Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber

Transkript

1 Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Jeg har brugt flere kilder til det følgende. Selvfølgelig Liboff, men også Zettili,N: Quantum Mechanics, Concepts and Aplications Wiley, 001, Woan, G: The Cambridge Handbook of Physics Formulas Cambridge, 000 og Phillips, A.C.: Introduction to Quantum Mechanics Wiley, 003. Desuden også Sakurai og en note om Sjov med tensorer af m og m. Hvis du finder fejl - og der er med garanti næsten lige så mange som i Liboff - eller har andre kommentarer hører jeg meget gerne om det. Send mig en mail, så det kan blive forbedret. På forhånd tak! - og tak til Michael B for at finde fejl og komme med forslag til forbedringer!

2 INDHOLD Indhold 1 Operatorer Definition Operatoralgebra Vigtige operatorer Cartesiske koordinater Sfæriske koordinater Kommutatorer 7.1 Definition Kommutatoralgebra Vigtige kommutatorer Usikkerhedsrelation Egenskaber Diracnotation Definitioner Algebra Sandsynlighed mm Usikkerhedsrelationer Sandsynlighed Middelværdi og spredning Postulaterne 11 6 Schrödinger og stationære tilstande 11 7 Spektrumtyper dimension Specifikke problemer dimension Potentialtrin Potentialbarriere Uendelig brønd Endelig brønd Harmonisk oscillator dimensioner Impulsmoment, spherical harmonics Kartesiske koordinater Sfæriske koordinater Fri partikel

3 INDHOLD Sfærisk æske Hydrogenlignende atomer Spin Specielle funktioner Hermitiske polynomier Legendrepolynomier Sfæriske Besselfunktioner Fra Fysik31 for os aber 1.1 Tensorer Udtrykt ved stedkoordinater Stedkoordinater udtrykt ved tensorer Udvalgsregler Perturbationsteori Statisk, ikke degenereret Statisk, degenereret Tidsafhængig

4 1 OPERATORER 4 1 Operatorer 1.1 Definition Matematisk regel, der transformerer en ket til en anden ket fra samme rum ditto for bra:  ψ = ψ, φ  = φ 1. Operatoralgebra Generelt gælder  ˆB ˆB  ˆBĈ =  ˆBĈ =  ˆBĈ Ân  m = Ân+m  ˆB ψ =  ˆB ψ Hvis  er lineær gælder Âa 1 ψ 1 +a ψ = a 1  ψ 1 +a  ψ og ψ 1 a 1 + ψ a  = a 1 ψ 1  + a ψ  Middelværdien af en operator med hensyn til en tilstand ψ er givet ved ψ  ψ φ ψ er en lineær operator ψ  og  ψ er forbudte udtryk Der gælder ψ  φ = φ  ψ aâ = a   =   + ˆB =  + ˆB  ˆB = ˆB  Ân =  n  ˆB ψ = ψ ˆB   er hermitisk hvis  =  dvs. ψ  φ = φ  ψ  er antihermitisk skævhermitisk hvis  =   er en projektionsoperator hvis  =  hermitisk og  = Â. Produktet af to projektionsoperatorer er en projektionsoperator men det samme gælder normalt ikke for summen

5 1 OPERATORER 5 Enhedsoperator Position Impuls Kinetisk energi Hamilton Impulsmoment 1.3 Vigtige operatorer Cartesiske koordinater Î : Î ψ = ψ ˆX n = x n 1 dimension, ˆR = r i 3 dimensioner ˆP n x = i n n x n ˆT = m x Ĥ = m + ˆV r = m 1 dimension, ˆP = i i 3 dimensioner ˆV r x y z For harmonisk oscillator i 1 dimension: Ĥ = 1 ˆP + m ω m ˆX = ω ˆp + ˆq = ω ˆN + 1 ˆ L = i ˆR ˆL x = Ŷ ˆP z Ẑ ˆP y = i Ŷ Ẑ z y ˆL y = Ẑ ˆP x ˆX ˆP z = i Ẑ ˆX x z ˆL z = ˆX ˆP y Ŷ ˆP x = i ˆX Ŷ y x ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Paritet Gradient Laplace Dimensionsfri ˆPψ r = ψ r ˆP r = r ψ r = ψ x i + ψ y j + ψ z k ψ = ψ = ψ x ˆp = ˆP m ω + ψ y + ψ z ˆq = ˆX mω/ Stigeoperatorer â = 1 ˆq + iˆp â = 1 ˆq iˆp ikke-hermitiske â n = n n 1 â n = n + 1 n + 1

6 1 OPERATORER 6 ˆX = â+â β ˆP = mω 0 i â â β Tal-operator Sænke- og hæveoperator occupation number operator: ˆN = â â ˆN n = n n Ĵ ± = Ĵx ± iĵy Ĵ x = 1 Ĵ+ + Ĵ Ĵ y = 1 i Ĵ+ Ĵ Ĵ = Ĵ+ 1 Ĵ + Ĵ Ĵ+ + Ĵ z Ĵ j, m = jj + 1 j, m Ĵ z j, m = m j, m, j m j Ĵ ± j, m = j mj ± m + 1 j, m ± Sfæriske koordinater Laplace Impulsmoment Hæve- og sænkeoperatorer = 1 r r r 1 r ˆL ˆL = [ ˆP r = i 1 r ˆL z = i ϕ 1 sin θ r r θ sin θ θ + 1 sin θ ˆL ± = e ±iϕ i cot θ ϕ ± θ ] ϕ ˆL± Y m l l = [ll + 1 m l m l ± 1] 1/ Y m l±1 l

7 KOMMUTATORER 7 Kommutatorer Kommutator Antikommutator.1 Definition [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ {Â, ˆB} = Â ˆB + ˆBÂ. Kommutatoralgebra [Â, Â] = 0 [Â, c] = 0 [Â, ˆB] = [ ˆB, Â] [Â, ˆB + Ĉ] = [Â, ˆB] + [Â, Ĉ] [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ] [Â ˆB, Ĉ] = Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB [Â, ˆB] = [ ˆB, Â ] [Â, [ ˆB, Ĉ]] + [ ˆB, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, ˆB]] = 0 [Â, ˆB n ] = n 1 j=0 ˆB j [Â, ˆB]Ân j 1 [Ân, ˆB] = n 1 j j=0 Ân j 1 [Â, ˆB] ˆB Sted og impuls.3 Vigtige kommutatorer [ ˆX, ˆP x ] = i [ ˆX n, ˆP x ] = i n [ ˆX, ˆP x n ] = i n x [f ˆX, ˆP x ] = i n 1 ˆX n 1 ˆP df ˆX d ˆX Sæt j, k = x, y, z - så gælder: [ ˆR j, ˆP k ] = i δ jk [ ˆR j, ˆR k ] = 0 [ ˆP j, ˆP k ] = 0

8 KOMMUTATORER 8 [ ˆ P, f ˆ R ] = i f ˆ R Impulsmoment [ˆL x, ˆL y ] = i ˆL z [ˆL y, ˆL z ] = i ˆL x [ˆL z, ˆL x ] = i ˆL y [ ˆX, ˆL x ] = 0 [ ˆX, ˆL y ] = i Ẑ [ ˆX, ˆL z ] = i Ŷ [ ˆP x, ˆL x ] = 0 [ ˆP x, ˆL y ] = i ˆP z [ ˆP x, ˆL z ] = i ˆP y [ ˆX, ˆL ] = i ˆL y Ẑ + Ẑ ˆL y ˆL z Ŷ Ŷ ˆL y [ ˆP x, ˆL ] = i ˆL y ˆPz + ˆP z ˆLy ˆL z ˆPy ˆP y ˆLy [Ĵx, Ĵy] = i Ĵz [Ĵy, Ĵz] = i Ĵx [Ĵz, Ĵx] = i Ĵy [Ĵ, Ĵk] = 0 [Ĵ, Ĵ±] = 0 [Ĵ+, Ĵ ] = Ĵz [Ĵz, Ĵ±] = ± Ĵ± Andre [ˆq, ˆp] = i [â, â ] = 1 For harmonisk oscillator i 1 dimension: [â, Ĥ] = ωâ [â, Ĥ] = ωâ [ ˆN, â] = â [ ˆN, â ] = â

9 3 DIRACNOTATION 9.4 Usikkerhedsrelation A B 1 [Â, ˆB].5 Egenskaber To observerbare er kompatible, hvis deres operatorer kommuterer, [Â, ˆB] = 0 Hvis to observerbare er kompatible, har deres operatorer et sæt fælles egentilstande Kompatible observerbare kan måles samtidig med vilkårlig præcision det kan inkompatible ikke 3 Diracnotation Ket Bra Skalarprodukt Braket Fortolkning 3.1 Definitioner m n n m = ψnψ m dx n â m = ψ n â ψ m = ψnâψ m dx φ ψ kan fortolkes som sandsynligheden for, at hvis systemet først er i tilstand ψ og der foretages en måling, så er systemet i tilstand φ. 3. Algebra ψ = ψ a ψ = a ψ aψ = a ψ aψ = a ψ φ ψ = ψ φ ψ a 1 ψ 1 + a ψ = a 1 ψ ψ 1 + a ψ ψ a 1 ψ 1 + a ψ ψ = a 1 ψ 1 ψ + a ψ ψ

10 4 SANDSYNLIGHED MM. 10 a 1 φ 1 + a φ b 1 ψ 1 + b ψ = a 1b 1 φ 1 ψ 1 + a 1b φ 1 ψ + a b 1 φ ψ 1 + a b φ ψ ψ ψ 0 = 0 for ψ = 0 Hvis tilstanden er normaliseret er ψ ψ = 1 Schwarz: ψ φ ψ ψ φ φ Trekantsulighed: ψ + φ ψ + φ ψ ψ + φ φ Ortogonalitet: Hvis ψ φ = 0 Ortonormalitet: ψ φ = 0, ψ ψ = φ φ = 1 4 Sandsynlighed mm. Generelt Heissenberg 4.1 Usikkerhedsrelationer a b 1 i[â, ˆb] 4 p x 4. Sandsynlighed P x, tdx = ψx, t dx jx = m ψ ψ ψ ψ x x Middelværdi Tidsudvikling Superposition Ehrenfest 4.3 Middelværdi og spredning a = â = ψ â ψ = ψ âψdx Hvis ikke normaliseret gælder â = ψ â ψ ψ ψ d â = i â [Ĥ, â] + dt t Hvis âψ n = a n ψ n og Ψ = c n ψ n er a = c n a n m d dt d dt r = p p = V

11 5 POSTULATERNE 11 Varians a = a a Ĵ x = Ĵ y = 1 Ĵ Ĵ z = [jj + 1 m ] 5 Postulaterne Tilstand Observerbare Måling Spektre Tidsudvikling Et fysisk system er til enhver tid t specificeret ved en tilstandsvektor ψt. En superposition af sådanne er også en tilstand Til enhver observerbar A svarer en lineær hermitisk operator Â, hvis egenvektorer udgør en komplet basis Måling kan repræsenteres ved at en operator  virker på en tilstand ψt. Hvis målingen giver a n er tilstanden umiddelbart efter givet ved en projektion på egenvektoren ψ n, der svarer til a n : ψ efter = ψ n ψ n ψt Sandsynligheden for et bestemt måleresultat er for diskrete spekre givet ved P n a n = ψn ψ ψ ψ og for kontinuerte spektre ved dp a = ψa = ψa da ψ ψ ψa da Tidsudviklingen er givet ved den tidsafhængige Schrödingerligning = Ĥ ψt i ψt t 6 Schrödinger og stationære tilstande Den tidsafhængige Schrödingerligning kan skrives i Ψ r, t t = m Ψ r, t + ˆV r, tψ r, t Antag tidsuafhængigt potential, ˆV r, t = ˆV r. Da fås den tidsuafhængige Schrödingerligning: [ m + ˆV ] r ψ r = Eψ r Løsningerne til den tidsafhængige ligning bliver Ψ r, t = ψ r e iet/ = ψ r e iωt E = ω

12 7 SPEKTRUMTYPER 1 Denne løsning er en stationær tilstand. Den generelle løsning bliver Ψ r, t = c n ψ n r exp ie nt n 7 Spektrumtyper Bundne tilstande Ubundne tilstande Blandede tilstande Paritet dimension Partiklen kan ikke gå til ±. I så fald er spektret diskret Partiklen kan gå mod eller eller begge. Ikke begge: Spektret er kontinuert, ingen egenværdier er degenererede Begge: Spektret er kontinuert, alle egenværdier er dobbelt degenererede For nogle energiniveauer er partiklen bundet, for andre ubundet. Symmetrisk potential: V x = V x Bundne egentilstande har enten lige eller ulige paritet: ψ x = ±ψx Degenereret spektrum: Egentilstande har ikke nogen given paritet 8 Specifikke problemer dimension Potentialtrin Partiklen kommer fra venstre. Potential For E > V 0 { 0 x < 0 V x = V 0 x > 0 { ψ1 xe Ψx, t = iωt = Ae ik1x ωt + Be ik 1x+ωt x < 0 ψ xe iωt = Ce ik x ωt x > 0 B = k 1 k C = k 1 k 1 +k A k 1 +k A R = k 1 k k 1 +k = 1 κ 1+κ T = 4k 1k k 1 +k = 4κ 1+κ κ = k /k 1 = 1 V 0 /E

13 8 SPECIFIKKE PROBLEMER 13 For E < V 0 Ψx, t = B = k 1 ik k 1 +ik A C = k 1 k 1 +ik A { Ae ik 1 x ωt + Be ik 1x+ωt x < 0 Ce k x e iωt x > 0 R = 1 P x = C e k x 8.1. Potentialbarriere Potential For E > V 0 > 0 Partiklen kommer fra venstre. 0 x < 0 V = V 0 0 x a 0 x > a ψ 1 x = Ae ik1x + Be ik 1x x 0 ψx = ψ x = Ce ikx + De ik x 0 < x < a ψ 3 x = Ee ik 1x x a k 1 = me/ k = me V 0 / Randbetingelser: ψ 1 0 = ψ 0 dψ 1 0 = dψ 0 dx dx ψ a = ψ 3 a dψ a dx = dψ 3a dx For E > V 0 < 0 E = 4k 1 k Ae ik 1a [4k 1 k cosk a ik 1 + k sink a] 1 [ T = E = A 4εε 1 sin λ ] 1 ε 1 λ = a mv 0 / ε = E/V 0 [ ] 1 R = 1 + 4εε 1 sin λ ε 1 [ T = εε+1 sin λ ] 1 ε + 1 λ = a m V 0 /

14 8 SPECIFIKKE PROBLEMER 14 For E < V 0 ε = E/ V 0 ψ 1 x = Ae ik1x + Be ik 1x x 0 ψx = ψ x = Ce kx + De k x 0 < x < a ψ 3 x = Ee ik 1x x a k 1 = me/ k = me V 0 / [ T = ε1 ε sinh λ 1 ε λ = a mv 0 / ε = E/V 0 ] 1 R = T 4ε1 ε sinh λ 1 ε Asymmetrisk potential Symmetrisk potential Potential For E > V 0 For 0 < E < V Uendelig brønd x < 0 V x = 0 0 x a x > a E n = m k n = π ψ n x = ψ n = ma n, n = 1,, 3,... sin nπ x, n = 1,, 3,... a a Ψx, t = n=1 ψ nxe ient/ = x < a/ V x = 0 a/ x a/ x > a/ a sin [ nπ a x + a/] = Endelig brønd V 0 x < a/ V x = 0 a/ x a/ V 0 x > a/ a n=1 sin nπ x e in E 1 t/ a cosnπx/a a n = 1, 3, 5,... sinnπx/a n =, 4, 6... Endelig reflektionskoefficient, oscillation i alle tre områder k 1 = mv 0 E/ a

15 8 SPECIFIKKE PROBLEMER 15 k = me/ d k dx 1 ψ 1 x = 0, x < a/ d + k dx ψ x = 0, a/ x a/ d k dx 1 ψ 1 x = 0, x > a/ ψ 1 x = Ae k1x, x < a/ { B cosk x symmetrisk ψ x = C sink x antisymmetrisk ψ 3 x = De k 1x, x > a/ Harmonisk oscillator Potential V = 1 mω x Ĥ = ˆP + 1 m mω ˆX = ω ˆN = â â ˆN + 1 E n = n + 1 ω ψ 0 x = 1 πx0 exp ψ n x = 1 1 π n n! x n+1/ 0 x, x x 0 = /mω 0 x x 0 d dx n exp x x 0 = 1 mω n ˆX n = 1 n ˆP n = 1 n Ĥ n virialsætningen m x = p = mω n + 1 m ωn + 1 x p = n + 1/ / De første 6 egenenergier og -tilstande π n n!x 0 e x /x 0 Hn x x 0

16 8 SPECIFIKKE PROBLEMER 16 n E n ψ n 0 ω/ A 0 e ξ / 1 3 ω/ A 1 ξe ξ / 5 ω/ A 4ξ e ξ / 3 7 ω/ A 3 8ξ 3 1ξe ξ / 4 9 ω/ A 4 16ξ 4 48ξ + 1e ξ / 5 11 ω/ A 5 3ξ 5 160ξ ξe ξ / A n = n n! π ξ = mω x 8. 3 dimensioner 8..1 Impulsmoment, spherical harmonics ˆL l, m = ll + 1 l, m ˆL z l, m = m l, m θ, ϕ l, m = Y lm θ, ϕ ˆL Y lm θ, ϕ = ll + 1Y lm θ, ϕ ˆL z Y lm θ, ϕ = m Y lm θ, ϕ ˆL ± Y lm θ, ϕ = ll + 1 mm ± 1Y lm±1 θ, ϕ Y lm θ, ϕ = 1 m l+1 l m! P m 4π l+m! l cos θe imϕ m 0 Y lm θ, ϕ = 1l l l! l+1 l+m! 4π l m! eimϕ 1 sin m θ [Y lm θ, ϕ] = 1 m Y l, m θ, ϕ d l m dcos θ l m sin θ l m 0 Y lm θ, ϕ Y lm x, y, z Y 00 θ, ϕ = 1 4π Y 00 x, y, z = 1 4π 3 Y 10 θ, ϕ = cos θ Y 3 z 4π 10x, y, z = 4π r 3 Y 1,±1 θ, ϕ = 8π e±iϕ sin θ Y 1,±1 x, y, z = 5 Y,0 θ, ϕ = 3 16π cos 5 θ 1 Y,0 x, y, z = 16π 15 Y,±1 θ, ϕ = 8π e±iϕ sin θ cos θ Y,±1 x, y, z = 15 Y,± θ, ϕ = 3π e±iϕ sin θ Y,± x, y, z = 3 8π x±iy r 3z r r 15 8π 15 3π x±iyz r x y ±ixy r

17 8 SPECIFIKKE PROBLEMER 17 Schrödinger Antag tidsuafhængigt potential Separation Fri partikel Kassepotential Kubisk kasse Anisotropisk harmonisk oscillator Isotropisk harmonisk oscillator 8.. Kartesiske koordinater m Ψx, y, z, t + ˆV x, y, z, tψx, y, z, t = i Ψx,y,z,t t Ψx, y, z, t = ψx, y, ze iet/ Hvis V x, y, z = V x x + V y y + V z z fås separation ψx, y, z = π 3/ e ikxx e ikyy e ikzz = π 3/ e i k r kx = me x / E = E x + E y + E z = m k { 0 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c V x, y, z = ellers ψ nx,ny,n z x, y, z = E nx,n y,n z = π m n x a 8 sinn abc xπx/a sinn y πy/b sinn z πz/c + n z c + n y b a = b = c = A E nx,ny,n z = π n ma x + n y + n z E nx,ny,n z /E 1 x n, n y, n z Degenerering, g n ,11, ,1, ,131, ,31,31,13,13,13 6 ˆV ˆx, ŷ, ẑ = 1 mω ˆX x + 1 mω yŷ + 1 mω zẑ E nx,ny,n z = E nx + E ny + E nz = n x + 1/ ω x + n y + 1/ ω y + n z + 1/ ω z ψ er produktet af de tre en-dimensionale harmoniske oscillatorer ω x = ω y = ω z = ω E nx,ny,n z = n x + n y + n z + 3/ ω Degenerering g n = n + 1n + / n E n / ω n x, n y, n z g n ,010, ,00,00,110,101, ,030,003,10,01, ,10,01,111

18 9 HYDROGENLIGNENDE ATOMER Sfæriske koordinater Fri partikel Se også Liboff, s.44 Fri partikel ˆp r = i 1 r Ĥ = m r r Schrödinger: 1 m = ˆp r m + ˆL mr ϕ klm r, θ, φ = j l kry m l θ, φ E k = k m ˆp r + ˆL r ϕ klm = E klm ϕ klm Centralt potential 8.3. Sfærisk æske V { 0 r < a r = V r = r > a ϕ nlm = j xln r l a Y m l θ, φ E nl = x ln ma 9 Hydrogenlignende atomer Schrödinger Reduceret masse Egenfunktioner Energi Middelværdier Tilladte kvantetal µ Ψ nlm Ze 4πε 0 r Ψ nlm = E n Ψ nlm µ = mem kerne m e+m kerne Ψ nlm = a = me µ n l 1! nn+l! a 0 Z a 0 = ε 0h πm ee x = r an L l+1 n l 1 = n l 1 k=0 E n = µe4 Z 8ε 0 h n 1/ 3/ an x l e x/ L l+1 n l 1 Y l m θ, φ l+n! x k l+1+k!n l 1 k!k! r = a 3n ll + 1 r = a n 5n + 1 3ll + 1 1/r = 1 an 1/r = l+1n 3 a n = 1,, 3,...

19 10 SPIN 19 l = 0, 1,,..., n 1 m = 0, ±1, ±,..., ±l Udvalgsregler Bølgefunktioner n 0 l = ±1 m { 1, 0, 1} Ψ 100 = a 3/ π 1/ e r/a Ψ 00 = a 3/ 4π r 1/ a e r/a Ψ 10 = a 3/ r 4π 1/ a e r/a cos θ Ψ 1±1 = a 3/ r 8π 1/ a e r/a sin θe ±iφ Ψ 300 = a 3/ 813π 1/ Ψ 310 = 1/ a 3/ 81π 1/ Ψ 31±1 = a 3/ 81π 6 r 1/ a Ψ 30 = 7 18 r + r e r/3a a 6 r r a a e r/3a cos θ r a e r/3a sin θe ±iφ a a 3/ r e r/3a 3 cos θ 1 816π 1/ a Ψ 3±1 = a 3/ r e r/3a sin θ cos θe ±iφ 81π 1/ a Ψ 3± = a 3/ r e r/3a sin θe ±iφ 16π 1/ a 10 Spin 0 1 Paulimatricer σ 1 = i σ = i σ 3 = I = 0 1 Antikommutation{σ i, σ j } = σ i σ j + σ j σ i = δ ij I Cyklisk permutation Spinmatricer σ i σ j = iσ k σi = I 0 1 Ŝ x = i Ŝ y = i 0

20 10 SPIN 0 Ŝ z = Egenværdier Egenvektorer λ = ± α x = 1 1 spin op i x-retningen 1 β x = 1 1 spin ned i x-retningen 1 α y = 1 1 spin op i y-retningen i β y = 1 1 spin ned i y-retningen i α z = 1 1 spin op i z-retningen 0 β z = 0 1 spin ned i z-retningen 1 ˆ Sammensætning J i j i, m i = j i j i + 1 j i, m i Ĵiz j i, m i = m i j i, m i Ŝ tot = Ŝ1 + Ŝ Ŝ tot,z = S 1z + S z Antal tilstande = s + 1, s m s s = Hvem og hvad? Bosoner heltalligt spin, fermioner halvtalligt spin. Liboff tabel 11.3 Spinbølgefunktioner for to elektroner i koblet repræsentation: Spinkombination Bølgefunktion s 1 s s m ξ = s 1 s sm 1 ξ = α 1 α ξ 0 1 = α 1 β + β 1 α ξ = β 1 β ξ 0 0 = α 1 β β 1 α 0 0

21 11 SPECIELLE FUNKTIONER 1 11 Specielle funktioner 11.1 Hermitiske polynomier H 0 y = 1 H 1 y = y H y = 4y H 3 y = 8y 3 1y H 4 y = 16y 4 48y + 1 H n+1 y = yh n y nh n 1 y 11. Legendrepolynomier Løsning til Får 1 sin θ d dθ sin θ dθ ] lmθ + [ll + 1 m dθ sin Θ lm θ = 0 θ Θ lm θ = C lm P m l cos θ Pl m x = 1 x m / d m dx P lx m P l x = 1 d l l l! dx l x 1 l C lm = 1 m l + 1 l m! l + m! Se Liboff, s.373 for stor tabel. Her en lille tabel. Legendrepolynomium Associeret Legendrepolynomium P 0 cos θ = 1 P 1 cos θ = cos θ P1 1 cos θ = sin θ P 1 cos θ = 3 cos θ sin θ P cos θ = 3 cos θ 1/ P cos θ = 3 sin θ P 3 cos θ = 5 cos 3 θ 3 cos θ/ P3 1 cos θ = 3 sin θ5 cos 3 θ 1/ P 4 cos θ = 35 cos 4 θ 30 cos θ + 3/8 P3 cos θ = 15 sin θ cos θ P 5 cos θ = 63 cos 5 θ 70 cos 3 θ + 15 cos θ/8 P3 3 cos θ = 15 sin 3 θ 11.3 Sfæriske Besselfunktioner j 0 x = sin x x j 1 x = sin x cos x x x j x = 3 1 x 3 x sin x 3 cos x x

22 1 FRA FYSIK31 FOR OS ABER 1 Fra Fysik31 for os aber 1.1 Tensorer Udtrykt ved stedkoordinater T 0 0 = 1 3 x + y + z = 1 3 r T 1 0 = z T 1 1 = 1 x + iy T 1 1 = 1 x iy T = 1 x + iy T = 1 x iy T 1 = 1 zx iy hvis [x, y] = [y, z] = 0 T 1 = 1 zx iy hvis [x, y] = [y, z] = 0 T 0 = 1 6 z x y = 1 6 3z r 1.1. Stedkoordinater udtrykt ved tensorer x = 1 T 1 1 T 1 1 y = i T T 1 1 z = T 1 0 x = 1 T + T 1 6 T 0 T 0 y = 1 T + T 1 6 T 0 T 0 z = 6 T 0 T 0 0 hvis [x, y] = 0 xy = 1 T i T hvis [x, y] = 0 zy = i T 1 + T 1 hvis [z, y] = 0 zx = 1 T 1 T 1 hvis [z, x] = 0 x y = T + T 0 hvis [x, y] = [y, z] = 0 0 hvis [x, y] = [y, z] = 0 1. Udvalgsregler Sfærisk potential V r giver egentilstande nlm. Vi skal afgøre, hvornår n l m nlm nødvendigvis er = 0 når systemet perturberes med en operator W. Regel 1: Paritet. l lige hvis W er lige har positiv paritet. l ulige hvis W er ulige har negativ paritet. NB - nogle operatorer er hverken lige eller ulige.

23 1 FRA FYSIK31 FOR OS ABER 3 Regel : Oversæt operator W til tensor: W T q k. m = q ved Wigner- Eckhart Regel 3: l k ved Wigner-Eckhart Sammenfat resultaterne fra de tre regler. Overtrædelse betyder, at n l m nlm = Perturbationsteori Statisk, ikke degenereret H 0 H 0 + V Til H 0 svarer egenværdier En 0 og egentilstande ψn 0 Problem: Find første ordens korrektion til En. 0 Løsning gen 1 = ψn gv 0 ψn 0 note 18. Problem: Find første ordens korrektion til ψn. 0 Løsning: Definer V mn = ψm V 0 ψn. 0 Første ordens korrektion er da ψ 1 n = m n V mn E 0 n E 0 m ψ 0 m note 1. Problem: Find anden ordens korrektion til En. 0 Løsning: En = m n Statisk, degenereret V mn E 0 n E 0 m note H 0 er degenereret med degeneracy d n for egenværdi n: H 0 n 0 i = E n 0 n 0 i, i = 1,..., d n H 0 H = H 0 + V, giver splitting af disse degenerationer: H n i = E n,i n i, i = 1,..., d n Problem: Find første ordens korrektion til E 0 i. Løsning: Nedskriv matricen A = n 0 i V n 0 j den er d n d n. Find egenværdier for A. Disse udgør E 1 i, altså første ordens korrektionerne. Problem: Find nulte ordens korrektion til egentilstande n 0 i. Løsning: Nedskriv A som ovenfor og find egenvektorer for A. Nulte ordens korrektion er da l 0 i = d n j=1 c ij n 0 j Tidsafhængig H 0 H 0 + V t Antag, at ψt 0 = e ie kt 0 / k Definer ω lk = E0 k Definer V lk t = E 0 l V t E 0 k Da er ψt I = l c lt l i Interaction picture, hvor c l fås fra TDP: l E 0

24 1 FRA FYSIK31 FOR OS ABER 4 c lk = t t 0 e iω lks t 0 V lk sds I Schrödinger picture fås ψt S = e ih 0t/ ψt I = l c lkte ie lt/ l P k l,k l t, t 0 = 1 c lk NB bemærk ovenfor, at l k. Husk at være opmærksom på singulariteter. TDP er kun gyldig for små perturbationer og muligvis også kun for kort tid.