Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)"

Transkript

1 Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer indenfor matematisk analyse. Vi vil her se på Laplace transformen som et vigtigt værktøj til at løse en klasse af problemer kaldet begyndelsesværdiproblemer. Anvendelsen af Laplace transformen kan illustreres med følgende figur taget fra Initial-Value Problems ODE's or PDE's Algebra Problems Difficult Very Easy Solutions of Initial-Value Problems Solutions of Algebra Problems Et begyndelsesværdiproblem er en ligning som indeholder en ukendt funktion og nogle af dens afledede. Man kender nogle startværdier dvs begyndelsesværdier for funktionen. Den ukendte funktion skal så bestemmes. Sådanne problemer dukker op i alle mulige sammenhænge. Laplace transformationen kan håndtere avancerede ting som partielle differentialligninger, hvor det er en funktion af flere variable vi leder efter, og systemer af koblede differentialligninger, hvor det er flere ukendte funktioner vi leder efter på en gang. Vi vil imidlertid som eksempel se på: Problem: Bestem funktionen f (t) som opfylder følgende ligning f (t) + k f (t) = g(t), hvor tallet k og funktionen g(t) er givet sammen med begyndelsesværdien f () for den ukendte funktion f (t). Man kan sagtens løse sådanne problemer uden Laplace transformen, men vi bruger det som eksempel. Vi vil desuden nøjes med at se på situationen hvor den kendte funktion g(t) består af summer og produkter af eksponentialfunktioner og polynomier. Laplace transformen laver begyndelsesværdiproblemet om til et simpelt algebraisk problem. Det kan let løses. Ved at invers Laplace transformere løsningen af det algebraiske problem finder man så funktionen f (t).!!

2 . Laplace transform af funktioner Definition: Laplace transformen af en funktion f (t) er defineret ved L( f (t)) = F(s) = f (t) e st dt hvis integralet eksisterer. Et sådant integral på et ubegrænset interval kaldes et uegentligt integral og betyder blot, at man integrerer op til et tal og bagefter lader gå mod uendeligt og ser om grænseværdien eksisterer f (t) e st dt = lim f (t) e st dt. Man bruger notationen F(s), men det må naturligvis ikke forveksles med den sædvanlige stamfunktion til f (t). Det er noget helt andet. Bemærk: - Udgangspunktet er en funktion f (t) der beskriver en udvikling som funktion af tiden. Begyndelsesværdien er f () og f (t) er værdien til tidspunktet t. - Der stilles ikke store krav til f (t) for at Laplace transformen er defineret. Det er nok, at f (t) er stykkevist kontinuert og ikke vokser hurtigere end alle eksponentialfunktioner. Det sidste kan formuleres ved at der skal findes tre konstanter T, M og a så der for t > T gælder at f (t) M e at. Man siger så, at f (t) er af eksponentiel type. Sætning : Laplace transformen af funktionen f (t) = t er F(s) = s 2, s >. Vi sætter ind i definitionen og bruger delvis integration: t e st dt = e st s t e st dt = e s s s + s e st dt = e s + s s e st s = e s e s + s s 2 s 2 år vi så lader vil både e s og e s gå mod nul blot tallet s er positivt. Dvs Laplace transformen af f (t) = t er defineret for positive s og er givet ved F(s) = s 2. Situationen er typisk for Laplace transformen. For en stykkevist kontinuert funktion f (t) af eksponentiel type vil Laplace transformen være defineret for s s for et eller andet fast tal s. 2

3 Ved samme metode som i sætning kan man ved gentagen brug af delvis integration vise: Sætning 2: Laplace transformen af f (t) = t er F(s) =! s + u et par opgaver, som skal løses ved at bruge definitionen af Laplace transformen: Opgave : Vis at Laplace transformen af f (t) = er F(s) =. s Opgave 2: Vis at Laplace transformen af funktionen f (t) = e at er F(s) = s a, s > a. Sammenhængen mellem resultaterne i opgave og 2 er ikke tilfældig. Tværtimod har vi: Sætning 3 Hvis Laplace transformen af f (t) er F(s), så vil Laplace transformen af e at f (t) være F(s a). Vi sætter blot ind i definitionen: e at f (t) e st dt = f (t) e (s a)t dt Vi får med en potensregneregel straks samme integral som definerer F(s) blot med tallet s a i stedet for s. Dvs = F(s a) Vi kan samle resultaterne om Laplace transformer af elementære funktioner i følgende tabel: f (t) t t 2 t e at e at t F(s) 2!! s s 2 s 3 s + s a (s a) + Bemærk at den sidste formel er sætning 3 anvendt på resultatet i sætning 2. Den indeholder alle de andre: år a = fås formlerne med t og når = fås formlen med e at. Vi får ikke brug for andre Laplace transformer i disse noter. 3

4 Linearitet: Man kalder en transformation som Laplace transformen for lineær, hvis den opfylder følgende to egenskaber: ) L( f (t) + g(t)) = L( f (t)) + L(g(t)) 2) L(k f (t)) = k L( f (t)). Sætning 4 Laplace transformen er lineær. Vi skal kontrollere, at den opfylder de to betingelser: L( f (t) + g(t)) = lim ( f (t) + g(t)) e st dt = lim ( f (t) e st dt + g(t) e st dt) = lim f (t) e st dt + lim g(t) e st dt = L( f (t)) + L(g(t)) og L(k f (t)) = lim k f (t) e st dt = lim (k f (t) e st dt) = k lim ( f (t) e st dt) = k L( f (t)) Bemærk, at vi i begge tilfælde sætter ind i definitionen og bruger en regneregel for bestemte integraler og derefter en regneregel for grænseværdier. Eksempel : Vi kan bruge lineariteten og tabellen på side 3 til at finde Laplace transformen af produkter og summer af polynomier og eksponentialfunktioner: f (t) = (7t + 5)e 2t 3e 4t + t 2 L((7t + 5)e 2t 3e 4t + t 2 ) = L(7te 2t + 5e 2t 3e 4t + t 2 ) = L(7te 2t + 5e 2t + ( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t + ( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t ) + L(( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t ) + L(( 3)e 4t ) + L(t 2 ) Vi har nu brugt den første linearitetsbetingelse til at dele op ved hvert led. år der er mere end to led skal vi blot bruge regnereglen flere gange. = 7 L(te 2t ) + 5 L(e 2t ) + ( 3) L(e 4t ) + L(t 2 ) Her brugte vi den anden linearitetsbetingelse til at flytte konstanterne udenfor. Til sidst slår vi blot Laplace transformerne op i tabellen: = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s 3 For at alle delene i udtrykket skal være defineret skal vi begrænse definitionsmængden til s > 4. F(s) = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s, s > 4. 3 Opgave 3: Find Laplace transformen af funktionerne f (t) = (3t + 5)(4e 3t + 2t) f 2 (t) = 3e 5t t 2 e 7t

5 2. Laplace transform af afledede Vi ønsker at se på sammenhængen mellem afledede og Laplace transformen. Antag, at vi har følgende udgangspunkt: f (t) er differentiabel og af eksponentiel type f () er begyndelsesværdien for f(t) hvor t er tiden F(s) er Laplace transformen af f (t) Der gælder så følgende sætning: Sætning 5: Laplace transformen af den afledede er givet ved L( f (t)) = s F(s) f (). Vi indsætter i definitionen og laver delvis integration: L( f (t)) = lim f (t) e st dt = lim( f (t) e st [ ] f (t) ( s)e st = lim( f ( ) e s f () + s f (t) e st dt) Bemærk nu, at da f(t) er af eksponentiel type findes der tre konstanter T, M og a så der for t > T gælder at f (t) M e at Hvis er større end dette tal T har vi derfor vurderingen f ( ) e s = f ( ) e s M e a e s = M e (a s) som viser, at for s større end dette tal a, vil udtrykket være mindre end en aftagende eksponentiel funktion, så lim f ( ) e s =. For s > a kan vi derfor fortsætte udregningen: L( f (t)) = lim( f ( ) e s f () + s = f () + s lim = s F(s) f (). f (t) e st dt) f (t) e st dt = f () + s F(s) dt) Eksempel 2 Betragt funktionen f (t) = t Vi udregner L( f (t)) dels direkte og dels ved hjælp af sætning 5. Direkte: L( f (t)) = L(2t) = 2 L(t) = 2 s = 2 2 s 2 Med sætning 5: L( f (t)) = s L( f (t)) f () = s (L(t 2 ) + 7 L()) f () = s ( 2 s s ) (2 + 7) = 2 s = 2 s 2 5

6 3. Den inverse Laplace transform Definition: Hvis Laplace transformen af f (t) er F(s) siger vi, at den inverse Laplace transform af F(s) er f (t) og skriver L (F(s)) = f (t). Sætning 6: Den inverse Laplace transform er lineær. Vi skal igen kontrollere, at de to linearitetsbetingelser er opfyldt: L (F(s) + G(s)) = L (L( f (t)) + L(g(t))) = L (L( f (t) + g(t))) = f (t) + g(t) = L (F(s)) + L (G(s)) og L (k F(s)) = L (k L( f (t)) = L (L(k f (t))) = k f (t) = k L (F(s)) Bemærk, at vi i begge tilfælde først bruger, at Laplace transformen er lineær, og derefter bruger, at L (L( f (t))) = f (t). Eksempel 3 Vi benytter samme funktioner som i eksempel men ønsker at finde f(t) som den inverse Laplace transform af F(s): F(s) = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s, s > 4. 3 Vi får så: f (t) = L (F(s)) = L (7 (s 2) s 2 + ( 3) s s ) 3 = 7 L ( (s 2) ) L ( s 2 ) + ( 3) L ( s 4 ) + L ( 2 s ) 3 = 7 te 2t + 5 e 2t 3 e 4t + t 2 år F(s) er udtrykt som en sådan sum af kendte Laplace transformer fra tabellen, kan vi altså let finde f(t) ved at bruge lineariteten af den inverse Laplace transform. Opgave 4: Find den inverse Laplace transform af funktionerne F (s) = 3 s s 8 2 (s ) 3 F 2 (s) = 2s4 + 6s 24 s 4 (s 4) = 2 s s 4 6

7 4. Begyndelsesværdiproblemer Vi ønsker nu at kunne løse begyndelsesværdiproblemer på formen Problem: Bestem funktionen f (t) som opfylder følgende ligning f (t) + k f (t) = g(t), hvor tallet k og funktionen g(t) er givet sammen med begyndelsesværdien f () for den ukendte funktion f (t). Metoden vi vil bruge er som illustreret på side følgende: - Vi Laplace transformerer ligningen så vi får en algebraisk ligning der indeholder F(s) i stedet for f(t). - F(s) kan meget let isoleres i ligningen. - Vi finder så løsningen f(t) ved at invers Laplace transformere F(s). Lad os illustrere metoden med et konkret eksempel: Eksempel 4: Vi ønsker at løse begyndelsesværdiproblemet f '(t) 2 f (t) = 3 6t f () = Vi Laplace transformerer ligningen L( f '(t) 2 f (t)) = L(3 6t) L( f '(t)) 2L( f (t)) = 3L() 6L(t) (sf(s) ) 2F(s) = 3 s 6 s 2 Vi har nu en algebraisk ligning som kun indeholder F(s) og ikke f(t). Vi isolerer så bare F(s) (sf(s) ) 2F(s) = 3 s 6 s 2 (s 2)F(s) = 3 s 6 s 2 + = s2 + 3s 6 s 2 F(s) = s2 + 3s 6 s 2 (s 2) Bemærk at højresiden blev sat på fælles brøkstreg med fællesnævneren som i dette tilfælde var s 2. Vi mangler nu blot at bestemme f (t) = L (F(s)) = L ( s2 + 3s 6) s 2 (s 2) ) For at gøre det mangler vi at omskrive udtrykket for F(s) til en sum af kendte udtryk fra tabellen side 3. Det gør man ved at lave en såkaldt partialbrøksdekomposition af polynomiumsbrøken F(s) : 7

8 F(s) = s2 + 3s 6 s 2 (s 2) = A s 2 + B s + C s 2 Bemærk at nævnerpolynomiet skal være faktoriseret, og at man har brug for alle led op til den potens en faktor optræder med. Dekompositionen har lige så mange ukendte konstanter som graden af nævnerpolynomiet. Vi tænker på F(s) som en sum af nogle simplere brøker, der blot er sat på fælles brøkstreg. ævneren i F(s) er så fællesnævneren og fortæller os derfor hvordan disse simplere brøker kan se ud. Vi skal nu bestemme konstanterne A,B og C så lighedstegnet gælder: Vi ganger med nævnerpolynomiet på begge sider af lighedstegnet s 2 + 3s 6 = As 2 + Bs(s 2) + C(s 2) ganger højresiden ud s 2 + 3s 6 = (A + B)s 2 + (C 2B)s + ( 2C) og kan så bestemme konstanterne ved at løse ligningssystemet bestående af de 3 ligninger med 3 ubekendte man får ved at sammenligne koefficienterne: 2C = 6 C = 3 C 2B = 3 3 2B = 3 B = A + B = A + = A = Det er naturligvis ikke altid det går så let med at løse ligningerne som her, men man kan f.eks. altid bruge substitutionsmetoden: Hvis man isolerer en af konstanterne i en af ligningerne og indsætter udtrykket i de øvrige ligninger, så er problemet reduceret til 2 ligninger med 2 ubekendte osv. Vi har altså f (t) = L (F(s)) = L ( s2 + 3s 6) s 2 (s 2) ) = L ( s s ) 2 = L ( s 2 ) + 3 L ( s ) = 2 e2t + 3t Opgave 5: Løs begyndelsesværdiproblemet f (t) 5 f (t) = t +7 f () = 2 med Laplace transformen. Opgave 6: Løs begyndelsesværdiproblemet f (t) 4 f (t) = e 4t 2t 5 f () = 2 med Laplace transformen. 8

9 Opgave 7: Forbered en fremlæggelse af følgende eksempel på et mundtligt eksamensspørgsmål: Laplace transformen Definer Laplace transformen og redegør for nogle af dens egenskaber. Giv herunder et bevis for formlen for Laplace transformen af funktionen f (t) = t og kom ind på anvendelsen af Laplace transformen i forbindelse med begyndelsesværdiproblemer. Opgave 8: Løs følgende temaopgave om afkøling af kaffe i en kop: Temaopgave: Modellering af afkøling i en kop år en ting er varmere end omgivelserne vil den gradvist blive afkølet. Temperaturfaldet målt i grader pr. minut er stort, hvis der er en stor temperaturforskel til omgivelserne, og bliver mindre og mindre jo tættere man kommer på omgivelsernes temperatur. Vi antager, at der gælder følgende: ewtons afkølingslov: Hastigheden hvormed et objekt afkøles er proportional med temperaturforskellen til omgivelserne. Vi ønsker at modellere afkølingen af kaffe i en kop. Det er klart, at hastigheden af afkølingen, og dermed proportionalitetsfaktoren, må afhænge af, hvor godt varmeisoleret koppen er. Opgave: Det oplyses, at temperaturen af kaffen i en kop til at begynde med er 92 grader. Kaffen står i et lokale, hvor temperaturen er 2 grader. Efter 5 minutter er temperaturen faldet til 85 grader. Opstil en model for afkølingen med ewtons afkølingslov og løs det derved fremkomne begyndelsesværdiproblem med Laplace transformen. Bestem derefter temperaturen af kaffen 25 minutter efter den var 92 grader, og bestem desuden hvor lang tid der går fra den var 92 grader til dens temperatur er faldet til 5 grader. Illustrer afkølingen grafisk, så man kan følge, hvordan temperaturen af kaffen gradvist nærmer sig stuetemperaturen på 2 grader.! 9!

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Laplace transformationen

Laplace transformationen MODUL 6 Laplace transformationen Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN 24. juni 214 2 Indhold 1 Laplace transformationen 5 1.1 En lineær transformation.............................. 7 1.2

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College. Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Lektion 8 Differentialligninger

Lektion 8 Differentialligninger Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Lektion 7 Eksponentialfunktioner

Lektion 7 Eksponentialfunktioner Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj - juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 414 Københavns VUC Hfe Matematik B Tom Juul

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere