Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder"

Transkript

1 Dagens program Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1

2 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives ved en sandsynlighedsmodel. Til ethvert udfald i udfaldsrummet Ω knyttes en "værdi". Denne funktion kaldes en stokastisk variabel. Eksempel 1, Familiemønstre: Familiermed3børn-hvaderbørneneskøn? Udfaldsrum (Køn på 1. barn, Køn på 2. barn, Køn på 3. barn): Ω = {PPP, PPD, PDP, DPP, DDP, DPD, PDD, DDD} 2

3 Stokastisk variabel X : Antal piger X =0svarer til hændelsen E 0 = {DDD} X =1svarer til hændelsen E 1 = {DDP, DPD, PDD} X =2svarer til hændelsen E 2 = {PPD,PDP,DPP} X =3svarer til hændelsen E 3 = {PPP} (X = x) svarer til hændelsen bestående af alle udfald ω, hvorx (ω) =x Specielt er X (ω) =ω en stokastisk variabel 3

4 Eksempler på stokastiske variable: Numeriske: Antal piger i familier med 3 børn Afkast af investering i kr Antal gange et spil vindes, hvis der spilles 1000 gange Frekvensen af vundne spil, hvis der spilles 1000 gange Kategoriske: Kønpå1.barnifamilemed3børn Uddannelsesniveau for person i en tilfældig stikprøve 4

5 Sandsynlighedsfunktion Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Definition: Sandsynlighedsfunktionen for den stokastiske variabel X er givet ved: f (x) =P (X = x) =P (X (ω) =x) = X P (ω) Egenskaber: (i) f (x) 0 for alle x (ii) P x f (x) =1 X(ω)=x Fordelingen af en stokastisk variabel kaldes en sandsynlighedsfordeling og den beskrives ved sandsynlighedsfunktionen. 5

6 Eksempel 2.1c i bogen, Ventetidsfordeling: Vi kaster en mønt, indtil vi får "krone". Hvad er fordelingen af antallet af "plat"? "krone": 1 og "plat": 0 Udfaldsrum Ω = {1, 01, 001, 0001,...} P (1) = 1/2 P (01) = 1/4 P (001) = 1/8 P (0001) = 1/16 osv. X : Antal "plat"inden vi får "krone" X kan antage værdierne 0, 1, 2, 3,... 6

7 Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x) = 1 2 x+1 for x =0, 1, 2, 3,... 7

8 Simultane fordelinger Kvantitative Metoder 1 - Efterår Vigtigt da man ofte prøver at forstå sammenhænge mellem variable - Vigtigt i den statistiske analyse Fordelingen af to stokastiske variable (X, Y ) To aktiver A og B, der er usikkerhed om en udmelding, der påvirker afkastene på de 2 aktiver. Der er 3 mulige udmeldinger ω 1, ω 2 og ω 3. X (ω i ):Afkast af aktiv A ved udmelding ω i Y (ω i ):Afkast af aktiv B ved udmelding ω i Vi er interesserede i at undersøge, hvordan den simultane fordeling af afkastene på de 2 aktiver ser ud. 8

9 Definition: Sandsynlighedsfunktionen for (X, Y ) er givet ved: f (x, y) =P (X = x, Y = y) =P (X (ω) =x, Y (ω) =y) Dergældersomførat: f (x, y) 0 for alle (x, y) P P x y f (x, y) =1 9

10 Eksempel 2: Afkast af 2 aktiver Stokastiske variable: X A : Afkast af aktiv A (i kr) X B : Afkast af aktiv B (i kr) Fordelingen af (X A,X B ) : X A \X B f XA (500) = f (500, 400) + f (500, 500) + f (500, 600) + f (500, 700) = 0.04 f XB (500) = f (450, 500) + f (500, 500) + f (550, 500) + f (600, 500) =

11 De marginale fordelinger af afkastene: X A \X B Den marginale fordeling af X A aflæses i sidste søjle Den marginale fordeling af X B aflæses i sidste række 11

12 Marginale sandsynlighedsfunktioner f X (x) = P (X = x) = X y f Y (y) = P (Y = y) = X x f (x, y) f (x, y) Hvis den stokastiske variabel Y kan antage værdierne y 1,...,y n gælder dette iflg. loven om den totale sandsynlighed idet P (X = x) = P (X = x, Y = y 1 )+P (X = x, Y = y 2 ) P (X = x, Y = y n ) = f (x, y 1 )+f (x, y 2 ) f (x, y n ) 12

13 Betingede fordelinger Eksempel 2: Afkast af 2 aktiver, (fortsat) Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Hvis vi ved, at afkastet på aktiv B er 500 kroner. Hvilken information giver dette om afkastet på aktiv A? Som udgangspunkt ved vi, at fordelingen af afkastet på aktiv A er følgende: Fordelingen af afkast på aktiv A: X A = x A f XA (x A ) Hvis vi ved, at X B =500 Sandsynligheden for X A =450er 22 gange større end sandsynligheden for at X A = 500,X A =550og X A =600 13

14 Den betingede fordeling af X A givet X B =500er derfor givet ved P (X A =450 X B = 500) = P (X A =450,X B =500) P (X B =500) P (X A =500 X B = 500) = P (X A =500,X B =500) P (X B =500) P (X A =550 X B = 500) = P (X A =550,X B =500) P (X B =500) P (X A =600 X B = 500) = P (X A =600,X B =500) P (X B =500) = =0.88 = =0.04 = =0.04 = =0.04 Den betingede fordeling af X A givet X B =500er en sandsynlighedsfordeling. I dette tilfælde er den betingede fordeling af X A givet X B som den marginale fordeling af X A. =500ikke den samme 14

15 Den betingede sandsynlighedsfunktion af X givet Y = y er givet ved Bemærk: f (x y) =P (X = x Y = y) = P (X = x, Y = y) P (Y = y) = f (x, y) f Y (y) Den betingede sandsynlighedsfunktion f (x y) og f (x, y) er proportionale f (x y) er en sandsynlighedsfunktion, dvs. P x f (x y) =1 15

16 Den betingede sandsynlighed af hændelse E givet hændelse F er P (E F )= P (E F ) for P (F ) 6= 0 P (F ) Multiplikationsregler: Lad E og F være hændelser hvor P (F ) > 0, dagælder: P (E F )=P (F ) P (E F ) Lad E 1,..., E k være hændelser hvor P (E 1... E k 1 ) > 0, dagælder: P (E 1... E k )=P (E 1 ) P (E 2 E 1 )...P (E k E 1... E k 1 ) 16

17 Eksempel 3: I en gruppe bestående af 40 kvinder og 60 mænd er der 30% af kvinderne og 40% af mændene, der er rygere. Jeg vælger en tilfældig person fra denne gruppe. Hvad er sandsynligheden for at vælge en ryger? P ( ryger ) = P ( ryger og kvinde)+p (ryger og mand) = P (ryger kvinde) P (kvinde) +P (ryger mand) P (mand) = = =

18 Eksempel 4: Overlevelsessandsynligheder En mand er 25 år, hvad er sandsynligheden for, at han bliver mindst 30 år? Vi ved følgende (Danmarks Statistik, Statistikbanken): Dødelighedstavle: 2004:2005 Dødshyppighed pr , mænd Dødshyppighed pr , kvinder 25 år år år år år år

19 E i : Personen bliver mindst i år for i =0, 1, 2,... Bemærk at E 0 E 1 E 2... E 25 E E Vi har at E 30 = E 30 E E 25 E 29 = E E 25. E 26 = E 26 E 25 19

20 Vi regner P (E 30 E 25 ) = P (E 30 E 25 ) P (E 25 ) = P (E 30 E E 25 ) P (E 25 ) = P (E 26 E 25 ) P (E 27 E 25 E 26 ) P (E 28 E 25 E 26 E 27 ) P (E 29 E 25 E 26 E 27 E 28 ) P (E 30 E 25 E 26 E 27 E 27 E 29 ) = P (E 26 E 25 ) P (E 27 E 26 ) P (E 28 E 27 ) P (E 29 E 28 ) P (E 30 E 29 ) = (1 74/100000) (1 77/100000) (1 83/100000) (1 81/100000) (1 74/100000) (1 78/100000)

21 Opsummering Stokastiske variable og sandsynlighedsfunktioner En sandsynlighedsfunktion giver en beskrivelse af en sandsynlighedsfordeling Simultane fordelinger - Vigtigt at forstå sammenhænge mellem variable - Marginale fordelinger Betingede fordelinger -Hvadbetyderdet - Regneregler Eksempler: -Afkastaftoaktiver - Ventetidsfordeling - Overlevelsessandsynligheder 21

22 Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit Bayes regel Uafhængighed 22

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

4 Stokastiske variabler

4 Stokastiske variabler 4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Introduktion til sandsynlighedsregning

Introduktion til sandsynlighedsregning Jens E. Overø Introduktion til sandsynlighedsregning Samfundslitteratur Jens E.Overø Introduktion til sandsynlighedsregning 1. udgave 1992 1. udgave, 2. oplag 2001 Samfundslitteratur 2001 Grafisk tilrettelæggelse:

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 9. Sandsynlighedsregning Hvad er den typiske størrelse af et nittehoved? 9. Statistik og sandsynlighedsregning Indhold 9.0 Indledning

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere