Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Diskrete og kontinuerte stokastiske variable"

Filippa Groth
7 år siden
Visninger:

1 Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

2 Opsummerig Law of total probability Bayes sætig P( B A) P(A) P(A I B) + P(A I B) P( A B) P( B) P( A B) P( B) + P( A B) P( B) Stokastisk variabel diskret: Edeligt atal værdier Sadsyligheds fordelig: Tabel med ssh. for hvert, P(X). Kumulativ fordeligs fuktio F ( ) P( X ) P( i) i Middelværdi μ E ( ) P( ) Varias Stadard afvigelse σ V μ ( X ) E [( X ) ] E ( X ) [ E ( X σ SD ( X ) V ( X ) )]

3 Beroulli fordelige Hvis et eksperimet består af et ekelt forsøg og forsøget ete ka være e succes eller e fiasko, så kaldes forsøget for et Beroulli forsøg Atallet af succes er i et Beroulli eksperimet, som ka være ete eller 0, kaldes e Beroulli stokastisk variabel Hvis p er sadsylighede for succes i et Beroulli eksperimet, så er E(X) p + 0 (-p) p E(X²)² p + 0² (-p) p V(X) E(X² ) (E(X))² p - p² p( - p) Hvis for eksempel p0,7: E(X)0,7 V(X)0,7 0,3 0,

4 Biomial fordelig Biomial fordelige er resultatet af et Biomialt eksperimet: Det Biomiale eksperimet består af et fast atal Beroulli forsøg Så i hvert forsøg er der to mulige udfald, succes og fiasko P( succes )p kostat for hvert forsøg (Ligeledes for P( fiasko )-pq) Forsøgee er uafhægige Eksempler: Kast med e møt gage. S(kroe (succes), plat (fiasko)). Hvis fair møt p0,5. Sadsylighede er kostat og forsøgee er uafhægige, da et møtkasts udfald ikke påvirker udfaldet af det æste kast Træk et kort gage. S(spar (succes), adet (fiasko)). P(spar)0,5, kostat hvis vi lægger kortet tilbage i buke ige, ellers ikke. Uafhægige. Bemærk! Ude tilbagelægig vil P(ummer spar, hvis ummer er e spar) /5 og dermed ikke kostat sadsylighed

5 Biomial eksempel Kast e møt 5 gage og lad X være atallet af plat. Der er 5 3 mulige sekveser af plat og kroe i udfaldsrummet. Af disse er der 0 med kroe (X): KKPPP KPKPP KPPKP KPPPK PKKPP PKPKP PKPPK PPKKP PPKPK PPPKK Sadsylighede for hvert af disse 0 udfald er p q 3 (/) (/) 3 (/3), så sadsylighede for kroe i 5 kast er: P(X ) 0 * (/3) (0/3) (/3) Atal udfald med kroe Sadsylighede for hvert af disse udfald

6 Biomial fordelig Geerelt:. Sadsylighede for e give sekves af succes er ud af forsøg med sadsylighed for succes p og sadsylighed for fiasko q er lig med: p q (-). Atallet af forskellige sekveser af forsøg, der resulterer i succes er er lig med atallet af valg af elemeter ud af elemeter: C!!( )! Biomial sadsyligheds fordelig: P () pq!!( )! pq ( ) ( ) hvor : p er sadsylighede for succes i et ekelt forsøg, q -p, er atallet af forsøg, og er atallet af succes er.

7 Biomial fordelig.00 )!!(! 3)! 3!(! 3 )!!(! )!!(! 0)! 0!(! 0 Sadsylighed P() succeser Atallet af ) ( 3) ( 3 ) ( ) ( 0) ( 0 q p q p q p q p q p M M

8 Kumulativ Biomial fordelig (Tabel, Appediks C) 5 p Biomial kumulativ fordelig og sadsyligheds fordelig af K, atallet af kroe i 5 kast med e fair møt. h F(h) P(h) Idividuelle sadsyligheder fra kumulative sadsyligheder F ( ) PX ( ) Pi ( ) P() 3 F() 3 F() all i P(X) F() - F( - ) For eample:

9 Biomial sadsyligheder - eksempel 60% af Daske Bak aktiere ejes af mig ;-). E stikprøve på 5 aktier vælges. Hvad er sadsylighede for at højst 3 af dem ejes af mig? 5 p F ( ) F (3) P( X ) i P( i) P( X 3) 0.00

10 Middelværdi, varias og stadard afvigelse af e Biomial fordelig Middelværdi af e biomial fordelig: μ E( X ) p For eksempel, hvis K tæller atallet af kroer i 5 kast med e fair møt: Varias af e biomial fordelig: μ K E( K) (5)(.5).5 σ V ( X ) pq σ K V ( K) (5)(.5)(.5).5 Stadard afvigelse af e biomial fordelig: σ K SD( K).5.8 σ SD(X) pq

12 De egative biomial fordelig bruges til at bestemme sadsylighede for atallet af forsøg X, der skal til for at opå et øsket atal af succes er s i e række af Beroulli forsøg med sadsylighed for succes lig p. ) ( ) ( ) ( s p s p s X P NegativBiomialfordelig: ) ( Variase er: Middelværdie er: p p s p s σ μ Negativ Biomial fordelig

13 Negativ Biomial - eksempel Lad sadsylighede for at producere et defekt produkt være p0,05 Lad produktere være uafhægige Hvis ma tilfældigt udvælger produkter, hvad er så sadsylighede for at det 8. produkt ma vælger, vil være det første defekte produkt? P( X 8) ( (8 0.05) )

14 De hypergeometriske fordelig bruges til at bestemme sadsylighede for et atal af hædelser ude tilbagelægig. De tæller atallet af succes er i udvælgelser, ude tilbagelægig, fra e populatio på N elemeter, hvor S af dem er succes er og (N-S) er fiaskos. N S N S P ) ( Hypergeometrisk fordelig: pq N N N S p p er givet som: Variase hvor, Middelværdie er givet som: σ μ Hypergeometrisk fordelig

15 Hypergeometrisk fordelig - eksempel Eksempel: 0 biler, defekte og 8 i orde. 5 udvælges for ispektio. Hvad er sadsylighede for midst defekt bil? ( 0 ) ( 5 ) P() 0 5 P() 0 5 ( 0 ) ( 5 ) !!! 0! 5!5!! 0!! 8! 4!4! 0! 5!5! 8! 3!5! Alt i alt, P() + P()

16 Poisso fordelig Poisso fordelige bruges til at bestemme sadsylighede for atallet af hædelser i et givet iterval, for eksempel et tidsiterval. De ka også bruges til at approksimere biomial sadsyligheder, år sadsylighede for succes er lille (p 0.05) og atallet af forsøg er stor ( 0). Poisso fordelig : P( ) μ e! μ for,,3,... hvor μ er middelværdie af fordelige OG variase. (Husk at e ).

17 Poisso fordelige Atal succes er i et iterval er uafhægig af succes er i ethvert adet iterval Sadsylighede for succes i et iterval er det samme for alle itervaller af samme lægde Sadsylighede for succes er proportioal med lægde af itervallet Sadsylighede for mere ed é succes i et iterval går mod 0 år lægde af itervallet går mod 0. Eksempler: Flyulykker på et år Atal fejl på meter stof Typografiske fejl på 00 sider i e bog

18 Poisso - eksempel

19 Diskrete og kotiuerte stokastiske Diskret stokastisk variabel: Tæller hædelser Har et tællelig atal af mulige værdier Har diskrete hop mellem efterfølgede værdier Har målelige sadsyligheder for hver ekelt værdi Sadsylighed er højde E kotiuert stokastisk variabel: Måler (højde, vægt, hastighed, lø) Har et uedelig atal af mulige værdier Går kotiuert fra værdi til værdi Har ige målelig sadsylighed til hver idividuel værdi Sadsylighed er areal For eksempel: Biomial 3 p.5 P() P() Biomial: 3 p.5 3 For eksempel: Det skraverede område agiver sadsylighede for mellem og 3 miutter. P() Miutes to Complete Task Miutes

20 Kotiuert fordelig Halv-Miut Itervaller Kvart-Miut Itervaller Miutes to Complete Task: By Half-Miutes Miutes to Complete Task: Fourths of a Miute 0.5 P() P() Miutes Miutes Ottededel-Miut Itervaller Miutes to Complete Task: Eighths of amiute Uedelig små itervaller Tæthedsfuktio P() f(z) Miutes 0 3 Miutes

21 Kotiuerte stokastiske variable tæthedsfuktio og fordeligsfuktio Svarer til sadsyligheds fordelig for diskrete variable For e tæthedsfuktio f() defieret på itervallet fra a til b gælder at: f() 0 for alle mellem a og b Det totale areal uder kurve mellem a og b er. Sadsylighede for at ligger i et giver iterval (idehold i itervallet fra a til b) er arealet uder kurve for dette iterval. De kumulative fordeligsfuktio F() er givet som: F()P(X ) arealet uder f() mellem de midste værdi af (typisk mius uedelig) og.

22 Tæthedsfuktio og fordeligsfuktio F() F(b) F(a) } P(a X b)f(b) - F(a) f() 0 a b P(a X b) Arealet uder f() mellem a og b F(b) - F(a) 0 a b

23 Uiform fordelig uiform [a,b] tæthed: f() { /(a b) for a X b 0 ellers E(X) (a + b)/; V(X) (b a) / Uiform [a, b] fordelig Hele arealet uder f() /(b a) * (b a).00 f() Arealet uder f() fra a til b P(a X b) (b a)/(b a) a a b b

24 Uiform fordelig - fortsat uiform [0,5] tæthed: f() { /5 for 0 X 5 0 ellers E(X).5 Uiform [0,5] fordelig f() Hele arealet uder f() /5 * 5.00 Arealet uder f() fra til 3 P( X 3) (/5) /

25 Ekspoetial fordelig De ekspoetielle stokastiske variabel, måler tide mellem to hædelser, der er Poisso fordelt. Ekspoetial fordelig : Tæthedsfu ktio er givet som : Ekspoetial fordelig : λ f ( ) λe λ for 0, λ > 0 f() Middelværdie og stadard afvigelse begge lig med. λ De kumulative fordeligsfuktio er givet som : er 0 0 Tid 3 F( ) e λ for 0.

26 Ekspoetial fordelig - eksempel Eksempel Atag at de tid e bestemt maskie fugerer, før de bryder samme (dvs. tide mellem to sammebrud) følger e ekspoetial fordelig med parameter λ. Tid måles i timer. Hvad er sadsylighede for at maskie vil virke i midst e time ude at bryde samme? Hvad er de geemsitlige tid mellem sammebrud? λ λ F ( ) e P( X ) e P( X ) e. 353 ( )( ) E( X ). λ 5

27 Opgaver Kapitel 3: 33, 35, 39 - prøv jer lidt frem i b og c, 47 a, 49 a, 3, 63, 65. Kapitel : 7, 53.

Relaterede dokumenter

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +