Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium"

Transkript

1 Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato:

2 Indholdsfortegnelse Indledning Indledende analyse af data Analyse af tallene... 4 Model Beregning af fremskrivningsfaktorer... 6 Regressionmodel... 9 Fordoblingskonstant Model Beregning af fremskrivningsfaktor Regressionmodel Fordoblingskonstant Netlogo Målgruppe Design Kildekoden Afprøvning Konklusion Opsummering af resultater Overvejelser omkring usikkerhed Andre måder at løse opgaven på... 22

3 Indledning Vi har i forbindelse med tværfagligt projekt med fagene Matematik og Informationsteknologi fået en opgave om eksponentielle modeller. Det hele handler om en gruppe HTX elever, som et forsøg med gærceller i næringsstofopløsninger i biologilaboratoriet. Teorien siger, at når gærcellernes vækst for alvor er kommet i gang, vil der være en fase, hvor gærcellerne øges eksponentielt. Inden denne eksponentielle fase vil der være en fase, hvor gærcellerne akklimatiserer sig til opløsningen, og hvor antallet således ikke vokser. I forsøget er der udtaget nogle prøver til bestemte tidspunkter. Antallet af gærceller har man talt ved hjælp af et tællekammer, og resultaterne er så skrevet i et tabel som, man kan se under den indledende analyse af data. I opgaven skal vi ha opstillet nogle modeller og analysere graferne, hvordan og hvorledes det passer med de rigtige tal. 1. Indledende analyse af data. Her har vi tabellen over de tal, som de har fået under eksperimentet. Den viser, tiden i minutter og til højre i tabellen ser man antal gærceller.

4 Analyse af tallene Jeg skal lave en analyse af tallene, jeg har så valgt at opstille det i observationer i stedet for tiden. Jeg vil finde fremskrivningsfaktoren, og den 5. Observation skal jeg tage kvadratroden. Hvis man kigger på tabellen for oven kan man se at, at det det springer med 20 minutter, men på et tidspunkt springer det med 40 minutter, så derfor skal jeg tage kvadratroden. Så skal jeg opstille et interval, først starter jeg med en bred interval, og derefter kan jeg altid begrænse den for at min model kan passe bedst muligt. Jeg vil starte med indsætte tallene ind som punktform på graph, for at se om det udvikler sig eksponentielt. Der kan jeg sige at det kun er nogle af punkterne der udvikler sig eksponentielt. For man kan se 4 af punkterne, at de ikke er på linjen. Derfor kan det altid være en god idé at begrænse sin interval. Jeg har også lavet en graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Den ser således ud:

5 Ifølge grafen kan man igen se, at nogle af punkterne udvikler sig eksponentielt. Derfor kan jeg ræsonnere mig frem til at det kunne være en mulighed at lave mit interval efter jeg har beregnet fremskrivningsfaktorerne ud. Model 1 Jeg skal opstille nogle modeller. Jeg starter med at lave et interval, som jeg skrev tidligere. Det ville jeg gøre ved at beregne mine fremskrivningsfaktorer. Og derefter vil jeg så lave

6 nogle grafer, både for modellen også vil jeg lave en regressions model for at sammenligne dem. Jeg starter med min første model. Beregning af fremskrivningsfaktorer Jeg har lavet et interval hvor jeg har begrænset nogle tal fra tabellen over data. Så skal jeg finde fremskrivningsfaktoren, og til sidst skal jeg finde gennemsnittet så jeg får den endelige fremskrivningsfaktor. Jeg har valgt at lave dem i observationer i stedet for tid. Først vil jeg vise en beregning for hvordan man finder fremskrivningsfaktoren og derefter indsætte tallene i en tabel. a = = 1,06667 Observationer(interval) Gærceller Fremskrivningsfaktor , , , , , , , , , , , , , , , ,976 Jeg har beregnet fremskrivningsfaktorerne for hver observation. Så skal jeg opstille et interval, de her tal, vil jeg så begrænse også tage gennemsnittet for at finde den endelige fremskrivningsfaktor. Jeg har valgt at begrænse fra den 3. Observation til og med den 11. Det har jeg gjort fordi at jeg mener tallene ligner meget hinanden, der er ikke så meget forskel på dem. Der har jeg så valgt at skrive dem i ny tabel som følgende: :

7 Tabel over Begrænsningen Observationer Antal gærceller , , , , , , , , ,16667 Ved hjælp af disse tal skal jeg så opstille min første model. Jeg skal til at starte med opstille en funktionsudtryk for eksponentielle udviklinger. Og den er følgende: f x = b a x - Hvor a er fremskrivningsfaktoren. - Hvor x er relativ vækst, vækstrate, rentefod - Hvor b er begyndelsesværdi, b = f(0) Jeg skal hermed finde a, der har jeg fundet alle mine fremskrivningsfaktorer. Man kan på forskellige måder finde a, men jeg har valgt at tage gennemsnittet og tage den i den n te rod. Da jeg har 9 fremskrivningsfaktorer skal sætte det i den n te rod. 9 1,5789 1, ,1365 1,3548 1, ,3674 1,164 1, ,16667 = 1,1920 Fremskrivningsfaktoren giver hermed, 1,1920 og så mangler jeg b og der ved jeg at b = f(0) og der kan jeg så konstatere at i min er b = 19. Min funktion kommer til at se således ud: f t = 19 1,1920 t

8 Jeg har så indsat funktionen på graph, og grafen ser så således ud. Som det fremgår af grafen, kan man se at den udvikler sig eksponentielt. Den skærer y-aksen ved 19. Som jeg så vidste i forvejen. Man kan igen se, at punkterne ikke passer helt sammen, og igen kan jeg konstatere at intervallet er for bredt, som jeg vil begrænse. Så skal jeg opstille tallene for modellen, jeg bruger det funktion jeg har fået altså: f t = 19 1,1920 t Der skal jeg bare tage den i den første, anden osv. til den 9 ende rod. rod, først vil jeg vise en beregning og resten indsætter jeg i en tabel, som følgende: 19 1, = 22,64 Data Model

9 , , , , , , , , ,30 Regressionmodel For at være sikker, vil jeg sammenligne min model, med en regressionsanalyse. Det gør jeg ved at sætte mine data som y-værdi og observationer som x-værdi. Funktionen bliver følgende med regressionsanalysen. Funktionen for grafen er følgende: Som det fremgår af grafen kan man se, at den skærer i 17,83 på y-aksen. Det kan man nemlig se på funktion ovenfor. Grunden til fremskrivningsfaktoren ikke er det samme, er at graph ikke tager gennemsnittet.

10 Nu vil jeg indsætte både regressionen og min model i en koordinat system for at sammenligne graferne. Som det fremgår af grafen kan man se, at den stiplede linje, regressionen heller ikke passer helt med punkterne. Men man kan faktisk se, at punkterne ligger tættere på regressionen hele vejen igennem, end min model den normale linje.

11 Observatione r Jeg har konstateret at min interval er for bred, og jeg skal begrænse den. Jeg har nu ved hjælp af grafer vist og forklaret at det ikke passer helt. Men jeg kan også vise forskellen på en anden måde, jeg kan netop finde afvigelsen på modellerne for at vise hvor meget forskel der er. Jeg vil så lave en beregning for at vise hvordan man beregner den procentuelle afvigelse. Der tager jeg f.eks. mit data og minus det med modellen, hvor derefter jeg tager det tal og dividere med min data og ganger med hundrede for at finde det i procent. Og det kommer til at se således ud: 22,64 22 = 0,64 0, = 2,90% 22 Jeg har besluttet mig for at lave en tabel, hvor jeg har mine data, observationer, modeller, afvigelser stående, så har jeg også tænkt mig at lave regressionsmodel Data Model 19 22,64 26,99 32,17 38,35 45,72 54,50 64,96 77,43 92,30 Afvigelse% 0% 2,90% 12,45% 3,77% 8,69% 6,69% 18,65% 16,71% 13,96% 12,0% Regression 17,83 21,82 26,71 32, ,95 59,91 73,32 89,73 109,819 Afvigelse % 6,15% 0,81% 11,29% 5,41% 4,76% 0,10% 10,58% 6% 0,3% 4,58% Fordoblingskonstant Så skal jeg beregne fordoblingskonstanten for de to modeller jeg har opstillet. Eksponentielt voksende udviklinger vokser med samme procent for hver enhed, man går til højre på x-aksen. Og efter et bestemt antal enheder er en sådan eksponentielt voksende udviklings værdier fordoblet, og dette antal enheder kaldes fordoblingskonstanten. Fordoblingskonstanten kan udregnes efter følgende formel: T 2 er fordoblingskonstanten T 2 = log2 loga Log2 er fordi det er fordoblingskonstant, hvis det var halvering havde det været 1/2 Loga er log til fremskrivningsfaktoren

12 Så vil jeg starte med min første models udtryk, som lød følgende: f t = 19 1,1920 t Da loga er fremskrivningsfaktoren, indsætter jeg dette tal i mit formel til fordoblingskonstanten: log2 T 2 = log 1,1920 T 2 = 3,946 Så kan man så tjekke om fordoblingskonstanten passer, det gør jeg ved at f.eks. lægge 1 til det tal jeg har fået nemlig, 3,946. Så skal jeg se, om hvilke observation dette tal passer til, der kan jeg konstatere at det passer til 5 da 4,9 ikke er langt fra 5. Og hvis jeg i mit skema kigger på hvor mange gærceller der er under observation 4, kan jeg se at der er 49 gærceller. Og hvis man så kigger på det første tal, hvilket er 19 og hvis jeg tager det dobbelte af 19 bliver det 38. Dvs. det ikke passer helt, der er stor forskel. Og dette er endnu en grund til at jeg skal begrænse mit interval. Også kan jeg beregne fordoblingskonstanten for regressionen. T 2 = log2 log 1,2259 T 2 = 3,403 Jeg vil så gøre det på samme måde som før, lægger et så det bliver 4,403. Der kan jeg så sige at der passer til observation 4, hvor der er 42 gærceller. Og jeg kan så konstatere igen, at det ikke passer optimalt. Da det dobbelte af 19 er 38.

13 Model 2 Så skal jeg opstille en ny model, hvor jeg har begrænset mit interval. Jeg skal ha beregnet fremskrivningsfaktoren igen og sammenligne afvigelsen med regressionsmodellen. Beregning af fremskrivningsfaktor , , , , ,16667 Jeg har valgt at lave dette interval, da jeg synes fremskrivningsfaktorerne ligner meget hinanden. Det ligger meget tættere på hinanden end min tidligere interval. Jeg skal lave det samme som i min forrige model, så jeg fravælger at lave alle beregninger og forklaringer igen. Jeg kan her sige, at jeg skal tage det i den 5 te rod da der er 5 fremskrivningsfaktorer. Beregningen er følgende: 5 1, ,3674 1,164 1, ,16667 = 1,2011 Fremskrivningsfaktoren er hermed 1,2011. Så skal jeg ha b, og den er 42 så min funktion kommer til at se således ud: f x = 42 1,2011 t Så vil jeg ligge min funktion i graph for at se hvordan grafen ser ud:

14 Som det fremgår af grafen, så udvikler den sig også eksponentielt, og man kan se at den skærer y-aksen i 42. Hvilket min b også er i mit funktionsudtryk. Vi kan ellers se at ren faktisk passer fint, der er dog en undtagelse, nemlig ved fremskrivningsfaktoren 1,3674 som er langt fra funktionen. Og det kan man sagtens tænke sig frem til da den er hele 0,3 fra de andre tal.

15 Regressionmodel Jeg vil nu igen lave en regressionsmodel, der skal jeg gøre, som før. Jeg sætter mine observationer på x s plads og data på y s plads i graph. Så vil jeg beregne regressionen og indsætte det i tabellen for oven. Grafen ser således ud: Som man kan se på grafen og den øverste firkant oppe i hjørnet for funktionen står, regressionsfunktionen er følgende: f x = 42,7650 1,2060 x Man kan på grafen se, at den skærer omkring 42 på y-aksen. Den udvikler sig eksponentielt, og punkterne ser ud til at være meget tættere på funktionen.

16 Nu vil jeg så igen indsætte det begge modeller i grafen for at sammenligne dem. Som grafen fremgår, kan jeg konstatere at det passer faktisk fint. Man kan se at regressionen ligger tættere på punkterne, men faktisk rammer de næsten begge to rigtig godt. Der er kun en lille forskel, men resultatet viser mig at det passer fint. Men nu vil jeg gøre det samme som ved min første model, beregne afvigelsen og indsætte tallene i en tabel jeg har lavet som før.

17 Så skal jeg opstille min model, jeg beregner på samme måde som i model 1. Beregningen foregår på samme måde, jeg skal bare bruge et andet funktionsudtryk. Data Model , , , , ,98 Så opstiller jeg en ny tabel, med mine data, model og afvigelse som i den forrige model. Observationer Data Model ,44 60,59 72,77 87,41 104,98 Afvigelse% 0% 2,93% 9,56% 6,70% 2,87% 0,019 % Regression2 42,75 51,57 62, ,46 109,1 Afvigelse% 1,78 5,24% 7,17% 4% 0,51% 3,80% Fordoblingskonstant Så skal jeg igen, beregne fordoblingskonstanten, som før og sammenligne dem. Nu vil jeg så beregne fordoblingskonstanten for min model 2, mit udtryk lød følgende: f t = 42 1,2011 t Så indsætter jeg fremskrivningsfaktoren i mit formel til fordoblingskonstanten: log2 T 2 = log 1,2011 T 2 = 3,782 Nu vil jeg tjekke om det passer, jeg gør på samme måde som før. Jeg har fået 3,482 så vil jeg lægge en til, så det bliver 4,782. I dette tilfælde passer observationen til 5, der kan jeg se at der er 105 gærceller. Så kigger jeg på hvad jeg starter med, nemlig 49 gærceller og hvis man finder det

18 dobbelte vil det give 98, hvilket ikke helt rammer 105. Men det gør det ikke fordi det ikke er helt præcis 5 observationer, så det vil nok ligge omkring de 100. Så det passer fint. Nu vil jeg så beregne fordoblingskonstanten for regressionen. log 2 T 2 = log 1, T 2 = 3,699 Så skal tjekke det på samme måde, jeg har fået 3,699 og hvis jeg lægger 1 til bliver det 4,699. Tallet er ikke langt fra det gamle, altså hvis den anden lå på omkring 100 vil den her nok ligge omkring Hvis jeg så taget det dobbelte af 49 giver det 98, så derfor kan jeg konstatere at ren faktisk passer rigtig godt. Hvis jeg kigger overordnet på det, så passer min model 2 meget bedre. Det har givet et godt resultat at begrænse intervallet en del. Jeg kan på resultaterne af model 2 se, afvigelserne passer fint, der er dog et sted hvor den er stor. Fordoblingskonstanten passer også rigtig godt, meget bedre end den første model. Det er jo lige før den rammer præcis. Så den eksponentielle model jeg har opstillet viser at, gærcellerne udvikler sig eksponentielt.

19 Netlogo Netlogo er en programmerings program med miljø til simulering af fysiske og sociale fænomener. Dette program er lavet af Uri Wilensky i 1999 og dette er i konstant udvikling på Center for Connected Learning and Computer-Based modeling. Denne program er særlig velegnet til at lave modeller af komplekse systemer udvikler sig over tid. Programmet lader eleverne åbne simuleringer og spille med dem, udforske deres adfærd under forskellige forhold. Det er en authoring miljø, der gør det muligt for studerende, lærer og læseplaner udviklere til at skabe deres egne modeller. Det er faktisk ret let, altså eleverne og lærerne kan sagtens køre simulationer eller selv opbygge deres egne. Og det er faktisk avanceret nok til at tjene som, et effektivt værktøj for forskere på mange felter. Målgruppe Målgruppen til mit produkt, vil jeg mene er til HTX-elever. Da jeg mener, at meget af det har noget med it at gøre. Der ikke nogen på STX eller HHX der har it. Så de vil nemlig ikke synes meget om det. Også er det også for nogle der har matematik på højt niveau. Design Nu vil jeg så forklare om min prototype, og de forskellige figur jeg har lavet. Jeg har lavet en enkelt en hvor jeg har en Setup knap og en Go knap. Der følgende er: Go knappen vil sætte funktionen i gang, dvs. hvis man klikker på go, laver den en eksponentiel funktion. Setup knappen er en slet knap, så når man trykker der vil alt blive slettet. Sådan kommer det så til at se ud når man klikker på go.

20 Kildekoden Min prototypes kildekode kommer til at se således ud: Hvis man kigger på koderne, kan man se jeg har startet med knappen Setup. Der skal man bare skrive clear-all, så sletter den alt på displayet bare ved at klikke på setup. Også afslutter man den med end. Så koder jeg knappen go. Der skal jeg kode den med noget der hedder, ticks. Hvilket er en global variabel. I mit tilfælde bruger jeg tick i stedet for x. hvis man kigger på de sidst to linjer, kan man se, at jeg har fået den til at skrive at den skal tegne grafen i et plot, som er et koordinatsystem, som man kan se på min figur længere oppe. Så skriver jeg min fremskrivningsfaktor, som i den her sammenhæng er 1,2061 og opløfter den til ticks. På den måde kan man så se grafen for den eksponentielle funktion. Afprøvning Jeg har afprøvet den, og den virker optimalt. Hvis du/i vil afprøve min model, kan i besøge min website under mine produkter skal I så klikke på Netologo og følge hele vejen til afprøvningen. Jeg har fået den afprøvet af Ugur fra min klasse. Jeg fik så at vide, at den var let anvendelig. Han synes det var rigtig godt lavet.

21 Konklusion Her i konklusionen vil jeg nu opsummere mine resultater: Opsummering af resultater Først vil skrive mine resultater af den første model. Model 1 Min model: f t = 19 1,1920 t Regressionen: f t = 17 1,2238 t Model 2 Min anden model: f t = 42 1,2011 t Regressionen: f t = 42, ,2060 t Her kan jeg konkludere at, mine to funktioner i model 2 ligger tilnærmelsesvis tættere på hinanden. Nu vil jeg så opsummere resultater på fordoblingskonstanterne. Fordoblingskonstanter Model 1 Min model: T 2 = 3,946 Regressionen: T 2 = 3,403 Model 2 Min model: T 2 = 3,782 Regressionen: T 2 = 3,699 Her kan jeg konkludere at, mine to funktioner tilnærmelsesvis er meget tæt på hinanden i forhold til min første model. Overvejelser omkring usikkerhed Jeg har overvejet omkring nogle usikkerheder, men det jeg har lagt mærke til er at det måske var et problem at fremskrivningsfaktorerne ikke var helt sikre. F.eks. min sidste begrænsning altså min model 2.

22 Der er der f.eks. et eksempel på at en af mine fremskrivningsfaktorer ikke passer. Men ellers synes jeg ikke rigtig der har været noget forkert i hvad jeg har beregnet. Andre måder at løse opgaven på Måden jeg har løst opgaven på har været tilpas, jeg har fået et godt resultat ud af det. Jeg kunne selvfølgelig have gjort noget andet. Jeg kunne f.eks. frem for observationer beregne det i tider, det kunne være mere præcist måske. Som jeg også har forklaret et sted i opgaven, at man også kunne beregne fremskrivningsfaktoren på andre måder, men jeg valgte at tage gennemsnittet og tage den n te rod. Jeg kunne også ha valgt andre intervaller. Kunne begrænse dem på en anden måde.

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT Tværfagligt Projekt Matematik og IT Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl og Jørn Afleveringsdato: 01/12 2008 Indholdsfortegnelse Opgaveanalyse... 3 Indledning:... 3 Analyse

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller 2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indhold Indledning... 2 Opgave analyse...

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Matematik og Informationsteknologi 06-12-2010 HTX; klasse 2.4 Mathias Sørensen, Martin Schmidt, Andreas Mikkelsen Vejleder: Matematik: Jørn Bendtsen Informationsteknologi: Karl

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning... 3 2. Formål... 3

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium. SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter

Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium. SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter November / December 2013 Af Jacob Ruager og Lars-Emil Jakobsen Klasse 2.4

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

SO-projekt MAT/IT. Eksponentielle Modeller - Gærceller

SO-projekt MAT/IT. Eksponentielle Modeller - Gærceller SO-projekt MAT/IT Eksponentielle Modeller - Gærceller ROSKILDE TEKNISKE SKOLE KLASSE 2.4 9. december 2013 Lavet af: Frederik Bagger og Rune Kofoed-Nissen Indholdsfortegnelse Forord... 2 Opgaveanalyse...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

IT opgave. Informationsteknologi B. Vejleder: Karl. Navn: Devran Kücükyildiz. Klasse: 2,4

IT opgave. Informationsteknologi B. Vejleder: Karl. Navn: Devran Kücükyildiz. Klasse: 2,4 IT opgave Informationsteknologi B Vejleder: Karl Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Dato:03-03-2009 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Planlægning... 3 Kommunikationsplanlægning... 3 Problemstillingen...

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

MINI SRP MAT-IT. Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium. Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium

MINI SRP MAT-IT. Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium. Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium MINI SRP MAT-IT Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium Indhold Forord... 2 Indledning... 2 Model og differentielligning...

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX

Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Skriftlig eksamen i samfundsfag

Skriftlig eksamen i samfundsfag OpenSamf Skriftlig eksamen i samfundsfag Indholdsfortegnelse 1. Introduktion 2. Præcise nedslag 3. Beregninger 3.1. Hvad kan absolutte tal være? 3.2. Procentvis ændring (vækst) 3.2.1 Tolkning af egne beregninger

Læs mere

Dernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift.

Dernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift. IT Inden du starter med at tegne funktionerne ind i Graph er det en god ide, at indstille akserne til behovet. Det gør man ved at gå op i værktøjslinjen hvor man finder det ikon som her er markeret med

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Anden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med

Anden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med Af læseplanen for 7.-9. klassetrin fremgår det, at beskrivelse af lineære og ikke-lineære sammenhænge indgår i arbejdet med funktionsbegrebet. Det er ligeledes fremhævet, at arbejdet med funktionsbegrebet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

INTRODUKTION Maple Funktioner Regression

INTRODUKTION Maple Funktioner Regression INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE...

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u

AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u Kapitel 1 AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u 1.1 Indgående fag I forløbet indgår fagene naturgeografi v. Mikkel Røjle Bruun (BR), samfundsfag v. Ann Britt Wolsing (AW) og matematik v. Flemming Pedersen (FP).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Dorthe Jørgensen

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Øvelse 3 a) x ,9 1,2 1,5 2 2,6 3,4 4,4 5,7 7,4 9,7 12,6

Øvelse 3 a) x ,9 1,2 1,5 2 2,6 3,4 4,4 5,7 7,4 9,7 12,6 1 af 15 Facitliste Udskriv siden Kapitel 6 ØVELSER Øvelse 1 Efter 1 år: kr. Efter 2 år: kr. Efter 5 år: kr. Øvelse 2 Efter 10 år: kr. Efter 15 år: kr. Øvelse 3 a) x -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0,9 1,2 1,5

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

IT - Opgave. Produkt til Læring

IT - Opgave. Produkt til Læring IT - Opgave Produkt til Læring Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl Afleveringsdato: 03/03 2009 0 Indholdsfortegnelse Planlægning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S Instruktion og nyheder i TAL Automatisk ro Ny forbedret udtalebog Automatisk ro ScanDis A/S ViTre version 91 opdatering Side 1 Ny indstilling af oplæsning med funktionen

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Arbejdspapir til modul (1) matematik. 1. Grundlæggende håndtag i Gapminder.org. Åbn www.gapminder.org og vælg Gapminder World. Klik på andenaksen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution Silkeborg Business College - handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse HF net-undervisning,

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Andreas Møinichen og Aske Märcher 10-05-2011

Andreas Møinichen og Aske Märcher 10-05-2011 Programmering Læring om Cos(x) og Sin(x) Andreas Møinichen og Aske Märcher 10-05-2011 LÆRER: KARL BJARNASON Roskilde Tekniske gymnasium. Klasse 2.1 Indholdsfortegnelse PROJEKTBESKRIVELSE... 3 INDLEDNING...

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere