Cowtrap - indfangning af ladede partikler i en elektrodynamisk fælde
|
|
- Ella Schmidt
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Cowtrap - indfangning af ladede partikler i en elektrodynamisk fælde Sebastian Lavallée Anders Ossowicki 30. marts 2008
2 Resumé Denne rapport beskriver et forsøg på at anvende en Paul-fælde til indfangning og analyse af ladede partikler i et tidsvarierende elektrisk felt og herigennem foretage målinger med henblik på at bestemme ladnings/masseforholdet for de aktuelle partikler. Derudover har vi foretaget nærmere undersøgelser af de mikrobevægelser der opstår som følge af brugen af vekselspænding i forsøget.
3 Indhold 1 Formål 3 2 Teori Bevægelsesligninger Tyngdefeltskompensation Dæmpning Mikrobevægelse Forsøg Forsøgsopstilling Fremgangsmåde Mikrobevægelse Ladnings-masse forhold Resultater Mikrobevægelse Ladnings-masse forhold Konklusion 14 A Simuleringer 16 B Måledata 17 B.1 Målinger af mikrobevægelse over faseforskydning på 20ms (en periode) B.2 Målinger af DC-spænding ved minimal mikrobevægelse C Fitlogs 22 C.1 Figur C.2 Figur C.3 Figur C.4 Figur D Misc. 25 Figurer 1 Den teoretiske udformning af Paulfælden Simulering uden tyngdefeltskompensation (a = 1) og gnidning (b = 0). q z = 0.8. Bemærk at z-aksen er inverteret Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0) uden gnidning (b = 0). q z =
4 4 Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0), med gnidning (b = 1.8). q z = Simulering med gnidning (b = 0.5). q z = Simulering med gnidning (b = 2.5). q z = Closeup af de tre elektroder Partikel fanget ved 150V ac, 70V dc over en periode og med overkompensering for tyngdefeltet Partikel fanget ved 200V ac, 20V dc over en periode og med underkompensering for tyngdefeltet Q 10 M -histogram Tre partikler der danner en Coulumb-krystal
5 1 Formål Formålet med projektet har været at bygge videre på en eksisterende opstilling af en Paul-fælde, og forsøge at forbedre denne, så vi kan foretage præcise målinger af et partikels bevægelse heri, og deraf udlede værdier for partiklens ladnings/masse-forhold med en god sikkerhed. I den indledende fase arbejdede vi med idéen om at bruge en indfanget ko til observationer, men dels viste det sig umuligt at overtale KVL til at passe den, dels ville det kræve en større fælde, så i stedet valgte vi kanel som vores primære mål. Derudover har ønsket være at sammenligne de teoretiske overvejelser om partiklernes såkaldte mikrobevægelser med det vi faktisk kan observere. 2 Teori For at beskrive et indfanget partikels bevægelse, er det nødvendigt at se nærmere på vores Paulfældes opbygning og det elektriske felt, der bliver skabt. Herfra kan vi udlede de nødvendige bevægelsesligninger, og efterfølgende manipulere disse, så vi også kan gøre rede for tyngdekraften, og den dæmpning vi forventer vores partikler bliver udsat for i fælden. Den grundlæggende idé bag vores opstilling af Paul-fælden, er at anvende tre elektroder - en ringelektrode samt to kugleelektroder - til at skabe et elektrodynamisk felt, hvor ringelektroden er det centrale element. Geometrien bag fælden er central for udledningen af bevægelsesligningerne og vi forudsætter at følgende krav er opfyldt af fælden: For kugleelektroderne skal z 2 = z r2 2 For ringelektroden skal z 2 = r2 r Følgende sammenhæng skal være tilstede: r 2 0 = 2z2 0 Det sidste krav er ikke en nødvendighed, men det vil lette matematikken bag fælden betragteligt. 2.1 Bevægelsesligninger Vi indfører V dc som betegnelse for jævnspændingen mellem ring- og kugleelektroderne, V ac som betegnelse for vekselspændingen mellem ring- og kugleelektrode, samt Ω som betegning for frekvensen af vekselspændingen fra vægstikket. Da ved vi fra [1] at det elektriske potentiale er givet ved. V (r, z) = [V dc V ac cos(ωt)] 1 4z 0 2 [2z2 + (r 0 2 r 2 )] (1) 3
6 Figur 1: Den teoretiske udformning af Paulfælden z- og r-komponenten af potentialet vil så være de partielt aedte af (1): E z = V z = V dc V ac cos(ωt) z (2) z 2 0 E r = V r = V dc V ac cos(ωt) r 0 2 r (3) Her har vi i (3) anvendt vores tredje krav til opstillingen så vi kan eliminere z 0 fra udtrykket. Da vi fra elektrodynamikken ved at kraften F på et partikel er givet som F = Q E kan vi opskrive vores to bevægelsesligninger, idet vi sætter V dc = 0 (udeladt fra opstillingen) og benævner massen M. d 2 z dt 2 Q M [ V ac cos(ωt)] z = 0 (4) z 2 0 d 2 r dt 2 + Q M [ V ac cos(ωt)] r = 0 (5) 2r 2 0 I z-aksen virker desuden tyngdekraften så for at inkludere denne kan vi tilføje et konstant led, g til (4) som vi antager har værdien 9, 82 m. Herudover s 2 vil vi også sætte vores udtryk på en dimensionsløs form. For at gøre dette introducerer vi variablen x, der er givet ved x = Ωt 2. Ved at gøre dette ændrer vi dog også den grundlæggende tidsenhed som vi benytter, til 2 Ω = πs 1 6ms. Vores udtryk vil da tage følgende form. ( Ω 2 d 2 z dt 2 + Q M Vac cos(ωt) z g = 0 z 2 0 ) 2 d 2 z dx 2 + Q M Vac cos Ωt z g = 0 z 2 0 d 2 z dx 2 + 4QV ac 4g MΩ 2 cos(2x)z z 2 0 Ω 2 = 0 (6) 4
7 Næste skridt er at få bragt tyngdefeltets bidrag på dimensionsløs form. For at gøre dette vælger vi at introducere variablen z = 4g samt denere u = Ω 2 z z. Bemærk at vi herved ændrer længdeskalaen til m/s 2 (2π) µm. 2 s 2 d 2 z z dx 2 + 4QV ac MΩ 2 z 2 0 d 2 u dx 2 + 4QV ac MΩ 2 z 0 2 } {{ } 2q z cos(2x)z z 4g Ω 2 z = 0 cos(2x)u 1 = 0 (7) Simulering uden gnidning og tyngdefeltskompensation 'pt1.sim' mm Figur 2: Simulering uden tyngdefeltskompensation (a = 1) og gnidning (b = 0). q z = 0.8. Bemærk at z-aksen er inverteret Figur 2 viser en simulering uden kompensation for tyngdekraft og uden gnidning. Vi ser at bevægelsen består af to dele, en hurtigt svingende bevægelse, samt en med langsommere periode. Fra skalaen kan vi også se den manglende tyngdekompensering (omend med modsat fortegn), da bevægelsen ikke går omkring 0. 5
8 2.2 Tyngdefeltskompensation For at kompensere for tyngdekraften vil vi tilføre en jævnspænding mellem de to kugleelektroder, Ṽdc. Det vil medføre følgende. F = Q E dc Q Ṽdc 2z 0 a E Q Ṽ dc M 2z 0 4a E Ω 2 z = 4 Q Ṽ dc Ω 2 Ω 2 M 2z 0 4g = Q Ṽ dc M 2z 0 g (8) Dette led kan redegøre for vores kompensation og den resulterende bevægelseslidning vil tage denne form. d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + Q Ṽ dc z 0 Ω 2 4V ac M 2z 2 0 g Ω 2 = 0 4V ac d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + 2q z Ṽ dc V ac Ω 2 z 0 8g = 0 d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + 2q z Ṽ dc V ac z 0 2 z = 0 (9) Indtil videre har vi redegjort for bevægelsen langs z-aksen, da der er denne der vil være relevant i vores målinger. Men den anvendte logik kan naturligvis også bruges på bevægelsen langs r-aksen, for at udlede et tilsvarende resultat. 8 6 Simulering uden gnidning med tyngdefeltskompensation 'pt4.sim' mm Figur 3: Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0) uden gnidning (b = 0). q z = 0.8 6
9 Af gur 3, der viser bevægelsen med tyngdefeltskompensation, ser vi en svingning omkring 0 som forventet. Gennemsnittet af alle punkter er Dæmpning En sidste betragtning er nødvendig, før vores beskrivelse af partiklens bevægelse er komplet. Vi er nød til at tage højde for den friktion, vi formoder opstår når et partikel gnider imod luftmassen i fælden. Da vi antager at partiklerne i fælden bevæger sig med relativt små hastigheder, vil denne friktion være linæert afhængig af hastigheden. Ergo må vi tilføje leddet b d z dx til (9). For at bestemme et acceptabelt, dimensionsløst udtryk for koeecienten b antager vi en laminær luftstrøm samt kugleformede partikler. Herved kan vi anvende Stokes ligning 1 samt det faktum at massen af et kuglelegeme må være ρ 4πR3 3 til at nde en størrelse for b. F stokes M = 3 9η ρr 3 ( 6πηRv) = 4π 2ρR 2 v b du dx = 9ηΩ 4gρR 2 (10) Hvor vi i (10) har foretaget substitution af dt til dx samt dz til du 2. Vi kan anvende dette led i vores simuleringer, men vi vil ikke være i stand til at bestemme en autoritativ værdi for koecienten inden for projektets omfang. Den endelige bevægelsesligning med dæmpning vil tage denne form. d 2 u dx 2 bdu dx + 2q z cos(2x)u 1 + q z Ṽ dc V ac z 0 z = 0 (11) Til bestemmelse af Q M anvender vi dog (9) som beskrevet. I gur 4, hvor der både er kompenseret for tyngdekraften, samt indregnet en gnidningskoecient, ser vi som ønsket en svingning omkring x-aksen. Ved en lavere dæmpning ville svingningen også nå under y-aksens nulpunkt. Det er værd at gøre en note om at forskelle i dæmpningskoecienten også har indydelse på mikrobevægelsens fase. Det vil potentielt være muligt at foretage en vurdering af b, baseret på målinger af fasen samt simuleringer. Af gur 5 kan fasen aæses (tjek t-loggen) og det ses at den er forskellig fra fasen i gur Mikrobevægelse Mikrobevægelsen er den bevægelse en partikel fanget i vores paulfælde vil foretage spontant - uden at vi justerer forsøgets parametre. I en fælde h- vor partiklen kun påvirkes af et perfekt elektrisk felt, vil en skitse over den 1 Fstokes = 6πηR v 2 du = d z z 7
10 Simulering med gnidning og tyngdefeltskompensation 'pt3.sim' mm Figur 4: Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0), med gnidning (b = 1.8). q z = Simulering med gnidning, samt fittet sinus-kurve. 'pt5.sim' f(x) mm Figur 5: Simulering med gnidning (b = 0.5). q z = 0.8 potentielle energi som funktion af afstanden, give en parabel, der vil skifte fortegn i løbet af en halv periode. Partiklen vil i dette tilfælde holde sig i samme punkt. Tilføjer vi nu tyngdekraftens potentielle energi, der jo afhænger lineært af højden, vil toppunktet forskydes fra afstanden 0. Når det elektriske felt veksler, vil partiklen derfor undergå en bevægelse fra toppunkt til toppunkt, og der opstår mikrobevægelse. For at minimere denne bevægelse kan vi tilføre et elektrisk felt, til at kompensere for tyngdefeltet. Når dette perfekt udligner tyngdekraften, vil 8
11 12 Simulering med gnidning, samt fittet sinus-kurve. 'pt6.sim' f(x) mm Figur 6: Simulering med gnidning (b = 2.5). q z = 0.8 det svare til situationen hvor der ingen forskydning i parablerne er og derfor ingen mikrobevægelse. Dette kan vi vende om og benytte til at nde den rette kompensation hvor der ingen mikrobevægelse er. I (9) vil det svare til at det tredje led er lig 1. Med denne viden, kan vi så måle spændingen af det kompenserende felt, derigennem nde q z og slutteligt fra vores denition af q z nde en værdi for Q M. For at kunne måle dette med en tilfredsstillende præcision kan man benytte et stroboskoblys, der veksler med samme frekvens som det elektriske felt i fælden. Vi kan herved sørge for, at der kun er lys på partiklen i et specikt punkt af dens bevægelse, og dette tillader os blot at regulere fasen af belysningen når vi skal vurdere om den lodrette bevægelse er elimineret. Rent matematisk, vil vi, når en Ṽdc-værdi er kendt, for hvilken der er kompenseret perfekt for tyngdefeltet, og mikrobevægelsen således er elimineret kunne nde Q M fra følgende resultat, der opstår fra vores bevægelsesligninger. Q M = 2g z 0 Ṽ dc (12) Det er meget interessant at den ac-spænding hvorved vi holder partiklerne fanget, ikke indgår i dette udtryk. Undervejs i projektet observerede vi gentagne gange at en øgning i transformator-spændingen krævede justering af tyngdefeltskompensationen, da de indfangne partikler blev påvirket kraftigere. Situationen var især tydelig med et mindre sæt elektroder, og med ere partikler indfanget (i såkaldte Coulomb-krystaller). Det kunne tyde på at vores forudsætninger og indledende model ikke er helt optimal. 9
12 3 Forsøg Forsøget vil konkret bestå af to dele. Først undersøger vi om vores forudsætninger for mikrobevægelsen stemmer overens med praksis og dernæst foretager vi konkrete målinger m.h.p. bestemmelse af ladnings-masse-forholdet for en række partikler. Til begge dele kan vi anvende vores opstilling. 3.1 Forsøgsopstilling Til at udføre forsøget, vil vi anvende en paulfælde som beskrevet. Fælden består af to kugleelektroder samt en ringelektrode. Vi har valgt at splitte ringelektroden, så det er muligt for vores kamera at se igennem den. Herved bør det blive lettere at vurdere præcist hvornår vi har elimineret mikrobevægelsen, da vi ikke kigger skråt ned på partiklen, men kan observere ortogonalt på z-aksen. Vi har vurderet at splitelektroden af symmetriårsager, ikke bør forstyrre det fremkomne elektriske felt nævneværdigt. Figur 7: Closeup af de tre elektroder Bortset fra de tre elektroder bruger vi en række eksterne værktøjer til at lette observationen. Et kamera er monteret plant med ringelektroden, og forbundet til en computer, en lysdiode er v.h.a. en transistor, forbundet med et print der synkroniserer impulserne med frekvensen på lysnettet, således at vi kan belyse enkeltdele af mikrobevægelsen. Diodens lys bliver fokuseret gennem en linse, så lysspredningen forstyrrer kameraet så lidt som muligt. Til setuppet er monteret en variable jævnspændingstransformator, samt en variabel vekselspændings-forsyning. Den første tjener som den primære strømkilde, mens den anden genererer vores tyngdefeltskompensation. Fælden er omgivet af et glasbur, for at sikre mod vindstød og andre uregelmæssigheder, da de lette kanelpartikler er meget letpåvirkelige. Opstillingen har vist sig at være ganske stabil og vi har holdt enkelte partikler fangede i fælden i adskillige timer, uden nogle afvigelser i partiklernes bevægelser. 10
13 3.2 Fremgangsmåde Til forsøget anvender vi kanelpartikler, opladt i en plastiksprøjte og efterfølgende sprøjtet ind i fælden. Denne metode betyder at det stort set altid er mere end en partikel fanget af gangen. For at komme af med overødige partikler kan fælden 'rystes', ved at justere tyngdefeltskompensationen så højt op, at partiklerne ryger ud af fælden igen. Processen er besværlig da der hurtigt skal nedjusteres igen, for at forhindre den sidste partikel i at ryge med ud (når partikler forsvinder, skal der mindre til at bringe resten ud af banen, så der vil starte en kædereaktion). Et andet problem ved denne fremgangsmåde, samt vores observationsmetoder, er at det undertiden kan lykkes at skulle partikler i opstillingen - enten fordi de er uden for stroboskoblysets fokusområde eller fordi to eller ere partikler ligger i kameraets observationsplan. Begge hændelser vil typisk føre til at partiklernes bevægelser er mere ustabile samt at der vil være positioner, hvori partiklernes oscillationsfrekvens ændres (p.g.a. partiklernes frastødning fra hinanden). Dette gør det muligt at fange situationer, hvor det ikke er lykkedes at ryste alle undtagen en partikel ud af fælden, men metoden er ikke fejlfri Mikrobevægelse Til analyse af mikrobevægelsen, kan vi holde en enkelt partikel fanget ved en kendt AC- og DC-spænding, justere fasen (denne kan observeres v.h.a. et oscilloskop) og over en hel periode måle partiklens position i fælden (relativt til et kunstigt nulpunkt). Vi må forvente at oscillationen vil være en sinuskurve. Samtidig må vi også forvente, at hvis vi går fra en overkompensering til en underkompensering af tyngdefeltet, vil fasen forskydes med en halv periode Ladnings-masse forhold For at foretage en kvalitativ vurdering af Q M, kan vi isolere en enkel partikel, v.h.a. stroboskob-lyset vurdere ved hvilken tyngdefeltskompensation mikrobevægelsen er elimineret, og derfra regne tilbage til Q M. Det kræver desuden kendskab til fældens geometri (z 0 ), vekselspændingen (V ac ) samt oscillationsfrekvensen (50Hz). Ved at indsamle en tilpas mængde statistisk måledata, må vi forvente at se en tendens mod et gennemsnitsligt ladnings-masse forhold. 4 Resultater 4.1 Mikrobevægelse Den første måling af mikrobevægelsen blev foretaget med en kanelpartikel holdt fanget ved 150V ac og med en tyngdefeltskompensation på 70V dc. Resul- 11
14 tatet kan ses i gur 8, hvor vores måledata er ttet op mod en sinusfunktion (tlog fra gnuplot kan ses i appendix) Mikrobevaegelse for kanelpartikel over en periode f(x) maalepunkter 30 hoejde (1/18 mm) faseforskydning (ms) Figur 8: Partikel fanget ved 150V ac, 70V dc over en periode og med overkompensering for tyngdefeltet Mikrobevaegelse for en kanelpartikel over en periode f(x) 'data4' 43 Hoejde (1/18 mm) Faseforskydning (ms) Figur 9: Partikel fanget ved 200V ac, 20V dc over en periode og med underkompensering for tyngdefeltet Tilsvarende har vi foretaget en måling hvor der er underkompenseret for 12
15 tyngdefeltet, og bevægelsen derfor må forventes at være forskudt en halv periode. Figur 9 viser igen en ganske fornuftig graf, hvor en sinusfunktion er ttet pænt til. Dog er det her værd at bemærke at det ud fra måledata ser ud til at vi har observeret mere end en periode, da vi ikke er startet helt i toppunktet yderst til venstre på grafen 4.2 Ladnings-masse forhold Vi foretog i alt 69 3 målinger af forskellige partikler. Undervejs konstaterede vi at tunge partikler havde en tendens til at placere sig nederst i de fremkomne Coulomb-krystaller. Da vi benyttede os af en overkompensering af tyngdekraften, for at smide overskydende partikler væk, giver dette en mulig skævvridning af måleresultaterne, da lettere partikler havde tendens til at forsvinde først. At løse dette problem ville enten kræve en større fælde (og derved større partikler) så overskydende partikler ville kunne "plukkes"ud af fælden, eller en nere injektionsmetode, så der ikke bliver sendt en sky af partikler ind hver gang. Som det ses af måledata, har vi fundet perfekte tyngdekompenseringer ved vidt forskellige spændinger. Dette skyldes højst sandsynligt en tilsvarende variation i de enkelte partiklers masse. Fra vores teori kan vi udlede følgende sammenhæng Q M = 2gz 0 Ṽ dc (13) Fordelingen af de 69 målte partikler kan ses af gur De målte punkter fordeler sig pænt på histogrammet i noget der ligner en reel fordeling. Hovedvægten af målingerne ligger i den lave ende af det samlede spektre, hvilket kan understøtte vores formodning om primært at have fanget tungere partikler (lavere Q M ). Vi forventer at hverken g eller z 0 er varieret i løbet af måleperioden, så enhver usikkerhed på disse må være af systematisk natur. Vi vurderede i løbet af måleperioden, at vi kunne variere Ṽdc i størrelsesordenen ±2V uden at kunne registrere nogen forskel i det målte resultat. Af det kan vi antage en usikkerhed på vores målinger (som beskrevet i [4]) på δ Q M = Q M δṽdc = 2gz 0 Ṽdc Ṽdc 2 δṽdc (14) Med disse usikkerheder får vi et gennemsnitsligt resultat på C/kg± med en spredning på ± Den relativt 3 vi kunne ikke tælle til 70 4 Større version af grafen kan ndes som 'qmhist.pdf' på frokostgruppen.dk/?p=pt.git/.git;a=tree 13
16 16 14 Histogram af ladnings/masse-forhold for 69 kanelpartikler frekvens Frekvens Ladnings/masse-forhold [C/kg] (interval: ) Figur 10: Q M -histogram store statistiske spredning skal formentlig forklares i valget af kanel (hvor enkelte partikler er højst irregulære) og det dertil hørende lave antal målepunkter. Det er vores formodning at man ved valg af et "simplere"materiale vil komme frem til et mere præcist resultat. 5 Konklusion Overordnet set er det lykkedes at give et bud på ladnings/masse-forholdet af den konkrete kaneltype vi har arbejdet med (et mere generelt billede ville kræve indsamling af kanel fra forskellige producenter, geograske lokationer mv. for at tage højde for forskelle i fremstillingsmetoder og andet). Vores endelige resultat bar dog præg af den forholdsvis lille mængde data vi har indsamlet. Det kunne være interessant at se om vi ville opnå et mere præcist bud med ere data, eller om det fremkomne billede blot vil blive yderligere konsolideret. Ydermere har vi også gennem teoretiske overvejelser samt lettere eksperimenteren med mikrobevægelserne belyst andre muligheder for anvendelse af Paul-fælden, herunder til nærmere studie af relationen mellem partiklernes friktion med luften og fasen af deres mikrobevægelse. Vi har også pointeret en potentiel svaghed i vores model (fraværet af indydelse fra V ac i vores endelige resultat) som kunne give stof til nærmere undersøgelser. Endeligt har vi også let berørt eksistensen af de såkaldte Coulomb-krystaller. Med basis i Paul-fælden kunne man studere disse krystaller nærmere og undersøge de gængse teorier for dem. Figur 11 viser en sådan krystal, hvor tre partikler er 14
17 fanget. Figur 11: Tre partikler der danner en Coulumb-krystal Næste gang vil det dog nok gavne at sætte næsen op efter noget mindre end svævende køer, til at starte med. 15
18 A Simuleringer Undervejs har vi anvendt numeriske simuleringer af vores bevægelsesligninger, v.h.a. Runge-Kutta-metoden. Hertil har vi brugt en implementation i sproget perl for at holde programmeringsdelen så simpel som muligt. Programmet som er anvendt er inkluderet her for komplethedens skyld. Det kan også ndes på samme webside som rapporten. #!/usr/bin/perl -w # Formulae: \frac{d^2 u}{dx^2} + 2q_z cos(2x)u a = 0 # # a = gravity compensation # a is the result of 1 - the gravity compensation. When a is small, we # have a good compensation, whereas a = 1 signifies lack of # compensation # # q_z = free parameter # # x = time parameter # # b = damping (due to friction) # # without damping: # du/dx = v = DE2 # dv/dx = a - 2q_z cos(2x)u = DE1 # # with damping: # du/dx = v # dv/dx = bv + a - 2q_z cos(2x)u our $i = shift; $i = ""; our $qz = shift; # free (stable in [0;1]\.5) our $a = shift; # gravity (1 = no compensation, 0 = fully compensated) our $b = shift; # friction use Math::ODE; my $o = new Math::ODE ( file => "pt".$i.".sim", step => 0.05, initial => [0,1], # du/dx dv/dx 16
19 ODE => [ \&DE2, \&DE1 ], t0 => 0, tf => 100); $o->evolve; sub DE1 { my ($x, $y) return -$b*$y->[1] + $a - 2*$qz*cos(2*$x)*$y->[0]; } sub DE2 { return $_[1]->[1]; } B Måledata B.1 Målinger af mikrobevægelse over faseforskydning på 20ms (en periode) scale 2: 18mm (målt) => 1mm (reel) mb1: ---- AC: 150V DC: 70V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2)
20 Ikke anvendt i rapport: AC: 150V DC: 55V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) AC: 150V DC: 90V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) AC: 200V DC: 90V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2)
21 AC: 200V DC: 70V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) AC: 200V DC: 55V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) mb2: ---- AC: 200V DC: 20V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2)
22 Nulpunkt (200V AC) 44V DC Pos: 35.5mm Relation mellem tyngdekompensering og position: Fase (ms): 3 (=4ms) AC: 200V DC (V) Pos (mm) (scale 2) >105V => vibrationer, upræcist B.2 Målinger af DC-spænding ved minimal mikrobevægelse NBI AC: 200V z0: 2 mm ~z: (4g)/(omega^2) omega: 50 Hz g: 9.82 m/s^2 # DC (V)
23
24 C Fitlogs C.1 Figur 8 After 6 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : rel. change during last iteration : e-07 degrees of freedom (FIT_NDF) : 16 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = / (5.688%) omega = / (5.383%) phi = / (2.811%) theta = / (1.715%) 22
25 correlation matrix of the fit parameters: A omega phi theta A omega phi theta C.2 Figur 9 After 5 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : rel. change during last iteration : e-06 degrees of freedom (FIT_NDF) : 16 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = / (7.243%) omega = / (7.237%) phi = / (2.338%) theta = / (0.5907%) correlation matrix of the fit parameters: A omega phi theta A omega phi theta C.3 Figur 5 After 1 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : rel. change during last iteration : 0 degrees of freedom (FIT_NDF) : 397 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :
26 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = / (0.2512%) theta = / (1.006%) phi = / (0.0691%) correlation matrix of the fit parameters: A theta phi A theta phi C.4 Figur 6 After 3 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : rel. change during last iteration : e-06 degrees of freedom (FIT_NDF) : 397 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = / (0.2256%) theta = / (0.2473%) phi = / ( %) correlation matrix of the fit parameters: A theta phi A theta phi
27 D Misc. Rapporten, samt TEX-kildeler, billedmateriale og data kan klones fra gitrepositoriet på og ses på http: //gitweb.frokostgruppen.dk. Her ligger også ubrugte måleresultater, grafer, billeder samt andet. Litteratur [1] H. Winter H. W. Ortjohann: Simple demonstration of storing macroscopic particles in a "paul trap", American Journal Of Physics, Vol. 59, 1991 [2] C. Foot M. Nasse: Inuence of background pressure on the stability region of a Paul trap, Eur. J. Phys. 22, 2001 [3] K. M. Bendtsen, J. J. Jensen, J. Lorenzen S. L. Christensen: Fysik 3 Projekt: Paul Fælde, 2007 [4] J. R. Taylor: An introduction to Error Analysis, 2. ed, University science books,
Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereDen frie og dæmpede oscillator
Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereVEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER. Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi!
AC VEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi! Frekvens: Frekvensen (f) af et system er antallet af svingninger eller rotationer pr. sekund:
Læs mereHarmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47
Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereElektron- og lysdiffraktion
Elektron- og lysdiffraktion Fysik 8: Kvantemekanik II Joachim Mortensen, Michael Olsen, Edin Ikanović, Nadja Frydenlund 19. marts 2009 1 Elektron-diffraktion 1.1 Indledning og kort teori Formålet med denne
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereKvadratisk regression
Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs merePlacering af trykmåler til bølgemåling. Wave Dragon, Nissum Bredning
Placering af trykmåler til bølgemåling Wave Dragon, Nissum Bredning z x y Morten Kramer & Jens Peter Kofoed August, 2004 DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING AALBORG UNIVERSITY SOHNGAARDSHOLMSVEJ 57 DK-9000
Læs mereU = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.
Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereAnalyse af måledata I
Analyse af måledata I Faldforsøg undersøgt med LoggerPro Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium I fysik skal eleverne lære at behandle og repræsentere måledata, som enten er indsamlet ved manuelle
Læs mereElektrodynamik Lab 1 Rapport
Elektrodynamik Lab 1 Rapport Indhold Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Transienter og RC-kredsløb 1.1 Formål 1. Teori 1.3
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereReeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereTeknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5.
Fysikken bag Massespektrometri (Time Of Flight) Denne note belyser kort fysikken bag Time Of Flight-massespektrometeret, og desorptionsmetoden til frembringelsen af ioner fra vævsprøver som er indlejret
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereØvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereTeori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen
Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereKursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse. Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S
Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S 1 Data med detektionsgrænse Venstrecensurering: Baggrundsstøj eller begrænsning i måleudstyrets følsomhed
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs mereProjekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst
Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene
Læs mereBernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold
Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi
Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi INDHOLD Formålet har været at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge blot ved
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereLæring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret
Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereLaboratorieøvelse Kvantefysik
Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereSkråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51
Skråplan Dan Elkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachi Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51 8. januar 2008 Figurer Sider ialt: 5 Indhold 1 Forål 3 2 Teori 3 3 Fregangsåde 4 4 Resultatbehandling
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMultipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression
Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gør vi
Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gør vi FORMÅL Formålet har været at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge blot ved at
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereBilag 1: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne. Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed.
Bilag 1: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2013 Indholdsfortegnelse Indledning
Læs mereDiodespektra og bestemmelse af Plancks konstant
Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mereMODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber
1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereTheory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point)
Q2-1 Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner i den separate konvolut før du starter på opgaven. Introduktion Bi-stabile ikke-lineære halvlederkomponenter
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereProjekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet
Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereReestimation af uddannelsessøgende
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir * Nina Bech Runebo 19. maj 21 Reestimation af uddannelsessøgende Resumé: I papiret reestimeres ligningen for uddannelsessøgende. Reestimationen giver ikke pæne
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereFormålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.
Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre
Læs mereFasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.
Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx161-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx161-MATn/A-24052016 Tirsdag den 24. maj 2016 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieanalyse Sådan gør vi
METODENOTAT Dansk Erhvervs gymnasieanalyse Sådan gør vi FORMÅL Formålet med analysen er at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge
Læs mere