - 0,4940) + si( -0,4940) i) = (, ,89598 i ) Vi har u set tre eksempler på beregig af kvadratrødder af komplekse tal Ma ka ifølge defiitio 5 uddrage kvadratrode af alle komplekse tal, mes ma idefor de reelle tal ku ka uddrage kvadratrode af et tal, som er større ed eller lig med ul Ide for de reelle tal gælder forskellige regeregler for rødder, som fx ab = a b Disse regeregler gælder ikke altid ide for de komplekse tal Øvelse 5 Sæt a= b=- og vis, at brug af regeregle ab = a b ka føre til e modstrid Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7

16 6 timer med vejledig Adegradsligige a + b + c = 0 Sætig 9 Adegradsligige a b c + + = 0, a 0, har løsigere hvor d b 4ac = - -b d =, a Bevis: Da a 0, ka vi omskrive adegradsligige som følger: a b c + + =0 + + = Gager med 4a 4a 4ab 4ac 0 a + ab+ b = b- ac Lægger ( ) 4 b til og trækker 4ac fra på begge sider a + b = b - ac Aveder kvadratsætig på vestre side Nu kalder vi det, der står på vestre side af lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y = d Dee ligig har ifølge sætig 8 løsige q q y= d (cos( ) + si( ) i ), hvor q er et argumet for d q q Da etop d = d (cos( ) + si( ) i ), får vi y= d, og dermed for y= a+ b: a + b = d -b = a d Trækker b fra og dividerer med a på begge sider Vi får altså, at løsigsformle får det samme udseede som for reelle tal Eksempel 8 Vi vil løse ligige Ligige har diskrimiate + (-5 i) -8-4i = 0 d = (-5 i) -4 ( -8-4 i) = 8 + 6i Vi får så modulus af d til 8 6 de to ligiger cos( q ) = og si( q ) = 0 0 Løsige er q = 0,64350 q = 0,375 d = = 0, og vi fider argumetet q for d ud fra og dermed er Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7

17 6 timer med vejledig Nu ka vi berege kvadratrode af d ved d = 0(cos(0,375) + si(0,375) i) = 3+ i, og edelig ka vi berege løsigere til -(-5 i) (3 + i) ì + 3 ï i = =í ïî ï - + i Ligige ka også løses med et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): csolve( + (-5 i) -8-4 i= 0, ) = + 3 i or =- + i Adegradsligiger med reelle koefficieter Sætig 0 Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i adegradsligige a b c hiades kojugerede + + = 0, hvor a 0, Bevis: Fra øvelse 4 ved vi, at a = a i, hvor a er et reelt tal Her er d et reelt egativt tal, dvs modulus af d er: d Vi får u d = -d i= d i b d =- a + a i og b d =- a - a i =- d, og dermed er -b Da og a d a begge er reelle tal, er = og omvedt = Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor e adegradsligig med reelle koefficieter ikke har oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hiades kojugerede Eksempel 9 Vi vil løse adegradsligige Ligige har diskrimiate - + = 0 d = (-) -4 =- 4, dvs d = d i= 4 i= i, og løsigere bliver således - i = = -i + i = = + i og Øvelse 6 Løs adegradsligige talpla =, og illustrér løsigere i de komplekse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7

18 6 timer med vejledig E simpel avedelse De komplekse tal har mage avedelser bla idefor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm Det vil føre for vidt at komme id på disse her I stedet vil vi illustrere e simpel avedelse idefor plageometrie Eksempel 0 Betragt trekat ABC, hvor A(,), B( - 3,4) og C(5, 6) Vi vil rotere dee trekat 33 omkrig O til e y trekat ABC Vi ka betragte trekate i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere repræseterer de komplekse tal A = + i, B =- 3+ 4i og C = 5+ 6i Da 33 = p= p= 0, radiaer fremkommer de ye trekat ved at , i multiplicere tallee A, B og C med = e = 0, , i Vi geemfører beregigere i et CAS-program (her TI-Iteractive!): A: = + i:: B: = i:: C: = 5+ 6 i:: : = e A : = A i B : = B i C : = C i 33 p i 80 Dvs hjørepuktere i de ye trekat (se figur) repræseter de tre komplekse tal A = i B = i C = i Im C B C B A 33 O i A Re Ved at betragte trekate i de komplekse talpla ka vi ligeledes let fide er række størrelser og pukter i trekate: Midtpuktet af side AB: Tygdepuktet for trekat ABC: A+ B + i + ( i) = =- + 3i A+ B+ C (+ ) i + (- 3+ 4) i + (5+ 6) i 3+ i = = = + 4i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7

19 6 timer med vejledig æb Aö Vikel A: Arg - ç = Arg( B-A) -Arg( C- A) = 08,4 çèc- A ø Im B A B 08,4 08,4 A i O C C A Re Øvelse 7 Rotér trekat ABC i oveståede eksempel 55 omkrig O, og illustrér resultatet i de komplekse talpla Øvelse 8 Betragt trekat ABC i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere er repræsetater for de komplekse tal A =- + 6i, B = + 5i og C = -8i a) Bestem midtpuktet af hver af de tre sider i trekate b) Bestem viklere i trekate c) Bestem trekates tygdepukt Trekat ABC roteres 05 omkrig O, hvorved der fremkommer e y trekat A BC d) Bestem de komplekse tal, som hjørepuktere i trekat ABC er repræsetater for i de komplekse talpla, og illustrér trekat ABC og trekat ABC i de komplekse talpla Materialet er e let omskrevet versio af e ote, som er skrevet af Hae Østergaard, Næstved Gymasium, og veligt stillet til rådighed for kommissioe Note ka fides her: Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7

20 Udervisigsmiisteriet

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Navn: Klasse: 254 Materiale

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere