matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring"

Transkript

1 mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00

2 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten 0. Pascals trekant Differentialkvotienten af simple funktioner Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner Ligningen for tangenten 5 5 Monotoniforold 6 5. Ekstremumssteder Differentialkvotient af 8 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner 8 8 Differentialkvotienten af kvotientfunktioner 0 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Kapiteloversigt 5

3 Differentialregning Ideen med differentialregning er at se på vad uendeligt små forskelle (differenser) betyder. I dag bruges det primært til optimering og bestemmelse af øjebliksbilleder. F.eks. ved pasteurisering af fødevare nedbrydes både bakterier og vitaminer eksponentielt. Ved jælp fra differentialregning kan man sige at efter sek. pasteurisering aftager vitaminindoldet med 3 mg pr. sek. pr. kg fødevare og bakterieindoldet med 5 µg pr. sek. pr. kg fødevare. Det er ligeledes differentialregning der jælper med at finde en optimale temperatur til pasteuriseringen. Den optimale temperatur afænger både af vitamin- og bakterietype. For at komme en forståelse af dette begreb differentialregning nærmere skal vi omkring grænseværdi og kontinuitet.. Grænseværdi En grænseværdi er en værdi, som det ser ud som om en funktion vil antage vis der skulle gættes på en værdi. En funktion f ar grænseværdien a i punktet 0, vis man kan opnå funktionsværdier vilkårligt tæt ved a ved at vælge -værdier tilstrækkeligt tæt ved 0. Hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim 0 f = a Definition. Definition af grænseværdi. ε > 0 δ > 0 : 0 < 0 < δ f a < ε I ord: "For alle epsilon større end 0 eksistere et delta større end 0 for vilket der gælder, at vis afstanden mellem og grænsen ( 0 ) er mindre end delta, er afstanden mellem f og grænseværdien mindre end epsilon."hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim f = a 0 Eksempel. Se på funktionen f = 0. Se på grænseværdien for denne funktion i punktet 5. Først den simple afprøvning.,8,9 5 5, 5, f,08,0?,96,9 Det ser ud som om at funktionen nærmer sig værdien når nærmer sig 5. For at vise at er grænseværdien i punktet 5, f = kraftig opvarmning for at dræbe bakterier 3

4 skal der findes et δ, som gerne må afænge af ε, som afgør det interval omkring 5 vor -værdier kan være indenfor, så f er i en omkreds ε omkring. Lad ε =. Nu skal δ vælges så 0 < 5 < δ 0 < For at løse uligeden 0 < løses ligningen = 0. = 0 og ligningen = ( 0 ). = ( 0 ) = 0 3 = 0 = 0 3 3,33 + = 0 = 0 = 0 Det betyder at skal være mellem 3,33 og 0. Da 0 < 5 < δ må δ være som er 5 3. Denne udregning af δ kan også illustreres grafisk. 6 5 f = ε δ Ved at gøre ε mindre til f.eks. så vil også δ blive mindre. Her ses den grafiske illustration. 6 5 f = ε δ Findes der en sammenæng mellem δ og ε, vor δ > 0 for alle ε, vil grænseværdien være. Bemærk at ε < ellers kommer der et problem fordi grafen

5 for f ikke er sammenængende. I dette tilfælde findes -værdien ved at løse de to ligninger ε = 0 og ε = (0 ). Det betyder at -værdien skal være mellem 0 0 ε+ og ε. Dette betyder at δ skal være det mindste af de to tal ε+ 5 og ε 5. Det er ε+ 5 som er mindst. Det betyder at δ = 0 ε+ +5 Det betyder at ligegyldigt vilken værdi af > ε > 0 der vælges findes der et passende δ. Her af følger at grænseværdien for gående mod 5 er for funktionen f = 0. Dette skrives 0 lim 5 =. Eksempel.3 Hvad er grænseværdien af funktionen +3 vis går i mod? Gættet på en grænseværdi er 5, fordi for værdien af +3 når er er 5. For at vise dette ses igen på ligningen (+3) 5 < ε og følgende ligninger løses. (+3) 5 = ε = +ε ((+3) 5) = ε + = ε = ε δ skal derfor opfylde at < δ og da ligger mellem +ε og ε skal δ være det mindste af de to +ε = ε og ε = ε. Dette betyder at δ = ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 5: lim +3 = 5 Eksempel. Hvad er grænseværdien af f = vis går i mod 3? Der gættes på 7 som grænseværdi, fordi f(3) = 7. For at vise dette ses igen på ligningen ( ) 7 < ε og følgende ligninger løses. ( ) 7 = ε = ± 9+ε (( ) 7) = ε = ± 9 ε Da -værdien er ca. 3 udelukkes de negative løsninger. δ skal så opfylde at 3 < δ og da ligger mellem 9 ε og 9+ε så skal δ være det mindste af de to 9 ε 3 og 9+ε 3. Dette betyder at δ = 3 9 ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 7 så lim = f =

6 Opgave.5 Udregn grænseværdien eller forklar vorfor den ikke eksistere i følgende tilfælde.. lim lim. lim + 6. lim 0 3. lim lim +. lim lim Svar på opgave.5.. 5,. 5, 3.,., 5. 0, 6. 0, 7. Ingen løsning, 8.. Det ar sikkert undret dig at funktionen f = overoved ar en grænseværdi for gående mod 3, men du kan prøve at udregne funktionsværdien for værdier der ligger tæt på, f.eks..99 eller 3.0, er vil du se at f(.99) =.0067 og f(3.0) = For bedre at forstå vad der sker kan vi se på grafen for funktionen. På grafen er det tydeligt at se vad værdien, ville ave været, vis funktionen avde være defineret for = 3. Men på formlen ses, at funktionen ikke er defineret for = 3, da nævneren er 0. Man siger at funktionens definitionsmængde er alle reelle tal undtagen 3 og -3, dette skrives R\{±3} f = Lad nu f = +3 Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal er denne funktion kun defineret for reelle tal som gør at uligeden +3 > 0 er opfyldt, dvs. skal væge lig med eller større end 3, dette skrives [ 3, [ Dette betyder at funktionen ikke ar en grænseværdi for f.eks. gående mod -, så lim +3 eksistere ikke. 3 f =

7 En anden type funktion er log denne funktion er defineret for alle positive reelle tal. Specielt er, at den ikke er defineret for 0. Men lim log( ) = Det er noget nyt, at en funktion ar grænseværdien, nogle funktioner kan også ave grænseværdien. Lad os undersøge en ny funktion f = log Denne funktion er interessant på mange måder, prøv at se grafen for denne funktion. Den ser lidt mærkelig ud, Det er som om den er delt i to, og stopper ved punktet (0,0). På grafen til øjre kan man se vad der sker omkring punktet (0,0). Grænseværdien for gående mod 0 er 0 for funktionen f = log, men da man ikke kan tage logaritmen af 0 så er funktionen ikke defineret for = 0, men kan godt ave en grænseværdi for = 0. Det er ligesom funktionen , vor funktionen ikke defineret for = 3, men ar en grænseværdi i punktet alligevel , 0, 0,3 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,005 f = log Se vad det er der sker når går mod for funktionen f = log. Når man ser på grafen kan man ikke se vad funktionsværdien er i. Vi usker på, at værdien af log() er 0. Det betyder, at vi ville dividere med 0 vis vi satte lig. Funktionen er altså ikke defineret for = og 0, men af forskellige årsager. Men vad er grænseværdien for gående mod? lim log Denne grænseværdi eksistere ikke. Det er mærkeligt fordi vi ar lært, at en grænseværdi godt kan være + eller. Grunden til at der ikke er nogen grænseværdi er at der er to forskellige grænseværdier, der er en grænseværdi vis vi starter i f.eks. og går mod, så vil vi ende i +, men vis vi starter i 0,5 og går mod, så vil vi ende i. Man kan regne med grænseværdier, ved at bruge følgende sætning. 7

8 Sætning.6 Hvis funktionerne f og g ar grænseværdierne v. a og b i punktet 0, og k R er en konstant, så gælder det at, vor b 0 i ligning (). lim (f +g) = lim f+ lim g = a+b () lim (f g) = lim f lim g = a b () lim (f g) = lim f lim g = a b (3) ( ) f lim = lim 0 f 0 g lim 0 g = a () b lim k f = k lim f = k a 0 0 (5) Vi vil ikke er komme med et bevis, men beviset følger af den formelle definition på grænseværdi. Og ligningerne(f+g) = f+g, (f g) = f g, (f g) = f g og f f g = g. Man kan bruge dette vis man ar to funktioner og man kender grænseværdien på begge funktioner. Så kan man også finde grænseværdien for f.eks. summen af de to funktioner.. Kontinuitet Definition.7 Definition af kontinuitet. En funktion f kaldes kontinuert i punktet 0, vis dens grænseværdi i punktet 0 er lig med dens funktionsværdi i 0, dvs. lim 0 f = f( 0 ) En funktion, der er kontinuert i alle punkter af sin definitionsmængde kaldes kontinuert. Hvis grænseværdien ikke eksisterer eller vis grænseværdien er forskellig fra f( 0 ), så siger man at f er diskontinuert i 0. Bemærk det er kun vis punkterne som giver anledning til uller i grafen, ligger i definitionsmængden, at funktionen ikke er kontinuert Som eksempel på en kontinuert funktion, som ar ul i grafen kan man se på funktionen f = Som man kan se på grafen så er der et ul i grafen, men da ullet er i 3 som ikke ligger i funktionens definitionsmængde er funktionen kontinuert f =

9 En anden funktion som også ar uller i grafen, men som er kontinuert er funktionen tan der ar uller i π/,3π/,5π/, osv π π 3π π Alder Nu kommer et eksempel på en ikke kontinuert funktion. Disse funktioner er sjældne og ofte konstruerede. Funktionen Alder angiver din alder i år som 3 funktion af antallet af år. Sagt på en anden måde, så er man 7 år indtil den dag vor man ar fødselsdag og fylder 8 år. År Hvis man ved at to funktioner er kontinuerte kan man også kombinere dem og deres kombinationer vil også være kontinuerte. f = tan Sætning.8 Hvis funktionerne f og g er kontinuerte funktioner og k R er en konstant, så er funktionerne f +g, f g, k f, f g, f g, f g også kontinuerte - med passende indskrænkning i definitionsmængderne. Bevis. Sætningen bevises kun i tilfældet f g. Ligning (3) giver at Da det er antaget atf ogg er kontinuerte funktioner giver definition.7 at Ved at indsætte dette i ovenstående ligning fås at lim 0 (f g) = lim 0 (f) lim 0 (g) lim 0 (f) = f( 0 ) og lim 0 (g) = g( 0 ) lim 0 (f) lim 0 (g) = f( 0 ) g( 0 ) Vi ar nu vist at lim 0 (f g) = f( 0 ) g( 0 ) = (f g)( 0 ) Og eraf ses at f g er kontinuert. Q.E.D. 9

10 Differentialkvotienten Definition. Definition på differentiabel. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet 0, vis differenskvotienten ar en grænseværdi for 0. y = f( 0 +) f( 0 ) Se på følgende grafer. Bemærk. Hvis ændres, ændres sekanten. f Sekant til f f f( 0 +) Sekant til f f( 0 ) y f( 0 +) f( 0 ) y Og når går imod 0 vil sekanten går i mod tangenten til f i punktet ( 0,f( 0 )). f Tangent til f i 0 f( 0 ) 0 0

11 På denne måde kan man finde tangenter til alle punkter på alle funktioner, vor det kan lade sig gøre. Man kan f.eks. ikke finde en tangent til punktet (3,) på grafen for funktionen f = f = Man kan eller ikke finde tangenten i punkter vor funktionen ikke er kontinuert. Definition. Definition på differentialkvotienten. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten i 0 og skrives f ( 0 ), dvs. f y ( 0 ) = lim 0 = lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f ( 0 ) angiver tangentens ældningskoefficient i punktet ( 0,f( 0 )). Hvis f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde, kaldes f differentiabel. Hvis funktionen f er differentiabel kaldes f for den afledte funktion. Denne definition anvendes når en funktion skal differentieres. Eksempel.3 Funktionen f = 6 3 skal differentieres. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). 6( 0 +) = 6( ) = = Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f = = lim = 8 0 Eksempel. Funktionen f = +3 skal differentieres.

12 Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). ( 0 +) +3 ( 0 +3) = ( ) Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f =. 0 + = 0 + lim = 0. Pascals trekant I begge eksempler blev Pascals trekant anvendt. n 0 (a+b) n a+b a +ab+b a 3 +3a b+3ab +b 3 6 a +a 3 b+6a b +ab 3 +b Bemærk at a s eksponent starter med at være n og derefter aftager med for vert led, og b s eksponent starter med at være 0 og vokser med for vert led. Koefficienten for vert led aflæses i Pascals trekant. Opgave.5 Differentier følgende funktioner.. f = f = f = f = f = 9 7. f = 3+. f = f = Svar på opgave.5.. f = 3,. f = 3, 3. f = 0,. f = 5, 5. f = 3, 6. f = 6, 7. f = 3, 8. f = 0+. Mål er nu at generalisere så udregninger kan forsimples. Funktionen f = 0 for funktionen f = 9. Dette kan generaliseres til at gælde alle funktionen der er konstante. På tilsvarende vis kan der udledes andre generaliseringer af svarende på opgave.5.. Differentialkvotienten af simple funktioner Sætning.6 Funktionen f = k, vor k R er differentiabel og f = 0.

13 Bevis. Definition. bruges på f = k. f k k 0 ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim 0 = 0 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er 0 for alle vilket stemmer med sætningen. f = k k Sætning.7 Funktionen f =, er differentiabel og f =. Bevis. Definition. bruges på f =. f ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim = 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er for alle vilket stemmer med sætningen. f = Sætning.8 Funktionen f = n er differentiable for n N og f = n n. Bevis. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). For at udregne dette anvendes Pascals trekant. K er alle de led som indeolder p vor p. Det betyder at Herefter divideres med. L er alle de led som indeolder q vor q. Nu udregnes grænseværdien for gående mod 0. f( 0 +) f( 0 ) = ( 0 +) n 0 ( 0 +) n = n 0 +n n 0 +K ( 0 +) n 0 = n 0 +n n 0 +K n 0 = n n 0 +K n n 0 +K = n n 0 +L lim 0 n n 0 +L = n 0 n Da L = 0 fordi alle led indeolder q vor q. Konklusionen er at f = n n. Q.E.D. 3

14 3 Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner For at gøre det lettere at bestemme afledede funktioner vises nogle regneregler for differentialkvotienter. Sætning 3. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, er deres sum - og differens funktioner også differentiable i 0 og differentialkvotienten er v. summen og differensen af differentialkvotienterne for f og g. Dvs. (f ±g) ( 0 ) = f ( 0 )±g ( 0 ) Bevis. Først anvendes definition. på (f +g) ( 0 ) og får at (f +g) (f+g)( ( 0 ) = lim 0+) (f+g)( 0) 0 Nu bruges definitionen af additionsfunktionen (f + g) = f( = lim 0+)+g( 0+) (f( 0)+g( 0)) 0 f( = lim 0+)+g( 0+) f( 0) g( 0) 0 f( = lim 0+) f( 0) 0 + g(0+) g(0) f( = lim 0+) f( 0) g( 0 + lim 0+) g( 0) 0 = f ( 0 )+g ( 0 ) f+g. Nu opæves parentesen i tælleren. Brøken opdeles i to. Nu bruges regneregler for grænseværdier. Da f og g er differentiable funktioner kan definition. anvendes. Q.E.D. Eksempel 3. Når generaliseringen anvendes til at differentiere funktionen fås at 3 differentieres til 3 og differentieres til og differentieres til og differentieres til 0. Samlet bliver det. f = f = som kan reduceres til f = 3 +8

15 Opgave 3.3 Differentiere følgende funktion. f = f = f = f = f = 7. f =. f = + 8. f = Svar på opgave f = 0+3,. f = +8, 3. f = 8,. f = 8 3 +, 5. f = 6 +3, 6. f =, 7. f =, 8. f = 0. Ligningen for tangenten Ligningen for tangenten til funktionen f i et punkt 0, kan findes på følgende måde. Eksempel. Funktionen f = ar i punktet 0 = en tangent, y = a+b, og denne tangent findes ved følgende metode. Først bestemmes f f = =. Derefter bestemmes a = f ( 0 ) f () = =. Derefter bestemmes y 0 = f( 0 ) Til sidst bestemmesb = y 0 a 0 f() = = b = = = 6 Ligningen for tangenten til f = i punktet 0 = er så y = f = Tangent y = 6 Opgave. Bestem tangenten til følgende funktioner i 0.. f = i 0 = 5. f = +3 i 0 =. f = 3 5 i 0 = 6. f = 3 +3 i 0 = 3. f = +3 i 0 = 0 7. f = 3 +3 i 0 =. f = +3 i 0 = 8. f = 3 +3 i 0 = 5

16 Svar på opgave... y =,. y = 3 3, 3. y = +3,. y = 6 3, 5. y =, 6. y =, 7. y = 0+5, 8. y = Monotoniforold At bestemme en funktions monotoniforold betyder at bestemme vornår funktionen er voksende og aftagende. Med kendskabet til betydningen at differentialkovtienten bliver dette lettere. Fordi man kan udnytte at funktionen er voksende vis differentialkovtienten er positiv og funktionen er aftagende vis differentialkovtienten er negativ. f = På grafen ses, at f er negativ nårf er aftagende og, atf er positiv når f er voksende. For at bestemme monotoniforoldende skal, de -værdier vor f = 0 findes og fortegnet for f på ver side at nulpunkterne skal bestemmes, og på baggrund af disse oplysninger kan monotoniforoldene for f bestemmes f = Eksempel 5. For at bestemme monotoniforoldene for funktionen f = differentieres denne og f = Nulpunkterne for f kan findes ved at løse andengradsligningen. L = { 3,}. Disse nulpunkter afmærkes på en -akse f 0 0 Så bestemmes fortegnet for f inden og efter vert af nulpunkterne. f ( ) = 8 og f (0) = 8 og f () = Disse fortegn skrives ind på vores -akse f

17 Nu kan det afgøres vor f er voksende og vor den er aftagende. Idet f er voksende når f er positiv og f er aftagende når f er negativ. Dette markeres på vores -aksen med pile f f ր ց ր Resultatet skal skrives i følgende tekst. Bemærk at funktionen er både voksende og aftagende i 3 og. Bemærk at og ikke er indeoldt i intervallerne. Funktionen f er voksende i intervallerne ] ; 3] og [; [ og funktionen f er aftagende i intervallet [ 3;] 5. Ekstremumssteder Da funktionen er voksende frem til -3 og erefter aftagende siges -3 at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt maksimum. Den lokale maksimumsværdi er f( 3) = 5,5. Da funktionen er aftagende til og erefter voksende siges at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt minimum. Den lokale minimumsværdi er f() = 3. Opgave 5. Bestem monotoniforoldene og ekstremumssteder og - værdier for følgende funktioner. f = f = f = f = f = f = 9 +. f = f =

18 6 Differentialkvotient af Sætning 6. Funktionen f =, vor 0 er differentiabel og f =. Bevis. f( lim 0+) f( 0) = lim 0 ( 0+ 0) ( 0++ 0) = lim 0 ( 0++ 0) ( 0 + ) ( ) 0 = lim 0 Iflg. definition. vor f =. Brøken forlænges med ( ) Tælleren ganges ud. = lim = lim 0 ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 og > 0. ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 = 0. = lim Brøken forkortes 0 med. = Grænseværdien udregnes. 0 Da f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f = som ønsket. Q.E.D. Her ses to tangenter til funktionen f =. En tangent til punktet 0 =, som ar ældningen 3 =. Og en til punktet 0 =, som ar ældningen = f = 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner Sætning 7. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, så er deres produktfunktion også differentiabel i 0 og differentialkvotienten er (f g) ( 0 ) = f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) 8

19 Bevis. Definition. anvendes på (f g) ( 0 ). (f g) ( 0 ) = lim 0 (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) Derefter anvendes definitionen af produktfunktion ((f g) = f g). (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) = f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) Nu lægges ledet f( 0 +) g( o )+f( 0 +) g( 0 ) til. f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) f( 0 +) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes f( 0 +) udenfor parantes. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 )) f( 0 ) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes g( 0 ) udenfor parantes. Nu divideres med. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 ))+g( 0 )(f( 0 +) f( 0 )) f( 0 +) g( 0 +) g( 0 ) Nu anvendes ligning (3) og () fra sætning.6. +g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) lim f( g( 0 +) g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) 0 +) lim + lim g( 0 ) lim Nu udregnes grænseværdierne. f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) Sætning 7. kan bruges til at bevise følgende sætning. Q.E.D. Sætning 7. Hvis funktionen f er differentiabel i 0 og k R, så er k f( 0 ) differentiabel og differentialkvotienten er (k f( 0 )) = k f ( 0 ) Bevis. Vi starter med at bruge sætning 7. på (k f( 0 )) så får vi at Og ifølge sætning.6 så får vi at Som ønsket. (k f( 0 )) = k f ( 0 )+k f( 0 ) (k f( 0 )) = k f ( 0 )+0 f( 0 ) = k f ( 0 ) 9

20 Q.E.D. Eksempel 7.3 Det betyder at når funktionenf = skal differentieres bliver resultatet f = 3 + Opgave 7. Differentier funktionerne. f = f = (+8) (+7). f = f = 3(+5) ( ) 3. f = 9(+) 7. f = (+)( )(+3). f = (+3) ( 7) 8. f = (+)(+)( +) Svar på opgave , , 3. 9, , 5. +5, , , Differentialkvotienten af kvotientfunktioner Vi starter med at vise følgende sætning, som senere skal vise sig at være nyttig. Sætning 8. Hvis funktionen f, er differentiabel i 0 og f( 0 ) 0, så er f differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) = f ( 0 ) f( 0 ) (f( 0 )) Bevis. Definition. anvendes på ( f( 0) ). ( ) = lim f( 0 ) 0 Nu sættes på fælles brøkstreg i tælleren f( 0+) f( 0) f( 0 +) f( 0 ) = f( 0 ) f( 0 +)f( 0 ) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) = f( 0) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) Hele udtrykke kan derfor omskrives til f( 0 ) f( 0 +) lim 0 f( 0 +)f( 0 ) Dette kan nu omskrives på passende måde til lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f( 0 +)f( 0 ) 0

21 Ved at bruge regneregler for grænseværdi fås at f( 0 +) f( 0 ) lim lim 0 0 f( 0 +)f( 0 ) Grænseværdierne kan nu udregnes f ( 0 ) (f( 0 )) Q.E.D. Nu kan kvotientregelen vises. Sætning 8. Hvis funktionen f og g, er differentiable i 0 og g( 0 ) 0, så er f g differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) f(0 ) = g( 0)f ( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g( 0 ) (g( 0 )) Bevis. Først laver vi følgende omskrivning af kvotienten ( ) ( f(0 ) = f( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) Nu kan vi bruge Sætning 7. ( ) ( ) f( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved nu at bruge Sætning 8. fås at ( f ( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved udregne fås at f ( 0 ) Nu sættes på fælles brøkstreg ) = f ( 0 ) ) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) (g( 0 )) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) (g( 0 )) Q.E.D. Eksempel 8.3 Det betyder at når funktionen f = så bliver resultatet f = 3 ( )

22 Opgave 8. Differentier funktionerne.. f = f = A +B+C. f = f = + 3. f = f = +. f = / 8. f = ++ Svar på opgave , , 3.,. /, 5. A+B, 6. (+), 7. ( ), / 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner Der er stadigvæk funktioner som vi ikke er i stand til at differentierer f.eks. f = +, denne type af funktioner kalder vi for sammensatte funktioner fordi de består af de to funktioner f = og g = +, vis vi sætter disse to funktioner samme så vi siger og da g er lig +, kan vi skrive f(g) = g f(g) = g = + Vi kan også differentierer både f og g, men altså ikke f(g) og det er det problem som følgende sætning løser for os. Sætning 9. Hvis funktionen f(u) er differentiabel i u 0 og g er differentiabel i 0, så er (f(g)) differentiabel i 0 og differentialkovtienten er (f(g( 0 ))) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Bevis. Antag at f er differentiabel i u 0 = g( 0 ) og g er differentiabel i 0. Lad funktionen E(k) være defineret som E(0) = 0 E(k) = f(u 0 +k) f(u 0 ) f (u 0 ) k 0 k Det følger så af definitionen på differentialkovtienten at lim E(k) = k 0 f (u 0 ) f (u 0 ) = 0 = E(0) Derfor er E(k) kontinuert i k = 0. Derfor ar vi enten k = 0 eller ej at f(u 0 +k) f(u 0 ) = (f (u 0 )+E(k)) k

23 Nu sætter vi u 0 = g( 0 ) og k = g( 0 +) g( 0 ) og derfor er u 0 +k = g( 0 +) Dette sætter vi ind i ovenstående ligning og får at f(g( 0 +)) f(g( 0 )) = (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) (6) Nu kan vi gå igang med at udregne differentialkovtienten af (f(g( 0 )). Først bruger vi definitionen af differentialkovtienten. Så bruger vi ligning 6. (f(g( 0 ))) = lim 0 f(g( 0 +)) f(g( 0 )) f(g( 0 +)) f(g( 0 )) (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) lim = lim 0 0 (g( Vi ved at g( 0 ) er differentiabel så lim 0+) g( 0)) 0 = g ( 0 ) Dette bruger vi og så får vi at (g( 0 +) g( 0 )) lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) lim = lim(f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) 0 0 Og da E(k) er kontinuert i 0 så vil lim 0 E(k) = lim k 0 E(k) = E(0) = 0. Dette bruger vi så lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) = lim(f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) 0 Og da f (g( 0 )) ikke afænger af så er lim 0 (f (g( 0 ))) = f (g( 0 )) Dette bruger vi så Hvilket viser det ønskede. lim 0 (f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Q.E.D. Nu er vi i stand til at differentier funktioner som +, idet vi først differentier som er og derefter differentier + som er, dette kan vi sammensætte til ( +) = + Eksempel 9. Et andet eksempel kunne være +, er gør vi det samme og får at + = + (+) 3

24 Opgave 9.3 Differentier følgende funktioner.. f = 3 5. f = +. f = 3 6. f = 3. f = 3 7. f =. f = ( 3 3) 3 8. f = Svar på opgave 9.3..,., ,. 9 ( 3 ) +, 5. 6., 7., 8.. 3/ +, 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Sætning 0. Differentialkvotienten for sin og cos er. sin = cos (7) cos = sin (8) Sætning 0. Hvis > 0 er differentialkvotienten for ln. (ln) = Sætning 0.3 Differentialkvotienten for a er ln(a) a. (a ) = ln(a) a Sætning 0. Differentialkvotienten for e er e. (e ) = e Bevis. Dette følger at Sætning 0.3, da der eraf følger at og ln(e) =. (e ) = ln(e) e Q.E.D.

25 Kapiteloversigt Differentiationsregler Simple differentialer (f+g) (c f) = f +g = c f (f g) = f g +f g ( ) = f f (f) ( ) f = g f g f g (g) (f(g)) = f (g) g f f k 0 k n k n n sin cos tan e cos sin cos e e k k e k ln ( > 0) a a ln(a) (a > 0) 5

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik B Anne Blom 2f Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Intro:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere