3. Differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "3. Differentialregning"

Transkript

1 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet til cirkler, og enhver cirkel K er karakteriseret ved sit centrum C og sin radius r > 0. Cirklen K er da mængden af de punkter P i planen, som har afstanden r fra C, altså K {P CP r}. Lad nu P 0 være et vilkårligt, men fast valgt punkt på cirklen K. Tangenten gennem P 0 er da den rette linje, som går gennem punktet P 0, og som er vinkelret på linjestykket CP 0. Det er let at konstruere en tangent ved hjælp af passer og lineal, og vi bemærker, at denne konstruktion er direkte knyttet til cirklens definition. På baggrund af dette måtte vi tro, at der ikke findes andre kurver, som har en tangent i et givet punkt. Denne kendsgerning er måske utilfredsstillende, fordi tangentbegrebet er alt for restriktivt. Men hvis det skal kunne generaliseres til andre kurver, må vi først finde en alternativ definition, som ikke, hverken eksplicit eller implicit, benytter specifikke egenskaber ved en cirkel. Begreber som centrum og radius må derfor ikke forekomme i definitionen og må ikke bruges ved konstruktionen af en tangent. Lad os nu endnu en gang betragte en cirkel med centrum C og radius r, og lad os ud over det fast valgte punkt P 0 også betragte et andet punkt P på cirklen. Vi ved da, at der findes netop en ret linje l P0 P, som går gennem punkterne P 0 og P. Denne rette linje er ikke nogen cirkeltanget, men en såkaldt sekant. Vi bemærker nu, at sekanten l P0 P nærmer sig mere og mere til tangenten t P0 gennem punktet P 0, når punktet P bevæger sig langs cirkelbuen mod P 0. Vi kan derfor også sige følgende: Sætning. Tangenten t P0 er grænsestillingen for sekanterne l P0 P, idet P nærmer sig ubegrænset til P 0. Man kunne endda fristes til at skrive: l P0 P t P0 for P P 0,

2 eller ligefrem lim l P0 P t P0. P P 0 Vi bemærker, at denne definition af cirkeltangenten gennem punktet P 0 ikke benytter nogen specifik egenskab ved cirklen, og derfor må denne definition også kunne anvendes på andre kurver. Dette fører os frem til følgende definition: Definition. Lad K være en plan kurve, og lad P 0 være et fast valgt punkt på kurven. Lad punktet P være et fra P 0 forskelligt punkt på kurven, og betragt sekanten l P0 P, som er den entydigt bestemte rette linje gennem punkterne P 0 og P. Hvis sekanten l P0 P går mod en fast grænsestilling t P0, når kurvepunktet P nærmer sig ubegrænset til det givne punkt P 0, siger vi, at linjen t P0 er tangenten til kurven K gennem punktet P 0. Det er let at overbevise sig om, at velkendte kurver, som fx ellipser, parabler og hyperbler, har en tanget i ethvert punkt, så dette nye, og mere generelle, tangentbegreb er virkelig en (ægte) udvidelse af det klassiske tangentbegreb. Grafen for en reel funktion af en reel variabel er en speciel plan kurve, og vi kan derfor undersøge under hvilke betingelser, der findes en tangent gennem et givet punkt til grafen for en sådan funktion. Lad os derfor med I R betegne et åbent interval, og lad os betragte en funktion f : I R. Lad P 0 og P betegne to forskellige punkter på grafen for funktionen f, og lad os holde punktet P 0 fast, mens vi godt vil tillade, at punktet P varierer. Der findes da to forskellige tal a, x I, således at P 0 (a, f(a)) og P (x, f(x)). Sekanten l P0 P gennem punkterne P 0 og P på grafen for f har åbenbart hældningskoefficienten f(x) f(a) α, og det er derfor klart, at tangenten t P0 til grafen for f gennem punktet P 0 eksisterer, netop når grænseværdien lim α lim f(x) f(a) x a x a f (a) eksisterer. Endvidere ser vi, at hældningskoefficienten for tangenten t P0 netop er denne grænseværdi f (a). Disse overvejelser leder os nu frem til den næste definition:

3 Definition. Lad I R være et åbent interval, og lad f : I R være en given funktion. Lad a I være et fast valgt punkt i dette interval, og betragt størrelsen f(x) f(a) α, som kaldes differenskvotienten for funktionen f. Vi siger, at f er differentiabel i a med differentialkvotienten f (a), dersom grænseværdien eksisterer. f(x) f(a) lim x a f (a) Er funktionen f differentiabel i tallet a I, eksisterer tangenten t P0 grafen for f gennem punktet P 0, og vi har åbenbart følgende resultat: til Sætning. Lad os antage, at funktionen f : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a). Tangenten t P0 til grafen for f gennem punktet P 0, har da hældningskoefficienten f (a). Da differenskvotienten f(x) f(a) netop er en kvotient mellem de to differenser y f(x) f(a) og x x a, betegnes differentialkvotienten f (a), der jo er grænseværdien for differenskvotienten, ofte med størrelsen df dy (a) eller blot (a). Men det er vigtigt at dx dx gøre sig klart, at selv om lim x a y dy (a) x dx (a), så er differentialkvotienten ikke nogen kvotient i sædvanlig forstand Notation. Betegnelsen dy (a) er indført af den tyske matematiker og filosof Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), der i slutningen af dx det 17. århunderede, uafhængigt af Newton, indførte differentialregningen. Betegnelsen f (a) for differentialkvotienten er indført langt senere af den fransk-italienske matematiker Joseph Louis Lagrange ( ). Hvis funktionen f : I R er differentiabel i ethvert punkt a I, siger vi, at f er differentiabel på I. Vi bemærker, at hvis en funktion f : I R er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a), så er det let at finde en ligning for tangenten

4 til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)). Vi har nemlig, at hvis punktet Q (x, y) er et vilkårligt (fra P 0 forskelligt) punkt på tangenten, så må det gælde, at y f(a) f (a), thi tangenten er en ret linje med hældningskoefficienten Dette giver os følgende resultat. y f(a) Sætning. Tangenten til grafen for funktionen f gennem punktet P 0 ( a, f(a) ) har ligningen y f(a) f (a)() y f(a) + f (a)(). Vi ser også, at hvis x ligger tæt på a, så er tangenten gennem punktet P 0 (a, f(a)) en god approksimation til grafen for funktionen. Vi har ovenfor indført, hvad det vil sige, at en funktion f : I R er differentiabel i et givet punkt x a med differentialkvotienten f (a) ved at benytte nogle geometriske betragtninger, der er knyttet til tangentbegrebet. Men vi kunne også have gjort noget andet, hvor vi tager udgangspunkt i den klassiske mekanik Mekanisk betragtning. Lad os antage, at funktionen f : I R beskriver et punkts position på en orienteret akse, altså fx en abscisseakse, og lad os betragte partiklens position dels til et fast valgt tidspunkt t 0 I, dels til et vilkårligt tidspunkt t t 0. Inden for tidsrummet t t t 0 har partiklen gennemløbet distancen y f(t) f(t 0 ). Vi ser nu, at partiklens gennemsnitshastighed v g ( t) i tidsrummet t netop er differenskvotienten y t f(t) f(t 0). t t 0 Hvis vi tænker os, at partiklen har en hastighed v(t 0 ) til tidspunktet t 0, må gennemsnitshastigheden v g ( t) være en god approksimation til v(t 0 ), hvis tidsrummet t er lille. Denne betragtning fører så til, at vi siger, at partiklen netop har hastigheden v(t 0 ) til tidspunktet t 0, hvis og kun hvis v g ( t) v(t 0 ) for t t 0,

5 hvilket er ensbetydende med, at differenskvotienten y t f(t) f(t 0) t t 0 har en grænseværdi for t gående mod t 0, og at v(t 0 ) lim t t0 ( f(t) f(t 0 ) t t 0 ). Vi ser nu, at hastigheden v(t 0 ) til tidspunktet t 0 eksisterer, netop når funktionen f f(t), der angiver partiklens position, er differentiabel i t 0 med differentialkvotienten f (t 0 ) v(t 0 ). På denne måde knyttes hastighedsbegrebet i kinematikken direkte sammen med differentiabilitetsbegrebet i matematikken Eksempel. Vi har endnu ikke set, om der findes funktioner, som er differentiable i et givet punkt. Men den sag kan vi hurtigt afgøre. Lad os fx betragte en lineær funktion f : R R, som er defineret ved forskriften x R : f(x) Ax + B, hvor A og B er henholdsvis hældningskoefficienten og konstanten for den lineære funktions graf. Hvis vi fastholder et bestemt punkt P 0 (a, f(a)) på grafen for f, ser vi, at enhver sekant gennem P 0 netop er sammenfaldende med grafen. Dette viser, at tangenten gennem P 0 må være identisk med grafen, og derfor er funktionen f differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a) A. Da a var vilkårligt valgt, ser vi umiddelbart, at f er differentiabel overalt på mængden R. Dette var måske et lidt for trivielt eksempel, så lad os derfor betragte en række andre, og forhåbentlig lidt mere interessante, eksempler: Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften x R : f(x) x 2. Denne funktions graf er en parabel, og for et givet a R får vi nu, at f(x) f(a) x2 a 2 (x + a)() x + a, så f(x) f(a) lim x a 2a,

6 hvilket viser, at funktionen f er differentiabel i a med differentialkvotienten f (a) 2a. Vi ser, at tangenten til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)) (a, a 2 ) har ligningen y f(a) + f (a)(), så y a 2 + 2a() y 2a 2. Forøvrigt ser vi heraf, at tangenten går gennem punktet P 1 P 1 (a) (0, a 2 ) Eksempel. Lad os betragte funktionen f : [0, [ R, som er defineret ved x 0 : f(x) x. Vælg a > 0. Vi har da, at f(x) f(a) x a ( x a)( x + a) ()( x + a) så ()( x + a) 1 x + a, a > 0 : lim x a f(x) f(a) 1 2 a. Funktionen f er således differentiabel i alle punkter a > 0. Men hvad sker der, hvis vi betragtede differenskvotienten f(x) f(0) x 0 hvor x > 0? Ja, her opdager vi, at x x 1 x, 1 x for x 0 +. Det er på forhånd klart, at funktionen f ikke kan være differentiabel i x 0, thi vi kan kun undersøge differenskvotienten ud fra 0 for positive værdier af x. Men grænseværdien (fra højre) lim x 0+ f(x) f(0) x 0

7 kunne jo godt eksistere, og så ville man sige, at grafen for f havde en (positiv) halvtangent i punktet P 0 (0, f(0)). Vi ser imidlertid, at sekanternes hældningskoefficienter α 1 x bliver større og større, desto nærmere x er ved 0. Dette betyder, at grafen for funktionen f har en lodret halvtangent i punktet P 0 (0, f(0)), nemlig halvlinjen t + med parameterfremstillingen (x, y) (0, y) hvor y Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R + R, som er defineret ved forskriften x > 0 : f(x) 1 x. Grafen for denne funktion er en (ligesidet) hyperbelgren. a > 0 og finder, at f(x) f(a) 1 x 1 a a x xa 1 xa. Vi vælger Heraf finder vi, at funktionen f er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a) 1 a 2. Vi ser, at tangenten til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)) (a, 1 ) har ligningen a y f(a) + f (a)(), så y 1 a 1 ( ) x y a 2 a a y 2a x. a 2 Vi bemærker også, at tangenten går gennem punktet P 1 P 1 (a) (0, 2). a Vi ser umiddelbart, at funktionen g : R R, som er givet ved forskriften x < 0 : g(x) 1 x er differentiabel i ethvert punkt a < 0 med differentialkvotienten g (a) 1 a Eksempel. Vi vil nu betragte den trigonometriske funktion sin: R R. Idet vi erindrer, at s, t R : sin(s + t) sin(s) cos(t) + cos(s) sin(t),

8 hvilket er en af additionsformlerne, og idet vi sætter x a + h, får vi, at sin x sin a sin(a + h) sin a h sin a cos h + cos a sin h sin a h sin a ( cos h 1) ( sin h) + cos a. h h Vi har tidligere set, at cos(s) cos(t) 2 sin ( s + t 2 ) ( s t) sin, 2 hvilket er en af de logaritmiske formler. Sættes s 0 og t h, finder vi, at 1 cos(h) 2 sin ( h) ( h) sin, 2 2 idet cos(0) 1. Heraf får vi så, at hvis h 0, da er Vi har tidligere vist, at 1 cos(h) h lim h 0 sin ( ) h 2 h 2 ( sin h) 1, h og heraf får så, at lim ( cos h 1) 0. h 0 h Benytter vi nu disse resultater, finder vi, at sin x sin a lim x a sin ( h). 2 cos a, hvilket viser, at funktionen sin er differentiabel overalt på den reelle akse med differentialkvotienten d sin (a) cos a. dx Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R R givet ved x R : f(x) x.

9 Det er umiddelbart klart, at funktionen f er differentiabel for a > 0 med differentialkvotienten f (a) 1 og for a < 0 med differentialkvotienten f (a) 1. Lad os derfor se på differenskvotienten f(x) f(0). x 0 For x > 0 får vi, at f(x) f(0) 1, x 0 og for x < 0 får vi, at f(x) f(0) 1. x 0 Heraf fremgår det, at funktionen f ikke er differentiabel i a 0. Før vi ser på flere eksempler skal vi lige vise følgende sætning: Sætning. Lad I R være et givet åbent interval, og lad f : I R være en funktion, som er differentiabel i punket a I. Da er f også kontinuert i punktet a. BEVIS. At funktionen f er differentiabel i punktet a I betyder jo, at f(x) f(a) lim x a f (a), hvor f (a) er differentialkvotienten i a. Dette er åbenbart ensbetydende med, at lim ( f(x) f(a) f (a) ) 0. x a Vi bemærker nu, at funktionen ϵ ϵ(x a), hvor x I, som er defineret ved forskriften { f(x) f(a) ϵ() f (a), for x a x a 0, for x a, er kontinuert i punktet a. Denne funktion kaldes en epsilon-funktion af x a. Heraf får vi så, at x a : f(x) f(a) f (a) ϵ() f(x) f(a) f (a)() + ϵ()(),

10 og det er nu klart, at Hermed er påstanden bevist. Q.E.D. lim f(x) f(a). x a Den omvendte påstand, at en funktion f, der er kontinuert i et punkt a, tillige er differentiabel i a, er ikke sand. Dette fremgår ved at se på det ovenstående eksempel vedrørende funktionen f(x) x, som jo er kontinuert på hele den reelle akse, men som ikke er differentiabel i punktet 0. Vi skal nu se et højst overraskende resultat, som altid vil være et af højdepunkterne i den klassiske analyse: Weierstraß funktion. Det er let at vise, at der findes kontinuerte funktioner, som ikke er differentiable i uendelig mange punkter. Fx gælder dette for funktionen f : R R, som er givet ved forskriften f(x) { x p, for x [p, p ] x + p + 1, for x [p + 1 2, p + 1], hvor p Z. Denne funktion er klart kontinuert på hele den reelle akse, men den er naturligvis ikke differentiabel i punkterne x p og x p + 1 2, hvor p Z. I alle disse punkter har grafen et knæk. Så vidt, så godt! Men det er dog meget overraskende, at der findes kontinuerte funktioner f : R R, som ikke er differentiable i noget punkt. Et sådant eksempel blev første gang offentliggjort af den tyske matematiker Karl Weierstraß ( ). Den 18. juli 1872 fremlagde han sit resultat i det preussiske Königliche Akademie der Wissenschaften i Berlin. Han betragtede funktionen f : R R, som er givet ved x R : f(x) a k cos(b k πx), k0 hvor 0 < a < 1, og b er et ulige naturligt tal > 1, således at ab > 1 + 3π 2. BEVIS for at Weierstraß funktion f er kontinuert på hele den reelle akse: Det er ikke så vanskeligt at vise, at funktionen f er kontinuert i ethvert punkt på den reelle akse. Da den trigonometriske funktion cos er begrænset

11 og altid har funktionsværdier mellem 1 og 1, og da konstanten a ]0, 1[, ser vi, at x R k N : 0 a k cos(b k πx) < a k, og at x R n N : 0 n a k cos(b k πx) n k0 k0 a k 1 ak 1 a. Dette viser, at funktionen f er grænsefunktion for funktionsfølgen (f n ), hvor f n : R R, for ethvert n N, og hvor n x R : f n (x) a k cos(b k πx), k0 og at konvergensen er uniform. Thi fra det ovenstående får vi straks, at rækken a k cos(b k πx) k0 har den konvergente majorantrække der jo har summen k0 a k, k0 a k 1 1 a. Da alle funktionerne f n er kontinuerte på hele den reelle akse, er også grænsefunktionen f kontinuert overalt (idet konvergensen jo er uniform). Q.E.D. Men det er vanskeligt at vise, at f ikke er differentiabel i noget punkt x R. Vi vil forsøge at vise dette ved at følge en ide, som skyldes den tyske matematiker (med det fransk klingende navn) Paul David Gustav du Bois-Reymond ( ). Hans familie, der nedstammede fra de franske hugenotter, kom fra Schweiz, og i hjemmet blev der talt fransk. Men han var født og opvokset i Berlin, og hans videnskabelige arbejde fik stor betydning for datidens tyske forskning. Han blev i høj grad præget af Weierstraß, og i 1875 publicerede han artiklen Versuch einer Classification der willkürlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen i tidsskriftet Journal für die reine und angewandte Mathematik. I denne artikel præsenterede du Bois-Reymond sit meget elegante bevis for, at Weierstraß funktion

12 f ikke er differentiabel i noget punkt. Det er ideen og fremgangsmåden i dette bevis, vi herefter vil følge nøje. BEVIS for at Weierstraß funktion f ikke er differentiabel i noget punkt. Lad x 0 R være et fast valgt, men arbitrært punkt. Vælg dernæst et vilkårligt m N. Lad derpå α m Z være valgt, således at b m x 0 α m ] 1 2, 1 2 ], og definer x m+1 b m x 0 α m. Herefter betragter vi følgerne (y m ) og (z m ), som er givet ved Vi finder nu, at m N : y m α m 1 b m og z m α m + 1 b m. m N : y m x 0 α m 1 b m x 0 α m 1 b m x 0 b m 1 + x m+1 b m < 0, og at m N : z m x 0 α m + 1 b m x 0 α m + 1 b m x 0 b m 1 x m+1 b m > 0. Dette viser, at y m x 0 fra venstre og z m x 0 fra højre for m. Vi vil nu betragte differenskvotienten for funktionen f ud fra punktet x 0. Dette gøres ved i første omgang at inddrage følgen (y m ). Vi får nu følgende regninger: hvor og f(y m ) f(x 0 ) y m x 0 n0 m 1 n0 n0 ( a n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 ) y m x 0 ) ( (ab) n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 )) + b n (y m x 0 ) ( a m+n cos(bm+n πy m ) cos(b m+n πx 0 ) y m x 0 ) S1 + S 2, S 2 S 1 n0 m 1 n0 ( (ab) n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 )), b n (y m x 0 ) ( a m+n cos(bm+n πy m ) cos(b m+n πx 0 ) y m x 0 ). Vi fortsætter nu med først at betragte summen S 1. Idet ξ 0 : sin ξ 1, ξ

13 og idet får vi, at ξ, ζ R : cos ξ cos ζ 2 sin ( ξ + ζ 2 m 1 S 1 n0 (ab) n ( π) sin ( b n π(y m + x 0 ) 2 ) ( ξ ζ ) sin, 2 ) sin ( b n π(y m x 0 ) 2 b n π y m x 0 2 ) ( ) m 1 n0 π(ab) n π((ab)m 1) ab 1 π(ab)m ab 1. Vi betragter nu summen S 2, og vi husker, at j Z : cos(jπ) { 1, for j lige 1, for j ulige. Da b > 1 er et ulige naturligt tal, og da α m Z, får vi, at og desuden får vi, at cos(b m+n πy m ) cos ( b m+n π α m 1 b m ) cos(b n π(α m 1)) ( ( 1) bn) α m 1 ( 1) α m, cos(b m+n πx 0 ) cos ( b m+n π α m + x m+1 b m ) cos(b n πα m ) cos(b n πx m+1 ) sin(b n πα m ) sin(b n πx m+1 ) ( ( 1) b n) α m cos(b n πx m+1 ) 0 ( 1) αm cos(b n πx m+1 ), hvor vi har benyttet additionsformlen ξ, ζ R : cos(ξ + ζ) cos ξ cos ζ sin ξ sin ζ. Vi finder herefter, at S 2 n0 a m+n ( 1)α m ( 1) α m cos(b n πx m+1 ) 1+x m+1 b m (ab) m ( 1) αm n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m+1.

14 Hvert led i den uendelige række n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m+1 er ikke-negativt, altså 0, og da x m+1 ] 1, 1 ] får vi følgende vurderinger 2 2 ( ) n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m cos(πx m+1) 1 + x m Ulighederne ( ) og ( ) sikrer os, at der findes et ϵ 1 η 1 > 1, således at [ 1, 1] og et f(y m ) f(x 0 ) ( 1) αm (ab) m η ( 2 1 y m x ϵ π ) 1. ab 1 Vi betragter herefter differenskvotienten f(z m ) f(x 0 ) z m x 0, og vi foretager en tilsvarende opspaltning som ovenfor af denne differenskvotient i en sum T 1 + T 2 af de to størrelser T 1 og T 2. Vi finder da, at ( ) T 1 π(ab)m ab 1, og at cos(b m+n πz m ) cos ( b m+n π α m + 1 b m ) cos(b n π(α m + 1)) ( ( 1) bn) α m +1 ( 1) α m, hvor vi atter har benyttet, at b > 1 er et ulige naturligt tal, og at α m Z. Desuden har vi (som tidligere) benyttet, at Vi opnår nu, at T 2 j Z : cos(jπ) n0 { 1, for j lige 1, for j ulige. a m+n ( 1)αm ( 1) αm cos(b n πx m+1 ) 1 x m+1 b m (ab) m ( 1) αm n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 x m+1.

15 Vi kan nu opnå følgende vurderinger: ( ) n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 x m cos(bn πx m+1 ) 1 x m ( 1 2 ) 2 3. Vi ser heraf, at ulighederne ( ) og ( ) sikrer os, at der findes et ϵ 2 [ 1, 1] og et η 2 > 1, således at f(z m ) f(x 0 ) ( 1) α m (ab) m η ( 2 2 z m x ϵ π ) 2. ab 1 Vi har antaget, at ab > 1+ 3 π π, hvilket er ensbetydende med, at < 2, 2 ab 1 3 og heraf fremgår der så, at de to differenskvotienter f(y m ) f(x 0 ) y m x 0 og f(z m) f(x 0 ) z m x 0 har forskellige fortegn. Desuden har vi, at (ab) m for m, og det er derfor klart, at Weierstraß funktion f ikke er differentiabel i punktet x 0 R. Da nu x 0 var vilkårligt valgt, er funktionen f ikke differentiabel i noget punkt på den reelle akse, og hermed har vi bevist påstanden. Q.E.D Historiske bemærkninger. Opdagelsen af, at der findes kontinuerte funktioner, som er defineret på hele den reelle akse, og som ikke er differentiable i noget punkt, blev selvfølgelig skelsættende for matematikkens udvikling i slutningen af det 19. århundrede, og Paul du Bois-Reymond mente, at denne opdagelse var så betydningsfuld og rummede så megen ny erkendelse, at den lå på grænsen for, hvad det menneskelige intellekt kunne præstere. Det skal bemærkes, at Karl Weierstraß ikke var den første matematiker, som erkendte eksistensen af kontinuerte funktioner, som ikke er differentiable i noget punkt. Allerede i 1830 havde den bøhmiske præst og matematiker Bernhard Bolzano ( ) angivet et eksempel på en sådan funktion, men resultatet blev ikke offentliggjort. Sådan forholdt det sig også, da den schweiziske matematiker Charles Cellérier ( ) i 1860 fandt et andet eksempel på en kontinuert, men intetsteds differentiabel funktion Cellériers funktion. Den funktion C : R R, som den schweiziske matematiker Charles Cellérie studerede i 1860, har forskriften x R : C(x) k1 1 a k sin(ak x),

16 hvor a > 1000 er et helt lige tal. Denne funktion minder således meget om Weierstraß funktion. Cellérier påviste, at funktionen C er kontinuert, men ikke differentiabel i noget punkt på den reelle akse, men først i et år efter hans død, blev man klar over, at han allerede 30 år tidligere havde indset eksistensen af en kontinuert, intetsteds differentiabel funktion. Denne opsigtsvækkende opdagelse fandtes i Cellèriers notater i det afsnit, som han meget betegnende havde kaldt Example de fonctions faisant exception aux règles usuelles. I 1861 opstillede den lovende tyske matematiker Bernhard Riemann ( ) en lignende interessant funktion, men resultatet blev ikke offentliggjort. Senere fandt Weierstraß (og alle andre matematikere) ud af, at Riemann virkelig havde fundet et eksempel på en kontinuert funktion, der havde overraskende egenskaber. Det var forøvrigt nogle af Riemanns tidligere studenter, der fortalte dette, men det har åbenbart været et resultat, som i lang tid ikke kom videre end til universitetet i Göttingen, og lad os lige se lidt på Riemans funktion Riemanns funktion. Den funktion R : R R, som Riemann studerede i 1861, har forskriften x R : R(x) k1 1 a k sin(k2 x), og det er klart, at denne funktion er kontinuert overalt på R. Vi ser også, at Riemanns funktion, ligesom Cellériers funktion, minder meget om den funktion, som Weierstraß undersøgte i Imidlertid har Riemanns funktion den lidt kedelige defekt, at den faktisk er differentiabel i punkterne hvor p, q Z. Man har således, at x (p,q) π 2p + 1 2q + 1, p, q Z : R (x (p,q) ) 1 2. Lad os herefter atter se på differentiabilitetsbegrebet. Vi begynder med at omtale, hvad vi skal forstå ved en epsilon-funktion.

17 Definition. En epsilon-funktion, ϵ ϵ(h), er en reel funktion, der er defineret på et åbent interval I ϵ, hvor 0 I ϵ, og som opfylder betingelsen ϵ(h) ϵ(0) 0 for h 0. Vi bemærker nu, jvf. overvejelserne da vi ovenfor viste, at en funktion f : I R, der er defineret på et åbent interval I, er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a), hvis og kun hvis funktionen ϵ ϵ(h), givet ved { f(a+h) f(a) ϵ(h) f (a), for h 0 h 0, for x 0, er en epsilon-funktion. Vi kan nu formulere dette resultat på følgende måde: Sætning. Funktionen f : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a), hvis og kun hvis der findes en epsilonfunktion ϵ ϵ(h), så f(h) f(a + h) f(a) f (a)h + ϵ(h)h. Denne karakterisering af begrebet differentiabilitet i et punkt blev indført af Weierstraß i Lidt løst sagt, kan man derfor sige, at funktionen f er differentiabel i punktet a I, hvis og kun hvis funktionstilvæksten f(h) f(a+h) f(a) tilnærmelsesvis er en lineær funktion af h. Funktionen h f (a)h er jo lineær, og leddet ϵ(h)h er forsvindende lille, når h er lille, Den afledede funktion. Lad os efter disse overvejelser betragte en funktion f : I R, hvor I R er et åbent interval. Hvis f er differentiabel i ethvert punkt a I med differentialkvotienten f (a) df (a), dx er der hermed defineret en funktion f : I R, som er givet ved x I : f (x) df dx (x). Funktionen f df kaldes den afledede funktion af f, eller, for at være mere dx præcis: Den afledede funktion af første orden af f. Vi ser, at d(x 2 ) dx d( x) 2x, dx 1 2 x, d( 1) x dx 1 d(sin x) og x2 dx cos x,

18 og disse funktioner er åbenbart de afledede funktioner af funktionerne x 2, x, 1 x og sin x. Vi vil nu se på nogle eksempler Eksempel. Det er vigtigt at huske på, at differentiabilitet er en lokal egenskab. Lad os fx betragte funktionen f : R R, som er defineret ved forskriften { x f(x) 2, for x Q x 2, for x R \ Q. Det er klart, at funktionen f er diskontinuert i ethvert punkt x 0, thi mængden Q er jo tæt i mængden R. Det er også klart, at f er kontinuert i x 0, thi lim f(x) 0 f(0). x 0 Endvidere har vi, at f(x) f(0) x 0 hvoraf det fremgår, at { x 2 x x2 x x, for x Q, x, for x R \ Q lim x 0 ( f(x) f(0) ) 0. x 0 Dette viser, at denne funktion er differentiabel i punktet x 0 med differentialkvotienten Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2, for x > 0 0, for x 0. Det er klart, at funktionen f er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten f (x) 2x, og at f er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten f (x) 0. Men hvad sker der i punktet a 0? For at besvare dette spørgsmål må vi se på funktionens differenskvotient ud fra punktet a 0. Vi får, at f(x) f(0) x 0 { x 2, for x > 0 { x x, for x > 0 0, for x < 0 0, for x < 0 0 for x 0,

19 så funktionen f er differentiabel i punktet 0 med differentialkvotienten f (0) 0, og vi har dermed vist, at 2x, for x > 0 f (x) 0, for x 0. 0, for x < 0 Lad os herefter se mere på den afledede funktion f : R R. Kan vi differentiere funktionen f? Hvis vi kan det, får vi den anden afledede, som betegnes med f eller med d2 f, idet vi jo har, at (f ) f, og at dx 2 d dx ( df dx ) d 2 f dx 2. For x > 0 ser vi, at f (x) 2, og for x < 0 er f (x) 0. Men hvad sker der i punktet a 0? Vi opstiller differenskvotienten for funktionen f ud fra punktet 0 og ser, at f (x) f (0) x 0 { 2x x 2, for x > 0 0, for x < 0, så denne differenskvotient har ingen grænseværdi for x gående mod 0, og derfor er den afledede funktion f ikke differentiabel i punktet a Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved f(x) x 3 for ethvert x R. Lad a R være et vilkårligt, men fast valgt punkt. Vi opstiller så differenskvotienten for f ud fra punktet a og får, at idet f(x) f(a) x3 a 3 x2 + ax + a 2 3a 2 for x a, x 3 a 3 (x 2 + ax + a 2 )(). Benyt polynomiers division! Vi ved jo på forhånd, at a er en rod i polynomiet x 3 a 3. Vi har hermed vist, at funktionen f er differentiabel overalt på mængden R, og at den afledede funktion er f (x) 3x Eksempel. Lad os betragte funktionen g : R R, som er givet ved forskriften { x g(x) 3, for x > 0 x 2, for x 0. Det er klart, at funktionen g er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten g (x) 3x 2, og at g er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten g (x) 2x.

20 Men hvad sker der i punktet a 0? Vi opstiller derfor differenskvotienten for g ud fra a 0 og finder så, at g(x) g(0) x 0 { x 3 x x2, for x > 0 x 2 x x, for x < 0 0 for x 0, så g er også differentiabel i 0 med differentialkvotienten g (0) 0. Den afledede funktion g : R R er derfor givet ved forskriften 3x 2, for x > 0 g (x) 0, for x 0. 2x, for x < 0 Det er klart, at g er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten g (x) 6x, og at g er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten g (x) 2. Desuden ser vi, at g (x) g (0) x 0 { 3x 2 x 2x x 3x, for x > 0, 2, for x < 0 og vi bemærker, at denne differenskvotient ikke har nogen grænseværdi for x gående mod 0, og derfor er g ikke differentiabel i punktet a Eksempel. Lad os se på endnu et instruktivt eksempel. Vi betragter f : R R, som er givet ved f(x) { x 2, for x < 1 x 2 + 4x 2, for x 1. Det er klart, at funktionen f er differentiabel i alle punkter x 1, og vi får, at { f 2x, for x < 1 (x) 2x + 4, for x > 1. Desuden finder vi, at f(x) f(1) x 2 1 x + 1, for x < 1 x 1 x 1 ( x 2 +4x 2) 1 x + 3, for x > 1 x 1 2 for x 1, thi ( x 2 + 4x 2) 1 x 2 + 4x 3 (x 1)( x + 3). Vi har hermed vist, at funktionen f er differentiabel i punktet x 1, og at f (1) 2. Vi fortsætter nu med at se på en øvelse.

21 Øvelse. Vis, at for vilkårlige tal x, a R gælder det, at x 4 a 4 (x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )(), og betragt dernæst funktionen f : R R, som er givet ved, at f(x) x 4. Vis, at funktionen f er differentiabel overalt på R, og at f (x) 4x 3. Betragt nu funktionen h : R R, som er givet ved forskriften at h(x) { x 4, for x > 0 x 3, for x 0. Vis, at funktionen h er differentiabel overalt på R, og at 4x 3, for x > 0 h (x) 0, for x 0 3x 2, for x < 0 Vis derpå, at den afledede funktion h er differentiabel overalt på R, og 12x 2, for x > 0 h (x) 0, for x 0 6x, for x < 0 Vis sluttelig, at den anden afledede h ikke er differentiabel i punktet a 0... OPGAVER TIL Differentier følgende funktioner: f 1 (x) 2x 2, f 2 (x) (5x) 3 + 2, f 3 (x) x 2 + 2x, f 4 (x) 3x 2 + 5x Differentier følgende funktioner: f 1 (x) x+ 1 x for x > 0, f 2(x) 5x for x > 0, f 3 (x) 2 sin(x)+3 cos(x) Differentier følgende funktioner: f 1 (x) x sin(x), f 2 (x) (x + 1) 2, f 3 (x) (x 2) 3, f 4 (x) cos(2x).

22 Lad tallet α > 0 være fast valgt. Differentier funktionerne f 1 (x) sin(αx) + x 2 og f 2 (x) αx for x > Betragt funktionen f(x) x 2, og bestem en ligning for tangenterne til grafen for f gennem punkterne ( a, f(a) ) og ( a, f( a) ), hvor a > 0. Bestem dernæst koordinatsættet for disse tangenters skæringspunkt Lad f være en funktion, som er defineret og differentiabel på et ikke-tomt, åbent interval I R. Antag, at f(x) 0 for ethvert x I. Vis, at funktionen g(x) 1 er differentiabel på intervallet I, og at f(x) g (x) f (x) ( f(x) ) Differentier funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2 + x, for x 0 sin(x), for x > 0. Undersøg, om f er differentiabel i x Differentier funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2, for x 0 cos(x), for x > 0. Undersøg, om f er differentiabel i x Lad I R være et ikke-tomt, åbent interval. Lad f : I R være en funktion, og lad a I være et givet punkt. Hvis f(x) f(a) {, for x a+, for x a, eller hvis { f(x) f(a), for x a+, for x a, er funktionen f ikke differentiabel i punktet x a, men vi siger, at linjen med ( ligningen ) x a er en lodret halvtangent til grafen for f gennem punktet a, f(a).

23 Vis, at funktionen f : R R, som givet ved forskriften { x, for x 0 f(x), x, for x < 0 har en lodret halvtangent i x Lad I R være et ikke-tomt, åbent interval. Lad f : I R være en funktion, og lad a I være et givet punkt. Hvis f(x) f(a) for x a, eller hvis f(x) f(a) for x a, er funktionen f ikke differentiabel i punktet x a, men vi siger, at linjen med ( ligningen ) x a er en lodrt tangent til grafen for f gennem punktet a, f(a). Vis, at funktionen f : R R, som givet ved forskriften f(x) 3 x, har en lodret tangent i x Regneregler for differentialkvotienter I dette afsnit skal vi vise nogle nyttige og vigtige regler for, hvordan man regner med differentialkvotienter. Disse regler formulerer vi i en række sætninger, der gælder for funktionerne f og g, som begge er defineret på et åbent interval I R. Endvidere antager vi, at funktionerne f og g er differentiable i et givet punkt a I med differentialkvotienterne henholdsvis f (a) og g (a). Vi har altså antaget, at f(x) f(a) lim x a f (a) og lim x a g(x) g(a) g (a) Sætning. Funktionen f + g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (f + g) (a) f (a) + g (a). BEVIS. Vi finder, at (f + g)(x) (f + g)(a) f(x) + g(x) (f(a) + g(a))

24 f(x) f(a) + g(x) g(a) hvoraf vi får, at lim x a lim x a f(x) f(a) + ( (f + g)(x) (f + g)(a) ) ( f(x) f(a) ) ( g(x) g(a) + lim x a Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. g(x) g(a), ) f (a) + g (a) Sætning. Funktionen f g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (f g) (a) f (a) g (a). BEVIS. Analogt til beviset for den foregående sætning. Q.E.D Sætning Funktionen f g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (fg) (a) f (a)g(a) + f(a)g (a). BEVIS. Vi ser, at (fg)(x) (fg)(a) f(x)g(x) f(a)g(a) f(x)g(x) f(a)g(x) + f(a)g(x) f(a)g(a) (f(x) f(a))g(x) + f(a)(g(x) g(a)) f(x) f(a) g(x) g(a) g(x) + f(a) f (a)g(a) + f(a)g (a) for x a, hvormed det ønskede er vist. Bemærk, at vi har benyttet, at funktionen g er kontinuert i punktet a, fordi g er differentiabel i a. Q.E.D Alternativ. I 1950 indførte den græsk-tyske matematiker Constantin Carathéodory ( ) en anden, men meget elegant definition af differentiabilitet i punktet a I. Ifølge denne definition er funktionen

25 f : I R differentiabel i a, dersom der findes en kontinuert funktion ϕ, som er defineret på et åbent interval, der indeholder a, så f(x) f(a) + ϕ(x)(). Differentialkvotienten f (a) er da defineret som funktionsværdien ϕ(a). Carathéodorys definition benyttes kun sjældent, men den er faktisk særdeles anvendelig. Lad os fx benytte den til at vise formlen for differentiation af et produkt af to differentiable funktioner f og g. Vi antager altså, at disse to funktioner er differentiable i punktet a, og der findes så kontinuerte funktioner ϕ og ψ, defineret på et åbent interval, som indeholder a, så ϕ(a) f (a), ψ(a) g (a) samt f(x) f(a) + ϕ(x)() og g(x) g(a) + ψ(x)(). Vi finder nu, at f(x)g(x) f(a)g(a) + f(a)ψ(x)() + g(a)ϕ(x)() + ϕ(x)ψ(x)() 2, så f(x)g(x) f(a)g(a) + ( f(a)ψ(x) + g(a)ϕ(x) + ϕ(x)ψ(x)() ) (). Udtrykket u(x) f(a)ψ(x) + g(a)ϕ(x) + ϕ(x)ψ(x)(), er en kontinuert funktion af x, og sætter vi x a, opnår vi, at (fg) (a) f(a)g (a) + g(a)f (a), hvilket netop var det ønskede resultat. Q.E.D. Vi antager nu, at funktionen g ikke antager værdien 0, i hvert fald ikke i punktet a og for x tæt på a. Der findes altså et δ > 0, så g(x) 0 for ethvert x ]a δ, a + δ[. Vi kan derpå vise følgende sætning, hvor vi i formuleringen af sætningen har antaget, at g(x) 0 for ethvert x I: Sætning. Funktionen f g a I med differentialkvotienten : I R er differentiabel i punktet ( f ) f (a)g(a) f(a)g (a) (a). g (g(a)) 2

26 Specielt gælder det, at funktionen 1 : I R er differentiabel i punktet a I g med differentialkvotienten ( 1 ) g (a) (a) g (g(a)). 2 BEVIS. Vi ser, at ( f g ) ( ) (x) f g (a) f(x) f(a) g(x) g(a) f(x)g(a) f(a)g(x) g(x)g(a) f(x)g(a) f(a)g(x) x a g(x)g(a) f(x)g(a) f(a)g(a)+f(a)g(a) f(a)g(x) x a g(x)g(a) (f(x) f(a)) g(a) f(a) (g(x) g(a)) x a x a g(x)g(a) (f(x) f(a))g(a) f(a)(g(x) g(a)) x a g(x)g(a) f (a)g(a) f(a)g (a) (g(a)) 2 for x a, idet vi erindrer, at funktionen g er kontinuert i a, eftersom g er differentiabel i a. Sætter vi specielt f(x) 1 for ethvert x I, ved vi, at f (x) 0, og heraf finder vi så, at ( 1 ) 0 g(a) 1 g (a) (a) g (g(a)) 2 Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. g (a) (g(a)) Leibniz notation. De ovenfor anførte regler for regning med differentialkvotienter får følgende udformning, hvis vi benytter Leibniz notation: d(f + g) df dx dx + dg dx, d(f g) df dx dx dg dx, d(fg) dx df dx g + f dg dx, og d ( f g dx ) d ( ) 1 g dx df dx g f dg dx g 2 dg dx g 2.

27 Lad os herefter se på nogle nyttige eksempler: Eksempel. Lad λ R være en konstant, og betragt en funktion f, som er differentiabel i et punkt a med differentialkvotienten f (a). Da er funktionen λf differentiabel i a med differentialkvotienten (λf) (a) λf (a). Dette følger af sætningen om differentiation af et produkt. Idet vi erindrer, at en konstant funktion, her λ, har den afledede lig med 0, får vi nemlig, at (λf) (a) (λ) f(a) + λf (a) λf (a). Benytter vi Leibniz notation, får vi, at d(λf) dx λ df dx Eksempel. Vi betragter funktionen F : R R, som er givet ved x R : F (x) 3x 2 7x + 15x sin(x) sin(x). Denne funktion er udelukkende opbygget af differentiable funktioner, og ved at benytte ovenstående regneregler ser vi, at funktionen er differentiabel overalt på den reelle akse med den afledede F (x) 6x + 15 cos(x) + 6x + 15 cos(x) + 7(2 + sin(x)) 7x cos(x) (2 + sin(x)) 2 7 7x cos(x) 2 + sin(x) (2 + sin(x)) Eksempel. Lad os betragte funktionerne f 1 (x) x og f 2 (x) x 2. Vi har set, at disse to funktioner er differentiable, og vi har, at (f 1 ) (x) dx dx 1 og (f 2) (x) d(x2 ) dx 2x. Vi betragter dernæst funktionen f 3 (x) x 3 x x 2, og vi ser, at f 3 er differentiabel med den afledede (f 3 ) (x) d(x3 ) dx 1 x2 + x 2x 3x 2. Lad os nu, for et vilkårligt n N, antage, at funktionen f n (x) x n er differentiabel med den afledede (f n ) (x) d(xn ) dx nxn 1,

28 og lad os så betragte funktionen f n+1 (x) x n+1 x x n. Det er klart, at funktionen f n+1 er differentiabel, og vi finder, at (f n+1 ) (x) d(xn+1 ) dx Vi har hermed, ved induktion, bevist, at 1 x n + x nx n 1 (n + 1)x n. n N : (f n ) (x) d(xn ) dx nxn Eksempel. For ethvert n N betragter vi nu funktionen f n : R + R, som er givet ved x R + : f n (x) 1 x n x n. Vi ser, at funktionen f n er differentiabel overalt på mængden R + med den afledede får vi, at (f n ) (x) d( 1 x n ) dx nxn 1 (x n ) 2 ( n)x n 1 ( n)x ( n) 1. Betragter vi dernæst funktionen g n : R R, som er givet ved (g n ) (x) d( 1 x n ) x R : g(x) 1 x n x n, dx Vi har hermed vist, at nxn 1 (x n ) 2 ( n)x n 1 ( n)x ( n) 1. p Z x 0 : d(xp ) dx p xp Eksempel. Lad os betragte polynomiet P : R R, som er givet ved n x R : P (x) a k x k k0

29 hvor a n 0. Polynomiet P har altså graden n, og det er klart, at dette polynomium er differentiabelt i alle punkter x R med den afledede n P (x) ka k x k 1, k1 hvilket viser, at P er et polynomium med graden n 1, hvor n 1 N 0. Da enhver konstant funktion er differentiabel overalt på den reelle akse med den afledede 0, ser vi, at ethvert polynomium P 0 af 0 te grad, hvor P 0 (x) a 0, og a 0 0, også er en differentiabel funktion med nulpolynomiet N(x) 0 som afledet Eksempel. Lad P og Q være to polynomier, hvor hverken P eller Q er nulpolynomiet og lad M Q {x R Q(x) 0}, som altså er mængden af nulpunkter (rødder) for Q. Vi bemærker, at mængden M Q kan være tom. Fx gælder det, at polynomiet Q(x) x ikke har nogen nulpunkter (rødder). Da M Q er en endelig mængde, er mængden D R \ M Q åben og foreningsmængde af endelig mange åbne intervaller. Funktionen f : D R, som er givet ved forskriften x D : f(x) P (x) Q(x), er en rational funktion, dvs. en kvotient mellem to polynomier, og vi ser, at f er differentiabel overalt på mængden D med den afledede f : D R givet ved x D : f (x) P (x)q(x) P (x)q (x). (Q(x)) 2 Vi noterer, at den afledede funktion f også er en rational funktion. Lad os nu fx betragte den rationale funktion f : R R, som har forskriften f(x) x3 + x + 1. x Her er nævnerpolynomiet Q(x) x 2 +2 et andengradspolynomium, som ikke har nogen reelle rødder, så M Q Ø. Vi ser nu, at f (x) (3x2 + 1)(x 2 + 2) (x 3 + x + 1) 2x (x 2 + 2) 2 x4 + 5x 2 2x + 2 (x 2 + 2) 2.

30 Lad os nu betragte to funktioner f : I R og g : J R, hvor I og J er åbne intervaller. Vi antager, at værdimængden R(f) for funktionen f er en delmængde af intervallet J, altså R(f) J. Den sammensatte funktion c : I R er givet ved x I : c(x) (g f)(x) g(f(x)). Lad os endvidere antage, at funktionen f er differentiabel i punktet a I, og at funktionen g er differentiabel i punktet b f(a) J. Der gælder da følgende resultat: Sætning. Den sammensatte funktion c g f : I R er differentiabel i punktet a I og c (a) (g f) (a) g ( f(a) ) f (a). BEVIS: Vi sætter x a + h og y b + k. Vi ved desuden, at der findes epsilonfunktioner ϵ f og ϵ g, så og f(h) f(a + h) f(a) f (a)h + ϵ f (h)h g(k) g(b + k) g(b) g (b)k + ϵ g (k)k, hvor vi specielt har, at k f(h). Vi ser nu, at c(h) c(a + h) c(a) g(f(a + h)) g(f(a)) g(f(a) + k) g(f(a)) g (f(a))k + ϵ g (k)k g (f(a)) ( f (a)h + ϵ f (h)h ) + ϵ g (k)k g (f(a))f (a)h + g (f(a))ϵ f (h)h + ϵ g ( f (a)h + ϵ f (h)h )( f (a)h + ϵ f (h)h ) h. Idet vi sætter ϵ(h) g (f(a))ϵ f (h) + ϵ g ( f (a)h + ϵ f (h)h )( f (a)h + ϵ f (h)h ), ser vi straks, at ϵ ϵ(h) er en epsilon-funktion, og derved får vi, at c(h) g ( f(a) ) f (a)h + ϵ(h)h. Heraf ser vi, at den sammensatte funktion c g f er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten c (a) (g f) (a) g ( f(a) ) f (a).

31 Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. Udsagnet i sætning kaldes kædereglen. På engelsk: The Chain Rule. Funktionen f kaldes ofte den indre funktion, og funktionen g kaldes den ydre funktion. Vi vil nu se på nogle eksempler Eksempel. Funktionen F (x) (3x 2 + 7x + 1) 3 består af den indre funktion f(x) 3x 2 + 7x + 1 og den ydre funktion g(y) y 3. Benytter vi kædereglen, får vi, at F (x) 3(3x 2 + 7x + 1) 2 (6x + 7) Eksempel. Funktionen F : R + R, som er givet ved udtrykket x > 0 : F (x) 1 2x 3 er sammensat af den indre funktion f(x) 2x 3, som selv er en sammensat funktion, og af den ydre funktion g(y) 1. Vi finder nu, at y g (y) 1, og y 2 at f (x) 1 2 2x 3 6x2, så idet y 2x 3. F (x) 1 2x x 3 3 6x2 2 2 x x x 2 x, Eksempel. Vi har, at cos x sin ( π 2 x), og at sin x cos ( π 2 x ). Dette er to af de såkaldte overgangsformler. Vi ser nu, at funktionen cos er differentiabel med den afledede d dx cos x d dx sin( π 2 x) (x) cos ( π 2 x) ( 1) sin x. Bemærk, at vi har benyttet kædereglen. og at Eksempel. Ved hjælp af kædereglen finder vi, at d dx sin2 x 2sin x cos x, d dx cos2 x 2cos x sin x.

32 Desuden finder vi, at d dx tan x d ( sin x ) cos x cos x + sin x sin x dx cos x cos 2 x 1 cos 2 x 1 + tan2 x, hvor vi har benyttet, at cos 2 x + sin 2 x 1. (Grundrelationen for sin og cos). Idet funktionen cotangens, skrives cot, er defineret ved cot x cos x, ser sin x vi, at også denne funktion er differentiabel med den afledede d dx cot x d ( cos x) sin x sin x cos x cos x dx sin x sin 2 x og her har vi atter benyttet, at cos 2 x + sin 2 x 1. 1 sin 2 x 1 cot2 x, Eksempel. Vi betragter funktionen F (x) tan( x), hvor x ]0, π[, og ved hjælp af kædereglen finder vi, at df dx (x) (1 + tan2 ( x) ( 1 2 ) 1 + tan 2 ( x) x 2. x Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { f(x) x 2 sin ( ) 1 x, for x 0 0, for x 0. Da funktionen sin er begrænset ( 1 sin x 1, for ethvert x R), har vi, at 0 f(x) x 2 0 for x 0, så funktionen f er åbenbart kontinuert overalt på den reelle akse. Desuden finder vi, at d dx ( x 2 sin ( 1 x )) 2x sin ( 1 x ) + x 2 cos ( 1 )( 1 ) ( 1 2x sin x x 2 x ) ( 1 ) cos, x så i ethvert punkt x 0 er funktionen f differentiabel med differentialkvotienten f (x) 2x sin ( 1 ) ( 1 ) cos. x x Vi ser tillige, at f(x) f(0) x 0 x sin ( 1 ) 0 for x 0. x Dette viser, at funktionen f også er differentiabel i punktet x 0 med differentialkvotienten f (0) 0.

33 Den afledede funktion f : R R, som er givet ved { f (x) 2x sin ( ( ) 1 x) cos 1 x, for x 0 0, for x 0, er imidlertid ikke kontinuert i x 0, thi leddet cos ( ) 1 x har ikke nogen grænseværdi for x 0. Vi har hermed vist, at den afledede funktion f af en differentialbel funktion f sagtens kan være diskontinuert Eksempel. Lad os dernæst se på funktionen g : R R, som er givet ved { g(x) x 2 sin ( ) 1 x, for x 0 2 0, for x 0. Denne funktion minder meget om funktionen f i ovenstående eksempel. Ligesom f er funktionen g kontinuert overalt på den reelle akse, thi Desuden finder vi, at g(x) x 2 sin ( 1 x 2 ) 0 g(0) for x 0. d ( x 2 sin ( 1 )) ( 1 ) ( 2x sin +x 2 cos ( 1 ))( 2 ) ( 1 ) 2 1 ) 2x sin + dx x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x cos(, x 2 så i ethvert punkt x 0 er funktionen g differentiabel med differentialkvotienten g (x) 2x sin ( 1 ) 2 1 ) + x 2 x cos(. x 2 Vi finder også, at g(x) g(0) x 0 x sin ( 1 x 2 ) 0 for x 0. Dette viser, at funktionen g også er differentiabel i punktet x 0, og at g (0) 0. Den afledede funktion g : R R, som er givet ved { g (x) 2x sin ( ) ) 1 x x cos( 1 x, for x 0 2 0, for x 0, har den interessante egenskab, at den er ubegrænset i ethvert nok så lille interval I δ [ δ, δ], hvor δ > 0. Hvis vi nemlig sætter x 1 nπ, er 1 x 2 nπ, hvor n N. Dermed har vi, at 2 1 ) x cos( 2 x 2 1 cos ( nπ ) 1 2 nπ for x 0, nπ nπ

34 hvilket svarer til, at n, mens 2x sin ( 1 x 2 ) 0 for x 0. Desuden er den afledede funktion g åbenbart diskontinuert i punktet x 0. Vi har derfor med dette eksempel vist, at den afledede af en differentiabel funktion både kan være diskontinuert i et punkt og ubegrænset i ethvert lille interval omkring dette diskontinuitetspunkt Eksempel. Når man skal finde differentialkvotienten df ( 2) dx for funktionen f(x) x 3 + 7, er det absolut påkrævet først at bestemme df dx 3x2, og derefter kan man så indsætte 2 på x s plads, med mindre man benytter selve definitionen på differentiabilitet for f i punktet x 2. Sådan kan man jo i princippet altid gøre. Vi får derfor, at df dx ( 2) 3 ( 2)2 12. Det er altså helt forkert, som nogle desværre gør, først at udregne funktionsværdien f( 2) ( 2) og derpå differentiere konstanten 1, så man får 0. Lad os i tilknytning til disse bemærkninger se på endnu et eksempel Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften (x 1) 5 + x 2, for x < 1 f(x) 1, for x 1. (x 1) 4 + x 2, for x > 1 Vi ser straks, at df dx 5(x 1)4 + 2x, for x < 1 og men det er ikke rigtigt, at df (1) 0. dx df dx 4(x 1)3 + 2x for, x > 1, Det rette svar findes således: f(x) f(1) ((x 1) 5 +x 2 ) 1 (x 1) 4 + (x + 1), for x < 1 x 1 x 1 ((x 1) 4 +x 2 ) 1 (x 1) 3 + (x + 1), for x > 1 2 x 1 for x 1, så df (1) 2. dx Bijektive funktioner. Lad f : I R være en differentiabel monoton funktion på det åbne interval I. Funktionen er derfor enten voksende eller aftagende på hele intervallet I. Vi ved da, at funktionen f har

35 en omvendt (eller invers) funktion f 1 : J R, hvor J, som er et interval, er værdimængden for den givne funktion f, og I er værdimængden for den inverse funktion f 1. Desuden har man, at den inverse funktion også er enten monotont voksende eller aftagende, og vi antager, at f 1 også er kontinuert. Lad a, x J. Vi ser nu, at Der findes derfor punkter y, b I, så x f f 1 (x) og a f f 1 (a). y f 1 (x) x f(y) og b f 1 (a) a f(b). Hvis x a, ser vi, at y b. Heraf finder vi så, at f 1 (x) f 1 (a) y b 1 x a y b 1 f(y) f(b) y b. Da vi har antaget, at den inverse funktion f 1 er kontinuert på hele det åbne interval J, har vi altså, at y f 1 (x) b f 1 (a) for x a. Vi er nu i stand til at vise følgende resultat: Sætning. Hvis f (b) f (f 1 (a)) 0, gælder det, at den inverse funktion f 1 er differentiabel i punktet a J med differentialkvotienten (f 1 1 ) (a) f (f 1 (a)). BEVIS. Vi ser, at lim x a ( f 1 (x) f 1 (a) Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. ) ( 1 ) 1 lim y b f(y) f(b) f (b) 1 f (f 1 (a)). y b Leibniz notation. Lad os nu formulere kædereglen og den netop viste regel om differentiation af omvendt funktion ved hjælp af Leibniz notation. Hvis vi sætter z g f(x) og y f(x), ser vi, at dz dx dz dy dy dx,

36 og denne regel, som altså er kædereglen, kan naturligvis generaliseres til dz dx dz dy 1 dy 2 dy 3 dy p dy p+1... dy 1 dy 2 dy 3 dy 4 dy p+1 dx, hvor p N. Desuden ser vi, at hvis funktionen f er bijektiv, og hvis y f 1 (x), da er x f(y) og dy dx 1 dx, dy idet vi har antaget, at dx dy 0. De her anførte regler viser, at man i princippet kan regne med differentialkvotienter, som om de var brøker. Lad os se på nogle flere eksempler Eksempel. På intervallet I ]0, [ er funktionen x f(y) y 2 bijektiv og monotont voksende. Den omvendte funktion y f 1 (x) x er også defineret på intervallet I ]0, [ og er monotont voksende. Idet vi ved, at dx dy 2y, får vi, at dy dx 1 dx dy 1 2y 1 2 x. Dette resultat kendte vi jo i forvejen, men det er altid godt at kunne vise et resultat på flere måder. Lad os gå lidt videre og generalisere det ovenstående resultat Eksempel. For ethvert n N betragter vi funktionen x f n (y) y n, hvor y I ]0, [. Vi har da, at funktionen f n er monoton og bijektiv, og den inverse funktion er y fn 1 (x) n x, hvor x I ]0, [. Vi har dermed, at x y n y n x. Vi ved, at dx dy nyn 1,

37 så dy dx 1 dx dy 1 ny n 1 1 n( n x) n 1 1 n ( n x) 1 n. Vi vil nu fortsætte med at benytte resultatet om differentiation af omvendt funktion i nogle eksempler, der involverer sin, cos, tan og cot Eksempel. Funktionen sin: R R er ikke bijektiv. Den er jo periodisk med perioden 2π, men ser vi på restriktionen af sin til intervallet ] π, π[, så gælder det, at funktionen sin:] π, π [ ] 1, 1[ er bijektiv. (Denne funktion kaldes hovedværdien af sin, og nogle skriver så Sin i stedet for sin.) Den omvendte funktion kaldes arcussinus, skrives Arcsin, og vi finder, at Arcsin: ] 1, 1[ ] π, π [. Vi tillader os nu at skrive: 2 2 Idet får vi, at x sin y y Arcsin x. dx dy cos y 1 sin 2 y 1 x 2, dy dx 1 dx dy 1 1 x 2, så funktionen Arcsin er åbenbart differentiabel med den afledede d dx Arcsin x 1. 1 x Eksempel. Funktionen cos: R R er ikke bijektiv. Den er jo også periodisk med perioden 2π ligesom sin, men ser vi på restriktionen af cos til intervallet ]0, π[, så gælder det, at funktionen cos:]0, π[ ] 1, 1[ er bijektiv. (Denne funktion kaldes hovedværdien af cos, og nogle skriver så Cos i stedet for cos.) Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus, skrives Arccos, og vi finder, at Arccos: ] 1, 1[ ]0, π[. Vi tillader derfor at skrive: x cos y y Arccos x. Idet dx dy sin y 1 cos 2 y 1 x 2,

38 får vi, at dy dx 1 dx dy 1, 1 x 2 så funktionen Arccos er (ligesom Arcsin) åbenbart differentiabel. Vi ser, at den afledede funktion af Arccos er d dx Arccos x 1. 1 x Eksempel. Lad os nu betragte tangensfunktionens restriktion til det åbne interval ] π, π[. Vi ser, at tan: ] π, π [ R er bijektiv. (Denne restriktion af tan kaldes dens hovedværdi, og nogle skriver Tan i stedet for tan.) Den omvendte funktion kaldes arcustangens, og vi skriver Arctan. Vi har således, at x tan y y Arctan x Idet får vi, at dx dy 1 + tan2 y 1 + x 2, dy dx 1 dx dy x 2. Dette viser, at funktionen Arctan er differentiabel, og at den afledede funktion er d dx Arctan x x Eksempel. Lad os betragte cotangensfunktionens restriktion til det åbne interval ]0, π[. Vi ser, at cot: ]0, π[ R er bijektiv. (Denne restriktion af cot kaldes dens hovedværdi, og nogle skriver Cot i stedet for cot.) Den omvendte funktion kaldes arcuscotangens, og vi skriver Arccot. Vi har således, at x cot y y Arccot x Idet får vi, at dx dy (1 + cot2 y) (1 + x 2 ), dy dx 1 dx dy x 2.

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Preben Alsholm. 13. marts 2008

Preben Alsholm. 13. marts 2008 Arcus, I 13. marts 2008 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus,

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere