Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Transkript

1 Dagens program Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1

2 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives ved en sandsynlighedsmodel. Til ethvert udfald i udfaldsrummet Ω knyttes en "værdi". Denne funktion kaldes en stokastisk variabel. Eksempel 1, Familiemønstre: Familiermed3børn-hvaderbørneneskøn? Udfaldsrum (Køn på 1. barn, Køn på 2. barn, Køn på 3. barn): Ω = {PPP, PPD, PDP, DPP, DDP, DPD, PDD, DDD} 2

3 Stokastisk variabel X : Antal piger X =0svarer til hændelsen E 0 = {DDD} X =1svarer til hændelsen E 1 = {DDP, DPD, PDD} X =2svarer til hændelsen E 2 = {PPD,PDP,DPP} X =3svarer til hændelsen E 3 = {PPP} (X = x) svarer til hændelsen bestående af alle udfald ω, hvorx (ω) =x Specielt er X (ω) =ω en stokastisk variabel 3

4 Eksempler på stokastiske variable: Numeriske: Antal piger i familier med 3 børn Afkast af investering i kr Antal gange et spil vindes, hvis der spilles 1000 gange Frekvensen af vundne spil, hvis der spilles 1000 gange Kategoriske: Kønpå1.barnifamilemed3børn Uddannelsesniveau for person i en tilfældig stikprøve 4

5 Sandsynlighedsfunktion Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Definition: Sandsynlighedsfunktionen for den stokastiske variabel X er givet ved: f (x) =P (X = x) =P (X (ω) =x) = X P (ω) Egenskaber: (i) f (x) 0 for alle x (ii) P x f (x) =1 X(ω)=x Fordelingen af en stokastisk variabel kaldes en sandsynlighedsfordeling og den beskrives ved sandsynlighedsfunktionen. 5

6 Eksempel 2.1c i bogen, Ventetidsfordeling: Vi kaster en mønt, indtil vi får "krone". Hvad er fordelingen af antallet af "plat"? "krone": 1 og "plat": 0 Udfaldsrum Ω = {1, 01, 001, 0001,...} P (1) = 1/2 P (01) = 1/4 P (001) = 1/8 P (0001) = 1/16 osv. X : Antal "plat"inden vi får "krone" X kan antage værdierne 0, 1, 2, 3,... 6

7 Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x) = 1 2 x+1 for x =0, 1, 2, 3,... 7

8 Simultane fordelinger Kvantitative Metoder 1 - Efterår Vigtigt da man ofte prøver at forstå sammenhænge mellem variable - Vigtigt i den statistiske analyse Fordelingen af to stokastiske variable (X, Y ) To aktiver A og B, der er usikkerhed om en udmelding, der påvirker afkastene på de 2 aktiver. Der er 3 mulige udmeldinger ω 1, ω 2 og ω 3. X (ω i ):Afkast af aktiv A ved udmelding ω i Y (ω i ):Afkast af aktiv B ved udmelding ω i Vi er interesserede i at undersøge, hvordan den simultane fordeling af afkastene på de 2 aktiver ser ud. 8

9 Definition: Sandsynlighedsfunktionen for (X, Y ) er givet ved: f (x, y) =P (X = x, Y = y) =P (X (ω) =x, Y (ω) =y) Dergældersomførat: f (x, y) 0 for alle (x, y) P P x y f (x, y) =1 9

10 Eksempel 2: Afkast af 2 aktiver Stokastiske variable: X A : Afkast af aktiv A (i kr) X B : Afkast af aktiv B (i kr) Fordelingen af (X A,X B ) : X A \X B f XA (500) = f (500, 400) + f (500, 500) + f (500, 600) + f (500, 700) = 0.04 f XB (500) = f (450, 500) + f (500, 500) + f (550, 500) + f (600, 500) =

11 De marginale fordelinger af afkastene: X A \X B Den marginale fordeling af X A aflæses i sidste søjle Den marginale fordeling af X B aflæses i sidste række 11

12 Marginale sandsynlighedsfunktioner f X (x) = P (X = x) = X y f Y (y) = P (Y = y) = X x f (x, y) f (x, y) Hvis den stokastiske variabel Y kan antage værdierne y 1,...,y n gælder dette iflg. loven om den totale sandsynlighed idet P (X = x) = P (X = x, Y = y 1 )+P (X = x, Y = y 2 ) P (X = x, Y = y n ) = f (x, y 1 )+f (x, y 2 ) f (x, y n ) 12

13 Betingede fordelinger Eksempel 2: Afkast af 2 aktiver, (fortsat) Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Hvis vi ved, at afkastet på aktiv B er 500 kroner. Hvilken information giver dette om afkastet på aktiv A? Som udgangspunkt ved vi, at fordelingen af afkastet på aktiv A er følgende: Fordelingen af afkast på aktiv A: X A = x A f XA (x A ) Hvis vi ved, at X B =500 Sandsynligheden for X A =450er 22 gange større end sandsynligheden for at X A = 500,X A =550og X A =600 13

14 Den betingede fordeling af X A givet X B =500er derfor givet ved P (X A =450 X B = 500) = P (X A =450,X B =500) P (X B =500) P (X A =500 X B = 500) = P (X A =500,X B =500) P (X B =500) P (X A =550 X B = 500) = P (X A =550,X B =500) P (X B =500) P (X A =600 X B = 500) = P (X A =600,X B =500) P (X B =500) = =0.88 = =0.04 = =0.04 = =0.04 Den betingede fordeling af X A givet X B =500er en sandsynlighedsfordeling. I dette tilfælde er den betingede fordeling af X A givet X B som den marginale fordeling af X A. =500ikke den samme 14

15 Den betingede sandsynlighedsfunktion af X givet Y = y er givet ved Bemærk: f (x y) =P (X = x Y = y) = P (X = x, Y = y) P (Y = y) = f (x, y) f Y (y) Den betingede sandsynlighedsfunktion f (x y) og f (x, y) er proportionale f (x y) er en sandsynlighedsfunktion, dvs. P x f (x y) =1 15

16 Den betingede sandsynlighed af hændelse E givet hændelse F er P (E F )= P (E F ) for P (F ) 6= 0 P (F ) Multiplikationsregler: Lad E og F være hændelser hvor P (F ) > 0, dagælder: P (E F )=P (F ) P (E F ) Lad E 1,..., E k være hændelser hvor P (E 1... E k 1 ) > 0, dagælder: P (E 1... E k )=P (E 1 ) P (E 2 E 1 )...P (E k E 1... E k 1 ) 16

17 Eksempel 3: I en gruppe bestående af 40 kvinder og 60 mænd er der 30% af kvinderne og 40% af mændene, der er rygere. Jeg vælger en tilfældig person fra denne gruppe. Hvad er sandsynligheden for at vælge en ryger? P ( ryger ) = P ( ryger og kvinde)+p (ryger og mand) = P (ryger kvinde) P (kvinde) +P (ryger mand) P (mand) = = =

18 Eksempel 4: Overlevelsessandsynligheder En mand er 25 år, hvad er sandsynligheden for, at han bliver mindst 30 år? Vi ved følgende (Danmarks Statistik, Statistikbanken): Dødelighedstavle: 2004:2005 Dødshyppighed pr , mænd Dødshyppighed pr , kvinder 25 år år år år år år

19 E i : Personen bliver mindst i år for i =0, 1, 2,... Bemærk at E 0 E 1 E 2... E 25 E E Vi har at E 30 = E 30 E E 25 E 29 = E E 25. E 26 = E 26 E 25 19

20 Vi regner P (E 30 E 25 ) = P (E 30 E 25 ) P (E 25 ) = P (E 30 E E 25 ) P (E 25 ) = P (E 26 E 25 ) P (E 27 E 25 E 26 ) P (E 28 E 25 E 26 E 27 ) P (E 29 E 25 E 26 E 27 E 28 ) P (E 30 E 25 E 26 E 27 E 27 E 29 ) = P (E 26 E 25 ) P (E 27 E 26 ) P (E 28 E 27 ) P (E 29 E 28 ) P (E 30 E 29 ) = (1 74/100000) (1 77/100000) (1 83/100000) (1 81/100000) (1 74/100000) (1 78/100000)

21 Opsummering Stokastiske variable og sandsynlighedsfunktioner En sandsynlighedsfunktion giver en beskrivelse af en sandsynlighedsfordeling Simultane fordelinger - Vigtigt at forstå sammenhænge mellem variable - Marginale fordelinger Betingede fordelinger -Hvadbetyderdet - Regneregler Eksempler: -Afkastaftoaktiver - Ventetidsfordeling - Overlevelsessandsynligheder 21

22 Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit Bayes regel Uafhængighed 22