Hvorfor skal det være sådan noget

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvorfor skal det være sådan noget"

Transkript

1 H.ALRØ, M. BLOMHØJ, H. BØDTKJER, O. SKOVSMOSE & M. SKÅNSTRØM Farlige små tal helt konkret Från Danmark kommer denna artikel som visar hur tomma filmburkar och centikuber kan illustrera sannolikheten för att ett ägg innehåller salmonellabakterier. Här diskuteras bl a efter datorsimulering vad det innebär att ta stickprov och konsekvenser för vardagslivet. Hvorfor skal det være sådan noget ubehageligt noget, spørger Marc og peger på den væltede cykel, der ligger midt i klassen oven på det røde kryds. Det røde kryds har været malet på asfalten i trafikken på de steder, hvor en cyklist er blevet kørt ned af en bilist typisk der hvor cykelsti og vej bliver til ét, fordi der er en sidevej eller et vejkryds. Selv om vi ved, der er en risiko ved at cykle, er det langt fra noget, vi tænker over hver dag. Strejfer tanken os alligevel, slår vi det hen der sker nok alligevel ikke noget, risikoen er i hvert fald lille. Så lille at vi er parat til at løbe den. Men udsætter vi os for den samme risiko dag efter dag efter dag, så stiger muligheden for, at vi på et eller andet tidspunkt bliver ramt. Ikke at den på et tidspunkt bliver 100 %, men den vokser hurtigere end den matematiske intuition umiddelbart siger os. Det meget lille tal udvikler sig til noget farligt! Helle Alrø, Morten Blomhøj, Henning Bødtkjer, Ole Skovsmose och Mikael Skånstrøm arbetar vid Center for Forskning i Matematiklæring, inrättat med stöd från Statens Humanistiske Forskningsråd Se blot her: Vi forestiller os, at risikoen for at køre galt på cykel på vej til skole hver dag er en del. Det svarer til 0,0001. Chancen for at det går godt er så 1 0,0001 = 0,9999, som er det samme som 99,99%. Ved at regne på chancen for at det går godt, får vi et skema som dette: Det, der startede som en lillebitte risiko, udviklede sig altså til en risiko på 1,8 % for at køre galt på vej til skole i løbet af et skoleår. Den er jo bestemt ikke ligegyldig, men umiddelbart vil eleverne ikke acceptere dette forhold. Kan jeg ikke bare starte forfra hver dag? spørger Tobias. Så skal jeg ikke være oppe at flyve sammen med nogen, der har prøvet det 100- vis af gange, siger Sara. Der kræves en overbevisende lærerindsats for at få elever (og voksne?) med på den tankegang, at sandsynligheden, for at noget går galt på et eller andet tidspunkt, 40 NÄMNAREN NR

2 Det går godt Det går galt 1 dag: 0,9999 = 99,99 % 0,0001 = 0,01% 2 dage: (0,9999) 2 = 99,98 % 0,0002 = 0,02 % 5 dage: (0,9999) 5 = 99,95 % 0,0005 = 0,05 % 20 dage: (0,9999) 20 = 99,80 % 0,0020 = 0,2 % 200 dage: (0,9999) 200 = 98,02 % 0,018 = 1,8 % vokser med antallet af gange man tænker sig udsat for den samme lille risiko. Det er en alvorlig begrebsmæssig vanskelighed, at sådanne sandsynligheder afhænger af udgangspunktet. Efter at have klaret det første halve skoleår uden uheld er chancen, for det går godt hele året, jo allerede blevet meget større, selvom risikoen for uheld den næste dag er den samme som den forrige dag. Måske burde historien have startet et andet sted med en mere positiv udgave af tankegangen: chancen for at slå en 6 er med en almindelig terning. Chancen for at slå en 6 er med en terning er jo 1/6. Derfor er chancen for ikke at slå en 6 er 1 1/6 = 5/6. Chancen for at slå to 6 ere med to terninger er 1/6 x 1/6 = 1/36. Tilsvarende er chancen for ikke at slå en 6 er med nogen af de to terninger 5/6 x 5/6 = 25/36. Der er altså ikke en 6 er i 25 af de 36 tilfælde. Der er altså mindst én 6 er i 11 af slagene. Beregningerne her kan understøttes af et skema med de 36 udfald. Her kan man optælle de 11 kombinationer, hvor der forekommer 1 eller 2 seksere. 1\ x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x x x x x Figur 1: De mulige udfald ved kast med to terninger. De 25 (5 x 5) blanke felter er de udfald, hvor en sekser ikke forekommer. Denne tanke fastholdes, når vi kaster flere og flere terninger. De fleste vil sikkert forstå, at jo flere terninger vi kaster, jo større er sandsynligheden for, at der er mindst en 6 er imellem. Kaster vi f.eks. tre terninger, er sandsynligheden, for at hver af dem viser noget andet end seks, 5/6. Sandsynligheden, for at ingen af dem viser seks, er derfor (5/6) 3 = 0,58, når vi antager, at terningernes udfald er uafhængige af hinanden. Dermed kan sandsynligheden, for at mindst en af dem viser seks, beregnes som 1 0,58 = 0,42 = 42%. I skemaet kan vi se, at denne sandsynlighed hurtigt vokser med antallet af terninger, vi kaster. Ikke én 6 er Mindst én 6 er 1 terning 5/6 = 83 % 1/6 = 17 % 2 terninger (5/6) 2 = 69 % 1 (5/6) 2 = 31 % 3 terninger (5/6) 3 = 58 % 1 (5/6) 3 = 42 % 4 terninger (5/6) 4 = 48 % 52 % 5 terninger 40 % 60 % 10 terninger 16 % 84 % 100 terninger 0, % 99,9999 % NÄMNAREN NR

3 Tilbage til cyklen på krydset. Inden dette resultatet fra terningkastene kan tolkes i forhold til, hvor farligt det er at køre på cykel, er det imidlertid nødvendigt at overveje, om de mange gentagne cykelture kan beskrives som uafhængige hændelser med samme risiko for uheld, og selvfølgelig hvor stor denne risiko kan tænkes at være. Den sandsynlighed vi fastsatte var tilfældig, men dog så stor, at det gav mening at regne med den lige fra dag 1. I klasserne udviklede der sig en snak om, at man jo ikke kunne sige præcis, hvad sandsynligheden er, og at den er forskellig fra person til person. Og at den er afhængig af afstanden til skole, af den rute man kører, af cyklistens alder, af om færdselsreglerne overholdes osv. Efter sådanne samtaler med klasser var der trods alt ingen elever, der ville lade være med at cykle, men Tanja bekendtgjorde, at i fremtiden ville hun dreje udenom de røde krydser! Hun blev stærkt opfordret til at køre højre om og ikke ud på kørebanen. Stikprøver Næsten hver eneste uge kan man læse i avisen, hvordan det står til med tilslutningen til de politiske partier, når Gallup, Vilstrup, Observa og andre foretager en stikprøve blandt befolkningen med spørgsmålet: Hvad ville De stemme på, hvis der var valg i morgen? De adspurgte er udvalgt efter en metode, der så vidt muligt sikrer en bredde med hensyn til alder, køn, job osv. Da der er tale om en stikprøve vil de forskellige analyseinstitutter formentlig komme ud med enighed om tendenser, men med forskellige resultater i tallene og procenterne. Det endelige resultat ved selve valget eller folkeafstemningen har ofte vist sig en del forskellig fra meningsmålingerne. I Bilka kan man købe elpærer i mange forskellige udgaver. Forskellige former, store og små gevind, fra 25 watt og opefter. Vi kan vel ikke forestille os, at hver eneste af de tusindvis af pærer er testet? Og der kan vel stadig være nogle, der ikke har overlevet pakning, transport og oplægning på supermarkedets hylder. Eller hvad med Legoklodser har nogen oplevet at få en, der ikke passede? Det havde Lars i hvert fald aldrig, og i øvrigt er det muligt at teste elpærerne på en anordning i forretningen, så man er sikker på, at den virker. Er det så også muligt at teste dem her? smiler læreren (triumferende) og holder en pakke kondomer op? Eleverne fniser. Men vi er jo nødt til at tro på, at de varer, vi køber, er i orden at pærerne og kondomerne virker som de skal, at vinen og chokoladeskildpadderne smager godt, selv om ikke hver eneste af dem er testet i forvejen. Men hvorfor skal vi tro på det? Katrine kan det magiske ord: Stikprøve! Man tager stikprøver, og hvis de er i orden, regner man med, at resten også er det. Man kan jo ikke andet!? Troværdighed Indkøbsvognen er fyldt med sorte fotohylstre dem man køber film i. I hvert hylster er der anbragt en centicube. I langt de fleste tilfælde er centicuben gul, men der findes også et antal blå. Fotohylstrene omdøbes til at være æg, og de farvede centicubes til æggeblommer. De gule er sunde blommer, de blå er salmonellainficerede. Og selv om vi godt ved, at salmonella hovedsagelig findes på skallen, accepterer alle elever omstændighederne, og fra nu af kaldes den særegne konstruktion blot æg. (De brugte hylstre var skaffet ved henvendelser til fotohandlere, fotolaboratorier og Kodak.) Vi planlagde at salmonella-problemer skulle være omdrejningspunktet i vores projekt, fordi vi mente, at det kendte alle eksistensen af. Måske havde nogle af eleverne endog personlige oplevelser eller erfaringer med problemet. Men vi tænkte ikke på, at ulykkelige omstændigheder skulle aktualisere problemstillingen. En famøs kiksekage kostede mellem jul og nytår to mennesker livet, fordi der var salmonella i de anvendte æg. 42 NÄMNAREN NR

4 Nu stod indkøbsvognen altså der fyldt med 450 æg. Så blev der hældt 50 salmonellabefængte æg oveni. Procenten på 10 % var altså kendt i dette forsøg. Hver gruppe, som bestod af fire elever, skulle tage en stikprøve på 10 æg en æggebakke og undersøge dem for salmonella. Resultatet skulle noteres, æggene lægges tilbage og en ny stikprøve foretages. Det blev gjort i alt fem gange af hver gruppe og resultaterne blev noteret på tavlen: I alt % Gr. I Gr. II Gr. III Gr. IV Gr. V Figur 2: Resultater af gruppernes stikprøver. Der var tydelig forskel på de forskellige stikprøver. Gruppe IV mente, de havde klaret sig bedst, fordi de ramte de forventede 10%. Gruppe V syntes, det var flot af dem at finde så mange salmonellaæg. Det sidste var læreren nu ikke så sikker på og tror stadig, at de snød! Forsøget viste, at det at tage stikprøver kan give forskellige udfald. Stikprøver opfører sig ikke som forventet. Og det ændrer ikke på situationen hvis vi, som en elev foreslog, gentager hele proceduren. Det fandt et par elever temmelig frustrerende at vi her beskæftigede os med noget matematik uden et umiddelbart rigtigt facit. Det paradoksale er, som en elev bemærkede, at metoden er korrekt, men resultatet upålideligt. Men hvor stor er sandsynligheden for at få et æg med salmonella i en bakke? Hvor mange stikprøver skal der egentlig til? spørger eleverne nysgerrigt. Det første spørgsmål er forholdsvis nemt at svare på. Med reference til cykeluheld og terningekast kan chancen for at få mindst et æg med salmonella i en 10-stikprøve udregnes til 1 0,910 = 65 %. Det andet spørgsmål kræver en computer. Salmonella Skriv sandsynligheden for salmonella i eet æg i celle b3 risiko 0,1 Tast F9 for ny udtagning af 10 stikprøver nulstil 1 Skriv 0 i celle b4 for at nulstille Skriv 1 i celle b4 for simulering blå æg i blå æg i blå æg iblå æg i æg nr sum 10-bak. 10-bak. 10-bak.10-bak. 1. stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve Antal prøver100 blå æg i serien105 Sum frekvens i serien10,5 Frekvens Figur 3:Viser et regneark, der kan simulere stikprøveudtagning. Det er her gengivet i en situation, hvor der er udtaget 100 stikprøver bestående af hver 10 æg. Resultaterne af de sidste 10 stikprøver er angivet i den venstre del af arket. Til højre ses, hvor mange 10 stk. bakker, der har indeholdt henholdsvis 0, 1, 2 og 3 salmonellaæg. I bunden af arket ses frekvenserne i procent. NÄMNAREN NR

5 Regnearket simulerer stikprøveudtagning ved hjælp af en indbygget funktion, der giver et ligefordelt tilfældigt tal mellem 0 og 1, hver gang den kaldes. Hver gang der trykkes på F9, kaldes denne funktion fra hver af de 100 celler i regnearkets venstre side, svarende til at der udtages 10 stikprøver af 10 æg hver. Når risikoen sættes til 10% vil tal mellem 0 og 0,1 give salmonella og dette repræsenteres med et 1-tal i den pågældende celle. Tal større end eller lig med 0,1 betyder ingen salmonella og dette repræsenteres med et 0. I højre side af arket opsummeres, hvor mange stikprøver, der har haft henholdsvis 0, 1, 2 eller 3 salmonellaæg. Og i de to nederste linier er de tilsvarende summer og frekvenser beregnet. I eksemplet er der udtaget 100 stikprøver (i alt 1000 æg). Fordelingen i hver af de 10 æggebakker ses i venstre side af arket. Søjlen sum angiver antallet af inficerede æg i de 10 bakker, og nederst kan man se, at der er fundet i alt 105 inficerede æg i det samlede antal stikprøver. Det giver en frekvens på 10,5%. I alt har 29% af stikprøverne vist sig salmonellafrie, der har været salmonella i et enkelt æg i 41% af tilfældene, i 2 æg i 26% osv. Ved at køre programmet nogle gange erfarede eleverne, at et tal på omkring 35% for andelen af salmonellafri stikprøver synes rimeligt. Eleverne erfarede også at, når de blev ved med at trykke på F9-tasten længe nok, stabiliserede tallene sig. Konklusionen på forsøget med æg fra indkøbsvogn og simulation på computer måtte derfor blive, at stikprøver fortæller noget om en helhed, men ikke nødvendigvis hele sandheden. Og det er altså stadigvæk irriterende, sagde Stig. Helt konkret Hvis vi i folkeskolen skal engagere eleverne i det liv, som rører sig uden for skolen, er det vigtigt, at vi er så sandfærdige, som undervisningen i klasselokalet giver mulighed for. Der har været flere klasser fra 6. til 9. klasse involveret i projektet Farlige små tal. Dette giver forskellige udfordringer til konkretisering af problemstillingerne. På den ene side optræder farlige små tal i en række samfundsmæssige situationer, f.eks. risikovurderinger i forhold til atomkraft. Men realistisk matematik behøver ikke at være konkret, set med elevernes øjne. Det er derfor vigtigt at reelle problemstillinger eksemplificeres og illustreres i undervisningen. Det må gerne ske på en sådan måde, at eleverne kan gennemskue den pædagogiske konkretisering og samtidig drage nytte af denne konkretisering. Der er naturligvis stor forskel på, hvordan det kan gøres på forskellige klassetrin. Der skal bruges mange æg i forbindelse med salmonellaundersøgelsen, og de skal kunne undersøges for evt. forekomst af salmonella. Det er muligt i det professionelle laboratorium at foretage en undersøgelse af æg, men i matematiktimen må et system til effektiv afprøvning betyde noget andet. Det skal være et system, som gør det let at undersøge æg, og der skal kunne fremskaffes mange æg. Sorte fotohylstre kan opfylde begge disse krav. Fotoforhandlerne kasserer dem i stor stil, hver gang en kunde indleverer en film til fremkaldelse. At fotohylstrene kan åbnes betyder, at der kan anbringes noget indeni, som fortæller, om der er salmonella eller ej. Hos os var det gule og blå centicubes. Nu er grundlaget på plads for en række eksperimenter med æggene. Alle kan deltage og registrere, hvad det er for æg, de finder i deres undersøgelse. Gul centicube sundt æg, blå centicube salmonellaæg. Fotohylstrene bliver hurtigt til æg i børnenes fantasi. Eleverne i 6. klasse kunne fint foretage stikprøveundersøgelser, og alle kunne på grundlag af disse udtale sig om den sending æg, de havde med at gøre. Det var bemærkelsesværdigt at se, at nogle grupper ret hurtigt kunne komme med udtalelser på grundlag af deres stikprøver, andre, og det er særligt interessant, fortsatte stikprøveudtagelserne omhyggeligt over en lang periode og registrerede resultater undervejs 44 NÄMNAREN NR

6 uden at komme med tolkninger. Disse normalt lidt tilbageholdende elever, havde det fint med at kunne være med i processen, og i samtalen med læreren var der grundlag for kvalificerede udtalelser om æggenes kvalitet. Det er i kontakten med de tavse og forsigtige børn, at konkretiseringen især viser sin store styrke. Ved at eleven har nogle konkrete handlinger at udføre, iagttage og italesætte, får læreren muligheden for langt mere kvalificeret at skyde sig ind på, hvor eleven befinder sig. Hvad er det eleven foretager sig, og hvorfor gør han eller hun det? Læreren kan lege med og sideløbende få en dialog i gang med eleven. Dermed er en lærers største frustration, et tavst barn, minimeret betydeligt. Der er etableret en indgangsmulighed til barnets oplevelse og forståelse. Konkretisering handler således ikke blot om at tydeliggøre en problemstilling, men også om at gøre det muligt for eleverne at tydeliggøre og synliggøre deres tanker og arbejdsstrategier. Pludselig bliver der noget mere at snakke om. Med hensyn til ældre elever kan konkretisering af æg med fotohylstre stadig fungere, men måske mest som en illustrativ igangsætter. Fotohylstre kan opleves som barnagtige. Vi oplevede således, at de ældre elever blev optaget af sagen på en ny måde, da de fik mulighed for at udtage stikprøver via en computer. Dette betyder imidlertid ikke, at fotohylstrene har været overflødige. De har netop kunnet formidle problemstillingen til et mere operationelt og effektivt computerniveau. Og gerne eksemplarisk Konkretisering i matematikundervisningen er en betydningsfuld aktivitet. Her ser vi som sagt ikke på konkretisering af abstrakte matematiske problemstillinger, men på en pædagogisk konkretisering af problemstillinger, hvor matematik benyttes uden for skolen, og hvor den samfundsmæssige brug og funktion ikke fremtræder klart. I matematikdidaktisk forskning har man talt om, at matematik er indbygget i en række af samfundets teknologiske funktioner, at matematik er frosset i teknologien, at den matematiske tænkning står bag en teknologisk praksis osv. Den række af beslutninger, der træffes med henvisning til statistiske sammenhænge er et eksempel herpå. Og netop i den forbindelse optræder der spørgsmål angående stikprøver. Et væsentligt spørgsmål er, om en stikprøve eller et talmæssigt udtryk generelt kan udtale sig troværdigt om en vis sammenhæng. Netop spørgsmålet om troværdighed har vi prøvet at trække frem i eksemplet. Et andet element, som vi ikke har beskrevet ovenfor, men som indgik i projektet handlede om ansvarlighed. Hermed henviser vi til handlinger, der udføreres på grundlag af talmæssige overvejelser. I projektet fik eleverne således til opgave at beslutte, hvilken type æg de som grossister ønskede at købe. De to blandinger af æg, de kunne vælge imellem, havde hver især et ukendt salmonellaindhold. Derfor ville en kvalitetsundersøgelse komme på tale. Men hvor mange stikprøver skulle der udvælges, inden man kunne træffe et valg? Jo flere stikprøver der blev udvalgt, des dårlige blev mulighederne for at opnå en pæn fortjeneste, for æg åbnet i salmonellakontrollen kan ikke sælges videre, og selve kontrollen er også bekostelig. Samtidig blev eleverne bedt om at udarbejde forslag til en varedeklaration, der skulle skrives på æggebakkerne. Eleverne fra 6. klasse gik til denne opgave med stort engagement. Det er i denne sammenhæng af stor betydning for engagementet, at deklarationen (hvad man tør sige om æggene) skrives på rigtige æggebakkekartoner. Dermed er eleverne igen i virkelighedens verden. Det ses blandt andet ved, at nogle vælger at beskrive æggenes kvalitet på forsiden af æggebakken, andre, der går mere i detaljer, skriver på indersiden, altså når æggebakken er åbnet og skal i brug. Vi er dermed også kommet et muligt skridt nærmere ansvarligheden, når det, der skrives, kan læses på den bakke, som eleverne reelt oplever NÄMNAREN NR

7 hos købmanden og hjemme på køkkenbordet. Eleverne fra 9. klasse havde en mere kynisk holdning til tingene. Nogle foreslog, at man kunne skrive økologiske æg på pakken selv om spørgsmålet om økologiske æg eller ej slet ikke indgik i projektet. Et andet forslag var: Spis kun 9 ud af 10? Endelig indgik der i projektet en risikovurdering, hvor eleverne arbejdede videre med den måde, som farlige små tal opererer på. Problemstillingen kan konkretiseres til faren forbundet med madlavning. Hvis man ved, at riskoen for at udvælge et salmonellainficeret æg er 0.01, hvordan vil man så stille sig med hensyn til at spise en æggesnaps? Det synes ikke så overvældende farligt. Hvordan ændrer faren for infektion sig, hvis vi nu skal lave en islagkage og benytte 6 æg, eller 20 æg, eller...? Når æggene i denne fase skal bringes på spiselig form, omsættes til måltider, som hører den virkelige verden til, er det igen vigtigt, at eleverne fra 6. klasse oplever, at vi har fat i opskrifter hentet fra diverse opskriftsbøger. De er lige til at gå til med indhold og anvisning på tilberedningen, hvis man skulle ønske det. Blødkogte æg, koldskål og is med råcreme og det sidste fra 12 til 60 portionsstørrelser. Spørgsmålet er derfor oplagt: tør du have ansvaret for et sådant måltid? Hermed inddrages også overvejelser om de mulige konsekvenser af en risikofyldt handling. Ældre elever skal måske have tingene konkretiseret på en anden måde. Overvejelserne over troværdighed, ansvarlighed og risikovurdering handler ikke blot om beregninger i forhold til salmonellainfektion. Sådanne overvejelser er relevante i mange forskellige sammenhænge, hvor talmæssige oplysninger danner grundlag for beslutninger. På denne måde har vi efterstræbt at give projektet en eksemplarisk værdi. I godt vejr med god solskin kan man fra havnefronten i København skimte Barsebäck. Sandsynligheden, for at der sker et radioaktivt udslip på værket, er meget lille. Der skal helst ikke ske noget i dag. Men der skal jo heller ikke ske en ulykke i morgen, eller i overmorgen... Nok en klog beslutning vore svenske naboer nu har truffet. Note Artiklen er udarbejdet som led i forskningen i Center for Forskning i Matematiklæring, der er oprettet med støtte fra Statens Humanistiske Forskningsråd. Artiklen her bygger specielt på Alrø, Blomhøj, Bødtkjer, Skovsmose og Skånstrøm (2000a). Helle Alrø, lektor i sprog og kommunikation, Institut for Kommunikation, Aalborg Universitet. Morten Blomhøj, lektor i matematikkens didaktik, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Henning Bødtkjer, lærer på Klarup Skole i Nordjyllands Amt. Ole Skovsmose, professor i matematikkens didaktik, Dansk Center for Naturvidenskabs-didaktik, Aalborg Universitet. Mikael Skånstrøm, lærer på Statens pædagogiske Forsøgscenter i Rødovre. HENVISNINGER Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000a): Farlige små tal, Crit (2), 5-9. (På grund af en redaktionel fejl optræder kun et af forfatternavnene i Crit (2)) Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000b): Farlige små tal, Kvan (56), Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000c): Farlige små tal almendannelse i et risikosamfund, Nordisk MatematikkDidaktikk, Årgang 8, nr. 4, NÄMNAREN NR

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Kan det virkelig passe?

Kan det virkelig passe? Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring This page intentionally left blank Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk Evaluering af pilotprojekt Variable tavler for cyklister ved højresvingende lastbiler Forfattere: Michael Bloksgaard, Ingeniør, Århus Kommune mib@aarhusdk Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør,

Læs mere

Matematik Morgener - et udviklingsarbejde. Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm

Matematik Morgener - et udviklingsarbejde. Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm Matematik Morgener - et udviklingsarbejde Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm Vi arbejder på et ønske om at udvikle en praksis, hvor eleverne kan blive optaget af at bruge matematik til at beskrive

Læs mere

På väg mot IT i undervisningen

På väg mot IT i undervisningen På väg mot IT i undervisningen Morten Blomhøj Göte Dahland disputerade i maj 1998 på en avhandling om IT i svensk matematikundervisning, som här anmäls av fakultetsopponenten. Frågeställningar om möjligheter

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011 : Transskription af interview d. 14. december 2011 Interviewer (I) 5 Respondent (R) Bemærk: de tre elever benævnes i interviewet som respondent 1 (R1), respondent 2 (R2) og respondent 3 (R3). I 1: jeg

Læs mere

Kapitel 4. Hash. Andel elever, der har prøvet at ryge hash

Kapitel 4. Hash. Andel elever, der har prøvet at ryge hash Kapitel 4. Hash Selvom hash har været ulovligt i Danmark siden 1953, er det et forholdsvis udbredt stof. Regeringens Narkotikaråd skønner, at det årlige hashforbrug er på over 25 tons eller omregnet i

Læs mere

Læringsstile. er kun en del af løsningen. Af Morten Stokholm Hansen, lektor

Læringsstile. er kun en del af løsningen. Af Morten Stokholm Hansen, lektor Læringsstile er kun en del af løsningen Af Morten Stokholm Hansen, lektor Gauerslund Skole og skoleleder Magnus te Pas blev landskendt i efteråret 2008, da de forsøgte at blive en skole i verdensklasse

Læs mere

Har vi matematik eller hva?

Har vi matematik eller hva? Har vi matematik eller hva? Af Henning Westphael, lektor Kan matematikundervisningen også rumme elementer af medborgerskabsundervisning? Har vi matematik eller hva? Sådan spurgte en elev i forbindelse

Læs mere

Klar til skolestart. Træn trafik med dit barn

Klar til skolestart. Træn trafik med dit barn Træn trafik med dit barn Side 1 Dit barn i trafikken Dit barn skal snart starte i skole, og det betyder en ny fase i livet også i trafikken. I skal måske til at køre en anden og længere vej, end I gør

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

idé og udvælgelse KORT 1 KORT 2

idé og udvælgelse KORT 1 KORT 2 IDÉ OG UDVÆLGELSE idé og udvælgelse I skal nu arbejde videre med jeres problemstiling. Det første I skal gøre for at finde en løsning på jeres problem er at få en masse idéer. Det gør I bedst ved at lave

Læs mere

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Konference om Sporbarhed, den 30. oktober 2008 Emne: Sporbarhed som dokumentation for fødevarekvalitet

Konference om Sporbarhed, den 30. oktober 2008 Emne: Sporbarhed som dokumentation for fødevarekvalitet Tale til Øresund Food Network Konference om Sporbarhed, den 30. oktober 2008 Emne: Sporbarhed som dokumentation for fødevarekvalitet Først og fremmest tak for invitationen. Ministeren er desværre blevet

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år)

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) De pædagogiske processer skal lede henimod, at barnet ved slutningen af vuggestuen med lyst har tilegnet sig færdigheder og viden, som sætter

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Storyline Rejsen. Er er et forslag til en ramme at tænke en storyline ind i. Der findes andre måder at strukturere en storyline på.

Storyline Rejsen. Er er et forslag til en ramme at tænke en storyline ind i. Der findes andre måder at strukturere en storyline på. Storyline Rejsen Er er et forslag til en ramme at tænke en storyline ind i. Der findes andre måder at strukturere en storyline på. Lad være med at lade jer begrænse af denne form!! Denne storyline er udviklet

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Nulpunktsmåling til cykliststrategi

Nulpunktsmåling til cykliststrategi Rådet for Større Færdselssikkerhed Nulpunktsmåling til cykliststrategi Rapport Capacent Epinion 30. december 2008 Indholdsfortegnelse 1 Kort Capacent Epinion...3 2 Baggrund...4 2.1 Indledning...4 3 Frekvenser...5

Læs mere

Man skal være god til at spørge

Man skal være god til at spørge Artikel fra Muskelkraft nr. 1, 2002 Man skal være god til at spørge Som handicaphjælper er Klaus parat med praktisk bistand og psykisk støtte til sin brugers sexliv. Misforståelser kunne være undgået,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Øget risiko For begyndere

Øget risiko For begyndere Øget risiko For begyndere Vi ser det dagligt i medierne: Ny undersøgelse viser 20 % øget risiko for at udvikle (et eller andet ubehageligt eller dødeligt) hvis man (gør noget som Sundhedsstyrelsen eller

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

TV 2 DANMARK A/S Teglholm Allé 16 2450 København SV. Att.: TV 2 Jura

TV 2 DANMARK A/S Teglholm Allé 16 2450 København SV. Att.: TV 2 Jura TV 2 DANMARK A/S Teglholm Allé 16 2450 København SV Att.: TV 2 Jura Radio- og tv-nævnet 29. januar 2013 Sagsnr: 2012-020676 Henrik Bang Nielsen Chefkonsulent, cand.jur. hbn@kulturstyrelsen.dk Direkte tlf.:

Læs mere

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk THE SIMPSONS & 2007 Twentieth Century Fox Film Corporation. All rights reserved. Distribueret i Norden af Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. Made in Ireland www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

Læs mere

Cykel og gå mere til skole

Cykel og gå mere til skole Pjece til forældre om sikker skoletrafik Cykel og gå mere til skole Grundlæg dine børns gode trafikvaner nu Kan du skifte nogle bilture ud med cykel eller gang? Bruger I cykelhjelm? Diskuter trafik på

Læs mere

360 TRIN FOR TRIN. Til hver gruppe skal du bruge: Oversigt over forløbet. Før du går i gang TIL LÆREREN

360 TRIN FOR TRIN. Til hver gruppe skal du bruge: Oversigt over forløbet. Før du går i gang TIL LÆREREN 360 TRIN FOR TRIN TIL LÆREREN Oversigt over forløbet Materialet er designet til at vare en dobbeltlektion: Intro (5-10 minutter) Rammesæt og beskriv forløbet Inddel klassen i grupper Eleverne ser materialet

Læs mere

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014 Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 01 Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Fokusgruppeinterview. Jeg har haft to fokusgruppeinterview

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

KNUDSØSKOLEN, EN LYS OG RUMMELIG SKOLE

KNUDSØSKOLEN, EN LYS OG RUMMELIG SKOLE KNUDSØSKOLEN, EN LYS OG RUMMELIG SKOLE Knudsøskolen er den ene af Ry s to folkeskoler, beliggende ved kanten af Knudsø og omgivet af store grønne arealer. Skolen har 140 elever og er 1-sporet til og med

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara

Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara Roskilde Teknisk Gymnasium Dato 02/04/13 08/05/13 Side 1 af 9 Indhold Problem... 3 Overvejelser... 3 Produkt...

Læs mere

Vejledning til opfølgning på APV og trivselsundersøgelsen 2014 på skolerne

Vejledning til opfølgning på APV og trivselsundersøgelsen 2014 på skolerne Vejledning til opfølgning på APV og trivselsundersøgelsen 2014 på skolerne Kære arbejdsmiljøgruppe I har nu modtaget en rapport med resultaterne af jeres trivselsundersøgelse og en rapport med kommentarerne

Læs mere

FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED

FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED 27-1-2012 KOMMUNIKATION & SAMFUND FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED Roskilde Tekniske Skole, HTX Søren Witek & Christoffer Thor Paulsen Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Problemformulering... 3 Danskernes

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG ØEN 2 E N AF DE FØRSTE DAGE SER jeg hende med en nøgen dreng i hotelhavens indgang. De går gennem skyggen fra de høje daddelpalmer og standser nogle meter fra trappen til

Læs mere

4. VAND I JORDEN RUNDT/LANDFAKTA

4. VAND I JORDEN RUNDT/LANDFAKTA Opgaver til Agent Footprint 4. til 6. klasse Nedenstående findes en oversigt over alle opgaver til materialet Agent Footprint primært tiltænkt elever på mellemtrinnet. Opgaverne er samlet under to temaer:

Læs mere

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game The Board Game 1 Målgruppe Før vi kom på vores spil, havde vi lidt en ide om hvad det ville komme til at blive. Vi så på spillet Cards against humanity og vores spil ville blive lidt som det, da der vil

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Løbende evaluering i kommuner

Løbende evaluering i kommuner Angående Resultater af en spørgeskemaundersøgelse EVA har gennemført en spørgeskemaundersøgelse om løbende evaluering i større danske kommuner. Dette notat præsenterer hovedresultaterne af undersøgelsen.

Læs mere

Sådan bliver du en god "ekstramor" "Sig fra" lyder et af ekspertens råd til, hvordan du nagiverer i din sammenbragte familie.

Sådan bliver du en god ekstramor Sig fra lyder et af ekspertens råd til, hvordan du nagiverer i din sammenbragte familie. Sådan bliver du en god "ekstramor" "Sig fra" lyder et af ekspertens råd til, hvordan du nagiverer i din sammenbragte familie. Af: Janne Førgaard, I lære som ekstramor At leve i en sammenbragt familie er

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

KOMMUNIKATION/IT. Eksamensprojekt MARCUS NIEBUHR OG CHRISTOFFER A. BREVADT. ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Klasse 1.1

KOMMUNIKATION/IT. Eksamensprojekt MARCUS NIEBUHR OG CHRISTOFFER A. BREVADT. ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Klasse 1.1 KOMMUNIKATION/IT Eksamensprojekt MARCUS NIEBUHR OG CHRISTOFFER A. BREVADT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Klasse 1.1 Introduktion Vi har valgt at tage udgangspunkt i case 2 affaldshåndtering, og som fokuspunkt

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Faktion: kapitel om reklameanalyse. Overblik over teksten

Faktion: kapitel om reklameanalyse. Overblik over teksten Faktion: kapitel om reklameanalyse Det skal bare sælge om at analysere reklamer Verden er fuld af reklamer. Der er reklamer i blade og aviser, på internettet og i fjernsynet. Når vi venter på en bus, er

Læs mere

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys)

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys) Innovationsprojekt Gruppen Emma, Frida, Isabella, Martin & Sabine Ideen Vores ide går ud på at nytænke lyskurven. Lyskurven blev opfundet for over 150 år siden og har ikke skiftet design siden, selvom

Læs mere

CBR-club Denmark. De grundliggende principper. Den blå pil illustrerer i det følgende vores kørselsretning. Den røde prik illustrerer vejviseren

CBR-club Denmark. De grundliggende principper. Den blå pil illustrerer i det følgende vores kørselsretning. Den røde prik illustrerer vejviseren CBR-club Denmark Når vi er mange motorcykler der er ude at køre sammen, har det vist sig, at den nemmeste måde at holde styr på flokken, at få alle med, er at bruge den gruppekørsel-metode, hvor 2. køreren

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Cykelhandler projekt KOM / IT

Cykelhandler projekt KOM / IT 2015 Cykelhandler projekt KOM / IT Indhold Indledning... 2 Tidsplan... 2 Fase 1 - Problemanalyse... 3 Informations problem... 3 Markedsundersøgelse... 3 Analyse af deres eksisterende medieprodukter...

Læs mere

Blå pudder. Et manuskript af. 8.A, Lundebjergskolen

Blå pudder. Et manuskript af. 8.A, Lundebjergskolen Blå pudder Et manuskript af 8.A, Lundebjergskolen Endelig gennemskrivning, 16. Sept. 2010 SC 1. INT. I KØKKENET HOS DAG (14) sidder på en stol ved et to mands bord i køkkenet. Hun tager langsomt skeen

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Denne folder er lavet af Skøn Skole - som inspiration til skoler, efterskoler, gymnasier mv. f.eks. som tværfagligt emneugeforløb.

Denne folder er lavet af Skøn Skole - som inspiration til skoler, efterskoler, gymnasier mv. f.eks. som tværfagligt emneugeforløb. Denne folder er lavet af Skøn Skole - som inspiration til skoler, efterskoler, gymnasier mv. f.eks. som tværfagligt emneugeforløb. Skøn Skole giver jer gratis hjælp til selvhjælp. Alt materiale på hjemmesiden

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Alle er med:-) www.spilcricket.dk. Spil og lege vejledning

Alle er med:-) www.spilcricket.dk. Spil og lege vejledning Spil og lege vejledning Cricketrundbold I skal bruge: Et gærde, et bat, en blød skumbold, en gul top og 3 kegler. Start med at stille banen op. Placer gærdet, så der er god plads foran det. Sæt den gule

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6.

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. klasse Indhold Indledning 3 Undervisningsforløbet 4 Mål for forløbet

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

DR DR Byen Emil Holms Kanal 20 0999 København C. Att.: Juridisk Politisk Sekretariat

DR DR Byen Emil Holms Kanal 20 0999 København C. Att.: Juridisk Politisk Sekretariat DR DR Byen Emil Holms Kanal 20 0999 København C Att.: Juridisk Politisk Sekretariat RADIO- OG TV-NÆVNET 5. juli 2010 Sagsnr: 2009-012920 Ulrike Clade Christensen Fuldmægtig, cand.jur. ucc@bibliotekogmedier.dk

Læs mere

Opret CFU-kursusevaluering i Survey Xact

Opret CFU-kursusevaluering i Survey Xact Printvenlig side for Forsidetekst Opret CFU-kursusevaluering i Survey Xact www.survey-xact.dk Oprettelsen af en kursusevaluering består af flg. trin: 1. Oprettelse af spørgeskema ud fra en skabelon 2.

Læs mere

Kommunikation for Livet. Uddannelse til Fredskultur 3 eksempler. Her gives nogle eksempler på anvendelse af IVK i praksis (alle navne er ændrede):

Kommunikation for Livet. Uddannelse til Fredskultur 3 eksempler. Her gives nogle eksempler på anvendelse af IVK i praksis (alle navne er ændrede): Uddannelse til Fredskultur 3 eksempler Her gives nogle eksempler på anvendelse af IVK i praksis (alle navne er ændrede): Uddannelse til fredskultur Første eksempel Anna på 5 år kommer stormende ind til

Læs mere

Sundhedsforsikringer ANALYSE-BUREAU I ANALYSE DANMARK PUBLICERET I UGEBREVET A4 I NR.: 10/2008, 11/2008, 12/2008

Sundhedsforsikringer ANALYSE-BUREAU I ANALYSE DANMARK PUBLICERET I UGEBREVET A4 I NR.: 10/2008, 11/2008, 12/2008 Sundhedsforsikringer Undersøgelsen er foretaget blandt 2.264 personer og danner baggrund for denne række af artikler: - Kun 18 % ser det ikke som et problem, at nogle kan springe over andre i køen til

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl. 9.00-13.00. hhx142-mat/b-18082014

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl. 9.00-13.00. hhx142-mat/b-18082014 Matematik B Højere handelseksamen hhx142-mat/b-18082014 Mandag den 18. august 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere