Forwardkurve modellering

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forwardkurve modellering"

Transkript

1 Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.(mat) Kandidatafhandling Afleveret den 15. april 2011 Forwardkurve modellering af Gas, Elektricitet og CO 2 -implementering og prisfastsættelse af Tolling kontrakt på gasfyret kraftværk Flemming Due Forfatter: Flemming Due Vejleder: Peder Thomas Petersen Antal anslag:

2

3 Abstract This thesis focuses on forward curve modeling of gas, electricity and CO 2 to price a Tolling Agreement on a gas-fired power plant. While the overall goal of the thesis is to price the power plant, the entire process on how to reach the price is as important as the pricing itself. The findings from the process of modeling the forward curves for the three above-mentioned commodities are briefly presented in this abstract. Since Holland is one of the countries in Europe that produces the highest percentage of its total electricity from gas, it is an appropriate market for the modeling of gas, electricity and CO 2. Consequently, Dutch data is used for analyses of prices and returns on gas, electricity and CO 2. From these analyses it is found that there is a clear co-variation between the three commodities. However, in general there is a stronger relation between gas and electricity compared to any co-variation in which CO 2 takes part. After having analyzed the commodity returns, the co-integration test is carried out. This test indicates that the three commodities may be co-integrated which implies that the co-integrated model seems fair to use. As a result of this, the idea is to make a co-integrated model in which the linear combination of gas, electricity and CO 2 is stationary. By implementing and calibrating the model to the Dutch market data, I get the result that the model seems to be doing the best job when modeling the data with two factors: one Brownian motion for the long term level and one mean reverting process around the long term level to capture the shocks in the market. In the I get the price of a Tolling Agreement by making Monte Carlo simulation on the estimated model. 3

4 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Opgavens struktur Andet Energimarkedet Elektricitetsproduktion i Europa Elektricitet Gas CO Clean Spark Spread Tolling kontrakt Motivation Dataanalyse Data Deskriptiv statistik Stationaritet Streng stationaritet Svag stationaritet ACF Enhedsrodstest Kointegration Engle-Granger test Delkonklusion Modellen Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model Tilpasning til modellen Sæson Sæsonfunktion til simulering af priser Delkonklusion Principal Component Analyse Generelt om Principal Component Analyse Resultater fra Principal Component Analysen Startgæt til estimationen Delkonklusion

5 Indhold 5 6 Estimation af modellen Modellen og Kalman Filter Maximum Likelihood Estimation Hessematricen Delkonklusion Estimationsresultater Resultater for 2-faktor model Udfordringer og tenser Modellen med 2 råvarer Overvejelser i forhold til data Delkonklusion Prisfastsættelse af Tolling kontrakt Monte Carlo Simulering Stiafhængighed Praktisk implementering Simulerede værdier Delkonklusion Konklusion 67 A MATLAB kode 69 A.1 Hovedfilen til kalibrering af modellen A.2 Kalman filter kode A.3 Hovedfilen til Monte Carlo Simuleringen A.4 Simulering af én sti B Tabeller 78 B.1 Estimation af sæson B.1.1 F-tests resultater C Figurer 82 C.1 ACF plots Litteratur 84

6

7 Kapitel 1 Indledning Energimarkedet i Europa har gennem de seneste 20 år forandret gennemgået store forandringer. Elektricitetsmarkedet er blevet liberaliseret og priserne er dermed blevet gjort frie og bliver nu fastsat efter udbud og efterspørgsel. Konsekvensen af dette har været større konkurrence og store prisudsving i markedet, der har medført større risiko for købere og sælgere af store mængder elektricitet. På den baggrund er der blevet flere og flere derivater på elektricitet og energirelaterede produkter generelt. Dette gør det interessant at prisfastsætte dem, bl.a. ud fra en kvantitativ betragtning. Da der er begrænsede lagringsmuligheder for gas og elektricitet, skal det bruges løbe og dermed er der ikke kun risiko ved prisændringer, men også i at man skal afsætte det. Liberaliseringen er sket op gennem 90 erne og starten af det nye århundrede og markedet for derivater på elektricitet og gas er derfor stadig forholdsvis nyt. I 2005 blev der indført CO 2 -kvoter i Europa for at opnå mere miljøvenlig produktion og levevis. Dette har medført at elproduktionen går mod at være mere og mere miljøvenlig. Vandkraft og vindenergi er nogle af de mest miljøvenlige elproduktionsmetoder der findes, men disse er ikke alene nok til at forsyne befolkningen. Kernekraft er også meget miljøvenligt, men som senest set i Japan er der også store risici forbundet med det. Af fossile produktionskilder er gas den mest miljøvenlige, mens kul er den mest forurene. Flere steder, specielt også i Danmark, er man på vej væk fra produktion fra kul til mere miljøvenlige kilder som biomasse og gas. Det er derfor interessant at se på sammenhængene mellem priserne på gas, elektricitet og CO 2. Afhandlingen vil omhandle modellering af forwardkurver for gas, elektricitet og CO 2 med henblik på at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland. Afhandlingen tager udgangspunkt i R. Paschke & M. Prokopczuk s artikel Integrating Multiple Commodities in a Model of Stochastic Price Dynamics, som jeg vil undersøge om kan bruges til at modellere gas, elektricitet og CO 2 med. 1.1 Problemformulering Det overordnede mål med opgaven er at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland ud fra en kvantitativ metode. Til dette tager jeg udgangspunkt i R. Paschke & M. Prokopczuk s artikel Integrating Multiple 7

8 8 Kapitel 1. Indledning Commodities in a Model of Stochastic Price Dynamics. I artiklen er modellen brugt til oliefutures, men jeg vil implementere modellen for elektricitet, gas og CO 2 futures. Det er ikke resultatet af prisfastsættelsen der alene er det vigtigste, men i lige så høj grad hele processen om at nå prisfastsættelsen. Dette kan ses som en række delmål: Give et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Europa og introducere læseren til de energirelaterede emner afhandlingen omhandler. Analysere udvalgte dataserier for gas, elektricitet og CO 2 hver for sig og sammenhængen mellem dem. Præsentere R. Paschke & M. Prokopczuk s model samt tilpasninger til den. Implementere og kalibrere modellen til hollandsk data. Analysere og vurdere de estimerede parametre for modellen. Prisfastsætte Tolling kontrakten med modellen og de estimerede værdier for modellens parametre. 1.2 Afgrænsning Kandidatafhandlingen har følge afgrænsninger: Der vil ikke blive gået i dybden med prisdannelsen, egenskaber m.m. for gas, elektricitet og CO 2, men de vil kun blive gennemgået på et introducere niveau, da fokus i denne afhandling ligger i modellering og implementering. Modellen vil kun blive implementeret for det hollandske marked, men andre geografiske områder kunne også være interessante. Modellen bliver kun implementeret med gas, elektricitet og CO 2, men andre og/eller flere relaterede råvarer kunne også være relevante at implementere i modellen. Kointegrationstesten der bruges er Engle-Granger testen. Johansen testen vil ikke blive benyttet. Modellen bygger på forwardteori, men som i Paschke & Prokopczuk s tilfælde, er det data jeg kalibrerer modellen med også futurespriser. Der vil ikke blive justeret for dette, men i stedet antages at det modellen også gælder for futurespriser. Metoden for den kaniske form der bruges på ligning (4.13) i kapitel 4.1 vil ikke blive gennemgået, men det antages blot at den bruges. Søgemetoden i optimeringsalgoritmen vil ikke være uddybet. Der henvises til Matlab for dybdegåe information og videre referencer inden for metoden.

9 1.3. Opgavens struktur 9 Prisen på Tolling kontrakten, der findes ved prisfastsættelsen, vil ikke blive undersøgt nærmere, da det vil kræve indgåe kskab til værdien af et kraftværk i Holland. Prisfastsættelsen baseres kun på den simulerede prisudvikling fra modellen og tager ikke højde for andre ting. 1.3 Opgavens struktur Kandidatafhandlingen har følge struktur: I kapitel 2 gives et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Europa for at give en forståelse af sammenhænge mellem de forskellige geografiske markeder og de forskellige energirelaterede råvarer. Derefter bliver Clean Spark Spread et og Tolling kontrakten introduceret. Dette kapitel har primært til formål at introducere læseren til energirelaterede emner så denne er godt klædt på til resten af afhandlingen. I kapitel 3 vil data blive analyseret. Analysen vil blive lavet på en udvalgt serie for gas, en for elektricitet og en for CO 2, hvor der vil blive set nærmere på dem hver for sig og deres fælles træk. Der vil blive lavet enhedsrodstest på hver af dem og der vil blive lavet Engle-Granger kointegrationstest på dem for at se om de er kointegrerede. I kapitel 4 vil Paschke & Prokopczuk s model blive præsenteret og der vil blive gennemgået en tilpasning til modellen. I kapitel 5 vil Principal Component Analyse blive introduceret og blive udført på data, for at vurdere hvor mange uobserverbare faktorer der skal bruges, for at modellen beskriver prisudviklingen i råvarerne. I kapitel 6 vil Kalman filteret og estimationsproceduren i forhold til modellen blive gennemgået. I kapitel 7 vil der blive set nærmere på estimationsresultater, udfordringer og tenser ved kalibreringer af modellen med 2 og 3 faktorer. Desuden vil der være lidt kritiske overvejelser til modellen og råvarerne der modelleres. I kapitel 8 introduceres Monte Carlo simulering generelt. Derefter vil den praktiske implementering af modellen for prisfastsættelse af en Tolling kontrakt i forhold til Monte Carlo simuleringen blive gennemgået. Til sidst vil output fra simuleringen blive analyseret. I kapitel 9 rundes afhandlingen af med konklusionen. Derefter indeholder appix A Matlab koder for modellen der er implementeret, appix B og C ekstra tabeller og figurer der refereres til gennem opgaven. 1.4 Andet Da Paschke & Prokopczuk s model er en råvaremodel, bruges udtrykket råvarer gennem denne afhandling for gas, elektricitet og CO 2, selvom at CO 2 ikke er en råvare, men nærmere en slags afgift. Men for nemheds skyld kaldes CO 2 for

10 10 Kapitel 1. Indledning en råvare. Gennem opgaven vil der være en del engelske udtryk, som ikke er forsøgt oversat. Nogle af dem kunne godt være oversat, mens andre ville være svære at få en god oversættelse ud af. For dem der kunne være oversat f.eks. Principal Component Analysis som kunne være oversat til Principal Komponent Analyse, ville forkortelsen ikke være ens og nemt forståelig, og derfor har jeg valgt at beholde det engelsksprogede udtryk. Generelt er de engelske udtryk beholdt.

11 Kapitel 2 Energimarkedet Elektricitet kan produceres på mange måder. Vindmøller, vandkraftværker eller kraftværker der bruger brændsel til at producere elektricitet med. Som brændsel kan der bl.a. bruges biomasse, for eksempel træflis, eller fossil brændsel som olie, kul eller gas. Når der produceres elektricitet fra brændsel, skal der udover brændsel også betales for at udlede CO 2 når brændsel brændes. Dette kapitel vil give læseren en forståelse for gas, elektricitet og CO 2, hver for sig og sammenhængen mellem dem. Jeg kommer også kort ind på andre energiprodukter, da der også produceres elektricitet ud fra dem og da disse er en slags substitutter for gas. Desuden vil en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk blive beskrevet. Dette kapitel er til for at give læseren en overordnet forståelse for sammenhængen mellem forskellige energirelaterede råvarer på forskellige geografiske områder. Til at beskrive dette bruges ikke kun information fra Holand, men også fra andre lande. 2.1 Elektricitetsproduktion i Europa I Europa er der stor forskel på hvilken kilde der bruges til at producere elektricitet med. I tabel 2.1 ses en oversigt over produktionskilder for den nordøstligste del af Europa. Nogle lande har mere blandet elektricitetskilder andre. Blandt de lande der ikke har så forskellige elektricitetskilder, er Norge hvor 99% af elektriciteten produceres ved vandkraft, Polen med 90% fra kul og Frankrig med 78% fra kernekraft. Holland er en af de lande, hvor der produceres mest elektricitet fra gas, som udgør ca. 65%. I tabel 2.1 ses fordelingen af elektricitetsproduktionskilder for hvert land. I Danmark har vi en høj andel fra vindmøller sammenlignet med andre lande, men også en stor del fra kul når man sammenligner med andre lande. I Danmark er man dog på vej væk fra at bruge så meget kul og mod mere miljøvenlige kilder, og da disse tal er 2008 tal kan det godt have ændret sig lidt. 11

12 12 Kapitel 2. Energimarkedet Elektricitetsproduktionskilder Kul Olie Gas Kernekraft Hydro Vind Belgien 7% 1% 31% 58% 2% 1% Danmark 54% 3% 21% % England 33% 2% 47% 14% 2% 2% Finland 14% 1% 19% 38% 28% - Frankrig 4% 1% 4% 78% 12% 1% Holland 24% 2% 65% 4% - 4% Irland 20% 6% 60% - 5% 9% Italien 14% 11% 58% - 16% 2% Luxembourg % - 28% 2% Norge % 1% Østrig 9% 2% 18% - 67% 3% Polen 90% 2% 3% - 3% 1% Portugal 26% 10% 35% - 17% 13 Schweiz - - 1% 42% 57% - Slovakiet 10% 3% 6% 65% 17% - Spanien 16% 6% 40% 19% 9% 11% Sverige - 1% - 47% 50% 1% Tjekkiet 15% - 8% 70% 6% 1% Tyskland 29% 2% 18% 35% 6% 10% Ungarn 2% 1% 48% 47% 1% 1% Tabel 2.1: 2008 tal fra Eurostat. På figur 2.1 ser man ledningsnetværket for elektricitet mellem de forskellige geografiske områder. De fleste af ledningerne eksisterer allerede, men nogle af dem er under opførsel eller planlægges at blive opført. Ledningsnetværket gør at man kan handle elektricitet over landegrænserne. Dette gør at prisen på elektricitet også afhænger af prisen på elektricitet i andre lande, og dermed er der også yderligere sammenhæng i prisen mellem de kilder der bruges til produktion af elektricitet. Det er i øvrigt ikke alle lande der producerer al elektricitet til deres forbrug selv, men som i stedet importerer elektricitet. Elforsyningen i Danmark er delt op i to områder, øst og vest, og prisen er oftest ikke ens for de to områder. Østdanmark er forbundet med Sverige og Vestdanmark er forbundet med Tyskland. Da Holland har Tyskland som nabo, må de tyske priser påvirke de hollandske, og da Tyskland bruger en del kul til elektricitet må der også være en grad af samvariation for gas og kul. Kapaciteten for ledningerne mellem de geografiske områder er dog begrænset og priserne i to områder er ofte forskellige. Prisforskellen mellem to områder kan ses som prisen på netværket mellem de to områder.

13 Elektricitet Figur 2.1: Netværk for elektricitet. Kilde: De indbyrdes forhold mellem de geografiske områder og de forskellige energiprodukter har man tydeligt kunne se her efter jordskælvet i Japan, hvor Tyskland midlertidigt har valgt at lukke nogle af deres atomkraftværker. Dette har medført mindre produktionskapacitet af elektricitet og dermed højere priser. 2.2 Elektricitet Elektricitet leveres over en periode og lagringsmulighederne er ret begrænsede. Elektricitet kan for eksempel lagres i batterier, men det er stadig dyrt og nu langt fra effektivt. En indirekte måde at lagre elektricitet på er ved vandenergi, dvs. at pumpe vandet tilbage til et reservoir når prisen er lav for at kunne generere elektricitet på det igen senere til en højere pris. Men en 100% effektiv FIG. 10 ENTSO-E NETWORK MAP lagring findes ikke. 2.2 MAIN FEATURES OF GRID

14 14 Kapitel 2. Energimarkedet Det kan forekomme at spotprisen på elektricitet kan blive negativ, da man skal afsætte den. Overproduktion af elektricitet i Danmark er forekommet oftere efter at den store vindmøllepark Horns Rev er åbnet. Dette har medført at man på Nordpools net har indført negative priser på elektricitet. Ved overproduktion (og underproduktion) af elektricitet bryder netværket sammen og kunderne får ikke tilført elektricitet. Strømafbrydelsen i Østdanmark og Sydsverige den 3. september 2003 var et eksempel på underproduktion grundet en fejl i Sverige. El-nedbrud på grund af underproduktion er dog ofte set bl.a. i USA, hvor der i varme tider bliver brugt meget elektricitet på aircondition. Prisen på elektricitet er påvirket af udbud og efterspørgsel, bl.a. vejret har indflydelse på efterspørgslen da elektricitet bruges til opvarmning. Derfor indeholder prisen på elektricitet sæson, som der vil blive kigget nærmere på i kapitel 4.2. Elektricitet leveres over en periode og i Holland handles der futures med leveringsperiode på kalermåned, kvartal og helårlig levering der følger kaleråret. Elektricitet i Holland handles i e/mwh (Mega Watt hour) med kontraktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden. 2.3 Gas Det er muligt at lagre gas for eksempel i underjordiske lagre og i pipelines (gasrørerne). Det er ikke så fleksibelt, som for eksempel kul at lagre, men nemmere elektricitet. Dog er lagerkapaciteten begrænset og derfor kan muligheden for at lagre gas bedst sammenlignes med elektricitet. Lagringsegenskaberne er også en del af prisdannelsen på spotprisen. Et ekstremt tilfælde er i starten af oktober 2006, hvor man åbnede en pibeline fra Norge til England. Der var så stort et udbud af gas, at man oplevede negative gaspriser. En af grundene til de negative priser var også det milde vejr i England, hvormed der ikke blev brugt så meget gas som man regnede med. Gaspriserne er meget påvirket af vejret og indeholder derfor sæson. Dette bliver der set nærmere på senere i opgaven. Gas leveres over en periode og i Holland handles der futures med leveringsperiode på kalermåned, kvartal, sommer- og vinterfutures på et halvt år og helårlig levering der følger kaleråret. Gas i Holland handles i e/mwh (Mega Watt hour) med kontraktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden. 2.4 CO 2 CO 2 -kvoter i Euro området blev indført i år 2005 for at reducere CO 2 -udledning, så der opnås mere miljørigtig produktion. CO 2 -kvoter er indført i forskellige faser. Første fase var fra Fase 2 fra og fase 3 fra I slutningen af fase 1 faldt prisen på CO 2 -kvoter meget voldsomt, da der

15 2.5. Clean Spark Spread 15 var et meget stort udbud af fase 1 kvoter. Dette kunne være argumentet for at producere elektricitet på kulfyrede kraftværker frem for gasfyrede, da der udledes mere CO 2 ved forbrænding af kul gas. CO 2 -kvoter handles i e/ton CO 2 med kontraktstørrelse på 1000ton. 2.5 Clean Spark Spread Spark Spread er den teoretiske profit et gasdrevet kraftværk har ved at sælge en enhed elektricitet ved at have købt det gas, der skal til for at producere en enhed elektricitet. Clean Spark Spread inkluderer også CO 2 -kvoter for den udledning, der opstår ved produktionen af én enhed elektricitet. For kulfyrede elværker findes ligeledes Dark Spread og Clean Dark Spread. Til produktion af elektricitet fra brændsel er der et stort energitab. Gasfyrede kraftværker har en virkningsgrad på ca. 50%, altså at 1MWh gas bliver til 0.5MWh elektricitet. Virkningsgraden kommer selvfølgelig an på det enkelte kraftværk, og generelt er nyere kraftværker mere effektive gamle. DONG Energy har lige indviet et gasfyret kraftværk med en virkningsgrad på ca. 58% i Wales, hvilket er noget af det mest effektive der findes. Ved at kombinere kraftværker til både at generere elektricitet og udnytte det opvarmede vand, som man gør i Danmark, kan man dog udnytte energien langt bedre. Lad Clean Spark Spread et (CSS) være defineret som CSS = S el S gas V S CO 2 I (2.1) hvor S gas, S el, S CO2 er prisen på hhv. gas, elektricitet og CO 2, V er virkningsgraden for kraftværket. I er intensiteten af CO 2 udledning for kraftværket, defineret som I = V tco 2 MW h, (2.2) da der ved forbrænding af gas udledes tco 2 pr. MWh gas. Ved en effektivitet på 50% giver det I = tco 2 /MWh, altså udledningen pr. produceret MWh elektricitet. Til sammenligning udledes der ton CO 2 pr. MWh kul og med en typisk virkningsgrad på 40%, giver det 0.85 ton CO 2 pr. MWh elektricitet produceret på et kulfyret kraftværk. Altså er der over dobbelt så stor CO 2 udledning ved at producere elektricitet med kul som fra gas. I ønsket om at reducere CO 2 udledningen er man i Danmark på vej væk fra produktion af elektricitet fra kulfyrede kraftværker. Clean Spark Spread et der bliver brugt gennem opgaven er således CSS = S el 2S gas S CO2 (2.3)

16 16 Kapitel 2. Energimarkedet 2.6 Tolling kontrakt Ifølge Campbell R. Harvey s ordliste Hypertextual Finance Glossary er An agreement to put a specified amount of raw material per period through a particular processing facility den overordnede definition på en Tolling kontrakt. En Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk er en kontrakt på at levere gas og CO 2 mod at modtage elektricitet. Prisen for dette er prisen på Tolling kontrakten. Sagt med andre ord er en Tolling kontrakt en kontrakt på produktionskapacitet på kraftværket. Clean Sparket Spread et er netop det, som Tolling kontrakten har som input og output. Dermed kan man se positive værdier for det fremtidige Clean Spark Spread tilbagediskonteret, som værdien af en Tolling kontrakt. Ved at lave en Tolling kontrakt kan man adskille risikoen ved at bygge og drive et kraftværk fra risikoen i forbindelse med prisudviklingen i markederne for gas, elektricitet og CO 2. Dermed kan forskellige virksomheder lave det de har deres kernekompetence inden for. Større virksomheder kan oprette et datterselskab for stadig at holde risici adskilt. En kombination, hvor parterne deler overskuddet, kan også indgå i en Tolling kontrakt, eller der kan laves en kontrakt på kun noget af kraftværket. 2.7 Motivation Der er nu givet et overordnet overblik over hvordan geografiske markeder og forskellige energiprodukter kan påvirke hinanden. Der er desuden forklaret hvad Clean Spark Spread er, og hvad en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk går ud på. I Holland er andelen af den samlede elektricitetsproduktion fra gasfyrede kraftværker ca. 65% og dermed er Holland et af de lande i Europa der producerer den største del af den samlede elektricitetsproduktion med gas. Den store andel af elektricitet produceret fra gas i Holland taler for at netop det marked må have en af de bedste samvariationer mellem gas, elektricitet og CO 2. Dét og det faktum at det er muligt at få historiske priser, er grunden til at det hollandske marked er valgt til denne afhandling.

17 Kapitel 3 Dataanalyse I dette kapitel vil en udvalgt sammensat prisserie for gas, elektricitet og CO 2 blive analyseret. Først vil der være en grafisk præsentation og derefter vil en deskriptiv analyse på afkast for de tre råvarer. Da modellen bygger på antagelser om kointegrerede råvarer, ses der nærmere på om de tre råvarer rent faktisk er kointegrerede. Først ses om råvarerne hver især er stationære og derefter om de er kointegrerede. 3.1 Data Data til denne afhandling er daglige -of-day priser på hollandske futures på elektricitet, gas og CO 2 for perioden 2. januar 2008 til 20. maj De dage hvor ikke alle tre markeder har åbent, er priser for de andre slettet, således at der ikke er dage hvor kun nogle af dem er repræsenteret. I alt er der 590 dage med data til rådighed. I gennemsnit er der 12 gasfutures, 14 elektricitetfutures og 16 CO 2 -futures per dag til at estimere modellens parametre med Gas Elektricitet CO2 60 Euro Year to maturity Figur 3.1: Forwardkurver pr 15. december For elektricitet og gas bruges kontrakter med leveringsperiode på en måned, et kvartal og et år. For gas bruges derudover futures med halvårlig leveringsperiode for, sommmerkontrakter fra april til oktober og vinterkontrakter fra oktober til 17

18 18 Kapitel 3. Dataanalyse april. Al data er hentet fra DONG Energy. Figur 3.1 viser forwardkurverne set d. 15. december Det er tydeligt at se, at der er sæson i forwardkurven for gas og elektricitet, men at der ikke er det for CO 2. Dette kommer jeg nærmere ind på i kapitel 4.2. Cirklerne illustrerer priserne på kontrakterne d. 15. december 2008 og er brugt til at tegne forwardkurven. Det ses at CO 2 er den råvare der handles længst ud i fremtiden og at gas er den som handles kortest med kun to år ud i fremtiden. I starten af kurverne for gas og elektricitet ligger punkterne tættere længere ude på kurven. Dette er pga. at kontrakterne med kort leveringsperiode ikke handles så langt frem som dem med længere leveringperiode. Hvis der ses bort fra sæsonudsvingene for gas og elektricitet ser alle tre forwardkurver normale ud med tens til fremtidige højere priser jo længere til levering. 3.2 Deskriptiv statistik Gas Elektricitet CO Jan2008 Apr2008 Jul2008 Oct2008 Jan2009 Apr2009 Jul2009 Oct2009 Jan2010 Apr2010 Jul2010 Figur 3.2: Prisudviklingen for gas, elektricitet og CO 2. I figur 3.2 ses prisen for en sammensat serie for gas, elektricitet og CO 2. For elektricitet og gas er prisen gennem 2008 for årskontrakten med leveringsperiode for hele 2010 og gennem 2009 og 2010 er det priser for kontrakten med levering for hele For CO 2 er det priser for futures med udløb d. 20. december 2010 gennem 2008 og kontrakten med udløb d. 19. december 2011 gennem 2009 og Disse tre prisserier vil blive brugt gennem dette kapitel til analysen af data. Der vil blive lavet analyse af afkast, ln(f t /F t 1 ) og logpriserne ln(f t ). De tre serier vil dermed repræsentere alle futuresprisernes udvikling i analysen. Gas El CO 2 Gas El CO Tabel 3.1: Korrelationsmatricen for afkast på priserne fra figur 3.2

19 3.2. Deskriptiv statistik 19 Ved at se på figur 3.2 er det tydeligt at priserne har en fælles udvikling. I tabel 3.1 ses korrelationsmatricen for afkast for de tre prisserier. Korrelationen mellem gas og elektricitet er den højeste på 0.71, mens de to andre er noget lavere. Det ses også, at der er en kraftig stigning i priserne op til finanskrisens start, hvorefter der er et fald i priserne til et lavere niveau set i Dette er et udtryk for at økonomien er forværret og at der er mindre efterspørgsel på energi på grund af mindre produktion af diverse handlede varer. I tabel 3.2 ses beskrive statistik samt resultater fra Jarque-Bera tests for afkast på de tre prisserier. I figur 3.3 ses histogrammer og QQ-plot for samme prisserier. Gas og elektricitet ligner hinanden meget, da disse har samme middelværdi og med standardafvigelse, kurtosis, minimum og maksimum der ligger meget tæt på hinanden. Middelværdien er negativ på Da der er en lang periode med falde priser var det forventet at denne skal være negativ. Både gas og elektricitet er højreskæv, men gas er mere elektricitet. Det vil sige at der er flere positive udfald negative. Begge har kurtosis omkring to og af histogrammerne i figur 3.2 ses også at begge er leptokurtiske med mange udfald i midten. CO 2 har også negativ middelværdi, men dobbelt så stor negativ som gas og elektricitet. Standardafvigelsen på er også større for gas og elektricitet. Dette kan måske synes lidt overraske, men man skal huske på at gas og elektricitet er futures med helårlig leveringsperiode og de er derfor ikke så volatile, som hvis det havde været en kortere leveringsperiode eller spotpriser. CO 2 har ligeledes større absolutte minimum og maksimum gas og elektricitet. Annualiserede volatiliteter for sammensatte prisserier er plottet i figer 7.2 på side 50. Fordelingen for afkast for CO 2 er næsten symmetrisk, men med lidt venstreskævhed på , hvilket vil sige at der er flere negative udfald positive. Dette er Dog meget tættere på nul for både gas og elektricitet. Kurtosis for CO 2 er og ligner dermed meget gas og elektricitet. Jarque-Bera testen om afkast er normalfordelte afvises for alle tre råvarer på et 0.1% niveau. Også QQ-plottene viser at fraktilerne afviger fra normalfordelingen. På baggrund af ovenståe analyse må det konkluderes at afkast for de tre prisserier ikke er normalfordelte.

20 20 Kapitel 3. Dataanalyse Gas Elektricitet CO Probability Probability Probability Gas Data Elektricitet Data CO Data Figur 3.3 Deskriptiv statistik gas eleltricitet CO 2 middelværdi standardafvigelse kurtosis skævhed min max JB-test p-værdi < < < Tabel 3.2

21 3.3. Stationaritet Stationaritet En stationær tidsserie har tens til at ve tilbage til dens konstante middelværdi og afvige omkring dette niveau, altså mean-reversion. En ikke-stationær tidsserie vil derimod ikke ve tilbage til et niveau, men vil blive påvirket permanent af ændringer i tidsserien. For ikke-stationære tidsserier kan man ikke forudsige fremtidige værdier, da forecasting vil afhænge af permanente ændringer og derfor vil være mere usikkert ved ikke-stationære serier ved stationære. Derimod giver det mere mening at lave forecast på stationære tidsserier og derfor er stationære tidsserier interessante at arbejde med. Hvis man har en ikke-stationær tidsserie kan den gøre stationær ved at differentiere den. En tidsserie er integreret af orden d, I(d), hvis den skal differentieres d gange for at blive stationær. Det vil sige at en tidsserie med I(d) hvor d = 0 er stationær og for d = 1, 2,... er ikke-stationær. Der skelnes mellem to varianter af stationaritet, nemlig streng og svag stationaritet der vil blive præsenteret i det efterfølge Streng stationaritet For at en tidsserie, x t, er strengt stationær skal der gælde at og den samme tidsserie, tidsforskudt med lag h har samme sandsynlighedsfordeling. Altså x t1, x t2,...x tk (3.1) x t1+h, x t2+h,...x tk +h (3.2) P {x t1 c 1,..., x tk c k } = P {x t1+h c 1,..., x tk +h c k } (3.3) for alle k = 1, 2,..., til alle tider t 1, t 2,..., t k, alle tal c 1, c 2,..., c k og alle lags i tid h = 0, ±1, ±2, ±3,.. Strengt stationaritet er i praksis for streng i de fleste tilfælde og derfor ses på den mildere version af stationaritet, nemlig svag stationaritet Svag stationaritet En tidsserie, x t, er svag stationær, hvis den har konstant middelværdi der ikke afhænger af tiden, hvor kovariansen mellem to tidspunkter, s og t, kun afhænger af forskellen mellem de to perioder, h = s t Som i [SS06] vil svag stationaritet blive omtalt som stationaritet. Stationaritet kan bestemmes grafisk ud fra Autocorrelation Function (ACF) og man kan teste for det ved hedsrodstest, ved for eksempel Dickey-Fuller test. I de næste afsnit vil der blive redegjort for ACF og test for enhedsrødder på de udvalgte dataserier.

22 22 Kapitel 3. Dataanalyse ACF En måde man kan vurdere om en tidsserie er stationær er ud fra autokorrelationerne. Autokorrelation er korrelationen mellem en tidsserie og den selv samme tidsserie med lag h og er dermed udtryk for afhængigheden mellem observationer på forskellige tidsintervaller, set over hele tidsserien. Dette afsnit tager udgangspunkt i [SS06]. Ligesom korrelation tager udgangspunkt i kovarians, tager ACF også udgangspunkt i autokovarians. Da middelværdien for en stationær tidsserie antages at være konstant er µ t = µ er autokovariansen for en stationær tidsserie mellem to tidspunkter s og t med lag h = s t er givet ved γ(s, t) = E[(x s µ)(x t µ)] (3.4) for alle s og t, hvor man for s = t får variansen. Ud fra autokovariansfunktionen fås autokorrelationsfunktionen ρ(s, t) = γ(s, t) γ(s, s)γ(t, t) (3.5) eller ACF. Omskrevet med et lag på h fås ρ(h) = γ(h) γ(0) (3.6) For en stationær tidsserie ses ikke afhængighed fra foregåe observationer, hvorimod det ses for en ikke-stationær tidsserie. Det vil sige at ACF skal være lille for alle lags, for at der er tidsserien er stationær, mens der ved større værdier ikke er stationaritet, da der er afhængighed mellem observationerne. ACF lag Figur 3.4: ACF for logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur 3.2 Et typisk billede for en ikke-stationær tidsserie er når ACF, plottet til de forskellige lags, er svagt falde, hvilket er udtryk for at jo større lag jo mindre er korrelationen. Dette ses tydeligt på figur 3.4, som er ACF for lag 0 til 50 på logprisudviklingen for gaspriser som ses i figur 3.2. Samme billede gør sig gælde for elektricitet og CO 2 og kan ses på figur C.1 og C.2 i appix C. Ud fra ACF

23 3.3. Stationaritet 23 plots vurderes det altså at prisudviklingen på gas, elektricitet og CO 2 ikke er stationære. På figur 3.5 ses ACF plots for daglige på afkast på loggaspriserne der ses på figur 3.2 for lag 0 til 50. Her ses det at der ikke er så stor ACF for lags Lag 0 er naturligvis lig 1 da det er autokorrelationen med sig selv. Det ses at ACF skærer af efter lag 0 og det er et typisk billede for stationaritet. Samme billede ses for elektricitet og CO 2 i figur C.3 og C.4 og det vurderes at de daglige afkast (førstedifferensen for prisudviklingen) er stationære. For elektricitet på figur C.3 ses dog lidt større autokorrelation ved lag 1 for resten med større lags. Det kan være tegn på at der stadig er lidt afhængighed fra tidligere afkast. ACF lag Figur 3.5: ACF for daglige afkast på logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur Enhedsrodstest En mere håndgribelig måde at afgøre om en tidsserie er stationær på er ved enhedsrodstest. En test der ofte bruges er Dickey-Fuller testen og den udvidede Dickey-Fuller test. Der tages udgangspunkt i processen x t = ρx t 1 + u t (3.7) hvor fejlleddet, u t, er hvid støj. Hvis ρ = 1 er x t en random walk uden drift. Dvs. at x t har enhedsrod og er dermed ikke stationær. En serie der har en enhedsrod er I(1) og serier med d enhedsrødder er I(d). Dickey-Fuller testen er en test om der er enhedsrod i tidsserien, altså dermed en test for ikke-stationaritet. Ved afvisning at hypotesen om der eksisterer enhedsrod i tidsserien antages den alternative hypotese, at tidsserien er stationær, at gælde, selvom det dog ikke er helt statistisk korrekt. For at udføre Dickey-Fuller testen omskrives ligning 3.7 ved at trække x t 1 fra

24 24 Kapitel 3. Dataanalyse på begge sider. x t x t 1 = ρx t 1 x t 1 + u t (3.8) = (ρ 1)x t 1 + u t x t = δx t 1 + u t (3.9) hvor δ = (ρ 1). Første skridt i Dickey-Fuller testet er at lave regressionen for ligning (3.9). Derefter findes t-værdien for δ ved at dividere den estimerede værdi for δ med dens standardfejl. t-værdien sammenlignes med den kritiske værdi for at se om nulhypotesen kan afvises eller ej. Nulhypotesen for Dickey-Fuller testet, δ = 0 dvs. ρ = 1, afvises ikke hvis t- værdien er større (mindre negativ) den kritiske værdi og dermed er tidsserien ikke stationær. Hvis t-værdien er mindre den kritiske værdi, afvises nulhypotesen og den alternative hypotese, at tidsserien er stationær gælder. Ovenståe gælder for nulhypotesen om x t følger en random walk. På samme måde testes om δ = 0 for tilfældet om det følger en random walk med drift og for en random walk med drift omkring en tr x t = β 1 + ρx t 1 + u t (3.10) x t = β 1 + δx t 1 + u t (3.11) x t = β 1 + β 2 t + ρx t 1 + u t (3.12) x t = β 1 + β 2 t + δx t 1 + u t (3.13) Alt efter hvilken nulhypotese tidsserien passer bedst på vælges ligning (3.9), (3.11) eller (3.13), hvor nulhypotesen δ = 0 testes. De kritiske værdier for Dickey-Fuller testene er fundet fra [Mac10], med formlen Ĉ(p, T ) = ˆβ + ˆβ 1 T 1 + ˆβ 2 T 2 (3.14) hvor T er antal observationer og p sandsynlighedsniveauet. Det er vigtigt at være opmærksom på der er forskellige kritiske værdier, alt efter hvilken af de tre tests der bruges. Tabeller for β, β 1 og β 2 for hver tilfælde findes i [Mac10]. I Dickey-Fuller testen antages det at fejlleddene, u t er ukorreleret, men i tilfældet hvor fejlledene er korrelerede har Dickey og Fuller udviklet en udvidet test, den Augmented Dickey-Fuller test (ADF). Standard Dickey-Fuller testen er udvidet med laggede værdier af den afhængige variabel x t. Den udvidede Dickey-Fuller test er x t = β 1 + β 2 t + δx t 1 + p α i x t i + ɛ t (3.15) hvor fejlleddet, ɛ t, er hvid støj og p er antallet af lag differencer det tages med. Ideen er at inkludere nok laggede x t i værdier, så fejlledet, ɛ t, er serielt ukorreleret. Som i DF testes også nulhypotesen, δ = 0, der følger den samme fordeling som i DF testen og der bruges dermed de samme kritiske værdier for hver af de tre tilfælde. i=1

25 3.4. Kointegration 25 Ud fra plot at prisudviklingen i figur 3.2 vurderer jeg at nulhypotesen der passer bedst er en random walk med drift og tr. I tabel 3.3 ses testresultaterne. Det ses at nulhypotesen ikke kan afvises for alle råvarer og dermed viser det at Dickey-Fuller RW med konstant og tr Gas El CO δ t-værdi 1% 5% 10% Tabel 3.3: Dickey-Fuller på priserne tidsserierne ikke er stationære. Derfor ses på prisændringerne for prisserierne. Prisændringerne antages hverken at have drift eller tr. Dermed testes for om de kan beskrives som en random walk. Dickey-Fuller random walk Gas El CO δ t-værdi 1% 5% 10% Tabel 3.4: Dickey-Fuller for prisændringerne I tabel 3.4 ses at test om prisændringerne kan beskrives ved en random walk, afvises for alle råvarerne. Dermed viser enhedsrodstestene samme resultat som ACF, altså at gas, elektricitet og CO 2 er ikke stationære, I(1), hvilket er et godt udgangspunkt for kointegration mellem råvarerne, der vil blive gennemgået i næste afsnit. 3.4 Kointegration Kointegration er hvor to eller flere tidsserier hver især er ikke-stationære, men en lineær kombination af dem er stationær. Først ses på forholdet mellem to ikke-stationære tidsserier, x t og y t der begge er I(1). Generelt vil en lineær kombination af dem y t β 2 x t = ζ t (3.16) også være I(1). Ligeledes hvis x t og y t begge er I(2) vil en lineær kombination af dem generelt også være I(2). Tilbage til I(1) tilfældet. Hvis x t og y t har samme stokastiske tr, så de på lang sigt har samme udvikling, samt at de på kort sigt bevæger sig i samme retning, kan de være kointegrerede. Hvis x t og y t der hver især er I(1), men en lineær kombination af dem er I(0), er de kointegrerede. På samme måde er det generelt at hvis linearkombinationen er integreret af orden én mindre deres fælles integrerede orden, er de kointegrerede. Kointegrationskoefficienterne er vægtene i linearkombinationen, (1, β 2 ), hvor koefficienten for y t i ligning (3.16) er normeret til at være lig 1. Kointegrationsvektoren kan skaleres, så der findes dermed flere kointegrationsvektorer,

26 26 Kapitel 3. Dataanalyse men forholdet mellem vægtene er unikt. Der kan også lægges en konstant til linearkombinationen uden at det ændrer på kointegrationsforholdet. Ved mere to kointegrerede tidsserier, kan der være mere én kointegrationsvektor. Ved at antage at x t og y t er kointegrerede er kointegrationsregressionen y t = β 1 + β 2 x t + ξ t hvor ξ t = ζ t β 1. Kointegrationsregressionen behandles nærmere i næste afsnit, der omhandler Engle-Granger testen for kointegration Engle-Granger test En måde at teste for kointegration er ved brug af Engle-Granger testen der tager udgangspunkt i enhedsrodstest. Først tages der udgangspunkt i kointegrationsregressionen med to variable. Regressionen y t = β 1 + β 2 x t + ξ t (3.17) for de to variable x t og y t laves og derefter undersøger man residualerne for enhedsrødder. Hvis residualerne har enhedsrod er x t og y t ikke kointegrerede. Engle-Granger testen er en test for enhedsrod og dermed en test for ikkekointegration. Den alternative hypotese er at de er kointegrerede. Der kigges på residualerne ξ t = ρξ t 1 + u t (3.18) hvor der hvis ρ = 1 ikke er kointegration. Det reformuleres til ξ t = δξ t 1 + u t (3.19) hvor δ = (ρ 1). Som i Dickey-Fuller testen kan nulhypotesen, δ = 0 ikke afvises, hvis t-værdien er større den kritiske værdi. De kritiske værdier for Engle-Granger testen er ikke de samme som ved Dickey-Fuller testen. De kritiske værdier findes også ved formel (3.14), men med andre værdier for β, β 1 og β 2, som findes i [Mac10]. Der er forskellige værdier for β, β 1 og β 2 alt efter hvor mange tidsserier man tester for kointegration. Engle-Granger testen laves normalt med nulhypotesen om random walk, da den har middelværdi 0 som konsekvens af OLS estimationen. Det kan som i Dickey-Fuller test være nødvigt at tilføje laggede værdier af ξ t for at sikre at u t er uden seriel korrelation. p ξ t = δξ t 1 α i ξ t i + u t (3.20) i=1 Tidligere blev tidsserierne testet for stationaritet og resultatet var at de alle er ikke-stationære, I(1), dermed et godt udgangspunkt for at de kan være kointegrerede. Da de alle er I(1) kan ovenståe setup nemt udvides til tre variable, så man får kointegrationsregressionen y t = β 1 + β 2 x t + β 3 z t + ξ t (3.21) for tidsserierne y t, x t og z t. På samme måde som med to variable testes residualerne for enhedsrødder.

27 3.5. Delkonklusion 27 Engle-Granger test resultater δ t-værdi 1% 5% 10% El/Gas/CO Gas/El Gas/CO EL/CO Tabel 3.5: Engle-Granger test I tabel 3.5 ses testresultater for Engle-Granger test for kointegration mellem alle tre råvarer og for indbyrdes parvis kointegration mellem dem. Testen for enhedsrod i residualerne for alle tre råvarer afvises på et 5% niveau. Dermed en afvises nulhypotesen om ikke-kointegration. Dermed den alternative hypotese, der er en indikation af at gas, elektricitet og CO 2 er kointegreret. Dette gælder dog ikke på et 1% niveau. På Engle-Granger testene for parvis kointegration af råvarerne, kan det dog ikke afvises for nogen af kombinationerne at de er ikke-kointegrerede. Dermed at de ikke er kointegrerede. Det ses dog at forholdet gas/elektricitet er meget tæt på at kunne afvises at være ikke-kointegrerede på et 10% niveau. I hvert fald tættere el/co 2 og gas/co 2, hvilket kan indikere en større samvariation for gas og elektricitet, for CO 2 med gas og elektricitet. Selvom Engle-Granger testen viser at de parvise forhold er ikke-kointegrerede, specielt for dem med CO 2 involveret, vil jeg ikke afvise at de er kointegrerede.der kigges her på én tilserie for hver råvare og andre tidsserier kan have større samvariation. Desuden er tidsserierne kun på 590 observationer. En anden metode for test for kointegration er Johansen testen, som [PP09] bruger, men den ligger uden for denne afhandlings afgrænsning. 3.5 Delkonklusion Ved at se grafisk på prisudviklingen for de udvalgte serier for gas elektricitet og CO 2 ses tydeligt, at de varierer forholdsvis ens. Når der kigges på korrelation for afkast ses det at gas og elektricitet har den højeste korrelation, mens CO 2 med hhv. elektricitet og gas er noget lavere. Det er desuden set at fordelingen for afkastene på de tre serier ikke er normalfordelte. Både Autokorrelationsfunktionen og Dickey-Fuller test viser at gas, elektricitet og CO 2 alle er ikke stationære, men at tidsserierne differentieret er stationære. Engle-Granger testen viser indikation af at de tre råvarer er kointegrerede. Uventet viser Engle-Granger testene også at råvarerne parvis ikke er kointegrerede. Det er dog tæt på at testen for gas og elektricitet viser at de er kointegrerede, men ikke når der testes for CO 2 og gas eller eller elektricitet. Korrelationer på afkast og kointegrationstest er der en tens til at gas og elektricitet er tættere relateret forhold gas og elektricitet hver især har med CO 2. Grunden til dette kan være egenskaberne for produkterne, hvor elektricitet og gas har en del tilfældes, mens CO 2 skiller sig ud. Idéen med en kointegreret model, hvor gas og elektricitet og CO 2 hver for sig

28 28 Kapitel 3. Dataanalyse ikke er stationære, men at en lineær kombination er stationær ser ikke ud til at være helt ved siden af. Dermed går jeg videre til modellen.

29 Kapitel 4 Modellen I dette kapitel vil Paschke & Prokopczuk s model blive præsenteret og forklaret. Efterfølge vil der blive gjort rede for tilpasninger til modellen, for at modellen og de historiske data kan bruges i modellen. Modellen er bareset på affine rentestrukturmodeller og dette kapitel tager udgangpunkt i [PP09] Usikkerheden i modellen er givet ved sandsynlighedsrummet (Ω, F, P), hvor den uafhængige n-dimensionale Brownske bevægelse Zt P er defineret. Det antages at alle stokastiske processer kommer fra filteret F t. 4.1 Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model Paschke & Prokopczuk s model er en Gaussisk n-faktor model der modellerer relaterede råvarefutures samtidig. Der tages udgangspunkt i at priserne kan beskrives ved én langsigtet process og n 1 kortsigtede der afviger fra den langsigtede. Det antages at log-spotprisen for råvare k er lns k,t = δ k x t + δ 0 k + s k (t) (4.1) der bliver drevet af den n-dimensionale vektor x t af latente variable med Gaussisk diffusion. δ 0 k er det konstante log-prisniveau, s k(t) deterministisk sæsonjustering og δ k er en (1 n) vektor med faktor loadings, altså vægtene, som hver af de n faktorer bliver påvirket med, for hver råvare k. Processen der driver logspotprisen er dx t = (a P K P x t )dt + dz P t (4.2) hvor a P er en (n 1) vektor, K P en (n n) positiv semidefinit matrix og Zt P er en uafhængig n-dimensionel brownsk bevægelse. x t ser umiddelbart ud til at være en n-dimensionel Ornstein-Uhlenbeck proces, men det er ikke helt tilfældet. Modellens setup er at den første state variabel antages at være en ikke-stationær langsigtet ligevægt og de (n 1) andre kortsigtede afvigelser fra denne. Den første state variabel antages derfor at være en standard aritmetrisk Brownsk bevægelse og de andre mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck processer. 29

30 30 Kapitel 4. Modellen Den første state variabel er altså ikke mean-reverting og påvirkninger på den er vedvare og dermed et udtryk for fundamentale ændringer i markedet. De andre variable er mean-reverting processer omkring den første variabel. Setup et med én ikke mean-reverting variabel og (n 1) mean-reverting variable omkring den første, gør at den samlede prisudvikling ikke er mean-reverting. Afhængigheden mellem vægtene for råvarerne for den første state variabel viser at de er kointegrerede. Hvis en af råvarerne har vægten nul for den første variabel er de ikke kointegrerede. Diagonalen i K P er mean-reverting hastigheden for den tilhøre variabel og de andre elementer er hvordan variablene påvirker hinanden. Råvarerne har altså den samme underligge n-dimensionelle proces der driver priserne, men med forskellige vægte, hvormed de påvirkes, samt forskellige prisniveau og sæsonfunktioner. Da data modellen kalibreres ud fra er futures, bruges spot-forward forholdet til at tilbagediskontere forwards til spotpriser lns = lnf e k(t t) (4.3) som er i det imensionelle tilfælde. For processen, x t, der driver logspotpriserne, under det P -tilsvare mål M, i det n-dimensionelle tilfælde diagonaliseres matrix K M ved egenværdidekompositionen, K M UV U 1, hvor V er diagonalmatricen med egenværdier v i 0 for K M og U er matricen med tilhøre egenvektorer. K M diagonaliseres, egenværdierne tilbagediskonteres og sættes op til diagonalmatricen ψ(v; t, T ) = exp( v(t t)) v 0 1 (4.4) ψ(v 1 ; t, T ) 0 0 L ψ (K M 0 ψ(v 2 ; t, T ) 0 ; t, T ) = ψ(v n ; t, T ) hvorefter egenvektormatricen ganges på igen så man har at matricen UL φ (K M ; t, T )U 1, der kan ses som matrixudgaven til funktionen exp( k(t t)). Derudover er L φ (K M ; t, T ) diagonalmatricen hvor ψ(v; t, T ) er udskiftet med φ(v; t, T ) = T t ψ(v; s, T )ds = 1 exp( v(t t)) v v 0 (T t). (4.5) Ved at integrere matricen L ψ (K M ; t, T ) fra t til T får man altså matricen L φ (K M ; t, T ). Dermed kan Itos-lemma bruges på funktionen G = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t. De afledte bliver G x t = UL ψ (K M ; s, T )U 1, 2 G x 2 t = 0, G t = UL ψ(k M ; t, T )U 1 K M x t

31 4.1. Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model 31 og man får G = (UL ψ (K M ; s, T )U 1 (a M K M x t ) + UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t )dt + UL ψ(k M ; t, T )U 1 dz M t = (UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t + UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t )dt + UL ψ (K M ; t, T )U 1 dz M t = UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M dt + UL ψ (K M ; t, T )U 1 dz M t (4.6) for at gå fra dx t til x t integreres først over venstre side af (4.6) T t dg = T t d(ul ψ (K M ; s, T )U 1 x s ) = UL ψ (K M ; T, T )U 1 x T UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t = x T UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t. (4.7) Det gælder da UL ψ (K M ; T, T )U 1 giver enhedsmatricen pga. (T, T ). Derefter integreres over højre side af (4.6), sættes lig (4.7) og x T isoleres x T = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + T t UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M ds T + UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzs M (4.8) t Middelværdien kan nu opskrives som E M t [x T ] = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + U T t T t UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M ds (L ψ (K M ; s, T )ds)u 1 a M = Ψ M (t, T )x t + Φ M (t, T )a M (4.9) hvor det sidste led fra (4.8) er lig nul da det er en brownsk bevægelse med middelværdi nul. Variansen er V M t [x T ] = E M t = E M t = E M t = = U T t T [ (xt E M t [x T ] ) 2 ] [ (xt ) 2] [ ] T (UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzt M )(UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzt M ) ds t t UL ψ (K M ; s, T )(U 1 U 1 )L ψ(k M ; s, T )U ds L ψ (K M ; s, T )HL ψ(k M ; s, T )dsu = UH(K M ; t; T )U = Ω M (t, T ) (4.10)

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED Støttet af: ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED NOTAT NR. 147 Den danske puljenotering følger den tyske Nord-West notering med 4 ugers forsinkelse i gennemsnit. Drivkræfterne bag

Læs mere

Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri

Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 14. marts 2006 1 Indledning Formålet

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

KLIMAPOLITIK PÅ KREDIT!

KLIMAPOLITIK PÅ KREDIT! KLIMAPOLITIK PÅ KREDIT! Tarjei Haaland Klima- og energimedarbejder Greenpeace Klimaseminar 8. November 2008 Hvad skal der til for at holde stigningen i den globale gennemsnits-temperatur under 2 grader

Læs mere

Det Nordiske Elmarked Seminar på Hotel Ebeltoft Strand

Det Nordiske Elmarked Seminar på Hotel Ebeltoft Strand Det Nordiske Elmarked Seminar på Hotel Ebeltoft Strand 2011.10.27 1 Det Nordiske Elmarked Per B. Christiansen 27/10/2011 Vattenfall 2 Det Nordiske Elmarked Per B. Christiansen 27/10/2011 Vattenfall er

Læs mere

MARKEDSPRIS PÅ VINDMØLLESTRØM

MARKEDSPRIS PÅ VINDMØLLESTRØM MARKEDSPRIS PÅ VINDMØLLESTRØM Frederica april 2015 Navn Dato Øre/kWh Marginalomkostning på kulkraft Lav kulpris skyldes; 34 32 30 28 26 24 Lav efterspørgsel Stort udbud Lave omkostninger på udvinding og

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

11.500.000 langtidsledige EU-borgere i 2015

11.500.000 langtidsledige EU-borgere i 2015 11.00.000 langtidsledige EU-borgere i 01 Langtidsledigheden i EU er den højeste, der er målt siden midten/slutningen af 1990 erne. En ny prognose, som AE har udarbejdet i fællesskab med OFCE fra Frankrig

Læs mere

Hvad kan forklare danmarks eksport mønster?

Hvad kan forklare danmarks eksport mønster? Organisation for erhvervslivet Januar 2010 Hvad kan forklare danmarks eksport mønster? AF CHEFKONSULENT MORTEN GRANZAU NIELSEN, MOGR@DI.DK en nyudviklet eksportmodel fra DI kan forklare 90 pct. af Danmarks

Læs mere

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger.

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. N O T A T Filial eller netbank 24. oktober 2013 Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. Ved seneste opgørelse i 2012 brugte

Læs mere

International sammenligning af skat på arbejdsindkomst i 2013

International sammenligning af skat på arbejdsindkomst i 2013 International sammenligning af skat på arbejdsindkomst i 2013 Denne side viser en international sammenligning af skat på arbejdsindkomst. Her vises tal for både gennemsnits- og marginalskatterne for otte

Læs mere

85/15. Har naturgassen fortsat en rolle i energiforsyningen? Kurt Bligaard Pedersen Koncerndirektør, DONG Energy

85/15. Har naturgassen fortsat en rolle i energiforsyningen? Kurt Bligaard Pedersen Koncerndirektør, DONG Energy 85/15 Har naturgassen fortsat en rolle i energiforsyningen? Kurt Bligaard Pedersen Koncerndirektør, DONG Energy DGF Gastekniske Dage 2010 11. maj 2010 1973 Primære energiforsyning 6 % 2 % 1972 92 % Oil

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Integration af vindkraft. Flemming Nissen

Integration af vindkraft. Flemming Nissen Integration af vindkraft CEPOS og CEESA analyser Flemming Nissen Baggrund Grunden til at det er vigtigt at beskæftige sig med problemstillingerne i forbindelse med integration af vindkraft i elsystemet

Læs mere

Sales Manager, Kenneth Lykkedal NORD POOL SPOT - DET FØRENDE ELMARKED I EUROPA

Sales Manager, Kenneth Lykkedal NORD POOL SPOT - DET FØRENDE ELMARKED I EUROPA Sales Manager, Kenneth Lykkedal NORD POOL SPOT - DET FØRENDE ELMARKED I EUROPA Om Nord Pool Spot Nord Pool Spot er det førende elmarked i Europa Day-ahead og intraday markeder 350 selskaber fra 18 lande

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked. 1. kvartal 2014

Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked. 1. kvartal 2014 11. april 2014 Sag 14/03001 / LVM Deres ref. Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked 1. kvartal 2014 Siden markedsåbningen i 2003 har forbrugerne frit kunne vælge elleverandør. For

Læs mere

Hvor vigtig er fast biomasse i den fremtidige energiforsyning. Finn Bertelsen Energistyrelsen

Hvor vigtig er fast biomasse i den fremtidige energiforsyning. Finn Bertelsen Energistyrelsen Hvor vigtig er fast biomasse i den fremtidige energiforsyning Finn Bertelsen Energistyrelsen Seminar om handlingsplan for udvikling og demonstration inden for kraftvarme fra fast biomasse den 15. juni

Læs mere

Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked. 4. kvartal 2014

Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked. 4. kvartal 2014 7. januar 2015 Sag 14/03001 / LVM Deres ref. Sekretariatet for Energitilsynet Carl Jacobsensvej 35 2500 Valby Elprisstatistik for el-handelsprodukter på det frie el-marked 4. kvartal 2014 tlf. 41 71 54

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

-udledning fra det samlede danske forbrug

-udledning fra det samlede danske forbrug Faktaark, oktober 2014 Resumé af "Measuring Denmark's Emissions" fra det samlede danske forbrug fra det samlede danske forbrug Danmark har forpligtet sig til ambitiøse mål for at begrænse udledningen af

Læs mere

Kul, olie, gas og CO2

Kul, olie, gas og CO2 Kul, olie, gas og CO2 Prisudvikling i lyset af den finansielle krise Henrik Gaarn Christensen Senior Portfolio Manager Energy Markets Dong Energy Brændslernes udvikling siden 27 5 1 15 2 25 jan-7 mar-7

Læs mere

overblik Statistisk Virksomhedernes energiomkostninger 3. KVARTAL 2015

overblik Statistisk Virksomhedernes energiomkostninger 3. KVARTAL 2015 overblik Statistisk Virksomhedernes energiomkostninger 3. KVARTAL 2015 > > Elprisen 2 > > Olieprisen 2 > > Gasprisen 3 > > Kulprisen 4 > > Eltariffer 4 > > Kvoteprisen 5 Energipriserne har overordnet haft

Læs mere

Baggrundsnotat: Modelteknisk

Baggrundsnotat: Modelteknisk Sekretariatet for Energitilsynet Baggrundsnotat: Modelteknisk materiale Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Center for Varme Tekniske bilag I dette baggrundsnotat gennemgås de økonometriske forhold

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

ENERGI- TEKNOLOGIEKSPORTEN 2012

ENERGI- TEKNOLOGIEKSPORTEN 2012 ENERGI- TEKNOLOGIEKSPORTEN I var den danske eksport af energiteknologi 61,1 mia. kr., hvilket er en stigning på 1,2 pct. i forhold til året før. Eksporten af energiteknologi udgør 10 pct. af den samlede

Læs mere

vejen mod et dansk energisystem uden fossile brændsler

vejen mod et dansk energisystem uden fossile brændsler vejen mod et dansk energisystem uden fossile brændsler UDFORDRING: STORT PRES PÅ OLIE OG GASRESSOURCER mb/d 120 100 80 60 40 20 0 1990 2000 2010 2020 2030 Natural gas liquids Non conventional oil Crude

Læs mere

Stærkt afkast comeback i Unit Link pensioner i år

Stærkt afkast comeback i Unit Link pensioner i år København, den 26. oktober 2009 Ny pensionsanalyse: Stærkt afkast comeback i Unit Link pensioner i år Morningstar analyserer nu som noget nyt pensionsselskabernes egne risikoprofil fonde fra Unit Link

Læs mere

EcoGrid EU En prototype på et europæisk Smart Grid. Maja Felicia Bendtsen Østkraft Holding A/S September 2012

EcoGrid EU En prototype på et europæisk Smart Grid. Maja Felicia Bendtsen Østkraft Holding A/S September 2012 EcoGrid EU En prototype på et europæisk Smart Grid Maja Felicia Bendtsen Østkraft Holding A/S September 2012 PJ Uafhængig af fossile brændsler i 2050 Energi forbrug i Danmark 300 250 200 150 100 50 1980

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

EKSPORT AF ENERGITEKNOLOGI 2014

EKSPORT AF ENERGITEKNOLOGI 2014 EKSPORT AF ENERGITEKNOLOGI 2014 I 2014 var Danmarks eksport af energiteknologi 74,4 mia. kr., hvilket er en stigning på 10,7 pct. i forhold til året før. Eksporten af energiteknologi udgør 12 pct. af den

Læs mere

En meget kort introduktion til R på polit

En meget kort introduktion til R på polit En meget kort introduktion til R på polit Sebastian Barfort sebastian.barfort@econ.ku.dk Indhold 1 Introduktion 1 2 R som lommeregner 2 3 Tabeller, grafer og estimation 6 4 Økonomiske figurer 11 1 Introduktion

Læs mere

Transforming DONG Energy to a Low Carbon Future

Transforming DONG Energy to a Low Carbon Future Transforming DONG Energy to a Low Carbon Future Varmeplan Hovedstaden Workshop, January 2009 Udfordringen er enorm.. Global generation European generation 34,000 TWh 17,500 TWh 94% 34% 3,300 TWh 4,400

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Copenhagen Business School Summer school August 17, 2005 Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Quantitative Research nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer

Læs mere

Tal om gartneriet 2013

Tal om gartneriet 2013 Tal om gartneriet 2013 Indholdsfortegnelse STRUKTUR... 3 ØKONOMI... 3 EKSPORT... 6 ERHVERVET I TAL TABEL 1 - ANTAL VIRKSOMHEDER MED VÆKSTHUSPRODUKTION.. 8 TABEL 2 - AREAL MED VÆKSTHUSPRODUKTION OG DRIVAREAL

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Konjunktur og Arbejdsmarked

Konjunktur og Arbejdsmarked Konjunktur og Arbejdsmarked Uge 12 Indhold: Ugens tema Ugens analyse Svag stigning i indvandreres beskæftigelse fra 211 til 212 Flere mænd holder barsel, men i lidt kortere tid Ugens tendens 16. nye jobannoncer

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Produktionsmiks i fremtidens Danmark/Europa

Produktionsmiks i fremtidens Danmark/Europa Produktionsmiks i fremtidens Danmark/Europa Seminar for aktører på elmarkedet 11. oktober 212 Lasse Sundahl Lead Regulatory Advisor Overskrifter Politisk drevne ændringer af elsystemet i Europa DK og alle

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

85/15 DONG Energy. Knud Pedersen, VP DONG Energy Distribution

85/15 DONG Energy. Knud Pedersen, VP DONG Energy Distribution 85/15 DONG Energy Knud Pedersen, VP DONG Energy Distribution Den danske vandsektor som en del af Danmarks energiforsyning hvad er mulighederne inden for eksport og teknologi, og hvad er udfordringerne?

Læs mere

Et åbent Europa skal styrke europæisk industri

Et åbent Europa skal styrke europæisk industri Januar 2014 Et åbent Europa skal styrke europæisk industri AF chefkonsulent Andreas Brunsgaard, anbu@di.dk Industrien står for 57 pct. af europæisk eksport og for to tredjedele af investeringer i forskning

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Analyse 3. april 2014

Analyse 3. april 2014 3. april 2014 Indeksering af børnepenge i forhold til leveomkostningerne i barnets opholdsland Af Kristian Thor Jakobsen På baggrund af en forespørgsel fra Jyllandsposten er der i dette notat regnet på

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

DET PRIVATE FORBRUG PR. INDBYGGER LIGGER NR. 14 I OECD EN NEDGANG FRA EN 6. PLADS I 1970

DET PRIVATE FORBRUG PR. INDBYGGER LIGGER NR. 14 I OECD EN NEDGANG FRA EN 6. PLADS I 1970 970 97 97 97 97 97 97 977 978 979 980 98 98 98 98 98 98 987 988 989 990 99 99 99 99 99 99 000 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 0 Af Cheføkonom Mads Lundby Hansen Direkte telefon 79. december 0 DET PRIVATE

Læs mere

DET PRIVATE FORBRUG PR. INDBYGGER LIGGER NR. 14 I OECD EN NEDGANG FRA EN 6. PLADS I 1970

DET PRIVATE FORBRUG PR. INDBYGGER LIGGER NR. 14 I OECD EN NEDGANG FRA EN 6. PLADS I 1970 1970 197 197 197 197 197 198 198 198 198 198 199 199 199 199 00 010 011 Af Cheføkonom Mads Lundby Hansen Direkte telefon 1 79. december 01 DET PRIVATE FORBRUG PR. INDBYGGER LIGGER NR. 1 I OECD EN NEDGANG

Læs mere

Velkommen til Avanceret Energilagring. Dr. Frank Elefsen, CTO Energy & Climate, fre@dti.dk

Velkommen til Avanceret Energilagring. Dr. Frank Elefsen, CTO Energy & Climate, fre@dti.dk Velkommen til Avanceret Energilagring Dr. Frank Elefsen, CTO Energy & Climate, fre@dti.dk Teknologisk Institut har eksisteret siden 1906 Se fremad, fremad! Aflur den kommende tid, de veje, den vil bane

Læs mere

Hvad styrer prisudviklingen i elmarkedet?

Hvad styrer prisudviklingen i elmarkedet? Hvad styrer prisudviklingen i elmarkedet? Vindenergi Danmarks 10 års jubilæum Horsens den 11. november 2009 Hans Henrik Lindboe a/s www.eaea.dk Elforbrug i Danmark ca. 35 TWh Elsystemet i Danmark Et internationalt

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Kaos truer vindmøllesektoren Mange års politisk styring med tilskud/overpriser til el-energi fra vind og sol styrer mod kollaps.

Kaos truer vindmøllesektoren Mange års politisk styring med tilskud/overpriser til el-energi fra vind og sol styrer mod kollaps. Skatteudvalget 2013-14 SAU Alm.del Bilag 110 Offentligt (01) Klima-, og Energiminister Rasmus Helveg Petersen Miljøminister Kirsten Brosbøl Skatteminister Morten Østergaard Erhvervs-, Vækst- og Eksportudvalget

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

konsekvenser for erhvervslivet

konsekvenser for erhvervslivet Olieprisens fald 27. maj 15 Olieprisens fald konsekvenser for erhvervslivet Hovedbudskaber olieprisens fald Erhvervenes omsætning øges Konkurrenceevnen forværres Olie- og gasindustrien rammes negativt

Læs mere

Kandidatafhandling ved Institut for Økonomi, Århus Universitet

Kandidatafhandling ved Institut for Økonomi, Århus Universitet Risikoledelse i Elmarkedet Optioner, et redskab eller en illusion? (Risk Management in the Power Market Options, a tool or an Illusion?) Kandidatafhandling ved Institut for Økonomi, Århus Universitet Forfatter:

Læs mere

Over 9 millioner arbejdsløse europæere er under 30 år

Over 9 millioner arbejdsløse europæere er under 30 år Over 9 millioner arbejdsløse europæere er under 3 år Arbejdsløsheden blandt de 1-29-årige i Europa vokser fortsat og er nu på 1 pct. Det svarer til, at 9,2 mio. arbejdsløse i EU-27 er under 3 år. Arbejdsløsheden

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder. Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder. Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen 20. maj 2006 Indhold 1 Indledning 3 I Det teoretiske fundament

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Kapitel 6 De finansielle markeder

Kapitel 6 De finansielle markeder Kapitel 6. De finansielle markeder 2 Kapitel 6 De finansielle markeder 6.1 Verdens finansielle markeder For bedre at forstå størrelsen af verdens finansielle markeder vises i de følgende tabeller udviklingen

Læs mere

Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast

Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast Cand. Merc. Finansiering Investigations of Securities Markets Opgaveløsere Per H. Frederiksen 3. semester Mads Overgaard Vejleder Carsten Tanggaard Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast

Læs mere

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet N O T A T Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet 26. februar 2010 Konklusioner Finansrådets analyse viser, at forholdene på de finansielle markeder

Læs mere

Store forskelle i varmepriserne hvorfor?

Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Der er store prisforskelle på fjernvarme rundt om i landet. Energitilsynet analyserer her, hvordan brændselsvalg, beliggenhed i forhold kunderne, størrelse og ejerskab

Læs mere

Erhvervsskolernes Forlag, Logistik i virksomheden Fig. 8.1

Erhvervsskolernes Forlag, Logistik i virksomheden Fig. 8.1 Erhvervsskolernes Forlag, Logistik i virksomheden Fig. 8.1 Erhvervsskolernes Forlag, Logistik i virksomheden Fig. 8.2 Erhvervsskolernes Forlag, Logistik i virksomheden Fig. 8.3 Transportmarked Traditionelt

Læs mere

Model for markedsbaseret udbygning med vindkraft. Vindenergi Danmark, september 2006

Model for markedsbaseret udbygning med vindkraft. Vindenergi Danmark, september 2006 Det Energipolitiske Udvalg EPU alm. del - Bilag 306 Offentligt Model for markedsbaseret udbygning med vindkraft. Vindenergi Danmark, september 2006 Indledning og resume: I dette efterår skal der udformes

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Opfølgning på fusionen mellem DONG Naturgas A/S og Naturgas Sjælland I/S

Opfølgning på fusionen mellem DONG Naturgas A/S og Naturgas Sjælland I/S 1 af 5 21-08-2013 16:07 Opfølgning på fusionen mellem DONG Naturgas A/S og Naturgas Sjælland I/S Fusionen mellem DONG Naturgas A/S og Naturgas Sjælland I/S blev godkendt at Konkurrencerådet 28. februar

Læs mere

PRIVATPAKKER TIL NORDEN Pakker til private modtagere i Norden

PRIVATPAKKER TIL NORDEN Pakker til private modtagere i Norden PRIVATPAKKER TIL NORDEN Pakker til private modtagere i Norden PR. 1. JANUAR 2014 Alle priser er i DKK. Prisen beregnes ud fra den vægt, der er højest af fysisk vægt og volumenvægt (faktureret vægt). Sådan

Læs mere

Analyse 1. april 2014

Analyse 1. april 2014 1. april 2014 Mange udenlandske akademikere er overkvalificeret til deres job Af Kristian Thor Jakobsen Analysen ser nærmere på, hvor mange akademikere med forskellig oprindelse der formelt set er overkvalificeret

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999 )LDVLHO$DO\VH 3. september 1999 1\XONXSRUHHVUXNXUPRGHO 8LEDNVRIILFLHOOHXONXSRUHHVUXNXUVNLIHVXGIUDGHXY UHGH1HOVR 6LHJHOPRGHOLOHPHUHNRPSOLFHUHPRGHO 'H\HPRGHOJLYHUEHGUHILLJDISULVHUSnVDVREOLJDLRHURJHOLPLHUHUEODG

Læs mere

Adm. direktør Hans Skov Christensen. Danmark som udviklingsland. 22. sep. 10. Pressemøde ved

Adm. direktør Hans Skov Christensen. Danmark som udviklingsland. 22. sep. 10. Pressemøde ved Pressemøde ved Adm. direktør Inspiration til udvikling 2 Krisen har været hård, men lavvæksten begyndte inden Pct. 5 4 3 2 1 Årlig BNP-vækst 0-1 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009-2 -3-4

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

INVESTERINGER GIVER STØRST AFKAST UDEN FOR DANMARK

INVESTERINGER GIVER STØRST AFKAST UDEN FOR DANMARK Marts 2014 INVESTERINGER GIVER STØRST AFKAST UDEN FOR DANMARK AF KONSULENT MATHIAS SECHER, MASE@DI.DK Det er mere attraktivt at investere i udlandet end i Danmark. Danske virksomheders direkte investeringer

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Teaser fra virksomhedsbeskrivelse, Floating Power Plant udbud af nye aktier. September 2015

Teaser fra virksomhedsbeskrivelse, Floating Power Plant udbud af nye aktier. September 2015 Teaser fra virksomhedsbeskrivelse, Floating Power Plant udbud af nye aktier September 2015 Introduktion Udbuddet består af op til 1.250.000 aktier til en fast pris på 20 kr. pr. aktie. En investering i

Læs mere

Lønomkostninger internationalt

Lønomkostninger internationalt 12-0709- poul - 27.06.2012 Kontakt: Poul Pedersen - pp@ftf.dk - Tlf: 33 36 88 00 Lønomkostninger internationalt EUROSTAT har i juni offentliggjort tal for arbejdsomkostninger i EU-landene. Danmarks Statistik

Læs mere

Realkompetence og arbejdsmarkedet

Realkompetence og arbejdsmarkedet Realkompetence og arbejdsmarkedet Realkompetence som en del af den brede VEU- VEU-dagsorden Hvad kendetegner det danske arbejdsmarked Perspektiver ved øget anerkendelse af realkompetence Udfordringer Grundlæggende

Læs mere

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt Kapitalstruktur i Danmark M. Borberg og J. Motzfeldt KORT OM ANALYSEN Omfattende studie i samarbejde med Økonomisk Ugebrev Indblik i ledelsens motiver for valg af kapitalstruktur Er der en optimal kapitalstruktur

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Energi i fremtiden i et dansk perspektiv

Energi i fremtiden i et dansk perspektiv Energi i fremtiden i et dansk perspektiv AKADEMIERNAS ENERGIDAG 27 august 2010 Mariehamn, Åland Afdelingschef Systemanalyse Risø DTU Danmark Verden står overfor store udfordringer Danmark står overfor

Læs mere

Hvad betyder VE-visionerne for energiindustrien

Hvad betyder VE-visionerne for energiindustrien Hvad betyder VE-visionerne for energiindustrien Anders Stouge Energi Industrien I DI Dansk Gas Forenings årsmøde 15.-16. november 2007 Hotel Nyborg Strand Disposition Kort om Energi Industrien Eksport-status

Læs mere

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår 2009 ---------------- Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda

Læs mere

Danmarks vindmølleforening Nye vindmøller

Danmarks vindmølleforening Nye vindmøller Danmarks vindmølleforening Nye vindmøller Vindenergi Danmark Niels Dupont Februar 2014 Vindenergi Danmark Navn Dato Markedsopdatering Dagsorden Om Vindenergi Danmark Vindmøller efter 1.1. 2014 Valg af

Læs mere

International lønsammenligning. Arbejdsgiveromkostninger ved beskæftigelse af ingeniører

International lønsammenligning. Arbejdsgiveromkostninger ved beskæftigelse af ingeniører International lønsammenligning Arbejdsgiveromkostninger ved beskæftigelse af ingeniører November 2011 2 Arbejdsgiveromkostninger ved beskæftigelse af ingeniører Resume Internationale sammenligninger af

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

MARKEDSRAPPORT TIL PRODUCENTER

MARKEDSRAPPORT TIL PRODUCENTER MARKEDSRAPPORT TIL PRODUCENTER December 2014 DK1 DK2 Gas CO2 Fortsat høje temperaturer og faldende råvarer giver basis for yderligere prisfald denne måned. Fortsat høje temperaturer og faldende råvarer

Læs mere

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4 Indholdsfortegnelse INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF OULATIONEN... 4 DELOGAVE 1...5 BEGREBSVALIDITET... 6 Differentiel item funktionsanalyser...7 Differentiel item effekt...10 Lokal

Læs mere

Krise i Europa: 10 millioner europæere er nu langtidsledige

Krise i Europa: 10 millioner europæere er nu langtidsledige Krise i Europa: 10 millioner Krisen i Europa gør ondt. Ledigheden i EU-7 er nu oppe på 10,3 pct. svarende til,7 mio. personer. Det er det højeste niveau i 1 år. Samtidig viser nye tal fra Eurostat, som

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen n o t a t Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen 8. december 29 Kort resumé Henover året har der været megen fokus på faldet i bankernes udlån til virksomhederne.

Læs mere