Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner"

Transkript

1 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig betyder at oget varer ved, at det fortsætter ude afbrydelser og at der ikke sker pludselige sprig i udviklige I matematik avedes begrebet kotiuert populært sagt om fuktioer, hvis grafiske billeder er sammehægede kurver, der pricipielt ka teges i e streg, ude vi behøver at løfte blyate fra papiret De følgede tre eksempler illustrerer vores umiddelbare opfattelse af begrebere differetiabel, kotiuert og diskotiuert E fuktio f er differetiabel i et givet x 0, hvis grafe er lokalt lieær, dvs vi ka lægge e taget til grafe i puktet x0, f( x 0) E fuktio f er kotiuert i et givet x 0, hvis grafe fortsætter ubrudt igeem puktet x0, f( x 0) E fuktio f er diskotiuert i et givet x 0, hvis grafe ikke ka fortsættes ubrudt igeem puktet x0, f( x 0) De første graf er differetiabel i hele itervallet, specielt i x0 De ade graf er kotiuert i hele itervallet, specielt i x0, hvor de til gegæld ikke er differetiabel De sidste graf er diskotiuert i x0 At være differetiabel er fiere ed at være kotiuert forstået på de måde, at der er lagt flere fuktioer, der er kotiuerte, og hvis e fuktio er differetiabel, så er de også kotiuert Det viser vi på A-iveau Det ka også se ud som om det er et større apparat, ma skal have i svig, år ma udersøger differetiabilitet - med sekathældiger, sedige omskriviger, græseovergage og e masse regeregler Så ma kue tro, at kotiuitet var et begreb, ma fik styr på, før ma begydte at studere differetiabilitet, og at det er e oget mere ekel sag at udersøge kotiuitet Me det forholder sig stik modsat Efter at Newto og Leibiz i slutige af 600-tallet formulerede de første sammehægede teorier om differetial- og itegralregig skete der e ærmest eksplosiv udviklig ide for dee gre af matematikke geem de æste par hudrede år Det viste at være e meget praktisk orieteret videskab, der kue bidrage til at løse alkes problemer vedrørede mekaiske bevægelser, svigiger, himmelmekaik, væskestrømiger, elektriske kredsløb, igeiørmæssige kostruktiosopgaver og kemiske processer Side kom også biologiske fæomeer, geologiske processer og økoomiske modeller med id i differetial- og itegralregiges store værksted Det virkede! Det var ret set i matematikkes udviklig, ma begydte at beskæftige sig seriøst med kotiuitetsbegrebet Det var faktisk først omkrig det tidspukt, hvor ma opdager, at der er oget i matematikkes påstade og resultater, der ikke virker 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

2 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer I slutige af 700-tallet havde de eksplosive udviklig i bruge af matematik ført til et voksede behov for at kue systematisere og lette beregigsarbejdet Polyomier er de ekleste fuktioer at hådtere, både med hesy til beregiger af fuktiosværdier og med hesy til at differetiere og itegrere Adre fuktioer ka tilærmes med polyomier, og take opstod, at måske er alle fuktioer i virkelighede polyomier, blot vi tager ok led med Og ok led kue godt betyde uedeligt mage led Det var her det gik galt, for forskelle på rigtig mage og uedeligt mage ka være dramatisk I 8 udgav e af datides største matematikere, de fraske Augusti Cauchy ( ) et stort værk, der skulle give hele fuktiosteorie og differetial- og itegralregige fast grud uder føddere Heri fider vi bla de første modere defiitio på, hvad det vil sige at e fuktio er kotiuert: f er kotiuert i et iterval, hvis det gælder, at e uedelig lille tilvækst h af variable x, giver e uedelig lille tilvækst f(x + h) - f(x) af fuktiosværdie(fra Cours d Aalyse) Cauchys defiitio uderstøtter ituitioe om, hvad vi skal forstå ved e sammehægede kurve Betragter vi graf r 3 ovefor, og lader vi x være tallet, så vil e uedelig lille tilvækst h af variable x ikke føre til e uedelig lille tilvækst f(x + h) - f(x) af fuktiosværdie, me faktisk føre til e tilvækst på ca Me ituitioe ka også føre til forkerte opfattelser Det skete faktisk for Cauchy i svaret på følgede spørgsmål: Er e sum af kotiuerte fuktioer kotiuert? Det forekommer idlysede, at har vi to kotiuerte fuktioer, dvs to sammehægede grafer, så vil summe af dem også være kotiuert Hvorda skulle der pludselig komme et sprig på de ye graf? Ligeledes må summe af tre, fire eller hudrede kotiuerte fuktioer give e kotiuert fuktio Me hvad hvis vi fortsætter? Hvad er situatioe hvis vi tager summe af uedeligt mage kotiuerte fuktioer? Det er ikke bare et teoretisk spørgsmål, me et meget praktisk spørgsmål ide for de teori om uedelige summer af trigoometriske fuktioer, som Cauchys samtidige Joseph Fourier var i færd med at udvikle Dee teori er side blevet kaldt Fourieraalyse Cauchy beviser, at e uedelig sum af kotiuerte fuktioer er kotiuert Me Fourier demostrerer æste på samme tid, at uedelige summer som disse si( x) si(3 x) si(5 x) si(7 x) si(9 x) (Fouriers firkatbølge), cosu cos3u cos5u cos7 u (Savtakfuktio) giver grafer med markate sprig Fuktioere er ikke blot matematikeres påfud: Idefor modere elektroik har ma brug for at kue bygge fx spædiger op, så de følger sådae kurver Cauchys ituitio holdt altså ikke Vi har brug for e mere præcis defiitio, der er formuleret symbolsk, så vi ka rege på det Vi bemærker i øvrigt, at Cauchy ku defierede kotiuitet i et helt iterval, ikke i et ekelt pukt Ud fra de ituitive opfattelse af kotiuitet som svarede til, at grafe er sammehægede, er forestillige om kotiuitet i et ekelt pukt også e svært begribelig egeskab Kotiuitet forstået som sammehæg vil ma umiddelbart kytte til et iterval Defiitio af kotiuitet kostruktio af de reelle tal Defiitio Kotiuitet i et bestemt pukt f er kotiuert i x 0, hvis der gælder: For ehver talfølge x x0 vil f x f x 0 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

3 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Det udtrykkes kort: Når x x0 vil f x f x 0 Populært sagt»trækker«x ere f(x ) ere med sig på e jæv måde, så der ikke sker pludselige sprig eller ligede Kotiuitet bygger altså på græseværdibegrebet Det gjorde det også for Cauchy, der i sit omtalte værk skrev: Når e følge af tal ærmer sig e fast størrelse på e såda måde, at talfølges elemeter slutteligt adskiller sig fra de faste størrelse med så lidt som vi kue øske os, så siger vi, at de faste størrelse er græseværdi for de øvrige Defiitioe rejser umiddelbart et problem: Vi har e betigelse, der skal være opfyldt for ehver talfølge, med græseværdi x 0 Me det ka vi jo aldrig udersøge Derfor vælger vi altid»e vilkårlig talfølge«, der så at sige er»typisk«me kue vi ikke risikere at overse e meget speciel og uderlig talfølge? Betigelse er som ævt, at det skal gælde for ehver, dermed også for e såda meget speciel sag Dette problem bliver først løst med idførelse af de præcise og formelle defiitio på kotiuitet, såda som Weierstrass gjorde det i 860 ere Weierstrass metode er præseteret i A-boge og i et særskilt projekt Det, som voldte størst vaskelighed at få styr på, var at få udtrykt, at tallije selv er kotiuert At der ikke er huller i tallije, me at såfremt e følge af tal kovergerer mod oget, så er dette oget et tal er et symbol for det positive tal, hvorom der gælder, at x Me vi ved jo stregt taget ikke om et sådat tal fides Der fides fx ige løsiger til x Ved udregig ka vi se, at,4 og,5 Hvis fides, så må det derfor være et tal mellem,4 og,5 Ved udregig ka vi se, at,4 og,4 Hvis fides, så må det derfor være et tal mellem,4 og,4 Ud fra vores ituitio ka vi u se, at dee proces kue fortsættes, og fortsættes ige så læge vi orkede Me vi rammer aldrig et tal, der opfylder x! Vi ka jo ikke i praksis fortsætte uedeligt mage gage Derfor idfører vi græseværdibegrebet: Vi forestiller os, at vi kue fortsætte med fide tal, der er lidt for store, og tal, der er lidt for små, dvs tal y og z, således at y z, hvor der samtidig gælder, at z y bliver midre og midre Dvs vi forestiller os, at det giver god meig at tale om et tal, der først er edeligt fastlagt, år vi medtager uedeligt mage decimaler Dee forestillig spræger alle hidtidige rammer, og vi ka ikke argumetere for påstade om, at fides Det er et postulat, eller som vi siger i matematik: det er et aksiom Det er selve det grudlæggede aksiom i fastlæggelse af, hvad egetlig de reelle tal er, dvs i fastlæggelse af e tallije ude huller Axiom om de reelle tal Hvis to talfølger af ratioale tal, { y } og { z } opfylder: { y} er voksede og { z} er aftagede y z for alle Forskelle z y ærmer sig 0, år går mod uedelig så fides der et reelt tal x 0 på bude af itervalruse, { ]y ; z [ } Bemærkig Det er ikke så svært at vise, at der højst ka fides ét sådat tal Vis det selv, ved fx at atage, at der fides to, xog x, og føre dette til e modstrid 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

4 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Vi har u værktøjet til at bevise: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER (Af og til: Skærigssætige, eller Sætige om mellemliggede værdier) Hvis e fuktio f er kotiuert i ; så fc 0 Bevis: ab, og f har modsat forteg i de to edepukter, så fides et tal c a; b, Lad os sige, at fa 0, og fb 0 : a m3 A a, f a m m b B b, f b Tallet c vil vi fide ved e itervalruse: I a ; b, hvor fa 0, og 0 tri: I a; b tri: Lad m være midtpuktet mellem a og b f m, er vi færdige Hvis 0 Hvis fm 0, sættes I m ; b Hvis fm, sættes I a; m 0 f b : 3 tri: Lad m være midtpuktet i det ye iterval I Getag processe fra tri og kostruér herved et yt iterval I 3 Herved får vi kostrueret e følge: I I I3 I4 I5 I6 I Kostruktioe idebar, at vi bestadigt halverede itervallægde Derfor vil itervallægde gå mod 0 Me så vil dee itervalruse bestemme et tal c Da a c, vil f a f c, og da b c, vil f b f c Me fuktiosværdiere i edepuktere var jo bestadigt heholdsvis egative og positive: f a 0 f b Af og til kaldes dee for Bolzaos sætig, idet Bolzao var de første, der eksplicit formulerede de og forstod, at der måtte gives et bevis for de Has eget bevis var ikke i orde og kue ikke være det, idet ma på dette tidspukt, omkrig 80, ikke havde fået styr på de reelle tal Dette er e grudlæggede egeskab ved de reelle tal, som først blev formuleret i slutige af 800-talllet (som et axiom) af de tyske matematikere Georg Cator og Richard Dedekid Du ka læse mere om det i de idledede fortællig til A-boges kapitel 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

5 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Derfor må der gælde: fc 0 ØVELSE 8 Gør det sidste argumet i beviset helt præcist SÆTNING : Sætige om mellemliggede værdier Hvis f er kotiuert i itervallet ab ;, og y er et tal mellem f c y Bemærkig De grafiske situatio kue være således: fa og fb, så fides et tal c mellem a og b, så f b y a f a c b Bevis: Hvis y f a eller y f b fa og Atag derfor at to tal:, er påstade triviel f a y f b Vi daer e y fuktio: gx y f x Om gx gælder: g er kotiuert g a y f a 0 gb y f b 0 fb er forskellige, og at eksempelvis De hovedsætig giver u, at der fides et c mellem a og b, så: g c 0 y f c 0 y f c Me det var jo præcis påstade i sætig fa er midre ed fb y ligger mellem de Bemærk Sætig ka formuleres på e lidt ade måde: Hvis f er kotiuert, og tallee c og d begge er med i så er hele itervallet cd ; med i Vm f Overvej dette! Vm f, Opgaver 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

6 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Vis at 3 f x x x har et ulpukt mellem x = 0 og x = (Du behøver ikke at fide værdie af ulpuktet) Løs ved avedelse af fortegslije ulighede: og begrud di avedelse af fortegslije x 0 x 4 3 Fid forteg for: fx x x x Vis at ligige: x 5x 0 har tre løsiger i itervallet 4;4 (Du behøver ikke at fide værdie af løsigere) 5 Vis at fuktioe: atager værdie f x x a x b x a b for et eller adet x a; b 6 Vis at såfremt f er kotiuert i 0;, og der gælder, at: 0 fx for alle 0; så fides der et tal c 0;, hvor f c c x, (Hjælp: Betragt fuktioe c kaldes et fikspukt, og sætige kaldes e fikspuktsætig g x f x x, og aved de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer) 7 Atag f er kotiuert i 0;, og at f0 f Vis at der fides et a 0;, så f a f a (Hjælp: Betragt fuktioe gx f x f x 8 (Svær) Atag f er kotiuert i 0;, og at f0 f med defiitiosmægde 0; ) Vis at der for ethvert helt tal fides et a 0;, så f a f a (Hjælp: Begyd med at betragte fuktioe gx f x f x del deræst op i flere tilfælde afhægig af, hvorda f og med defiitiosmægde 0;, og f ligger i forhold til hiade) 9 (Vigtig) Aved itervalrusetekikke til at vise Bolzao-Weierstrass sætig: Hvis x, x, x3,, x er e følge af reelle tal, der er begræset, dvs der fides et iterval [a;b], så alle x i ere ligger i dette, så har følge et fortætigspukt i ab ;, hvorved forstås et tal x 0, hvorom der gælder, at der ka udtages e delfølge z, z, z 3, af x i ere, som går mod x 0 : zk x0 år k (Hjælp: Halvér itervallet ab ; : I midst é af halvdelee ligger der uedeligt mage af x i ere Vælg dette iterval, og udtag et af x i ere som z Getag dee proces med halverig af itervallere Overvej øje, hvor det er, vi aveder, at ab ; er et lukket iterval) 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

FOAs 10 bud på fremtidens velfærd

FOAs 10 bud på fremtidens velfærd F O A f a g o g a r b e j d e FOAs 10 bud på fremtides velfærd FOA Fag og Arbejde 1 Politisk asvarlig: Deis Kristese Redaktio: Claus Corelius, Kasper Maiche og Lars Ole Preisler Hase Layout: Girafisk Desig

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst PET 3 1/3 ECTS Valgfaget afholdes UCN Radiografuddaelse, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst Valgfagets tema Valgfaget præseterer overordede cetrale begreber, teorier samt hadlemåder, der ka avedes

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere