Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Transkript

1 Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig vesion Juli 23 DREAM, Danish Rational Economic Agents Model. Amaliegade 44, 256 København K

2 Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat Pete Stephensen Danish Rational Economic Agent Model Abedspapi 23:2: foeløbigt udkast Abstact Dette papi pæsentee empii fo effekten af økonomiske incitamente på ælde abedees tilbagetækningsbeslutning. Analysen e baseet på egi-stedata fo beskæftigede, de va 59 å i 2, og vaiation i de offentlige oveføsle fa det danske pensionssystem anvendes til at bestemme de 59-åiges pæfeence fo tilbagetækning også kaldet pæfeence fo fitid. Papiet pæsentee beskivende tabelle og gafe, de indikee, at tilbage-tækningen eagee på skift i de økonomiske incitamente til at udskyde til-bagetækning hen ove tilbagetækningsalde. Fo pesone med pensions-opspaing e de et pænt sammenfald mellem skift i de økonomiske incita-mente og den faktiske tilbagetækning. Heefte udledes en model, de estimee de 59-åiges pæfeence fo fitid på baggund af de 59-åiges ob-seveede tilbagetækningsalde og gevinsten af at foblive i beskæftigelse. Modellen e inspieet af option valuemodellen, men adskille sig på flee måde, bl.a. ved tillade heteogenitet i pæfeencene. Output af modellen e en estimeet fodeling af pæfeence fo fitid. Pæfeencefodelingen esti-mees ikke-paametisk. De estimeede pæfeence fo fitid ha en støel-sesoden på mellem.4 og.8. Det svae til, at nytten af en pensionskone e.4 til.8 gange så hø som af lønindkomst. Den estimeede model buges til at femskive tilbagetækningsadfæden fo femtidige senioe og til konsekvensbeegninge, de illustee betydningen af ændede økonomiske incitamente til tilbagetækning, f. Dansk Økonomi, foå 23.

3 Indhold. Indledning Data og økonomiske incitamente Finansielle incitamente Empiisk model fo tilbagetækning med heteogenitet Intuition i tilbagetækningsmodellen Model Det deteministiske tilfælde Estimation af pæfeence-fodeling Foecasting inden fo estimationssamplet Likelihood-funktion Tilbagetækning neutal ved lige stoe stigninge i indkomste og fomue Estimation og esultate Missing values og numeiske pobleme Pæfeence fo fitid vaiee mellem køn- og uddannelsesguppe Køn Uddannelse og køn Relativ isikoavesion ove tid ρ og indiffeenskuvenes kumning Estimationsesultate fo altenative gade af isikoavesion ove tid ρ Femskivning af abedsstyke og konsekvensbeegninge Refeence Appendiks A Appendiks B. Estimate af k fo foskellige ρ-vædie Appendiks B.2 Faktisk og foventet tilbagetækning fo foskellige ρ-vædie Appendiks C Simuleinge af indiffeenskuven fo tilbagetækning... 42

4 Side 2 af 46. Indledning Hvo vigtige e økonomiske incitamente fo den individuelle beslutning om at tække sig tilbage? Fo at kunne foudsige effekten af efome af pensionssystemet e det vigtigt at kende svaet på dette spøgsmål. I Danmak e de de seneste å gennemføt en ække efome af pensionssystemet, de ha til hensigt at udskyde tilbagetækningsaldeen. Eftelønsodningen e blevet foinget, og folkepensionsaldeen blive udskudt i takt med, at vi leve længee. Samtidig e abedsmakedspensionene, de blev udbygget i midthalvfemsene, ved at blive modnede, således at de fleste guppe på abedsmakedet i femtiden vil have stoe pensionsopspainge. Fo at kunne foudsige effekten af disse efome e det vigtigt at vide i, hvilket omfang ælde abedee femove benævnt senioe eagee på økonomiske incitamente, nå de beslutte sig fo tilbagetækning. I dette papi undesøges det, i hvilket omfang senioe eagee på økonomiske incitamente, nå de vælge tilbagetækningsalde. En økonometisk model fo senioes tilbagetækningsbeslutning udledes. Den ha udgangspunkt i miko-data/egistedata. Modellen estimee senioes pæfeence fo fitid på baggund af dees obseveede tilbagetækningsalde og gevinsten af at foblive i beskæftigelse. Pæfeence fo fitid afspele nytten af fitid i fohold til nytten af fobug. Fitidspæfeencene angive nytten af en pensionsindkomst i fohold til lønindkomst. Den estimeede model buges til at femskive tilbagetækningsadfæden fo femtidige senioe og til konsekvensbeegninge, de illustee betydningen af ændede økonomiske incitamente til tilbagetækning, f. Dansk Økonomi, foå 23. Modellen e inspieet af Stock & Wise, 99 femove S&W, men den adskille sig på 4 omåde:. S&W antage, at fobugene stå ovefo usikkehed med hensyn til den femtidige nytte af en given indkomstpofil. Fobugeen kende ikke sine pæfeence med sikkehed. Denne stokastik skal inddage uobseveede deteminante fo tilbagetækningen. S&W skive, at de stokastiske effekte could eflect individual pefeences fo wok vesus leisue. O they could eflect evolving health status. They could eflect diffeences among individuals in unobseved wealth and othe vaiables that may affect etiement decisions. Denne stokastik lede fem til option value tilgangen i S&W. I dette papis appoach antages det i stedet, at fobugeen kende sine femtidige pæfeence. Vi måle foskelle i pæfeence fo fitid på en anden måde se nedenfo. Hvad angå de stokastiske skift i sundhedstilstand, antage vi, at de gatis hospitale i Danmak gø denne effekt uvæsentlig. Foskelle i fomue tages de eksplicit hensyn til i voes analyse. 2. S&W antage implicit, at fobugene e keditationeede elle iationelle. De måle nytte ved at putte indkomst diekte ind i en CRRA-nyttefunktion. Dette må nødvendigvis fotolkes som, at det løbende fobug e lig indkomsten. Og dette ske Constant Relative Risk Avesion

5 Side 3 af 46 kun, hvis fobugeen e keditationeet elle følge en simpel tommelfingeegel. I dette papis appoach antages det, at fobugeen stå ovefo et pefekt keditmaked og maksimee tilbagediskonteet foventet CRRA-nytte. De e usikkehed mht. dødstidspunktet. 3. Homogene vesus heteogene pæfeence fo fitid: S&W definee paameteen k, som angive pæfeence fo fitid. S&W estimee k unde antagelse af, at k e ens fo alle fobugee. I dette papis appoach antages det i stedet, at k vaiee i populationen. Vi estimee en fodeling af k e i populationen. 4. Fobugene i S&W s model ha lav elativ isikoavesion med begænset fobugsudglatning til følge. S&W angive, at nyttefunktionen e en CRRA-funktion og ρ Y = ρ γ ha fomen U Y = Y. Paameteen γ estimees til en vædi mellem og. CRRAnyttefunktionen angives oftest som: U Y *, hvo ρ e koefficienten fo elativ isiko-avesion. De e en vis konsensus om, at ρ 2, f. [henvisninge]. Dette svae til en nyttefunktion U Y / Y =. Denne nyttefunktion e ikke et specialtilfælde af S&W s fom. S&W udelukke således den nyttefunktion, som de fleste buge. Resultatet at < γ<, svae til, at < ρ <. Dette beskive fobugee med lav elativ isikoavesion og demed begænset fobugsudglatning. I analysen i dette papi benyttes den fulde specifikation *. I pincippet kunne vi estimee paameteen ρ. Fo at simplificee poblemstillingen e det i stedet valgt at sætte ρ=2 og supplee med følsomhedsanalyse, hvo ρ antage ande vædie He komme på et senee tidspunkt en blok med flee efeence til elevant litteatu - Manoli & Webe estimation på humps i tilbagetækningen 2 - Rust & Phelan - Ande He komme en blok om systemet og data Fo at studee sammenhængen mellem økonomiske incitamente og den faktiske tilbagetækning pæsentees føst deskiptiv statistik. Statistikken vise, at tilbagetækningen klumpe sig sammen ved de tilbagetækningsalde, hvo incitamentene til tilbagetækning e støst. Dette mønste indikee, at økonomiske incitamente motivee folk til at udskyde tilbagetækning. Mønstet e mest udtalt fo guppe med en vis pensionsopspaing, hvilket medføe flee skift i de finansielle incitamente hen ove tilbagetækningsalde. Skiftene i de finansielle incitamente e en følge af eglene fo modegning af pensionsopspaing i de offentlige pensionsoveføsle. Et vigtigt eksempel e 2 ås-eglen fo udbetaling af efteløn: Det e muligt at undgå, at pensionsopspaing blive modegnet i eftelønnen, hvis tilbagetækningen udskydes 2 å i fohold til den tidligste eftelønsalde. Heefte udledes den empiiske model fo tilbagetækningsbeslutningen. Modellen buge skiftene i de økonomiske incitamente og den faktiske tilbagetækningsalde til at estimee senioes pæfeence fo fitid. Modellen anvende effektive fomue fo alle hypotetiske

6 Side 4 af 46 tilbagetækningsalde til at beskive de økonomiske incitamente til at udskyde tilbagetækning. 2 Dette muliggø at buge den estimeede model til at foudsige effekten på tilbagetækningen af økonomiske efome. Modellen tillade heteogene pæfeence fo fitid. De e udviklet en ikke-paametisk metode til at estimee heteogeniteten i pæfeencene fo fitid. Det demonstees, at man ved hælp af en iteativ poces konvege mod den koekte fodeling. Gundideen i metoden minde on Tain 27, selvom den faktiske implementeing afvige en del fa denne. Hvo Tain tage udgangspunkt i momentene i en given teoetisk fodeling, e voes metode ikkepaametisk. Tilbagetækningsmodellen estimees sepaat fo 2 guppe opdelt på køn og uddannelse. Vi få således 2 fodelinge af pæfeence fo fitid. Medianen af de estimeede pæfeence fitid e mellem,4 og,8, svaende til, at nytten af en pensionskone e.4 til.8 gange så hø som af lønindkomst. Modellen sammenlignes med en model, de kun e opdelt på køn. Den estimeede model give en imelig god foudsigelse af den faktiske tilbagetækning. Den foudsige, at tilbagetækningen e koncenteet omking aldene 6 og 62 å. Modellens evne til at foudsige tilbagetækningen e bedst fo guppe, de ha skift i økonomiske incitamente hen ove de hypotetiske tilbagetækningsalde. Blandt uddannelsesguppene tegne senioe med en mellemlang elle lang videegående uddannelse sig fo de bedste fit. Dette stemme oveens med, at disse guppe havde stoe pensionsopspainge i 2. Omvendt e fit et lidt dåligee fo ufaglæte og faglæte senioe. Disse guppe havde elativt små pensionsopspainge i 2 og demed geneelt små skift i de økonomiske incitamente hen ove de hypotetiske tilbagetækningsalde. Den estimeede tilbagetækningsmodel buges til at foudsige tilbagetækningen fo femtidens senioe givet de gennemføte efome af pensionssystemet og til konsekvensbeegninge af policyfoslag, f. Dansk Økonomi, foå 23. He komme på et tidspunkt en blok om diskussion af esultate ift. litteatuen Papiet e stuktueet således, at næste afsnit pæsentee de anvendte data til analysene og give en empiisk beskivelse af udviklingen i de økonomiske incitamente hen ove tilbagetækningsalde. Tilbagetækningsmodellen udledes i afsnit 3, mens afsnit 4 pæsentee estimationsesultate. 2 De hypotetiske effektive fomue e den tilbagediskonteede sum af alle femtidig indkomste. De afhænge af tilbagetækningsaldeen.

7 Side 5 af Data og økonomiske incitamente Analysene tage udgangspunkt i egistedata fo alle, de va født i 942. De va 59 å i 2. Data e foløbsdata, idet de 59-åige følges fem til de e 67 å dvs. 29. Specifikt anvendes de infomation om de 59-åiges indkomste, fi fomue eendomsvædi og finansielle aktive og passive og offentlige oveføsle. Desuden anvendes infomation om medlemskab af eftelønsodningen og vædie fo opspaede pensionsfomue livente, atepension og kapitalpension. 3 Nå de infomatione kombinees, kan de beegnes et komplet billede af pensionsoveføsle efte tilbagetækning. Fo at undesøge betydningen af finansielle incitamente på tilbagetækningen fokusees på de 59-åige, de e i beskæftigelse fem til tilbagetækning. 4 Data til analysene e begænset på flee ande måde, f. tabel. Alt i alt indgå de pesone i analysene, f. tabel. Af disse e knap 27. medlem af eftelønsodningen 92 pct.. Tabel. Udvælgelse af data til analysene. Hvem slettes i datasættet? ågang 942 I alt Antal slettes Andel af opindeligt sample Ågang 942, som stadig e i live i 2 som 59-åige E stadig i live i pct. Ehvevsindkomst >= 9. k. som 59-åige pct. Ha ikke tidligee væet på føtidspension, ovegangsydelse og fleksydelse pct. E ikke tenestemænd pct. Ehvevsindkomst ove 9. 2-niveau i åene op til tilbagetækning pct. I alt pct. Kilde: Egne beegninge på egistedata. De ufaglæte og faglæte ha lavest pensionsfomue og tække sig tidligst tilbage De e stoe foskelle i de opspaede pensionsfomue mellem uddannelsesguppene, hvo de ufaglæte og faglæte ha makant lavee pensionsfomue end pesone med en lang elle en mellemlang videegående uddannelse. Det hænge sammen med, at abedsmakedspensionene føst gadvist blev udbedt til LO/DA-omådet i begyndelsen af 99 ene. De fleste 59-åige faglæte og ufaglæte i 2 havde defo kun spaet op i få å. Omvendt ha de fleste ansatte i den offentlige sekto indbetalt til en abedsmakedspension i hele dees abedsliv. Pesone med mellemlange og lange videegående uddannelse ha isæ ob i den offentlige sekto. 3 Disse oplysninge e leveet af Styelsen fo Fastholdelse og Rekutteing 4 Denne estiktion e indføt fo at sike, at pesonene ikke i paksis ha tukket sig tilbage fø det officielle tilbagetækningstidspunkt, og dels fodi vi buge lønnen op til tilbagetækningstidspunktet som poxy fo den hypotetiske femtidige indkomst, hvis man i stedet havde valgt at fotsætte i beskæftigelse.

8 Side 6 af 46 Tabel 2. Beskivende statistik fo estimationssamplet beskæftigede 59-åige i 2. Beskivende statistik fomue Tilbagetækningsalde Pensionsfomue Abedsindkomst Effektiv fomue 2 k 2 k 2 k Gns. Median Median Median Alle samlet Mænd uoplyst Mænd ufaglæt Mænd faglæt Mænd KVU Mænd MVU Mænd LVU Kvinde uoplyst Kvinde ufaglæt Kvinde faglæt Kvinde KVU Kvinde MVU Kvinde LVU Anm.: Tabellen tage udgangspunkt i de beskæftigede, de e i estimationssamplet. Indkomste og fomue e opgot ved 59 å. Den effektive fomue e opgot som den tilbagediskonteede sum af alle femtidige indkomste ved en tilbagetækningsalde på 6 å. Diskonteingsfaktoen e den nominelle ente minus PAL-skat. Kilde: Egne beegninge på egistedata. Tilbagetækning e koncenteet omking aldene 6, 62 og 67 å elle senee, f. tabel 3. Henholdsvis 3 pct. og 26 pct. af de 59-åige beskæftigede tak sig tilbage som 6 og 62- åige, mens 4 pct. endnu ikke havde tukket sig tilbage, da de va 67 å. Tabel 3: Tilbagetækningsalde i data Tilbagetækningsalde Antal Andel pct. Kumuleet andel pct elle senee Total Anm.: En peson definees som pensionist, hvis han/hun falde ind unde mindst en af de følgende kategoie: i ha en ehvevsindkomst på unde 9. k. i 2 på hinanden følgende å og ikke modtage abedsmakedselateede oveføselsindkomste; ii modtage abedsmakedspension elle pivat pension ove et gænsebeløb svaende til omtent 68. k. i 2; iii modtage efteløn og iv modtage folkepension og ha en ehvevsindkomst på unde 9. k om ået. Kilde: Egne beegninge på egistedata.

9 Side 7 af Finansielle incitamente At tilbagetækningen klumpe sig sammen omking aldene 6 og 62 å skal ses i sammenhæng med pensionssystemets indetning i 2. 6 å e den alde, hvo man tidligst kan få efteløn. Men hvis man vente med at tække sig, til man blive 62 å, vil anden pensionsindkomst fx fa pensionsopspainge ikke blive modegnet i eftelønnen og eftelønssatsen e høee. 65 å e den alde man tidligst kan få folkepension, ældecheck og boligydelse. Hvis man ha abedet, indtil man e fyldt 65 å, e de kaftige incitamente til at fotsætte med at abede, fodi man kan opsætte folkepensionen. 5 Man miste således meget lidt i offentlige oveføsle, nå tilbagetækningen udskydes. Pesone, de ikke e medlem af eftelønsodningen, og som stoppe med at abede fø 65 å, skal leve fo egne midle fx af udbetalinge fa egen pensionsopspaing. Femtidige indkomste afhænge af alde fo tilbagetækning Indkomstene i esten af den 59-åiges liv afhænge af, hvonå han tække sig tilbage. Beslutningen om hvovidt han skal tække sig tilbage nu elle at udskyde tilbagetækning, indebæe en vudeing af den økonomiske gevinst af at fotsætte med at abede. I det følgende beskives gevinstene af at udskyde tilbagetækning fo de 59-åige i 2. Til det fomål ha vi beegnet hypotetiske effektive fomue med udgangspunkt i egistedata om de 59-åiges indkomstfohold. Med dette begeb fostås det samlede tilbagediskonteede foventede ådighedsbeløb fo en peson i esten af dennes liv. De effektive fomue bestå således af indtægte fa ehvevsabede og offentlige oveføsle efteløn, folkepensionens gundbeløb, pensionstillæg mv. efte modegning i ande indkomste og skat samt finansiel fomue og opspaet pensionsfomue efte skat. De effektive fomue beegnes fo hve hypotetisk tilbagetækningsalde mellem 6 og 67 å uanset den 59-åiges obseveede tilbagetækningsalde. 6 Udvikling i effektive fomue fo eftelønsbeettigede og ikke-beettigede Figu nedenfo vise udviklingen i de effektive fomue med tilbagetækningsaldene fo typepesone, de e foskellige med hensyn til ehvevsindkomst, pensionsopspaing og medlemskab af eftelønsodningen. Figu.a vise udviklingen i den effektive fomue opgot i niveau fo typepesone, de e beettigede til efteløn, mens figu.b vise ændingen i den effektive fomue, nå tilbagetækning udskydes i et å, fo de samme typepesone. Figu.c og.d vise tilsvaende opgøelse fo pesone, de ikke e med i eftelønsodningen. De effektive fomue vokse med tilbagetækningsaldeen De effektive fomue vokse, hvis de 59-åige fotsætte med at abede og få en indkomst, de e støe end eftelønnen. En 59-åig enlig boligee, de va beettiget til efteløn, men som ikke havde nogen pensionsopspaing kunne fovente at have en effektiv fomue på knap,9 mio. k., hvis vedkommende tak sig som 6-åig. Denne bestå af indkomste fa efteløn, folkepension og ældecheck fatukket skat. Hvis vedkommende ventede med at tække sig til 5 Muligheden fo at opsætte folkepensionen blev indføt i 25. Pesone, de ha tukket sig tilbage fø dette å, ha fomentlig ikke vidst, at det efte 25 ville blive tilladt at opsætte folkepensionen. 6 Beegningen af de effektive fomue e næmee beskevet i Dansk Økonomi, Foå 23

10 Side 8 af 46 6 å, ville den effektive fomue stige med knap 3. k. til godt,9 mio. k., f. figu.a. og figu.b. Stigningen skyldes, at pesonen få ehvevsindkomst. Til gengæld gå pesonen glip af offentlige pensionsindkomste isæ efteløn i det å. Fo de fleste gælde det, at ehvevsindkomsten støe end de offentlige oveføsle, man e beettiget til som pensionist. Defo stige den effektive fomue, hvis man udskyde tilbagetækning. Pensionsopspaing modegnes i eftelønnen Pensionsopspaing modegnes i eftelønnen, f. Dansk Økonomi foå 23, afsnit II.2. Men modegningen kan undgås, hvis pesonen udskyde tilbagetækning i 2 å og samtidig abede i denne peiode 2-ås-eglen. Fo medlemme af eftelønsodningen med en vis pensionsopspaing e de således positive finansielle incitamente til at udskyde tilbagetækningen til 62 å elle senee. Eftelønssatsen e 9 pct. af dagpengene. Hvis 2 åseglen opfyldes fohøes satsen til pct. af dagpengene. Dette e også et incitament til at udskyde tilbagetækning til 62 å. I figu.a-.d. kan skift i incitamentene ses ved, at kuvene knække. Således afspele knækkene ved 62 å, at gevinsten ved at udskyde tilbagetækning fa 6 til 62 å e støe end ved at udskyde tilbagetækning fa 6 til 6 å. Samlivsstatus påvike incitament til at tække sig som 62-åig Udbetalinge fa pensionsopspaing modegnes i pensionstillægget. Dette ha betydning fo det økonomiske incitament til at tække sig tilbage som 62-åig. Selvom 2-åseglen give mulighed fo at undgå modegning af pensionsopspaing i eftelønnen, kan denne økonomiske fodel blive ophævet af en hådee modegning i pensionstillægget. Fo at undgå modegning af pensionsopspaing i eftelønnen skal man fouden at opfylde 2-åsegelen også udskyde udbetaling af pensionsopspaingen til, man e fyldt 65 å. Fo pesone med liventeopspainge betyde det makant høee liventeudbetalinge, isæ fodi liventen foventes at skulle udbetales ove fæe å. Det medføe hådee modegning i pensionstillægget. Modegningen i pensionstillægget e mildee fo samlevende, fodi dees pensionstillæg e lavee. Isoleet set medføe det, at pa ha et støe økonomisk incitament til at tække sig som 62-åige end enlige. Boligeeskab påvike incitament til at tække sig som 62-åig En tilsvaende poblemstilling gælde fo boligydelse. Udbetalinge fa pensionsopspainge modegnes i evt. boligydelse fo leee. Hvis man opfylde 2 ås-egelen og vente med at få liventen udbetalt til, man e 65 å, kan man undgå modegning af pensionsopspaing i eftelønnen. Men det medføe støe liventeudbetalinge, og evt. mee modegning i boligydelsen. Dette educee det økonomiske incitament til at tække sig tilbage som 62-åig fo leee med en vis pensionsopspaing.

11 Side 9 af 46. k Figu. Udvikling i hypotetiske effektive fomue med tilbagetækningsalde. a Eftelønsbeettigede: niveau b Eftelønsbeettigede: ænding mio. k..5 mio. k..5 mio. k. 3. mio. k. 4. mio. k.. k. 4 3 mio. k..5 mio. k..5 mio. k. 3. mio. k. 4. mio. k k Alde Alde c Ikke-Eftelønsbeettigede: niveau d Ikke-Efteløns beettigede: ænding mio. k..5 mio. k..5 mio. k. 3. mio. k. 4. mio. k.. k mio. k..5 mio. k..5 mio. k. 3. mio. k. 4. mio. k Alde Alde Anm.: Figu.a. og.c. vise udviklingen i den hypotetiske effektive fomue fo typepesone hen ove tilbagetækningsalde. Den hypotetiske effektive fomue e opgot som den tilbagediskonteede sum af alle femtidige indkomste. Figu.b. og.d. vise ændingen i den effektive fomue, nå tilbagetækning udskydes i et å. Ændingen i den effektive fomue i punktet 6 å angive ændingen ved at udskyde tilbagetækning fa 6 til 6 å og tilsvaende fo de næste tilbagetækningsalde. De enkelte gafe e opdelt efte støelsen af pensionsopspaingen ved 59 å. Ligeledes e de foskel på ehvevsindkomsten. De e antaget en initial ehvevsindkomst som 59-åig på 2. k. fo typepesone med pensionsopspainge på mio. k. og,5 mio. k. Fo pesone med en pensionsopspaing på,5 mio. k. 3 mio. k. og 4 mio. k. e det antaget, at ehvevsindkomsten e 4. k. som 59-åig. De viste typepesone e enlige boligeee. Kilde: Egne beegninge på egistedata. Skift i finansielle incitamente bestemme tilbagetækningen Skiftene i de finansielle incitamente e med til at bestemme tilbagetækningen. Incitamentet til at tække sig som 62-åig elle senee vokse med pensionsopspaingen, f. figu..a-.d. 7 Samtidig gælde det, at andelen, de tække sig som 62-åige elle senee, stige med pensionsopspaingen, f. tabel 4. Det indikee, at de finansielle incitamente ha betydning fo valget af tilbagetækningsalde. 7 Det kan ses af, at knækkene e kaftigee o støe pensionsopspaing.

12 Side af 46 Ande faktoe end finansielle incitamente ha også betydning Blandt pesone med en pensionsopspaing på unde en ¼ mio. k. tække en sto andel sig tilbage som 62-åige på tods, at incitamentet til at udskyde tilbagetækning til 62 å e lille, f. tabel 4. Dette indikee, at ande faktoe end de finansielle incitamente også ha betydning fo tilbagetækningen Tabel 4. Tilbagetækning i pct. opdelt på samlet pensionsopspaing i k. eftelønsbeettigede eee. Fomue < 5. k k < fomue < ¼ mio. k ¼ mio. k. < fomue < ½ mio. k ½ mio. k. < fomue < ½ mio. k ½ mio. k. < fomue < 3 mio. k fomue > 3 mio. k. antal Anm.: Støelsen af pensionsopspaingen e opgot ved 59 å. Kilde: Egne beegninge på egistedata Empiisk model fo tilbagetækning med heteogenitet Den 59-åige stå ovefo et valg om, hvonå han skal tække sig tilbage. Hvis han vælge at fotsætte med at abede, vil han kunne tene løn elle anden ehvevsindkomst. Omvendt, hvis han vælge at tække sig tilbage, vil han kunne have mee fitid og modtage offentlige pensionsoveføsle og udbetalinge fa egen pensionsopspaing. Som egel e indkomsten som ehvevsaktiv støe end indkomsten som pensionist, f. figu.a-.d. Pesonens vædisætning af fitiden i fohold til den eksta indkomst som ehvevsaktiv bestemme, hvonå pesonen ønske at tække sig tilbage. Vædisætningen af fitiden i fohold til den eksta indkomst som ehvevsaktiv benævnes pæfeence fo fitid og fotolkes som den vægt, de angive nytten af pensionsindkomst i fohold til ehvevsindkomst. Fo eksempel hvis pæfeencene fo fitid e 2, betyde det, at pensionsindkomst give dobbelt så hø nytte som ehvevsindkomst. Han skal med ande od væe i stand til at tene mee end det dobbelte ved at foblive på abedsmakedet fo ikke at vælge tilbagetækning nu. I dette afsnit pæsentees en empiisk model fo tilbagetækning, som buge skiftene i de finansielle incitamente samt den faktiske tilbagetækningsalde til at identificee de 59-åiges

13 Side af 46 pæfeence fo fitid. 8 Føst pæsentees intuitionen bag modellen, mens modellen udledes i afsnit Intuition i tilbagetækningsmodellen Modellen i afsnit 3.2 e en model til analyse og femskivning af tilbagetækningsbeslutninge, som e inspieet af option value modellen med de tidligee nævnte foskelle Stock & Wise, 99. Udgangspunktet e en 59-åig peson, de skal vælge tilbagetækningsalde unde hensyntagen til de økonomiske gevinste af at udskyde tilbagetækning og vedkommendes pæfeence fo fitid. Samme tankegang som i Stock & Wise Tankegangen i modellen e den samme som i Stock & Wise 99 med de nævnte foskelle, f. indledningen: Den 59-åige betagte nyttegevinsten af at fotsætte med at abede i å mee. Så længe denne ovestige nyttetabet, vil pesonen fotsætte med at abede. Gevinsten af at fotsætte med at abede i et å e nytten af ehvevsindkomst minus skat, mens nyttetabet e mistet pensionsindkomst mv. usteet med mistet fitid i samme peiode. Pesonen tække sig tilbage, nå den maginale gevinst ikke længee ovestige det maginale tab. Foskelle i effektive fomue angive finansiel nettogevinst af abede De effektive fomue opgø den tilbagediskonteede indkomst i esten af livet fo givne tilbagetækningsalde. Den finansielle nettogevinst af at fotsætte med abede i et å e foskellen mellem de effektive fomue ved tilbagetækning henholdsvis nu og ået efte. Som egel e den diekte finansielle nettogevinst dvs. fø de ustees fo fitid - altid positiv, fodi de fleste ha støe ehvevsindkomst end pensionsindkomst. Ingen nytte fitid implicee meget sen tilbagetækning En peson, de ikke fobinde den mistede fitid ved at abede med et nyttetab, tillægge lønindkomst og pensionsindkomst den samme nytte. Denne peson vil udskyde tilbagetækning, så længe den finansielle nettogevinst af abede e positiv, hvilket nomalt afspeles i sen tilbagetækningsalde. Dette svae til en elativ vægtning af fitid på. Vægtningen anføes i det følgende med paameteen k. Specialtilfældet, hvo k =, e vist i figu 2.a. Figuen vise et eksempel på, hvodan den effektive fomue udvikle sig med tilbagetækningsaldeen. De effektive fomue kan også fotolkes som en budgetestiktion. Desuden e de aftegnet en indiffeenskuve fo tilbagetækning. Denne e meget flad, fodi pesonen e ligeglad, om indkomsten e pensionsindkomst elle ehvevsindkomst. Indiffeenskuven, som e appoximativt lineæ, e bestemt ud fa pesonens pæfeence fo fitid k, som økonometikeen ikke kende. Den optimale tilbagetækningsalde i modellen findes som det punkt på budget-kuven, de tangees af indiffeenskuven. I tangeingspunktet 8 Modellen e også udledt i Stephensen 23, hvo de også findes bevise fo theoemene.

14 Side 2 af 46 e nytten maksimeet. Hvis den effektive fomue stige med tilbagetækningsaldeen, vil det optimale tilbagetækningstidspunkt væe den seneste mulige tilbagetækningsalde he 67 å. Uendelig stoe pæfeence fo fitid implicee tidligst mulig tilbagetækning Hvis pesonen fobinde den mistede fitid ved abede med et nyttetab, vil han have støe nytte af pensionsindkomst end af lønindkomst. Han vil fotsætte med at abede, så længe nyttegevinsten af abede ovestige nyttetabet. Tilbagetækning vil da kunne ske, selv om den finansielle nettogevinst af abede stadig e positiv. Dette tilfælde svae til k>. Hvis k afspeles det i en meget stel indiffeenskuve fo tilbagetækning, f. figu 2b. Pesone, de ha uendelig stoe pæfeence fo fitid vil tække sig tilbage så tidligt som muligt, uanset støelsen af den finansielle nettogevinst af at fotsætte med at abede. I modellen e den tidligste tilbagetækningsalde 6 å. Nomale pæfeence fo fitid k e Figu 2.c vise indiffeenskuven fo en peson, de ha < k <. Indiffeenskuven ha positiv hældning. I eksemplet i figu 2c, e den optimal tilbagetækningsalde hveken e i modellens stat- elle slut-å. Det femgå desuden, at støe k e stelee indiffeenskuve tække i etning af tidligee tilbagetækning, og at minde k e fladee indiffeenskuve tække i etning af senee tilbagetækning, f. figu 2.d. Indiffeenskuves hældning e bestemt af k.. og af nytteniveauet Indiffeenskuvens hældning e bestemt af k, idet støe k e afspeles i stelee indiffeenskuve, f. figu 2.d. Indiffeenskuvens hældning e også bestemt af nytteniveauet, idet indiffeenskuven fo et høt nytteniveau e stelee end indiffeenskuven fo lavt nytteniveau. Identifikation af pæfeence fo fitid fo hve 59-åig Økonometikeen kende ikke de 59-åiges k e. Det e dem, vi ønske at estimee. Det antages i modellen, at den 59-åige kende de femtidige indkomste fo hve hypotetisk tilbagetækningsalde, dvs. de effektive fomue. Med udgangspunkt i denne infomation samt viden om den 59-åiges faktiske tilbagetækningsalde e det muligt at finde vædie af k- paameteen, de e konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde. De konsistente k e e afbilledet af indiffeenskuve, de tangee effektive fomue-kuven i punktet fo den faktiske tilbagetækningsalde. I tangeingspunktet e nytten maksimeet mht. tilbagetækningsalde. Flee foskellige løsninge fo k i den deteministiske model Det femgå af figu 2.e., at de godt kan væe flee k e, de e konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde fo en peson. Dette ses af, at flee foskellige hældninge på indiffeens-kuven og demed foskellige k-vædie kan væe konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde.

15 Side 3 af 46 Entydige løsninge fo k i stokastisk model med uobseveet heteogenitet Det antages, at tilbagetækningsbeslutningen også e bestemt af ikke-økonomiske incitamente, som e kendt af den 59-åige, men ikke af økonometikeen. De ikkeøkonomiske incitamente kaakteisees som uobseveet heteogenitet, de e tilfældig fodelt. Tilstedevæelsen af uobseveet heteogenitet gø det muligt at estimee entydige k e fo hve peson ved hælp af økonometiske metode. Dette beskives i de to næste blokke. Sandsynlighed fo en tilbagetækningsalde givet k Antag at økonometikeen kende den 59-åiges økonomiske fohold de effektive fomue. Antag desuden fo et øeblik at økonometikeen kende den 59-åiges sande pæfeence fo fitid. Da vil han kunne udegne sandsynligheden fo tilbagetækning i hve af de hypotetiske tilbagetækningsalde. F.eks. hvis k=,5 vil økonometikeen kunne udegne sandsynligheden fo tilbagetækning i hve af de hypotetiske tilbagetækningsalde. Tilsvaende vil han kunne udegne tilbagetækningssandsynlighedene, hvis k=, og osv. Fo alle mulige k e beegnes tilbagetækningssandsynlighedene. Disse sandsynlighede angive sandsynligheden fo tilbagetækning i hve hypotetisk tilbagetækningsalde givet k og skives som P k, hvo angive tilbagetækningsaldeen. P k afspele nytten af at tække sig tilbage i hve alde. Hypotetiske tilbagetækningsalde, de ha elativ sto nytte, ha også sto sandsynlighed fo tilbagetækning, og den alde, de ha støst nytte, ha også den støste sandsynlighed. Omvendt hvis de økonomiske incitamente e meget små, e sandsynligheden fo tilbagetækning i den pågældende alde meget lille. Tick: Sandsynlighed fo et k givet den faktiske tilbagetækningsalde udledes ekusivt Det antages desuden, at k ene i befolkningen e tukket fa en fodeling. Økonometikeen kende ikke de 59-åiges k e. Det e o dem, vi ønske at estimee. Men han kende de 59- åiges tilbagetækningsalde. Da kan P k vendes om, således at sandsynlighedene fo hvet k givet den faktiske tilbagetækningsalde beegnes. Disse benævnes P k. Konket anvendes Bayes egel til at udlede P k. Bayes egel udnytte følgende viden: Hvis en peson tække sig tilbage sent, e det et tegn på lille k, og hvis han tække sig tidligt, e det et tegn på stot k. Nogle tilbagetækningsalde e svæe at finde løsninge fo Nogle tilbagetækningsalde e svæe at finde løsninge fo. Hvis de finansielle incitamente til tilbagetækning e meget små, e det ikke altid muligt at finde k e, de e konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde. Dette e vist i eksemplet i figu 2.f. Det ses, at de finansielle incitamente til at tække sig tilbage som 65-åige e meget små fo den pågældende peson. Effektive fomue-gafen e konveks i dette punkt. Det e således ikke muligt at finde en indiffeenskuve, de tangee effektiv-fomue-gafen i 65 å. I modellen uden uobseveet heteogenitet betyde det, at de ikke eksistee et k, de e konsistent med, at pesonen tække sig tilbage som 65-åig. I modellen med uobseveet heteogenitet e det deimod muligt at beegne sandsynligheden fo alle k e, givet tilbagetækningsaldeen 65 å,

16 Side 4 af 46 idet sandsynligheden fo den faktiske tilbagetækningsalde også e bestemt af de ikke finansielle incitamente fouden de finansielle incitamente. Figu 2. Optimal tilbagetækningsalde i tilbagetækningsmodellen. a k = b k = K. K. Indiffeens-kuve Effektiv fomue Indiffeens-kuve Effektiv fomue K. 62 å 65 å Tilbagetækningsalde Indiffeens-kuve 67 å 6 å 62 å 65 å Tilbagetækningsalde c k > d Stigning i k medføe tidligee tilbagetækning K. Indiffeens-kuve k Effektiv fomue k'' > k' k' > k Effektiv fomue K. 62 å 65 å Tilbagetækningsalde 62 å 65 å Tilbagetækningsalde e Inteval af konsistente k e f Ingen løsning i deteministisk model Indiffeens-kuve K. Indiffeens-kuve Effektiv fomue Effektiv fomue 62 å 65 å Tilbagetækningsalde 62 å 65 å Tilbagetækningsalde

17 Side 5 af 46 Hø initialfomue tække i etning af tidlig tilbagetækning En pesons initiale finansielle nettofomue e givet af den samlede pensionsopspaing, aktie, obligatione, indestående på bankkonti, eendomsvædie mv. samt gæld. En sto initial finansiel nettofomue implicee også en sto initial effektiv fomue. Hvis denne e sto elativt til nettogevinsten af at foblive på abedsmakedet, tække det i etning af tidlig tilbagetækning, f. figu 3.a. F.eks. e en nettogevinst af at udskyde tilbagetækning i ét å på fx. k. elativt lille, hvis den initiale effektive fomue e mill. k., men elativt sto, hvis den initiale effektive fomue e. k. Det finansielle incitament til at udskyde tilbagetækning afhænge således af støelsen på den initiale fomue. Tilsvaende tække elative stoe nettogevinste af at udskyde tilbagetækning i etning af senee tilbagetækning. K. Figu 3. Optimal tilbagetækningsalde i tilbagetækningsmodellen. a Sto initialfomue medføe tidlig tilbagetækning Indiffeens-kuve Effektive fomue b Skift i de finansielle incitamente ved en given K. tilbagetækningsalde Indiffeens-kuve fo fobuge solid og fobuge 2 stiplet Effektive fomue 62 å 65 å Tilbagetækningsalde 62 å 65 å Tilbagetækningsalde c Skift i de finansielle incitamente ved en given tilbagetækningsalde K. Indiffeens-kuve Effektive fomue 62 å 65 å Tilbagetækningsalde Skift i de finansielle incitamente tække i etning af tilbagetækning i skifteået Skift i de finansielle incitamente hen ove tilbagetækningsalde tække i etning af tilbagetækning i skifteået. Skift i de finansielle incitamente opstå, hvis den finansielle nettogevinst af at udskyde tilbagetækning e sæligt sto fo en bestemt tilbagetækningsalde. Dette kan ses ved, at effektiv fomue-kuven knække i dette punkt, f. figu 3.b. Modellen vil da foudsige, at tilbagetækningen e koncenteet omking aldeen

18 Side 6 af 46 med sæligt stoe finansielle incitamente. Dette kan ses ved, at indiffeenskuve med mange foskellige hældninge tangee effektiv fomue-kuven i den alde, hvo incitamentene skifte..men det modsatte kan også væe tilfældet Skift i de finansielle incitamente hen ove tilbagetækningsalde kan dog også komme af, at den finansielle nettogevinst af at udskyde tilbagetækning til en bestemt alde e sæligt lille, f. figu 3.c. Da vil modellen foudsige, at meget få tække sig tilbage i den pågældende alde. Betydningen af ρ Nyttefunktionen i tilbagetækningsmodellen e en standad CES-nyttefunktion f. ligning 2 i næste afsnit, som ha konstant elative isikoavesion CRRA. Paameteen ρ e koefficienten fo den elative isikoavesion, og / ρ angive den intetempoale substitutionselasticitet IES. Nå ρ =, e fobugeens nyttefunktion additiv. Fobugeen ha defo ingen pobleme med at give afkald på fobug på kot sigt, bae de ske en kompensation senee. Lidt populæt kan man sige, at fobugeen ha mottoet: hvis eg ikke få mad i dag, kan eg o bae spise lidt mee imogen. Hvis omvendt ρ =, da e nyttefunktionen limitationel. I dette tilfælde vil fobugeen ikke acceptee nogen som helst vaiation i fobuget. Fobugeen optimee ved at vælge det konstante fobugsniveau, de e muligt givet den femtidige indkomst-støm, og man kan sige at fobugeen udføe fuldstændig fobugsudævning. Geneelt angive ρ < lave pæfeence fo fobugsudævning, mens > ρ angive pæfeance fo fobugsudævning. Som tidligee nævnt e de koncensus fo vædien ρ = 2, dvs. fo at fobugeene ha en vis pæfeence fo fobugsudævning. Lav vædi af ρ tække i etning af sen tilbagetækning Nå pesonen ikke tillægge timingen af sit fobug sto vægt, hvilket svae til en vædi af ρ tæt på, indebæe det, at fobugeen e mee tilbøelig til at udskyde sin tilbagetækning fo også at kunne opnå et høt fobugsniveau i femtiden, end en peson de tillægge femtidigt fobug elativt lidt nytte. Denne fobuge vægte femtidige stigninge i fobuget høee end en fobuge med høe pæfeence fo fobugsudævning sto vædi af ρ. Femtidige finansielle nettogevinste af at udskyde tilbagetækning vægte defo høee fo fobugeen med additiv nytte. Isoleet set implicee det, at fobugeen med additiv nytte opnå en støe nyttegevinst af at udskyde tilbagetækning end fobugeen med høe pæfeence fo fobugsudævning. 9 9 De antages pefekte kapitalmakede i modellen, så det e muligt at fobugsudævne. Diskonteingen af de femtidige indkomste gø dog, at de e omkostninge fobundet med at femykke femtidigt fobug til nutiden.

19 Side 7 af 46 ρ s vædi påvike estimatet af k Støelsen på ρ ha betydning fo, hvilke k e, de e konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde - med ande od estimatet af k. F.eks. antag at både fobugeen med additiv nytte og fobugeen med stæke pæfeence fo fobugsudævning tække sig tilbage på samme tidlige tidspunkt. Eftesom fobugeen med additiv nytte i foveen fobinde nettogevinsten af at udskyde tilbagetækning med støe nytte end fobugeen med høe pæfeence fo fobugsudævning, vil det kæve et støe k fo fobugeen med additiv nytte, fo at få det til at væe konsistent med den tidlige tilbagetækning, end fo fobugeen med høe pæfeence fo fobugsudævning. ρ bestemme kumningen på indiffeenskuvene fobug ρ bestemme kumningen på indiffeenskuvene fo fobug. Dette e beskevet næmee i afsnit 4.3. φ e en vægt fo betydningen af de økonomiske incitamente ift. de ikke-økonomiske incitamente Det antages, at de e uobseveet heteogenitet i modellen. Den uobseveede heteogenitet beskive ikke-økonomiske incitamente, de påvike tilbagetækningsbeslutningen. Den uobseveede heteogenitet e kendt af den 59-åige, men ikke af økonometikeen. Den uobseveede heteogenitet kan opfattes som stø i modellen. Paameteen φ e en vægt fo betydningen af de økonomiske incitamente fo valget af tilbagetækningsalde ift. de ikkeøkonomiske incitamente. Meget stø i modellen implicee, at den foventede tilbagetækning e lige fodelt i alle tilbagetækningså En meget lille vædi af φ angive, at de uobseveede ikke-økonomiske incitamente ha sto betydning fo tilbagetækningsbeslutningen. Det implicee, at den foventede tilbagetækning e lige fodelt i alle tilbagetækningså. Omvendt hvis φ e meget sto, betyde det, at tilbagetækningen i sto gad kan foklaes af de økonomiske incitamente. φ ha betydning fo effekten af politikke, de påvike de finansielle incitamente Politikke, de påvike de økonomiske incitamente til at udskyde tilbagetækningen, ha lille effekt, hvis tilbagetækningen i hø gad e bestemt af ikke-økonomiske incitamente. Jo støe betydning de økonomiske incitamente ha fo tilbagetækningsbeslutningen, o støe effekt vil de økonomiske politikke have. Betydningen af φ afhænge af modellens øvige paamete φ e ikke nomeet. Skalaen φ skal vudees på, afhænge af modellens øvige paamete. En vædi af φ på f.eks. mill betyde elativt meget stø, hvis ρ = 2 og ekstemt lidt stø, nå ρ e lig,5.

20 Side 8 af Model En peson skal beslutte sig fo sin tilbagetækningsalde. Det antages, at pesonen kende sine femtidige økonomiske fohold lønindkomst, ente, pensione, offentlige oveføsle osv., men at de e usikkehed med hensyn til levealde. De antages pefekte kapitalmakede, så pesonen e ikke keditestikteet. Den maksimale levealde e T. Beslutningen om tilbagetækningsalde skal tages ved alde alde svae til 59 å med udgangspunkt i pesonens kendskab til sine femtidige økonomiske fohold. Infomationene om de femtidige økonomiske fohold opdatees ikke efte alde, hvilket medføe, at valget af tilbagetækningsalde ligge fast efte alde. De skal vælges en tilbagetækningsalde i intevallet Tp. I peioden T p til T vil pesonen med sikkehed væe pensioneet. Nytten som -åig, givet tilbagetækningsaldeen, antages at væe: U = φ V + ε hvo V e den tilbagediskonteet foventede nytten af fobug og fitid og uobseveba heteogenitet den 59-åige kende ε e ε - det gø økonometikeen ikke. Paameteen φ angive den vægt, de tillægges den deteministiske del af nyttefunktionen. / φ kan også fotolkes som et udtyk fo vaians i det stokastiske led. De antages en standad CES-nyttefunktion. Den foventede nytte V af at fobuge i alle femtidige peiode e givet ved hvo V = T s= γ s ; k = k > γ ; k s c s ρ fo s fo s ρ β s < 2 Paameteen k angive den positive nytteeffekt af at tække sig tilbage, dvs. pæfeence fo fitid. Paameteen β s e defineet ved: hvo β t t µ s θ s= + µ s e dødssandsynligheden ved alde s og θ e den subektive tidspæfeenceate. Det antages at µ T =. Paameteen ρ angive pæfeence fo fobugsudævning ove tid. Nå ρ = e nytten den samme uanset tidspunktet fo fobug det svae til additiv nytte. Geneelt angive ρ < meget lave pæfeence fo fobugsudævning. Nå ρ = 2 betyde det, at fobugeen ha støst nytte af et ævnt fobug ove tid. ρ = angive Leontief-pæfeence dvs. at

21 Side 9 af 46 fobugeen kun opnå nytte af et intetempoalt fobug i et fast fohold. Afsnit 4.4 indeholde en mee detaleet edegøelse fo ρ s betydning i modellen. Fobugeen stå ove fo den intetempoale budgetestiktionen A s = + s- A s- + y s c s ; A T = ; < s < T 3 hvo A s e finansiel fomue, y s e løbende indkomst, c s e fobug og s e ente på finansielle aktive. Den løbende indkomst e givet ved: < = = s fo B s fo Y y y s s s s hvo Y s e ehvevsindkomst og B s e pensionsudbetalinge givet tilbagetækningstidspunktet. Lemma. En fobuge de maksimee nyttefunktionen unde budget-estiktionen 3 og som ha den initiale fomue A ved alde, vil have den indiekte nyttefunktion: k k U ε ρ φ ρ + = ; Vˆ ; 4 hvo ; ; Vˆ k P H A k + = 5 H og P ; k e defineet ved = T s s R s y H ; ; = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ β γ T s s s s R k k P Tilbagediskonteingsfaktoen R s e defineet ved i i R v s v v s v s + = + = = = µ Bevis: Se appendiks Stephensen 22. Vaiablen H e indkomststømmen tilbagediskonteet til alde, givet tilbagetækningsaldeen. H svae til de effektive fomue minus den initiale finansiel fomue. Bemæk at tilbagediskonteingen ske med enten dvs. uden inddagelse af dødssandsynlighede. P ; k e et CES-pisindeks. Det e muligt at estimee en stuktuel model givet ved 4. Fo givne antagelse om fodelingen på ε kan k og φ og ρ estimees. Antages ε at væe exteme-value-fodelt

22 Side 2 af 46 beskive 4 en logit-model. Hvis ε e nomalfodelt fås en pobit-model. Vi antage i det følgende at estledene e exteme-value-fodelte. Sandsynligheden fo tilbagetækning ved alde e da givet ved logit-specifikationen: Bemæk at P k, φ = ˆ ρ V ; k exp φ ρ ˆ T p V ; exp s k = φ s ρ P k, = T p ρ 6 og at hvo lim P * k, φ = φ V * = ag max ; ρ k T p ρ 7 Hvis φ = e valget af tilbagetækningså helt tilfældigt. Hvis omvendt φ = e valget af tilbagetækningså helt deteministisk: det å vælges de maksimee den indiekte nyttefunktion. Bemæk desuden at og at P, φ = ρ φ A + H exp ρ P T p φ A + H s exp s= ρ P lim P k, φ = k ρ 8 Hvis k = svaende til at nyttefunktionen e upåviket af tilbagetækningstidspunktet e de en positiv sandsynlighed fo alle tilbagetækningsalde. Antages det at H e voksende i hvilket typisk vil væe tilfældet, vil de væe elativ lav sandsynlighed fo tidlig tilbagetækning, og elativ hø sandsynlighed fo sen tilbagetækning. Hvis omvendt k = svaende til at tilbagetækning give et uendeligt stot hop i nyttefunktionen ville alle tække sig så hutigt som muligt - dvs. ved alde.

23 Side 2 af Det deteministiske tilfælde Nå φ = e de ingen uobseveet heteogenitet. Den optimale tilbagetækningsalde kan da findes ved at løse ligning 7 fo givne vædie af k. Heefte findes de vædie fo k, de e konsistente med den faktiske tilbagetækningsalde Estimation af pæfeence-fodeling Antag nu at de e n fobugee. Lad os antage, at vi i voes dataset ha d = A H,..., H T,, p, dvs. hypotetiske effektive fomue fo hve tilbagetækningsalde fo hve fobuge, samt den faktiske tilbagetækningsalde, { },...,T p. Sandsynligheden til tidspunkt fo at den 'te fobuge tække sig tilbage ved aldeen antages at væe givet ved: hvo P = Vˆ exp φ ρ k, ρ T p Vˆ s; k s = exp φ ; k ρ ρ φ 9 Vˆ A H ; k = P ; k + Fobuge s den 59-åiges hypotetiske effektive fomue fo hve tilbagetækningsalde e givet ved x : Det ses, at 9 kan skives som: A + H,..., A H T x = + P p k = π k; φ, x Vi antage nu, at x e tukket fa en fodeling, hvis tæthedsfunktion e f x, x X. På samme måde antages k at væe tukket fa en fodeling, hvis tæthedsfunktion e givet ved p k, k. Vi antage altså, at x og k e uafhængige. Og vi antage at fobugene kan have foskellige vædie af k-paameteen dvs. at fobugene ha foskellig diekte nytte-effekt af at tække sig tilbage. Hvo x e en obseveba paamete bestemt af obektive økonomiske fohold e k en ikke-obseveba nyttepaamete. Det skal vises at vi fo givet dataset d =,... n og paamete φ kan udføe en ikke-paameteisk estimation af fodelingen p k. Ifølge Bayes egel gælde det, at hvo P k π k; φ, x P ; φ, x p k =

24 Side 22 af 46 P ; φ, x π k; φ, x p k dk Støelsen P k udnytte infomationen om, hvad den 'te fobuge faktisk gode = til at beegne en sandsynlighedsfodeling fo hvad hans k va. pk e den gennemsnitlige populationsfodeling, mens P k e den betingede individuelle fodeling. Føstnævnte e fodelingen af pæfeence i befolkningen, mens sidstnævnte angive sandsynligheden fo, at fobuge ha et givet k betinget af hans faktiske tilbagetækningsalde. Hvis en fobuge tække sig sent, kan det væe et tegn på, at han ha et lille k, og hvis han tække sig tidligt, kan det væe tegn på, at han ha et høt k. Denne intuition gøes pæcis via det Bayesianske appoach beskevet ved. Hvis P k kan buges til at skønne ove den enkeltes fobuges k, kan gennemsnittet ove alle fobugees P k mon så ikke give et skøn ove k's fodeling i den elevante population? Det kan den faktisk: Theoem 2. De e n fobugee. Den 'te fobuges sandsynlighed fo at tække sig tilbage ved alde e givet ved. Vi antage at i x e tukket fa en fodeling, hvis tæthedsfunktion e fx, x X, ii k e tukket fa en fodeling, hvis tæthedsfunktion e givet ved pk, k. Det gælde da at n lim P k = p k n n = hvo P k e defineet ved, hvis og kun hvis P k e beegnet ud fa den koekte populatoionsfodeling pk. Bevis: Se Stephensen 22. Umiddelbat se theoem 2 lovende ud: vi kan beegne k's fodeling pk givet voes data og logit-antagelsen. De e imidletid et poblem. Ifølge skal vi kende pk fo at beegne P k. Theoem 2 kan defo ikke buges til at udpege pk diekte, men kun til at opstille et fix-punkts poblem, de ha pk som løsning. Det femgå af theoem 2, at hvis man vælge en foket populationsfodeling Pˆ k pk i sin beegning af den betingede individuelle fodeling P k, da vil det gælde at n n P k pˆ k n lim 2 = Foecasting inden fo estimationssamplet Antag vi ænde de individuelle finansielle kaakteistika fa x til x fo alle. Vi ønske at beegne effekten af dette på tilbagetækningsaldene. Fo det enkelte individ e den betingede fodeling det bedste bud vi ha på den enkeltes k. Sandsynligheden fo, at det enkelte individ tække sig som -åig e defo

25 Side 23 af 46 dk x P k p x k x k dk k P x k x pob, ;, ; ', ; ', ; ' φ φ π φ π φ π = = 3 Det samlede antal tilbagetukne ved alde e givet ved: = = n x pob N ' Likelihood-funktion Ved estimation af φ og evt. ρ e det nødvendig med en likelihood-funktion. Jvf. sidste afsnit kan vi beegne sandsynligheden fo, at en peson gode det han ent faktisk gode = 2, ; ;, ; ; dk x P k p x k x pob φ φ φ π φ Bemæk at vi skive den betingede fodeling som p k;φ. Dette skyldes, at voes estimat af den betingede fodeling e fo givent φ. Sandsynligheden fo det givne data-set e = = n x pob L ; φ således at vi få en log-likelihood-funktion: = = n dk x P k p x k LL 2, ; ;, ; log φ φ φ π 5 Paameteen φ skal vælges således, at denne funktion maksimees Tilbagetækning neutal ved lige stoe stigninge i indkomste og fomue Det bemækes, at det i modellen e antaget, at tilbagetækningen e homogen af. gad. Det betyde, at den optimale tilbagetækningsalde e uændet, hvis ehvevsindkomstene og den effektive fomue stige med lige mange pocent. Dette implice, at tilbagetækningsaldeen ikke påvikes af, at samfundet som helhed blive igee alle indkomste blive lige meget støe. 4. Estimation og esultate I dette afsnit pæsentees esultate fa estimatione af tilbagetækningsmodellen, f. afsnit 3. Estimationene tage udgangspunkt i egistedata fo cohoten af 59-åige i 2. Disse pesone e født i 942. Tabel 4 vise esultatene fo en model, de e estimeet fælles fo alle de 59-åige. Dvs. modellen antage, at populationsfodelingen ; φ k p e fælles fo alle guppe. Medianen af k

26 Side 24 af 46 e,57. Det svae til, at nytten af én pensionskone e henholdsvis,57 høee end af én kone i ehvevsindkomst. φ e sto φ = 8mio., hvilket indikee at nytten og demed tilbagetækningen isæ e bestemt af de økonomiske incitamente, f. ligning. Tabel 4. Estimationsesultate fo fælles model fo 59-åige i 2. Estimate. kvatil: E[k] Median: E[k] 3. kvatil: E[k] φ,35,57,82 8 mio. Andel missing Antal obs 54% Anm.: Modellen e estimeet fo de beskæftigede 59-åige unde et fo σ = 2 Kilde: Egne beegninge på egistedata Fit til den faktiske tilbagetækning Modellen e elativt god til at foudsige den faktiske tilbagetækning. Den foudsige, at støstedelen af tilbagetækningen klumpe sig sammen ved aldene 6 og 62 å, men den ovevudee tilbagetækningen ved 6 å og 67 å og undevudee tilbagetækningen ved 62 å, f. tabel 5. I det følgende undesøges modellens evne til at foudsige tilbagetækningen fo foskellige guppe. Tabel 5. Foventet tilbagetækning i modellen i pct. Faktisk elle senee 3 2 Foventet Anm.: Figuen angive den faktiske og foventede tilbagetækning blandt de beskæftigede 59-åige, nå =2 σ. Den foventede tilbagetækning e beegnet vha. ligning 4. Kilde: Egne beegninge på egistedata. 4.. Missing values og numeiske pobleme De e en sto andel af missing values, f. tabel 4. Godt halvdelen af obsevationen e udeladt fa estimationene. De missing values komme af, at modellen ikke kan udegne tilbagetækningssandsynlighede fo mange pesone, f. ligning 6. Defo e disse pesone i føste omgang udeladt af beegningene. Poblemet e numeisk, som skyldes, at nævneen i ligning 6 kan blive så lille, at voes estimationspogam ikke kan skelne den fa. Defo kan tilbagetækningssandsynligheden ikke udegnes og demed helle ikke k. Fo de pågældende