Nanostatistik: Stokastisk variabel
|
|
- Bodil Thøgersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29
2 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser P(A B) = P(A) + P(B) når A og B er disjunkte hændelser Ex: Kaster en terning to gange. Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} P(max =3 eller sum = 7) = P((1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1) eller (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)) = P(max =3) + P(sum = 7) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 2/29
3 Stokastisk variabel Udfald ω Ω: et meget kompliceret objekt Experiment: måle nogle få egenskaber ved ω Ex: Ω = alle danske mænd over 20 år experiment: vælge en tilfældig person og måle højden Stokastisk variabel X: en egenskab ved ω der angives ved et reelt tal (vi bruger store bogstaver for stokastiske variable) Formelt: X er en afbildning fra Ω ind i de reelle tal Diskret stokastisk variabel: X kan kun antage heltallige værdier Kontinuert stokastisk variabel: X kan antage alle mulige værdier Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 3/29
4 Stokastisk variabel Ex1: Møntkast: X(pl) = 0, X(kr) = 1 Ex2: Terningekast: { X(m øjne) = m 0 hvis m er ulige Y (m øjne) = 1 hvis m er lige Ex3: Ω = alle mulige egetræer X(ω) = antallet af blade på træet ω (diskret) X(ω) = højden af træet ω (kontinuert) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 4/29
5 Diskret stokastisk variabel X(ω) = i fortæller os ikke direkte hvad ω er Ex2: Y = 1 hvis et lige antal øjne på terning Y = 1 fortæller os at vi har fået enten 2, 4 eller 6 øjne X(ω) = i ω Ω i = { ω X( ω) = i} ss for X = i: P(X=i) = frekvens af værdien i i uafhængige gentagelser = frekvens hvormed vi får hændelsen Ω i = P(Ω i ) Ex2: P(Y = 1) = P({2, 4, 6}) = 3 6 Ex3: Kaste terning 2 gange. X = øjne i kast 1 - øjne i kast 2 P(X = 2) = P((3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}) = 4 36 Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 5/29
6 ss-funktion Notation: sandsynlighedsfunktionen f X (i) = P(X = i) Da f X (i) = P(X = i) har vi 0 f X (i) 1 f X (i) = 1 ( i f x(i) = i P(X = i) = i P(Ω i) = P(Ω) = 1) Notation: Den kumulerede ss-funktion = fordelingsfunktionen F X (x) = P(X x) = i x P(X = i) = i x f X(i) i Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 6/29
7 ss-funktion Regneregel: Hvis B er en delmængde af A gælder der P(A \ B) = P(A) P(B) da A = B (A \ B) har vi P(A) = P(B) + P(A \ B) F X f X : f x (i) = P(X = i) = P(X i) P(X i 1) = F X (i) F X (i 1) Mere generelt: P(a < X b) = F X (b) F X (a) VIS PLOT Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 7/29
8 eksempel Ex3: Kaste terning 2 gange. X = øjne i kast 1 - øjne i kast 2 P(X = 2) = P((3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}) = 4 36 f X (0) = P(X = 0) = 6 36 f X (1) = P(X = 1) = 5 36 = P(X = 1) = f X( 1) f X (2) = P(X = 2) = 4 36 = P(X = 2) = f X( 2). f X (5) = P(X = 5) = 1 36 = P(X = 5) = f X( 5) Vis Plot Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 8/29
9 Simultan ss X og Y : to stokastisk variable defineret på samme udfaldsrum Ω X : Ω N Y : Ω N Ex: Ω = danske mænd over 20 år X = højde i hele cm, Y = vægt i hele kg Den simultane sandsynlighed er f X,Y (i,j) = P(X = i,y = j) = P({ω X(ω) = i og Y (ω) = j) Læses: ss for at X = i og Y = j, dvs ss for fællesmængden {ω X(ω) = i} {ω Y (ω) = j} Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 9/29
10 Simultan ss Ex: Kaster to terninger Ω = {(i,j) 1 i,j 6} X = max af de to par øjne Y = summen af de to par øjne De mulige værdier af X er 1, 2, 3, 4, 5, 6 og de mulige værdier af Y er 2, 3,...,12. VIS PLOT Lav tabel på tavlen P(X = 3,Y = 5) = P({(2, 3), (3, 2)}) = 2 36 Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 10/29
11 Marginal ss Fra P(X = i,y = j) til P(X = i): Da {ω X(ω) = i} = j {ω X(ω) = i,y (ω) = j} og disse mængder er disjunkte har vi P(X = i) = j P(X = i,y = j) Ex: Kast med to terninger: X = max, Y = sum P(X = 3) = P(X = 3,Y = 2) + P(X = 3,Y = 3) +P(X = 3,Y = 4) + + P(X = 3,Y = 12) = VIS PLOT Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 11/29
12 Betinget ss Ex: ss for flyulykke under start = antal ulykker / antal starter Køber billet hos Aeroflot: er det så den rigtige ss? Istedet: antal ulykker med Aeroflot / antal starter med Aeroflot Dette kaldes en betinget ss: jeg betinger med at det er et Aeroflot fly. P(Y = j X = i) læses: ss for at Y er j givet at X er i P(ulykke Aeroflot) = = = #(ulykker og Aerof lot) #starter #(starter og Aerof lot) #starter P(ulykke og Aeroflot) P(Aerof lot) #(ulykker og Aeroflot) #(starter og Aerof lot) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 12/29
13 Betinget ss Definition: P(X = i Y = j) = P(X=i,Y =j) P(Y =j) Ex: Kast med to terninger: X = max, Y = sum P(Y = 5 X = 3)? Givet X = 3 kan Y enten være 4, 5 eller 6: Vis plot der er 2 udfald der giver 4, to der giver 5 og 1 der giver 6, så P(Y = 5 X = 3) = 2 5 P(X = 3,Y = 5) = 2 36 P(X = 3) = 5 36 = 2 5 P(Y = 5 X = 3) = Betinget ss = frekvens i den relevante delmængde af uafhængige gentagelser Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 13/29
14 Betinget ss Trækker 2 kort fra et spil kort med 52 kort. Hvad er den betingede ss for at kort 2 er en ruder givet at kort 1 var en spar? Ω = {(i,j) 1 i,j 52,j i}, Ω = alle udfald har samme ss antal udfald med kort 1 en spar og kort 2 en ruder = antal udfald med kort 1 en spar = betingede ss = = Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 14/29
15 Betinget ss Skriver vi rundt på definitionen har vi Heraf følger P(X = i,y = j) = P(X = i Y = j)p(y = j) P(X = i) = j P(X = i,y = j) = j P(X = i Y = j)p(y = j) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 15/29
16 Uafhængighed X og Y er uafhængige: Viden om Y fortæller os ikke noget om X P(X = i Y = j) = P(X = i) for alle i,j Dette er ækvivalent med P(X = i,y = j) P(Y = j) = P(X = i) for alle i,j eller P(X = i,y = j) = P(X = i)p(y = j) for alle i,j Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 16/29
17 Uafhængighed Ubevidst brug af dette: To uafhængige kast med en terning: Alle 36 muligheder har samme ss. Hver mulighed har ss 1 36 = Ex: Kast med to terninger: X = max, Y = sum P(Y = 5) = P({(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}) = 4 36 = 1 9 = 5 45 P(Y = 5 X = 3) = 2 5 = Altså er Y og X ikke uafhængige: viden om X giver os viden om Y Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 17/29
18 Kontinuert stokastisk variabel Ex: registreret eet klik i geigertæller i tidsintervallet [0, T] Hvornår kom klikket? X er tidspunktet Alle tidspunkter i [0,T] er mulige, ingen er mere oplagte end andre [0,T/2] og [T/2,T] har samme ss 1 2. Halverer vi igen får vi 4 intervaller der er lige sandsynlige: X er uniformt fordelt på [0,T] P(X = x) = 0: alle intervaller af længe 1 n må have ss T/n Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 18/29
19 Kontinuert stokastisk variabel Istedet beskriver vi X ved dens fordelingsfunktion F X (x) = P(X x) Ud fra denne kan vi finde ss for ethvert interval P(X (a,b]) = P(X b) P(X a) = F X (b) F X (a) Uniforme fordeling: P(a < X b) er proportional med intervallængden P(a < X b) = b a T F X (x) = P(X x) = 0 x 0 x T 0 x T 1 x > T Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 19/29
20 Tæthed Hvis F X er differentiabel kaldes f X (x) = F X (x) for tætheden af X, og vi har P(X (a,b)) = F X (b) F X (a) = Tæthed intutitivt: b a f X (x)dx P(X [x ɛ 2,x + ɛ 2 ]) f X(x) ɛ for ɛ lille Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 20/29
21 Tæthed EX: Uniforme fordeling på [0,T] f X (x) = { 1T 0 x T 0 ellers Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 21/29
22 Simultan fordeling X og Y begge kontinuerte variable. Fordelingsfunktion F X,Y (x,y) = P(X x,y y) Udregning af P(a < X b,c < Y d): {a < X b,c < Y d} = {a < X b,y d} \ {a < X b,y c} = ({X b,y d} \ {X a,y d}) \ ({X b,y c} \ {X a,y c}) VIS PLOT Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 22/29
23 Simultan fordeling Udregning af P(a < X b,c < Y d): P(a < X b,c < Y d) = [F(b,d) F(a,d)] [F(b,c) F(a,c)] = F(b,d) F(a,d) F(b,c) + F(a,c) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 23/29
24 Simultan tæthed f X,Y (x,y) = F X,Y (x,y) x y Intuitivt: P(a < X b,c < Y d) = b a d c f X,Y (u,v)dvdu P(X [x ɛ 2,x + ɛ 2 ],Y [y ɛ 2,y + ɛ 2 ]) f X,Y (x,y) ɛ 2 Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 24/29
25 Marginal tæthed f X (x) = f Y (y) = P(a < X b) = b a f X,Y (x,y)dy f X,Y (x,y)dx f X (x)dx Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 25/29
26 Betinget tæthed P(a < X b,c < Y d) = f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) d c ( b a f X Y (x y)dx ) f Y (y)dy Uafhængighed f X,Y (x,y) = f X (x) f Y (y) Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 26/29
27 Eksempel Lad Ω = {(x,y) 0 x,y 1} være enhedskvadratet, og lad P være den uniforme fordeling, dvs P(A) er arealet af A Lad X være 1. koordinaten, Y 2. koordinaten, og lad U = X + Y Finde betingede tæthed for X givet U F U (u) = 1 2 u2 u < (2 u)2 1 u 2, F X,U (x,u) ux 1 2 = x2 u < 1, 0 x u x 2 + (1 u)(1 x) (1 x)2 1 u 2, u 1 x 1 Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 27/29
28 Eksempel f U (u) = f X,U (x,u) = f X U (x u) = u u < 1 (2 u) 1 u 2, 1 u < 1, 0 x u 1 1 u 2, u 1 x 1 1 u u < 1, 0 x u 1 2 u 1 u 2, u 1 x 1 Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 28/29
29 Resume Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Sandsynlighedsfunktion (tæthed) og fordelingsfunktion To stokastiske variable: simultan sandsynlighed og betinget sandsynlighed Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 29/29
Nanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning & Statistik
Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereSandsynlighedsregning & Statistik
Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereNoter til E6. Del 1: Sandsynlighedsregning. Jørgen Larsen
Noter til E6 Del : Sandsynlighedsregning Jørgen Larsen Januar 2004 Teksten er sat med skriften Latin Modern ved hjælp af pdfl A TEX. Tegningerne er fremstillet med META- POST. Indhold Indledning 3 2 Endelige
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mere4 Stokastiske variabler
4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereSandsynlighedsregning
Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere