TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme."

Transkript

1 TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn konstruktion er, t mn ud fr de etingelser, der er stillet op, kn udlede en hel række egensker, der gælder for et legeme. Det smrte ved det, er, t hvis mn kn vise, t et egre (f.eks. de reelle tl) opfylder de oprindelige etingelser, så ved mn også, t lle de udledte regler gælder for de reelle tl. Vi ser nu på opygningen f et legeme og noterer os smtidig, t de reelle tl velkendte regneopertioner + og er et legeme. med vores Vi får rug for følgende tegn: : "For lle" : "Der findes" / "Findes der" : "Tilhører" \ : "Frregnet mængden estående f..." Legeme M Regneopertioner: I et legeme M findes der to regneopertioner + og, der virker på to elementer i M og dnner et nyt element (mn klder sådnne regneopertioner for inære opertorer, fordi de virker på to elementer). Disse regneopertioner opfylder følgende: Aksiomer (sætninger): Stilitet: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M Det vil sige, t når mn lægger to elementer fr M smmen, så vil resulttet også være et element i M. Og ligeledes: Et produkt f to elementer fr M vil også ligge i M. Bemærk t dette gælder for de reelle tl. Både summen og produktet f to reelle tl er reelle tl. Kommuttivitet: 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x Det vil sige, t åde ved ddition og multipliktion er det ligegyldigt, hvilket element der skrives først. Bemærk t egge disse ksiomer er opfyldt for de reelle tl. Når vi rejder med tl, omtler vi normlt ksiom 4 som: "Fktorernes orden er ligegyldig" 1

2 Associtivitet: 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z Bemærk t ddition og multipliktion som udgngspunkt kun er defineret for to elementer d gngen, og derfor kn mn - som udgngspunkt - ikke skrive f.eks. xy z, d der er tre elementer. MEN pointen med disse ksiomer er, t mn lligevel godt kn skrive xy z eller c d, d ksiomerne siger, t du kn ddere/multiplicere elementerne to og to, og t den rækkefølge, du gør dette i, ikke hr etydning for resulttet. Dette gælder for de reelle tl (tænk selv over dette). Distriutivitet: 7) x, y, z M : x y z x y x z Bemærk t denne sætning kominerer de to regneregler, og emærk t dette gælder for de reelle tl. Prenteserne på højresiden er nødvendige i ksiomet, d mn skl sikre sig, t multipliktionerne foretges før dditionen. Når vi rejder med de reelle tl - eller ndre slgs tl - hr vi dog indført den regel, t multipliktion ltid skl foretges før ddition, og så liver prenteserne på højresiden unødvendige. F.eks Neutrle elementer: 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 0 1 Det vil sige, t der findes et element i M, der hr den egensk, t unset hvilket element x i M, det lægges til, giver det elementet x selv. Og et lignende element findes for multipliktion. Disse to elementer må ikke være identiske. Når vi rejder med reelle tl, er det neutrle element ved ddition tllet 0, mens det neutrle element ved multipliktion er tllet 1. Modstte elementer ved ddition: x M x M x x 10) : 0 Dvs. t lle elementer hr et modst element. Når vi rejder med de reelle tl, hvor det neutrle element ved ddition er 0, fører dette ksiom til indførelsen f regneopertionen minus. Hvis vi f.eks. tger udgngspunkt i tllet 5,3. Så er det modstte element tllet -5,3, og der gælder: 5,3 5,3 0. Dette vælger vi t skrive som 5,3 5,3 0 og hr så indført regneopertionen -. Det modstte element til tllet -8 er tllet 8. Reciprokke elementer ved multipliktion: x M 1 M x 1 11) \ 0 : 1 x x Inden for de reelle tl hr vi, t det reciprokke element til 8 er 1 8, det reciprokke element til 3 er 7 7 og det reciprokke element til er 1. Med røkstregen indfører vi regneopertionen division. 3

3 Smlet set hr vi ltså disse 11 ksiomer: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x Anvendelser f ksiomerne Ud fr disse 11 ksiomer kn vi nu egynde t udlede en hel række sætninger, der gælder for legemer. Og emærk endnu engng: Når vi hr vist, t de reelle tl opfylder ovenstående 11 ksiomer, så vil de sætninger, vi udleder ved hjælp f ksiomerne, også gælde for de reelle tl. Sætning 1: 0 0 Denne sætning siger ltså, t hvis mn tger det neutrle element ved ddition og multiplicerer det med et element fr legemet, så liver resulttet det neutrle element (unset hvd er for et element). Bevis: Vi ser på udtrykket 0 og nvender vores ksiomer på dette: Aksiom 8 nvendes med 0 i stedet for x (d ksiomet jo gælder for lle x) Aksiom 7. Aksiom 8 fortæller os så, t 0 0, for 0 er netop det element, hvorom det gælder, t xx 0, hvor mn i dette konkrete tilfælde hr x 0. Opsmling: Vi hr ltså nu vist, t det neutrle element ved ddition, der lev indført i ksiom 8, det hr også den egensk, t når mn multiplicerer det med et tl, så får mn det neutrle element. Eller med ndre ord: Når mn gnger med 0, får mn 0. 3

4 Sætning : 1 Denne sætning siger, t hvis mn hr et element og multiplicerer dette med (-1), der er det modstte element til det neutrle element ved multipliktion, så får mn det modstte element til. Vi skl ltså vise, t Bevis: Vi eviser dette ved t se på udtrykket , som vi kn regne på. Aksiom 9 er nvendt på det ndet led. D 1 Aksiom 7 er nvendt. 0 Aksiom 8 nvendt på elementet 1. 0 Sætning 1. lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t 1. Opsmling: Bemærk t vi i dette evis også hr nvendt sætning 1. Dette er tilldt, d denne sætning llerede er levet evist. Og vi hr ltså nu to sætninger, som vi må ruge, når vi skl evise de næste sætninger. Sætning 3: Denne sætning siger, t produktet f elementet og det modstte element til, vil give det modstte element til produktet f og. Eller i et konkret tilfælde med tl: Dvs. når mn gnger et positivt tl med et negtivt tl, får mn et negtivt tl. Bevis: Dette evis minder om eviset for sætning. Vi egynder med udtrykket Aksiom 7 er nvendt. D lgt til 0 Aksiom 8 nvendt på elementet. 0 Sætning 1. giver 0, fortæller ksiom 10 os, t.. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget positivt giver negtivt. 4

5 Sætning 4: Sætningen siger, t produktet f de modstte elementer til og giver det smme som produktet f og. Et konkret tleksempel: Bevis: Vi ser på udtrykket. Sætning 3 nvendt på ndet led. Aksiom 7 Aksiom 10 0 Sætning 1. D lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget negtivt giver positivt. Vigtig pointe ved multipliktion: Hvis mn hr flere størrelser estående f forskellige fortegn, tl og ogstver, der skl multipliceres, skl mn tge hver del for sig: Fortegn for sig. Tl for sig. Hvert ogstv for sig. Eksempel: c c d c c d Fortegn for sig: Der er tre - dvs. et ulige ntl - negtive fortegn, så der skl også være et negtivt fortegn på resulttet. Tl for sig: Hvert ogstv for sig: 3 ; 4 ; 4 c ; d d c c c 5

6 Prentesregneregler Sætning 5: Dvs. mn kn hæve en "plusprentes" uden t ændre noget ved rgumentet (indholdet i prentesen). Bevis: Aksiom 9 fortæller os, t , og ved t enytte ksiomerne 7 og 9 får mn: Vi hr hidtil nvendt nottionen om det modstte element til, og vi hr så f.eks. kunnet skrive. Dvs. tegnet hr ikke været nvendt som et regnetegn, men som et fortegn, der etød "det modstte element f...". Nu ønsker vi imidlertid t indføre regneopertion sutrktion ("minus"), dvs. vi ønsker t kunne skrive f.eks.. Her er det vigtigt t emærke, t vi ikke kn nvende ksiomerne til t indføre denne (nye) regneopertion, d den ikke er nævnt et eneste sted. Vi hr rug for en definition, dvs. vi hr rug for t eskrive, hvd regnetegnet skl etyde. Definition 1: Indførelse f regneopertionen sutrktion: Dvs. er det element, der lgt til, giver. Bemærk t du nvender denne definition, når du løser visse typer f ligninger. Se f.eks. på denne udregning: 3 x 8 x 83 Ofte siger mn, t mn hr trukket tre fr på egge sider, eller mn siger, t mn flytter tre-tllet over på den nden side og skifter fortegn. Men egentlig følger ovenstående direkte f vores definition, for nederste linje fortæller os, t 8 3 giver 8 (se den øverste linje). x, og 8 3 er netop det tl, der lgt til 3, 6

7 Efter t hve indført regneopertionen sutrktion, skl det nu vises, hvordn regneminusset og fortegnsminusset hænger smmen: Sætning 6: Dvs. det giver det smme, om du trækker fr, eller om du lægger det modstte element f til. Bevis: Ideen i eviset er, t vi tger udtrykket på venstresiden og ser, hvd der sker, når vi lægger det smmen med : Aksiom 5 0 Aksiom 10 Aksiom 8 Bemærk t lgt til giver, og dermed fortæller Definition 1 os, t Vi hr ltså nu vist, t det er det smme, om du skriver 5 7 eller 5 7. Vi vil derfor i det efterfølgende ikke skelne mellem skrivemåderne og. Videre med prentesregnereglerne: Sætning 7: Mn hæver ltså en "minusprentes" ved t ændre fortegn på lle led i prentesen. Bevis: Sætning giver os, t , og ksiom 7 og sætning giver derefter: Sætning 8: c d e c d e Mn gnger ind i en prentes ved t gnge ind på hvert led. Bevis: I det følgende nvendes en hel række ksiomer. Tænk selv over hvilke: c d e c d e c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Mn gnger to prenteser smmen ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Bevis: Beviset nvender ksiom 7 to gnge. c d c d c c d d c c d d Aksiom 3 kn så nvendes, når der skl rykkes rundt på leddene. 7

8 Brøkregneregler Vi er stødt på en røkstreg en enkelt gng under ksiomerne, nemlig d 1 x lev introduceret som det reciprokke element til x. Men dette er ikke tilstrækkeligt i forhold til vores nvendelse f røkstreger, hvor vi også tillder udtryk f formen. Vi skl ltså hve defineret, hvd vi mener med udtrykket, og ved vores definition fstsætter vi også etydningen f røkstregen som den regneopertion, vi klder division. Definition : Dvs. er det element, der gnget smmen med elementet, giver elementet. Sætning 10: 1 Bevis: Det følger direkte f definitionen, når 'erne udskiftes med 'er, d så er det tl, der gnget med giver, hvilket ifølge ksiom 9 netop er tllet 1 (det neutrle element ved multipliktion). Bemærk t d vi også ved, t 1 1 (Aksiom 11), hr vi direkte følgende sætning: Sætning 11: 1 Og vi hr: Sætning 1: 1 Bevis: Vi ser på, hvd der sker, når venstresiden gnges smmen med : 1 1 Aksiom 6 1 Aksiom 11 Aksiom 9 D venstresiden gnget smmen med giver, fortæller Definition os, t 8 1

9 Sætning 13: c c Dvs. mn gnger en røk med et tl ved t gnge i tælleren og eholde nævneren. Bevis: Vi ved ifølge vores definition f, hvd en røkstreg etyder, t er det tl, der gnget med c c giver, eller opskrevet som ligning: c. Bemærk endnu engng t dette er en c definition, dvs. det er etydningen f røkstregen, der forklres ved ligningen, og der foregår derfor som sådn ikke nogen udregning. Men vi ser nu på udtrykket cog regner på dette: c c c Aksiom 6 c c Definition D c c hr vi ifølge den indledende emærkning vist, t. c c Sætning 14: c c Dvs. mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ind i nævneren (og eholde tælleren). Bevis: Ifølge Definition er c det tl, der gnget med ( c) c. giver, dvs. c Vi vil nu evise sætningen ved t vise, t når venstresiden gnges med c, får mn : c c c c Aksiomerne og 6 Definition Definition Her er plds til en onussætning: D 1 ifølge Definition, hr mn ifølge Aksiom 9, t: 1 1 9

10 En nden vigtig ting, som mn ofte kn få rug for, er smmenhængen mellem t dividere med et tl og t gnge med det reciprokke til tllet. Der gælder nemlig: 1 Sætning 15: c c Dvs. det er det smme, om du dividerer med et tl, eller om du gnger med det reciprokke til tllet. Bevis: Det følger direkte f sætning 1, hvor mn ersttter med og med c. Opsmling: Mn gnger en røk med et tl ved t gnge tllet op i tælleren og eholde nævneren. Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ned i nævneren og eholde tælleren. Når mn rejder med røker, vil mn ofte få rug for t forkorte eller forlænge en røk. Præcis som med egreerne sutrktion og division er vi nødt til først t definere, hvd mn egentlig mener med t forlænge (eller forkorte) en røk. Definition 3: Mn forlænger en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t multiplicere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Det væsentlige - og hele pointen med t indføre egreet - er følgende sætning: Sætning 16: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forlænges. Bevis: En række f llerede viste sætninger nvendes på højresiden: k k Sætning 13 k k k Sætning 14 k 1 k Sætning 15 k 1 = k Aksiom 6 k = 1 Aksiom 11 = Aksiom 9 Bemærk ltså endnu engng pointen: En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. Du kn ltså forlænge røker lige så meget, du hr lyst til, d du ikke ændrer de regnestykker, som røken indgår i. 10

11 Forlænge ligninger: Ligninger kn også forlænges, hvilket foregår ved, t mn gnger hvert led på egge sider f lighedstegnet med det tl, der forlænges med (og som igen ikke må være 0). F.eks. kn ligningen x x x x forlænges med 6, hvilket giver 3 4 x 3x x 1x. En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. En ligning ændrer ikke sndhedsværdi (dvs. den hr smme løsningsmængde), når den forlænges. Mn kn også forkorte røker: Definition 4: Mn forkorter en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t dividere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Igen er det væsentlige: Sætning 17: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forkortes. Bevis: Prøv selv t evise denne sætning. Pointe: Egentlig er det t forlænge og forkorte to sider f smme sg. Som sætning 15 viser, så opnås f.eks. det smme ved t forlænge med 1, som der opnås ved t forkorte med 7. 7 Vi er nu klr til de sidste sætninger omhndlende røkregneregler. Sætning 13 lev nvendt til t vise, hvd der sker, når mn gnger en røk med et tl. Men sætningen kn - ifølge vores ksiom 4 om kommuttivitet ved multipliktion - også forstås som en forklring på, hvordn mn gnger et tl med en røk. 11

12 Vi ser nu på, hvordn mn gnger to røker smmen: Sætning 18: c c d d Dvs. to røker multipliceres ved t multiplicere tæller med tæller og nævner med nævner, eller lidt mere præcist: Ved i tælleren t plcere produktet f de to tællere og i nævneren plcere produktet f de to nævnere. Bevis: Vi egynder med venstresiden og regner og ved hjælp f sætningerne 1-15 smt nogle ksiomer frem til højresiden. c 1 c d d Sætning 1 1 c d Aksiom 6 c 1 d Sætning 13 c d Sætning 15 c = d Sætning 14 Sætning 19: c c Dvs. mn dividerer et tl med en røk ved t gnge med den omvendte røk. Bevis: Vi forlænger udtrykket på venstresiden med c (hvilket ifølge sætning 16 ikke ændrer på udtrykket): c c c c c c I næst sidste skridt nvendes Definition, og i sidste skridt er Sætning 13 nvendt. d Sætning 0: c c d Dvs. mn dividerer en røk med en røk ved t gnge med den omvendte røk. 1 d Bevis: Vi forlænger med d og 1 d d d c : c c d c c c 1 d c 1 c d d c 1

13 De to sidste røkregneregler, vi ser på, omhndler udtryk, hvor der indgår flere led, dvs. i modsætning til lle de tidligere røkregneregler, ses der nu ikke kun på multipliktion og division, men også på ddition og sutrktion. Sætning 1: c d c d e e e e Dvs. mn dividerer en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert f leddene med tllet. Bevis: Vi kn udnytte Sætning 1 smt Sætning 8 fr prentesregnereglerne: c d c d c d 1 c d e e e e e e e e Sætning : c c c Dvs. mn kn ddere (og dermed også sutrhere) to røker med ens nævnere ved t ddere (sutrhere) tællerne og eholde nævneren. Bevis (og opgve): Find ud f hvilke sætningerne, der enyttes i følgende udregning, der udgør eviset: c c c c c c Oversigt over ksiomerne og sætningerne 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x 13

14 Sætning 1: 0 0 Sætning : 1 Sætning 3: Sætning 4: Sætning 5: Sætning 6: Sætning 7: Sætninger Sætning 8: c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Sætning 10: 1 1 Sætning 11: 1 Sætning 1: Sætning 13: c c Sætning 14: c c Sætning 15: 1 c c Sætning 16: k k Sætning 17: k k Sætning 18: c c d d Sætning 19: c c Sætning 0: c d c d Sætning 1: c d c d e e e e Sætning : c c c 14

15 Komplekse tl Som fslutning på forløet ses nu på en nvendelse f det store rejde med t udlede sætningerne ud fr ksiomerne. Vi vil nu indføre de komplekse tl og tjekke, om de indførte regneregler opfylder de 11 ksiomer, og når vi hr fået ekræftet dette, ved vi, t lle de udledte sætninger også gælder for komplekse tl, dvs. vi ehøver ikke igen t evise disse. Indførelse f i Vi indfører nu ogstvet i som etegnelse for et tl med følgende egensk: i 1 eller i 1. Vi ser med det smme, t dette tl i ikke er et reelt tl, for vi kender ingen tl med den egensk, t deres kvdrt er et negtivt tl. Bogstvet "i" står for "Imginært", og i kldes den imginære enhed (ligesom tllet 1 er enheden, når vi rejder med de reelle tl). Et komplekst tl defineres til t være tl på formen i, hvor og er reelle tl, og hvor kldes reldelen, og kldes imginærdelen. Regnetegnene + og er de regnetegn, vi kender fr de reelle tl, og vi regner med i som med ethvert ndet ogstv, lot med den egensk t i 1. Addition f to komplekse tl foregår efter reglen: i c id c i d Multipliktion f to komplekse tl: ic id c d id c Øvelse: Vis t de første 7 ksiomer gælder. Øvelse: Hvd er det neutrle element ved ddition og det neutrle element ved multipliktion (ksiomerne 8 og 9)? Øvelse: Hvd er det modstte element til et komplekst tl (ksiom 10)? i Øvelse: Kontrollér t det reciprokke element til et komplekst tl i er (ksiom 11). Tælleren i udtrykket i ovennævnte øvelse kldes den komplekst konjugerede til i. Ligesom med de reelle tl får mn desuden rug for t definere sutrktion og division, og fremgngsmåden er den smme: i c id c id i, Sutrktion: hvilket fører til i c i d c i d. i c i d i, hvilket fører til i c d c d i c i d c i d c d c d Division: Øvelse: Vis ovenstående udtryk ved t forlænge venstresiden med c i d. 15

16 LIGNINGER Definition 1: En ligning er et udsgn, der fstslår, t to udtryk A og B er lige store. Kommentr: De to udtryk A og B kn indeholde én eller flere vrile. Bemærk t der står kn og ikke skl. Mn ngiver, t de to udtryk A og B er lige store, ved t skrive A B. Lighedstegnet lev opfundet f Roert Recorde i midten f det 16. århundrede. Det estår f to prllelle rette linjer f smme længde. Eksempler på ligninger er: ) 3 5 ) 6x18 7 c) 10 3 d) x y 1 e) 0 0 f ) x y x y xy g) y x 5 h x y z ) 1 Øvelse: Mn kn grundlæggende dele ligninger op i tre typer. Kig på ovenstående ligninger og se, om du kn dele dem op i tre forskellige typer. Definition : At løse en ligning vil sige t fgøre, om udsgnet er sndt eller flsk, eller t estemme for hvilke værdier f vrilerne, t udsgnet er sndt. Kommentr: Mn kn sommetider møde formuleringer l "At løse en ligning vil sige t estemme de x-værdier, der gør udsgnet sndt" eller "At løse en ligning vil sige t isolere x-værdien". Disse formuleringer er ikke så præcise, og de kn kun nvendes på estemte typer f ligninger, så enyt den ngivne definition. Nogle ligninger kn mn hurtigt løse: Eksempel 1: Vi vil løse ligningen 3 5. Her er udtrykket på venstre side f lighedstegnet et regnestykke, der kn udregnes til 5, og derfor er der tle om et sndt udsgn. Vi hr derfor løst ligningen ved t sige, t "Udsgnet er sndt". Eksempel : Vi vil løse ligningen x y x y xy. Vi vil løse ligningen ved t udregne venstresiden (to prenteser gnges smmen): x y x y x y x xy yx y x y xy 16

17 Der står nu det smme på egge sider f lighedstegnet, og udsgnet må derfor være sndt, unset hvd der indsættes på x's og y's pldser. Ligningen løses derfor igen ved t sige: "Udsgnet er sndt" Eksempel 3: Vi vil løse ligningen Her løser vi ligningen ved t sige, t "Udsgnet er flsk". Dette kn også udtrykket med symoler fr mængdelæren ved L Ø, der udtles "Løsningmængden er den tomme mængde". Eksempel 4: Vi vil løse ligningen x y 1. Her kn vi igen se, t udsgnet vil være flsk unset hvilke værdier, vi indsætter som x og y, d kvdrtet på et tl ldrig kn live negtivt (det er her ntget, t vi ikke regner med komplekse tl). Derfor løser vi igen ligningen ved t skrive L Ø. Ovenstående eksempler hr ikke krævet det store regnerejde. Det kn ikke ltid undgås, og mn skl derfor være opmærksom på følgende sætning: Sætning 1: En ligning ændrer ikke sndhedsværdi, hvis mn dderer, sutrherer, multiplicerer med eller dividerer med det smme udtryk på egge sider f lighedstegnet, så længe mn ikke multiplicerer eller dividerer med et udtryk, der hr værdien 0. Kommentr: Ofte siger mn re "I en ligning må mn lægge det smme tl til på egge sider, mn må trække det smme tl fr på egge sider, mn må dividere med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider, og mn må gnge med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider". Med sndhedsværdi menes, om ligningen er snd eller flsk, eller hvilke værdier f vrilerne, der gør udsgnet sndt. Mn ngiver, t to udsgn hr smme sndhedsværdi med en iimpliktion : Det kldes også et "ensetydende tegn". Eksempel 5: Vi vil løse ligningen 3x17 x 18. 3x17 x18 3x x x 35 x x Biimpliktionerne fortæller som sgt, t ligningerne hr smme sndhedsværdi. Og pointen er så, t den sidste ligning er meget nem t flæse. Den fortæller os, t udsgnet er 35 sndt, netop når x er 7. Derfor er udsgnet x også sndt, netop når x er 7. Og således fortsættes 5 opd, indtil mn kn konkludere, t udsgnet 3x17 x18 er sndt, netop når x er 7. 17

18 Væsentlig detlje: I sætning 1 nævnes 4 forskellige ting, mn kn t gøre ved en ligning, uden t den ændrer sndhedsværdi. Der er flere ting, mn må gøre: ) Mn må uddrge kvdrtroden på egge sider f lighedstegnet, hvis de er ikke negtive: x 1 49 x 1 49 x 1 7 ) Mn må tge logritmen på egge sider f lighedstegnet, hvis de er positive: x x 5 7 log 5 log 7 c) Mn må potensopløfte med en hvilken som helst positiv rod ortset fr 1: MEN... mn må f.eks. ikke tge kvdrtet på egge sider: ( 1) 1 Tlsættet, 1, gør egge udsgn snde. Det smme gælder for tlsættet, 3, Men prøv t finde et tlsæt,, der gør højresiden, men ikke venstresiden, snd.. DE TRE TYPER AF LIGNINGER Ligningerne opdeles i tre typer: 1) Identiteter. ) Asurditeter. 3) Bestemmelsesligninger. 18

19 IDENTITETER Definitioner: Identiteter er ligninger, der er snde (for lle værdier f de vrile). Når sidste del f formuleringen er i prentes, skyldes det, t der jo ikke nødvendigvis indgår vrile i en ligning. Vi er llerede stødt på identiteter lndt de første eksempler. Det drejer sig om: ) 3 5 e) 0 0 f ) x y x y xy De to første ligninger er oplgt snde udsgn, mens mn ved indsættelse f forskellige værdier for x og y i den sidste ligning kn overevise sig selv om, t det ltid giver et sndt udsgn. Anvendelser 1) Udregninger: Når mn nvender lighedstegn i en udregning, sker mn identiteter, for pointen med en udregning er jo netop, t mn skl skrive et nyt ritmetisk udtryk med smme værdi som det oprindelige: ) Alle de forskellige ritmetiske udtryk ovenfor hr værdien 34. ) Reduktionsstykker: Egentlig er en reduktion det smme som en udregning. Et reduktionsstykke indeholder re (også) en eller flere vrile: ) Unset hvilke værdier, der indsættes på 's og 's plds, vil lle de fire udtryk give smme værdi. 3) Nogle typer mtemtiske sætninger: Nogle mtemtiske sætninger er egentlig en slgs reduktionsstykker opskrevet uden mellemregninger. ) x y x y xy ) x y x y xy c) x y x y x y d) cos x sin x 1 e)log log log f ) p q p q 19

20 Denne type sætninger nvendes, når udtryk skl reduceres, d mn kn ersttte venstre- og højresiderne med hinnden: Et eksempel på nvendelse f f): Et eksempel på nvendelse f ): s t 4s t 4st Et eksempel på nvendelse f e): log log 5 log 5 log 10 1 (Når mn hr lært om logritmer, ved mn, t log 10 1) 4) Definitioner: Mnge mtemtiske definitioner er identiteter, d de forklrer, hvordn et egre eller en nottion skl forstås, og d der dermed "pr. definition" dnnes et sndt udsgn. x 0 ) 1 (Dette gælder for lle værdier f x - også 0... pr. definition) 1 1 ) Dette er definitionen f prikproduktet f og x log c) 10 x ; x 0 Definitionen f logritmefunktionen 3 3 5) Løsning f differentilligninger: De såkldte differentilligninger er ligninger, hvor løsningerne er funktioner, og pointen er, t de funktioner, der er løsninger til differentilligningen, er de funktioner, der indst i differentilligningen giver et sndt udsgn (dvs. en identitet). Eksempel: Vi vil undersøge, om funktionen differentilligningen dy y x 5 dx. 1 f x x 3x 1er en løsning til Her følger en række udregninger, mn ikke kn følge med i, når mn ikke hr hft differentilregning, så du skl gå direkte til nederste linje i udregningen: f ' x x x x x x x x x x x 0 x 0 Og nu skl du være opmærksom! Den nederste ligning er et udsgn, der er sndt, når x er 0, MEN pointen er, t det ikke er en identitet. Det er ikke et sndt udsgn for lle værdier f x, og dermed er den ngivne funktion IKKE en løsning til den pågældende differentilligning. 0

21 ABSURDITETER Definitioner: Asurditeter er ligninger, der er flske (for lle værdier f de vrile). Blndt de første eksempler vr der også surditeter: c) 10 3 d) x y 1 Asurditeter viser, t et prolem ikke kn løses. Anvendelser Eksempel 1: Mn ønsker t estemme skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne y 3x 5 og y 3x 4. Mn skl finde den x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y- værdi. Hvis y-værdierne i de to ligninger skl være ens, skl højresiderne i de to ligninger også være ens: 3x 5 3x 4 3x 3x Det sidste udtryk er en surditet, og ifølge iimpliktionerne er de ndre udtryk også surditeter. Der er ltså ikke nogen x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y-værdi. Med ndre ord er der ikke noget skæringspunkt mellem de to linjer (de er prllelle). Eksempel : Vi vil løse ndengrdsligningen 0 x x Vi omskriver ligningen: 0 x x 0 1 x x 1 1 x x 1 (Her udnyttes en identitet på højresiden) 1 x 1 Det sidste udtryk er en surditet, d kvdrtet på et tl ikke kn live negtivt, og dermed er der ingen løsninger til den pågældende ndengrdsligning. 1

22 BESTEMMELSESLIGNINGER Definitioner: Bestemmelsesligninger er ligninger, hvor der indgår mindst én vriel, og hvor en eller flere, men ikke lle, værdier for vrilerne giver et sndt udsgn. Blndt estemmelsesligningerne hører de "lmindelige" ligninger, som mn møder i opgver f typen "Løs ligningen...". Men også ligninger for rette linjer, cirkler, kugler, ellipser, plner, prler, hyperler o.l. er estemmelsesligninger. Eksempel 1: Løs ligningen 7x 3 13x 9 7x 3 13x 9 1 0x x x Hermed hr mn løst ligningen ved t omskrive den, så det til sidst fremgår klrt, t når x er 3 5, så giver ligningen et sndt udsgn. Eksempel : Løs ligningen x1 x 1 Hvis mn ikke er så sikker i sine regneregler, kunne mn godt forveksle denne ligning med en identitet, men udregninger viser tydeligt noget ndet: x x 1 1 x 1 x x 1 x 0 x 0 Dvs. t ovenstående ligning giver kun et sndt udsgn, når x er 0. Eksempel 3: Ligningen y4x 7 Dette er en estemmelsesligning. Løsningerne til denne ligning er lle de tlpr xy,, der gør udsgnet sndt. F.eks. er tlprrene 0,7 og 1,3 egge løsninger til ligningen, fordi de indst i ligningen giver et snde udsgn (henholdsvis og ). Der er uendeligt mnge f sådnne løsninger. MEN... det er ikke lle tlpr, der er en løsning til ligningen. F.eks. er tlprrene,5 og 4,1 ikke løsninger til ligningen, d det giver de flske udsgn og

23 Hvis mn etrgter ligningen som en ligning for en ret linje, så estår denne rette linje netop f de punkter xy,, der er en løsning til ligningen. Eksempel 4: Ligningen x y Dette er ligningen for en cirkel med centrum i 5, 3 og med rdius r 4. Cirklen estår f lle de punkter xy,, der giver et sndt udsgn, når de indsættes i ligningen. Opgve Afgør om følgende er identiteter (i), surditeter () eller estemmelsesligninger (): 3

24 GENNEMSNIT Når mn møder ordet 'gennemsnit', menes der næsten ltid Det Aritmetiske Gennemsnit (også kldet Det Aritmetiske Middeltl), der oftest er det smme som Middelværdien. Men der findes ndre slgs "gennemsnit", og nogle f dem er vigtige t kende i gymnsiet. For et dtsæt f størrelsen n, x 1 x x 3 x 4,,,,..., n x, defineres følgende størrelser: Aritmetisk gennemsnit / Aritmetisk middeltl / (Middelværdi) x x x... x x n 1 3 n i1 n n x i x H n n n x x x x x 1 3 n i1 i Hrmonisk gennemsnit eller Geometrisk gennemsnit n n n G n i i1 x x x x x x n x1 x x3 xn i1 xi x n n H Kvdrtisk gennemsnit x Q x x x... x n 1 3 n i1 Når mn udregner et gennemsnit, kn mn sige, t det skl fungere som svr på et spørgsmål (der ikke nødvendigvis er stillet explicit). Mn skl ltså være opmærksom på, hvd det egentlig er for et spørgsmål, mn ønsker t esvre, og derefter skl mn vælge det rigtige gennemsnit. Dette ses der ort fr et øjelik, d vi nu skl se et eksempel på, hvordn formlerne nvendes på et konkret tlsæt. Vi ner ltså intet om, hvor følgende tl kommer fr, men får re oplyst, t vi hr tllene, 6, 17, 10 og 3. Vi udregner nu hvert f de fire gennemsnit uden t tænke på, hvd resultterne fortæller os: Aritmetisk gennemsnit: x 7, Hrmonisk gennemsnit: xh 4, Geometrisk gennemsnit: x ,7 G Kvdrtisk gennemsnit: x Q 9,36 5 Mn får ltså - ikke overrskende - 4 forskellige tl som resultter. Uden evis kn det nævnes, t det ltid gælder, t xh xg x xq. n n x i 4

25 Anvendelser f de forskellige gennemsnit Vi skl nu se på en række eksempler, hvor det giver mening t udregne et estemt gennemsnit. Aritmetisk gennemsnit Eksempel 1: En fodoldspiller øver sig i t jonglere med en old, og ntllet f erøringerne noteres for hvert forsøg: 8, 31,, 5, 5, 9, 17, 43, 41 Der er 9 forsøg, så n 9, og det ritmetiske gennemsnit er x 3, Dette fortæller os, t hvis en nden fodoldspiller i de 9 forsøg opnår smme ntl erøringer i hvert forsøg, skl dette ntl være 3, hvis hun skl opnå det smme smlede ntl, som den første fodoldspiller (der vil pg. frunding mngle en enkelt erøring). Eksempel : På en ferie, der vrer 7 dge, ruger du på de enkelte dge følgende elø i kroner: 01, 318, 340, 119, 147, 354 og 6. Det ritmetiske gennemsnit f disse tl er: x 59 7 Dette fortæller os, t hvis du hver dg hvde rugt 59 kroner, ville du efter de 7 dge smlet hve rugt det smme, som du gjorde med de forskellige elø. s Eksempel 3: Frten v er defineret som v, hvor s er strækningen, genstnden hr evæget sig, t og t er den tid, der er rugt på evægelsen. Pheidippides er en udholdende løer. Hn løer i tre timer. Den første time løer hn med frten 8 km/h, den nden time med frten 15 km/h og den tredje time med frten 7 km/h. Hvor hurtigt hr hn løet i gennemsnit? Hn hr løet i lt 30 km og rugt 3 timer på det, så gennemsnitsfrten er ssmlet 30km km v 10. t 3h h smlet Hvis udregningen skl gøres mere generel, kn vi indføre følgende størrelser: v 1 8 km er frten den første time. h v 15 km er frten den nden time. h v 3 7 km er frten den tredje time. h t t t t h : D tidsintervllerne med hver frt er lige store, ruger vi kun én størrelse t, der er 1h (1 time). 5

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22 Hvor mnge led er der i hvert f disse regneudtryk? Beregn værdien f udtrykkene. ANTAL LED + 5 + 5 + 5 5 5 + + 9 5 c + 5 6 +5 = 7 d + 5 + 0 = e 5 5 8 5 6 = 800 6 = 78 f + 6,5 87 : 7 + 5 7 = 7,57 Forind udtrykkene

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

7 QNL 9DULDEHONRQWURO +27I\VLN. Hvilke uafhængige variable er der tale om?: - og hvilke værdier har de?: Hvilke afhængige variable er der tale om?

7 QNL 9DULDEHONRQWURO +27I\VLN. Hvilke uafhængige variable er der tale om?: - og hvilke værdier har de?: Hvilke afhængige variable er der tale om? Fir test Studér de udleverede rør. Fir testen går ud på t du skl fremringe en tone i nogle forskellige rør og derved finde ud f hvd tonens højde (ikke lydens styrke) fhænger f. Hvilke ufhængige vrile er

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere