matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring"

Transkript

1 mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00

2 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten 0. Pascals trekant Differentialkvotienten af simple funktioner Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner Ligningen for tangenten 5 5 Monotoniforold 6 5. Ekstremumssteder Differentialkvotient af 8 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner 8 8 Differentialkvotienten af kvotientfunktioner 0 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Kapiteloversigt 5

3 Differentialregning Ideen med differentialregning er at se på vad uendeligt små forskelle (differenser) betyder. I dag bruges det primært til optimering og bestemmelse af øjebliksbilleder. F.eks. ved pasteurisering af fødevare nedbrydes både bakterier og vitaminer eksponentielt. Ved jælp fra differentialregning kan man sige at efter sek. pasteurisering aftager vitaminindoldet med 3 mg pr. sek. pr. kg fødevare og bakterieindoldet med 5 µg pr. sek. pr. kg fødevare. Det er ligeledes differentialregning der jælper med at finde en optimale temperatur til pasteuriseringen. Den optimale temperatur afænger både af vitamin- og bakterietype. For at komme en forståelse af dette begreb differentialregning nærmere skal vi omkring grænseværdi og kontinuitet.. Grænseværdi En grænseværdi er en værdi, som det ser ud som om en funktion vil antage vis der skulle gættes på en værdi. En funktion f ar grænseværdien a i punktet 0, vis man kan opnå funktionsværdier vilkårligt tæt ved a ved at vælge -værdier tilstrækkeligt tæt ved 0. Hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim 0 f = a Definition. Definition af grænseværdi. ε > 0 δ > 0 : 0 < 0 < δ f a < ε I ord: "For alle epsilon større end 0 eksistere et delta større end 0 for vilket der gælder, at vis afstanden mellem og grænsen ( 0 ) er mindre end delta, er afstanden mellem f og grænseværdien mindre end epsilon."hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim f = a 0 Eksempel. Se på funktionen f = 0. Se på grænseværdien for denne funktion i punktet 5. Først den simple afprøvning.,8,9 5 5, 5, f,08,0?,96,9 Det ser ud som om at funktionen nærmer sig værdien når nærmer sig 5. For at vise at er grænseværdien i punktet 5, f = kraftig opvarmning for at dræbe bakterier 3

4 skal der findes et δ, som gerne må afænge af ε, som afgør det interval omkring 5 vor -værdier kan være indenfor, så f er i en omkreds ε omkring. Lad ε =. Nu skal δ vælges så 0 < 5 < δ 0 < For at løse uligeden 0 < løses ligningen = 0. = 0 og ligningen = ( 0 ). = ( 0 ) = 0 3 = 0 = 0 3 3,33 + = 0 = 0 = 0 Det betyder at skal være mellem 3,33 og 0. Da 0 < 5 < δ må δ være som er 5 3. Denne udregning af δ kan også illustreres grafisk. 6 5 f = ε δ Ved at gøre ε mindre til f.eks. så vil også δ blive mindre. Her ses den grafiske illustration. 6 5 f = ε δ Findes der en sammenæng mellem δ og ε, vor δ > 0 for alle ε, vil grænseværdien være. Bemærk at ε < ellers kommer der et problem fordi grafen

5 for f ikke er sammenængende. I dette tilfælde findes -værdien ved at løse de to ligninger ε = 0 og ε = (0 ). Det betyder at -værdien skal være mellem 0 0 ε+ og ε. Dette betyder at δ skal være det mindste af de to tal ε+ 5 og ε 5. Det er ε+ 5 som er mindst. Det betyder at δ = 0 ε+ +5 Det betyder at ligegyldigt vilken værdi af > ε > 0 der vælges findes der et passende δ. Her af følger at grænseværdien for gående mod 5 er for funktionen f = 0. Dette skrives 0 lim 5 =. Eksempel.3 Hvad er grænseværdien af funktionen +3 vis går i mod? Gættet på en grænseværdi er 5, fordi for værdien af +3 når er er 5. For at vise dette ses igen på ligningen (+3) 5 < ε og følgende ligninger løses. (+3) 5 = ε = +ε ((+3) 5) = ε + = ε = ε δ skal derfor opfylde at < δ og da ligger mellem +ε og ε skal δ være det mindste af de to +ε = ε og ε = ε. Dette betyder at δ = ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 5: lim +3 = 5 Eksempel. Hvad er grænseværdien af f = vis går i mod 3? Der gættes på 7 som grænseværdi, fordi f(3) = 7. For at vise dette ses igen på ligningen ( ) 7 < ε og følgende ligninger løses. ( ) 7 = ε = ± 9+ε (( ) 7) = ε = ± 9 ε Da -værdien er ca. 3 udelukkes de negative løsninger. δ skal så opfylde at 3 < δ og da ligger mellem 9 ε og 9+ε så skal δ være det mindste af de to 9 ε 3 og 9+ε 3. Dette betyder at δ = 3 9 ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 7 så lim = f =

6 Opgave.5 Udregn grænseværdien eller forklar vorfor den ikke eksistere i følgende tilfælde.. lim lim. lim + 6. lim 0 3. lim lim +. lim lim Svar på opgave.5.. 5,. 5, 3.,., 5. 0, 6. 0, 7. Ingen løsning, 8.. Det ar sikkert undret dig at funktionen f = overoved ar en grænseværdi for gående mod 3, men du kan prøve at udregne funktionsværdien for værdier der ligger tæt på, f.eks..99 eller 3.0, er vil du se at f(.99) =.0067 og f(3.0) = For bedre at forstå vad der sker kan vi se på grafen for funktionen. På grafen er det tydeligt at se vad værdien, ville ave været, vis funktionen avde være defineret for = 3. Men på formlen ses, at funktionen ikke er defineret for = 3, da nævneren er 0. Man siger at funktionens definitionsmængde er alle reelle tal undtagen 3 og -3, dette skrives R\{±3} f = Lad nu f = +3 Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal er denne funktion kun defineret for reelle tal som gør at uligeden +3 > 0 er opfyldt, dvs. skal væge lig med eller større end 3, dette skrives [ 3, [ Dette betyder at funktionen ikke ar en grænseværdi for f.eks. gående mod -, så lim +3 eksistere ikke. 3 f =

7 En anden type funktion er log denne funktion er defineret for alle positive reelle tal. Specielt er, at den ikke er defineret for 0. Men lim log( ) = Det er noget nyt, at en funktion ar grænseværdien, nogle funktioner kan også ave grænseværdien. Lad os undersøge en ny funktion f = log Denne funktion er interessant på mange måder, prøv at se grafen for denne funktion. Den ser lidt mærkelig ud, Det er som om den er delt i to, og stopper ved punktet (0,0). På grafen til øjre kan man se vad der sker omkring punktet (0,0). Grænseværdien for gående mod 0 er 0 for funktionen f = log, men da man ikke kan tage logaritmen af 0 så er funktionen ikke defineret for = 0, men kan godt ave en grænseværdi for = 0. Det er ligesom funktionen , vor funktionen ikke defineret for = 3, men ar en grænseværdi i punktet alligevel , 0, 0,3 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,005 f = log Se vad det er der sker når går mod for funktionen f = log. Når man ser på grafen kan man ikke se vad funktionsværdien er i. Vi usker på, at værdien af log() er 0. Det betyder, at vi ville dividere med 0 vis vi satte lig. Funktionen er altså ikke defineret for = og 0, men af forskellige årsager. Men vad er grænseværdien for gående mod? lim log Denne grænseværdi eksistere ikke. Det er mærkeligt fordi vi ar lært, at en grænseværdi godt kan være + eller. Grunden til at der ikke er nogen grænseværdi er at der er to forskellige grænseværdier, der er en grænseværdi vis vi starter i f.eks. og går mod, så vil vi ende i +, men vis vi starter i 0,5 og går mod, så vil vi ende i. Man kan regne med grænseværdier, ved at bruge følgende sætning. 7

8 Sætning.6 Hvis funktionerne f og g ar grænseværdierne v. a og b i punktet 0, og k R er en konstant, så gælder det at, vor b 0 i ligning (). lim (f +g) = lim f+ lim g = a+b () lim (f g) = lim f lim g = a b () lim (f g) = lim f lim g = a b (3) ( ) f lim = lim 0 f 0 g lim 0 g = a () b lim k f = k lim f = k a 0 0 (5) Vi vil ikke er komme med et bevis, men beviset følger af den formelle definition på grænseværdi. Og ligningerne(f+g) = f+g, (f g) = f g, (f g) = f g og f f g = g. Man kan bruge dette vis man ar to funktioner og man kender grænseværdien på begge funktioner. Så kan man også finde grænseværdien for f.eks. summen af de to funktioner.. Kontinuitet Definition.7 Definition af kontinuitet. En funktion f kaldes kontinuert i punktet 0, vis dens grænseværdi i punktet 0 er lig med dens funktionsværdi i 0, dvs. lim 0 f = f( 0 ) En funktion, der er kontinuert i alle punkter af sin definitionsmængde kaldes kontinuert. Hvis grænseværdien ikke eksisterer eller vis grænseværdien er forskellig fra f( 0 ), så siger man at f er diskontinuert i 0. Bemærk det er kun vis punkterne som giver anledning til uller i grafen, ligger i definitionsmængden, at funktionen ikke er kontinuert Som eksempel på en kontinuert funktion, som ar ul i grafen kan man se på funktionen f = Som man kan se på grafen så er der et ul i grafen, men da ullet er i 3 som ikke ligger i funktionens definitionsmængde er funktionen kontinuert f =

9 En anden funktion som også ar uller i grafen, men som er kontinuert er funktionen tan der ar uller i π/,3π/,5π/, osv π π 3π π Alder Nu kommer et eksempel på en ikke kontinuert funktion. Disse funktioner er sjældne og ofte konstruerede. Funktionen Alder angiver din alder i år som 3 funktion af antallet af år. Sagt på en anden måde, så er man 7 år indtil den dag vor man ar fødselsdag og fylder 8 år. År Hvis man ved at to funktioner er kontinuerte kan man også kombinere dem og deres kombinationer vil også være kontinuerte. f = tan Sætning.8 Hvis funktionerne f og g er kontinuerte funktioner og k R er en konstant, så er funktionerne f +g, f g, k f, f g, f g, f g også kontinuerte - med passende indskrænkning i definitionsmængderne. Bevis. Sætningen bevises kun i tilfældet f g. Ligning (3) giver at Da det er antaget atf ogg er kontinuerte funktioner giver definition.7 at Ved at indsætte dette i ovenstående ligning fås at lim 0 (f g) = lim 0 (f) lim 0 (g) lim 0 (f) = f( 0 ) og lim 0 (g) = g( 0 ) lim 0 (f) lim 0 (g) = f( 0 ) g( 0 ) Vi ar nu vist at lim 0 (f g) = f( 0 ) g( 0 ) = (f g)( 0 ) Og eraf ses at f g er kontinuert. Q.E.D. 9

10 Differentialkvotienten Definition. Definition på differentiabel. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet 0, vis differenskvotienten ar en grænseværdi for 0. y = f( 0 +) f( 0 ) Se på følgende grafer. Bemærk. Hvis ændres, ændres sekanten. f Sekant til f f f( 0 +) Sekant til f f( 0 ) y f( 0 +) f( 0 ) y Og når går imod 0 vil sekanten går i mod tangenten til f i punktet ( 0,f( 0 )). f Tangent til f i 0 f( 0 ) 0 0

11 På denne måde kan man finde tangenter til alle punkter på alle funktioner, vor det kan lade sig gøre. Man kan f.eks. ikke finde en tangent til punktet (3,) på grafen for funktionen f = f = Man kan eller ikke finde tangenten i punkter vor funktionen ikke er kontinuert. Definition. Definition på differentialkvotienten. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten i 0 og skrives f ( 0 ), dvs. f y ( 0 ) = lim 0 = lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f ( 0 ) angiver tangentens ældningskoefficient i punktet ( 0,f( 0 )). Hvis f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde, kaldes f differentiabel. Hvis funktionen f er differentiabel kaldes f for den afledte funktion. Denne definition anvendes når en funktion skal differentieres. Eksempel.3 Funktionen f = 6 3 skal differentieres. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). 6( 0 +) = 6( ) = = Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f = = lim = 8 0 Eksempel. Funktionen f = +3 skal differentieres.

12 Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). ( 0 +) +3 ( 0 +3) = ( ) Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f =. 0 + = 0 + lim = 0. Pascals trekant I begge eksempler blev Pascals trekant anvendt. n 0 (a+b) n a+b a +ab+b a 3 +3a b+3ab +b 3 6 a +a 3 b+6a b +ab 3 +b Bemærk at a s eksponent starter med at være n og derefter aftager med for vert led, og b s eksponent starter med at være 0 og vokser med for vert led. Koefficienten for vert led aflæses i Pascals trekant. Opgave.5 Differentier følgende funktioner.. f = f = f = f = f = 9 7. f = 3+. f = f = Svar på opgave.5.. f = 3,. f = 3, 3. f = 0,. f = 5, 5. f = 3, 6. f = 6, 7. f = 3, 8. f = 0+. Mål er nu at generalisere så udregninger kan forsimples. Funktionen f = 0 for funktionen f = 9. Dette kan generaliseres til at gælde alle funktionen der er konstante. På tilsvarende vis kan der udledes andre generaliseringer af svarende på opgave.5.. Differentialkvotienten af simple funktioner Sætning.6 Funktionen f = k, vor k R er differentiabel og f = 0.

13 Bevis. Definition. bruges på f = k. f k k 0 ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim 0 = 0 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er 0 for alle vilket stemmer med sætningen. f = k k Sætning.7 Funktionen f =, er differentiabel og f =. Bevis. Definition. bruges på f =. f ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim = 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er for alle vilket stemmer med sætningen. f = Sætning.8 Funktionen f = n er differentiable for n N og f = n n. Bevis. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). For at udregne dette anvendes Pascals trekant. K er alle de led som indeolder p vor p. Det betyder at Herefter divideres med. L er alle de led som indeolder q vor q. Nu udregnes grænseværdien for gående mod 0. f( 0 +) f( 0 ) = ( 0 +) n 0 ( 0 +) n = n 0 +n n 0 +K ( 0 +) n 0 = n 0 +n n 0 +K n 0 = n n 0 +K n n 0 +K = n n 0 +L lim 0 n n 0 +L = n 0 n Da L = 0 fordi alle led indeolder q vor q. Konklusionen er at f = n n. Q.E.D. 3

14 3 Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner For at gøre det lettere at bestemme afledede funktioner vises nogle regneregler for differentialkvotienter. Sætning 3. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, er deres sum - og differens funktioner også differentiable i 0 og differentialkvotienten er v. summen og differensen af differentialkvotienterne for f og g. Dvs. (f ±g) ( 0 ) = f ( 0 )±g ( 0 ) Bevis. Først anvendes definition. på (f +g) ( 0 ) og får at (f +g) (f+g)( ( 0 ) = lim 0+) (f+g)( 0) 0 Nu bruges definitionen af additionsfunktionen (f + g) = f( = lim 0+)+g( 0+) (f( 0)+g( 0)) 0 f( = lim 0+)+g( 0+) f( 0) g( 0) 0 f( = lim 0+) f( 0) 0 + g(0+) g(0) f( = lim 0+) f( 0) g( 0 + lim 0+) g( 0) 0 = f ( 0 )+g ( 0 ) f+g. Nu opæves parentesen i tælleren. Brøken opdeles i to. Nu bruges regneregler for grænseværdier. Da f og g er differentiable funktioner kan definition. anvendes. Q.E.D. Eksempel 3. Når generaliseringen anvendes til at differentiere funktionen fås at 3 differentieres til 3 og differentieres til og differentieres til og differentieres til 0. Samlet bliver det. f = f = som kan reduceres til f = 3 +8

15 Opgave 3.3 Differentiere følgende funktion. f = f = f = f = f = 7. f =. f = + 8. f = Svar på opgave f = 0+3,. f = +8, 3. f = 8,. f = 8 3 +, 5. f = 6 +3, 6. f =, 7. f =, 8. f = 0. Ligningen for tangenten Ligningen for tangenten til funktionen f i et punkt 0, kan findes på følgende måde. Eksempel. Funktionen f = ar i punktet 0 = en tangent, y = a+b, og denne tangent findes ved følgende metode. Først bestemmes f f = =. Derefter bestemmes a = f ( 0 ) f () = =. Derefter bestemmes y 0 = f( 0 ) Til sidst bestemmesb = y 0 a 0 f() = = b = = = 6 Ligningen for tangenten til f = i punktet 0 = er så y = f = Tangent y = 6 Opgave. Bestem tangenten til følgende funktioner i 0.. f = i 0 = 5. f = +3 i 0 =. f = 3 5 i 0 = 6. f = 3 +3 i 0 = 3. f = +3 i 0 = 0 7. f = 3 +3 i 0 =. f = +3 i 0 = 8. f = 3 +3 i 0 = 5

16 Svar på opgave... y =,. y = 3 3, 3. y = +3,. y = 6 3, 5. y =, 6. y =, 7. y = 0+5, 8. y = Monotoniforold At bestemme en funktions monotoniforold betyder at bestemme vornår funktionen er voksende og aftagende. Med kendskabet til betydningen at differentialkovtienten bliver dette lettere. Fordi man kan udnytte at funktionen er voksende vis differentialkovtienten er positiv og funktionen er aftagende vis differentialkovtienten er negativ. f = På grafen ses, at f er negativ nårf er aftagende og, atf er positiv når f er voksende. For at bestemme monotoniforoldende skal, de -værdier vor f = 0 findes og fortegnet for f på ver side at nulpunkterne skal bestemmes, og på baggrund af disse oplysninger kan monotoniforoldene for f bestemmes f = Eksempel 5. For at bestemme monotoniforoldene for funktionen f = differentieres denne og f = Nulpunkterne for f kan findes ved at løse andengradsligningen. L = { 3,}. Disse nulpunkter afmærkes på en -akse f 0 0 Så bestemmes fortegnet for f inden og efter vert af nulpunkterne. f ( ) = 8 og f (0) = 8 og f () = Disse fortegn skrives ind på vores -akse f

17 Nu kan det afgøres vor f er voksende og vor den er aftagende. Idet f er voksende når f er positiv og f er aftagende når f er negativ. Dette markeres på vores -aksen med pile f f ր ց ր Resultatet skal skrives i følgende tekst. Bemærk at funktionen er både voksende og aftagende i 3 og. Bemærk at og ikke er indeoldt i intervallerne. Funktionen f er voksende i intervallerne ] ; 3] og [; [ og funktionen f er aftagende i intervallet [ 3;] 5. Ekstremumssteder Da funktionen er voksende frem til -3 og erefter aftagende siges -3 at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt maksimum. Den lokale maksimumsværdi er f( 3) = 5,5. Da funktionen er aftagende til og erefter voksende siges at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt minimum. Den lokale minimumsværdi er f() = 3. Opgave 5. Bestem monotoniforoldene og ekstremumssteder og - værdier for følgende funktioner. f = f = f = f = f = f = 9 +. f = f =

18 6 Differentialkvotient af Sætning 6. Funktionen f =, vor 0 er differentiabel og f =. Bevis. f( lim 0+) f( 0) = lim 0 ( 0+ 0) ( 0++ 0) = lim 0 ( 0++ 0) ( 0 + ) ( ) 0 = lim 0 Iflg. definition. vor f =. Brøken forlænges med ( ) Tælleren ganges ud. = lim = lim 0 ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 og > 0. ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 = 0. = lim Brøken forkortes 0 med. = Grænseværdien udregnes. 0 Da f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f = som ønsket. Q.E.D. Her ses to tangenter til funktionen f =. En tangent til punktet 0 =, som ar ældningen 3 =. Og en til punktet 0 =, som ar ældningen = f = 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner Sætning 7. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, så er deres produktfunktion også differentiabel i 0 og differentialkvotienten er (f g) ( 0 ) = f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) 8

19 Bevis. Definition. anvendes på (f g) ( 0 ). (f g) ( 0 ) = lim 0 (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) Derefter anvendes definitionen af produktfunktion ((f g) = f g). (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) = f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) Nu lægges ledet f( 0 +) g( o )+f( 0 +) g( 0 ) til. f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) f( 0 +) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes f( 0 +) udenfor parantes. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 )) f( 0 ) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes g( 0 ) udenfor parantes. Nu divideres med. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 ))+g( 0 )(f( 0 +) f( 0 )) f( 0 +) g( 0 +) g( 0 ) Nu anvendes ligning (3) og () fra sætning.6. +g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) lim f( g( 0 +) g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) 0 +) lim + lim g( 0 ) lim Nu udregnes grænseværdierne. f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) Sætning 7. kan bruges til at bevise følgende sætning. Q.E.D. Sætning 7. Hvis funktionen f er differentiabel i 0 og k R, så er k f( 0 ) differentiabel og differentialkvotienten er (k f( 0 )) = k f ( 0 ) Bevis. Vi starter med at bruge sætning 7. på (k f( 0 )) så får vi at Og ifølge sætning.6 så får vi at Som ønsket. (k f( 0 )) = k f ( 0 )+k f( 0 ) (k f( 0 )) = k f ( 0 )+0 f( 0 ) = k f ( 0 ) 9

20 Q.E.D. Eksempel 7.3 Det betyder at når funktionenf = skal differentieres bliver resultatet f = 3 + Opgave 7. Differentier funktionerne. f = f = (+8) (+7). f = f = 3(+5) ( ) 3. f = 9(+) 7. f = (+)( )(+3). f = (+3) ( 7) 8. f = (+)(+)( +) Svar på opgave , , 3. 9, , 5. +5, , , Differentialkvotienten af kvotientfunktioner Vi starter med at vise følgende sætning, som senere skal vise sig at være nyttig. Sætning 8. Hvis funktionen f, er differentiabel i 0 og f( 0 ) 0, så er f differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) = f ( 0 ) f( 0 ) (f( 0 )) Bevis. Definition. anvendes på ( f( 0) ). ( ) = lim f( 0 ) 0 Nu sættes på fælles brøkstreg i tælleren f( 0+) f( 0) f( 0 +) f( 0 ) = f( 0 ) f( 0 +)f( 0 ) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) = f( 0) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) Hele udtrykke kan derfor omskrives til f( 0 ) f( 0 +) lim 0 f( 0 +)f( 0 ) Dette kan nu omskrives på passende måde til lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f( 0 +)f( 0 ) 0

21 Ved at bruge regneregler for grænseværdi fås at f( 0 +) f( 0 ) lim lim 0 0 f( 0 +)f( 0 ) Grænseværdierne kan nu udregnes f ( 0 ) (f( 0 )) Q.E.D. Nu kan kvotientregelen vises. Sætning 8. Hvis funktionen f og g, er differentiable i 0 og g( 0 ) 0, så er f g differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) f(0 ) = g( 0)f ( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g( 0 ) (g( 0 )) Bevis. Først laver vi følgende omskrivning af kvotienten ( ) ( f(0 ) = f( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) Nu kan vi bruge Sætning 7. ( ) ( ) f( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved nu at bruge Sætning 8. fås at ( f ( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved udregne fås at f ( 0 ) Nu sættes på fælles brøkstreg ) = f ( 0 ) ) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) (g( 0 )) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) (g( 0 )) Q.E.D. Eksempel 8.3 Det betyder at når funktionen f = så bliver resultatet f = 3 ( )

22 Opgave 8. Differentier funktionerne.. f = f = A +B+C. f = f = + 3. f = f = +. f = / 8. f = ++ Svar på opgave , , 3.,. /, 5. A+B, 6. (+), 7. ( ), / 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner Der er stadigvæk funktioner som vi ikke er i stand til at differentierer f.eks. f = +, denne type af funktioner kalder vi for sammensatte funktioner fordi de består af de to funktioner f = og g = +, vis vi sætter disse to funktioner samme så vi siger og da g er lig +, kan vi skrive f(g) = g f(g) = g = + Vi kan også differentierer både f og g, men altså ikke f(g) og det er det problem som følgende sætning løser for os. Sætning 9. Hvis funktionen f(u) er differentiabel i u 0 og g er differentiabel i 0, så er (f(g)) differentiabel i 0 og differentialkovtienten er (f(g( 0 ))) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Bevis. Antag at f er differentiabel i u 0 = g( 0 ) og g er differentiabel i 0. Lad funktionen E(k) være defineret som E(0) = 0 E(k) = f(u 0 +k) f(u 0 ) f (u 0 ) k 0 k Det følger så af definitionen på differentialkovtienten at lim E(k) = k 0 f (u 0 ) f (u 0 ) = 0 = E(0) Derfor er E(k) kontinuert i k = 0. Derfor ar vi enten k = 0 eller ej at f(u 0 +k) f(u 0 ) = (f (u 0 )+E(k)) k

23 Nu sætter vi u 0 = g( 0 ) og k = g( 0 +) g( 0 ) og derfor er u 0 +k = g( 0 +) Dette sætter vi ind i ovenstående ligning og får at f(g( 0 +)) f(g( 0 )) = (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) (6) Nu kan vi gå igang med at udregne differentialkovtienten af (f(g( 0 )). Først bruger vi definitionen af differentialkovtienten. Så bruger vi ligning 6. (f(g( 0 ))) = lim 0 f(g( 0 +)) f(g( 0 )) f(g( 0 +)) f(g( 0 )) (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) lim = lim 0 0 (g( Vi ved at g( 0 ) er differentiabel så lim 0+) g( 0)) 0 = g ( 0 ) Dette bruger vi og så får vi at (g( 0 +) g( 0 )) lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) lim = lim(f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) 0 0 Og da E(k) er kontinuert i 0 så vil lim 0 E(k) = lim k 0 E(k) = E(0) = 0. Dette bruger vi så lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) = lim(f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) 0 Og da f (g( 0 )) ikke afænger af så er lim 0 (f (g( 0 ))) = f (g( 0 )) Dette bruger vi så Hvilket viser det ønskede. lim 0 (f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Q.E.D. Nu er vi i stand til at differentier funktioner som +, idet vi først differentier som er og derefter differentier + som er, dette kan vi sammensætte til ( +) = + Eksempel 9. Et andet eksempel kunne være +, er gør vi det samme og får at + = + (+) 3

24 Opgave 9.3 Differentier følgende funktioner.. f = 3 5. f = +. f = 3 6. f = 3. f = 3 7. f =. f = ( 3 3) 3 8. f = Svar på opgave 9.3..,., ,. 9 ( 3 ) +, 5. 6., 7., 8.. 3/ +, 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Sætning 0. Differentialkvotienten for sin og cos er. sin = cos (7) cos = sin (8) Sætning 0. Hvis > 0 er differentialkvotienten for ln. (ln) = Sætning 0.3 Differentialkvotienten for a er ln(a) a. (a ) = ln(a) a Sætning 0. Differentialkvotienten for e er e. (e ) = e Bevis. Dette følger at Sætning 0.3, da der eraf følger at og ln(e) =. (e ) = ln(e) e Q.E.D.

25 Kapiteloversigt Differentiationsregler Simple differentialer (f+g) (c f) = f +g = c f (f g) = f g +f g ( ) = f f (f) ( ) f = g f g f g (g) (f(g)) = f (g) g f f k 0 k n k n n sin cos tan e cos sin cos e e k k e k ln ( > 0) a a ln(a) (a > 0) 5

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Mia Hauge Dollerup 2s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011/2012 ZBC Ringsted Hhx Matematik B Jens Jørvad 12hhx21 Oversigt over

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2013/14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2009 EUC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Storstrøm / Næstved Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere