Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning"

Transkript

1 Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden?

2 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner Tretrinsraketten Grænseværdi og kontinuitet 5.5 Differentiabilitet Regneregler - en oversigt Beviser for regnereglerne Differentiation af log, ep & pot Newton, Leibniz og fysik Stamfunktioner Approimation Newton-Rapsons iterationsmetode Et urtigt bevis for toppunktsformlen Opgaver 60 Facitliste 65 Kapiteloversigt 68

3 5. Differentialregning Differentialregning andler i første omgang om at finde tangenter til vilkårlige kurver. Vi kender i øjeblikket kun en kurve, for vilken vi kan finde tangenter, nemlig cirklen, så lad os et øjeblik se, vordan cirkeltangenter opfører sig: C P Vi ar en cirkel med centrum C, og kigger på tangenten til cirklen gennem punktet P, som naturligvis ligger på cirkelperiferien. Denne tangent opfylder tre egenskaber: Tangenten er ortogonal med liniestykket PC, som er radius i cirklen. Tangenten skærer kun cirklen i ét punkt. 3 Forstørrer man cirklen og tangenten uendeligt meget op, så er cirklen og tangenten sammenfaldende. Egenskab 3 kræver vist en nærmere forklaring: Hvis man kigger på Jordkloden fra meget lang afstand, f.eks. fra et rumskib, så er Jordkloden elt klart en kugle. Kigger man ud fra et øjt sted - Aalborgtårnet eller Himmelbjerget - så ser Jorden umiddelbart flad ud; men man kan dog ane, ved at kigge ud imod orisonten, at Jorden faktisk krummer en smule. Står man midt på Nytorv, så ser Jorden ganske flad ud. Og er man en myre, så vil den vanvittige idé, at Jorden er rund, aldrig falde en ind. Kort sagt - Jorden er nok en kugle, men set på meget små afstande er den en plan. En matematiker ville sige, at Jorden globalt er en kugle, men lokalt en plan. Tilsvarende er en cirkel globalt set cirkelformet, men lokalt set en ret linie. Forstørrer vi cirklen op omkring punktet P, så vil cirklen nemlig ligne en ret linie. Denne rette linie er faktisk tangenten.

4 Lad os nu betragte en anden velkendt kurve, nemlig parablen med ligningen y. Vi vil gerne finde en tangent til parablen i punktet ( ;. Vi kan ikke bruge egenskab til at finde tangenten - parablen ar verken et centrum eller en radius. Egenskab virker eller ikke - på tegningen nedenunder skærer både den skrå linie (med ligningen y og den lodrette linie (med ligningen parablen i netop et punkt. Hvilken skal vi så vælge som tangenten? Men egenskab 3 er god at bruge! Forstørrer man nemlig parablen, så ser man, at omkring punktet ( ; er parablen lokalt en ret linie, som er sammenfaldende med den skrå linie med ligningen y. Og det er denne linie, vi vil betragte som tangenten til parablen i punktet ( ;. Helt generelt betragter vi grafen for en funktion f, dvs. vi betragter kurven med ligningen y f (. Hvad ar vi egentligt brug for at vide for at kunne beskrive tangenten til kurven i punktet ( f ( 0, 0? Ligningen for en linie er jo generelt givet ved y y0 + a( 0 vor a er liniens ældningskoefficient, og ( 0, y0 er et punkt, som linien går igennem. Men vi ved jo, at tangenten går gennem punktet ( 0, f ( 0, så det er kun ældningskoefficienten a, vi ikke kender. Nu vil tangentældningen a jo afænge af, vor på grafen vi befinder os, så denne tangentældning betegner vi med f ( 0 (læses: f mærke af nul. Vi indikerer således, at tangentældningen afænger af -koordinaten til tangentens røringspunkt ( 0, f ( 0. Altså 3

5 Definition (FS Hældningskoefficienten af tangenten til grafen for funktionen f ( i røringspunktet ( 0, f ( 0 betegnes med f ( 0. Denne nye funktion f ( betegnes som den differentierede funktion til f (, eller som differentialkvotienten til f (, eller som den afledede funktion. Vi ar faktisk også næsten bevist følgende sætning: Sætning (FS Tangenten til grafen for funktionen f ( i røringspunktet ( 0, f ( 0 ar ligningen y f ( + f ( ( Bevis: I den generelle ligning for en linie med ældningskoefficienten a gennem punktet ( 0, y0 : y y0 + a( 0 erstatter man a med f ( 0 og y 0 med f ( 0. Det eneste problem er blot at kunne beregne differentialkvotienten til en given funktion. Det er dette, resten af dette æfte andler om! Lad os varme op med en opgave: 4

6 Opgave. a Tegn på millimeter-papir en graf over funktionen f (. -værdierne skal gå fra 3 til 3. b Tegn efter bedste skøn tangenterne i punkterne på grafen med - koordinaterne 3,,, 0,,, 3. c Find ældningskoefficienterne til de 7 tangenter, og udfyld følgende skema: f ( 0 f ( 0 d Man skulle nu gerne opdage, at tangentældningerne (den nederste række ar en sammenæng med -værdierne (øverste række. Hvilken sammenæng? Vi skulle gerne i den foregående øvelse ave opdaget, at vis f (, så er f (. En lidt simplere måde at skrive dette på er følgende ( Opgave. Lav tilsvarende undersøgelser for funktionerne: f ( 3, 0,, 0,, f ( + 4, 0 4, 3, 0,, 4, 5 3 f ( e, 0,, 0,, 4 f ( 0, 0,, 0, 5 f ( ln, 0 5, 4, 3,,,, 3, 4, 5 6 f ( log, 0 5, 4, 3,,,, 3, 4, 5 7 f ( +, 0 0,,, 3, 4. I opgave. skete der et par sjove ting: I punkt opdagede man, at funktionen f ( + 4 ar en lodret tangent i punktet ( 4; 0. Idet en lodret linie ingen ældningskoefficient ar, kan man ikke differentiere + 4 i punktet med -koordinaten 4. 5

7 I punkt 7 opdagede man, at grafen for funktionen f ( + knækker i punktet ( ;. Uanset vor meget man forstørrer grafen, vil der er altid være et knæk, og det er umuligt at definere en tangent. Igen er det altså umuligt at differentiere funktionen er. Differentialregning kan anvendes til temmeligt mange ting. Bl.a. kan man ved jælp af differentialregning se, vornår en funktion er voksende eller aftagende (funktionens monotoniforold, og man kan let finde de steder, vor funktionen er størst eller mindst. Vi giver et eksempel: Eksempel Betragt funktionen f, vis graf er vist nedenunder: Vi er interesserede i at udfylde følgende skema - ikke med tal, for dem kan vi ikke aflæse på grafen, men med fortegn: f ( f ( Umiddelbart kan vi se, at f ( 3 < 0, idet punktet på grafen med - koordinaten 3 ligger under -aksen, og at f ( 0 og f ( > 0. På denne måde kan den første række i skemaet let udfyldes. f ( 3 > 0, fordi en tangent til grafen med røringspunktet (-3,f(-3 vil være opadrettet - grafen er jo voksende ér. 6

8 f ( 3 0, fordi tangenten er er vandret. Vi bemærker, at vi i punktet ( 3; f ( 3 ar et lokalt minimum for funktionen f - omkring 3 er alle funktionsværdierne større end f ( 3. Opgave.3 Udfyld resten af skemaet ovenfor. Opgave.4 Betragt grafen for funktionen g nedenfor: Der er markeret 5 punkter: a, b, c 0, d og e. Udfyld skemaet nedenunder med de korrekte fortegn: a b c d e g( g ( 7

9 Opgave.5 Nedenfor er angivet fortegnene for ( og ( for udvalgte - værdier. Skitsér et muligt forløb for grafen for : 0 ( ( Opgave.6 Man kan bevise, at vis f ( så er f ( ( må naturligvis ikke være 0. Find ligningerne for tangenterne til grafen for f med røringspunkterne a (, f ( b ( 9, 3 c ( 4, f ( 4 d ( 5, f ( 5 Opgave.7 Betragt funktionen g givet ved g( 3 og g ( 3. a Bestem ligningerne for de to tangenter til grafen for g, og som ar røringspunkterne (, g ( og (, g (. b Bestem et gradtal for vinklen mellem disse to tangenter. c Bestem røringspunktet for den vandrette tangent til grafen for g. 8

10 5. Funktioner Enver videnskab ar et eller flere begreber, som er altafgørende indenfor denne videnskab. F.eks. er det vigtigste begreb indenfor fysikken energi, og i kemi snakker man ikke om andet end atomer og kemiske bindinger. Den moderne biologi bygger på genetikken. Det allervigtigste begreb indenfor matematikken er funktionen Så vad er en funktion? Den naive måde at betragte en funktion på er at sige, at en funktion er en maskine: Man propper et tal (eller noget andet ind i funktionen, som så tænker lidt og spytter et tal ud. F.eks. vil funktionen spytte tallet 3 ud, når tallet 9 puttes ind. En mere præcis definition er Definition 3 En funktion er et udtryk af formen f : A B: a f ( vor A er en mængde, som kaldes definitionsmængden, Dm(f, B er en mængde, som kaldes sekundærmængden, Sm(f, a f ( kaldes forskriften. Udtrykket f ( skal være defineret for alle elementer A, og funktionsværdien f ( skal altid være element i sekundærmængden B. Actung: Sekundærmængden er ikke det samme som funktionens værdimængde! (Hvad værdimængden er, får vi først svar på i et senere æfte 9

11 Eksempel Her er nogle funktioner, som alle er forskellige (vorfor? f : a R R: f R [0; [ : : a f : a 3 [0; [ [0; [ : f 4 [0; [ R: : a Nedenstående er ikke funktioner (vorfor? g : R R: a g:]0; [ [,]: a Normalt er man lidt sløset med at angive definitions- og sekundærmængden for en funktion - man bruger nedenstående regel: Med mindre andet er angivet, så er funktionens definitionsmængde og sekundærmængde den størst mulige. I praksis lader man Dm(f være alle de -værdier, vori funktionen kan defineres, og man lader Sm(f være mængden af alle de reelle tal, R. Forskriften for en funktion kan være mange ting - et regneudtryk, et tabelopslag osv.; men det vigtigste er, at forskriften kun givet ét output for et givet input. En istorie En dag var Mette og Micael enne i Møllekøbing Super-Dupér for at købe mælk. Mette gik først ind og købte en liter letmælk. "Det bliver 4,5", sagde kassedamen. Så gik Micael ind og købte en liter letmælk. "Det bliver,75", sagde kassedamen. Det blev Micael sur over, og an spurgte: "Hvorfor det?". "Jo", svarede kassedamen, "er i Møllekøbing Super-Dupér er prisen ikke en funktion af varen". Havde kassedamen ret? Har man nogle funktioner, så kan man konstruere nye funktioner ud fra disse. 0

12 Definition 4 Lad f : A R og g : B R være funktioner. Sumfunktionen defineres da som f + g: A B R : a f ( + g( Forskriften for f + g er altså bare summen af forskrifterne for f og g, mens definitionsmængden for f + g er fællesmængden mellem definitionsmængderne for f og g. Det er nødvendigt at tage denne fællesmængde, fordi kun indenfor denne er man sikker på, at begge addenderne er definerede. Eksempel Betragt funktionerne f : R R: a g: [0; [ R: a : R R \{0}: a Sumfunktionerne er f + g: [0, [ R : a + f + : R \{0} R: a + g + : ]0, [ R : a + Man kan naturligvis også trække funktioner fra inanden, gange to funktioner eller endda dividere to funktioner. Dog skal man passe på, når man dividerer to funktioner - nævneren må ikke være 0!

13 Definition 5 Lad f : A R, g : B R og : C R \{0} være funktioner. Da defineres f g: A B R : a f ( g( og f g: A B R : a f ( g( og f : A C R: a f ( g( Bemærk, at man undgår, at funktionen kan antage værdien 0 ved at udelade 0'et fra sekundærmængden for. Hvis man alligevel vil dividere med en funktion, som kan antage værdien 0, så må man udelukke nulpunkterne fra definitionsmængden. Endelig kan man sammensætte funktioner: Betragt to funktioner f : A B og g : B C. Lidt naivt kan man opfatte f som en maskine, der tager et element fra mængden A og laver det om til et element i B, og g som en maskine, der laver et element i B om til et element i C. f g A B C Nu kunne man jo få den vanvittige idé at lave en ny funktion, som skal gøre følgende: Et element A laves om af funktionen f til et element f ( B. Men elementer i B er guf for g, og derfor kan g æde f ( og derefter opgylpe elementet g( f ( C. Men dette er jo forskriften for en funktion, som går fra A til C:

14 f g Denne funktion betegnes g of A B C g o f - og dette udtales 'g bolle f'. Definition 6 Lad f : A B og g : B C være to funktioner, således at Sm( f Dm( g. Den sammensatte funktion g o f defineres da ved g o f : A C: a g( f (. Funktionen f betegnes som den indre funktion, og g kaldes den ydre funktion. Bemærk den lidt underlige konvention, at den indre funktion står til øjre. (Strengt taget er det ikke nødvendigt, at Sm( f Dm( g, for at man kan definere g o f. Det er nok, vis Sm( f Dm( g Eksempel Betragt funktionerne f : R R: a og g: R R: a + Vi kan er danne ele to sammensatte funktioner: g o f : R R: a + og f o g: R R: a ( + Som det ses, er der stor forskel på de to funktioner. Det er altså ikke ligegyldigt, vilken rækkefølge, vi sammensætter funktioner i. Vi kan faktisk danne nogle flere sammensatte funktioner: f o f : R R: a ( 4 3

15 4 : : g g a o R R og endnu mere perverst: 0 : : + g g g g g g g g g g a o o o o o o o o o R R

16 Opgave. Hvilke af nedenstående er funktioner? f : R R: a g: R [ 0; ]: a : [ 0;] R: a i: R [ 0; [ : a j: R 0; : a [ [ 3 + Opgave. Find definitions- og sekundærmængderne for nedenstående funktionsforskrifter: f : a + g: a : a + j: a i: a Opgave.3 Givet nedenstående funktioner: f : 0; R: a log g: R R: a + ] [ : R: a e R i: [ 4; [ R : a 4 Opskriv forskrifterne med definitions- og sekundærmængde for de sammensatte funktioner g o f, o f, f o, g oi og g o f oi o. Kan f o g defineres? Opskriv i så fald forskriften. 5

17 5.3 Tretrinsraketten Tretrinsraketten er et middel til at beregne, dvs. finde et generelt udtryk for differentialkvotienten for en given funktion. Beregningen foregår i tre trin, eraf navnet. For at forstå, vad tretrinsraketten egentligt er, skal vi se på tangenter og sekanter: Ovenfor er vist grafen for funktionen f ( og to linier - tangenten t til grafen med røringspunktet ( 0, f ( 0, og sekanten, som er linien s gennem de to punkter ( 0, f ( 0 og ( 0 +, f ( 0 + på grafen. Tallet er er et lille tal - positivt eller negativt - som ligger tæt på 0. Bemærk, at ikke må være 0, da i så fald de to punkter, som bestemmer sekanten er sammenfaldende, og denne derfor er udefineret. Ideen er nu, at sekanten næsten er en tangent, og at jo nærmere er på 0, jo mere er sekanten faktisk en tangent. Vi kan derfor beregne sekantældningerne og undersøge, vorledes de opfører sig, når nærmer sig 0. Med lidt eld finder vi måske tangentældningen. Lad os som et eksempel undersøge funktionen f (. Vi ved fra foregående kapitel, at differentialkvotienten gerne skulle være f (. Vi starter med at beregne ældningen for sekanten gennem de to punkter (, f ( (, og ( +, f ( + ( +,( Hertil bruger vi formlen fra analytisk geometri, som siger, at ældningen for linien gennem punkterne (, y og (, y er 5

18 a y y Det er rimeligt nemt at beregne nævneren i denne brøk: ( Vi beregner tælleren. Denne tæller betegner man traditionelt f, så vi ar f f ( + f ( ( Sekantældningen er nu f og når går imod 0, så bliver tangentældningen f f ( 0 lim lim( og det var jo det, vi forventede! Det lidt underlige symbol lim 0 er en såkaldt grænseværdi, som vi skal øre mere om lidt senere. Foreløbigt betyder det bare, at vi sætter lig 0. Tretrinsraketten er ganske simpelt ovenstående metode anvendt på en vilken som elst funktion: 0 0 Tretrinsraketten Trin : Beregn f f ( + f ( Trin : Beregn f. f Trin 3: Beregn grænseværdien lim. 0 Resultatet er differentialkvotienten f 0 0. ( Man anvender ofte indenfor matematik og fysik betegnelsen C for en ændring af en størrelse C. Dette slår igennem i tretrinsraketten: Vi benytter symbolet f for en ændring af funktionsværdien f. I de gode gamle dage brugte man faktisk også symbolet for en ændring i størrelsen - i dag bruger vi dog symbolet, fordi det er lettere at skrive og gør tingene mere overskuelige. 0. 6

19 Både f og er jo differenser, så størrelsen f kaldes en differenskvotient. Tilsvarende kaldes den afledede funktion f ( også en differential- kvotient, og den skrives nogen gange som df. (Ikke så underligt, når man tænker d på, at det græske bogstav delta,, svarer til det latinske bogstav 'd'. Faktisk bruger man slutproduktet af tretrinsraketten til at give en formel definition af differentialkvotienten: Definition 7 Differentialkvotienten eller den afledede funktion til funktionen f er den nye funktion f + f f ( lim ( ( 0 Vi ar faktisk også - i vores eksempel - bevist følgende Sætning 8 (FS d( d ( ( d d Igen ses det, at differentialkvotienten kan skrives på flere måder (uønsket barn ar mange øgenavne... Flere differentialkvotienter er: 7

20 Sætning 9 (FS d ( ( d Bevis: Vi lader f betegne funktionen a. Trin : f f ( + f ( ( ( Trin : f f Trin 3: lim lim Sætning 0 (FS d ( ( d Bevis: Vi anvender betegnelsen g( : Trin : g + ( ( ( ( ( tricket var er at få isoleret, så man i næste trin kan komme til at dividere det væk. Trin : g

21 g Trin 3: lim lim Man kan godt differentiere en funktion flere gange. Her bruger man en lidt speciel notation: d f Den dobbelt afledede betegnes f ( d 3 d f Den tre gange afledede betegnes f ( 3 d ( d f Den fire gange afledede betegnes f 4 4 (. 4 d... ( d f Den femogfyrretyvende afledede betegnes f (. 45 d Endelig bruger man, når man vil beregne den afledede funktion i et bestemt punkt, følgende notation: f ( 0 df d 0 Således ar vi d d ( 3 3 og d ( d 3 3(. Opgaver 3. Definitionsmængderne og sekundærmængderne blev ikke specificeret for funktionerne i sætningerne 9 og 0. Gør dette. Er definitionsmængderne for de afledede funktioner altid lig definitionsmængderne for de oprindelige funktioner? 3. Differentiér funktionen ( 3 va. tretrinsraketten. 9

22 3.3 Vi ar nu differentieret funktionerne med forskrifterne,, og 3. Alle disse er faktisk potensfunktioner. Opskriv funktionerne og deres afledede efter inanden, og opskriv den som potensfunktioner. Er der et mønster? 0

23 5.4 Grænseværdi og kontinuitet Vi skal nu studere begreberne grænseværdi og kontinuitet. En grundig og præcis gennemgang af disse begreber kræver meget, meget mere matematisk maskineri, end vi vil køre i stilling, så gennemgangen bliver lidt løs og intuitiv, med vægten lagt på det beskrivende. Definition Funktionen f ar grænseværdien a for gående imod 0, vis funktionsværdien f ( ligger tæt på tallet a, når ligger tæt på 0. Vi skriver lim f ( a 0 Det lidt mystiske "lim" stammer fra latin - limes betyder nemlig grænse. Bemærk, at denne definition slet ikke siger noget om f ( 0 - faktisk beøver funktionen f slet ikke at være defineret i 0. Men til gengæld skal funktionen være defineret i en omegn omkring 0. I tretrinsraketten optræder en grænseværdi, vor 0. Her skal man betragt differenskvotienten f som en funktion af. Eksempel Til venstre er vist grafen for funktionen f ( Vi ser umiddelbart, at lim f ( 4

24 Her er grafen for funktionen g med forskriften, g (, Igen ses, at lim g( 4. lig med funktionsværdien: g(. Bemærk, at dette ikke er Endelig ar vi grafen for funktionen med forskriften + 4, (, < lim ( Det ses, at grænseværdien slet ikke eksisterer: Tallene mindre end siger, at grænseværdien skal være, mens tallene større end siger, at grænseværdien skal være 5. Til gengæld siger vi, at lim ( og lim ( man taler om grænseværdier fra venstre og fra øjre. Grænseværdier opfører sig pænt mt. addition osv. af funktioner. Der gælder følgende sætning, som vi ikke beviser:

25 Sætning Lad f og g være funktioner, således at grænseværdierne lim f ( og lim g( 0 0 eksisterer. Da eksisterer nedenstående grænseværdier, og de antager endvidere de angivne værdier: a lim ( f + g( lim f ( + lim g( b lim ( f g( lim f ( lim g( c lim ( f g( lim f ( lim g( d lim ( f / g( lim f ( / lim g( ( Ved d antages det, at lim g ( 0. 0 Kontinuitet er indenfor den øjere matematik et meget vigtigt begreb; men er får vi kun brug for definitionen og et par sætninger. Definition 3 Funktionen f kaldes kontinuert i tallet lim f ( f ( 0 0 Dm( f, vis Funktionen f kaldes kontinuert, vis f er kontinuert i alle punkter i sin definitionsmængde. 0 Hvis en funktion ikke er kontinuert i et punkt, så kaldes den diskontinuert i dette punkt. Grafisk betyder kontinuitet i et punkt, at funktionens graf ikke springer i punktet: 3

26 Eksempel Her er grafen for funktionen, a, < Funktionen er kontinuert i punktet, idet grafens to stykker passer fint sammen. Her er grafen for funktionen, a +, < Funktionen er diskontinuert i punktet, idet funktionens to stykker ikke passer sammen er. En tommelfingerregel, når man arbejder men kontinuerte funktioner er, at alle almindelige, skikkelige funktioner, vis forskrift ikke er gaffelfunktioner, og som er summer, produkter osv. af almindelige potenser, logaritmer, eksponentialfunktioner, normalt er kontinuerte. Derimod kan gaffelfunktioner godt være diskontinuerte i "gaffelpunkterne", vor forskriften skifter. Disse skal derfor undersøges ekstra godt. Sætning 4 Lad f : A R og g : B R være kontinuerte funktioner. Så er nedenstående funktioner ligeledes kontinuerte: f + g : A B R f g : A B R f g : A B R f / g : A B R (Det antages ved kvotientfunktionen, at g ingen nukpunkter ar! Også sammensætning af funktioner bevarer kontinuitet. Der gælder nemlig: 4

27 Sætning 5 Lad f : A B og g : B C være kontinuerte funktioner. Så er den sammensatte funktion g o f : A C også kontinuert. Opgaver 4. Betragt funktionerne f og g med forskrifterne, < 0 3 4, > f ( og g (, 0, a Bestem tallene lim f (, lim f (, lim g(, lim g( 0 forudsat, at de eksisterer. b Bestem f (, f ( 0, g(, g( 0 c Er f kontinuert i tallet? I tallet 0? Er g kontinuert i tallet? I tallet 0? 0 4. Grænseværdier kan nogen gange bestemmes eksperimentielt - ermed menes, at man kan få en idé om, vad lim f ( 0 er lig, ved at beregne funktionsværdier f ( for tal, som ligger tæt på 0. Her skal vi bestemme grænseværdien lim a Udfyld nedenstående skema: 0 e. 5

28 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 e b Hvad tror du, ovennævnte grænseværdi er lig med? c Er dette er bevis for, at e lim? Funktionen f er givet ved e, < 0 f ( +, 0 Er funktionen f kontinuert? 6

29 5.5 Differentiabilitet Endelig kommer vi til begrebet differentiabilitet: Definition 6 Funktionen f er differentiabel i punktet 0 Dm( f, vis der eksisterer en omegn A om 0, således at A Dm( f, og f grænseværdien lim ( 0 + f ( 0 eksisterer. 0 En omegn om et punkt er et lille, åbent interval omkring punktet. F.eks. er intervallet 0, 999 ;, 00 en omegn omkring punktet. Hvis en funktion ikke er differentiabel i et punkt 0, så er der normalt tre grunde til dette: a 0 er ikke et indre punkt i funktionens definitionsmængde, dvs. betingelse er ikke opfyldt i definition 6. Dette sker typisk i intervalendepunkter. b Funktionen er ikke kontinuert i punktet 0. c Funktionen er nok kontinuert i punktet 0, men grafen knækker, og grænseværdien i betingelse i definition 6 eksisterer ikke. Til punkt b ovenfor er der at bemærke, at Sætning 7 Lad funktionen f være differentiabel i punktet 0. Så er f også kontinuert i 0. Bevis: f er differentiabel i punktet 0, så grænseværdien f lim ( 0 + f ( 0 0 eksisterer. 7

30 Derfor gælder, at grænseværdien f lim( ( ( lim ( 0 + f f f ( lim f ( eksisterer, og er lig 0. Men dette betyder, at f ( 0 lim f ( 0 lim f ( 0 + lim f ( og funktionen er altså kontinuert i 0 Et eksempel på tilfælde c er følgende: Eksempel y f Funktionen f ( er ikke differentiabel i 0: Bruger vi tretrinsraketten, bliver vi nemlig nødt til at dele op i to tilfælde, alt efter om er positiv eller negativ:. trin: > 0: f 0+ 0 < 0: f trin: > 0: f < 0: f 3.trin: f Grænseværdien lim 0 funktion af, ser vi vorfor: eksisterer ikke; tegner vi f som 8

31 I dette eksempel er funktionen f ikke differentiabel, idet f f lim og lim 0 0+ er forskellige. I dette tilfælde taler man i øvrigt om differentialkvotienter fra venstre og fra øjre: Differentialkvotienten fra venstre er f f ( 0 lim ( 0 mens differentialkvotienten fra øjre er f f + ( 0 lim ( 0+ 9

32 30 Opgaver 5. Betragt nedenstående funktioner: >,, ( f > +,, 3 ( g >,, ( >,, 4 4 ( i a Hvilke af de fire funktioner er kontinuerte i punktet? b Hvilke af de fire funktioner er differentiable i punktet? c Bestem f g (, (, ( og i (, vis de ellers eksisterer.

33 5.6 Regneregler - en oversigt Der findes temmeligt mange regler for, vordan man kan differentiere en given funktion. Vi skal naturligvis bevise dem alle; men til en start kommer vi med en oversigt og viser, vorledes reglerne anvendes i praksis. Reglerne kan deles op i to slags: Generelle regler og differentiation af specifikke funktioner. De generelle regler er Sumreglen Differensreglen ( f + g ( f ( + g ( ( f g ( f ( g ( Konstantreglen Produktreglen ( kf ( k f ( ( f g ( f ( g( + f ( g ( Kvotientreglen f f ( g( f ( g ( ( g ( g( Kædereglen (eller differentiation af en sammensat funktion ( f og ( ( f og( g ( De specifikke funktioners differentialkvotienter er r d( r r d(ln d d d( a d lna a samt nogle regler for de trigonometriske funktioner. Disse regler venter vi dog med. Ud fra disse egentligt ganske få regler kan alverdens funktioner differentieres! En god taktik, når man skal differentiere et støøre funktionsudtryk, er at tage én ting ad gangen. Det gør udregningen mere overskuelig, og man undgår fejl. 3

34 Eksempel 3 3 ( ln ( + ( 3 ( 4 + (ln (( 4 + e ( ( 4 + e ( ( 4 + e ( ( + e ( ( 4 + e ( e e + + e e e e + 5 e + e + + ( + ( 3 + ( + ( ( 3 + ( 3 + ( + 3 ( ( 3 + ( den bitre erfaring viser, at det sjældent kan betale sig at gange nævneren ud i en differentieret kvotient. Ved brug af kædereglen skal man passe på med at identificere den indre og den ydre funktion: ( 3 ( (( + 4e 3( + 4e ( + 4e 3( 4e ( + + 4e - igen viser den bitre erfaring, at man ikke skal gange produktet ud. ( + 3 ( ( + 3 ( + 3 ( + 3 3

35 men dette kan også differentieres som en sammensat funktion: (( + 3 ( ( + 3 ( + 3 ( Opgaver 6. Differentiér nedenstående udtryk. (Skriv evt. om til en potensfunktion a 4 b 3 7 c d e f e g ln i 3 j 4 k 4 l ( 6. Differentiér nedenstående udtryk. a 3 b c 3 d e f + 3ln g i e j k e l 3ln Differentiér nedenstående udtryk. a ( ( + b ( 3 + c ( 3 + e d 3 (ln + 3( 4 e ( f ( 4 + 3( g 3 ( ( + 3 ( 3 ln ( + e 6.4 Differentiér nedenstående udtryk. 4 3 a + c d e e g ln i j + 3 b 4 + ln + 3 f e 6.5 Differentiér nedenstående udtryk. a ( + ( + ( 3 b ( 3( + + ( 3( + 4 c ( ( d

36 e + e f ( + ( 3( 6.6 Differentiér nedenstående udtryk. a + b ln( 3 6 c ( d + e 3 ( + ln f e + g ep( + e i + ln j ( + 3 k ln(ln l ln m ln( n e 6.7 Differentiér nedenstående udtryk: a ln( b c ( e e e 3 ( d e ( f e ln( 8 34

37 5.7 Beviser for regnereglerne Vi skal nu vise, vorledes man kan udlede regnereglerne for en sum, differens,, produkt, kvotient eller sammensætning af funktioner. Alle beviserne anvender tretrinsraketten. Sætning 8 (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er f + g : A B R differentiabel, og ( f + g ( f ( + g ( Bevis: Trin : ( f + g ( f + g( + ( f + g( ( f ( + + g( + ( f ( + g( f ( + f ( + g( + g( f + g ( f + g f + g f g Trin : + Trin 3: Funktionerne f og g er differentiable, så vi ved, at f g lim f ( og lim g ( 0 0 Men så gælder ifølge sætning a, at lim ( f + g f g f g lim( + lim + lim f ( + g ( vilket viser, at f + g faktisk er differentiabel, samt at ( f + g ( f ( + g ( Sætning 9 (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er f g : A B R differentiabel, og ( f g ( f ( g ( 35

38 Bevis: Se opgave 7. (Beviset minder meget om beviset for sætning 8. Sætning 0 (FS Lad f : A R være en differentiabel funktion, og lad k R. Så er funktionen kf : A R differentiabel, og ( kf ( k f ( Bevis: Trin : ( kf ( kf ( + ( kf ( k f ( + k f ( k ( f ( + f ( k f Trin : ( kf k f f k Trin 3: lim ( kf f f lim ( k k lim k f ( vilket dels beviser, at kf er differentiabel, dels at ( kf ( k f ( Sætning (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er sumfunktionen f g : A B R differentiabel, og ( f g ( f ( g( + f ( g ( Bevis: Trin : 36

39 ( f g ( f g( + ( f g( f ( + g( + f ( g( f ( + g( + f ( + g( + f ( + g( f ( g( f ( + ( g( + g( + ( f ( + f ( g( f ( + g + f g( Her var fidusen af trække leddet f ( + g( fra og samtidigt lægge det til igen. Trin : ( f g f ( + g + f g( g f f ( + + g( Trin 3: Idet funktionen f er differentiabel, så er f derfor kontinuert. Dette betyder, at lim f ( + f ( 0 Vi får da, at lim ( f g f lim ( + g + f g ( 0 0 g f lim( f ( + + ( g 0 g f lim f ( + lim + lim lim g( f ( g ( + f ( g(. Dette viser dels, at produktfunktionen f g er differentiabel, dels at ( f g ( f ( g( + f ( g ( Sætning (FS Lad f A g : B R \ 0 være differentiable funktioner. Så er f / g : A B R differentiabel, og f f ( g( f ( g ( ( ( g ( g( : R og { } Bevis: Idet g er differentiabel, så er definitionsmængden B for g et åbent interval (eller en forening af flere åbne intervaller. Etvert punkt i B 37

40 kan derfor omgives af en omegn indeoldt i B. Dette betyder, at vi altid kan tage grænseværdierne nedenfor. Trin : f f f ( g ( g ( + ( g ( f ( + f ( g( + g( f ( + g( f ( g( + g( + g( f ( + g( f ( g( + f ( g( f ( g( + g( + g( ( f ( + f ( g( f ( ( g( + g( g( + g( f g( f ( g g( + g( Trin : ( f / g ( ( ( f g ( g g f ( g + Trin 3: Idet funktionen g er differentiabel, så er g kontinuert, og lim g( + g( 0 Tages grænseværdien 0, så fås lim ( f / g ( f ( g( f ( g ( 0 g( vilket beviser sætningen. Sætning 3 (FS Lad f : A B og g : B C være differentiable funktioner. Så er den sammensatte funktion g o f : A C ligeledes differentiabel, og der gælder, at ( g o f ( g ( f ( f ( Bevis: Lad 0 A være et fastoldt punkt i mængden A, og definér y f ( B. Definér endvidere jælpefunktionen k : B C ved

41 k ( y g ( y g( y y y 0 0 g ( y 0, y y, y y 0 Idet g er differentiabel, så er k kontinuert, og der gælder g( y g( y0 k ( y ( y y0 for alle værdier af y. 0 Vi skal nu ave sving i tretrinsraketten, men i stedet for at lade 0, så sætter vi 0 + og lader 0 Trin : ( g o f ( g o f ( ( g o f ( 0 k( f ( ( f ( f ( 0 ( g of ( g of f ( f ( 0 Trin : k ( f ( 0 0 f k( f ( Trin 3: Lader vi nu 0, så vil lim k ( f ( k ( f ( 0 k ( y 0 g ( y 0 g ( f ( 0 0 og f f lim lim f ( Kombineres dette, så ses, at lim ( g of g ( f ( 0 o f ( 0 0 Opgaver 7. Opskriv alle detaljerne i beviset for sætning 9. 39

42 5.8 Differentiation af log, ep & pot Hvorfor er matematikere så vilde med den naturlige logaritme og det underlige tal e ? Forklaringen kommer er: Hjælpesætning 4 d t (log a lim log a ( + d t 0 t Bemærk, at sætningen siger, at når man differentierer en logaritmefunktion, så får man differentialkvotienten konstant, idet grænseværdien (konstanten jo ikke afænger af variablen, men kun af grundtallet a. Bevis: Tretrinsraketten med f ( log a. Trin : f log a( + loga + log a( log a( + f log ( Trin : a + log a ( + / / Her forlængdede vi brøken med. Trin 3: At tage grænseværdien, når størrelsen går imod nul er det samme som at tage grænseværdien, når t går imod 0. Så det gør vi: f lim lim log a ( + / lim log a ( + t 0 0 / t 0 t Er vi egentligt blevet klogere? Tja, ikke ret meget; fra ep, pot & log- kapitlet ved vi, at alle logaritmefunktioner er proportionale: Kender vi én logaritmefunktion, f.eks. titalslogaritmen, så kan vi finde alle andre logaritmer ved brug af formlen: log log a ( loga (Det er jo også derfor, at lommeregneren kun ar en eller to logaritmeknapper, nemlig LOG og LN. 4

43 Hjælpesætningen viser, at når man differentierer en logaritmefunktion, så er differentialkvotienten proportional med. Nu kan man jo være smart og konsekvent bruge den logaritmefunktion, vis differentialkvotient er a ( + t, altså vor konstanten limlog. Det viser sig, t 0 t at denne logaritmefunktion netop er den naturlige logaritmefunktion. Man kan overbevise sig om dette ved at beregne grænseværdien for forskellige grundtal. Når man skal beregne grænseværdier på denne måde, så er det smart at beregne udtrykket log ( 7 a + 0 (altså vor t 0 7 og så satse på, at dette tal 7 0 ligger tæt på grænseværdien. Vi ar 7 log ( + 0, ( a log 3 ( + 0 0, 9039 ( a men 7 ln( + 0, ( a e 7 0 Vi ar altså følgende sætning: Sætning 5 d (ln d d (log a d lna Bevis: følger af jælpesætningen ovenfor, idet konstanten lim ln( + t. t 0 t Her kan vi f.eks. gennemføre udregningerne d d d (log a ( ln d d ln a (ln lna d lna lna Eksponentialfunktioner kan differentieres ved at bruge kædereglen: 4

44 Sætning 6 d d e e ( d d a a a ( ln, a > 0 Bevis: Vi ar, at ln( e Dette er faktisk en sammensat funktion, idet vi ligeså godt kunne skrive (lno ep(. Anvender vi kædereglen, så får vi ( e e eller ( e e. ln a ln a ( a ( e ( ln a e lna a Når man skal differentiere potensfunktioner, dvs. funktioner med forskriften a, så skal man passe lidt på - definitionsmængden afænger stærkt af eksponenten a. Vi erindrer fra den geniale ep, pot & log-bog, at R, a N0 Dm( a R \{ 0}, a Z \ N0 ]0; [, a R \ Z Sætning 7 d d a ( a a Bevis: Beviset går ud på at fastlægge et reelt tal, og så se på, for vilke eksponenter a potensfunktionen a er defineret. 43

45 Når > 0, så er der ingen begrænsninger på a. Ved at bruge kædereglen fås, at a a ln ln a a a ( ( e ( aln e a a. Når < 0, så er eksponenten a pisket til at være et elt tal. Vi kan da gøre følgende: a a a a a ( (( ( ( (( Bemærk, at når er negativ, så er positiv. Ved at bruge differentiationen ovenfor kan vi nu differentiere videre: a a a a a a ( (( ( ( a( ( ( a( a a a ( ( ( a a a a. Når 0, så må a være et ikke-negativt, elt tal. Hvis a 0, så er potensfunktionen a den konstante funktion, og differentialkvotienten bliver 0, også for 0, vilket passer fint med formlen. Hvis a > 0, så skal vi bruge tretrinsraketten til at finde d d a ( : 0 44

46 a a a a Trin : f ( a f a Trin : Trin 3: Hvis a, så bliver grænseværdien, vilket passer fint med den formel, vi skal bevise. Hvis a >, så bliver grænseværdien 0, vilket igen passer fint. Bemærk, at vis a > 0, og a ikke er et elt tal, så er udtrykket a nok defineret for 0; men potensfunktionen er ikke differentiabel er. Grunden er jo, at funktionen ikke er defineret i en omegn omkring 0. Opgaver 8. Bevis formlen 3 ( 3 3 ved at omskrive til en potensfunktion og differentiere. For vilke værdier af ar formlen gyldiged? 8. Man kan også vise, af ( e e ved direkte at bruge tretrinsraketten. Her får man da i trin 3 brug for at vide, at e lim (Se opgave 4. 0 Brug tretrinsraketten til at bevise, at ( e e. 45

47 5.9 Newton, Leibniz og fysik Differentialregningen (og dens onde stedbroder, integralregningen blev opfundet samtidigt omkring 685 af englænderen Isaac Newton (64-77 og tyskeren Gottfried Wilelm Leibniz ( Leibniz var mest interesseret i de rent matematiske aspekter af differentialregningen, så som tangenter; men Newton opfandt differentialregningen som et teknisk jælpemiddel indenfor fysikken. Newton arbejdede meget med den del af fysikken, som kaldes mekanikken, og som beskæftiger sig med legemers bevægelse. Som grundlag for mekanikken fandt Newton følgende love: Newtons. lov Et legeme, som ikke er påvirket af nogen resulterende kraft, vil enten være i vile eller bevæge sig med konstant astiged i samme retning. Newtons. lov Et legeme med massen m, som påvirkes af kraften F, vil accelereres med en acceleration a, som opfylder ligningen F m a Newtons 3. lov Et legeme, som påvirker et andet legeme med en kraft, vil af dette andet legeme blive påvirket af en kraft med samme størrelse, men med modsat retning. Og endelig avde Newton sin gravitationslov: Newtons gravitationslov Tyngdekraften mellem to legemer med masserne m og m, og som befinder sig i afstanden r fra inanden, påvirker inanden med en tyngdekraft af størrelsen F G m m r vor gravitationskonstanten G 6, Nm / kg Differentialregningen kommer ind, når man skal finde ud af, vad acceleration og astiged egentligt er for noget. 46

48 Forestil dig, at du ar en partikel, som bevæger sig en-dimensionalt, f.eks. på en ret linie. Partiklens position s kan beskrives som en funktion s( t - positionen s afænger jo af tiden t. Hvad er partiklens astiged, v( t? Hastiged, der er jo noget med tilbagelagt vejstrækning pr. tidsened, dvs. s v( t t. Dette er jo ikke særligt nøjagtigt, fordi tidseneden t er for stor. Så vi lader derfor t gå imod nul, og alt i alt får vi Sætning 8 En partikel, vis position er bestemt ved stedfunktionen s( t, ar astigeden ds v( t s ( t. dt Acceleration er jo astigedsændring pr. tidsened, så derfor får vi Sætning 9 En partikel, vis position er givet ved stedfunktionen s( t, ar accelerationen dv d s a( t v ( t s ( t dt dt Eksempel For en bold, som kastes lodret opad, kan man opskrive følgende udtryk for boldens øjde s over jordoverfladen: m m s( t 4, 9 t + 0 t + 3m s s Hastigeden er m v( t s ( t 9, 8 t + 0 s og accelerationen a( t v ( t 9, 8 m s. m s Heraf kan man se, at boldens acceleration altid er konstant lig 9, 8 edadrettet. Denne acceleration kaldes tyngdeaccelerationen og forkortes g. m s og 47

49 Det generelle udtryk for en partikel, som kastes opad med begyndelsesastigeden v 0 og startøjden s 0, er øvrigt givet ved g s ( t t + v 0 t + s 0. Opgaver 9. Indenfor fysik støder man på fænomenet radioaktivitet. Forsøger man at beskrive dette fænomen matematisk, så finder man ud af følgende sammenæng: N ( t N e kt 0 Her betegner t tiden, N ( t er antallet af kerner af et bestemt radioaktivt stof til tilden t, N 0 er antallet af kerner til tiden t 0, og k er den såkaldte enfaldskonstant, som kun afænger af, vilket stof vi betragter. a Gør rede for, at antallet af kerner aftager eksponentielt med tiden. b Gør rede for, at alveringstiden T / er givet ved ln T / k Fysikere taler også om aktiviteten A( t af stoffet. Størrelsen A( t defineres som antal radioaktive enfald pr. sekund til tiden t. c Gør rede for, at A( t N ( t (Vink: Minusset kommer, fordi kernerne forsvinder ved enfaldet. d Vis, at A( t A e kt 0 vor A0 kn 0, og vis også, at A( t k N( t 48

50 5.0 Stamfunktioner Differentialregningens anvendelse indenfor fysik (kinematik, som blev omtalt i sidste sektion, rejser et fundamentalt problem: Hvorledes bestemmer man en funktion, når man kun kender dens differentialkvotient? Dette problem kaldes stamfunktionsproblemet og er udgangspunktet for integralregningen. Selve integralregningen er en noget kompliceret affære, som naturligt ører jemme på øjt niveau, så vi skal er nøjes med at snuse til emnet. Definition 8 Lad f være en kontinuert funktion. En funktion F kaldes en stamfunktion til f, vis F ( f ( Eksempel Betragt funktionen f ( 3 Nogle stamfunktioner til f er F (, F ( + 6 og F ( 3 Som det ses, ar en funktion normalt flere stamfunktioner. Dette uddybes i nedenstående sætninger: Sætning 9 Lad funktionen f ave stamfunktionen F. Lad k være et vilkårligt reelt tal. Så vil sumfunktionen F + k også være en stamfunktion til f. Bevis: Idet F er en stamfunktion til f, så gælder der, at F ( f (. Vi skal vise, at funktionen med forskriften F( + k er en stamfunktion til f, og dette gøres ved at differentiere: ( F( + k F ( + ( k f ( + 0 f ( 49

51 Gælder det omvendte? Kan enver stamfunktion fås ved at tage en vilkårlkig stamfunktion og ertil lægge en konstant. Hvis definitionsmængden for funktionen f er et interval, så er svaret JA: Sætning 30 Lad f : I R være en kontinuert funktion, defineret på et interval I. Lad F og F være to stamfunktioner til F. SÅ findes en konstant k, således at F ( F ( + k, for alle I Bevis: Vi betragter differensfunktionen F F. Hvad er denne differentieret? ( F ( F ( F ( F ( f ( f ( 0 Idet vi er på et interval, og de eneste funktioner er, som differentieret giver 0, er konstante funktioner, så kan vi konkludere, at F ( F ( k vor k er en konstant. Bemærk, at denne sætning ikke gælder, vis definitionsmængden ikke er et interval. Eksempel Funktionen f: R \ 0 R: a { } ar bl.a. nedenstående to stamfunktioner F: R \ 0 R: a og { } + F : R \ { 0} R: a + 3, > 0 5, < 0 Men disse to funktioner afviger ikke fra inanden med en konstant! 50

52 Man plejer at skrive stamfunktioner som ubestemte integraler, f.eks. 3 3 d + k Det lange S-agtige symbol kaldes et integraltegn. Integralet er ubestemt, netop fordi vi ikke kan bestemme stamfunktionen - konstanten fra sætning 9 og 30 kommer nemlig i vejen. Enver differentialregningsregel giver anledning til en integrationsregel - vi nøjes med at angive de vigtigste: ( ( g( d f ( d + ( ( g( d f ( d kf ( d k f ( d f + g( d f g( d n n+ d n + d ln k + e d e + k + kn Med disse regler kan man beregne mange integraler: Eksempel ( d k k

53 Opgaver 0. Bevis nedenstående formler. (Vink: Differentiér! a ln d ln + k b d + k 3 0. Bestem nedenstående ubestemte integraler: a ( 3 + d b 8 3 d c ( 4 + d d ( e 8 d 4 e ( d f 3 d g ( + d ( 3 + d 0.3 Bestem den stamfunktion F til funktionen f ( 3 +, som opfylder, at F( 0. 5

54 5. Approimation Approimation betyder tilnærmelse, og differentialregning giver en udmærket metode til at beregne tilnærmede funktionsværdier. Ideen er ganske simpel - vi ved jo, at tangenten til grafen for en funktion ligger tæt på selve grafen. Vi kan derfor tilnærme grafen med tangenten. I praksis anvender man ikke denne geometriske sprogbrug. Tangentligningen omdøber man til det approimerende førstegradspolynomium: Definition 3 Lad f være en funktion, som er differentiabel i punktet 0. Det approimerende førstegradspolynomium i 0 er funktionen p( f ( ( + f ( Bemærk den store liged med tangentligningen y f ( 0 ( 0 + f ( 0 Faktisk er tangenten grafen for det approimerende førstegradspolynomium. Anvendelsen af det approimerende førstegradspolynomium ligger som sagt i, at vi let kan tilnærme funktionsværdier. Eksempel Lad os beregne tallet (, Vi observerer, at tallet,0000 ligger tæt på tallet, og at vi er interesseret i at finde en funktionsværdi for funktionen f (. Vi finder det approimerende førstegradspolynomium: 0 f ( 0 f ( f ( ( f ( så p( ( +. Ergo, (, 0000 f (, 0000 p (, 0000, 0000, Dette skal sammenlignes med den eksakte værdi, som er (, 0000,

55 Nu kan man spørge sig selv om, vad brug man ar for approimerende førstegradspolynomier - man kan jo bare tvære tallene ind på lommeregneren! Svaret er naturligvis, at lommeregneren benytter sig af approimerende førstegradspolynomier og den slags. I praksis benytter lommeregneren de såkaldte Taylor-rækker, som er approimerende polynomier af øjere grad. Her ar man brug for den afledede og de øjere afledede i punktet 0. Formlen er f ( f ( f ( n p( f ( + 0 ( ( ( 0!! n! vor vi ar lavet en n'te ordens Taylorudvikling omkring 0. Dette vil normalt være en ganske god tilnærmelse til funktionen f, og jo flere led vi tager med (dvs. jo større tallet n er, jo bedre er approimationen. ( n Eksempel Vi betragter funktionen f ( e med 0 0. Det er meget nemt at ( n differentiere denne funktion; vi ar nemlig f ( e, uanset værdien af n. Taylor-rækken til 5. orden bliver derfor p( 0 e + 0 e ( + 0 e ( + 0 e ( e ( e ( !! 3! 4! 5! Lad os beregne tallet e. Vi sætter i Taylor-rækken og får på lommeregneren e p( , Den rigtige værdi er e, Tagner man istedet den 0. ordens Taylor-række fås e, som passer med mange, mange decimaler. 54

56 5. Newton-Rapsons iterationsmetode Newton-Rapsons iterationsmetode er en rimeligt genial metode til at løse alle mulige slags ligninger. Den kan løse ligninger numerisk, dvs. den kan producere er løsning, som ikke er eksakt, men approimativ. Metoden bygger på differentialregning. Betragt en differentiabel funktion f (. Vi vil finde et nulpunkt for funktionen, dvs. et tal, således at f ( 0. Vi ar en anelse om, at dette nulpunkt ligger i næreden af tallet 0. For at finde en bedre tilnærmelse til nulpunktet end 0 approimerer vi funktionen med dens tangent i 0. Vi kan ikke umiddelbart finde nulpunktet for funktionen, men vi kan sagtens finde nulpunktet for tangenten. Tangentens ligning er nemlig y f ( 0 ( 0 + f ( 0 og forudsat f ( 0 0 (dvs. at tangenten ikke er vandret, så er nulpunktet f ( ( + f ( c c f f ( f ( ( f ( 0 0 f ( 0 f ( 0 0 f ( 0 f ( Dvs. at man kunne formode, at tangentens skæring med -aksen f ( 0 0 f ( 0 er en bedre approimation end 0 til nulpunktet. 0 55

57 Denne proces kunne vi jo gentage eller iterere, og få en endnu bedre tilnærmelse f ( f ( eller endnu, endnu bedre f ( 3 f ( eller endnu, endnu, endnu bedre f ( f ( 3 osv... Vi får altså en række tal: 0,,, 3, 4,..., som skulle blive en bedre og bedre tilnærmelse til nulpunktet. I praksis skynder man sig at opskrive forskriften for den såkaldte iterationsfunktion: f ( F( f ( og så beregne F (, F (, F (, Eksempel Vi vil løse ligningen ln Ser man på graferne for de to funktioner a ln og a, så kan man se, at graferne skærer inanden omkring punktet med - koordinaten,5. 56

58 Vi starter med at omskrive ligningen til den nye ligning ln ( 0 og vi ser, at vi skal finde et nulpunkt for funktionen f ( ln ( ln + Vi opskriver iterationsfunktionen f ( (ln + + f ( ln + ln + F( f ( / + + ( + ln + ( ln ln + (det er ikke altid, at det kan betale sig at omskrive iterationsfunktionen - men er kunne det! Som startværdien 0 vælger vi tallet fra grafen ovenfor, nemlig 0, 5. Ved at iterere får vi F 0 F 5,, ln, ( (,, , 5+ F ( F (, , F( F (, , (Det er en god idé at putte tallet n ind i lommeregnerens ukommelse, når man skal beregne det efterfølgende tal n+. Det viser sig, at vi allerede efter 3 iterationer får en stabil værdi på, Løsningen til ligningen er altså, med 7 decimaler. 57

59 Opgaver. Løs nedenstående ligninger med 5 decimaler. a ln b e 0. Newton-Rapson's metode virker ikke altid. Forsøg med denne metode i nedenstående tre tilfælde. a e 0 med b 5 0 med 0 c e 0 med 0 Havd gik galt? Tegn i alle tre tilfælde de relevante grafer og undersøg grafisk, vad der gik galt..3 En anden metode til at løse ligninger med numerisk, er den såkaldte bisektionsmetode. Denne er langsommere end Newton-Rapson, men kan til gengæld bruges i langt flere tilfælde. Metoden går ud på at finde en løsning til ligningen f ( 0, vor f er en kontinuert funktion. Man starter med et interval 0,, vor f ( 0 og f ( ar modsatte fortegn. Idet f er kontinuert, så må der findes et nulpunkt i dette interval. (Hvorfor?. Sæt ( 0 + / - er midtpunktet af det oprindelige interval. Hvis f ( ar samme fortegn som f ( 0, så må der findes et nulpunkt i intervallet,, og i det andet tilfælde må nulpunktet ligge i 0,. Vi ar nu et interval, som er alvt så stort som det første, og vori det stadigvæk findes et nulpunkt. (Bisektion betyder alvering... Fortsættes på denne måde, så fås en følge af stadigt mindre intervaller, vori der findes et nulpunkt. På et tidspunkt er intervallet så lille, at nulpunktet er bestemt med det ønskede antal decimaler. Tegn graferne for funktionerne i opgave. (vis du da ikke allerede ar gjort dette. Find derefter samtlige løsninger til de tre ligninger va. bisektionsmetoden. Du skal bestemme løsningerne med 3 decimaler. 58

60 5.3 Et urtigt bevis for toppunktsformlen Sætning 3 Parablen med ligningen y a + b + c, a 0 ar sit toppunkt i b b 4ac (, a 4a Bevis: Ligger man på parablen til øjre, så ser man, at vi ar en vandret tangent i parablens toppunkt. Lad os finde - koordinaten til dette punkt: Vi ar, at f ( a+ b og dette udtryk er lig nul for c a+ b 0 b a Dette er altså toppunktets -koordinat! Vi kan så finde y-koordinaten ved indsættelse: b b b b b f ( a( + b( + c + c a a a 4a a b 4ac b 4ac + 4a 4a 4 a 59

61 5.4 Opgaver 4. Nedenstående er taget fra Samvirke, august 980. Det er en del af en artikel af professor Ove Natan om moderne atomfysik: Universets alder - et kort sekund Senest ar kvarkfysikken sat spørgsmålstegn ved endnu en "ellig ko": Protonens absolutte stabilitet. Kvark-modellen forudsiger, at protonen er radioaktiv med en alveringstid på ca år (et ettal med 30 nuller efter. Halveringstiden er den tid, der skal engå, før alvdelen af et vist antal protoner en sønderdelt til andre partikler. Man kan naturligvis ikke direkte måle et tidsrum på 0 30 år - selv universets alder (ca. 0 milliarder år er kun et kort sekund i sammenligning. Men vis man ar mange protoner, kan man i løbet af et års tid gøre sig åb om at iagttage sønderdelingen af nogle få protoner. Forsøget er inden for rækkevidde, vis man iagttager ca protoner, svarende til protonantallet i et middelstort svømmebasin fyldt med vand. I disse måneder er den første forsøgsopstilling til måling af protonens sønderdeling ved at blive monteret i en forladt mineskakt dybt under Jordens overflade. Vi antager i det følgende, at kvarkmodellen older, således at protonen er radioaktiv med en alveringstid på 0 30 år. Angiv en forskrift for den funktion f, der beskriver, vor mange protoner der er tilbage til tiden t, målt i år, når der til tiden 0 er 0 30 protoner. Bestem det approimerende førstegradspolynomium til f i tallet 0. Bestem ved jælp eraf et skøn over, vor mange af de 0 30 protoner der sønderdeles i det første år, og sammenold med artiklens oplysning om dette. 4. I et koordinatsystem ar en parabel ligningen y 4. Der er givet et tal t, t 0. Bestem en ligning for parablens tangent i punktet Pt ( t, t 4. Bestem en ligning for den tangent til parablen, der er vinkelret på tangenten i P t. Bevis, at de to tangenter skærer inanden på linien med ligningen y. 4.3 Funktionen f er givet ved 60

62 f (, 0 Skitsér grafen for f og bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P ( 0, f ( 0. Om etvert punkt S ( a, b i planen gælder, at der gennem S går 0, eller tangenter til grafen for f. Bestem for vert af følgende tre punkter antallet af tangenter gennem punktet: S ( ; 3 S ( ; 3 S ( 0, For vilke talpar ( a, b går der enoldsvis 0, eller tangenter gennem S ( a, b? Beskriv beliggeneden af S i vert af de tre tilfælde. 4.4 Funktionen f er bestem ved forskriften f ( + ln Bestem definitionsmængden for f. Skitsér grafen for f. Grafen for f ar en tangent, der går gennem punktet O ( 0, 0. Bestem en ligning for denne tangent. Beregn et gradtal for den spidse vinkel mellem tangenten og y-aksen. Funktionen f ar netop ét nulpunkt 0. Bestem dette med 3 decimaler. 4.5 Funktionen f er bestemt ved f ( ( Tegn grafen for f, og bestem definitionsmængden for f. Grafen for f indeolder to punkter P og Q med andenkoordinat. Grafens tangenter gennem P og Q danner sammen med linien genneg P og Q en trekant. Bestem arealet af denne trekant. 4.6 Funktionen f er bestemt ved f ( + Bestem vinklerne mellem de to tangenter til grafen med røringspunkterne A (, og B ( 4, Dansk Standard 05. giver regler for afprøvning af forskellige bygningsdeles modstandsevne mod brand. Bygningsdelene opvarmes i en speciel ovn, og temperaturen i ovnen skal stige i overensstemmelse med følgende formel: T T0 50 ln( 8t + vor t er tiden i minutter T er ovntemperaturen i C til tiden t, og T 0 er ovntemperaturen i C ved prøvens begyndelse (t 0. 6

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik A Peter Lundøer

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Storstrøm / Næstved Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler 1001 7 a a a) Reducér udtrykket 4 a 100 5 a a) Reducér udtrykket 3 (a ) 1003 a) Løs ligningen x x 6 = 0 1004 a) Reducér ( a + b) a(

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere