Mængdelære og kategoriteori Anders Kock
|
|
- Helle Steffensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Mængdelære og kategoriteori Anders Kock Opsummering: teorien for kategorien af mængder er realistisk grundlag for matematik i (begyndelsen af) det 21. århundrede. Jeg er blevet bedt om at sige noget om Matematikken i det 21. århundrede, og det er jo en stor mundfuld. Men jeg kan pege på nogen tendenser. Jeg vil tage udgangspunkt i nogen de oplæg m.v. som kurset iøvrigt indeholder, nemlig de, der vedrører krisen i matematikkens grundlag i midten af det 20. århundrede. Min påstand er, at matematikkens hovedstrøm har lagt denne krise bag sig; at krisen skyldtes, at matematikkens filosofi havde malet sig op i et hjørne, ved at følge det kompas, der hedder reduktionisme, og havde isoleret sig fra den virkelige matematik. Ved sorg og selvskabt plage/ du intet retter ud... To af den selvskabte plages teser: 1. Matematik består af (kan reduceres til) beviselige udsagn i formaliserede teorier. 2. én bestemt formaliseret teori kan gøre det ud for alle, nemlig den aksiomatiske mængdelære, som formaliseret af (bl.a.) Zermelo og Fraenkel (ZF) ( det kumulative hierarki ). Synspunkt 1) fik sit et radikalt udtryk i Hilberts skrifter fra 1920 erne; det havde en vis positiv betydning ved udviklingen af teoretisk datalogi, men er et fortegnet billede af matematik som helhed. Synspunkt 2) havde et positivt udgangspunkt, nemlig at mængdelære er et forenende synspunkt for mange af matematikkens grene, og at en aksiomatisering af mængdelæren derfor er ønskelig. Men de aksiomatiseringer, (f.eks. ZF eller GB), der blev opstillet i 1920 erne og 30 erne, havde ringe kontakt med den praktiserede matematik, og deres kanonisering har været en forsinkende faktor i udviklingen af en realistisk aksiomatisk mængdeteori. For matematikkens udvikling over de sidste hundrede år har den selvskabte reduktionistiske plage haft den effekt, at der har manglet et tilstrækkelig realistisk grundlag som fælles reference og vejviser for matematikken; det er en lidelse, som er ved at være overvundet. Jeg skal specielt referere til Lawvere s synspunkter, der igen videreudvikler synspunkter af Eilenberg 1
2 og Mac Lane, Grothendieck og mange andre, og hvor en fælles overskrift er kategori-teori. Ad 1) Beviser udtømmer ikke matematikkens væsen. Spørgsmål som begrebsdannelse, forståelse, analogi, diagrammer, og billed-dannelse kan ikke reduceres til spørgsmål om beviser. (Og begrebet bevis er ikke givet en gang for alle, men ændrer sig over tid. Heller ikke begrebet logik er fast. Hver problemkreds definerer sin egen logik. 1 ) Formaliserede beviser, som drømt af Hilbert, har aldrig kunnet erstatte beviser som vi faktisk bruger dem, hverken som garanti for sikkerhed, eller som forklaring af hvorfor et sagsforhold er som det er, eller hvorfor et bestemt matematisk begreb skaber forståelse og klarhed. Eksempel: Descartes indførte det kartesiske produkt af to mængder (tal-linier), og var derved i stand til at give forståelse, og billed-dannelse til rent analytiske ting (repræsentation af en funktion ved sin graf). Hvad er der at bevise? Men kartesisk produkt og grafisk fremstilling er fundamentalt i matematik, og i dagens avis (f.eks. temperaturkurver). Mere om kartesisk produkt senere. En anden vigtig fremgangsmåde i matematisk begrebsdannelse og bevisførelse er analogi; formelle beviser tænker ikke i analogi-baner; men analogi kan ofte formuleres ved en explicit matematisk teori, der frugtbart og rigoristisk kan overføre ideer, begreber, og sætninger fra et matematisk område til et andet. Kategori-teori er historisk opstået som en teori for sådan transport af ideer, som f.eks. Eilenberg-Steenrod s Foundations of Algebraic Topology 2 fra ( Transport har fra dette synspunkt ofte form af en funktor fra en kategori til en anden, i Eilenberg-Steenrod er Homologi således en funktor fra kategorien af topologiske rum til kategorien af abelske grupper.) Ad 2) Mængdelære (ogsåkaldet naiv mængdelære, eller Cantor sk mængdelære) kan aksiomatiseres på en måde, der afspejler matematikkens praksis ( ETCS ([5]), se nedenfor); den kan også aksiomatiseres på en måde, der ikke afspejler praksis, men som uheldigvis i næsten 100 år har monopoliseret hvad mængdelære er; det er ZF og dens slægtninge. ETCS sætter, belært af kategoriteori, begrebet afbildning mellem mængder X Y som det centrale primitive begreb, mens ZF sætter epsilon relationen mellem mængder, x X, som det centrale. Populært udtrykt, 1 Den logik, der er relevant for kategorier af kohesive mængder, er ikke booles sk, men intuitionistsik, se f.eks. [4]. 2 Læg mærke til ordet Foundations 2
3 ETCS beskæftiger sig med mængders udadvendthed eller sociologi, mens ZF kigger på mængders anatomi, hvad er indmaden af X. Bogen Sets for Mathematics [6] giver aksiomatikken for ETCS (herunder som et af de førtste aksiomer, kartesisk produkt), og nogle umiddelbare anvendelser i matematik (deraf bogens titel). Hvad angår ZF, skal jeg ikke polemisere udførligt her, men overlade til læseren at filosofere over karakteren af følgende udsagn om tal: 2 N (1) N R (2) 2 4 (3) Den uhildede matematiker vil sandsynligvis svare: (1) er rigtig; (2) er rigtig, med den sædvanlige indlægning af N i R ; og for (3) vil svaret fornuftigvis være det var dog et mærkeligt spørgsmål, mens ZF vil svare, ja, under visse omstændigheder (nemlig under den omstændighed, at vi lader 2 og 4 betegne von Neumann ordinaltal). Men eftersom 2 og 4 er gamle og fundamentale matematiske størrelser, og hvis hvirkelig er relationen hvorpå hele mængdeteorien, og dermed matematikken, bygger, så er det da lidt svagt, at vi ikke kan få et entydigt svar på om hvorvidt 2 4? Problemet er, at ZF s grundbegreber ikke er isomorfi-invariante. ETCS aksiomerne for kategorier S af variable og kohesive mængder (elementære toposer): en kategori S fortjener navn af elementær topos, eller en kategori af (variable og/eller kohesive) mængder, hvis den er kartesisk lukket, og har en delobjekt-klassifikator. Teorien er, fra et logisk synspunkt, en elementær, dvs. første-ordens, teori, lige som ZF deraf navnet elementær topos. Der er en to-sortet teori: de to sorter er objekter og pile ( mængder og afbildninger ). Ofte har man brug for et uendelighedsaksiom ; endelig kan man tilføje booleske aksiomer, og hvis de er opfyldt, er S en kategori af abstrakte mængder (i [2] blot omtalt som kategorien af mængder ). Med formuleringer stort set som i [6] er aksiomerne 1. S er en kategori 2. S har endelige kartesiske produkter og equalizere. Specielt har S nullært kartesisk produkt, dvs. et terminalobjekt 1. En morfi x : 1 X, hvor X S er et vilkårligt objekt, kaldes et element i X (og man skriver x X). (Se også Bemærkning nedenfor.) 3. S har exponentiation. 3
4 Disse tre aksiomer definerer begrebet kartesisk lukket kategori (med equalizere). (Exponent-objekt Y X : der er givet er en naturlig bijektiv korrespondance mellem afbildninger Z Y X og afbildninger Z X Y.) 4. S har en delobjekt-klassifikator Ω. Delobjekt-klassifikator er, i lidt løs formulering, et objekt Ω med et udvalgt element t : 1 Ω, så at for enhver monomorf afbildning A A i S findes præcis én afbildning ( karakteristisk funktion ) α : A Ω så at α 1 (t) = A. Ideen er velkendt i det booleske tilfælde, se kommentaren til Boolesk nedenfor. Aksiomerne 1-4 definerer begrebet elementær topos. Alle de indgående begreber er invariante under isomorfi, i en vis præcis forstand. En kategori af abstrakte (eller diskrete, eller konstante) mængder er en elementær topos S, som yderligere opfylder, at den er 5. boolesk, 6. 2-værdiet, 7. opfylder udvalgs-aksiomet, 8. og opfylder uendelighedsaksiomet : der findes et Peano-Lawvere objekt N, de naturlige tal.. Boolesk betyder, at loven om det udelukkede tredie gælder: gitteret af delobjekter af et vilkårligt objekt er en boolesk algebra. Det kan vises at være ækvivalent med, at Ω er disjunkt sum af to elementer 1 Ω, som passende benævnes true og false. Man kan tænke på disse elementer som de, der udgør hvad en datalog ville kalde datatypen boole. 2-værdiet betyder, at delobjekt-gitteret af 1 har præcis to elementer, (1 1 og 1). Udvalgs-aksiomet udsiger, at enhver epimorfi splitter. (Det kan vises, at det medfører boolesk.) Et Peano-Lawvere objekt er et objekt ( mængde ) N udstyret med et udvalgt element 0, og en efterfølger- funktion σ : N N, og som er universelt med denne struktur; dermed er et sådant objekt entydigt bestemt op til entydig bestemt isomorfi Bemærkning. For en elementær topos S er det ikke i almindelighed rigtigt, at objekter X har tilstrækkelig mange elementer. At X har tilstrækkelig mange elementer betyder, at hvis to afbildninger X Y stemmer overens på alle elementer x : 1 X, så er afbildningerne ens. Man siger også toposen er well-pointed ( point = element ), eller ([5]) at 1 er en generator for S. (Betingelsen er en analog til den -baserede mængdelæres extensionalitets-aksiom.) For sådanne toposer er Aksiomerne 5 og 6 automatisk opfyldt. En kategori af abstrakte mængder er altid well-pointed. 4
5 ETCS er teorien for kategorier S, der opfylder de nævnte aksiomer 1-8 for abstrakte mængder ; det er en 1.ordens teori, og den bevisteoretiske styrke af den er ækvivalent med (en vis svag version af) ZF/ZFC. De to teorier kan interpreteres i hinanden, se [9] for detaljer og polemik, og for [7] VI.10 for en konkret beskrivelse af de gensidige interpretationer. Her er Lawvere og Rosebrugh s sammenfatning i forordet til lærebogen Sets for Mathematics 2003 [6] (min oversættelse): Mængdelære, forstået som algebraen for afbildninger, [er]... et forenende grundlag for avancerede matematiske områder som algebra, geometri, analyse og kombinatorik. Formelt tages udgangspunkt i generelle aksiomer som udtrykker universelle egenskaber ved summer, produkter, afbildningsmængder, og rekursion over de naturlige tal. De særlige kendetegn ved Cantor ske abstrakte mængder, i modsætning til de variable og kohesive mængder i geometri og analyse, gøres explicitte og tages som specielle aksiomer. (p. i) (De særlige kendetegn ved abstrakte mængder er aksiomerne 5-8.) Denne bog er for studerende, der tager fat på et studium af avancerede matematiske områder som algebra, geometri, analyse og kombinatorik. Et brugbart grundlag for disse emner når man frem til ved åbent at udpege og studere hvad de har tilfælles. En væsentlig del af hvad der er fælles for alle disse emner blev gjort explicit for 100 år siden af Richard Dedekind og Georg Cantor, og en anden væsentlig del for 50 år siden af Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane. Den resulterende idé om kategorier af mængder er hovedemnet for denne bog. (p. ix) Læg mærke til flertalsformen: kategorier. Det, der f.eks. i [2] omtales, i bestemt form, som kategorien af mængder, omtales i [6] som kategorien af abstrakte mængder, i modsætning til kategorier af kohesive og variable mængder. Sådanne omtales i [2] som de mange kategorier (specielt toposer), der opstår i matematisk praksis, jvf. oprindelsen i algebraisk geometri (Grothendieck et al. ca 1960). Kategorien af topologiske rum forsøger at være en kategori af kohesive mængder (kohesionen her udtrykt ved topologi/kontinuitet); det lykkes ikke helt, da den mangler exponentdannelse (funktionsrum) Y X med den krævede universelle egenskab. Kategorien af simplicialkomplekser (simplicielle mængder) er derimod en kategori af kohesive mængder, i den betydning der sigtes til i ovenstående citat. Andre eksempler er visse kategorier af glatte mængder, hvor 5
6 kohesionen ikke er kontinuitet, men differentiabilitet. Det er i kategorier af mængder med denne form for kohesion at syntetisk differentialgeometri (SDG) kan udvikles, som i f.eks. [1] eller [3], og omtalen i [10] af SDG som et mængdeteoretisk grundlag for dele af matematik. For kategorier af kohesive mængder forventer man ikke at f.eks. udvalgs-aksiomet gælder. Udvalgs-aksiomet i kategoriteoretisk formulering udtrykker: enhver epimorfi splitter ( vælg et element i hver fiber ; men f.eks. i kategorien af topologiske rum vil et sådant valg ofte bryde kohesionen (dvs. have diskontinuiteter), dvs. det vil ikke findes i kategorien: et fiber-bundt har ikke nødvendigvis en (kontinuert) sektion). Man forventer heller ikke loven om det udelukkede tredie i en kategori af kohesive mængder; i kategorier af glatte mængder, f.eks., hører det ikke hjemme, se f.eks. [4] s. 1. Selvom afbildninger mellem mængder spillede en vigtig rolle allerede hos Cantor (f.eks. til definition af begrebet ækvipotens af mængder), var tiden ikke helt moden til at sætte afbildningsbegrebet i centrum; dette synspunkt blev først fuldmodent i løbet af det 20. århundrede. Fra [6] citeres: Hundrede års erfaring siden Cantor har vist vigtigheden af at understrege betydningen af ting som: (1) Enhver afbildning har brug for både et explicit område, og et explicit ko-område (ikke blot et område, som i tidligere formuleringer af mængdelære, og ikke blot et ko-område, som i type-teori). (2) Delmængder er ikke blot mængder med en særlig egenskab, men med en explicit inklusions-afbildning. (3) Algebraen for komposition tilfredsstiller de velkendte associativitets-og identitets-love.... (4) Fordi funktionaler spiller en sådan nøglerolle i matematik, må algebraen styrkes explicit ved indførelse af evaluerings-afbildninger og inducerede afbildninger. Her beskriver (1) og (3) tilsammen, at århundredet siden Cantor har lært os at afbildninger mellem mængder udgør en kategori (Kategoribegrebet skyldes Eilenberg og Mac Lane, ca. 1945, og var ikke til rådighed for Cantor, eller Zermelo.) Understregningen i (2) er f.eks. relevant ved det tidligere stillede spørgsmål: er N R? eller det analoge, er R C? F.eks. for det sidste spørgsmål R C? vil matematisk praksis svare, ja, idet vi identificerer det reelle ral r med det komplekse tal (r, 0) ; m.a.o. vi besvarer spørgsmålet bekræftende ved angivelse af en explicit afbildning R C, og ikke ved at 6
7 forsøge at vise r R r C, som er den -baserede mængdelæres fortolkning af spørgsmålet. Der refereres i (4) til den kartesisk-lukkede struktur (exponentiation): afbildnings- eller funktionsmængden Y X. Elementerne 1 Y X er i bijektiv korrespodance med afbildningerne X Y. Evalueringsafbildningen er en afbildning Y X X Y; den evaluerer en funktion f Y X på et argument x X, dvs. returnerer f (x) Y. Betragtning af funktionsrum er også en erfaring, som, så vidt jeg kan skønne, først blev vidt udbredt i matematikkens praksis i løbet af første halvdel af 20.århundrede (funktional-analyse). Fra ord-leksikonet i slutningen af [6] (min oversættelse): Mængdelære, aksiomatisk: Brugen af den aksiomatiske metode til at explicitere de grundlæggende generelle træk ved anvendelsen af mængdelære til studiet af matematiske emner, blev forsinket i det meste af det tyvende århundrede på grund af et forsøg på at popularisere et vist filosofisk synspunkt; ifølge dette synspunkt skulle fællesmængden af to urelaterede mængder have en vel-defineret mening. Dette i modsætning til det fænomen man ser i praksis, nemlig at inklusioner, og mere generelt, relationer mellem mængder, kommer til veje ved specifikke afbildninger. Beskrivelsen af dette kumulative hierarki blev af nogle betragtet som den eneste mulige form af formaliseret mængdelære. Mængdelære, naiv: En vis samling af mængdeteoretiske metoder og resultater er nødvendig for at lære og udvikle analyse, geometri og algebra. På grund af den uanalyserede tiltro til, at denne samling ikke kunne blive gjort logisk præcis uden det kumulative hierarki og global inklusion, blev det almindeligt at beskrive den på en ikkeformel måde, kendt under navnet naiv mængdelære (Halmos 1960). En af formålene med nærværende bog er at komme ud over denne opdeling mellem naive og aksiomatiske aspekter, ved at give formelle aksiomer, som er tilstrækkelige til at beskrive de anvendbare aspekter af mængdelære, som er blevet udviklet af Dedekind, Hausdorff og deres mange efterfølgere. Et simpelt eksempel på en kategori af mængder med kohesion er kategorien af reflexive symmetriske grafer; hvis to hjørner er forbundet med en kant, kan vi kalde dem naboer. 7
8 Aksiomatikken for SDG (se [4]) er forenelig med konstruktiv naiv mængdelære; en kategori S, der opfylder ETCS og er udstyret med en kommutativ ring R ( tal-linie ), der opfylder KL (se [4]), kan opfattes som en kategori af glatte (differentiable) mængder, dvs. af mængder med en kohesiv struktur, der afspejler egenskaber ved kategorien af differentiable mangfoldigheder. Glatte mængder, dvs. objekter i en sådan S, R, har specielt en naturlig graf-struktur, nabo-relationen, der er reflexiv og symmetrisk (men ikke transitiv), og som bevares af alle afbildninger. Ved hjælp af denne form for nabo -kohesion bliver det muligt at få en tættere sammenknytning mellem begreber og billeder (figurer), f.eks. for differentialgeometriske begreber som affin konnektion, eller infinitesimal paralleltransport, se [4]; der er match mellem billede og begreb. Kommenteret litteraturliste Ovenstående tekst forudsætter kendskab til enkelte grundlæggende begreber i kategori-teori: objekt, morfi, funktor mellem to kategorier, kartesisk produkt A B i en kategori (A B givet ved en vis universel egenskab). Bogen [6] er en venlig og langsom indføring i kategorien af mængder (bedre: kategorier af mængder), og dermed er det også en indføring i teorien for (elementære) toposer, som et grundlag for mange dele af matematikken. Værket [5] er det banebrydende arbejde; det er genoptrykt i digital form og kan hentes på nettet. Genoptrykket er forsynet med kommentarer af Lawvere og McLarty. Andre, mere vidtgående fremstillinger af topos teori, er [8] og [7]. Der er også nogen referencer til nogle af mine ting om syntetisk differentialgeometri, idet de kategorier, der er modeller for SDG aksiomatikken, er nogle af de vigtige motiverende eksempler på kategorier af kohesive mængder. De kan alle hentes (i beta-versioner) på min hjemmeside (adresse nedenfor). Essayet [2] er fra en lignende begivenhed som dette kursus, og har en del overlap med det. Foredraget [4] er medtaget i kompendiet her. Det er et inviteret foredrag til en konference i pattern recognition (Montreal 2009) og har introducerende karakter; det er beregnet på at være let læst, og motiverende! McLarty s artikler [9] og [10] er meget præcise polemiske indlæg i den matematik-filosofiske debat om kategorier af mængder vs ZF; herunder om SDG som et grundlag bestående af glatte (ikke-abstrakte) mængder. Også nogle af de øvrige artikler i bibliografien nedenfor kan (august 2010) hentes på nettet: [5]: [9]: [10]: Min hjemmeside: 8
9 References [1] A. Kock, Synthetic Differential Geometry, London Math. Society Lecture Notes Series No. 51, Cambridge University Press 1981; 2. udgave London Math. Society Lecture Notes Series No. 333, Cambridge University Press [2] A. Kock, Kategori-teori og matematikkens grundlag, Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi Nyhedsbrev No. 4, (Rettet genoptryk på min hjemmeside.) [3] A. Kock, Synthetic Geometry of Manifolds, Cambridge Tracts in Mathematics No. 180, Cambridge University Press [4] A. Kock, Affine connections, and midpoint formation, in S. Brlek, C. Reutenauer and X. Provencal (Eds.) Discrete Geometry for Computer Imagery, 15th IAPR International Conference, Montreal 2009, Springer Lecture Notes in Computer Science [5] F.W. Lawvere, An elementary theory of the category of sets (long version), 1963, reprinted with commentary by C. McLarty and the author, in Reprints in Theory and Applications of Categories No. 11 (2005), [6] F.W. Lawvere og R. Rosebrugh, Sets for Mathematics, Cambridge University Press [7] S. Mac Lane og I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, Springer Universitext [8] C. McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Oxford Logic Guides No. 21, Oxford [9] C. McLarty, Exploring Categorical Structuralism, Philosophia Mathematica (III) 12 (2004), [10] C. McLarty, Learning from Questions on Categorical Foundations, Philosophia Mathematica (III) 13 (2005), Anders Kock Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet August 2010 kock@imf.au.dk 9
Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mere- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Syntetisk differentialgeometris grundlæggelse i kategoriteori Lasse Grinderslev Andersen Juni 2010 nr. 471-2010 Roskilde University, Department of Science, Systems and
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereISSN 1398-0165. Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi. Nyhedsbrev. Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd
ISSN 1398-0165 Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi Nyhedsbrev Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd Nummer 4 September 1998 Indhold 1) Fra redaktionen 1 2) Anders Kock: Kategori-teori, og
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mereHvad vil videnskabsteori sige?
20 Ubehjælpelig og uvederhæftig åndsidealisme Hvad vil videnskabsteori sige? Et uundværligt svar til de i ånden endnu fattige Frederik Möllerström Lauridsen Men - hvem, der ved et filosofisk spørgsmål
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereTypes, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi
Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereOm brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling
Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDansk/historie-opgaven
Dansk/historie-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 OPGAVENS OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.1 FORSIDE... 2 2.2 INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 2.3 INDLEDNING... 2 2.4
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning
Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin
Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereER-modellen. Databaser, efterår Troels Andreasen. Efterår 2002
Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereFremstillingsformer i historie
Fremstillingsformer i historie DET BESKRIVENDE NIVEAU Et referat er en kortfattet, neutral og loyal gengivelse af tekstens væsentligste indhold. Du skal vise, at du kan skelne væsentligt fra uvæsentligt
Læs mereSIMPLE OPGAVER GØR MATEMATIK SVÆRERE
SIMPLE OPGAVER GØR MATEMATIK SVÆRERE Gennem tre årtier er sproget i de engelske eksamensopgaver i matematik ændret, så sætningerne nu er kortere, der er færre fagudtryk, og der bliver brugt færre matematiske
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereStuderende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.
Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: 27.06.02 Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereIndhold. Dansk forord... 7
Indhold Dansk forord........................................... 7 Kapitel 1: Hvad er positiv motivation?...................... 13 Kapitel 2: Forståelse af motivationens hvorfor og hvad : introduktion til
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereSeminaropgave: Præsentation af idé
Seminaropgave: Præsentation af idé Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Dagsorden Opsamling på kausalmodeller Seminaropgaven: Praktisk info Præsentation Seminaropgaven: Ideer og råd Kausalmodeller
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mere1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2
SRO-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2 2.1 OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.2 FORSIDE... 2 2.3 INDHOLDSFORTEGNELSE... 3 2.4 INDLEDNING...
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereDe skriftlige eksamensgenrer i engelsk
De skriftlige eksamensgenrer i engelsk Stx A og Hf A Man skal skrive et essay på 900-1200 ord, som altid tager udgangspunkt i en tekst. Der er 2 opgaver at vælge imellem, en om en skønlitterær tekst og
Læs mereMatematik 3GT. Topologi. Christian Berg
Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBeregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Læs mereXM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks
Læs mere3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.
3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.
Læs mereKompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin
Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereMatematik og målfastsættelse
Matematik og målfastsættelse Målfastsættelse, feedforward og evaluering i matematik, oplæg og drøftelse 1 Problemløsning s e k s + s e k s t o l v 2 Punkter Målfastsættelse af undervisning i matematik
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mere