Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet."

Transkript

1 Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0

2 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige uddaelsestid til at elevere ka arbejde med forberedelsesmaterialet forud for de skriftlige prøve 3-5 delspørgsmål i delprøve af de skriftlige prøve tager udgagspukt i det materiale, der fides i dette oplæg De øvrige spørgsmål omhadler emer fra kerestoffet Oplægget ideholder teori, eksempler og øvelser i tilkytig til et eme, der ligger umiddelbart i forlægelse af et kerestofeme Resultatere af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbriges til de skriftlige prøve Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledig

3 6 timer med vejledig Komplekse tal Når vi skal løse adegradsligige ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsigsformle -b b -4ac x = a Ligiges diskrimiat opskriver vi som det selvstædige udtryk d = b - 4ac, fordi diskrimiate jo har afgørede betydig for atallet af løsig til adegradsligige Der gælder som bekedt, at år d < 0, så har ligige ige løsiger Adegradsligige x + = 0, har ige løsiger, idet der ikke er oget reelt tal, der gaget med sig selv giver - Havde der været e løsig, så skulle vi kue give meig til udtrykket -, fordi år vi løser ligige efter de sædvalige regler, så får vi x =- x = - Accepterer vi u, at der fides et sådat tal, så skal der jo gælde, at ( - ) =- I det følgede vil vi atage at tallet i har de egeskab, at i =- Ud fra oveståede er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal Ligige ovefor har ige reelle tal som løsiger, me ligige har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsiger Vi vil i det følgede vise, at ehver adegradsligig altid har to løsiger, år vi arbejder ide for de komplekse tal Defiitio De komplekse tal består af alle tal på forme = x+ y i, hvor x og y er reelle tal Tallet x kaldes de reelle del af og skrives også Re( ), mes y kaldes imagiærdele af og skrives Im( ) Øvelse Eksempler på komplekse tal: = + 3i, = 4 og 3 =-5i a) Agiv de reelle del af de tre komplekse tal, og 3 b) Opskriv selv tre ye komplekse tal Regig med komplekse tal Additio (lægge til), subtraktio (trække fra), multiplikatio (gage) og divisio (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal Ma skal blot huske på, at i =- Ma ka altid kue reducere sit regeudtryk, så resultatet eder med at stå på forme x + y i To komplekse tal er givet ved = + 3i og = 4-5i Vi illustrerer de tre første regeoperatioer med disse to komplekse tal: Additio ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 3i + 4-5i = + 3i+ 4-5i= i- 5i = 6- i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

4 6 timer med vejledig Subtraktio (-) ( ) ( ) ( ) ( ) - = + 3i - 4-5i = + 3i- 4+ 5i= i+ 5i =- + 8 i Multiplikatio ( ) ( ) ( ) = + 3i 4-5i = 4-5i+ 3i 4-3i 5i= 8-0i+ i-5i Nu udytter vi at i =-, og så får vi = 8+ i-5 ( - ) = 8+ i+ 5= 3+ i Divisio af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og ide vi itroducerer de regeoperatio vil vi idføre e y regeoperatio, som er kyttet specielt til de komplekse tal, emlig kompleks kojugerig Defiitio Ved de kompleks kojugerede til et komplekst tal = x+ y i forstås det komplekse tal = x- y i Vi illustrerer u de sidste af de fire regeoperatio med de samme to komplekse tal som ovefor: Divisio (:) Vi vil udføre divisioe + 3i = 4-5i, idet vi beytter de kompleks kojugerede til, dvs = 4-5i= 4+ 5i, til i første omgag at forlæge brøke + 3i + 3i 4-5i + 3i 4+ 5 i (+ 3 i) (4+ 5 i) = = = =, 4-5i 4-5i 4-5i 4-5i 4+ 5 i (4-5 i) (4+ 5 i) Vi gager paretesere ud, idet vi i ævere udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får 8+ 0i+ i+ 5i - 7+ i - 7+ i -7 = = = = + i=- 0,7 + 0,54 i 6-5i Eksempel Der gælder, at = x + y Vi ka eftervise dette ved multiplikatio af de to komplekse tal = x+ y i og = x- y i, idet vi ige udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får ( ) ( ) = x-y i x+ y i = x -( y i ) = x + y Regig med komplekse tal ka emt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Iteractive), idet tallet i fides som et idbygget symbol ligesom e og p : ( i) ( 5-7 i) = 4-3 i og i - = + 58 i 6-7 i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

5 6 timer med vejledig Øvelse Bestem ved hådregig edeståede 3 komplekse tal og kotrollér resultatere vha et CAS-værktøj: a) ( + 3i) -( 7-4i) b) ( + 3 ) ( 7+ 6 ) i i c) ( + i) ( 7+ 6i) 3 De komplekse talpla Ma ka afbilde det komplekse tal = x + yi i Imagiær akse puktet ( x, y ) i e pla med et sædvaligt retviklet koordiatsystem Alle komplekse tal på forme x + 0i repræseterer 4i blot alle de reelle tal, fordi de imagiære del er ul 3 3i Disse tal afbildes på akse, og ma kalder derfor dee akse for de reelle akse Der gælder altså, at alle de reeelle tal er ideholdt i de komplekse tal Specielt ser vi, at tallet afbildes i puktet (,0) svarede til at ehede på de reelle akse er Reel akse i Alle komplekse tal på forme 0 + yi, hvor de reelle del er ul kaldes ret imagiære tal Disse tal afbildes på akse, som derfor kaldes de imagiære akse Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i puktet (0,), og derfor kalder vi i de imagiære ehed æ ö I vektorregig kalder vi vektore = a OA ç çèa fra begydelsespuktet (0,0) til puktet A( a, a) for ø stedvektore til A, og additio af to komplekse tal svarer geometrisk set til additio af stedvektorere til de pukter som repræseterer de komplekse tal i de komplekse talpla Eksempel To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi Ved additio får vi: + = ( x + x ) + ( y + y ) i, og derfor afbildes det komplekse tal + i puktet ( x+ x, y+ y ) Dette pukt har etop sumvektore for de to stedvektorer til hhv og som æ ö æ ö æ + ö stedvektor: x x + = x x ç ç ç + èy ø èy ø èy y ø Øvelse To komplekse tal er givet ved = 6+ i og = 7 i a) Teg de to pukter, der repræseterer og i de komplekse talpla b) Bestem lægde af stedvektorere til hvert af de to pukter, som repræseterer de komplekse tal og c) Bestem for hvert af de komplekse tal og de vikel som disse stedvektorer daer med x-akse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7

6 6 timer med vejledig Øvelse 3 To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi a) Bestem -, og giv e geometrisk fortolkig af tallet Øvelse 4 Overvej, at de kompleks kojugerede til = x + yi, dvs = x- yi, geometrisk set blot svarer til at spejle i de reelle akse Modulus og argumet Ved multiplikatio og divisio af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på e ade form I de forbidelse får vi brug for begrebere modulus af et komplekst tal og argumet for et komplekst tal Defiitio 3 Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Ved modulus af, som beteges, forstår vi lægde af stedvektore til det pukt ( x, y ), der repræseterer i de komplekse talpla, dvs = x + y Sætig Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Da gælder der, at = Øvelse 5 a) Vis, at sætig gælder for det komplekse tal =- + 5i b) Bevis sætig Betragt et komplekst tal = x+ yi Vi vil vise, at ( cos ) si( ) ) = ( q + q i, hvor er modulus for, og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, der repræseterer i de komplekse talpla (se figur) Im x yi Re Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7

7 6 timer med vejledig Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved = 3+ i a) Teg stedvektore til, og bestem vikle q mellem stedvektore til og førsteakse reget i positiv omløbsretig b) Bestem modulus af, og udreg x= cos ( q ) og y= si ( q ) Deræst ser vi på det geerelle tilfælde: Betragt et komplekst tal = x+ yi Lad være q vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla c) Vis, at x= co s( q ) og y= si ( q ) d) Vis u, at = ( cos q) + si( q) i ) ( Defiitio 4 Ved de polære koordiater for det komplekse tal forstås talparret ( r, q ), hvor r= og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla Tallet ka skrives på forme ( + i( ) ) = r cos( q) s q i Dette skriver vi også som r θ = e i, og vi siger i begge tilfælde, at er agivet på polær form Vikle q kaldes argumetet for, og agives som: Arg( ) De overraskede skrivemåde med brug af e θ i avedes af CAS-værktøjere og bag dette ligger e sammehæg mellem ekspoetialfuktioe og de trigoometriske fuktioer, som etop viser sig i de komplekse talpla, me som vi ikke vil komme ærmere id på her CAS-værktøjere ka let rege frem og tilbage mellem polære og rektagulære koordiater (her TI- Iteractive): ( 4 i) / 3 ( 3 4 ) topolar e 5 og 5 e ( p i - + i ) i Bemærk, at viklere her er reget i radiaer Im Im 3 4i,5 4,330i,4 Re 3 Re Hvis (, ) r, q+ p p, pîz repræsetere det samme komplekse tal, fordi år vi lægger p p til q, så svarer det jo blot til at løbe et helt atal gage rudt om (0,0) De værdi bladt + p, pîz - p, p kaldes hovedargumetet for r q repræseterer et komplekst tal på polær form, så vil ( ) q p, der ligger i itervallet ] ] Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7

8 6 timer med vejledig Bemærk, at tallet 0 i de komplekse talpla svarer til skærigspuktet mellem de reelle akse og de imagiære akse Vi vil fremover kalde dette pukt for O Øvelse 7 Tre komplekse tal er givet ved = + 3 i, = - 3 i, 3 =- 7 i og 4 =-3-4 i a) Teg de pukter som repræseterer, og 3i de komplekse talpla b) Agiv, og 3 på polær form, og kotroller modulus og argumet for hvert af de tre komplekse tal på figure fra a) Øvelse 8 Bereg modulus af og argumetet for hvert af de komplekse tal: a) = + i b) = -i c) 3 = ( + i) ( - i ) Sætig Bevis: For ethvert kompleks tal gælder, der at Arg( ) =-Arg( ) og = Skriver vi på polær form r ( cos( q) + si( q) ) = i, dvs = r og Arg( ) = q, fås ( ( q) + si( q) i) ( os( q) -si( q i ) = r cos = r c ), og da - si( q) = si( -q) og cos( q) = cos( -q), så får vi ( ) = r cos( -q) + si( -q) i Heraf ses, at = r og Arg( ) =- q Multiplikatio og divisio i polære koordiater Hvis to komplekse tal og er givet i polære koordiater, altså ved modulus og argumet, ka multiplikatio og divisio udtrykkes simpelt Sætig 3 For ethvert komplekst tal ¹ 0 gælder der, at = og æö Argç =-Arg( ) çè ø Bevis: Vi skriver på forme = r ( cos( q) + si( q) i), hvor r= og q = Arg( ) Da er de komplekst kojugerede til givet ved = r ( cos( -q) + si( -q) i) og derfor får vi ved at forlæge med og avede sætig : ( cos( q) + si( -q) i), r - = = = = ( c o s( -q) + si ( -q ) i) r r Nu er skrevet på polær form, og vi ser, at = = r og at æö Argç =-q çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7

9 6 timer med vejledig Sætig 4 For to komplekse tal og gælder der, at Bevis: Vi skriver og på forme = og Arg( ) = Arg( ) + Arg( ) = r ( cos( q ) + si( q ) i ) og = ( cos( ) + si( ) ) r q q i, hvor r = og q = Arg( ), og tilsvarede r = og q = Arg( ) Ved multiplikatio får vi således ( cos( q ) + si( q ) i) ( cos( q ) + si( q ) i) = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i si( q )cos( q ) i si( q)si ( q) i ) = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i+ si( q )cos( q ) i si( q )si( q )) (( cos( ) cos( ) si( ) si ( )) ( cos( ) si( ) si( )cos( )) ) = r r + - = r r q q - q q + q q + q q i ved brug af de to additiosformler for de trigoometriske fuktioer: cos( q + q ) = cos( q ) cos( q )- si( q ) si( q ) følger det u at si( q + q ) = cos( q ) si( q ) + si( q ) cos( q ) ( cos( + ) + si( + ) ) = r r q q q q i Nu er skrevet på polær form, og det fremgår at = r r = og Arg( ) = q + q =Arg( ) + Arg( ) q i Øvelse 9 Et komplekst tal er givet ved = e = cos( q) + si( q) i, dvs har modulus, = j Et adet komplekst tal er givet ved e i w= w = w (cos( j) + si( j) i ) a) Teg e skitse, der viser de pukter i de komplekse talpla, som repræseterer de tre komplekse tal, w og w b) Formuler på baggrud af skitse e påstad om, hvilke sammehæg der er mellem de to komplekse tal w og w, år har modulus 4 Øvelse 0 To komplekse tal er givet ved = 3+ i og = e 4 a) Beyt resultatet af øvelse ovefor til at bestemme de to komplekse tal, der π fremkommer ved at dreje hhv og vikle omkrig O 3 π i Sætig 5 For to komplekse tal og gælder der, at æ ö Arg ç = Arg -Arg = og ( ) ( ) ç çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7

10 6 timer med vejledig Øvelse Bevis sætig 5 ved at avede sætig 4 på ligige: = Øvelse To komplekse tal er givet ved =-- 4 i og = -7 i a) Bestem modulus og argumet for og, og agiv og på polær form b) Agiv ved avedelse af sætig 4 og sætig 5 og c) Teg de fire komplekse tal,, og To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi på polær form id i et koordiatsystem d) Giv e geometriske beskrivelse af, hvorda de to komplekse tal og fremkommer af og Sætig 6 For et komplekst tal gælder der, at = og Arg( ) = Arg( ), hvor er et helt tal Bevis: Beviset er et iduktiosbevis, som bygger på at e bestemt egeskab går i arv fra et tal i række til det æste tal i række Dee bevistype avedes ofte, år ma skal vise, at e bestemt formel gælder for alle aturlige tal,, 3, 4, Vi sikrer os allerførst, at det første tal i række er bærer af egeskabe, dvs at vores formler giver meig for det første tal i række, som er = Når =, så får vi = = og Arg( ) = Arg( ) = Arg( ), dvs formle gælder for = Fortsætter vi til det æste tal i række = = = og Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) = + =,, så får vi altså gælder sætige også for = Dvs det første (og det adet) tal i række er bærer af egeskabe Såda kue vi fortsætte, hvis talrække var begræset, me her skal vi jo vise, at formlere gælder for alle hele tal Derfor laver ma det lille trick, at ma atager, at et tilfældigt tal i række er bærer af egeskabe, og derefter viser ma så, at det efterfølgede tal bliver bærer af egeskabe, og dermed har ma jo vist at alle tallee i række er bærer af egeskabe Vi atager derfor u, at det m te tal i række er bærer af egeskabe, dvs at formle gælder for = m m = m m og Arg( ) = Arg( ) m Vi vil u vise, at så bliver det æste tal i række = m+ også bærer af egeskabe, dvs så vil formlere også gælde for = m + m+ + = m og Arg ( m+ ) = ( + ) Arg( ) m Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 8 af 7

11 6 timer med vejledig Ved brug af potesregereglere og sætig 4 samt atagelse om, at sætige gælder for = m, får vi og m m m m m+ + = = = = Arg m ( + m ) = Arg( ) m = Arg( ) + Arg( ) ( ) Arg( ) ( ) = m Arg + = ( m+ ) Arg Vi har u vist, at tallet = m + er bærer af egeskabe, etop hvis tallet før = m er bærer af egeskabe altså hvis et tal i række er bærer, så arver det æste tal i række egeskabe! Me vi ved jo, at = er bærer, altså er alle de efterfølgede tal i række også bærere! Hermed er iduktiosbeviset fuldført Vi ka altså ifølge sætig 6 skrive det komplekse tal hvor q = Arg( ) ( cos( ) si( ) ) = q + q i, på forme 6 Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved =, e p i Im Så ka tallee, hvor =,,0, afbildes i de komplekse talpla som vist på figure Ved omskrivig får vi emlig p p i i 6 6 = (, e ) =, e p p =, (cos( ) + si( ) i ) 6 6 i Re Da =,>, så vil = =, blive større og større, år geemløber =,,0, og tilsvarede vil Arg ( ) = Arg( ) blive større og større, år geemløber =,,0 4 Øvelse 3 Et komplekst tal er givet ved =,3 e p i a) Teg puktere der repræseterer de komplekse tal, =,,0 i de komplekse talpla Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 9 af 7

12 6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med adegradsligige, vil vi først se på te-gradsligige de simple adegradsligig = a, hvor a er et komplekst tal = a, og derefter på Sætig 7 Bevis: Ligige hvor q = ( a) = a, hvor a er et komplekst tal, har løsigere q pp q pp ( i ) = a cos( + ) + si( + ), p= 0,,,, -, Arg Vi fider først modulus af Ifølge sætig 6 gælder og da = =, a får vi = = a, og dermed = a Herefter fider vi argumetet for Ifølge sætig 6 gælder der, at dvs ( ) ( ) ( a) Arg = Arg = Arg, Arg( a) Arg ( ) = Som tidligere ævt repræseterer (, ) r q og ( r, q+ p ) samme komplekse tal Da argumetet for a er θ, så vil ( r, q+ p ) helt tal, også være argumet for a Arg a = q+ p p, pîz ( ) og dermed Arg = q+ p p, pîz ( ) og ved divisio med får vi q p Arg( ) = + p, p ÎZ Bemærk, at dette giver forskellige vikler for p= 0,,, - p, hvor p er et helt tal, det Derfor ka løsigere til ligige = a skrives som q pp q pp = a cos( + ) + si( + ) i, p= 0,,,, - ( ) p, hvor p er et Af løsigsformle til ligige = a ser vi, at alle løsiger har samme modulus Har ma fudet løsige for p = 0 og afsat de i de komplekse pla, fider vi blot de æste løsig ved at dreje de første løsig vikle p omkrig O De løsiger vil altså ligge som hjører i e regulær -kat med cetrum i O Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 0 af 7

13 6 timer med vejledig Ma bruger ofte symbolet a for e vilkårlig af de løsiger i ligige ligig, vælger ma så a til at være é bestemt løsig = a Når ma løser e kokret Eksempel 4 Vi vil løse ligige 5 = 3 Modulus af er givet ved = 5 3 = Argumetet af er 0, da 3 ligger på de positive del af de reelle akse Argumetere for de 5 løsiger er så p Arg( ) = 0 + p = 0, p = 0,,,3, 4 5 Altså er argumetere til løsigere Løsigere til ligige 5 = , p, p, p og p bliver derfor = = p i = p i 3 = p i 4 = p i, e, e, e og e De 5 løsiger er illustreret på figure edefor Im e i 5 e 4 i 5 i 0 Re 3 e 6 i 5 4 e 8 i 5 5 Løsiger til ligige 3 Ligige ka også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): 5 csolve( 3, ) = = = = = =,5664 i -,5664 i,537 i -,537 i e or e or e or e or Bemærk at CAS-programmet agiver hovedargumetet for de komplekse tal, dvs det argumet der ligger i itervallet ] π; π] - Fx er hovedargumetet for = e 5 6 p i 4 lig med - p»-,537 5 Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

14 6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med de geerelle adegradsligig, vil vi først se på de simple adegradsligig, = a Sætig 8 Adegradsligige = a har løsigere q q = a (cos( ) + si( ) i ) hvor a er modulus af a, og ( a) Arg = q Bevis: Af sætig 7 ses, at ligige = a har røddere q q = ( cos( ) + si( ) i ) og = a ( cos( + ) + si( + ) ) a q q 0 p p i q q cos( + p) =- cos( ) og si( + p) =- si( ) ifølge ehedscirkle, gælder der, at q q Da q q q q ( cos( ) si( ) i) ( cos( ) si( ) i ) = a - - =- a + dvs =- 0 Altså har ligige = a løsigere ( ) q q = a cos( ) + si( ) i Vi vil u defiere, hvad der skal forstås ved kvadratrode af et komplekst tal: Defiitio 5 Kvadratrode af et komplekst tal a er givet ved hvor q = Arg( a) ( ) q q a = a cos( ) + si( ) i, Med dee defiitio kue vi formulere sætig 8 således: Adegradsligige = a har røddere a Vi vil se på beregige af kvadratrødder i ogle eksempler Eksempel 5 Vi vil løse ligige = 4 Tallet a = 4 er jo et reelt tal, som ligger på de positive del af de reelle talakse Derfor er argumetet for a : q =Arg( a) = 0, og modulus af a : a = = 4 Heraf følger, at q = 0 og a =, og dermed bliver løsigere til ligige som vetet = (cos(0) + si(0) i ) = = 4 Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovefor med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ³ 0 a har samme betydig ide for de reelle tal og de komplekse tal, år altså blot a ³ 0, ka vi se, at symbolet Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7

15 6 timer med vejledig Eksempel 6 Vi vil løse ligige =- Tallet a =- er et reelt tal, som ligger på de egative reelle akse Modulus af a er: q p a =, og argumetet for a er: Arg( a ) = θ = π Dermed er a =, og = Løsiger til ligige =-bliver således = (cos( ) + si( ) i) = i p p p p Ved brug af defiitioe ovefor får vi: - = (cos( ) + si( ) i) = i Vi ser altså, at det stemmer overes med det valg, vi foretog ved idførelse af de komplekse tal Øvelse 4 Vis ved at geeralisere ud fra eksemplet ovefor, at hvis a ³ 0, så er - a = a i Eksempel 7 Vi vil løse ligige Her er 3 3,60555 = -3i a = = og = ( ) Løsigere bliver derfor eller q q Arg a =-0,9879, dvs 0,4940 =- = 3,60555 (cos( - 0,4940) + si( -0,4940) i) = (, ,89598 i ) Vi har u set tre eksempler på beregig af kvadratrødder af komplekse tal Ma ka ifølge defiitio 5 uddrage kvadratrode af alle komplekse tal, mes ma idefor de reelle tal ku ka uddrage kvadratrode af et tal, som er større ed eller lig med ul Ide for de reelle tal gælder forskellige regeregler for rødder, som fx ab = a b Disse regeregler gælder ikke altid ide for de komplekse tal Øvelse 5 Sæt a= b=- og vis, at brug af regeregle ab = a b ka føre til e modstrid Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7

16 6 timer med vejledig Adegradsligige a + b + c = 0 Sætig 9 Adegradsligige a b c + + = 0, a 0, har løsigere hvor d b 4ac = - -b d =, a Bevis: Da a 0, ka vi omskrive adegradsligige som følger: a b c + + =0 + + = Gager med 4a 4a 4ab 4ac 0 a + ab+ b = b- ac Lægger ( ) 4 b til og trækker 4ac fra på begge sider a + b = b - ac Aveder kvadratsætig på vestre side Nu kalder vi det, der står på vestre side af lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y = d Dee ligig har ifølge sætig 8 løsige q q y= d (cos( ) + si( ) i ), hvor q er et argumet for d q q Da etop d = d (cos( ) + si( ) i ), får vi y= d, og dermed for y= a+ b: a + b = d -b = a d Trækker b fra og dividerer med a på begge sider Vi får altså, at løsigsformle får det samme udseede som for reelle tal Eksempel 8 Vi vil løse ligige Ligige har diskrimiate + (-5 i) -8-4i = 0 d = (-5 i) -4 ( -8-4 i) = 8 + 6i Vi får så modulus af d til 8 6 de to ligiger cos( q ) = og si( q ) = 0 0 Løsige er q = 0,64350 q = 0,375 d = = 0, og vi fider argumetet q for d ud fra og dermed er Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7

17 6 timer med vejledig Nu ka vi berege kvadratrode af d ved d = 0(cos(0,375) + si(0,375) i) = 3+ i, og edelig ka vi berege løsigere til -(-5 i) (3 + i) ì + 3 ï i = =í ïî ï - + i Ligige ka også løses med et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): csolve( + (-5 i) -8-4 i= 0, ) = + 3 i or =- + i Adegradsligiger med reelle koefficieter Sætig 0 Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i adegradsligige a b c hiades kojugerede + + = 0, hvor a 0, Bevis: Fra øvelse 4 ved vi, at a = a i, hvor a er et reelt tal Her er d et reelt egativt tal, dvs modulus af d er: d Vi får u d = -d i= d i b d =- a + a i og b d =- a - a i =- d, og dermed er -b Da og a d a begge er reelle tal, er = og omvedt = Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor e adegradsligig med reelle koefficieter ikke har oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hiades kojugerede Eksempel 9 Vi vil løse adegradsligige Ligige har diskrimiate - + = 0 d = (-) -4 =- 4, dvs d = d i= 4 i= i, og løsigere bliver således - i = = -i + i = = + i og Øvelse 6 Løs adegradsligige talpla =, og illustrér løsigere i de komplekse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7

18 6 timer med vejledig E simpel avedelse De komplekse tal har mage avedelser bla idefor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm Det vil føre for vidt at komme id på disse her I stedet vil vi illustrere e simpel avedelse idefor plageometrie Eksempel 0 Betragt trekat ABC, hvor A(,), B( - 3,4) og C(5, 6) Vi vil rotere dee trekat 33 omkrig O til e y trekat ABC Vi ka betragte trekate i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere repræseterer de komplekse tal A = + i, B =- 3+ 4i og C = 5+ 6i Da 33 = p= p= 0, radiaer fremkommer de ye trekat ved at , i multiplicere tallee A, B og C med = e = 0, , i Vi geemfører beregigere i et CAS-program (her TI-Iteractive!): A: = + i:: B: = i:: C: = 5+ 6 i:: : = e A : = A i B : = B i C : = C i 33 p i 80 Dvs hjørepuktere i de ye trekat (se figur) repræseter de tre komplekse tal A = i B = i C = i Im C B C B A 33 O i A Re Ved at betragte trekate i de komplekse talpla ka vi ligeledes let fide er række størrelser og pukter i trekate: Midtpuktet af side AB: Tygdepuktet for trekat ABC: A+ B + i + ( i) = =- + 3i A+ B+ C (+ ) i + (- 3+ 4) i + (5+ 6) i 3+ i = = = + 4i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7

19 6 timer med vejledig æb Aö Vikel A: Arg - ç = Arg( B-A) -Arg( C- A) = 08,4 çèc- A ø Im B A B 08,4 08,4 A i O C C A Re Øvelse 7 Rotér trekat ABC i oveståede eksempel 55 omkrig O, og illustrér resultatet i de komplekse talpla Øvelse 8 Betragt trekat ABC i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere er repræsetater for de komplekse tal A =- + 6i, B = + 5i og C = -8i a) Bestem midtpuktet af hver af de tre sider i trekate b) Bestem viklere i trekate c) Bestem trekates tygdepukt Trekat ABC roteres 05 omkrig O, hvorved der fremkommer e y trekat A BC d) Bestem de komplekse tal, som hjørepuktere i trekat ABC er repræsetater for i de komplekse talpla, og illustrér trekat ABC og trekat ABC i de komplekse talpla Materialet er e let omskrevet versio af e ote, som er skrevet af Hae Østergaard, Næstved Gymasium, og veligt stillet til rådighed for kommissioe Note ka fides her: Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7

20 Udervisigsmiisteriet

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK Søre Halse Erik Laage-Peterse Jes Peter Touborg GYLDENDAL Gyldedals miilex Matematik. e-udgave, 2007 ISBN 978-87-62-5085-0 2005 Gyldedalske Boghadel,

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere