Forwardkurve modellering

Transkript

1 Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.(mat) Kandidatafhandling Afleveret den 15. april 2011 Forwardkurve modellering af Gas, Elektricitet og CO 2 -implementering og prisfastsættelse af Tolling kontrakt på gasfyret kraftværk Flemming Due Forfatter: Flemming Due Vejleder: Peder Thomas Petersen Antal anslag:

2

3 Abstract This thesis focuses on forward curve modeling of gas, electricity and CO 2 to price a Tolling Agreement on a gas-fired power plant. While the overall goal of the thesis is to price the power plant, the entire process on how to reach the price is as important as the pricing itself. The findings from the process of modeling the forward curves for the three above-mentioned commodities are briefly presented in this abstract. Since Holland is one of the countries in Europe that produces the highest percentage of its total electricity from gas, it is an appropriate market for the modeling of gas, electricity and CO 2. Consequently, Dutch data is used for analyses of prices and returns on gas, electricity and CO 2. From these analyses it is found that there is a clear co-variation between the three commodities. However, in general there is a stronger relation between gas and electricity compared to any co-variation in which CO 2 takes part. After having analyzed the commodity returns, the co-integration test is carried out. This test indicates that the three commodities may be co-integrated which implies that the co-integrated model seems fair to use. As a result of this, the idea is to make a co-integrated model in which the linear combination of gas, electricity and CO 2 is stationary. By implementing and calibrating the model to the Dutch market data, I get the result that the model seems to be doing the best job when modeling the data with two factors: one Brownian motion for the long term level and one mean reverting process around the long term level to capture the shocks in the market. In the I get the price of a Tolling Agreement by making Monte Carlo simulation on the estimated model. 3

4 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Opgavens struktur Andet Energimarkedet Elektricitetsproduktion i Europa Elektricitet Gas CO Clean Spark Spread Tolling kontrakt Motivation Dataanalyse Data Deskriptiv statistik Stationaritet Streng stationaritet Svag stationaritet ACF Enhedsrodstest Kointegration Engle-Granger test Delkonklusion Modellen Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model Tilpasning til modellen Sæson Sæsonfunktion til simulering af priser Delkonklusion Principal Component Analyse Generelt om Principal Component Analyse Resultater fra Principal Component Analysen Startgæt til estimationen Delkonklusion

5 Indhold 5 6 Estimation af modellen Modellen og Kalman Filter Maximum Likelihood Estimation Hessematricen Delkonklusion Estimationsresultater Resultater for 2-faktor model Udfordringer og tenser Modellen med 2 råvarer Overvejelser i forhold til data Delkonklusion Prisfastsættelse af Tolling kontrakt Monte Carlo Simulering Stiafhængighed Praktisk implementering Simulerede værdier Delkonklusion Konklusion 67 A MATLAB kode 69 A.1 Hovedfilen til kalibrering af modellen A.2 Kalman filter kode A.3 Hovedfilen til Monte Carlo Simuleringen A.4 Simulering af én sti B Tabeller 78 B.1 Estimation af sæson B.1.1 F-tests resultater C Figurer 82 C.1 ACF plots Litteratur 84

6

7 Kapitel 1 Indledning Energimarkedet i Europa har gennem de seneste 20 år forandret gennemgået store forandringer. Elektricitetsmarkedet er blevet liberaliseret og priserne er dermed blevet gjort frie og bliver nu fastsat efter udbud og efterspørgsel. Konsekvensen af dette har været større konkurrence og store prisudsving i markedet, der har medført større risiko for købere og sælgere af store mængder elektricitet. På den baggrund er der blevet flere og flere derivater på elektricitet og energirelaterede produkter generelt. Dette gør det interessant at prisfastsætte dem, bl.a. ud fra en kvantitativ betragtning. Da der er begrænsede lagringsmuligheder for gas og elektricitet, skal det bruges løbe og dermed er der ikke kun risiko ved prisændringer, men også i at man skal afsætte det. Liberaliseringen er sket op gennem 90 erne og starten af det nye århundrede og markedet for derivater på elektricitet og gas er derfor stadig forholdsvis nyt. I 2005 blev der indført CO 2 -kvoter i Europa for at opnå mere miljøvenlig produktion og levevis. Dette har medført at elproduktionen går mod at være mere og mere miljøvenlig. Vandkraft og vindenergi er nogle af de mest miljøvenlige elproduktionsmetoder der findes, men disse er ikke alene nok til at forsyne befolkningen. Kernekraft er også meget miljøvenligt, men som senest set i Japan er der også store risici forbundet med det. Af fossile produktionskilder er gas den mest miljøvenlige, mens kul er den mest forurene. Flere steder, specielt også i Danmark, er man på vej væk fra produktion fra kul til mere miljøvenlige kilder som biomasse og gas. Det er derfor interessant at se på sammenhængene mellem priserne på gas, elektricitet og CO 2. Afhandlingen vil omhandle modellering af forwardkurver for gas, elektricitet og CO 2 med henblik på at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland. Afhandlingen tager udgangspunkt i R. Paschke & M. Prokopczuk s artikel Integrating Multiple Commodities in a Model of Stochastic Price Dynamics, som jeg vil undersøge om kan bruges til at modellere gas, elektricitet og CO 2 med. 1.1 Problemformulering Det overordnede mål med opgaven er at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland ud fra en kvantitativ metode. Til dette tager jeg udgangspunkt i R. Paschke & M. Prokopczuk s artikel Integrating Multiple 7

8 8 Kapitel 1. Indledning Commodities in a Model of Stochastic Price Dynamics. I artiklen er modellen brugt til oliefutures, men jeg vil implementere modellen for elektricitet, gas og CO 2 futures. Det er ikke resultatet af prisfastsættelsen der alene er det vigtigste, men i lige så høj grad hele processen om at nå prisfastsættelsen. Dette kan ses som en række delmål: Give et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Europa og introducere læseren til de energirelaterede emner afhandlingen omhandler. Analysere udvalgte dataserier for gas, elektricitet og CO 2 hver for sig og sammenhængen mellem dem. Præsentere R. Paschke & M. Prokopczuk s model samt tilpasninger til den. Implementere og kalibrere modellen til hollandsk data. Analysere og vurdere de estimerede parametre for modellen. Prisfastsætte Tolling kontrakten med modellen og de estimerede værdier for modellens parametre. 1.2 Afgrænsning Kandidatafhandlingen har følge afgrænsninger: Der vil ikke blive gået i dybden med prisdannelsen, egenskaber m.m. for gas, elektricitet og CO 2, men de vil kun blive gennemgået på et introducere niveau, da fokus i denne afhandling ligger i modellering og implementering. Modellen vil kun blive implementeret for det hollandske marked, men andre geografiske områder kunne også være interessante. Modellen bliver kun implementeret med gas, elektricitet og CO 2, men andre og/eller flere relaterede råvarer kunne også være relevante at implementere i modellen. Kointegrationstesten der bruges er Engle-Granger testen. Johansen testen vil ikke blive benyttet. Modellen bygger på forwardteori, men som i Paschke & Prokopczuk s tilfælde, er det data jeg kalibrerer modellen med også futurespriser. Der vil ikke blive justeret for dette, men i stedet antages at det modellen også gælder for futurespriser. Metoden for den kaniske form der bruges på ligning (4.13) i kapitel 4.1 vil ikke blive gennemgået, men det antages blot at den bruges. Søgemetoden i optimeringsalgoritmen vil ikke være uddybet. Der henvises til Matlab for dybdegåe information og videre referencer inden for metoden.

9 1.3. Opgavens struktur 9 Prisen på Tolling kontrakten, der findes ved prisfastsættelsen, vil ikke blive undersøgt nærmere, da det vil kræve indgåe kskab til værdien af et kraftværk i Holland. Prisfastsættelsen baseres kun på den simulerede prisudvikling fra modellen og tager ikke højde for andre ting. 1.3 Opgavens struktur Kandidatafhandlingen har følge struktur: I kapitel 2 gives et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Europa for at give en forståelse af sammenhænge mellem de forskellige geografiske markeder og de forskellige energirelaterede råvarer. Derefter bliver Clean Spark Spread et og Tolling kontrakten introduceret. Dette kapitel har primært til formål at introducere læseren til energirelaterede emner så denne er godt klædt på til resten af afhandlingen. I kapitel 3 vil data blive analyseret. Analysen vil blive lavet på en udvalgt serie for gas, en for elektricitet og en for CO 2, hvor der vil blive set nærmere på dem hver for sig og deres fælles træk. Der vil blive lavet enhedsrodstest på hver af dem og der vil blive lavet Engle-Granger kointegrationstest på dem for at se om de er kointegrerede. I kapitel 4 vil Paschke & Prokopczuk s model blive præsenteret og der vil blive gennemgået en tilpasning til modellen. I kapitel 5 vil Principal Component Analyse blive introduceret og blive udført på data, for at vurdere hvor mange uobserverbare faktorer der skal bruges, for at modellen beskriver prisudviklingen i råvarerne. I kapitel 6 vil Kalman filteret og estimationsproceduren i forhold til modellen blive gennemgået. I kapitel 7 vil der blive set nærmere på estimationsresultater, udfordringer og tenser ved kalibreringer af modellen med 2 og 3 faktorer. Desuden vil der være lidt kritiske overvejelser til modellen og råvarerne der modelleres. I kapitel 8 introduceres Monte Carlo simulering generelt. Derefter vil den praktiske implementering af modellen for prisfastsættelse af en Tolling kontrakt i forhold til Monte Carlo simuleringen blive gennemgået. Til sidst vil output fra simuleringen blive analyseret. I kapitel 9 rundes afhandlingen af med konklusionen. Derefter indeholder appix A Matlab koder for modellen der er implementeret, appix B og C ekstra tabeller og figurer der refereres til gennem opgaven. 1.4 Andet Da Paschke & Prokopczuk s model er en råvaremodel, bruges udtrykket råvarer gennem denne afhandling for gas, elektricitet og CO 2, selvom at CO 2 ikke er en råvare, men nærmere en slags afgift. Men for nemheds skyld kaldes CO 2 for

10 10 Kapitel 1. Indledning en råvare. Gennem opgaven vil der være en del engelske udtryk, som ikke er forsøgt oversat. Nogle af dem kunne godt være oversat, mens andre ville være svære at få en god oversættelse ud af. For dem der kunne være oversat f.eks. Principal Component Analysis som kunne være oversat til Principal Komponent Analyse, ville forkortelsen ikke være ens og nemt forståelig, og derfor har jeg valgt at beholde det engelsksprogede udtryk. Generelt er de engelske udtryk beholdt.

11 Kapitel 2 Energimarkedet Elektricitet kan produceres på mange måder. Vindmøller, vandkraftværker eller kraftværker der bruger brændsel til at producere elektricitet med. Som brændsel kan der bl.a. bruges biomasse, for eksempel træflis, eller fossil brændsel som olie, kul eller gas. Når der produceres elektricitet fra brændsel, skal der udover brændsel også betales for at udlede CO 2 når brændsel brændes. Dette kapitel vil give læseren en forståelse for gas, elektricitet og CO 2, hver for sig og sammenhængen mellem dem. Jeg kommer også kort ind på andre energiprodukter, da der også produceres elektricitet ud fra dem og da disse er en slags substitutter for gas. Desuden vil en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk blive beskrevet. Dette kapitel er til for at give læseren en overordnet forståelse for sammenhængen mellem forskellige energirelaterede råvarer på forskellige geografiske områder. Til at beskrive dette bruges ikke kun information fra Holand, men også fra andre lande. 2.1 Elektricitetsproduktion i Europa I Europa er der stor forskel på hvilken kilde der bruges til at producere elektricitet med. I tabel 2.1 ses en oversigt over produktionskilder for den nordøstligste del af Europa. Nogle lande har mere blandet elektricitetskilder andre. Blandt de lande der ikke har så forskellige elektricitetskilder, er Norge hvor 99% af elektriciteten produceres ved vandkraft, Polen med 90% fra kul og Frankrig med 78% fra kernekraft. Holland er en af de lande, hvor der produceres mest elektricitet fra gas, som udgør ca. 65%. I tabel 2.1 ses fordelingen af elektricitetsproduktionskilder for hvert land. I Danmark har vi en høj andel fra vindmøller sammenlignet med andre lande, men også en stor del fra kul når man sammenligner med andre lande. I Danmark er man dog på vej væk fra at bruge så meget kul og mod mere miljøvenlige kilder, og da disse tal er 2008 tal kan det godt have ændret sig lidt. 11

12 12 Kapitel 2. Energimarkedet Elektricitetsproduktionskilder Kul Olie Gas Kernekraft Hydro Vind Belgien 7% 1% 31% 58% 2% 1% Danmark 54% 3% 21% % England 33% 2% 47% 14% 2% 2% Finland 14% 1% 19% 38% 28% - Frankrig 4% 1% 4% 78% 12% 1% Holland 24% 2% 65% 4% - 4% Irland 20% 6% 60% - 5% 9% Italien 14% 11% 58% - 16% 2% Luxembourg % - 28% 2% Norge % 1% Østrig 9% 2% 18% - 67% 3% Polen 90% 2% 3% - 3% 1% Portugal 26% 10% 35% - 17% 13 Schweiz - - 1% 42% 57% - Slovakiet 10% 3% 6% 65% 17% - Spanien 16% 6% 40% 19% 9% 11% Sverige - 1% - 47% 50% 1% Tjekkiet 15% - 8% 70% 6% 1% Tyskland 29% 2% 18% 35% 6% 10% Ungarn 2% 1% 48% 47% 1% 1% Tabel 2.1: 2008 tal fra Eurostat. På figur 2.1 ser man ledningsnetværket for elektricitet mellem de forskellige geografiske områder. De fleste af ledningerne eksisterer allerede, men nogle af dem er under opførsel eller planlægges at blive opført. Ledningsnetværket gør at man kan handle elektricitet over landegrænserne. Dette gør at prisen på elektricitet også afhænger af prisen på elektricitet i andre lande, og dermed er der også yderligere sammenhæng i prisen mellem de kilder der bruges til produktion af elektricitet. Det er i øvrigt ikke alle lande der producerer al elektricitet til deres forbrug selv, men som i stedet importerer elektricitet. Elforsyningen i Danmark er delt op i to områder, øst og vest, og prisen er oftest ikke ens for de to områder. Østdanmark er forbundet med Sverige og Vestdanmark er forbundet med Tyskland. Da Holland har Tyskland som nabo, må de tyske priser påvirke de hollandske, og da Tyskland bruger en del kul til elektricitet må der også være en grad af samvariation for gas og kul. Kapaciteten for ledningerne mellem de geografiske områder er dog begrænset og priserne i to områder er ofte forskellige. Prisforskellen mellem to områder kan ses som prisen på netværket mellem de to områder.

13 Elektricitet Figur 2.1: Netværk for elektricitet. Kilde: De indbyrdes forhold mellem de geografiske områder og de forskellige energiprodukter har man tydeligt kunne se her efter jordskælvet i Japan, hvor Tyskland midlertidigt har valgt at lukke nogle af deres atomkraftværker. Dette har medført mindre produktionskapacitet af elektricitet og dermed højere priser. 2.2 Elektricitet Elektricitet leveres over en periode og lagringsmulighederne er ret begrænsede. Elektricitet kan for eksempel lagres i batterier, men det er stadig dyrt og nu langt fra effektivt. En indirekte måde at lagre elektricitet på er ved vandenergi, dvs. at pumpe vandet tilbage til et reservoir når prisen er lav for at kunne generere elektricitet på det igen senere til en højere pris. Men en 100% effektiv FIG. 10 ENTSO-E NETWORK MAP lagring findes ikke. 2.2 MAIN FEATURES OF GRID

14 14 Kapitel 2. Energimarkedet Det kan forekomme at spotprisen på elektricitet kan blive negativ, da man skal afsætte den. Overproduktion af elektricitet i Danmark er forekommet oftere efter at den store vindmøllepark Horns Rev er åbnet. Dette har medført at man på Nordpools net har indført negative priser på elektricitet. Ved overproduktion (og underproduktion) af elektricitet bryder netværket sammen og kunderne får ikke tilført elektricitet. Strømafbrydelsen i Østdanmark og Sydsverige den 3. september 2003 var et eksempel på underproduktion grundet en fejl i Sverige. El-nedbrud på grund af underproduktion er dog ofte set bl.a. i USA, hvor der i varme tider bliver brugt meget elektricitet på aircondition. Prisen på elektricitet er påvirket af udbud og efterspørgsel, bl.a. vejret har indflydelse på efterspørgslen da elektricitet bruges til opvarmning. Derfor indeholder prisen på elektricitet sæson, som der vil blive kigget nærmere på i kapitel 4.2. Elektricitet leveres over en periode og i Holland handles der futures med leveringsperiode på kalermåned, kvartal og helårlig levering der følger kaleråret. Elektricitet i Holland handles i e/mwh (Mega Watt hour) med kontraktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden. 2.3 Gas Det er muligt at lagre gas for eksempel i underjordiske lagre og i pipelines (gasrørerne). Det er ikke så fleksibelt, som for eksempel kul at lagre, men nemmere elektricitet. Dog er lagerkapaciteten begrænset og derfor kan muligheden for at lagre gas bedst sammenlignes med elektricitet. Lagringsegenskaberne er også en del af prisdannelsen på spotprisen. Et ekstremt tilfælde er i starten af oktober 2006, hvor man åbnede en pibeline fra Norge til England. Der var så stort et udbud af gas, at man oplevede negative gaspriser. En af grundene til de negative priser var også det milde vejr i England, hvormed der ikke blev brugt så meget gas som man regnede med. Gaspriserne er meget påvirket af vejret og indeholder derfor sæson. Dette bliver der set nærmere på senere i opgaven. Gas leveres over en periode og i Holland handles der futures med leveringsperiode på kalermåned, kvartal, sommer- og vinterfutures på et halvt år og helårlig levering der følger kaleråret. Gas i Holland handles i e/mwh (Mega Watt hour) med kontraktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden. 2.4 CO 2 CO 2 -kvoter i Euro området blev indført i år 2005 for at reducere CO 2 -udledning, så der opnås mere miljørigtig produktion. CO 2 -kvoter er indført i forskellige faser. Første fase var fra Fase 2 fra og fase 3 fra I slutningen af fase 1 faldt prisen på CO 2 -kvoter meget voldsomt, da der

15 2.5. Clean Spark Spread 15 var et meget stort udbud af fase 1 kvoter. Dette kunne være argumentet for at producere elektricitet på kulfyrede kraftværker frem for gasfyrede, da der udledes mere CO 2 ved forbrænding af kul gas. CO 2 -kvoter handles i e/ton CO 2 med kontraktstørrelse på 1000ton. 2.5 Clean Spark Spread Spark Spread er den teoretiske profit et gasdrevet kraftværk har ved at sælge en enhed elektricitet ved at have købt det gas, der skal til for at producere en enhed elektricitet. Clean Spark Spread inkluderer også CO 2 -kvoter for den udledning, der opstår ved produktionen af én enhed elektricitet. For kulfyrede elværker findes ligeledes Dark Spread og Clean Dark Spread. Til produktion af elektricitet fra brændsel er der et stort energitab. Gasfyrede kraftværker har en virkningsgrad på ca. 50%, altså at 1MWh gas bliver til 0.5MWh elektricitet. Virkningsgraden kommer selvfølgelig an på det enkelte kraftværk, og generelt er nyere kraftværker mere effektive gamle. DONG Energy har lige indviet et gasfyret kraftværk med en virkningsgrad på ca. 58% i Wales, hvilket er noget af det mest effektive der findes. Ved at kombinere kraftværker til både at generere elektricitet og udnytte det opvarmede vand, som man gør i Danmark, kan man dog udnytte energien langt bedre. Lad Clean Spark Spread et (CSS) være defineret som CSS = S el S gas V S CO 2 I (2.1) hvor S gas, S el, S CO2 er prisen på hhv. gas, elektricitet og CO 2, V er virkningsgraden for kraftværket. I er intensiteten af CO 2 udledning for kraftværket, defineret som I = V tco 2 MW h, (2.2) da der ved forbrænding af gas udledes tco 2 pr. MWh gas. Ved en effektivitet på 50% giver det I = tco 2 /MWh, altså udledningen pr. produceret MWh elektricitet. Til sammenligning udledes der ton CO 2 pr. MWh kul og med en typisk virkningsgrad på 40%, giver det 0.85 ton CO 2 pr. MWh elektricitet produceret på et kulfyret kraftværk. Altså er der over dobbelt så stor CO 2 udledning ved at producere elektricitet med kul som fra gas. I ønsket om at reducere CO 2 udledningen er man i Danmark på vej væk fra produktion af elektricitet fra kulfyrede kraftværker. Clean Spark Spread et der bliver brugt gennem opgaven er således CSS = S el 2S gas S CO2 (2.3)

16 16 Kapitel 2. Energimarkedet 2.6 Tolling kontrakt Ifølge Campbell R. Harvey s ordliste Hypertextual Finance Glossary er An agreement to put a specified amount of raw material per period through a particular processing facility den overordnede definition på en Tolling kontrakt. En Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk er en kontrakt på at levere gas og CO 2 mod at modtage elektricitet. Prisen for dette er prisen på Tolling kontrakten. Sagt med andre ord er en Tolling kontrakt en kontrakt på produktionskapacitet på kraftværket. Clean Sparket Spread et er netop det, som Tolling kontrakten har som input og output. Dermed kan man se positive værdier for det fremtidige Clean Spark Spread tilbagediskonteret, som værdien af en Tolling kontrakt. Ved at lave en Tolling kontrakt kan man adskille risikoen ved at bygge og drive et kraftværk fra risikoen i forbindelse med prisudviklingen i markederne for gas, elektricitet og CO 2. Dermed kan forskellige virksomheder lave det de har deres kernekompetence inden for. Større virksomheder kan oprette et datterselskab for stadig at holde risici adskilt. En kombination, hvor parterne deler overskuddet, kan også indgå i en Tolling kontrakt, eller der kan laves en kontrakt på kun noget af kraftværket. 2.7 Motivation Der er nu givet et overordnet overblik over hvordan geografiske markeder og forskellige energiprodukter kan påvirke hinanden. Der er desuden forklaret hvad Clean Spark Spread er, og hvad en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk går ud på. I Holland er andelen af den samlede elektricitetsproduktion fra gasfyrede kraftværker ca. 65% og dermed er Holland et af de lande i Europa der producerer den største del af den samlede elektricitetsproduktion med gas. Den store andel af elektricitet produceret fra gas i Holland taler for at netop det marked må have en af de bedste samvariationer mellem gas, elektricitet og CO 2. Dét og det faktum at det er muligt at få historiske priser, er grunden til at det hollandske marked er valgt til denne afhandling.

17 Kapitel 3 Dataanalyse I dette kapitel vil en udvalgt sammensat prisserie for gas, elektricitet og CO 2 blive analyseret. Først vil der være en grafisk præsentation og derefter vil en deskriptiv analyse på afkast for de tre råvarer. Da modellen bygger på antagelser om kointegrerede råvarer, ses der nærmere på om de tre råvarer rent faktisk er kointegrerede. Først ses om råvarerne hver især er stationære og derefter om de er kointegrerede. 3.1 Data Data til denne afhandling er daglige -of-day priser på hollandske futures på elektricitet, gas og CO 2 for perioden 2. januar 2008 til 20. maj De dage hvor ikke alle tre markeder har åbent, er priser for de andre slettet, således at der ikke er dage hvor kun nogle af dem er repræsenteret. I alt er der 590 dage med data til rådighed. I gennemsnit er der 12 gasfutures, 14 elektricitetfutures og 16 CO 2 -futures per dag til at estimere modellens parametre med Gas Elektricitet CO2 60 Euro Year to maturity Figur 3.1: Forwardkurver pr 15. december For elektricitet og gas bruges kontrakter med leveringsperiode på en måned, et kvartal og et år. For gas bruges derudover futures med halvårlig leveringsperiode for, sommmerkontrakter fra april til oktober og vinterkontrakter fra oktober til 17

18 18 Kapitel 3. Dataanalyse april. Al data er hentet fra DONG Energy. Figur 3.1 viser forwardkurverne set d. 15. december Det er tydeligt at se, at der er sæson i forwardkurven for gas og elektricitet, men at der ikke er det for CO 2. Dette kommer jeg nærmere ind på i kapitel 4.2. Cirklerne illustrerer priserne på kontrakterne d. 15. december 2008 og er brugt til at tegne forwardkurven. Det ses at CO 2 er den råvare der handles længst ud i fremtiden og at gas er den som handles kortest med kun to år ud i fremtiden. I starten af kurverne for gas og elektricitet ligger punkterne tættere længere ude på kurven. Dette er pga. at kontrakterne med kort leveringsperiode ikke handles så langt frem som dem med længere leveringperiode. Hvis der ses bort fra sæsonudsvingene for gas og elektricitet ser alle tre forwardkurver normale ud med tens til fremtidige højere priser jo længere til levering. 3.2 Deskriptiv statistik Gas Elektricitet CO Jan2008 Apr2008 Jul2008 Oct2008 Jan2009 Apr2009 Jul2009 Oct2009 Jan2010 Apr2010 Jul2010 Figur 3.2: Prisudviklingen for gas, elektricitet og CO 2. I figur 3.2 ses prisen for en sammensat serie for gas, elektricitet og CO 2. For elektricitet og gas er prisen gennem 2008 for årskontrakten med leveringsperiode for hele 2010 og gennem 2009 og 2010 er det priser for kontrakten med levering for hele For CO 2 er det priser for futures med udløb d. 20. december 2010 gennem 2008 og kontrakten med udløb d. 19. december 2011 gennem 2009 og Disse tre prisserier vil blive brugt gennem dette kapitel til analysen af data. Der vil blive lavet analyse af afkast, ln(f t /F t 1 ) og logpriserne ln(f t ). De tre serier vil dermed repræsentere alle futuresprisernes udvikling i analysen. Gas El CO 2 Gas El CO Tabel 3.1: Korrelationsmatricen for afkast på priserne fra figur 3.2

19 3.2. Deskriptiv statistik 19 Ved at se på figur 3.2 er det tydeligt at priserne har en fælles udvikling. I tabel 3.1 ses korrelationsmatricen for afkast for de tre prisserier. Korrelationen mellem gas og elektricitet er den højeste på 0.71, mens de to andre er noget lavere. Det ses også, at der er en kraftig stigning i priserne op til finanskrisens start, hvorefter der er et fald i priserne til et lavere niveau set i Dette er et udtryk for at økonomien er forværret og at der er mindre efterspørgsel på energi på grund af mindre produktion af diverse handlede varer. I tabel 3.2 ses beskrive statistik samt resultater fra Jarque-Bera tests for afkast på de tre prisserier. I figur 3.3 ses histogrammer og QQ-plot for samme prisserier. Gas og elektricitet ligner hinanden meget, da disse har samme middelværdi og med standardafvigelse, kurtosis, minimum og maksimum der ligger meget tæt på hinanden. Middelværdien er negativ på Da der er en lang periode med falde priser var det forventet at denne skal være negativ. Både gas og elektricitet er højreskæv, men gas er mere elektricitet. Det vil sige at der er flere positive udfald negative. Begge har kurtosis omkring to og af histogrammerne i figur 3.2 ses også at begge er leptokurtiske med mange udfald i midten. CO 2 har også negativ middelværdi, men dobbelt så stor negativ som gas og elektricitet. Standardafvigelsen på er også større for gas og elektricitet. Dette kan måske synes lidt overraske, men man skal huske på at gas og elektricitet er futures med helårlig leveringsperiode og de er derfor ikke så volatile, som hvis det havde været en kortere leveringsperiode eller spotpriser. CO 2 har ligeledes større absolutte minimum og maksimum gas og elektricitet. Annualiserede volatiliteter for sammensatte prisserier er plottet i figer 7.2 på side 50. Fordelingen for afkast for CO 2 er næsten symmetrisk, men med lidt venstreskævhed på , hvilket vil sige at der er flere negative udfald positive. Dette er Dog meget tættere på nul for både gas og elektricitet. Kurtosis for CO 2 er og ligner dermed meget gas og elektricitet. Jarque-Bera testen om afkast er normalfordelte afvises for alle tre råvarer på et 0.1% niveau. Også QQ-plottene viser at fraktilerne afviger fra normalfordelingen. På baggrund af ovenståe analyse må det konkluderes at afkast for de tre prisserier ikke er normalfordelte.

20 20 Kapitel 3. Dataanalyse Gas Elektricitet CO Probability Probability Probability Gas Data Elektricitet Data CO Data Figur 3.3 Deskriptiv statistik gas eleltricitet CO 2 middelværdi standardafvigelse kurtosis skævhed min max JB-test p-værdi < < < Tabel 3.2

21 3.3. Stationaritet Stationaritet En stationær tidsserie har tens til at ve tilbage til dens konstante middelværdi og afvige omkring dette niveau, altså mean-reversion. En ikke-stationær tidsserie vil derimod ikke ve tilbage til et niveau, men vil blive påvirket permanent af ændringer i tidsserien. For ikke-stationære tidsserier kan man ikke forudsige fremtidige værdier, da forecasting vil afhænge af permanente ændringer og derfor vil være mere usikkert ved ikke-stationære serier ved stationære. Derimod giver det mere mening at lave forecast på stationære tidsserier og derfor er stationære tidsserier interessante at arbejde med. Hvis man har en ikke-stationær tidsserie kan den gøre stationær ved at differentiere den. En tidsserie er integreret af orden d, I(d), hvis den skal differentieres d gange for at blive stationær. Det vil sige at en tidsserie med I(d) hvor d = 0 er stationær og for d = 1, 2,... er ikke-stationær. Der skelnes mellem to varianter af stationaritet, nemlig streng og svag stationaritet der vil blive præsenteret i det efterfølge Streng stationaritet For at en tidsserie, x t, er strengt stationær skal der gælde at og den samme tidsserie, tidsforskudt med lag h har samme sandsynlighedsfordeling. Altså x t1, x t2,...x tk (3.1) x t1+h, x t2+h,...x tk +h (3.2) P {x t1 c 1,..., x tk c k } = P {x t1+h c 1,..., x tk +h c k } (3.3) for alle k = 1, 2,..., til alle tider t 1, t 2,..., t k, alle tal c 1, c 2,..., c k og alle lags i tid h = 0, ±1, ±2, ±3,.. Strengt stationaritet er i praksis for streng i de fleste tilfælde og derfor ses på den mildere version af stationaritet, nemlig svag stationaritet Svag stationaritet En tidsserie, x t, er svag stationær, hvis den har konstant middelværdi der ikke afhænger af tiden, hvor kovariansen mellem to tidspunkter, s og t, kun afhænger af forskellen mellem de to perioder, h = s t Som i [SS06] vil svag stationaritet blive omtalt som stationaritet. Stationaritet kan bestemmes grafisk ud fra Autocorrelation Function (ACF) og man kan teste for det ved hedsrodstest, ved for eksempel Dickey-Fuller test. I de næste afsnit vil der blive redegjort for ACF og test for enhedsrødder på de udvalgte dataserier.

22 22 Kapitel 3. Dataanalyse ACF En måde man kan vurdere om en tidsserie er stationær er ud fra autokorrelationerne. Autokorrelation er korrelationen mellem en tidsserie og den selv samme tidsserie med lag h og er dermed udtryk for afhængigheden mellem observationer på forskellige tidsintervaller, set over hele tidsserien. Dette afsnit tager udgangspunkt i [SS06]. Ligesom korrelation tager udgangspunkt i kovarians, tager ACF også udgangspunkt i autokovarians. Da middelværdien for en stationær tidsserie antages at være konstant er µ t = µ er autokovariansen for en stationær tidsserie mellem to tidspunkter s og t med lag h = s t er givet ved γ(s, t) = E[(x s µ)(x t µ)] (3.4) for alle s og t, hvor man for s = t får variansen. Ud fra autokovariansfunktionen fås autokorrelationsfunktionen ρ(s, t) = γ(s, t) γ(s, s)γ(t, t) (3.5) eller ACF. Omskrevet med et lag på h fås ρ(h) = γ(h) γ(0) (3.6) For en stationær tidsserie ses ikke afhængighed fra foregåe observationer, hvorimod det ses for en ikke-stationær tidsserie. Det vil sige at ACF skal være lille for alle lags, for at der er tidsserien er stationær, mens der ved større værdier ikke er stationaritet, da der er afhængighed mellem observationerne. ACF lag Figur 3.4: ACF for logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur 3.2 Et typisk billede for en ikke-stationær tidsserie er når ACF, plottet til de forskellige lags, er svagt falde, hvilket er udtryk for at jo større lag jo mindre er korrelationen. Dette ses tydeligt på figur 3.4, som er ACF for lag 0 til 50 på logprisudviklingen for gaspriser som ses i figur 3.2. Samme billede gør sig gælde for elektricitet og CO 2 og kan ses på figur C.1 og C.2 i appix C. Ud fra ACF

23 3.3. Stationaritet 23 plots vurderes det altså at prisudviklingen på gas, elektricitet og CO 2 ikke er stationære. På figur 3.5 ses ACF plots for daglige på afkast på loggaspriserne der ses på figur 3.2 for lag 0 til 50. Her ses det at der ikke er så stor ACF for lags Lag 0 er naturligvis lig 1 da det er autokorrelationen med sig selv. Det ses at ACF skærer af efter lag 0 og det er et typisk billede for stationaritet. Samme billede ses for elektricitet og CO 2 i figur C.3 og C.4 og det vurderes at de daglige afkast (førstedifferensen for prisudviklingen) er stationære. For elektricitet på figur C.3 ses dog lidt større autokorrelation ved lag 1 for resten med større lags. Det kan være tegn på at der stadig er lidt afhængighed fra tidligere afkast. ACF lag Figur 3.5: ACF for daglige afkast på logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur Enhedsrodstest En mere håndgribelig måde at afgøre om en tidsserie er stationær på er ved enhedsrodstest. En test der ofte bruges er Dickey-Fuller testen og den udvidede Dickey-Fuller test. Der tages udgangspunkt i processen x t = ρx t 1 + u t (3.7) hvor fejlleddet, u t, er hvid støj. Hvis ρ = 1 er x t en random walk uden drift. Dvs. at x t har enhedsrod og er dermed ikke stationær. En serie der har en enhedsrod er I(1) og serier med d enhedsrødder er I(d). Dickey-Fuller testen er en test om der er enhedsrod i tidsserien, altså dermed en test for ikke-stationaritet. Ved afvisning at hypotesen om der eksisterer enhedsrod i tidsserien antages den alternative hypotese, at tidsserien er stationær, at gælde, selvom det dog ikke er helt statistisk korrekt. For at udføre Dickey-Fuller testen omskrives ligning 3.7 ved at trække x t 1 fra

24 24 Kapitel 3. Dataanalyse på begge sider. x t x t 1 = ρx t 1 x t 1 + u t (3.8) = (ρ 1)x t 1 + u t x t = δx t 1 + u t (3.9) hvor δ = (ρ 1). Første skridt i Dickey-Fuller testet er at lave regressionen for ligning (3.9). Derefter findes t-værdien for δ ved at dividere den estimerede værdi for δ med dens standardfejl. t-værdien sammenlignes med den kritiske værdi for at se om nulhypotesen kan afvises eller ej. Nulhypotesen for Dickey-Fuller testet, δ = 0 dvs. ρ = 1, afvises ikke hvis t- værdien er større (mindre negativ) den kritiske værdi og dermed er tidsserien ikke stationær. Hvis t-værdien er mindre den kritiske værdi, afvises nulhypotesen og den alternative hypotese, at tidsserien er stationær gælder. Ovenståe gælder for nulhypotesen om x t følger en random walk. På samme måde testes om δ = 0 for tilfældet om det følger en random walk med drift og for en random walk med drift omkring en tr x t = β 1 + ρx t 1 + u t (3.10) x t = β 1 + δx t 1 + u t (3.11) x t = β 1 + β 2 t + ρx t 1 + u t (3.12) x t = β 1 + β 2 t + δx t 1 + u t (3.13) Alt efter hvilken nulhypotese tidsserien passer bedst på vælges ligning (3.9), (3.11) eller (3.13), hvor nulhypotesen δ = 0 testes. De kritiske værdier for Dickey-Fuller testene er fundet fra [Mac10], med formlen Ĉ(p, T ) = ˆβ + ˆβ 1 T 1 + ˆβ 2 T 2 (3.14) hvor T er antal observationer og p sandsynlighedsniveauet. Det er vigtigt at være opmærksom på der er forskellige kritiske værdier, alt efter hvilken af de tre tests der bruges. Tabeller for β, β 1 og β 2 for hver tilfælde findes i [Mac10]. I Dickey-Fuller testen antages det at fejlleddene, u t er ukorreleret, men i tilfældet hvor fejlledene er korrelerede har Dickey og Fuller udviklet en udvidet test, den Augmented Dickey-Fuller test (ADF). Standard Dickey-Fuller testen er udvidet med laggede værdier af den afhængige variabel x t. Den udvidede Dickey-Fuller test er x t = β 1 + β 2 t + δx t 1 + p α i x t i + ɛ t (3.15) hvor fejlleddet, ɛ t, er hvid støj og p er antallet af lag differencer det tages med. Ideen er at inkludere nok laggede x t i værdier, så fejlledet, ɛ t, er serielt ukorreleret. Som i DF testes også nulhypotesen, δ = 0, der følger den samme fordeling som i DF testen og der bruges dermed de samme kritiske værdier for hver af de tre tilfælde. i=1

25 3.4. Kointegration 25 Ud fra plot at prisudviklingen i figur 3.2 vurderer jeg at nulhypotesen der passer bedst er en random walk med drift og tr. I tabel 3.3 ses testresultaterne. Det ses at nulhypotesen ikke kan afvises for alle råvarer og dermed viser det at Dickey-Fuller RW med konstant og tr Gas El CO δ t-værdi 1% 5% 10% Tabel 3.3: Dickey-Fuller på priserne tidsserierne ikke er stationære. Derfor ses på prisændringerne for prisserierne. Prisændringerne antages hverken at have drift eller tr. Dermed testes for om de kan beskrives som en random walk. Dickey-Fuller random walk Gas El CO δ t-værdi 1% 5% 10% Tabel 3.4: Dickey-Fuller for prisændringerne I tabel 3.4 ses at test om prisændringerne kan beskrives ved en random walk, afvises for alle råvarerne. Dermed viser enhedsrodstestene samme resultat som ACF, altså at gas, elektricitet og CO 2 er ikke stationære, I(1), hvilket er et godt udgangspunkt for kointegration mellem råvarerne, der vil blive gennemgået i næste afsnit. 3.4 Kointegration Kointegration er hvor to eller flere tidsserier hver især er ikke-stationære, men en lineær kombination af dem er stationær. Først ses på forholdet mellem to ikke-stationære tidsserier, x t og y t der begge er I(1). Generelt vil en lineær kombination af dem y t β 2 x t = ζ t (3.16) også være I(1). Ligeledes hvis x t og y t begge er I(2) vil en lineær kombination af dem generelt også være I(2). Tilbage til I(1) tilfældet. Hvis x t og y t har samme stokastiske tr, så de på lang sigt har samme udvikling, samt at de på kort sigt bevæger sig i samme retning, kan de være kointegrerede. Hvis x t og y t der hver især er I(1), men en lineær kombination af dem er I(0), er de kointegrerede. På samme måde er det generelt at hvis linearkombinationen er integreret af orden én mindre deres fælles integrerede orden, er de kointegrerede. Kointegrationskoefficienterne er vægtene i linearkombinationen, (1, β 2 ), hvor koefficienten for y t i ligning (3.16) er normeret til at være lig 1. Kointegrationsvektoren kan skaleres, så der findes dermed flere kointegrationsvektorer,

26 26 Kapitel 3. Dataanalyse men forholdet mellem vægtene er unikt. Der kan også lægges en konstant til linearkombinationen uden at det ændrer på kointegrationsforholdet. Ved mere to kointegrerede tidsserier, kan der være mere én kointegrationsvektor. Ved at antage at x t og y t er kointegrerede er kointegrationsregressionen y t = β 1 + β 2 x t + ξ t hvor ξ t = ζ t β 1. Kointegrationsregressionen behandles nærmere i næste afsnit, der omhandler Engle-Granger testen for kointegration Engle-Granger test En måde at teste for kointegration er ved brug af Engle-Granger testen der tager udgangspunkt i enhedsrodstest. Først tages der udgangspunkt i kointegrationsregressionen med to variable. Regressionen y t = β 1 + β 2 x t + ξ t (3.17) for de to variable x t og y t laves og derefter undersøger man residualerne for enhedsrødder. Hvis residualerne har enhedsrod er x t og y t ikke kointegrerede. Engle-Granger testen er en test for enhedsrod og dermed en test for ikkekointegration. Den alternative hypotese er at de er kointegrerede. Der kigges på residualerne ξ t = ρξ t 1 + u t (3.18) hvor der hvis ρ = 1 ikke er kointegration. Det reformuleres til ξ t = δξ t 1 + u t (3.19) hvor δ = (ρ 1). Som i Dickey-Fuller testen kan nulhypotesen, δ = 0 ikke afvises, hvis t-værdien er større den kritiske værdi. De kritiske værdier for Engle-Granger testen er ikke de samme som ved Dickey-Fuller testen. De kritiske værdier findes også ved formel (3.14), men med andre værdier for β, β 1 og β 2, som findes i [Mac10]. Der er forskellige værdier for β, β 1 og β 2 alt efter hvor mange tidsserier man tester for kointegration. Engle-Granger testen laves normalt med nulhypotesen om random walk, da den har middelværdi 0 som konsekvens af OLS estimationen. Det kan som i Dickey-Fuller test være nødvigt at tilføje laggede værdier af ξ t for at sikre at u t er uden seriel korrelation. p ξ t = δξ t 1 α i ξ t i + u t (3.20) i=1 Tidligere blev tidsserierne testet for stationaritet og resultatet var at de alle er ikke-stationære, I(1), dermed et godt udgangspunkt for at de kan være kointegrerede. Da de alle er I(1) kan ovenståe setup nemt udvides til tre variable, så man får kointegrationsregressionen y t = β 1 + β 2 x t + β 3 z t + ξ t (3.21) for tidsserierne y t, x t og z t. På samme måde som med to variable testes residualerne for enhedsrødder.

27 3.5. Delkonklusion 27 Engle-Granger test resultater δ t-værdi 1% 5% 10% El/Gas/CO Gas/El Gas/CO EL/CO Tabel 3.5: Engle-Granger test I tabel 3.5 ses testresultater for Engle-Granger test for kointegration mellem alle tre råvarer og for indbyrdes parvis kointegration mellem dem. Testen for enhedsrod i residualerne for alle tre råvarer afvises på et 5% niveau. Dermed en afvises nulhypotesen om ikke-kointegration. Dermed den alternative hypotese, der er en indikation af at gas, elektricitet og CO 2 er kointegreret. Dette gælder dog ikke på et 1% niveau. På Engle-Granger testene for parvis kointegration af råvarerne, kan det dog ikke afvises for nogen af kombinationerne at de er ikke-kointegrerede. Dermed at de ikke er kointegrerede. Det ses dog at forholdet gas/elektricitet er meget tæt på at kunne afvises at være ikke-kointegrerede på et 10% niveau. I hvert fald tættere el/co 2 og gas/co 2, hvilket kan indikere en større samvariation for gas og elektricitet, for CO 2 med gas og elektricitet. Selvom Engle-Granger testen viser at de parvise forhold er ikke-kointegrerede, specielt for dem med CO 2 involveret, vil jeg ikke afvise at de er kointegrerede.der kigges her på én tilserie for hver råvare og andre tidsserier kan have større samvariation. Desuden er tidsserierne kun på 590 observationer. En anden metode for test for kointegration er Johansen testen, som [PP09] bruger, men den ligger uden for denne afhandlings afgrænsning. 3.5 Delkonklusion Ved at se grafisk på prisudviklingen for de udvalgte serier for gas elektricitet og CO 2 ses tydeligt, at de varierer forholdsvis ens. Når der kigges på korrelation for afkast ses det at gas og elektricitet har den højeste korrelation, mens CO 2 med hhv. elektricitet og gas er noget lavere. Det er desuden set at fordelingen for afkastene på de tre serier ikke er normalfordelte. Både Autokorrelationsfunktionen og Dickey-Fuller test viser at gas, elektricitet og CO 2 alle er ikke stationære, men at tidsserierne differentieret er stationære. Engle-Granger testen viser indikation af at de tre råvarer er kointegrerede. Uventet viser Engle-Granger testene også at råvarerne parvis ikke er kointegrerede. Det er dog tæt på at testen for gas og elektricitet viser at de er kointegrerede, men ikke når der testes for CO 2 og gas eller eller elektricitet. Korrelationer på afkast og kointegrationstest er der en tens til at gas og elektricitet er tættere relateret forhold gas og elektricitet hver især har med CO 2. Grunden til dette kan være egenskaberne for produkterne, hvor elektricitet og gas har en del tilfældes, mens CO 2 skiller sig ud. Idéen med en kointegreret model, hvor gas og elektricitet og CO 2 hver for sig

28 28 Kapitel 3. Dataanalyse ikke er stationære, men at en lineær kombination er stationær ser ikke ud til at være helt ved siden af. Dermed går jeg videre til modellen.

29 Kapitel 4 Modellen I dette kapitel vil Paschke & Prokopczuk s model blive præsenteret og forklaret. Efterfølge vil der blive gjort rede for tilpasninger til modellen, for at modellen og de historiske data kan bruges i modellen. Modellen er bareset på affine rentestrukturmodeller og dette kapitel tager udgangpunkt i [PP09] Usikkerheden i modellen er givet ved sandsynlighedsrummet (Ω, F, P), hvor den uafhængige n-dimensionale Brownske bevægelse Zt P er defineret. Det antages at alle stokastiske processer kommer fra filteret F t. 4.1 Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model Paschke & Prokopczuk s model er en Gaussisk n-faktor model der modellerer relaterede råvarefutures samtidig. Der tages udgangspunkt i at priserne kan beskrives ved én langsigtet process og n 1 kortsigtede der afviger fra den langsigtede. Det antages at log-spotprisen for råvare k er lns k,t = δ k x t + δ 0 k + s k (t) (4.1) der bliver drevet af den n-dimensionale vektor x t af latente variable med Gaussisk diffusion. δ 0 k er det konstante log-prisniveau, s k(t) deterministisk sæsonjustering og δ k er en (1 n) vektor med faktor loadings, altså vægtene, som hver af de n faktorer bliver påvirket med, for hver råvare k. Processen der driver logspotprisen er dx t = (a P K P x t )dt + dz P t (4.2) hvor a P er en (n 1) vektor, K P en (n n) positiv semidefinit matrix og Zt P er en uafhængig n-dimensionel brownsk bevægelse. x t ser umiddelbart ud til at være en n-dimensionel Ornstein-Uhlenbeck proces, men det er ikke helt tilfældet. Modellens setup er at den første state variabel antages at være en ikke-stationær langsigtet ligevægt og de (n 1) andre kortsigtede afvigelser fra denne. Den første state variabel antages derfor at være en standard aritmetrisk Brownsk bevægelse og de andre mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck processer. 29

30 30 Kapitel 4. Modellen Den første state variabel er altså ikke mean-reverting og påvirkninger på den er vedvare og dermed et udtryk for fundamentale ændringer i markedet. De andre variable er mean-reverting processer omkring den første variabel. Setup et med én ikke mean-reverting variabel og (n 1) mean-reverting variable omkring den første, gør at den samlede prisudvikling ikke er mean-reverting. Afhængigheden mellem vægtene for råvarerne for den første state variabel viser at de er kointegrerede. Hvis en af råvarerne har vægten nul for den første variabel er de ikke kointegrerede. Diagonalen i K P er mean-reverting hastigheden for den tilhøre variabel og de andre elementer er hvordan variablene påvirker hinanden. Råvarerne har altså den samme underligge n-dimensionelle proces der driver priserne, men med forskellige vægte, hvormed de påvirkes, samt forskellige prisniveau og sæsonfunktioner. Da data modellen kalibreres ud fra er futures, bruges spot-forward forholdet til at tilbagediskontere forwards til spotpriser lns = lnf e k(t t) (4.3) som er i det imensionelle tilfælde. For processen, x t, der driver logspotpriserne, under det P -tilsvare mål M, i det n-dimensionelle tilfælde diagonaliseres matrix K M ved egenværdidekompositionen, K M UV U 1, hvor V er diagonalmatricen med egenværdier v i 0 for K M og U er matricen med tilhøre egenvektorer. K M diagonaliseres, egenværdierne tilbagediskonteres og sættes op til diagonalmatricen ψ(v; t, T ) = exp( v(t t)) v 0 1 (4.4) ψ(v 1 ; t, T ) 0 0 L ψ (K M 0 ψ(v 2 ; t, T ) 0 ; t, T ) = ψ(v n ; t, T ) hvorefter egenvektormatricen ganges på igen så man har at matricen UL φ (K M ; t, T )U 1, der kan ses som matrixudgaven til funktionen exp( k(t t)). Derudover er L φ (K M ; t, T ) diagonalmatricen hvor ψ(v; t, T ) er udskiftet med φ(v; t, T ) = T t ψ(v; s, T )ds = 1 exp( v(t t)) v v 0 (T t). (4.5) Ved at integrere matricen L ψ (K M ; t, T ) fra t til T får man altså matricen L φ (K M ; t, T ). Dermed kan Itos-lemma bruges på funktionen G = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t. De afledte bliver G x t = UL ψ (K M ; s, T )U 1, 2 G x 2 t = 0, G t = UL ψ(k M ; t, T )U 1 K M x t

31 4.1. Paschke & Prokopczuk s kointegrerede model 31 og man får G = (UL ψ (K M ; s, T )U 1 (a M K M x t ) + UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t )dt + UL ψ(k M ; t, T )U 1 dz M t = (UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t + UL ψ (K M ; s, T )U 1 K M x t )dt + UL ψ (K M ; t, T )U 1 dz M t = UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M dt + UL ψ (K M ; t, T )U 1 dz M t (4.6) for at gå fra dx t til x t integreres først over venstre side af (4.6) T t dg = T t d(ul ψ (K M ; s, T )U 1 x s ) = UL ψ (K M ; T, T )U 1 x T UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t = x T UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t. (4.7) Det gælder da UL ψ (K M ; T, T )U 1 giver enhedsmatricen pga. (T, T ). Derefter integreres over højre side af (4.6), sættes lig (4.7) og x T isoleres x T = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + T t UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M ds T + UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzs M (4.8) t Middelværdien kan nu opskrives som E M t [x T ] = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + = UL ψ (K M ; t, T )U 1 x t + U T t T t UL ψ (K M ; s, T )U 1 a M ds (L ψ (K M ; s, T )ds)u 1 a M = Ψ M (t, T )x t + Φ M (t, T )a M (4.9) hvor det sidste led fra (4.8) er lig nul da det er en brownsk bevægelse med middelværdi nul. Variansen er V M t [x T ] = E M t = E M t = E M t = = U T t T [ (xt E M t [x T ] ) 2 ] [ (xt ) 2] [ ] T (UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzt M )(UL ψ (K M ; s, T )U 1 dzt M ) ds t t UL ψ (K M ; s, T )(U 1 U 1 )L ψ(k M ; s, T )U ds L ψ (K M ; s, T )HL ψ(k M ; s, T )dsu = UH(K M ; t; T )U = Ω M (t, T ) (4.10)