Hvorfor skal det være sådan noget

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvorfor skal det være sådan noget"

Transkript

1 H.ALRØ, M. BLOMHØJ, H. BØDTKJER, O. SKOVSMOSE & M. SKÅNSTRØM Farlige små tal helt konkret Från Danmark kommer denna artikel som visar hur tomma filmburkar och centikuber kan illustrera sannolikheten för att ett ägg innehåller salmonellabakterier. Här diskuteras bl a efter datorsimulering vad det innebär att ta stickprov och konsekvenser för vardagslivet. Hvorfor skal det være sådan noget ubehageligt noget, spørger Marc og peger på den væltede cykel, der ligger midt i klassen oven på det røde kryds. Det røde kryds har været malet på asfalten i trafikken på de steder, hvor en cyklist er blevet kørt ned af en bilist typisk der hvor cykelsti og vej bliver til ét, fordi der er en sidevej eller et vejkryds. Selv om vi ved, der er en risiko ved at cykle, er det langt fra noget, vi tænker over hver dag. Strejfer tanken os alligevel, slår vi det hen der sker nok alligevel ikke noget, risikoen er i hvert fald lille. Så lille at vi er parat til at løbe den. Men udsætter vi os for den samme risiko dag efter dag efter dag, så stiger muligheden for, at vi på et eller andet tidspunkt bliver ramt. Ikke at den på et tidspunkt bliver 100 %, men den vokser hurtigere end den matematiske intuition umiddelbart siger os. Det meget lille tal udvikler sig til noget farligt! Helle Alrø, Morten Blomhøj, Henning Bødtkjer, Ole Skovsmose och Mikael Skånstrøm arbetar vid Center for Forskning i Matematiklæring, inrättat med stöd från Statens Humanistiske Forskningsråd Se blot her: Vi forestiller os, at risikoen for at køre galt på cykel på vej til skole hver dag er en del. Det svarer til 0,0001. Chancen for at det går godt er så 1 0,0001 = 0,9999, som er det samme som 99,99%. Ved at regne på chancen for at det går godt, får vi et skema som dette: Det, der startede som en lillebitte risiko, udviklede sig altså til en risiko på 1,8 % for at køre galt på vej til skole i løbet af et skoleår. Den er jo bestemt ikke ligegyldig, men umiddelbart vil eleverne ikke acceptere dette forhold. Kan jeg ikke bare starte forfra hver dag? spørger Tobias. Så skal jeg ikke være oppe at flyve sammen med nogen, der har prøvet det 100- vis af gange, siger Sara. Der kræves en overbevisende lærerindsats for at få elever (og voksne?) med på den tankegang, at sandsynligheden, for at noget går galt på et eller andet tidspunkt, 40 NÄMNAREN NR

2 Det går godt Det går galt 1 dag: 0,9999 = 99,99 % 0,0001 = 0,01% 2 dage: (0,9999) 2 = 99,98 % 0,0002 = 0,02 % 5 dage: (0,9999) 5 = 99,95 % 0,0005 = 0,05 % 20 dage: (0,9999) 20 = 99,80 % 0,0020 = 0,2 % 200 dage: (0,9999) 200 = 98,02 % 0,018 = 1,8 % vokser med antallet af gange man tænker sig udsat for den samme lille risiko. Det er en alvorlig begrebsmæssig vanskelighed, at sådanne sandsynligheder afhænger af udgangspunktet. Efter at have klaret det første halve skoleår uden uheld er chancen, for det går godt hele året, jo allerede blevet meget større, selvom risikoen for uheld den næste dag er den samme som den forrige dag. Måske burde historien have startet et andet sted med en mere positiv udgave af tankegangen: chancen for at slå en 6 er med en almindelig terning. Chancen for at slå en 6 er med en terning er jo 1/6. Derfor er chancen for ikke at slå en 6 er 1 1/6 = 5/6. Chancen for at slå to 6 ere med to terninger er 1/6 x 1/6 = 1/36. Tilsvarende er chancen for ikke at slå en 6 er med nogen af de to terninger 5/6 x 5/6 = 25/36. Der er altså ikke en 6 er i 25 af de 36 tilfælde. Der er altså mindst én 6 er i 11 af slagene. Beregningerne her kan understøttes af et skema med de 36 udfald. Her kan man optælle de 11 kombinationer, hvor der forekommer 1 eller 2 seksere. 1\ x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x x x x x Figur 1: De mulige udfald ved kast med to terninger. De 25 (5 x 5) blanke felter er de udfald, hvor en sekser ikke forekommer. Denne tanke fastholdes, når vi kaster flere og flere terninger. De fleste vil sikkert forstå, at jo flere terninger vi kaster, jo større er sandsynligheden for, at der er mindst en 6 er imellem. Kaster vi f.eks. tre terninger, er sandsynligheden, for at hver af dem viser noget andet end seks, 5/6. Sandsynligheden, for at ingen af dem viser seks, er derfor (5/6) 3 = 0,58, når vi antager, at terningernes udfald er uafhængige af hinanden. Dermed kan sandsynligheden, for at mindst en af dem viser seks, beregnes som 1 0,58 = 0,42 = 42%. I skemaet kan vi se, at denne sandsynlighed hurtigt vokser med antallet af terninger, vi kaster. Ikke én 6 er Mindst én 6 er 1 terning 5/6 = 83 % 1/6 = 17 % 2 terninger (5/6) 2 = 69 % 1 (5/6) 2 = 31 % 3 terninger (5/6) 3 = 58 % 1 (5/6) 3 = 42 % 4 terninger (5/6) 4 = 48 % 52 % 5 terninger 40 % 60 % 10 terninger 16 % 84 % 100 terninger 0, % 99,9999 % NÄMNAREN NR

3 Tilbage til cyklen på krydset. Inden dette resultatet fra terningkastene kan tolkes i forhold til, hvor farligt det er at køre på cykel, er det imidlertid nødvendigt at overveje, om de mange gentagne cykelture kan beskrives som uafhængige hændelser med samme risiko for uheld, og selvfølgelig hvor stor denne risiko kan tænkes at være. Den sandsynlighed vi fastsatte var tilfældig, men dog så stor, at det gav mening at regne med den lige fra dag 1. I klasserne udviklede der sig en snak om, at man jo ikke kunne sige præcis, hvad sandsynligheden er, og at den er forskellig fra person til person. Og at den er afhængig af afstanden til skole, af den rute man kører, af cyklistens alder, af om færdselsreglerne overholdes osv. Efter sådanne samtaler med klasser var der trods alt ingen elever, der ville lade være med at cykle, men Tanja bekendtgjorde, at i fremtiden ville hun dreje udenom de røde krydser! Hun blev stærkt opfordret til at køre højre om og ikke ud på kørebanen. Stikprøver Næsten hver eneste uge kan man læse i avisen, hvordan det står til med tilslutningen til de politiske partier, når Gallup, Vilstrup, Observa og andre foretager en stikprøve blandt befolkningen med spørgsmålet: Hvad ville De stemme på, hvis der var valg i morgen? De adspurgte er udvalgt efter en metode, der så vidt muligt sikrer en bredde med hensyn til alder, køn, job osv. Da der er tale om en stikprøve vil de forskellige analyseinstitutter formentlig komme ud med enighed om tendenser, men med forskellige resultater i tallene og procenterne. Det endelige resultat ved selve valget eller folkeafstemningen har ofte vist sig en del forskellig fra meningsmålingerne. I Bilka kan man købe elpærer i mange forskellige udgaver. Forskellige former, store og små gevind, fra 25 watt og opefter. Vi kan vel ikke forestille os, at hver eneste af de tusindvis af pærer er testet? Og der kan vel stadig være nogle, der ikke har overlevet pakning, transport og oplægning på supermarkedets hylder. Eller hvad med Legoklodser har nogen oplevet at få en, der ikke passede? Det havde Lars i hvert fald aldrig, og i øvrigt er det muligt at teste elpærerne på en anordning i forretningen, så man er sikker på, at den virker. Er det så også muligt at teste dem her? smiler læreren (triumferende) og holder en pakke kondomer op? Eleverne fniser. Men vi er jo nødt til at tro på, at de varer, vi køber, er i orden at pærerne og kondomerne virker som de skal, at vinen og chokoladeskildpadderne smager godt, selv om ikke hver eneste af dem er testet i forvejen. Men hvorfor skal vi tro på det? Katrine kan det magiske ord: Stikprøve! Man tager stikprøver, og hvis de er i orden, regner man med, at resten også er det. Man kan jo ikke andet!? Troværdighed Indkøbsvognen er fyldt med sorte fotohylstre dem man køber film i. I hvert hylster er der anbragt en centicube. I langt de fleste tilfælde er centicuben gul, men der findes også et antal blå. Fotohylstrene omdøbes til at være æg, og de farvede centicubes til æggeblommer. De gule er sunde blommer, de blå er salmonellainficerede. Og selv om vi godt ved, at salmonella hovedsagelig findes på skallen, accepterer alle elever omstændighederne, og fra nu af kaldes den særegne konstruktion blot æg. (De brugte hylstre var skaffet ved henvendelser til fotohandlere, fotolaboratorier og Kodak.) Vi planlagde at salmonella-problemer skulle være omdrejningspunktet i vores projekt, fordi vi mente, at det kendte alle eksistensen af. Måske havde nogle af eleverne endog personlige oplevelser eller erfaringer med problemet. Men vi tænkte ikke på, at ulykkelige omstændigheder skulle aktualisere problemstillingen. En famøs kiksekage kostede mellem jul og nytår to mennesker livet, fordi der var salmonella i de anvendte æg. 42 NÄMNAREN NR

4 Nu stod indkøbsvognen altså der fyldt med 450 æg. Så blev der hældt 50 salmonellabefængte æg oveni. Procenten på 10 % var altså kendt i dette forsøg. Hver gruppe, som bestod af fire elever, skulle tage en stikprøve på 10 æg en æggebakke og undersøge dem for salmonella. Resultatet skulle noteres, æggene lægges tilbage og en ny stikprøve foretages. Det blev gjort i alt fem gange af hver gruppe og resultaterne blev noteret på tavlen: I alt % Gr. I Gr. II Gr. III Gr. IV Gr. V Figur 2: Resultater af gruppernes stikprøver. Der var tydelig forskel på de forskellige stikprøver. Gruppe IV mente, de havde klaret sig bedst, fordi de ramte de forventede 10%. Gruppe V syntes, det var flot af dem at finde så mange salmonellaæg. Det sidste var læreren nu ikke så sikker på og tror stadig, at de snød! Forsøget viste, at det at tage stikprøver kan give forskellige udfald. Stikprøver opfører sig ikke som forventet. Og det ændrer ikke på situationen hvis vi, som en elev foreslog, gentager hele proceduren. Det fandt et par elever temmelig frustrerende at vi her beskæftigede os med noget matematik uden et umiddelbart rigtigt facit. Det paradoksale er, som en elev bemærkede, at metoden er korrekt, men resultatet upålideligt. Men hvor stor er sandsynligheden for at få et æg med salmonella i en bakke? Hvor mange stikprøver skal der egentlig til? spørger eleverne nysgerrigt. Det første spørgsmål er forholdsvis nemt at svare på. Med reference til cykeluheld og terningekast kan chancen for at få mindst et æg med salmonella i en 10-stikprøve udregnes til 1 0,910 = 65 %. Det andet spørgsmål kræver en computer. Salmonella Skriv sandsynligheden for salmonella i eet æg i celle b3 risiko 0,1 Tast F9 for ny udtagning af 10 stikprøver nulstil 1 Skriv 0 i celle b4 for at nulstille Skriv 1 i celle b4 for simulering blå æg i blå æg i blå æg iblå æg i æg nr sum 10-bak. 10-bak. 10-bak.10-bak. 1. stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve stikprøve Antal prøver100 blå æg i serien105 Sum frekvens i serien10,5 Frekvens Figur 3:Viser et regneark, der kan simulere stikprøveudtagning. Det er her gengivet i en situation, hvor der er udtaget 100 stikprøver bestående af hver 10 æg. Resultaterne af de sidste 10 stikprøver er angivet i den venstre del af arket. Til højre ses, hvor mange 10 stk. bakker, der har indeholdt henholdsvis 0, 1, 2 og 3 salmonellaæg. I bunden af arket ses frekvenserne i procent. NÄMNAREN NR

5 Regnearket simulerer stikprøveudtagning ved hjælp af en indbygget funktion, der giver et ligefordelt tilfældigt tal mellem 0 og 1, hver gang den kaldes. Hver gang der trykkes på F9, kaldes denne funktion fra hver af de 100 celler i regnearkets venstre side, svarende til at der udtages 10 stikprøver af 10 æg hver. Når risikoen sættes til 10% vil tal mellem 0 og 0,1 give salmonella og dette repræsenteres med et 1-tal i den pågældende celle. Tal større end eller lig med 0,1 betyder ingen salmonella og dette repræsenteres med et 0. I højre side af arket opsummeres, hvor mange stikprøver, der har haft henholdsvis 0, 1, 2 eller 3 salmonellaæg. Og i de to nederste linier er de tilsvarende summer og frekvenser beregnet. I eksemplet er der udtaget 100 stikprøver (i alt 1000 æg). Fordelingen i hver af de 10 æggebakker ses i venstre side af arket. Søjlen sum angiver antallet af inficerede æg i de 10 bakker, og nederst kan man se, at der er fundet i alt 105 inficerede æg i det samlede antal stikprøver. Det giver en frekvens på 10,5%. I alt har 29% af stikprøverne vist sig salmonellafrie, der har været salmonella i et enkelt æg i 41% af tilfældene, i 2 æg i 26% osv. Ved at køre programmet nogle gange erfarede eleverne, at et tal på omkring 35% for andelen af salmonellafri stikprøver synes rimeligt. Eleverne erfarede også at, når de blev ved med at trykke på F9-tasten længe nok, stabiliserede tallene sig. Konklusionen på forsøget med æg fra indkøbsvogn og simulation på computer måtte derfor blive, at stikprøver fortæller noget om en helhed, men ikke nødvendigvis hele sandheden. Og det er altså stadigvæk irriterende, sagde Stig. Helt konkret Hvis vi i folkeskolen skal engagere eleverne i det liv, som rører sig uden for skolen, er det vigtigt, at vi er så sandfærdige, som undervisningen i klasselokalet giver mulighed for. Der har været flere klasser fra 6. til 9. klasse involveret i projektet Farlige små tal. Dette giver forskellige udfordringer til konkretisering af problemstillingerne. På den ene side optræder farlige små tal i en række samfundsmæssige situationer, f.eks. risikovurderinger i forhold til atomkraft. Men realistisk matematik behøver ikke at være konkret, set med elevernes øjne. Det er derfor vigtigt at reelle problemstillinger eksemplificeres og illustreres i undervisningen. Det må gerne ske på en sådan måde, at eleverne kan gennemskue den pædagogiske konkretisering og samtidig drage nytte af denne konkretisering. Der er naturligvis stor forskel på, hvordan det kan gøres på forskellige klassetrin. Der skal bruges mange æg i forbindelse med salmonellaundersøgelsen, og de skal kunne undersøges for evt. forekomst af salmonella. Det er muligt i det professionelle laboratorium at foretage en undersøgelse af æg, men i matematiktimen må et system til effektiv afprøvning betyde noget andet. Det skal være et system, som gør det let at undersøge æg, og der skal kunne fremskaffes mange æg. Sorte fotohylstre kan opfylde begge disse krav. Fotoforhandlerne kasserer dem i stor stil, hver gang en kunde indleverer en film til fremkaldelse. At fotohylstrene kan åbnes betyder, at der kan anbringes noget indeni, som fortæller, om der er salmonella eller ej. Hos os var det gule og blå centicubes. Nu er grundlaget på plads for en række eksperimenter med æggene. Alle kan deltage og registrere, hvad det er for æg, de finder i deres undersøgelse. Gul centicube sundt æg, blå centicube salmonellaæg. Fotohylstrene bliver hurtigt til æg i børnenes fantasi. Eleverne i 6. klasse kunne fint foretage stikprøveundersøgelser, og alle kunne på grundlag af disse udtale sig om den sending æg, de havde med at gøre. Det var bemærkelsesværdigt at se, at nogle grupper ret hurtigt kunne komme med udtalelser på grundlag af deres stikprøver, andre, og det er særligt interessant, fortsatte stikprøveudtagelserne omhyggeligt over en lang periode og registrerede resultater undervejs 44 NÄMNAREN NR

6 uden at komme med tolkninger. Disse normalt lidt tilbageholdende elever, havde det fint med at kunne være med i processen, og i samtalen med læreren var der grundlag for kvalificerede udtalelser om æggenes kvalitet. Det er i kontakten med de tavse og forsigtige børn, at konkretiseringen især viser sin store styrke. Ved at eleven har nogle konkrete handlinger at udføre, iagttage og italesætte, får læreren muligheden for langt mere kvalificeret at skyde sig ind på, hvor eleven befinder sig. Hvad er det eleven foretager sig, og hvorfor gør han eller hun det? Læreren kan lege med og sideløbende få en dialog i gang med eleven. Dermed er en lærers største frustration, et tavst barn, minimeret betydeligt. Der er etableret en indgangsmulighed til barnets oplevelse og forståelse. Konkretisering handler således ikke blot om at tydeliggøre en problemstilling, men også om at gøre det muligt for eleverne at tydeliggøre og synliggøre deres tanker og arbejdsstrategier. Pludselig bliver der noget mere at snakke om. Med hensyn til ældre elever kan konkretisering af æg med fotohylstre stadig fungere, men måske mest som en illustrativ igangsætter. Fotohylstre kan opleves som barnagtige. Vi oplevede således, at de ældre elever blev optaget af sagen på en ny måde, da de fik mulighed for at udtage stikprøver via en computer. Dette betyder imidlertid ikke, at fotohylstrene har været overflødige. De har netop kunnet formidle problemstillingen til et mere operationelt og effektivt computerniveau. Og gerne eksemplarisk Konkretisering i matematikundervisningen er en betydningsfuld aktivitet. Her ser vi som sagt ikke på konkretisering af abstrakte matematiske problemstillinger, men på en pædagogisk konkretisering af problemstillinger, hvor matematik benyttes uden for skolen, og hvor den samfundsmæssige brug og funktion ikke fremtræder klart. I matematikdidaktisk forskning har man talt om, at matematik er indbygget i en række af samfundets teknologiske funktioner, at matematik er frosset i teknologien, at den matematiske tænkning står bag en teknologisk praksis osv. Den række af beslutninger, der træffes med henvisning til statistiske sammenhænge er et eksempel herpå. Og netop i den forbindelse optræder der spørgsmål angående stikprøver. Et væsentligt spørgsmål er, om en stikprøve eller et talmæssigt udtryk generelt kan udtale sig troværdigt om en vis sammenhæng. Netop spørgsmålet om troværdighed har vi prøvet at trække frem i eksemplet. Et andet element, som vi ikke har beskrevet ovenfor, men som indgik i projektet handlede om ansvarlighed. Hermed henviser vi til handlinger, der udføreres på grundlag af talmæssige overvejelser. I projektet fik eleverne således til opgave at beslutte, hvilken type æg de som grossister ønskede at købe. De to blandinger af æg, de kunne vælge imellem, havde hver især et ukendt salmonellaindhold. Derfor ville en kvalitetsundersøgelse komme på tale. Men hvor mange stikprøver skulle der udvælges, inden man kunne træffe et valg? Jo flere stikprøver der blev udvalgt, des dårlige blev mulighederne for at opnå en pæn fortjeneste, for æg åbnet i salmonellakontrollen kan ikke sælges videre, og selve kontrollen er også bekostelig. Samtidig blev eleverne bedt om at udarbejde forslag til en varedeklaration, der skulle skrives på æggebakkerne. Eleverne fra 6. klasse gik til denne opgave med stort engagement. Det er i denne sammenhæng af stor betydning for engagementet, at deklarationen (hvad man tør sige om æggene) skrives på rigtige æggebakkekartoner. Dermed er eleverne igen i virkelighedens verden. Det ses blandt andet ved, at nogle vælger at beskrive æggenes kvalitet på forsiden af æggebakken, andre, der går mere i detaljer, skriver på indersiden, altså når æggebakken er åbnet og skal i brug. Vi er dermed også kommet et muligt skridt nærmere ansvarligheden, når det, der skrives, kan læses på den bakke, som eleverne reelt oplever NÄMNAREN NR

7 hos købmanden og hjemme på køkkenbordet. Eleverne fra 9. klasse havde en mere kynisk holdning til tingene. Nogle foreslog, at man kunne skrive økologiske æg på pakken selv om spørgsmålet om økologiske æg eller ej slet ikke indgik i projektet. Et andet forslag var: Spis kun 9 ud af 10? Endelig indgik der i projektet en risikovurdering, hvor eleverne arbejdede videre med den måde, som farlige små tal opererer på. Problemstillingen kan konkretiseres til faren forbundet med madlavning. Hvis man ved, at riskoen for at udvælge et salmonellainficeret æg er 0.01, hvordan vil man så stille sig med hensyn til at spise en æggesnaps? Det synes ikke så overvældende farligt. Hvordan ændrer faren for infektion sig, hvis vi nu skal lave en islagkage og benytte 6 æg, eller 20 æg, eller...? Når æggene i denne fase skal bringes på spiselig form, omsættes til måltider, som hører den virkelige verden til, er det igen vigtigt, at eleverne fra 6. klasse oplever, at vi har fat i opskrifter hentet fra diverse opskriftsbøger. De er lige til at gå til med indhold og anvisning på tilberedningen, hvis man skulle ønske det. Blødkogte æg, koldskål og is med råcreme og det sidste fra 12 til 60 portionsstørrelser. Spørgsmålet er derfor oplagt: tør du have ansvaret for et sådant måltid? Hermed inddrages også overvejelser om de mulige konsekvenser af en risikofyldt handling. Ældre elever skal måske have tingene konkretiseret på en anden måde. Overvejelserne over troværdighed, ansvarlighed og risikovurdering handler ikke blot om beregninger i forhold til salmonellainfektion. Sådanne overvejelser er relevante i mange forskellige sammenhænge, hvor talmæssige oplysninger danner grundlag for beslutninger. På denne måde har vi efterstræbt at give projektet en eksemplarisk værdi. I godt vejr med god solskin kan man fra havnefronten i København skimte Barsebäck. Sandsynligheden, for at der sker et radioaktivt udslip på værket, er meget lille. Der skal helst ikke ske noget i dag. Men der skal jo heller ikke ske en ulykke i morgen, eller i overmorgen... Nok en klog beslutning vore svenske naboer nu har truffet. Note Artiklen er udarbejdet som led i forskningen i Center for Forskning i Matematiklæring, der er oprettet med støtte fra Statens Humanistiske Forskningsråd. Artiklen her bygger specielt på Alrø, Blomhøj, Bødtkjer, Skovsmose og Skånstrøm (2000a). Helle Alrø, lektor i sprog og kommunikation, Institut for Kommunikation, Aalborg Universitet. Morten Blomhøj, lektor i matematikkens didaktik, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Henning Bødtkjer, lærer på Klarup Skole i Nordjyllands Amt. Ole Skovsmose, professor i matematikkens didaktik, Dansk Center for Naturvidenskabs-didaktik, Aalborg Universitet. Mikael Skånstrøm, lærer på Statens pædagogiske Forsøgscenter i Rødovre. HENVISNINGER Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000a): Farlige små tal, Crit (2), 5-9. (På grund af en redaktionel fejl optræder kun et af forfatternavnene i Crit (2)) Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000b): Farlige små tal, Kvan (56), Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M. (2000c): Farlige små tal almendannelse i et risikosamfund, Nordisk MatematikkDidaktikk, Årgang 8, nr. 4, NÄMNAREN NR

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Kan det virkelig passe?

Kan det virkelig passe? Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring This page intentionally left blank Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Kunne det tænkes? Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) - om matematiklæring

Kunne det tænkes? Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) - om matematiklæring Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kunne det tænkes? - om matematiklæring Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kunne det tænkes? - om matematiklæring Helle Alrø Morten Blomhøj Henning Bødtkjer Iben

Læs mere

Lærervejledning til filmen

Lærervejledning til filmen Drengen der ikke kunne blive bange Lærervejledning til filmen Drengen der ikke kunne blive bange Indhold I. Filmens handling II. Om det gamle folkeeventyr III. De tre prøver i trafikken IV. Fakta om cykelulykker

Læs mere

Marte Meo metoden anvendt i en pårørendegruppe til demente.

Marte Meo metoden anvendt i en pårørendegruppe til demente. Marte Meo metoden anvendt i en pårørendegruppe til demente. På et møde for pårørende blev der stillet følgende spørgsmål: Når vi besøger vores nære på plejehjemmet, er det for at glæde dem og se hvordan

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Sådan bevarer du kraften i dit parforhold

Sådan bevarer du kraften i dit parforhold Sådan bevarer du kraften i dit parforhold Hvad enten du er eller har været i parforhold i kortere eller længere tid, kan du her søge gode råd om, hvordan du får et bedre eller bevarer dit parforhold. Vores

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet:

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet: Lærervejledning Få ord på trafikken! Har jeres skole en trafikpolitik? Hvis ikke, kan et spil TrafikPanik være det første skridt. Her kan du læse om spillet, og hvordan du bruger det i trafikundervisningen.

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Den vanskelige samtale

Den vanskelige samtale Den vanskelige samtale Et arbejdsmateriale til den vanskelige samtale 1 Hvorfor er samtalen vanskelig? Din selvtillid Metoden Din fantasi Manglende tro på, at tingene bliver ændret Ingen klare mål for,

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller.

Læs mere

Bilag 6: Transskribering blogforbruger Sofie

Bilag 6: Transskribering blogforbruger Sofie Bilag 6: Transskribering blogforbruger Sofie Dato for interview: 26. juli 2016 Lokation: København Varighed: 13 min Transskriberingen bygger på Steinar Kvales teori om grov transskribering, hvor tænkepauser,

Læs mere

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er 46.440 personer der

Læs mere

TANKE-EKSPERIMENTER:

TANKE-EKSPERIMENTER: TANKE-EKSPERIMENTER: Samfundsfilosofisk og etisk tema Til læreren Som vejledende tidsforbrug er dette tema sat til at fylde 2 moduler á to lektioner det kan dog afhænge af fordybelsesgraden ved de forskellige

Læs mere

Matematikkens filosofi filosofisk matematik

Matematikkens filosofi filosofisk matematik K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 7. Emne: Sund og stærk HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 7 Emne: Sund og stærk side 1

Kursusmappe. HippHopp. Uge 7. Emne: Sund og stærk HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 7 Emne: Sund og stærk side 1 Uge 7 Emne: Sund og stærk Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 7 Emne: Sund og stærk side 1 HIPPY HippHopp Uge7_sund og stærk.indd 1 06/07/10 11.24 Uge 7 l Sund og stærk Det er tidligt

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

1 Problemformulering CYKELHJELM

1 Problemformulering CYKELHJELM 1 Problemformulering I skal undersøge hvor mange cyklister, der kommer til skade og hvor alvorlige, deres skader er. I skal finde ud af, om cykelhjelm gør nogen forskel, hvis man kommer ud for en ulykke.

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Lærerguide. Lær om trafikken med Brumbassen

Lærerguide. Lær om trafikken med Brumbassen Lærerguide Lær om trafikken med Brumbassen Lær om trafikken med Brumbassen At kunne begå sig i trafikken er så vigtigt, at det er skrevet ind som en af de kompetencer, folkeskolen skal være med til at

Læs mere

Borgertilfredshedsundersøgelse Virksomheden. 3. kvartal 2013

Borgertilfredshedsundersøgelse Virksomheden. 3. kvartal 2013 Borgertilfredshedsundersøgelse Virksomheden 3. kvartal 2013 Magnus B. Ditlev Direkte tlf.: 20 14 30 97 MagnusBrabrand.Ditlev@silkeborg.dk Staben Job- og Borgerserviceafdelingen Søvej 1, 8600 Silkeborg

Læs mere

Excel-2: Videre med formler

Excel-2: Videre med formler Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH)

Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH) 1 Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH) Hej Maja velkommen her til FH. Jeg vil gerne interviewe dig om dine egne oplevelser, det kan være du vil fortælle mig lidt om hvordan du

Læs mere

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014 Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 01 Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Fokusgruppeinterview. Jeg har haft to fokusgruppeinterview

Læs mere

Transportformer og indkøb

Transportformer og indkøb Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

De spanske medier og arbejdsløsheden. - Hvordan dækker de en af landets største kriser?

De spanske medier og arbejdsløsheden. - Hvordan dækker de en af landets største kriser? De spanske medier og arbejdsløsheden - Hvordan dækker de en af landets største kriser? Jeg ankom til Madrid den 14. november 2012 og blev mødt af demonstrationer, lyden af megafoner og graffiti malet over

Læs mere

HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003

HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003 HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003 DEN LILLE FARTOVERSKRIDELSE Trafikulykker koster hvert år et stort antal døde og kvæstede. Og modsat hvad man måske skulle tro, så kan de mindre forseelser alt for nemt få et tragisk

Læs mere

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011 : Transskription af interview d. 14. december 2011 Interviewer (I) 5 Respondent (R) Bemærk: de tre elever benævnes i interviewet som respondent 1 (R1), respondent 2 (R2) og respondent 3 (R3). I 1: jeg

Læs mere

Meningsmålinger - hvad kan vi sige med sikkerhed?

Meningsmålinger - hvad kan vi sige med sikkerhed? Meningsmålinger - hvad kan vi sige med sikkerhed? af Kenneth Madsen - søndag, oktober 28, 2012 http://www.opensamf.dk/2012/10/meningsmalinger-hvad-kan-vi-sige-med-sikkerhed/ Jeg vil i dette indlæg præsentere

Læs mere

Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne

Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne Kilde: Mindfulness Mark Williams & Danny Penman At skifte perspektiv Du sidder på en bakketop

Læs mere

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game

ZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game The Board Game 1 Målgruppe Før vi kom på vores spil, havde vi lidt en ide om hvad det ville komme til at blive. Vi så på spillet Cards against humanity og vores spil ville blive lidt som det, da der vil

Læs mere

N. KOCHS SKOLE Skt. Johannes Allé Århus C Tlf.: Fax:

N. KOCHS SKOLE Skt. Johannes Allé Århus C Tlf.: Fax: N. KOCHS SKOLE Skt. Johannes Allé 4 8000 Århus C Tlf.: 87 321 999 Fax: 87 321 991 e-mail: kochs@kochs.dk www.kochs.dk Trøjborg d. 27. juni 2008 Kære 9. årgang. Vi skal sige farvel til jer og I skal sige

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Men lidt om de problematikker, vi vil møde i den nærmeste fremtid. Vi skal finde en løsning til hvordan hun kan komme frem og tilbage til skolen.

Men lidt om de problematikker, vi vil møde i den nærmeste fremtid. Vi skal finde en løsning til hvordan hun kan komme frem og tilbage til skolen. Fra: Rita Vinter Emne: Sarah Dato: 7. okt. 2014 kl. 21.59.33 CEST Til: Janni Lærke Clausen Hej Janni. Jeg vil lige fortælle lidt om Sarah, inden du møder

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Computerspil dokumentation. Dokumentation af spillet Rescue Me

Computerspil dokumentation. Dokumentation af spillet Rescue Me Computerspil dokumentation Dokumentation af spillet Rescue Me Indholdsfortegnelse Formål... 3 Indledning... 3 Design... 4 Planlægning... 5 Fremgangsmåde... 6 Målgruppen... 8 Et lærerigt spil... 10 Styring

Læs mere

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk Evaluering af pilotprojekt Variable tavler for cyklister ved højresvingende lastbiler Forfattere: Michael Bloksgaard, Ingeniør, Århus Kommune mib@aarhusdk Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør,

Læs mere

Et afgørende valg året 2007

Et afgørende valg året 2007 Et afgørende valg året 2007 Det er gået fint. Du havde otte flotte æg. Vi har befrugtet dem med din mands sæd, og de har alle delt sig. Tre af dem har delt sig i fire. Du kan få sat to af de æg op i dag.

Læs mere

TALEPAPIR DET TALTE ORD GÆLDER

TALEPAPIR DET TALTE ORD GÆLDER Ligestillingsudvalget 2016-17 LIU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 1 Offentligt TALEPAPIR DET TALTE ORD GÆLDER Anledning Titel Målgruppe Arrangør Taletid Justitsministeren og ministeren for børn, undervisning

Læs mere

Konflikthåndtering mødepakke

Konflikthåndtering mødepakke Indledning af historie Trin 1 Her er Louise. For et halvt år n købte hun en mobiltelefon til 2500 kr. hos jer, men nu er bagcoveret i stykker, og hun er kommet for at bytte den. Her er Kasper. Han er lidt

Læs mere

Nationale test. v. Marie Teglhus Møller. Slides er desværre uden eksempelopgaver, da disse ikke må udleveres. marie@eystein.dk

Nationale test. v. Marie Teglhus Møller. Slides er desværre uden eksempelopgaver, da disse ikke må udleveres. marie@eystein.dk Nationale test v. Marie Teglhus Møller Slides er desværre uden eksempelopgaver, da disse ikke må udleveres. marie@eystein.dk Oplæg for dagen Hvad er en pædagogisk test? Hvilke krav stilles der til opgaverne

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE Når en bilist opdager en fare på vejen - legende børn, en hund, der løber på kørebanen, en kvinde i kørestol eller lignende - vil man forsøge at undgå ulykken.

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Aarhus Byråd onsdag den 9. september 2015. Sag 5 - Rammeaftale for 2016 for det sociale område

Aarhus Byråd onsdag den 9. september 2015. Sag 5 - Rammeaftale for 2016 for det sociale område Sag 5 - Rammeaftale for 2016 for det sociale område Og vi kan gå videre til næste, og det er rammeaftale for 2016 på det sociale område. Hvem ønsker ordet til den? Hüseyin Arac, Socialdemokraterne. Værsgo.

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Cykelhandler projekt KOM / IT

Cykelhandler projekt KOM / IT 2015 Cykelhandler projekt KOM / IT Indhold Indledning... 2 Tidsplan... 2 Fase 1 - Problemanalyse... 3 Informations problem... 3 Markedsundersøgelse... 3 Analyse af deres eksisterende medieprodukter...

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Når motivationen hos eleven er borte

Når motivationen hos eleven er borte Når motivationen hos eleven er borte om tillært hjælpeløshed Kristina Larsen Stud.mag. i Læring og Forandringsprocesser Institut for Læring og Filosofi Aalborg Universitet Abstract Denne artikel omhandler

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE. Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder.

MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE. Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder. MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE MEDIER OG E-MAIL Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder. Booster salget i dit firma 2015 Leon

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Udviklingen indeni eller udenfor?

Udviklingen indeni eller udenfor? 90 Kommentarer Udviklingen indeni eller udenfor? Henning Westphael, Læreruddannelsen i Århus, VIAUC Kommentar til artiklen Elevers faglige udvikling i matematiske klasserum i MONA, 2011(2). Indledning

Læs mere

Man føler sig lidt elsket herinde

Man føler sig lidt elsket herinde Man føler sig lidt elsket herinde Kirstine er mor til en dreng med problemer. Men først da hun mødte U-turn, oplevede hun engageret og vedholdende hjælp. Det begyndte allerede i 6. klasse. Da Oscars klasselærer

Læs mere

Skivholme Herskind cykelstien

Skivholme Herskind cykelstien Skivholme Herskind cykelstien Skal vi køre i bil, eller cykle hvis vi tør En brugerundersøgelse med henblik på at klarlægge behovet for en cykelsti mellem Skivholme og Herskindskolen. Udarbejdet af Flemming

Læs mere

Fortsættelse af Regneark II. Indhold. Side 1 af 14. Regneark EXCEL

Fortsættelse af Regneark II. Indhold. Side 1 af 14. Regneark EXCEL Side 1 af 14 Fortsættelse af Regneark II Indhold Telefonliste...2 Budget...4 Diagram...7 Regning...9 Underskrift...9 Rundt om Jorden...11 Matematisk problem...13 Et sidste eksempel...14 Side 2 af 14 Telefonliste

Læs mere

Fejlagtige oplysninger om P1 Dokumentar på dmu.dk

Fejlagtige oplysninger om P1 Dokumentar på dmu.dk Fejlagtige oplysninger om P1 Dokumentar på dmu.dk To forskere ansat ved Danmarks Miljøundersøgelser har efter P1 dokumentaren PCB fra jord til bord lagt navn til en artikel på instituttets hjemmeside,

Læs mere

N: Jeg hedder Nina og jeg er 13 år gammel. Jeg har været frivillig et år.

N: Jeg hedder Nina og jeg er 13 år gammel. Jeg har været frivillig et år. Interview Fokusgruppe med instruktører i alderen - år 0 0 0 0 Introduktionsrunde: I: Vil I starte med at præsentere jer i forhold til hvad I hedder, hvor gamle I er og hvor lang tid I har været frivillige

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A)

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Opgave 1 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere