TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme."

Transkript

1 TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn konstruktion er, t mn ud fr de etingelser, der er stillet op, kn udlede en hel række egensker, der gælder for et legeme. Det smrte ved det, er, t hvis mn kn vise, t et egre (f.eks. de reelle tl) opfylder de oprindelige etingelser, så ved mn også, t lle de udledte regler gælder for de reelle tl. Vi ser nu på opygningen f et legeme og noterer os smtidig, t de reelle tl velkendte regneopertioner + og er et legeme. med vores Vi får rug for følgende tegn: : "For lle" : "Der findes" / "Findes der" : "Tilhører" \ : "Frregnet mængden estående f..." Legeme M Regneopertioner: I et legeme M findes der to regneopertioner + og, der virker på to elementer i M og dnner et nyt element (mn klder sådnne regneopertioner for inære opertorer, fordi de virker på to elementer). Disse regneopertioner opfylder følgende: Aksiomer (sætninger): Stilitet: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M Det vil sige, t når mn lægger to elementer fr M smmen, så vil resulttet også være et element i M. Og ligeledes: Et produkt f to elementer fr M vil også ligge i M. Bemærk t dette gælder for de reelle tl. Både summen og produktet f to reelle tl er reelle tl. Kommuttivitet: 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x Det vil sige, t åde ved ddition og multipliktion er det ligegyldigt, hvilket element der skrives først. Bemærk t egge disse ksiomer er opfyldt for de reelle tl. Når vi rejder med tl, omtler vi normlt ksiom 4 som: "Fktorernes orden er ligegyldig" 1

2 Associtivitet: 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z Bemærk t ddition og multipliktion som udgngspunkt kun er defineret for to elementer d gngen, og derfor kn mn - som udgngspunkt - ikke skrive f.eks. xy z, d der er tre elementer. MEN pointen med disse ksiomer er, t mn lligevel godt kn skrive xy z eller c d, d ksiomerne siger, t du kn ddere/multiplicere elementerne to og to, og t den rækkefølge, du gør dette i, ikke hr etydning for resulttet. Dette gælder for de reelle tl (tænk selv over dette). Distriutivitet: 7) x, y, z M : x y z x y x z Bemærk t denne sætning kominerer de to regneregler, og emærk t dette gælder for de reelle tl. Prenteserne på højresiden er nødvendige i ksiomet, d mn skl sikre sig, t multipliktionerne foretges før dditionen. Når vi rejder med de reelle tl - eller ndre slgs tl - hr vi dog indført den regel, t multipliktion ltid skl foretges før ddition, og så liver prenteserne på højresiden unødvendige. F.eks Neutrle elementer: 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 0 1 Det vil sige, t der findes et element i M, der hr den egensk, t unset hvilket element x i M, det lægges til, giver det elementet x selv. Og et lignende element findes for multipliktion. Disse to elementer må ikke være identiske. Når vi rejder med reelle tl, er det neutrle element ved ddition tllet 0, mens det neutrle element ved multipliktion er tllet 1. Modstte elementer ved ddition: x M x M x x 10) : 0 Dvs. t lle elementer hr et modst element. Når vi rejder med de reelle tl, hvor det neutrle element ved ddition er 0, fører dette ksiom til indførelsen f regneopertionen minus. Hvis vi f.eks. tger udgngspunkt i tllet 5,3. Så er det modstte element tllet -5,3, og der gælder: 5,3 5,3 0. Dette vælger vi t skrive som 5,3 5,3 0 og hr så indført regneopertionen -. Det modstte element til tllet -8 er tllet 8. Reciprokke elementer ved multipliktion: x M 1 M x 1 11) \ 0 : 1 x x Inden for de reelle tl hr vi, t det reciprokke element til 8 er 1 8, det reciprokke element til 3 er 7 7 og det reciprokke element til er 1. Med røkstregen indfører vi regneopertionen division. 3

3 Smlet set hr vi ltså disse 11 ksiomer: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x Anvendelser f ksiomerne Ud fr disse 11 ksiomer kn vi nu egynde t udlede en hel række sætninger, der gælder for legemer. Og emærk endnu engng: Når vi hr vist, t de reelle tl opfylder ovenstående 11 ksiomer, så vil de sætninger, vi udleder ved hjælp f ksiomerne, også gælde for de reelle tl. Sætning 1: 0 0 Denne sætning siger ltså, t hvis mn tger det neutrle element ved ddition og multiplicerer det med et element fr legemet, så liver resulttet det neutrle element (unset hvd er for et element). Bevis: Vi ser på udtrykket 0 og nvender vores ksiomer på dette: Aksiom 8 nvendes med 0 i stedet for x (d ksiomet jo gælder for lle x) Aksiom 7. Aksiom 8 fortæller os så, t 0 0, for 0 er netop det element, hvorom det gælder, t xx 0, hvor mn i dette konkrete tilfælde hr x 0. Opsmling: Vi hr ltså nu vist, t det neutrle element ved ddition, der lev indført i ksiom 8, det hr også den egensk, t når mn multiplicerer det med et tl, så får mn det neutrle element. Eller med ndre ord: Når mn gnger med 0, får mn 0. 3

4 Sætning : 1 Denne sætning siger, t hvis mn hr et element og multiplicerer dette med (-1), der er det modstte element til det neutrle element ved multipliktion, så får mn det modstte element til. Vi skl ltså vise, t Bevis: Vi eviser dette ved t se på udtrykket , som vi kn regne på. Aksiom 9 er nvendt på det ndet led. D 1 Aksiom 7 er nvendt. 0 Aksiom 8 nvendt på elementet 1. 0 Sætning 1. lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t 1. Opsmling: Bemærk t vi i dette evis også hr nvendt sætning 1. Dette er tilldt, d denne sætning llerede er levet evist. Og vi hr ltså nu to sætninger, som vi må ruge, når vi skl evise de næste sætninger. Sætning 3: Denne sætning siger, t produktet f elementet og det modstte element til, vil give det modstte element til produktet f og. Eller i et konkret tilfælde med tl: Dvs. når mn gnger et positivt tl med et negtivt tl, får mn et negtivt tl. Bevis: Dette evis minder om eviset for sætning. Vi egynder med udtrykket Aksiom 7 er nvendt. D lgt til 0 Aksiom 8 nvendt på elementet. 0 Sætning 1. giver 0, fortæller ksiom 10 os, t.. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget positivt giver negtivt. 4

5 Sætning 4: Sætningen siger, t produktet f de modstte elementer til og giver det smme som produktet f og. Et konkret tleksempel: Bevis: Vi ser på udtrykket. Sætning 3 nvendt på ndet led. Aksiom 7 Aksiom 10 0 Sætning 1. D lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget negtivt giver positivt. Vigtig pointe ved multipliktion: Hvis mn hr flere størrelser estående f forskellige fortegn, tl og ogstver, der skl multipliceres, skl mn tge hver del for sig: Fortegn for sig. Tl for sig. Hvert ogstv for sig. Eksempel: c c d c c d Fortegn for sig: Der er tre - dvs. et ulige ntl - negtive fortegn, så der skl også være et negtivt fortegn på resulttet. Tl for sig: Hvert ogstv for sig: 3 ; 4 ; 4 c ; d d c c c 5

6 Prentesregneregler Sætning 5: Dvs. mn kn hæve en "plusprentes" uden t ændre noget ved rgumentet (indholdet i prentesen). Bevis: Aksiom 9 fortæller os, t , og ved t enytte ksiomerne 7 og 9 får mn: Vi hr hidtil nvendt nottionen om det modstte element til, og vi hr så f.eks. kunnet skrive. Dvs. tegnet hr ikke været nvendt som et regnetegn, men som et fortegn, der etød "det modstte element f...". Nu ønsker vi imidlertid t indføre regneopertion sutrktion ("minus"), dvs. vi ønsker t kunne skrive f.eks.. Her er det vigtigt t emærke, t vi ikke kn nvende ksiomerne til t indføre denne (nye) regneopertion, d den ikke er nævnt et eneste sted. Vi hr rug for en definition, dvs. vi hr rug for t eskrive, hvd regnetegnet skl etyde. Definition 1: Indførelse f regneopertionen sutrktion: Dvs. er det element, der lgt til, giver. Bemærk t du nvender denne definition, når du løser visse typer f ligninger. Se f.eks. på denne udregning: 3 x 8 x 83 Ofte siger mn, t mn hr trukket tre fr på egge sider, eller mn siger, t mn flytter tre-tllet over på den nden side og skifter fortegn. Men egentlig følger ovenstående direkte f vores definition, for nederste linje fortæller os, t 8 3 giver 8 (se den øverste linje). x, og 8 3 er netop det tl, der lgt til 3, 6

7 Efter t hve indført regneopertionen sutrktion, skl det nu vises, hvordn regneminusset og fortegnsminusset hænger smmen: Sætning 6: Dvs. det giver det smme, om du trækker fr, eller om du lægger det modstte element f til. Bevis: Ideen i eviset er, t vi tger udtrykket på venstresiden og ser, hvd der sker, når vi lægger det smmen med : Aksiom 5 0 Aksiom 10 Aksiom 8 Bemærk t lgt til giver, og dermed fortæller Definition 1 os, t Vi hr ltså nu vist, t det er det smme, om du skriver 5 7 eller 5 7. Vi vil derfor i det efterfølgende ikke skelne mellem skrivemåderne og. Videre med prentesregnereglerne: Sætning 7: Mn hæver ltså en "minusprentes" ved t ændre fortegn på lle led i prentesen. Bevis: Sætning giver os, t , og ksiom 7 og sætning giver derefter: Sætning 8: c d e c d e Mn gnger ind i en prentes ved t gnge ind på hvert led. Bevis: I det følgende nvendes en hel række ksiomer. Tænk selv over hvilke: c d e c d e c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Mn gnger to prenteser smmen ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Bevis: Beviset nvender ksiom 7 to gnge. c d c d c c d d c c d d Aksiom 3 kn så nvendes, når der skl rykkes rundt på leddene. 7

8 Brøkregneregler Vi er stødt på en røkstreg en enkelt gng under ksiomerne, nemlig d 1 x lev introduceret som det reciprokke element til x. Men dette er ikke tilstrækkeligt i forhold til vores nvendelse f røkstreger, hvor vi også tillder udtryk f formen. Vi skl ltså hve defineret, hvd vi mener med udtrykket, og ved vores definition fstsætter vi også etydningen f røkstregen som den regneopertion, vi klder division. Definition : Dvs. er det element, der gnget smmen med elementet, giver elementet. Sætning 10: 1 Bevis: Det følger direkte f definitionen, når 'erne udskiftes med 'er, d så er det tl, der gnget med giver, hvilket ifølge ksiom 9 netop er tllet 1 (det neutrle element ved multipliktion). Bemærk t d vi også ved, t 1 1 (Aksiom 11), hr vi direkte følgende sætning: Sætning 11: 1 Og vi hr: Sætning 1: 1 Bevis: Vi ser på, hvd der sker, når venstresiden gnges smmen med : 1 1 Aksiom 6 1 Aksiom 11 Aksiom 9 D venstresiden gnget smmen med giver, fortæller Definition os, t 8 1

9 Sætning 13: c c Dvs. mn gnger en røk med et tl ved t gnge i tælleren og eholde nævneren. Bevis: Vi ved ifølge vores definition f, hvd en røkstreg etyder, t er det tl, der gnget med c c giver, eller opskrevet som ligning: c. Bemærk endnu engng t dette er en c definition, dvs. det er etydningen f røkstregen, der forklres ved ligningen, og der foregår derfor som sådn ikke nogen udregning. Men vi ser nu på udtrykket cog regner på dette: c c c Aksiom 6 c c Definition D c c hr vi ifølge den indledende emærkning vist, t. c c Sætning 14: c c Dvs. mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ind i nævneren (og eholde tælleren). Bevis: Ifølge Definition er c det tl, der gnget med ( c) c. giver, dvs. c Vi vil nu evise sætningen ved t vise, t når venstresiden gnges med c, får mn : c c c c Aksiomerne og 6 Definition Definition Her er plds til en onussætning: D 1 ifølge Definition, hr mn ifølge Aksiom 9, t: 1 1 9

10 En nden vigtig ting, som mn ofte kn få rug for, er smmenhængen mellem t dividere med et tl og t gnge med det reciprokke til tllet. Der gælder nemlig: 1 Sætning 15: c c Dvs. det er det smme, om du dividerer med et tl, eller om du gnger med det reciprokke til tllet. Bevis: Det følger direkte f sætning 1, hvor mn ersttter med og med c. Opsmling: Mn gnger en røk med et tl ved t gnge tllet op i tælleren og eholde nævneren. Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ned i nævneren og eholde tælleren. Når mn rejder med røker, vil mn ofte få rug for t forkorte eller forlænge en røk. Præcis som med egreerne sutrktion og division er vi nødt til først t definere, hvd mn egentlig mener med t forlænge (eller forkorte) en røk. Definition 3: Mn forlænger en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t multiplicere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Det væsentlige - og hele pointen med t indføre egreet - er følgende sætning: Sætning 16: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forlænges. Bevis: En række f llerede viste sætninger nvendes på højresiden: k k Sætning 13 k k k Sætning 14 k 1 k Sætning 15 k 1 = k Aksiom 6 k = 1 Aksiom 11 = Aksiom 9 Bemærk ltså endnu engng pointen: En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. Du kn ltså forlænge røker lige så meget, du hr lyst til, d du ikke ændrer de regnestykker, som røken indgår i. 10

11 Forlænge ligninger: Ligninger kn også forlænges, hvilket foregår ved, t mn gnger hvert led på egge sider f lighedstegnet med det tl, der forlænges med (og som igen ikke må være 0). F.eks. kn ligningen x x x x forlænges med 6, hvilket giver 3 4 x 3x x 1x. En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. En ligning ændrer ikke sndhedsværdi (dvs. den hr smme løsningsmængde), når den forlænges. Mn kn også forkorte røker: Definition 4: Mn forkorter en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t dividere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Igen er det væsentlige: Sætning 17: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forkortes. Bevis: Prøv selv t evise denne sætning. Pointe: Egentlig er det t forlænge og forkorte to sider f smme sg. Som sætning 15 viser, så opnås f.eks. det smme ved t forlænge med 1, som der opnås ved t forkorte med 7. 7 Vi er nu klr til de sidste sætninger omhndlende røkregneregler. Sætning 13 lev nvendt til t vise, hvd der sker, når mn gnger en røk med et tl. Men sætningen kn - ifølge vores ksiom 4 om kommuttivitet ved multipliktion - også forstås som en forklring på, hvordn mn gnger et tl med en røk. 11

12 Vi ser nu på, hvordn mn gnger to røker smmen: Sætning 18: c c d d Dvs. to røker multipliceres ved t multiplicere tæller med tæller og nævner med nævner, eller lidt mere præcist: Ved i tælleren t plcere produktet f de to tællere og i nævneren plcere produktet f de to nævnere. Bevis: Vi egynder med venstresiden og regner og ved hjælp f sætningerne 1-15 smt nogle ksiomer frem til højresiden. c 1 c d d Sætning 1 1 c d Aksiom 6 c 1 d Sætning 13 c d Sætning 15 c = d Sætning 14 Sætning 19: c c Dvs. mn dividerer et tl med en røk ved t gnge med den omvendte røk. Bevis: Vi forlænger udtrykket på venstresiden med c (hvilket ifølge sætning 16 ikke ændrer på udtrykket): c c c c c c I næst sidste skridt nvendes Definition, og i sidste skridt er Sætning 13 nvendt. d Sætning 0: c c d Dvs. mn dividerer en røk med en røk ved t gnge med den omvendte røk. 1 d Bevis: Vi forlænger med d og 1 d d d c : c c d c c c 1 d c 1 c d d c 1

13 De to sidste røkregneregler, vi ser på, omhndler udtryk, hvor der indgår flere led, dvs. i modsætning til lle de tidligere røkregneregler, ses der nu ikke kun på multipliktion og division, men også på ddition og sutrktion. Sætning 1: c d c d e e e e Dvs. mn dividerer en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert f leddene med tllet. Bevis: Vi kn udnytte Sætning 1 smt Sætning 8 fr prentesregnereglerne: c d c d c d 1 c d e e e e e e e e Sætning : c c c Dvs. mn kn ddere (og dermed også sutrhere) to røker med ens nævnere ved t ddere (sutrhere) tællerne og eholde nævneren. Bevis (og opgve): Find ud f hvilke sætningerne, der enyttes i følgende udregning, der udgør eviset: c c c c c c Oversigt over ksiomerne og sætningerne 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x 13

14 Sætning 1: 0 0 Sætning : 1 Sætning 3: Sætning 4: Sætning 5: Sætning 6: Sætning 7: Sætninger Sætning 8: c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Sætning 10: 1 1 Sætning 11: 1 Sætning 1: Sætning 13: c c Sætning 14: c c Sætning 15: 1 c c Sætning 16: k k Sætning 17: k k Sætning 18: c c d d Sætning 19: c c Sætning 0: c d c d Sætning 1: c d c d e e e e Sætning : c c c 14

15 Komplekse tl Som fslutning på forløet ses nu på en nvendelse f det store rejde med t udlede sætningerne ud fr ksiomerne. Vi vil nu indføre de komplekse tl og tjekke, om de indførte regneregler opfylder de 11 ksiomer, og når vi hr fået ekræftet dette, ved vi, t lle de udledte sætninger også gælder for komplekse tl, dvs. vi ehøver ikke igen t evise disse. Indførelse f i Vi indfører nu ogstvet i som etegnelse for et tl med følgende egensk: i 1 eller i 1. Vi ser med det smme, t dette tl i ikke er et reelt tl, for vi kender ingen tl med den egensk, t deres kvdrt er et negtivt tl. Bogstvet "i" står for "Imginært", og i kldes den imginære enhed (ligesom tllet 1 er enheden, når vi rejder med de reelle tl). Et komplekst tl defineres til t være tl på formen i, hvor og er reelle tl, og hvor kldes reldelen, og kldes imginærdelen. Regnetegnene + og er de regnetegn, vi kender fr de reelle tl, og vi regner med i som med ethvert ndet ogstv, lot med den egensk t i 1. Addition f to komplekse tl foregår efter reglen: i c id c i d Multipliktion f to komplekse tl: ic id c d id c Øvelse: Vis t de første 7 ksiomer gælder. Øvelse: Hvd er det neutrle element ved ddition og det neutrle element ved multipliktion (ksiomerne 8 og 9)? Øvelse: Hvd er det modstte element til et komplekst tl (ksiom 10)? i Øvelse: Kontrollér t det reciprokke element til et komplekst tl i er (ksiom 11). Tælleren i udtrykket i ovennævnte øvelse kldes den komplekst konjugerede til i. Ligesom med de reelle tl får mn desuden rug for t definere sutrktion og division, og fremgngsmåden er den smme: i c id c id i, Sutrktion: hvilket fører til i c i d c i d. i c i d i, hvilket fører til i c d c d i c i d c i d c d c d Division: Øvelse: Vis ovenstående udtryk ved t forlænge venstresiden med c i d. 15

16 LIGNINGER Definition 1: En ligning er et udsgn, der fstslår, t to udtryk A og B er lige store. Kommentr: De to udtryk A og B kn indeholde én eller flere vrile. Bemærk t der står kn og ikke skl. Mn ngiver, t de to udtryk A og B er lige store, ved t skrive A B. Lighedstegnet lev opfundet f Roert Recorde i midten f det 16. århundrede. Det estår f to prllelle rette linjer f smme længde. Eksempler på ligninger er: ) 3 5 ) 6x18 7 c) 10 3 d) x y 1 e) 0 0 f ) x y x y xy g) y x 5 h x y z ) 1 Øvelse: Mn kn grundlæggende dele ligninger op i tre typer. Kig på ovenstående ligninger og se, om du kn dele dem op i tre forskellige typer. Definition : At løse en ligning vil sige t fgøre, om udsgnet er sndt eller flsk, eller t estemme for hvilke værdier f vrilerne, t udsgnet er sndt. Kommentr: Mn kn sommetider møde formuleringer l "At løse en ligning vil sige t estemme de x-værdier, der gør udsgnet sndt" eller "At løse en ligning vil sige t isolere x-værdien". Disse formuleringer er ikke så præcise, og de kn kun nvendes på estemte typer f ligninger, så enyt den ngivne definition. Nogle ligninger kn mn hurtigt løse: Eksempel 1: Vi vil løse ligningen 3 5. Her er udtrykket på venstre side f lighedstegnet et regnestykke, der kn udregnes til 5, og derfor er der tle om et sndt udsgn. Vi hr derfor løst ligningen ved t sige, t "Udsgnet er sndt". Eksempel : Vi vil løse ligningen x y x y xy. Vi vil løse ligningen ved t udregne venstresiden (to prenteser gnges smmen): x y x y x y x xy yx y x y xy 16

17 Der står nu det smme på egge sider f lighedstegnet, og udsgnet må derfor være sndt, unset hvd der indsættes på x's og y's pldser. Ligningen løses derfor igen ved t sige: "Udsgnet er sndt" Eksempel 3: Vi vil løse ligningen Her løser vi ligningen ved t sige, t "Udsgnet er flsk". Dette kn også udtrykket med symoler fr mængdelæren ved L Ø, der udtles "Løsningmængden er den tomme mængde". Eksempel 4: Vi vil løse ligningen x y 1. Her kn vi igen se, t udsgnet vil være flsk unset hvilke værdier, vi indsætter som x og y, d kvdrtet på et tl ldrig kn live negtivt (det er her ntget, t vi ikke regner med komplekse tl). Derfor løser vi igen ligningen ved t skrive L Ø. Ovenstående eksempler hr ikke krævet det store regnerejde. Det kn ikke ltid undgås, og mn skl derfor være opmærksom på følgende sætning: Sætning 1: En ligning ændrer ikke sndhedsværdi, hvis mn dderer, sutrherer, multiplicerer med eller dividerer med det smme udtryk på egge sider f lighedstegnet, så længe mn ikke multiplicerer eller dividerer med et udtryk, der hr værdien 0. Kommentr: Ofte siger mn re "I en ligning må mn lægge det smme tl til på egge sider, mn må trække det smme tl fr på egge sider, mn må dividere med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider, og mn må gnge med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider". Med sndhedsværdi menes, om ligningen er snd eller flsk, eller hvilke værdier f vrilerne, der gør udsgnet sndt. Mn ngiver, t to udsgn hr smme sndhedsværdi med en iimpliktion : Det kldes også et "ensetydende tegn". Eksempel 5: Vi vil løse ligningen 3x17 x 18. 3x17 x18 3x x x 35 x x Biimpliktionerne fortæller som sgt, t ligningerne hr smme sndhedsværdi. Og pointen er så, t den sidste ligning er meget nem t flæse. Den fortæller os, t udsgnet er 35 sndt, netop når x er 7. Derfor er udsgnet x også sndt, netop når x er 7. Og således fortsættes 5 opd, indtil mn kn konkludere, t udsgnet 3x17 x18 er sndt, netop når x er 7. 17

18 Væsentlig detlje: I sætning 1 nævnes 4 forskellige ting, mn kn t gøre ved en ligning, uden t den ændrer sndhedsværdi. Der er flere ting, mn må gøre: ) Mn må uddrge kvdrtroden på egge sider f lighedstegnet, hvis de er ikke negtive: x 1 49 x 1 49 x 1 7 ) Mn må tge logritmen på egge sider f lighedstegnet, hvis de er positive: x x 5 7 log 5 log 7 c) Mn må potensopløfte med en hvilken som helst positiv rod ortset fr 1: MEN... mn må f.eks. ikke tge kvdrtet på egge sider: ( 1) 1 Tlsættet, 1, gør egge udsgn snde. Det smme gælder for tlsættet, 3, Men prøv t finde et tlsæt,, der gør højresiden, men ikke venstresiden, snd.. DE TRE TYPER AF LIGNINGER Ligningerne opdeles i tre typer: 1) Identiteter. ) Asurditeter. 3) Bestemmelsesligninger. 18

19 IDENTITETER Definitioner: Identiteter er ligninger, der er snde (for lle værdier f de vrile). Når sidste del f formuleringen er i prentes, skyldes det, t der jo ikke nødvendigvis indgår vrile i en ligning. Vi er llerede stødt på identiteter lndt de første eksempler. Det drejer sig om: ) 3 5 e) 0 0 f ) x y x y xy De to første ligninger er oplgt snde udsgn, mens mn ved indsættelse f forskellige værdier for x og y i den sidste ligning kn overevise sig selv om, t det ltid giver et sndt udsgn. Anvendelser 1) Udregninger: Når mn nvender lighedstegn i en udregning, sker mn identiteter, for pointen med en udregning er jo netop, t mn skl skrive et nyt ritmetisk udtryk med smme værdi som det oprindelige: ) Alle de forskellige ritmetiske udtryk ovenfor hr værdien 34. ) Reduktionsstykker: Egentlig er en reduktion det smme som en udregning. Et reduktionsstykke indeholder re (også) en eller flere vrile: ) Unset hvilke værdier, der indsættes på 's og 's plds, vil lle de fire udtryk give smme værdi. 3) Nogle typer mtemtiske sætninger: Nogle mtemtiske sætninger er egentlig en slgs reduktionsstykker opskrevet uden mellemregninger. ) x y x y xy ) x y x y xy c) x y x y x y d) cos x sin x 1 e)log log log f ) p q p q 19

20 Denne type sætninger nvendes, når udtryk skl reduceres, d mn kn ersttte venstre- og højresiderne med hinnden: Et eksempel på nvendelse f f): Et eksempel på nvendelse f ): s t 4s t 4st Et eksempel på nvendelse f e): log log 5 log 5 log 10 1 (Når mn hr lært om logritmer, ved mn, t log 10 1) 4) Definitioner: Mnge mtemtiske definitioner er identiteter, d de forklrer, hvordn et egre eller en nottion skl forstås, og d der dermed "pr. definition" dnnes et sndt udsgn. x 0 ) 1 (Dette gælder for lle værdier f x - også 0... pr. definition) 1 1 ) Dette er definitionen f prikproduktet f og x log c) 10 x ; x 0 Definitionen f logritmefunktionen 3 3 5) Løsning f differentilligninger: De såkldte differentilligninger er ligninger, hvor løsningerne er funktioner, og pointen er, t de funktioner, der er løsninger til differentilligningen, er de funktioner, der indst i differentilligningen giver et sndt udsgn (dvs. en identitet). Eksempel: Vi vil undersøge, om funktionen differentilligningen dy y x 5 dx. 1 f x x 3x 1er en løsning til Her følger en række udregninger, mn ikke kn følge med i, når mn ikke hr hft differentilregning, så du skl gå direkte til nederste linje i udregningen: f ' x x x x x x x x x x x 0 x 0 Og nu skl du være opmærksom! Den nederste ligning er et udsgn, der er sndt, når x er 0, MEN pointen er, t det ikke er en identitet. Det er ikke et sndt udsgn for lle værdier f x, og dermed er den ngivne funktion IKKE en løsning til den pågældende differentilligning. 0

21 ABSURDITETER Definitioner: Asurditeter er ligninger, der er flske (for lle værdier f de vrile). Blndt de første eksempler vr der også surditeter: c) 10 3 d) x y 1 Asurditeter viser, t et prolem ikke kn løses. Anvendelser Eksempel 1: Mn ønsker t estemme skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne y 3x 5 og y 3x 4. Mn skl finde den x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y- værdi. Hvis y-værdierne i de to ligninger skl være ens, skl højresiderne i de to ligninger også være ens: 3x 5 3x 4 3x 3x Det sidste udtryk er en surditet, og ifølge iimpliktionerne er de ndre udtryk også surditeter. Der er ltså ikke nogen x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y-værdi. Med ndre ord er der ikke noget skæringspunkt mellem de to linjer (de er prllelle). Eksempel : Vi vil løse ndengrdsligningen 0 x x Vi omskriver ligningen: 0 x x 0 1 x x 1 1 x x 1 (Her udnyttes en identitet på højresiden) 1 x 1 Det sidste udtryk er en surditet, d kvdrtet på et tl ikke kn live negtivt, og dermed er der ingen løsninger til den pågældende ndengrdsligning. 1

22 BESTEMMELSESLIGNINGER Definitioner: Bestemmelsesligninger er ligninger, hvor der indgår mindst én vriel, og hvor en eller flere, men ikke lle, værdier for vrilerne giver et sndt udsgn. Blndt estemmelsesligningerne hører de "lmindelige" ligninger, som mn møder i opgver f typen "Løs ligningen...". Men også ligninger for rette linjer, cirkler, kugler, ellipser, plner, prler, hyperler o.l. er estemmelsesligninger. Eksempel 1: Løs ligningen 7x 3 13x 9 7x 3 13x 9 1 0x x x Hermed hr mn løst ligningen ved t omskrive den, så det til sidst fremgår klrt, t når x er 3 5, så giver ligningen et sndt udsgn. Eksempel : Løs ligningen x1 x 1 Hvis mn ikke er så sikker i sine regneregler, kunne mn godt forveksle denne ligning med en identitet, men udregninger viser tydeligt noget ndet: x x 1 1 x 1 x x 1 x 0 x 0 Dvs. t ovenstående ligning giver kun et sndt udsgn, når x er 0. Eksempel 3: Ligningen y4x 7 Dette er en estemmelsesligning. Løsningerne til denne ligning er lle de tlpr xy,, der gør udsgnet sndt. F.eks. er tlprrene 0,7 og 1,3 egge løsninger til ligningen, fordi de indst i ligningen giver et snde udsgn (henholdsvis og ). Der er uendeligt mnge f sådnne løsninger. MEN... det er ikke lle tlpr, der er en løsning til ligningen. F.eks. er tlprrene,5 og 4,1 ikke løsninger til ligningen, d det giver de flske udsgn og

23 Hvis mn etrgter ligningen som en ligning for en ret linje, så estår denne rette linje netop f de punkter xy,, der er en løsning til ligningen. Eksempel 4: Ligningen x y Dette er ligningen for en cirkel med centrum i 5, 3 og med rdius r 4. Cirklen estår f lle de punkter xy,, der giver et sndt udsgn, når de indsættes i ligningen. Opgve Afgør om følgende er identiteter (i), surditeter () eller estemmelsesligninger (): 3

24 GENNEMSNIT Når mn møder ordet 'gennemsnit', menes der næsten ltid Det Aritmetiske Gennemsnit (også kldet Det Aritmetiske Middeltl), der oftest er det smme som Middelværdien. Men der findes ndre slgs "gennemsnit", og nogle f dem er vigtige t kende i gymnsiet. For et dtsæt f størrelsen n, x 1 x x 3 x 4,,,,..., n x, defineres følgende størrelser: Aritmetisk gennemsnit / Aritmetisk middeltl / (Middelværdi) x x x... x x n 1 3 n i1 n n x i x H n n n x x x x x 1 3 n i1 i Hrmonisk gennemsnit eller Geometrisk gennemsnit n n n G n i i1 x x x x x x n x1 x x3 xn i1 xi x n n H Kvdrtisk gennemsnit x Q x x x... x n 1 3 n i1 Når mn udregner et gennemsnit, kn mn sige, t det skl fungere som svr på et spørgsmål (der ikke nødvendigvis er stillet explicit). Mn skl ltså være opmærksom på, hvd det egentlig er for et spørgsmål, mn ønsker t esvre, og derefter skl mn vælge det rigtige gennemsnit. Dette ses der ort fr et øjelik, d vi nu skl se et eksempel på, hvordn formlerne nvendes på et konkret tlsæt. Vi ner ltså intet om, hvor følgende tl kommer fr, men får re oplyst, t vi hr tllene, 6, 17, 10 og 3. Vi udregner nu hvert f de fire gennemsnit uden t tænke på, hvd resultterne fortæller os: Aritmetisk gennemsnit: x 7, Hrmonisk gennemsnit: xh 4, Geometrisk gennemsnit: x ,7 G Kvdrtisk gennemsnit: x Q 9,36 5 Mn får ltså - ikke overrskende - 4 forskellige tl som resultter. Uden evis kn det nævnes, t det ltid gælder, t xh xg x xq. n n x i 4

25 Anvendelser f de forskellige gennemsnit Vi skl nu se på en række eksempler, hvor det giver mening t udregne et estemt gennemsnit. Aritmetisk gennemsnit Eksempel 1: En fodoldspiller øver sig i t jonglere med en old, og ntllet f erøringerne noteres for hvert forsøg: 8, 31,, 5, 5, 9, 17, 43, 41 Der er 9 forsøg, så n 9, og det ritmetiske gennemsnit er x 3, Dette fortæller os, t hvis en nden fodoldspiller i de 9 forsøg opnår smme ntl erøringer i hvert forsøg, skl dette ntl være 3, hvis hun skl opnå det smme smlede ntl, som den første fodoldspiller (der vil pg. frunding mngle en enkelt erøring). Eksempel : På en ferie, der vrer 7 dge, ruger du på de enkelte dge følgende elø i kroner: 01, 318, 340, 119, 147, 354 og 6. Det ritmetiske gennemsnit f disse tl er: x 59 7 Dette fortæller os, t hvis du hver dg hvde rugt 59 kroner, ville du efter de 7 dge smlet hve rugt det smme, som du gjorde med de forskellige elø. s Eksempel 3: Frten v er defineret som v, hvor s er strækningen, genstnden hr evæget sig, t og t er den tid, der er rugt på evægelsen. Pheidippides er en udholdende løer. Hn løer i tre timer. Den første time løer hn med frten 8 km/h, den nden time med frten 15 km/h og den tredje time med frten 7 km/h. Hvor hurtigt hr hn løet i gennemsnit? Hn hr løet i lt 30 km og rugt 3 timer på det, så gennemsnitsfrten er ssmlet 30km km v 10. t 3h h smlet Hvis udregningen skl gøres mere generel, kn vi indføre følgende størrelser: v 1 8 km er frten den første time. h v 15 km er frten den nden time. h v 3 7 km er frten den tredje time. h t t t t h : D tidsintervllerne med hver frt er lige store, ruger vi kun én størrelse t, der er 1h (1 time). 5

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4 Indhold Dgsorden..side 2 Forslg til forretningsorden...side 3 Politisk eretning...side 4 - Lex Osen og dens konsekvenser...side 4 - De ikke-kommercielle medier konference..side 10 - Forstærket smrejde...side

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed! Der KIRKEBLAD vr en FOR KJELLERUP OG OMEGNS VALGMENIGHED Nummer,sfnældksfn123k39843948 3 September 2007 22. Årgng 14. oktober 1917-14. oktober 2007 Gud Fders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

Læs mere

SPAM 7. netsikker nu!

SPAM 7. netsikker nu! netsikker nu! Mj 2006 Test dig selv Hvor sikker er du på nettet? Tg testen på gsiden og se, hvor højt du sorer, når du går i krig med spim, spm og psswords. 16 Bliv online med dine ørn Hvorfor styrer kvinder

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

gudmandsen.net Integraler

gudmandsen.net Integraler gudmandsen.net 2000-203 Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler...

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND

Læs mere

FP 100 Helbredsattest

FP 100 Helbredsattest FP 100 Helredsttest HA Nvn:. CPR-nr.:... Stilling:... Adresse:... Postnr.:... By:... Til forsikringssøgende: Du skl selv henvende dig til egen læge for t få udfyldt denne ttest. Husk t oplyse lægen om,

Læs mere

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI 2013 RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI INDHOLDSFORTEGNELSE 02 Indholdsfortegnelse 03 Indledning 04 Resumé 04 Oversigt over målopfyldelse

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

maskinen ud og kontroller alle de medfølgende dele

maskinen ud og kontroller alle de medfølgende dele Hurtig instlltionsvejledning Strt her HL-2135W / (Kun EU) HL-2270DW Før du første gng tger denne mskine i rug, skl du læse denne Hurtig instlltionsvejledning, så du kn opsætte og instllere din mskine.

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

og betydningen af saglige argumenter. Prismodtageren i 2013 er journalist Martin Krasnik.

og betydningen af saglige argumenter. Prismodtageren i 2013 er journalist Martin Krasnik. ktlog 2013/14 Columus er et fondsejet forlg, der er stiftet f Foreningen f lærere i smfundsfg (FALS) for t levere de fgligt edste øger til de lveste priser. Smfundsfg hr i fire årtier været vores hovedfg,

Læs mere

Blowerdoor test med Termograferingsrapport

Blowerdoor test med Termograferingsrapport Blowerdoor test med Termogrferingsrpport For Skætterivej 53 4300 Holbæk. Udført d. 6.2 & 12.2.12008 Af Ole Lentz Hnsen Sknsehgevej 5, 4581 Rørvig. Tlf.: 59 91 94 80 & 61 60 43 86 www.olelentz.dk mil@olelentz.dk

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole Jørgen Kühl Brug og nerkendelse f dnsksprogede dokumenter ved forvltningsmyndigheder og domstole Bggrund Det dnske mindretl i Sydslesvig er et nerkendt ntionlt mindretl i Forundsrepulikken Tysklnd og Slesvig-Holsten.

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE.

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. LIBER CENSUS DANIÆ. KONG VALDEMAR DEN ANDENS JORDEBOG, UDGIVET OG OPLYST AK O. NIELSEN, Rr. phil, Arkivr. japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. KUBEN RAVN. C). E. C. G

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S bc Resultt f fornlysen vedrørende en reduktion f den dnske stts ktiepost i Post Dnmrk A/S Mj 2003 Vigtigt Oplysningerne i dette dokument er uddrg fr eller bseret på oplysninger, som NM Rothschild & Sons

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent.

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent. Reserveret Post nmrk Så er det tid til betling f kontingent. Hvidovre LQ hl&itqi,ie 19.ÅRGANG AlN(JHqs.en A ') te1re rt EBRUAR 21 265 Hvidovre Medlemmerne hr i læsende stund fået tilsendt opkrævningen.

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

Grafisk Design give-aways 2

Grafisk Design give-aways 2 Grfk Degn k f r G Degn y w e v g 2 Grfk Degn ntore 3 Grfk Degn outdoor 4 k f r G Degn onlne 5 Grfk Degn Redegørele Opgven Jeg kulle mmen med en f vore AD'ere - Rmu, lve et oplæg tl Skorngen hvor v vlgte

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere