Kvantificering af Hydrauliske Egenskaber

Transkript

1 Biometry Research Unit Internal Report 22-4 Kvantificering af Hydrauliske Egenskaber Vandretention og Hydraulisk Ledningsevne L. Foldager Danish Institute of Agricultural Sciences Research Centre Foulum

2 There are two publication series of Biometry Research Unit at the Danish Institute of Agricultural Science: Technical Reports and Internal Reports. Technical Reports: This series aims to cover the publication of pre-prints and research papers in an advanced stage of elaboration. The material published should have some original content, but reviews are also suitable. There are, in principle, no size limitations and extended versions with full details that are referenced later in the final publication are acceptable. The authors assume entirely the responsibility regarding the quality and validity of the published material. There are no editorial checks. The publication in the series does not disqualify the material for later presentation to a journal that requires originality. The preferred language in this series is English. The reports are distributed through a mailing list. Copies can be obtained from the editor. Internal Reports: This is an informal series intended to publish material of some interest that are not suitable for publishing in the technical report series. Typical articles are: documentation of useful programs or macros, pedagogic and divulgation articles in biostatistical methods, reports of interesting consultation cases, etc. The reports are distributed by the authors. An updated list of the reports and a complete collection of both series will be kept at the departments library and the central library at the Research Centre Foulum. Copies of the papers of both series can be obtained from the editor. The reports may also be downloaded in pdf-format from the webpage: Editor: Ulrich Halekoh Biometry Research Unit Danish Institute of Agricultural Sciences Research Centre Foulum

3 Internal Report 22-4 Kvantificering af Hydrauliske Egenskaber Vandretention og Hydraulisk Ledningsevne L. Foldager Ministry of Food, Agriculture and Fisheries Danish Institute of Agricultural Sciences Biometry Danish Institute Research of Unit Agricultural Sciences Research Centre Foulum Research Centre Foulum P.O. Box 5 DK-883 Tjele Denmark

4 Kvantificering af Hydrauliske Egenskaber Vandretention og Hydraulisk Ledningsevne Leslie Foldager Oktober 22 Resumé Denne rapport skal tjene som rapportering af Biometrigruppens aktivitet i opstarten af delprojekt 6 vedrørende pedo-transfer funktioner i projektet Koncept for Udpegning af Pesticidfølsomme Arealer (KUPA). I rapporten beskrives nogle af de udtryk for vandretention og hydraulisk ledningsevne, som kan benyttes til estimering og prediktion af relevante hydrauliske parametre. Abstract This paper is in Danish and reports the activity of the Biometry Research Unit in the start-up of subtask 6 concerning pedotransfer functions in the project Concept for appointing areas vulnerable to pesticides (visit We describe some of the expressions for water retention and hydraulic conductivity that may be used for the estimation and prediction of relevant hydraulic parameters. Nøgleord Burdine-van Genuchten model, hydraulisk ledningsevne, Mualemvan Genuchten model, pedo-transfer funktioner, vandretention Internal Report 22-4, Biometry Research Unit Danish Institute of Agricultural Sciences, Biometry Research Unit, Research Centre Foulum, P.O. Box 5, DK-883 Tjele, Leslie.Foldager@agrsci.dk. 1

5 INDHOLD 2 Indhold 1 Introduktion Baggrund Formål Materialer og metoder Data Kvantificering af hydrauliske egenskaber Vandretentionsfunktioner Hydraulisk ledningsevne Estimation og prediktion Pedo-transfer funktioner Resultater Vandretentionskurver Hydraulisk ledningsevne Diskussion og konklusion 15 A Appendiks 19 A.1 Udledning af formel (9)

6 1 INTRODUKTION 3 1 Introduktion 1.1 Baggrund Som led i regeringens pesticidhandlingsplan II er projektet Koncept for Udpegning af Pesticidfølsomme Arealer (KUPA) igangsat med det overordnede formål at udvikle et koncept til klassificering af arealer, der er særligt følsomme over for pesticidnedsivning til grundvandet, når pesticiderne anvendes efter gældende regler. Projektet, der afsluttes i år 23, gennemføres af Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelse (GEUS) i samarbejde med Danmarks Jordbrugsforskning (DJF). Yderligere information om projektet kan findes på Det er forbundet med større omkostninger at måle jordens hydrauliske, sorptionsmæssige og nedbrydningsmæssige egenskaber end indsamling af simple jorddata (jordtekstur, jordart m.v.). Vi ønsker derfor modeller, så disse parametre kan bestemmes ud fra de lettere tilgængelige data. Sådanne relationer betegnes ofte pedo-transfer funktioner (Bouma, 1989). De hydrauliske parametre er input til numeriske simuleringsmodeller, som benyttes til at beregne pesticidudvaskningen fra den umættede zone for arealtyper, hvor der ikke er foretaget detailundersøgelser. Et af formålene i KUPAprojektets delprojekt 6 Vurdering af betydende faktorer for pesticidudvaskning, sand er at opstille sådanne pedo-transfer funktioner, som relaterer lettilgængelige og konservative jordegenskaber til hydrauliske egenskaber. 1.2 Formål Formålet med denne rapport er at beskrive nogle af de udtryk for vandretention og hydraulisk ledningsevne, som kan benytte til estimering og prediktion af de relevante hydrauliske parametre. Dette studie skal danne basis for det videre arbejde med at opstille pedo-transfer funktioner, som relaterer lettilgængelige og konservative jordegenskaber til hydrauliske egenskaber på markniveau

7 2 MATERIALER OG METODER 4 2 Materialer og metoder 2.1 Data Data, bestående af målinger af den hydrauliske ledningsevne samt fittede værdier for vandretentionen, er stillet til rådighed af Christen Duus Børgesen, Afdeling for Jordbrugssystemer. De indgår som en del af hans ph.d. afhandling, der er under udarbejdelse. Udover ovennævnte er der oplysninger om bulk density (masse tæthed) og tekstur. Teksturen er oplyst som en procentvis fordeling på ler (<2 µm), silt (2-2 µm), finsand (2-63 µm), sand 125 ( µm), sand 2 (125-2 µm), sand 5 (2-5 µm), sten/kalk og humus. Da fokus i KUPA-projektet er rettet mod sandede jorde, har vi udeladt de horisonter (dybder inden for profil), hvor lerindholdet er større end 15%. For hver af de i alt 26 profiler er værdierne bestemt i 1-4 dybder (median=2). Der er udtaget 1 5 prøver pr. dybde indenfor hver profil (median=2), og hver prøve er analyseret med 1 18 gentagelser (median=7). Datasættet indeholder de målte værdier af den umættede hydrauliske ledningsevne for hver gentagelse. Den mættede hydrauliske ledningsevne er bestemt ud fra eksperimentielle målinger og opgivet som en gennemsnitsværdi pr. dybde indenfor profil. Oplysningerne om bulk density, tekstur og retentionsparametre er angivet for hver dybde indenfor en profil, og teksturen er endvidere ikke nødvendigvis bestemt i nøjagtig samme dybde som de hydrauliske prøver. Retentionsparametrene i datasættet er estimeret/optimeret ved brug af Levenberg-Marquardt algoritmen (Marquardt, 1963) og er både estimeret med Mualem-van Genuchten modellen og Burdine-van Genuchten modellen, men vi har valgt at fokusere på førstnævnte her. Modellerne beskrives i næste afsnit. I optimeringen blev følgende objektfunktion benyttet: O = n (θ i ˆθ i ) 2, (1) i=1 hvor θ i og ˆθ i er henholdsvis målt og predikteret vandindhold.

8 2 MATERIALER OG METODER Kvantificering af hydrauliske egenskaber Til simulering af vandstrømning og kemisk transport i den umættede zone benyttes diverse parametre som kvantificerer de umættede hydrauliske egenskaber ved jorden. Disse parametre estimeres og predikteres via modeller/funktioner for vandretention (vandretentionskurve) og (umættet) hydraulisk ledningsevne. Vandretentionskurven relaterer den effektive/relative vandmætning, betegnet med Θ eller S e afhængig af referencen, til (tryk-) potentialet h (kaldes matric head, pressure head, pressure potential), og siger noget om jordens evne til at holde på vandet ved forskellige tryk (eller rettere undertryk/sug). Kurven for den hydrauliske ledningsevne angiver den hydrauliske ledningsevne K som funktion af vandmætning Θ eller potentiale h, og siger noget om jordens evne til at transportere vandet. Ofte betragtes den relative hydrauliske ledningsevne K r = K/K s, hvor K s er den mættede hydrauliske ledningsevne, som kan bestemmes eksperimentielt eller estimeres via en model. Bestemmelse af den (umættede) hydrauliske ledningsevne er sværere og mindre præcis end fastlæggelse af retentionskurven, så mange metoder er gennem tiden blevet foreslået til prediktion af K(h) eller K(Θ) ud fra lukkede udtryk for Θ(h). Lukkede udtryk for disse funktioner har den fordel, at de er attraktive ved numerisk modellering af Θ(h), K(h) eller K(Θ), og tillader estimering af hydrauliske egenskaber vha. inverse procedurer. De spiller også en vigtig rolle ved indirekte kvantificering (vha. pedo-transfer funktioner) af hydrauliske egenskaber ud fra egenskaber ved jorden, som allerede kendes eller let kan bestemmes (f.eks. tekstur). En omfattende sammenligning/vurdering af forskellige funktionsudtryk (14 udtryk for retentionskurven og 11 for ledningsevnen) er givet i Leij et al. (1997). Typisk er det forskellige antagelser om porestørrelsesfordelingen, der giver anledning til de forskellige udtryk, eller også er der tale om reparationer på uønskede egenskaber ved tidligere forslag. Vores valg af funktioner vil dog i den sidste ende være fuldstændig afhængig af hvilke udtryk, der indgår i de numeriske simuleringsmodeller.

9 2 MATERIALER OG METODER Vandretentionsfunktioner Vi lader θ (cm 3 /cm 3 ) betegne vandindhold i jorden som volumen vand pr. volumen porøst medium, θ r betegner det residuale vandindhold (vandindholdet på meget tør jord) og θ s det saturerede eller mættede vandindhold (vandindholdet på fuldstændig vandmættet jord). I praksis defineres θ r som vandindholdet ved en passende stor negativ h værdi (h 15 cm), dvs. ved et tilpas kraftigt sug. Det relative (eller effektive) vandindhold/mætning (den relative vandmætning eller blot vandindholdet) er defineret ved følgende enhedsløse udtryk: Θ = θ θ r θ s θ r. (2) Vi kan bemærke, at Θ 1, når θ θ s, og at Θ, når θ θ r. Relationen mellem vandindholdet og trykpotentialet, dvs. vandretentionen, kan bl.a. gives ved følgende ligninger: { 1, h h b Θ = (3) ( h h b ) λ, h > h b eller Θ = [ ] m 1, h >. (4) 1 + (αh) n Ligning (3) stammer fra Brooks and Corey (1964), hvor Θ(h) altså er diskontinuert i punktet h b, det såkaldte bubbling pressure. Her er λ en parameter for jordens egenskaber. Den anden ligning (4) er en mere generel ligning (se f.eks. van Genuchten, 198), som typisk anvendes i specialtilfældene m = 1 1/n og m = 1 2/n. Bemærk, at når h er stor, er Θ (αh) nm. Hvis endvidere m = 1 1/n, λ = n 1 og α = 1/h b, så er udtrykkene i (3) og (4) approksimativt det samme. Herved får vi også en fortolkning af parameteren α, nemlig som den inverse bubbling pressure. Den approksimative overensstemmelse kan også opnås med m = 1 2/n og λ = n 2. Det vil blive klart om lidt, hvorfor netop disse værdier af m er interessante. Fra ligningerne (2) og (4) kan man finde følgende udtryk for vandindholdet i jorden som funktion af trykpotentialet: θ = θ r + θ s θ r [1 + (αh) n ] m, (5)

10 2 MATERIALER OG METODER 7 hvor h > er antaget. Et eksempel på en vandretentionskurve (h tegnet op mod θ) er vist i Figur 1, hvor vi har benyttet samme parameterværdier som i van Genuchten (198) figur 1. I stedet for trykpotentialet målt i cm (egentlig en negativ værdi, da det er et undertryk/sug), har vi benyttet log 1 (h), også kaldet -værdier (1 = 1 cm, 2 = 1 cm,...). Ved plotning af retentionskurver benyttes enten en logaritmisk skala på tryk aksen eller det omregnede tryk (cm til ) på sædvanlig skala. Ved beregningerne skal h være i cm, da parameteren α (i det givne datasæt) er angivet i cm Figur 1: Typisk forløb af vandretentionskurven baseret på ligning (4) med restriktionen m = 1 1/n. Parameterværdierne er sat til: θ r =.1, θ s =.5, α =.5 og n = Hydraulisk ledningsevne Via antagelser om porekontinuitet og -sammenhæng kan man udlede udtryk, der beskriver jordens evne til at transportere vandet, udtrykt ved den umættede hydrauliske ledningsevne K, som funktion af det relative vandindhold Θ eller som funktion af trykpotentialet h. I Schaap and Leij (2) angives

11 2 MATERIALER OG METODER 8 følgende generelle udtryk: [ Θ ] γ K(Θ) = K Θ δ h(x) β dx 1, (6) h(x) β dx hvor K er den umættede hydrauliske ledningsevne (cm/dag), Θ er den relative mætning, h er trykpotentialet (cm), K er en hydraulisk ledningsevne, der fungerer som et reference punkt, og δ er en sammenstykket parameter, som forklarer pore tortuosity (poreslyngning, -snoning eller poretortuositet) og poresammenhæng (pore connectivity). Normalt benyttes den mættede hydrauliske ledningsevne K s som K, da denne værdi kan bestemmes eksperimentielt, og som nævnt tidligere opstilles udtrykkene ofte for den relative ledningsevne K r = K/K s. Ofte benyttes specialtilfældet (β, γ) = (1, 2): [ Θ K = K s Θ δ 1 1 dx ]2 h(x) 1 dx h(x), (7) udledt af Mualem (1976), og specialtilfældet (β, γ) = (2, 1): [ Θ 1 K = K s Θ dx ] δ h 2 (x), (8) udledt af Burdine (1953). 1 1 dx h 2 (x) Mualem modellen (7) benyttes som regel med δ =.5, som Mualem (1976) fandt var optimal for et givet datasæt (jfr. Schaap and Leij, 2). I Burdine modellen (8) sættes parameteren δ typisk til 2. Denne reduktion af antallet af parametre (δ =.5 eller δ = 2) benyttes bl.a. i van Genuchten (198). Der er imidlertid meget, der tyder på, at modellerne med disse antagelser ((K, δ, β, γ) {(K s,.5, 1, 2), (K s, 2, 2, 1)}) ikke er optimale, se f.eks. Schaap and Leij (2) og Kosugi (1999). Indsættes udtrykket (4) for Θ i ligning (7) under antagelsen m = 1 1/n, når man frem til følgende lukkede udtryk for den hydrauliske ledningsevne: K(Θ) = K s Θ δ [1 ( 1 Θ n/(n 1)) (n 1)/n ] 2, n > 1. (9) Indsættes i stedet i ligning (8) under antagelsen m = 1 2/n, når man frem til følgende lukkede udtryk: K(Θ) = K s Θ δ [1 ( 1 Θ n/(n 1)) (n 1)/n ], n > 2. (1)

12 2 MATERIALER OG METODER 9 Man kalder ofte (9) for Mualem-van Genuchten modellen, mens (1) kaldes Burdine-van Genuchten modellen. Udledningen af (9) er vist i Appendiks A, mens udledningen af (1) er udeladt, da dette klares på helt tilsvarende vis. Den hydrauliske ledningsevne kan også udtrykkes som funktion af trykpotentialet h ved ganske enkelt at indsætte udtykket for Θ fra ligning (4) i ligningerne (9) og (1). Udtrykkene og detaljerne i beregningerne kan findes i van Genuchten (198), og vi vil her kun angive Mualem-van Genuchten varianten under antagelsen δ =.5: {1 (αh) n 1 [1 + (αh) n ] (n 1)/n} 2 K(h) = K s, h >, n > 1. (11) [1 + (αh) n ] (n 1)/(2n) Det er i praksis vigtigt at huske, at h > antages, selvom det egentlig er undertryk (h < ), man interesserer sig for. Et eksempel på den hydrauliske ledningsevne som funktion af trykpotentialet er vist i Figur 2. Relativ hydraulisk ledningsevne, K.r Figur 2: Den predikterede relative hydraulisk ledningsevne mod trykpotentialet med udgangspunkt i den retentionskurve, som er vist i Figur 1. Ifølge van Genuchten (198) er ligningerne baseret på Burdine (1953) i de fleste tilfælde i dårligere overensstemmelse med eksperimentielle data

13 2 MATERIALER OG METODER 1 end de tilsvarende ligninger baseret på Mualem (1976). Denne konklusion skulle Mualem (1976) i øvrigt også være nået til. Ifølge Leij et al. (1997) er hverken Mualem (1976) eller Burdine (1953) udtrykkene gode til bestemmelse af strømninger i meget tørre medier. I stedet for at tage udgangspunkt i ligning (4), kan man selvfølgelig indsætte Θ fra Brooks and Corey (1964), dvs. ligning (3), i ligningerne (7) og (8). De udtryk for den hydrauliske ledningsevne, man herved får udledt, er gengivet i van Genuchten (198), hvor der også foretages en grafisk sammenligning med udtrykkene baseret på ligningerne (4) og (7). Der er forholdsvis store forskelle, når θ nærmer sig mætning θ s altså ved de lave værdier af trykpotentialet h. Bemærk, at da man eksperimentielt kan bestemme K s, kan modellerne reduceres ved i stedet at betragte udtrykkene for den relative hydrauliske ledningsevne, K r = K/K s Estimation og prediktion Til estimering benyttes typisk en eller anden form for (ikke-lineær) mindste kvadraters metode. I Leij et al. (1997) bestemmes parameterværdierne ved at minimere følgende objektfunktion: N O(ψ) = {θ i ˆθ M i (ψ)} 2 + {W (log(k j ) log( ˆK j (ψ))} 2, (12) i=1 j=1 hvor ψ = (θ r, θ s, α, n, m, δ, K s ) T. Bemærk, at m og n fra van Genuchten (198) betegnes med henholdsvis γ og β i Leij et al. (1997). Vægten W bestemmes som W = 1 M 1 N N i=1 θ i M j=1 log(k j), (13) og er medtaget for at minimere bias i optimeringsproceduren hen mod den type data, som numerisk har de største værdier (en slags normaliserende faktor). Hvis parameteren γ i ligning (6) ikke antages kendt, skal denne parameter naturligvis medtages i parametervektoren ψ. Det er mere eller mindre oplagt, at gode startværdier (tæt på de sande værdier) og evt. bånd på værdierne giver hurtigere (eller større sandsynlighed for) konvergens af optimeringsproceduren.

14 3 RESULTATER 11 En mere ad hoc agtig tilgang til estimeringen kan ses i van Genuchten (198), men til de praktiske beregninger benyttes dog også der en mindste kvadraters metode. En anden tilgangsvinkel er at bestemme de fælles parameterværdier ud fra pedo-transfer funktioner, som relaterer retentionskurvens parametre til jordegenskaber, f.eks. tekstur. Dernæst predikteres den hydrauliske ledningsevne ved brug af disse parameterværdier. Fordelen ved denne tilgang er, at man benytter informationen fra et langt større datamateriale til estimering af nogle af de parametre, der indgår i udtrykket for den hydrauliske ledningsevne. Endelig kan man opstille pedo-transfer funktioner, som på samme tid relaterer retentionsparametre og ledningsevne parametre til andre jordegenskaber. 2.3 Pedo-transfer funktioner Pedo-transfer funktioner er ikke andet end nogle funktioner, der relaterer forskellige parametre, som vi kender eller let og billigt kan bestemme, med parametre, det er dyrt eller tidskrævende at bestemme. Parametrene kan være jordegenskaber som f.eks. tekstur, hydraulisk ledningsevne, vandindhold eller -retention. Det kan også være mere overordnede faktorer som landskabstype (geologisk oprindelse) og geografisk placering. Selve ordet pedo-transfer funktioner (pedotransfer functions) blev indført i Bouma (1989) som et blandingsprodukt af ordene pedofunctions og transfer functions. Udfordringen er altså, at omsætte data/parametre vi har, til data/parametre vi ønsker og har brug for. 3 Resultater 3.1 Vandretentionskurver Datasættet giver ikke mulighed for at estimere vandretentionsparametrene. Til gengæld er estimaterne fundet vha. Mualem-van Genuchten og Burdinevan Genuchten modellerne givet. Vi kan derfor vise de fittede vandretentionskurver sammen med det gennemsnitlige vandindhold ved forskellige trykpo-

15 3 RESULTATER 12 tentialer, se Figur 3 og 4. I nogle af plottene er der tilsyneladende færre kurver end horisonter (forskellige dybder). Dette skyldes, at parametrene θ r, θ s, α og n er nøjagtig ens i nogle af horisonterne. 3.2 Hydraulisk ledningsevne Hvis vi tager udgangspunkt i de estimerede retentionsparametre, kan vi prediktere den relative hydrauliske ledningsevne K r vha. ligning (11), se Figur 5. Hvis vi benytter de målte værdier af den mættede hydrauliske ledningsevne K s, kan vi omregne den målte umættede hydrauliske ledningsevne K til en relative ledningsevne, K r = K/K s. I Figur 6 og 7 har vi plottet disse værdier sammen med de predikterede kurver. Man behøver ikke at beregne en teststørrelse for at overbevise sig om den manglende tilpasning. Vi kan også bestemme et estimat for den mættede hydrauliske ledningsevne ˆK s ved at dividere den observerede umættede hydrauliske ledningsevne K(h) med den aktuelle værdi af den predikterede relative hydrauliske ledningsevne ˆK r (h): ˆK s = K(h) ˆK r (h). (14) Af de i alt 937 observationer er den estimerede mættede hydrauliske ledningsevne i 21 tilfælde større end den observerede. En del af disse estimerede værdier er endda meget ekstreme. I Figur 8 har vi plottet ˆK s op mod K s for de værdier, hvor ˆK s max(k s ). Igen ser vi, at de estimerede værdier afviger meget fra de observerede.

16 3 RESULTATER 13 Profil nr. 37 Profil nr. 39 Profil nr Profil nr. 354 Profil nr. 357 Profil nr Profil nr. 361 Profil nr. 363 Profil nr Profil nr. 368 Profil nr. 372 Profil nr Profil nr. 374 Profil nr. 375 Profil nr Figur 3: De fittede retentionspunkter og -kurver for hver dybde (angivet i legenden) indenfor hver profil (et plot pr. profil).

17 3 RESULTATER 14 Profil nr. 378 Profil nr. 379 Profil nr Profil nr. 381 Profil nr. 382 Profil nr Profil nr. 384 Profil nr. 386 Profil nr Profil nr. 318 Profil nr Figur 4: De fittede retentionspunkter og -kurver for hver dybde (angivet i legenden) indenfor hver profil (et plot pr. profil).

18 4 DISKUSSION OG KONKLUSION 15 Relativ hydraulisk ledningsevne, K.r Figur 5: Den predikterede relative hydrauliske ledningsevne (ud fra de estimerede retentionsparametre) - en kurve for hver dybde indenfor hver profil. 4 Diskussion og konklusion Bedømt ud fra Figur 5 8, bør man nok estimere alle parametrene simultant og dernæst finde passende pedo-transfer funktioner. Man skal dog i den forbindelse huske, at de eksperimentielt bestemte værdier af den hydrauliske ledningsevne er forholdsvis upræcise. Et andet problem er det faktum, at den umættede ledningsevne kun er bestemt for et forholdsvist snævert interval af -værdier. Vi må derfor forvente, at forløbet af ledningsevnekurven er svær at bestemme, da der stort set ingen observationer er i enderne. Specielt kunne vi ønske os flere målinger i nærheden af mætningspunktet.

19 4 DISKUSSION OG KONKLUSION 16 Profil nr. 37 Profil nr. 39 Profil nr Profil nr. 354 Profil nr. 357 Profil nr Profil nr. 361 Profil nr. 363 Profil nr Profil nr. 368 Profil nr. 372 Profil nr Profil nr. 374 Profil nr. 375 Profil nr Figur 6: Den relative hydrauliske ledningsevne K r. Punkterne er de målte værdier af umættet hydraulisk ledningsevne divideret med de målte værdier (én værdi pr. dybde pr. profil) af den mættede hydrauliske ledningsevne. Kurverne er predikteret ud fra de estimerede retentionsparametre for hver dybde (angivet i legenden) indenfor hver profil (et plot pr. profil).

20 4 DISKUSSION OG KONKLUSION 17 Profil nr. 378 Profil nr. 379 Profil nr Profil nr. 381 Profil nr. 382 Profil nr Profil nr. 384 Profil nr. 386 Profil nr Profil nr. 318 Profil nr Figur 7: Den relative hydrauliske ledningsevne K r. Punkterne er de målte værdier af umættet hydraulisk ledningsevne divideret med de målte værdier (én værdi pr. dybde pr. profil) af den mættede hydrauliske ledningsevne. Kurverne er predikteret ud fra de estimerede retentionsparametre for hver dybde (angivet i legenden) indenfor hver profil (et plot pr. profil).

21 LITTERATUR 18 Estimeret K_s Observeret K_s Figur 8: Den estimerede mættede hydrauliske ledningsevne ˆK s plottet op mod de tilsvarende målte værdier, K s. Estimaterne er bestemt vha. ligning (14), og værdier, hvor ˆK s > max(k s ), er udeladt. Litteratur Bouma, J. (1989). Using Soil Survey Data for Quantitative Land Evaluation, volume 9 of Advances in Soil Science. Springer-Verlag, New York, Brooks, R. and Corey, A. (1964). Hydraulic properties of porous media. Hydrology Paper 3, Colorado State University, Fort Collins, CO. Burdine, N. (1953). Relative permeability calculations from pore-size distribution data. Transactions of the American Institute of Mining and Metallurgical Engineers 198, van Genuchten, M. (198). A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Science Society of America Journal 44,

22 A APPENDIKS 19 Gradshteyn, I. and Ryzhik, I. (1994). Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, 5th edition. Kosugi, K. (1999). General model for unsaturated hydraulic conductivity for soils with lognormal pore-size distribution. Soil Science Society of America Journal 63, Leij, F., Russell, W. and Lesch, S. (1997). Closed-form expressions for water retention and conductivity data. Ground Water 35, Marquardt, D. (1963). An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. J. Soc. Ind. Appl. Math. 11, Mualem, Y. (1976). A new model for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated porous media. Water Resources Research 12, Schaap, M. and Leij, F. (2). Improved prediction of unsaturated hydraulic conductivity with the Mualem-van Genuchten model. Soil Science Society of America Journal 64, A Appendiks A.1 Udledning af formel (9) Vi vil vise, hvordan ligningerne (4) og (7) kan frembringe ligning (9), når vi antager, at m = 1 1/n, n > 1 og h >. Dele af denne udledning kan findes i van Genuchten (198). Vi regner først på udtrykket i ligning (4): [ 1 Θ = 1 + (αh) n Θ 1/m = 1 + (αh) n 1 h = α [ Θ 1/m 1 Θ 1/m ] m ] 1/n. (15)

23 A APPENDIKS 2 Vi indsætter (15) i ligning (7) og finder, idet α forkorter væk, at hvor [ ] 2 f(θ) K = K s Θ δ, (16) f(1) f(θ) = Θ [ x 1/m 1 x 1/m ] 1/n dx. (17) Substitueres med x = y m i ligning (17) fås Θ 1/m f(θ) = m y m 1+1/n (1 y) 1/n dy, (18) som er den ukomplette Beta funktion, se f.eks. formel (8.397) i Gradshteyn and Ryzhik (1994). Denne kan ikke generelt omskrives til lukkede udtryk. Hvis k = m 1 + 1/n er heltallig, er det dog muligt at omskrive til lukkede udtryk, og dette gælder specielt for k = eller med andre ord for m = 1 1/n. Antager vi derfor, at m = 1 1/n og substituerer med z = 1 y i ligning (18), så finder vi, at f(θ) = 1 ( 1 Θ n/(n 1)) (n 1)/n. (19) Vi bemærker, at f(1) = 1, indsætter ligning (19) i ligning (16), og får derved formel (9), dvs. K(Θ) = K s Θ δ [1 ( 1 Θ n/(n 1)) (n 1)/n ] 2, n > 1.

24 Recent Publications in the Internal Report Series of the Biometry Research Unit: 22-4) Foldager, L. (22). Kvantificering af Hydrauliske Egenskaber: Vandretention og Hydraulisk Ledningsevne 22-3) Højsgaard, S. and Erik Jørgensen (22). Mixed Models Applied in Agricultural Sciences II based on A Course in Mixed Models for Use in Research in Animal Nutrition and Physiology 22-2) Foldager, L. (22). Analyse af sammenhængen mellem hjertefrekvens og varmeproduktion hos drægtige søer - en anvendelse af mixed models 22-1) Foldager, L., Labouriau, R. and Danfær, A. (22). An emprirical study of a pig simulation model for feed evaluation. 21-6) Højsgaard, S. and Jørgensen, E. (21). Mixed Models applied in Agricultural Sciences Based on A Course in Mixed Models for use in Animal Health and Animal Welfare Research. 21-5) Højsgaard, S. and Jørgensen, E. (21). Note Concerning Analysis of Stratified Data Objective Evaluation of Health Status in Danish Pig Herds. 21-4) Højsgaard, S. and Jørgensen, E. (21). Lecture Slides on Mixed Models Based on A Course in Mixed Models for Use in Animal Health and Animal Welfare Research. 21-3) Kristensen, K. (21). A collection of some statistical issues to consider when testing for GM seeds in conventional seed lots. 21-2) Hansen, B. (21). Approximate Standard Errors And the Use of Bootstrapping. 21-1) Foldager, L. (21) Usikkerhed på optimal kvælstofmængde Bootstrap metoder. 2-5) Foldager, L. (2) Usikkerhed på optimal kvælstofmængde variationsanalyse. 2-4) Larsen, B., Nielsen, L.N., Labouriau, R. and Lundbye-Christensen, S. (2). A binomial state-space model for studying the occurrence of respiratory disease in Danish diary calves. 2-3) Labouriau, R. and Elmholt, S. (2). Comparing fungal abundance in a multi-soil study: an application of generalized linear mixed models. 2-2) Jørgensen, E. (2). Elements of Bayesian network specification in an animal health economy research project. 2-1) Labouriau, R., Schulin-Zeuthen, M. and Danfær, A (2). Statistical analysis of pigs development: An application of Richards regression models ) Hansen, B. (1999): On curve regristration and functional data analysis. pp ) Laboriau, R., Andersen, J-O. and Nielsen, M. (1999): Statistical analysis of biocristallazation patterns of carrots extracts ) Kristensen, K. (1999): Definition og analyse af nogle forsøgstyper ) Pedersen, A. R. and Højsgaard, S. (1999): Anvendelser af miksturfordelinger ) Waagepetersen, R. (1998): Kirsebær: et eksempel på anvendelse af generaliserede lineære mixed modeller ) Waagepetersen, R. (1998): A quick introduction to Markov chains and Markov chain Monte Carlo.

25 Recent Publications in the Technical Report Series of the Biometry Research Unit: 22-3) Foldager, L. and Pedersen, J. (22). Spatial Distribution of Detected Single Fish. An Application of the Log Gaussian Cox Process. 22-2) Tøgersen, F. A. and Waagepetersen, R. (22). Statistical modelling and deconvolution of yield meter data. 22-1) Jørgensen, E. (22). Circadian variation. Estimation of a time maximum. 2-4) Hansen, M.B., Møller, J. and Tøgersen, F. A. (2). Bayesian contour detection in a time series of ultra-sound images through dynamic deformable template models. 2-3) Waagepetersen, R. and Sørensen, D.(2). A tutorial on reversible jump MCMC with a view towards applications in QTL-mapping. 2-2) Jørgensen, B. and Labouriau, R. (2). Exponential Families and Theoretical Inference. 2-1) Højsgaard, S. (2). Statistical inference in context specific interaction models for contingency tables ) Kristensen, K. (1999). Statistical methods for analysing genotype environment interactions in variety trials ) Labouriau, R (1999). Estimating functions for semiparametric models with moment restrictons ) Nielsen, J., Studnitz, M. og Søegaard (1999) On the use of stereological methods in the agricultural sciences ) Baddeley, A. J., Møller, J., and Waagepetersen, R. (1998): Non- and semi-parametric estimation of interaction in inhomogeneous point patterns ) Pedersen, A. R. (1998). Measuring the nitrous oxide emission rate from the soil surface by means of the Cox, Ingersoll & Ross process ) Labouriau, R & Høyer, L. (1998): A note on the temperature dependence of ethylene induced leaflet abscission in "Radamarchera sinica" ) Skjøth, F. & Værbak, S. (1998): A keeping quality study on "Primula vulgaris" based on a Markov model with aggregated data ) Skjøth, F. & Lundbye-Christensen, S. (1997): An investigation of a State-space model for Longitudinal count data, with an application to the modelling of cucumber yield. (Second edition) ) Jørgensen, B. (1997): The Theory of Dispersion Models ) Labouriau, R. (1997): Estimating functions for semiparametric models ) Skjøth, F. & Lundbye-Christensen, S. (1997): An investigation of a State-space model for Longitudinal count data, with an application to the modelling of cucumber yield ) Labouriau, R. (1997): The Laplace transform and polynomial approximation in L ) Nielsen, J. (1996): The volume of isotropic random projections of simplices ) Labouriau, R. (1996): Path and functional differentiability ) Højsgaard, S. (1996): Split models for contingency tables ) Labouriau, R. (1996): Semiparametric Models with L 2 Restrictions - part I.