Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
|
|
- Helena Svendsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget tilsvarende gør man ofte, når elektronisk data skal sendes via en såkaldt informationskanal. Det værktøj, man bruger, kaldes fejlkorrigerende koder. Uden fejlkorrigerende koder ville såvel en CD-afspiller som en DVD-afspiller være ubrugelig, og billeder sendt til jorden fra Mars eller månen ville være af en meget dårlig kvalitet.
2 Et eksempel på en fejlkorrigerende kode er den såkaldte binære Hammingkode. Her indpakkes beskeder af 4 binære symboler til ialt 7 symboler. Som vi skal se senere, beskytter denne indpakning de 4 symboler. Først et eksempel på, hvordan vi pakker ind. Eksempel 1: Beskeden (0, 1, 1, 0) indkodes ved hjælp af følgende figur Vi tilføjer tre ekstra symboler, e e f c b 1 1 a 0 d g f 0 g Figur 1: kaldet efg, ud fra følgende regler: Summen af elementerne i hver af de tre cirkler skal være lige. Eller sagt i et mere passende sprogbrug, summen i hver af de tre cirkler skal være 0 modulo 2. Øverste cirkel giver anledning til: e 0 (mod 2) e 0 (mod 2) e = 0. Venstre cirkel giver anledning til: f 0 (mod 2) 1 + f 0 (mod 2) f = 1. 2
3 Højre cirkel giver anledning til: g 0 (mod 2) 1 + g 0 (mod 2) g = 1. Så beskeden (0, 1, 1, 0) indkodes altså til kodeordet (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1). Opgave 2: Indkod beskeden (1, 1, 0, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. Opgave 3: Indkod beskeden (1, 1, 1, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. I det følgende ser vi på, hvordan de tre ekstra symboler beskytter de 4 informationssymboler. Eksempel 4: Lad os sige, at du befinder dig i den modtagende ende af informationskanalen og at du modtager ordet (0, 1, 1, 1, 0, 1, 1). Et første gæt ville være, at beskeden er (0, 1, 1, 1). Men summen er ikke nul i alle de tre cirkler i nedenstående figur. Så der er altså ikke tale om Figur 2: et rigtigt kodeord. Der er sket fejl. Det er naturligt at starte med at antage, at der kun er sket en enkelt fejl. Som det fremgår af nedenstående figur, er dette en mulighed. Nemlig hvis symbolet 1 i positionen d i virkeligheden skulle have været 0. Vi konkluderer, at 3
4 det afsendte kodeord i virkeligheden var (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) og at beskeden derfor er (0, 1, 1, 0). Opgave 5: Du modtager ordet (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1). Er dette et kodeord? Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Opgave 6: Du modtager ordet (0, 1, 1, 0, 1, 0, 0). Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Den binære Hammingkode er et eksempel på en såkaldt lineær kode. Det betyder, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) og c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er to kodeord, så er summen c 1 + c 2 = (a + A, b + B, c + C, d + D, e + E, f + F, g + G) også et kodeord. At dette rent faktisk er tilfældet ses på følgende måde. Vi konstaterer, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde a + b + c + e er lige, a + c + d + f er lige og a + b + d + g er lige. Tilsvarende har vi, at hvis c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde A+B+C+E er lige, A+C+D+F er lige og A+B+D+G er lige. Men så er (a+a)+(b+b)+(c+c)+(e+e) = (a+b+c+e)+(a+b +C +E) lige (lige + lige er lige), (a+a)+(c+c)+(d+d)+(f +F ) = (a+c+d+f)+(a+c +D +F ) er lige og (a + A) + (b + B) + (d + D) + (g + G) = (a + b + d + g) + (A + B + D + G) er lige. Dermed er (a+a, b+b, c+c, d+d, e+e, f +F, g+g) et kodeord i Hammingkoden. Opgave 7: Ordene (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) og (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) er begge kodeord i den binære Hammingkode. Find summen. Vis ved hjælp af de tre cirkler, at summen er et nyt kodeord. Lineære koder er specielt nemme at beskrive. Eksempel 8: Hver af de fire rækker i nedenstående system (kaldet en matrix) svarer til et kodeord i den binære Hammingkode. G = Vil du indkode for eksempel beskeden (1, 1, 0, 1), så kan du gøre det ved at lægge 1 gange række 1 sammen med 1 gange række 2, sammen med 0 gange række 3 og sammen med 1 gange række 4. Hvorfor virker denne metode? Jo for det første er Hammingkoden lineær, så række 1 plus række 2 er et nyt kodeord. Til dette lægges række 4. Igen fås et kodeord, da summen af to kodeord jo er et kodeord igen. Så række 1 plus række 2 plus række 4 er helt klart et kodeord. Hvad er de fire første tal i det herved udregnede kodeord? Jo ved 4
5 at betragte matricen ovenfor ser vi, at disse netop udgør vores besked (1, 1, 0, 1). Metoden virker selvfølgelig ikke bare for beskeden (1, 1, 0, 1) men for alle beskeder (a, b, c, d). Opgave 9: Benyt metoden fra eksempel 8 til at indkode beskeden (1, 0, 1, 1). Lister vi alle lovlige kodeord i Hammingkoden, så vil vi opdage, at bortset fra kodeordet (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) så er der ingen kodeord med mindre end 3 ikke-nul symboler. Det mindste antal ikke-nul symboler, der kan forekomme i et kodeord forskelligt fra (0, 0,, 0) kaldes minimumsafstanden, og forkortes d. Der gælder følgende simple resultat, som vi dog ikke vil bevise. Sætning 10: En lineær kode med minimumsafstand d kan rette d 1 2 fejl (altså (d 1)/2 rundet ned). Opgave 11: Hvor mange fejl kan den binære Hammingkode rette? Hvis en kode har minimumsafstand d = 4, hvor mange fejl kan den så rette? Hvad hvis den har minimumsafstand d = 17? Indtil videre har vi kun arbejdet med symbolerne 0 og 1. Det vil sige, vi har indtil videre kun arbejdet med det binære alfabet F 2 = {0, 1}. Man arbejder i praksis med forskellige alfabeter svarende til de såkaldte endelige legemer. Disse har alle størrelsen p m, hvor p er et primtal. I det følgende ser vi kun på de tilfælde, hvor m = 1. Altså på de tilfælde, hvor alfabetet indeholder p elementer. Eksempel 12: Alfabetet F 3 = {0, 1, 2} tilfredsstiller ligningen 3 = 0. Det vil sige = 2, = 3 = 0 og = 4 = = = 1. Vi siger, at vi reducerer modulo 3. Tilsvarende gælder 2 2 = 4 = = = 1. Vi får følgende additions- og multiplikationstabeller Opgave 13: Alfabetet F 5 = {0, 1, 2, 3, 4} tilfredsstiller ligningen 5 = 0. Vi siger, at vi regner modulo 5. Udfyld følgende additions- og multiplikationstabeller
6 Vi behandler afslutningsvis de såkaldte Reed-Solomonkoder. Disse er defineret for alle alfabeter. Eksempel 14: Lad os for eksempel betragte alfabetet F 5. Lad os sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 3 pakket ind i kodeord af længde 5. Vi vil opstille en matrix, som i eksempel 8. Da vi vil have beskeder af længde 3, skal denne matrix have 3 rækker. Vi vælger som første række (1, 1, 1, 1, 1). Som anden række vælger vi ( ) = (0, 1, 2, 3, 4). Som tredie række vælger vi ( ) = (0, 1, 4, 4, 1). Så anden række er altså fremkommet ved at stoppe punkterne 0, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x, tredie række er fremkommet ved at stoppe punkterne 0, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x 2 og første række er fremkommet ved at stoppe punkterne 0, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet 1. G = Vil vi nu indkode beskeden (1, 2, 4) lægger vi simpelthen 1 gange række 1 sammen med 2 gange række 2 og sammen med 4 gange række 3. Vi får 1 (1, 1, 1, 1, 1)+2 (0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1 )+ 4 (0 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 ) = ( , , , , , ) = (p(0), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = 1+2x+4x 2. Generelt indkodes beskeden (a, b, c) til (p(0), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = a + bx + cx 2. Bemærk, at denne indkodning har en enkelt ulempe! Når først vi har indkodet vores besked, da kan vi ikke direkte se af kodeordet, hvad beskeden er. F.eks. indkodes (1, 2, 4) ovenfor til (1, 2, 1, 3, 3). Dette er ikke et problem i praksis. Opgave 15: Lad os igen betragte alfabetet F 5. Lad os nu sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 2 pakket ind i kodeord af længde 5. Opskriv den tilhørende matrix. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 2)? Opgave 16: Samme som opgave 15 men med beskeder af længde 4. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 1, 3, 1)? En af fordelene ved Reed-Solomonkoderne er, at det er så let at finde deres minimumsafstand. Eksempel 17: Betragt koden fra eksempel 14. Et kodeord findes ved at benytte et polynomium af grad højst 2. Et ikke-nul polynomium af grad højst 2 har højst to nulpunkter. Derfor må der i ethvert ikke-nul kodeord forekomme højst 2 nuller. Men så er der mindst 3 ikke-nul symboler. Hermed er minimumsafstanden d lig 3. Vi kan rette = 1 fejl. 6
7 Opgave 18: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 16. Hvor mange fejl kan vi rette? Opgave 19: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 15. Opgave 20: Find selv på flere eksempler. Prøv for eksempel at lave Reed-Solomonkoder over alfabetet F 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. EKSTRAOPGAVE for de særligt interesserede: Hvis du er kommet så langt, da er du enten meget dygtig og/eller du har taget opgaverne med hjem, for at regne videre. I så fald er du garanteret motiveret for at regne denne opgave. Legemet F 2 2 = F 4 består af elementerne Der benyttes følgende regneregler {0, 1, α, 1 + α} (1) 2 = 0 og α 2 + α + 1 = 0 (2) Første regel indebærer, at og + er det samme. Kan du se hvorfor? Vis, at der derfor gælder α 2 = α + 1. Opskriv additionstabellen for F 4. Hvilke elementer i (??) svarer til α 2 og α 3? Konkluder, at {α, α 2, α 3 } svarer til ikke-nul elementerne i (??). Udnyt, at α 2 α 2 = α 4 = α 3 α, til at finde det element i (??), som svarer til α 2 α 2. Opskriv multiplikationstabellen for F 4. 7
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk
Læs mereFejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)
Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereModerne kryptografi. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet. Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008
Moderne kryptografi Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008 Matematik og ingeniørvidenskab Uden ingeniørvidenskab var komplekse tal blot en kuriøsitet
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereKryptering kan vinde over kvante-computere
Regional kursus i matematik i Aabenraa Institut for Matematik Aarhus Universitet matjph@math.au.dk 15. februar 2016 Oversigt 1 Offentlig-privat nøgle kryptering 2 3 4 Offentlig-privat nøgle kryptering
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereAffine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNem grafik til websider
Web design 101 Artiklen beskriver en nem måde, hvorpå du han lave ikon-lignende billeder til websider på basis af de symboltegnsæt, der er til rådighed på din computer. Metoden er særlig velegnet til små
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereKvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter
Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs meresætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.
sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereMatematiklærerdag 11. marts 2005
Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereIndhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.
Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereLineære ligningssystemer
Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereKøreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereTRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn
TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs mere