TEK-NAT formelsamling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TEK-NAT formelsamling"

Transkript

1 den ægte: TEK-NAT formelsamling Elektronik og elektroteknik (x-4)^2-4 log(x) sinh(x) e^x cos(x)-3,* cosh(x+4) tan(x), * sin(x)-3, * 0^x ln(x) Udført af Jes Toft Kristensen 23. maj

2 Side 2 af 28 Emne : Intro Denne formelsamling er på ingen måde ment som fyldestgørende og komplet. Mange ting er ikke med, idet dette er piratviden som alle skal have, hvis du eksempelvis ikke kan huske impedansen for en modstand, har du nok flere problemer end denne formelsamling kan løse. Idet jeg nu er kommet på 3. semester, kommer der nok nogen tilføjelser. Disse tilføjelser er markeret med en stjerne (*) i indholdsfortegnelsen og i overskrifter. P aa samme m aade er det for f oelgnde semestre angivet: 4. semester (χ) 5. semester (κ) 6. semester (ϱ) 7. semester (ς) 8. semester (ψ) Indhold Intro 2 2 Nørd 2 2. Links and Debian mirrors EMAS genveje Matlab/Octave programmering VS Konvertering mellem formater Mat/Fys 6 3. osinus & Sinus Differentation og integration Lineær algebra Egenv aerdier og egenvektorer Udvidede matrice (χ) Komplekse tal Fysik formler Konstanter og grundenheder Ellære* E-felter B-felter Lige for at iterere EMF (faraday) Komplex integration* Linie og kurveintegraler* Fourier serier, integraler og transform* 3 3. Komplekse r aekker (χ) Residue regning (χ) Z-transformation (χ) Elektronik 7 4. Grundlæggende kredsløbselementer apacitorer Spoler Steady-state tilstande Norton and Thevenin equilevants Miller-transformation* h-parametre* OpAmps, ideelle Ikke idelle opamps* KL and KVL Analysemetoder Linearitets-princippet Superposition Maske (mesh) analyse Punkt (nodal) analyse Laplace - transform S domain analysis Initial conditions Overføringsfunktioner og respons Dioder* MF Transistorer* HF transistorer* Gates Arbejdsmæssigt Elektronik Kravspecifikation Fjol itater Busplaner Nørd Her ligger alle de nørdede ting, som man bruger når man lever som nørd. Elektronik & Elektroteknik

3 2 NØRD Side 3 af Links and Debian mirrors Links of interest: The linux documentation project The TAN LATEX archive Debian mirrors (som i /etc/apt/sources.list): deb ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb testing/non-us main contrib non-free deb ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free For at downsample mp3 til mp3, saa det passer udemærket i en usb/mp3-afspiller, kan man bruge følgende: lame --mp3input -h -V 6 -B 60 filind.mp3 filud.mp3 hvori man bruger variabel bitrate i kvalitet 6 (0 bedst, til 9), og en maksimal bitrate paa 60. En anden m aade at nedkonvertere p aa er at bruge f olegende scripts: for i in *.mp3; do mv $i echo $i tr _ ; done og for i in *.[Mm][Pp og til sidst for i in *.MP3; do mv $i basename $i.mp3.mp3 ; done. Saa virker det ihvertfald i xcdroast.. Mplayer kan alt, og den kan ogsaa spille i framebuffer, hvilket gøres ved mplayer -vo fbdev fil.film. Alternativt kan man også få mplayer til at afspille uden lag, måske ved at gøre følfende: mplayer -cache 892 -fr hdparm kan seje ting, proev bare hdparm -X66 -d -u -m6 -c3 /dev/hda For at spoofe en mac-addresse g oeres f oelgende: ifconfig eth0 hw ether 00:00:00:00:00:00, saa er den god. SSH kan forwarde porte fra en fjern host til din egen, via en gate. Det gode eksempel er: ssh -L 3030:btech.dhs.org:3030 zil.kom.auc.dk cat - hvorefter man kan bruge gmudix og connecte til localhost:3030 for at spille p aa deres fantastiske battletech MUD server. 2.2 EMAS genveje Open file -x -f search forward -s Set mark here - or -SP Save file -x -s search backward -r Kill word M-DEL / M-d Insert file -x i query replace M-% Kill line M-0 -k / -k Undo stuff -x u indent line TAB save register -x r s select buffer -x b indent region -M-\ insert register -x r i list buffers -x -b shell command M-! rect 2 register -x r r kill buffer -x k del other windows -x kill rectangle -x r k split -x 2 split -x 3 prefix rectangle -x r t = ctrl, M = meta/alt. command / command means backward/forward 2.3 Matlab/Octave Hvis du skal anvende octave, så hent straks octave-forge, hvor der ligger mange flere kommandoer i. Her vil der blot være et kort resume af de forskellige kommandoer. Husk at der altid kan bruges help og help -i <emne>. Det kan altid anbefales at kigge hjælpefilerne, idet gennemgangen her er overfladisk. Octave minder meget om matlab, så kommandoerne kan for det meste bruges uafhængit, men slå tingene op hvis de driller. For at beregne fakultet (n!), bruges prod( : n). AAU 2004

4 Side 4 af 28 Emne : Polynomier Et polynomie defineres med a = [ ], hvilket giver at a = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. (kan vises med polyout(a)) polyval(a,n), evaluer polynomiet a, med v eardien n. roots(a), giver rødderne på polynomiet a. conv(a,b) og deconv(a,b), Foldning og udfoldning af polynomier. cross(a,b), krydsproduktet af vektorer a og b (typisk a, b R 3 ). norm(a,b), længden af vektor a og b. dot(a,b), krydsproduktet af vektor a og b. tf(t,n), lav en overførselsfunktion ud af udtrykket t = tæller, og n = nævner (kan være polynomier etc... ), kan senere bruges til at lave bodeplots med. Overførselsfunktioner kan vises med residue kan beregne residuet for et t aeller og n aevner polynomie. sysout(l, tf ) eller sysout(l, zp ), som giver transfer function og zero-pole function. Plots og in/output For at styre output, sætter man først sin terminal. gset term ARG, hvor ARG kan være X, png, postscript, jpg, gset output filnavn.komplet Giver et output filnavn. Skriv til filen med replot eller tilsvarende (fig, postscript, X). gset ARG noget, hvor ARG kan være title, xlabel, ylabel, grid og mange andre ting. bode(l), laver bodeplots (3 billeder) ud fra overførselsfunktionen L (L skal laves med tf2sys(a)). plot(x,y,fmt, ;title; ), plotter punkterne x og y, hvor FMT er formaterringskommandoer (linespoints osv.), se hjælpfilen for options. gset arg option formatering af plots (gerne sammen med hold on/off). Bare skriv gset, og du får en liste af options. plot(a,b, ;\\\\ Titel ; tegner noget, bemærk escape sekvensen med fire backslashes.. for at få en backslash til fig2ps osv... Symbolsk algebra Octave kan godt lave symbolske regnerier.. det er dog afh aengigt af octave-forge pakken. Tingene enables ved at kalde symbols, og bagefter kan man definere en symbolsk v aerdi med x = sym ( x );. Herefter defineres eksempelvis a = 2 x 2 + 4;. Nu kan differentiate(a,x,n) og sikkert andre funktioner bruges (man kan definere flere symbolske v aerdier, og derved have a = 2*x*b;). Lineær algebra og scripts En matrice laves med a = [3 2 4 ; 3 24 ; ], hvilket her giver en 3x3 matrice. Man kan så bruge rref(a), det(a), a*b, a row-reduce, determinant, multiply og transpose. Nedenunder er der givet forskellige scripts, der kan ligge i.m filer. Elektronik & Elektroteknik

5 2 NØRD Side 5 af 28 # Usage: mult (a, n, x) #Usage: madd (a, n, m, x) # Multiplies row a(n,:) with x #Multiply row a(n,:) by x, function a = mult (a, n, x) #and add it to a(m,:) a(n,:) = a(n,:) * x; function a = madd (a, n, m, x) endfunction N = a(n,:)*x; a(m,:) = a(m,:) + N; endfunction # usage: swap (a, n, m) # usage: makes transfer function from poles # swaps matrice row a(n,:) w=20*0^7; w2 =w; w3 = 0^9 #with a(m,:), nice hack!! A=500; beta = /25; N = beta*a function c = swap (a, n, m) D = conv([/w ],conv([/w2 ],[/w3 ])); b = a(n,:); sysa=tf(n,d); bode(sysa); a(n,:) = a(m,:); #i matlab kan man ogsaa bruge margin(n,d); a(m,:) = b; c = a; endfunction 2.4 programmering Meget korte referencer! goer meget ud af, hvilket typer variabler der kastes rundt (pointers, funktioner osv..) 2.5 VS oncurrent versioning system. Nogen rare kommandoer er (i bash eller tilsvarende terminal): export cvs vil nu kigge i /path/to/root efter filer. I dette bibliotek, bør der ligge et dir der hedder VSROOT. export VS RSH=ssh cvs import -m logbesked. user start hvor punktummet efter logbesked er det dir du står i nu. Brugeren er din unix - bruger og start skal hedde start. Bemærk at du importere alt det, der er i biblioteket./. Kommandoerne er fundet på [E, 2004, /guides/] 2.6 Konvertering mellem formater F oelgende kommandoer kan med de rette pakker anvendes i linux/unix, til konvertering mellem alle underlige formater. Programmer n aevnt nedenfor er det der anvendes: GV (har en save marked page funktion ) pstoedit (mange muligheder, se transfig... Summering af konvertering pstoedit -f fig test.ps test.fig AAU 2004

6 Side 6 af 28 Emne : 3 Mat/Fys Alt hvad vi har lært i matematik og fysik, det er jo så handy. 3. osinus & Sinus Ret meget info om sinus og cosinus, for det er jo så interessant. Herunder additionsformler, samt hyperbolske sin og cos funktioner (se i håndbog for skabsnudister). 3.2 Differentation og integration f (x) f(x) R f(x)dx k n x n x n n+ xn+ 2 x x 2 3 x x ax a x a a : a+ xa+ 2 ln x x e x e x e x ae ax e ax a x ln(a) a x, a > 0 a 0 : a eax a : ln(a) ax sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) cos 2 (x) = + tan2 (x) tan(x) ln cos(x) sin 2 (x) = cot2 (x) cot(x) ln sin(x) sin(2x) cos 2 x (x) 2 + sin(2x) 4 sin(2x) sin 2 x (x) 2 sin(2x) 4 2 tan(x)( + tan 2 (x)) tan 2 (x) tan(x) x 3(sin(x) sin 3 (x)) cos 3 (x) sin(x) 3 sin3 (x) 3(cos(x) cos 3 (x)) sin 3 (x) cos(x) 3 cos3 (x) sin(x) cos 2 ln (x) cos(x) ŕ +sin(x) cos(x) ŕ = ln tan( x 2 + π 4 ) cos(x) sin 2 ln (x) sin(x) ŕ cos(x) sin(x) ŕ = ln tan( x 2 ) arcsin(x) x arcsin(x) + x 2 x 2 x arccos(x) x arccos(x) x 2 2 +x 2 arctan(x) x arctan(x) 2 ln ( + x2 ) +x 2 arc cot(x) arc cot(x) + 2 ln( + x2 ) n cos(nx) sin(nx) /n cos(nx) n sin(nx) cos(nx) /n sin(nx) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (kf) (x) = kf (x) (f ) (x) = (f f )(x) ţ ű f = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)) 2 () (f g) (x) = (f g)(x)g (x) (2) Elektronik & Elektroteknik

7 3 MAT/FYS Side 7 af 28 Z b h i b f(x)g(x) = F (x)g(x) a Z x dx, Z b Z b Z g(b) F (x)g (x) dx, f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt (3) a a a g(a) t = 3x dt = 3dx dx = Z 3 ů ÿ 3 dt, t 3 dt = ln 3x (4) Lineær algebra Multiplikation af matricer, er defineret som følger: a b c d e f g h i a + 2b + 3c 4a + 5b + 6c 7a + 8b + 9c d + 2e + 3f 4d + 5e + 6f 7d + 8e + 9f g + 2h + 3i 4g + 5h + 6i 7g + 8h + 9i = č a b c ď = 2 3 2a 2b 2c 4 3a 3b 3c 5 4a 4b 4c Her skal der også dækkes determinanter (specielt med at a svarer til at slette row og column, og så bestemme determinant derefter, se note i Fraleigh Beauregard, under determinanter). ramers regel kan l oese en lignings-system af typen Ax = B, ud fra x n = det(b n)/det(a), hvor B n er matrice a, hvor s oejle n er erstattet af vektoren B (som er en enkelts oejle-matrice.. basta). ramers regel er til tider lidt fjollet, idet man med moderne regnekraft kan bringe matricen AB (sat sammen) p aa row-reduced echelon form (rref), hvilket giver svaret direkte. P aa basis gennemgik vi noget mere, men det gider jeg ikke dokumentere Egenv aerdier og egenvektorer Egenv aerdier og egenvektorer angiver analytiske egenskaber ved den p aag aeldende matrice. Det der s oeges er Ax = λx, hvori λ og x er en ubekendte. Opstillet p aa formeludtryk ser du ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 273]: ů ÿ ů x x 2 ÿ ů x = λ x 2 ÿ (5) det(a λ I) = 0 (6) hvor egenv aerdien λ kan indtage n forskellige v aerdier, i en n n matrice. I ovenst aaend eksempel er λ = og λ 2 = 6. Egenvektoren x bestemmes ved at l oese ligningen 2 2 λ n x 2 ů 5 λn 2 ÿ ů x det(a λ I) = 0 (7) ÿ = (8) (5 λ n )x + 2x 2 = 0 (9) 2x + x 2 (2 λ n ) = 0 (0) for hver v aerdi af λ. Den resulterende matrice r aekke-reduceres indtil der kan siges noget fornuftigt om hver variables x og x 2. Af ovenst aaende ses det klart at ů ÿ x λ= = () 2 ů x λ=6 = Udvidede matrice (χ) ÿ y (2) I [Kreyzig, 999, s. 38] beskrives de relle matricer, der har forskellige egenskaber. A T = A, symmetrisk, a kj = a jk. A T = A, sk aev-symmetrisk, a kj = a jk. Diagonalen i en sk aev-symmetrisk matrice er altid 0. Egenv aerdierne er 0 eller rent imagin aere. A T = A, Ortogonal, a kj = a jk. Determinanten er altid + eller. I [Kreyzig, 999, s ] gennemg aaes de komplekse matricer, der blot er generaliseringer af de relle matricer. A T = A Hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier er relle. AAU 2004

8 Side 8 af 28 Emne : A T = A Sk aev-hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier rent imagani aere eller 0. A T = A Unit aer. Egenv aerdier har absolut v aerdi 0. Determinanten har ogs aa absolut v aerdi 0. [Kreyzig, 999, s. 390, thm 4.]. En matrice kan skrives p aa kvadratisk form vha. [Kreyzig, 999, s. 388]: ů ÿ ů ÿ x T 3 4 x Ax = [x x 2 ] (3) 6 2 x 2 x T Ax = 3x 2 + 0x x 2 + 2x 2 2 (4) x T Ax = a x 2... (5) n X n X... + a jk x k x j + a nnx 2 n (6) k=2 j=2 Unit aere transformationer [Kreyzig, 999, s. 389] bibeholder indre produkt og norm. y = Ax, a b = a T b (7) Matricer A og B siges at v aere similare, hvis B = P AP kan udf oeres. Heri er P en egenv aektor for A samt at A og B har samme egenv aerdier. Hvis dette g aelder s aa er y = P x en egenv aektor for B, svarende til samme egenv aerdi som den P er udledt af [Kreyzig, 999, s. 392]. Hvis A har forskellige egenv aerdier, s aa er egenvektorene uafh aengige, og danner en basis for n eller R n. Men baser eksisterer under meget simplere forhold/former, og de uafh aengige egenv aerdier/vektorer er ikke noget krav. Diagonalisering af en matrice sker if oelge [Kreyzig, 999, s. 394] D = X AX (8) D n = X A n X (9) hvori D er matrice med A s egenv aerdier p aa diagonalen, samt X dannet med A s egenvektorer som s oejler. Yderliger Transformering til principal-akse g oeres, for nemmere at kunne overskue en given funktion, der eventuelt har et f aelles-led. Eksempelvis en ellipse som vist i figur. Her transformeres fra x koordinaterne til y koordinaterne, hvorved man ud fra funktionen kan se hvad den forestiller. Dette foretages ud fra Q = X AX, hvor A er reel-symmetrisk og X best aar af orthonormale (normerede) egenvektorer af A som s oejler. Q er typisk en kvadratisk form. Sammenh aengen mellem y og x koordinater er givet ved x = Xy. y2 x2 y x Im Sk aevhermetisk (sk aevsymmetrisk) R = Re Unit aer (orthogonal) Hermetisk (symmetrisk) Figur : Transfor til principal-akser Elektronik & Elektroteknik

9 3 MAT/FYS Side 9 af Komplekse tal For ethvert punkt, givet ved komplekse tal a = (a, a 2 ) = r v og b = (b, b 2 ) = p θ. q a = r cos v, a 2 = r sin v, r = a 2 + a2 2 cos v = q a, sin v = q a 2, tan v = a 2, a 0 a 2 +a2 a 2 2 +a2 a 2 a + b = (a + b, a 2 + b 2 ), a b = (r p) v+θ = (a b a 2 b 2, a b 2 + a 2 b ) b a = p θ = č p ď r v r θv a 2 = aa (r v ) n = (r n ) nv z n = a = r v z = č n r ď v n +p 2π n = i (20) Den komplekse eksponentialfunktion For z = x + iy, x, y R og A = a + ia 2, B = b + ib 2 gælder det at Ligning (24) og (25) findes i [Kreyzig, 999, s. 787]. Eulers formler Findes mere på [Kreyzig, 999, s. 682] e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) (2) Re[Ae Bt ] = e b t (a cos (b 2 t) a 2 sin (b 2 t)) (22) Im[Ae Bt ] = e bt (a 2 cos (b 2 t) + a sin (b 2 t)) (23) cos(kz) = ş e kjz + e kjzť (24) 2 sin(kz) = ş e kjz e kjzť (25) 2j cos z = ejz + e jz, sin z = ejz e jz 2 2j (26) 3.5 Fysik formler Temperaturafhængighed mht. transistorer/dioder (Boltzmanns konstant k og elementarladningen q indgår). V T = k T q, T [K], k =, [J/K] q = [] (27) k e = = N m πɛ 0 2, ɛ 0 = Nm 2 (28) q electron = , µ 0 = 4π 0 7 [T m/a] (29) V T er typisk på 25.2mV ved 25. µ 0 er permeabiliteten af det frie rum. 3.6 Konstanter og grundenheder Alle konstanter! AAU 2004

10 Side 0 af 28 Emne : Elektroniske grundenheder Alle grundenheder, og definitioner, på eksempelvis stroem, spaending osv. 3.7 Ellære* Kraften fra ladning virkende på ladning 2 er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 74] F 2 = k e qq 2 r 2 r 2 (30) hvor r 2 er en enhedsvektor fra q til q 2 og r er afstanden mellem ladningerne. Retningen som kraften påvirker q 2 med afhænger af polariteten. Modsat polaritet tiltrækker, samme polaritet frastøder E-felter Det elektriske felt er i [Serway & Beichner, 2000, s. 79] defineret til E = F ů ÿ p q p V, F p = m p a, E = k e q p r 2 r (3) m hvor feltlinierne altid peger i retning af det laveste potentiale. Det elektriske felt (E-feltet fremover) opstår pga. forskellige ladninger, placeret fra hinanden. Flux er pr. [Serway & Beichner, 2000, s. 744] defineret til E-feltet gennem overfladen A. Dette kan opskrives alternativt, hvor θ er vinklen mellem overfladen A og feltlinierne fra E-feltet. ů N m 2 ÿ Φ E = E A, Φ E = EA cos(θ) (32) Z Φ E = E da, Φ E = S I E da = q in ɛ 0 (33) De sidste integraler angiver lovene for flux igennem overflader. Bemærk at det lukkede integrale angiver fluxen gennem en lukket overflade, hvilket er Gauss lov, der siger at dette altid er Φ E = q in ɛ0 hvor q in er ladningen indenfor den lukkede overflade. Hvis der ikke er nogen ladning indenfor den lukkede overflade, så vil fluxen igennem denne være 0 (ind = ud). Elektrisk potentiale er i [Serway & Beichner, 2000, s. 769] defineret til Z B U = U B U A = q 0 E ds (34) A V = U B U A q 0 = U q 0, E q = /2m v 2 (35) Det negative tegn betyder, at partiklen q ) mister pontentiel energi fra A til B, hvorved den får mere kinetisk energi (højere fart). Kapacitansen af en overflade (kondensatorplade) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 804] defineret til = Q/ V hvor Q er den samlede ladning på pladen, imens V er spændingsforskellen mellem de 2 plader. Bemærk at der altid vil være samme ladningsmængde på to plader, dog med modsatrettede fortegn. Enheden for dette er fahrad [F ]. Dielektrikum og temperaturafhængighed er diskuteret yderligere i [Serway & Beichner, 2000, s. 88 og s. 853]. Lad os bare sige at strøm er defineret som dq dt = I B-felter Magnetiske felter (B-felter) opstår som følge af en nordpol og en sydpol (lam forklaring.. nogen der han noget bedre?). Kraftpåvirkningen af en partikel er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 908] F B = qv B ů T esla = Ns m = N Am ÿ (36) hvilket kan omsættes til en kraft på en leder [Serway & Beichner, 2000, s. 9] F B = I L B, ţz b ű F B = I ds B (37) a hvor L er en vektor der peger i lederns retning, og har samme længde som lederen. Momentet på en strømsløjfe er i [Serway & Beichner, 2000, s. 96] defineret til τ = IA B. Hvor A er en normalvektor til ovefladen A, med længde = areal af A. Biot-savarts lov siger noget om B-felter som følger af ledere der leder strøm. Denne er opgivet i [Serway & Beichner, 2000, s. 939] til at være db = µ 0 Ids r 4π r 2, B = µ Z 0I 4π dette er kaldet den magnetiske fluxdensitet. ds r r 2 (38) Elektronik & Elektroteknik

11 3 MAT/FYS Side af 28 Kraften mellem 2 paralelle ledere er i [Serway & Beichner, 2000, s. 943] opgivet til F B l = µ 0I I 2 2πa (39) med a som afstand og l som længden af lederne (her opgivet som kraft per længdeenhed). Dette anvendes til at definere coulomb-enheden som funktion af ampere. Dette ledes videre til amperes lov (samme kilde, s. 945), der siger at magnetfeltet B omkring en leder, vil ligge i cirkler omkring lederen. Styrken af det magnetiske felt er uafhængig af afstanden til ledern (det skriver de fandme!). Men det hele er opgivet som I B ds = µ 0 I (40) Magnetfeltet i en solenoide (laang, tynd satan) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 95] B = µ 0 n l I (4) hvor feltlinierne løber fra nord til syd (den ene ende til den anden). Magnetisk flux er defineret som Φ B = R B da. Anvendes dette på en lukket figur (kugle etc), vil integralet give 0. Dette er den magnetiske fluxdensitet pr. arealenhed, alts aa fluxen. Ampere-maxwells lov siger at magnetfelter opstår som følger af strøm i en leder og tidsvariable E-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 954] I Bd s = µ 0 (I + I d ) = µ 0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt (42) Lorentz lov siger til sidst noget om sammenhængen mellem E- og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 000] F = q(e + v B) (43) For at g oere forvirringen komplet har man indf oert den magnetiske feltstyrke H, som er opgivet vha. I H = ni, µ 0 H = B, H di = I N (44) Lige for at iterere B er fluxdensiteten antallet af streger pr. arealenhed. Fluxen (Φ er antallet af streger indenfor et afgr aenset omr aade. Den magnetiske feltstyrke H angiver hvor st aerke de her streger er [Serway & Beichner, 2000, s. 958]. Men bare fordi bogen kager rundt i dette, er der ingen grund til at blive forvirret. Til slut vil jeg bare sige at energien i en spole E = /2 L I EMF (faraday) Den elektromotiske kraft induceret i en kreds, eventuelt en spole med n vindinger [Serway & Beichner, 2000, s. 982 og s. 06] EMF = n dφ B dt = L di dt (45) Lenz lov siger at polariteten for den inducerede emf vil være sådan, at den skaber en strøm hvis magnetiske flux vil modvirke den magnetiske fluxændring [Serway & Beichner, 2000, s. 989]. En anden ligning siger noget om sammenhængen mellem E-felter og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 993] I Eds = dφ B (46) dt hvor det inducerede E-felt ikke er konservativt. 3.8 Komplex integration* Denne del bygger på [Kreyzig, 999, s. 73]. I komplek integration integrerer man funktionen f(z) over path, dette opstilles som følger (højresiden hvis er lukket): Z I f(z) dz, f(z)dz (47) hvis f(z) er analytisk i domænet D, så skal denne opfylde kriterierne [Kreyzig, 999, s. 669] w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) (48) u x = v y, u y = v x (49) kan funktionen evalueres som Z f(z) dz = F (z ) F (z 0 ) (50) idet analytiske funktioners integralværdier er uafhængige af path. AAU 2004

12 Side 2 af 28 Emne : En alternativ metode til integration, hvor funktionen ikke nødvendigvis er analytisk, er ud fra at path er beskrevet via z(t), hvor a t b. Z Z b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt (5) a auchys integral theorem siger at hvis f(z) er analytisk i et simpelt forbundet domæne D, så vil integrationen over en lukket path give 0. I f(z) dz = 0 (52) hvis der eksisterer punkter z 0 hvor funktionen f(z) ikke er holomorf (analytisk) i domænet D som den lukkede path indeholder, skal cauchys integral formel anvendes. Denne siger at integralet for den analytiske funktion, over den lukkede path vil være det samme som funktionsværdien f(z 0 ). I f(z) dz = 2πjf(z 0 ) (53) z z 0 hvor f(z 0 ) er omskrevet version af hele funktionen f(z). Konsekvensen af dette er, at brøker kan opspaltes i partialbrøker, og det er kun de dele der har en pol indenfor analyseområdet, man skal regne med. Hvis man har funktionen f(z) = f (z)/(z z 0a ) + f 2 (z)/(z z 0b ) og man integrere i et områd hvor z 0a ligger udenfor og z 0b indenfor, bliver den endelige integralværdi I = 2πjf 2 (z 0b ). Ligger begge punkter indenfor bliver integralværdien I 2 = 2πjf (z 0a ) + 2πjf 2 (z 0b ). Dette skyldes den tidligere formel (52) der afhænger af at funktionen er analytisk i, hvilket den er for f (z) (som derfor giver 0), men ikke er for f 2 (z) (som derfor giver en værdi ifølge chauchy). Ydermere har analytiske funktion afledte af alle grader. Værdien i disse punkter z 0 er givet ved f (n) (z 0 ) = n! I f(z) dz (54) 2πj (z z 0 ) n+ dette anvendes hvis en funktion har n te-rod indenfor, (f (n) = dn f(z) dz n ). irkler i det komplekse plan er opgivet som z + h 0 = r, med z som variabel (kompleks), h 0 som centrum konstant (h 0 = 2 centrum i 2) og r som radius). Altid! 3.9 Linie og kurveintegraler* Dette er resume fra [Kreyzig, 999, s. 522] heri gennemgåes linie og kurveintegraler. Allerførst et eksempel på hvad curl består af (også kaldet rot engang imellem). v(x, y, z) = v i + v 2 j + v 3 k (55) i j k curl V = v = x y z (56) ŕ v v 2 v ŕ 3 ţ v3 = y v ű ţ 2 v i + z z v 3 x... ű j +... ţ v2 x v y ű k (57) et andet værktøj der anvendes er divergensen af en funktion, hvilket er divf = F x + F 2 y + F 3 z hvor F = [F, F 2, F 3 ] eller F = F i + F 2 j + F 3 j. Linie integralet er defineret som følger Z (58) Z F (r) dr = (F dx + F 2 dy + F 3 dz) =... Z b... F (r(t)) dr dt (59) a dt hvor er givet som r(t) = [x(t), y(t), z(t)] eller x(t)i+y(t)j+z(t)k med a t b. Herved fremkommer altså integralet af F over path. Linie integraler har samme egenskaber som normale integraler, idet de kan splittes, reverseres, adderes og multipliceres med konstanter, som normalt. Uafhængighed af path gør at integralværdien kun er afhængig af start og slutpunkterne, dvs. uafhængig af path imellem punkterne. For at opnå uafhængighed af path skal funktionen være eksakt. Eksakthed opnåes ved at F er gradientvektoren til en funktion f (vilkårlig) ( f = F ). Et andet krav er at curlf = 0. Dette kan i komponenter omskrives til F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y (60) Elektronik & Elektroteknik

13 3 MAT/FYS Side 3 af 28 (ved funktioner af 2 variable, er det kun det sidste led der er krav og F i domænet D har kontinuerte første ordens afledte) Dobbelt integraler over regionen R, i planen kan transformeres til linie integraler over afgrænsningen (og omvendt!). Dette kaldes Greens theorem i planet Z Z ţ F2 R x F ű dx dy =... y I... (F dx + F 2 dy) (6) Stokes theoem siger at overfladeintegraler kan transformeres om til linieintegraler på følgende måde Z Z S I (curlf ) n da = F r (s)ds (62) hvor S er en orienteret overflade, hvis afgrænsning er kurven. n er normalvektor i S og r (s) er den afledte af kurven (unit tangent vector). Der står mere i [Kreyzig, 999, s. 56] (specielt på s. 520 omkring path uafh anegighed). Tripple integraler over regionen T i rummet kan transformeres til overfladeintegraler over den afgrænsende overflade S vha. Gauss divergenstheorem (h oejresiden af integralet kaldes ogs aa fluxintegralet [Kreyzig, 999, s. 496]). Z Z Z Z Z divf dv = F n da (63) T S 3.0 Fourier serier, integraler og transform* Dette er sammenfattet af [Kreyzig, 999, s. 580] og [Johnson et al., 997, kap. 7, s. 689]. Den trigonometriske fourierserie er givet i [Kreyzig, 999, s. 580] som konvergerer en periodisk funktion f(x) (med perioden 2L), med følgende koefficienter f(t) = a 0 + ş ş nπ ť a n cos L x... n= ş nπ ťť... +b n sin L x (64) Z L a 0 = f(x) dx (65) 2L L Z L ş nπ ť a n = f(x) cos L L L x dx (66) b n = Z L ş nπ ť f(x) sin L L L x dx (67) Fourierserier kan kun approximere periodiske funktioner, brug i stedet fouriertransformen til ikkeperiodiske funktioner. Det kan med fordel tjekkes om en funktion er lige (f(x) = f(x), altså symmetrisk om y-aksen) eller ulige (f(x) = f(x), altså spejlet i x- og y-aksen). Hvis en funktion er lige, vil dennes b n konstant være 0 (og derfor behøves den ikke at blive regnet ud), er funktionen ulige er konstanten a n = 0. Man siger at den lige del reduceres til cosinusformen (cosinus delen plus konstanten), og den ulige del reduceres til sinus-formen (sinus delen). I [Johnson et al., 997, s. 697] er den trigonometriske fourier-serie opgivet som f(t) = a X (a n cos(nω 0 t) +... n=... b n sin(nω 0 t)) (68) Z 2 T a 0 = f(t) dt (69) T 0 Z 2 t0 +T a n = f(t) cos(nω 0 t) dt (70) T t 0 Z 2 t0 +T b n = f(t) sin(nω 0 t) dt (7) T t 0 Af rare informationer kan det gives at cos(nπ) = () n, sin(nπ + π/2) = () n. Den eksponentielle fourier-række er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 706] til f(t) = c n e jnω 0t (72) n= c n = Z T /2 f(t)e jnω0t dt T T /2 (73) c n = (a n + b n )/2 (74) husk at der muligvis skabes problemer n aar n = 0, opdel derfor integraler i flere intervaller og evaluer. Fourier transformen bygger på grundformlerne (her vist som frem, og tilbage), og er fuldstændig tilsvarende laplace-transformen. Transform-integralerne er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 722]. Altså kan AAU 2004

14 Side 4 af 28 Emne : man bruge skemaet for laplace-transformerede, til begget transformer (s = jω). Z F (jω) = f(t)e jωt dt (75) f(t) = Z F (jω)e jωt dω 2π (76) disse kan bruges, hvis man eksemplevis skal transformere et arbitr aert signal (eksempelvis konstant i en tidsperiode). Husk at e 0, ogs aa selvom der er en kompleks del. Man kan ydermere bestemme amplitudespektret, frekvensspektert og effekt-spektret, defineret p aa f oelgende m aade (X(jω) = som eksempel): a+jω abs(x(jω)) = X(jω) = a 2 +ω 2 (77) arg(x(jω)) = tan (X(jω)) = tan ą ć ω a (78) eff(x(jω)) = X(jω) 2 = a 2 +ω 2 (79) Spektrene er tegnet nedenfor. I [Johnson et al., 997, s. 75] st aar der definitioner p aa amplitude, fase og effekt, ud fra den trigonomtriske funktions konstanter. ω 3. Komplekse r aekker (χ) I figur de vigtigste komplekse r aekker angivet. Disse anvendes i forbindelse med laurent-r aekker Sum R aekke Udvikling e q P n=0 sin q cos q sinh q cosh q q q n n! + q! + q2 2!... qn n!... P q2n+ n=0 ()n 2n+ P q2n n=0 ()n (2n)! P q 2n+ n=0 (2n+)! q! q3 3! + q5 5! q7 5!... q2 2! + q4 4!... q! + q3 3! + q5 5!... P q 2n n=0 + q2 (2n)! 2! + q4 4!... P n=0 qn q < q P n=0 qn < q P +q n=0 ()n q n < q q N+ q P N n=0 qn \{0} ln( + q) P n= ()n+ qn n q q2 2 + q Tabel : De vigtigste komplekse r aekker Elektronik & Elektroteknik

15 3 MAT/FYS Side 5 af Residue regning (χ) Residue regning bygger p aa laurent-serier, der ser ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 796]: f(z) = f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z n=0 n= 0 ) n (80) n= a n (z z 0 ) n, a n = I f(z) dz (8) 2πj (z z 0 ) n+ Denne serie konvergerer (g aar mod et bestemt tal) i en aaben ring, med centrum i z 0. Man taler om at udvikle en serie ud fra et bestemt z 0. Konvergensradius kan for ovenst aaende laurent-serie bestemmes vha. auchy-hadamard formlen [Kreyzig, 999, s. 744] R = L = lim a n n ŕ an + ŕ, 0 < z z 0 < R (82) En singularitet er et punkt hvori f(z) oph oerer med at v aere analytisk. Et nulpunkt er hvor f(z) = 0. Hvis man har en singularitet, men alle punkter omkring z 0 (singulariteten) er ikke-singulaere, s aa er z 0 en isoleret singularitet [Kreyzig, 999, s. 776]. Form aalet med auchy s integrationsmetode er at udnytte [Kreyzig, 999, s. 78]: I kx f(z)dz = 2πj Res z=zj f(z) (83) j= Ideen er, at hvis integralet er analytisk over hele, s aa er integralet if oelge auchy s integral theorem = 0, men findes der en singulariteter indenfor findes der en laurent-r aekke for funktionen, hvorved formel (83) kan anvendes. Residuet er v aerdien for b n med n = (b i formel (80)). Tricket er nu, at der er alternative m aader at bestemme residuet p aa, og derved regne integralet fra (83). Fra [Kreyzig, 999, s. 782] angives f oelgende formler til bestemmelse af residue (dog kun ved simple poler): Res z=z0 f(z) = b = lim z z 0 (z z 0 )f(z) (84) Res z=z0 f(z) = b = Res z=z0 p(z) q(z) = p(z 0) q (z 0 ) Desuden kan man anvende partialbr oeksopspalting (ikke beskrevet i Kreyzig): I z 23 I = z 2 dz 4z 5 (86) z 23 = a(z 5) + b(z + ), a = 4, b = 3 (87) f(z) = 4 z z 5 (88) I = 2πj(4 + (3)) = 2πj (89) (85) AAU 2004

16 Side 6 af 28 Emne : Ved poler af h oejere orden (sin, cos differentieret eksempelvis) skal den mere generelle formel anvendes (2. linie specifikt til 2. ordens poler) Res z=z0 f(z) = ů d m ÿ lim (m )! z z 0 dz m [(z z 0) m f(z)] Res z=z0 f(z) = lim z z 0 h č(z z0 ) 2 f(z) ď i, m = 2 (9) Dette kan ogs aa anvendes til integration af uegentlige relle funktioner ( ing aar i gr aenser), se [Kreyzig, 999, s. 788] samt integraton af funktioner af typen F (cos θ, sin θ). Se [Kreyzig, 999, s. 787]. (90) 3.3 Z-transformation (χ) Z-transformationen er en transformation fra det tidsdiskrete signal x[n] til det kontinuerte udtryk X(z). Transformationen er i [Oppenheim, 998, s. 95] angivet til: Z{x[n]} = n= x[n]z n = X(z) (92) Der findes en stringent matematisk metode til at lave den omvendte transformation, men denne er meget kompliceret, så vi anvender små julelege i stedet for. Dette bygger i bund og grund på at genkende udtryk, eller bringe på genkendelig form, og så regne ud fra tabel 2 på side 8 og 3 på side 9. Hvis z = re jω indsættes, og r = er dette en fouriertransformation, hvilket udnyttes til at bestemme frekvensrespon X(e jω ) og gruppe-delay τ(ω) = grd[h(e jω )] = d dω (arg[h(ejω )) [Oppenheim, 998, s.243]. Oftest ses det af summen i (92) at tingene kan bringes på en form, hvor det geometriske række (q n fra tabel på side 4) kan anvendes. Hele regnestykket kan se ud som x[n] = (a) n u[n ], Z{x[n]} (93) X (a) n z n (a) n z n n= n= (a) n z n ą a z ć n n= n=0 X(z) = a z, a z < (94) Den sidstnævnte grænse fremkommer idet rækkeudviklingen af q n stiller dette krav. Området er en cirkel, og kaldes Radius of onvergence (RO), og X(z) er analytisk i hele RO (X(z) er en laurent serie). Oftest kan man med fordel dele summer op, som eksempelvis n= x[n] = X x[n] + x[n] = n= n=0 (x[n])... + x[n] = n= n=0 + (x[n]) + x[n] (95) n=0 n=0 Til invers transformation kan man opsplitte i partialbrøker, og anvende tabel 2. En anden metode der kan anvendes, hvis X(z) = P n= x[n]zn er den angivne form, er at bruge udtrykket x[nn 0 ] z n 0X(z). Heraf ses det at koefficienterne i X(z) kan anvendes som koefficienter i en tidsforskudt enhedsimpuls. Eksempel: X(z) = 2z 4z 3z (96) x[n n 0 ] z n 0 X(z) (97) X(z) = x[n]z n (98) n= n 0 = x[] = 2 (99) n 0 = 0 x[0] = 5 (00) n 0 = x[] = 4 (0) n 0 = 2 x[2] = 3 (02) x[n] = 2δ[n + ] + 5δ[n] δ[n ] 3δ[n 2] (03) Systemet kan oftetst karakteriseres meget nøje ud fra viden om kausalitet, stabilitet og hvor RO er placeret. Fra [Oppenheim, 998, s. 05] er følgende egenskaber ved RO angivet:. RO er en ring i z-planet, med center i origo. 0 r R < z < r L. Elektronik & Elektroteknik

17 4 ELEKTRONIK Side 7 af Fouirer transformen af x[n] konvergerer absolut, kun hvis RO indeholder enhedscirkeln (r = ). 3. RO kan ikke indeholde poler (så er den jo ikke analytisk længere). 4. x[n] er en begrænset serie. Dvs. den er nul, undtagen i et afgrænset område < N n N 2 <. Grænsetilfældene z = 0 og z = skal altid gennemtænkes ekstra! 5. Hvis x[n] er en højresidet serie (dvs. 0 for n < N < ), så går RO fra den yderste pol (største pol ) ud til (og måske inkluderende). Hvis 6. Hvis x[n] er en venstresidet serie (dvs. 0 for n > N 2 > ), så går RO fra den inderste (mindste pol ) nonzero/ikkenul pol og ind til (måske inkluderende) z = Hvis x[n] er en dobbeltsidet serie (forklaring), så er RO en cirkelring. 8. RO skal være en forbundet region. Yderligere er det vigtigt at cementere følgende facts: Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN indeholder enhedscirklen, så er systemet stabilt. Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN går fra yderste pol og mod uendeligt, så er systemet kausalt. Idet dette jo er matematik, og vi har Uwe Hartmann, så er foldnings-summen for det diskrete spektre, samt nogen yderligere regler, angivet nedenfor: y[n] = h[n] x[n] = nx x[k]h[n k] (04) k=0 h[n] δ[n] = h[n] (05) Tricket er at impulsresponsen (h[n]) evalueres i hele k, for hvert input i n. Foldningen er kommutativ. Haves eksempelvis et udtryk hvor y[n] = (x[n] + x[n] h [n]) h 2 [n] (06) y[n] = x[n] ( + h [n]) h 2 [n] (07) h[n] = y[n] x[n] = ( + h [n]) h 2 [n] (08) 4 Elektronik 4. Grundlæggende kredsløbselementer Her gennemgåes de grundlæggende kredsløbselementer. Når man regner med forstærkninger, får man en forstærkning på n gange, ud fra db tallet på: 4.. apacitorer Grundformlerne for at regne på kondensatorer er: 4..2 Spoler i c = dv dt [A], db = 20 log(n), f = ω 2 π v c (t) = (09) R t t 0 i(τ)dτ + v(t 0 ) [V ], w c = 2 v2 [J] (0) U Aflad = U 0 e t R [V ], U Oplad = U 0 ( e t R ) [V ] X c = [Ω] () 2πf Grundformlerne for at regne på spoler er: i L (t) = Z t i(τ)dτ + v(t 0 ) [A], L t 0 v L = L di dt [V ], w L = Li 2 (t) [J], X L = 2πfL [Ω] (2) AAU 2004

18 Side 8 af 28 Emne : Sequence Transform RO δ[n] Alle z u[n] u[n ] z < z z z < δ[n m] z m Alle z, undtagen (m > 0 0) eller m < 0 ) a n u[n] a n u[n ] na n u[n] na n u[n ] cos(ω 0 n)u[n] sin(ω 0 n)u[n] r n cos(ω 0 n)u[n] r n sin(ω 0 n)u[n] a n u[n], 0 n N a n+ u[n] a n+ u[n ] a n u[n ] a n u[n] u[n] u[n] u[n] az az az (z ) 2 az (az ) 2 cos(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 sin(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 r cos(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 r sin(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 a N z N az a az a az z az z az z z z a < z z < a a < z z < a < z < z r < z r < z 0 < z a < z z < a a < z z < a < z < z < z Tabel 2: Z-transformationer og tilbage igen, fra [Oppenheim, 998, s. 04]. Udtryk under stregen er venligst udledt af Jan Sundvall. Disse en kombination af denne tabel samt tabel Steady-state tilstande I analyse af kredsløb, kan stabile tilstande bestemmes (strømme og spændinger er konstante), såfremt disse findes. Når en kreds opnår steady-state, kan spoler erstattes med kortslutninger, og kondensatorer erstattes med åbne forbindelser. 4.2 Norton and Thevenin equilevants Elektronik & Elektroteknik

19 4 ELEKTRONIK Side 9 af 28 Sequence Transform RO x[n] X(z) R x x [n] X (z) R x ax [n] + bx 2 [n] ax [n] + bx 2 [n] R x R x2 x[n n 0 ] z n 0 R x z n 0 x[n] X(z/z 0) z 0 R x nx[n] z dx(z) dz R x x [n] X (z ) R x Re{x[n]} Im{x[n]} x [n] X ( z ) 2 [X(z) + X (z )] Indeholder R x [X(z) X (z )] 2j Indeholder R x /R x x [n] x 2 [n] X (z) X 2 (z) Indeholder R R 2 x[n] = 0, n < 0 lim z X(z) = x[0] Tabel 3: Z-transformation egenskaber [Oppenheim, 998, s. 26]. Med Thevenin til venstre og Norton til højre, kan følgende formler anvendes til at bestemme ekvivalenter. ((S) = Short irquit og (O) = Open irquit). v T = v oc, R T = v oc/i sc (3) i N = i sc, R N = v oc/i sc (4) + vt RT i v in i RN v 4.3 Miller-transformation* z Anvendes i forbindelse med en forstærker, der har en impedance over sig, og forstærkningen k. Transformationen er vist til højre. Formlerne der anvendes er: Vin K Vout z K z2 z = k z z 2 = z k (5) hvor z ikke må ændre sig så længe transformationen anvendes. (udledes ved at se på strømme ind, og v 2 /v = k). Dette er specielt handy, hvis man har en kondensator over en forstærker (som i hybrid-π-modellen), hvorved formlerne bliver til c = c( k), c 2 = c( ) c, k >>. (og jo, i hybridπ modellen havner de transformerede kapacitanser p aa hver sin k side af str oemgeneratoren. Her skal man anvende forst aerkningen fra indgangsbenet til udgangsbenet, alts aa uden eksterne kredse p aa.) AAU 2004

20 Side 20 af 28 Emne : 4.4 h-parametre* H-parametre bruges til at beskrive forstærkere og andre kredse (opamps, transistorer etc.). Dette er defineret ud fra figur 5 på side 25 (til højre på figuren). Sammenhængen er ud fra figuren givet ved V = h I + h 2 V 2, I 2 = h 2 I + h 22 V 2 (6) h = V I ŕ, h 2 = I 2 V2 =0 I ŕ, h 2 = V V2 =0 V ŕ, h 22 = I 2 2 I =0 V ŕ (7) 2 I =0 Evalueringsbetingelserne er at (V, V 2) = 0 er spændingskilderne er kortsluttede. Hvis (I, I 2 ) = 0 er strømkilderne en afbrydelse. [Sedra & Smith, 998, side B.]. 4.5 OpAmps, ideelle OPAMPS (operationsforstærkere) er vist på figur 2, og karakteriseret ved følgende: Z2 Uendelig høj indgangsimpedance (dvs, ingen strøm ind i terminalerne på indgangssiden). V V2 V0 Vi Z V0 Virtual short cirquit. Operationsforstærkeren vil gøre alt, for at der er samme potentiale på indgangsbenene. Dvs. at forskellen på benene ideelt set er 0. Uendelig råforstærkning. Dvs. at det eneste der sætter begrænsningen i forstærkningen er forsyningen. Figur 2: OPAMP symbol samt inverterende kobling A = V 0 V i V o = A(V V 2 ) For den inverterende kobling (vist til højre i figuren), kan det vises at A = Z Z Ikke idelle opamps* slew rate, offset voltage, bias-strøm, temperatur-drift, indgangsimpedancer, båndbredde. FET og BJT forskelle. 4.6 KL and KVL Kirchoffs current law (KL) foreskriver at al strøm til et punkt, også må forlade punktet. Dvs. at I in +... I out... = 0. Med dette kan opstilles en række ligninger for en kreds, og disse kan så løses vha. lineær algebra. Kirchoffs voltage law (KVL) foreskriver at summen af spændinger i en lukket kreds, altid skal være 0 (her regnes også med fortegn). På figuren til højre, er der vist et sådant loop. Et loop på denne måde, ville give en ligning: R + R 2 + R 3 R 4 = 0 (idet spændingsfaldet over R 4 er modsat vores regneretning). + R R2 + R Analysemetoder R4 I det følgende afsnit, redegøres for nogen metoder og tricks, til analyse af elektroniske kredsløb. + Elektronik & Elektroteknik

21 4 ELEKTRONIK Side 2 af Linearitets-princippet En lineær funktion er en funktion der opfylder kriteriet f(nx) = n f(x), og komponenter der opfylder dette, anses derfor også for at være lineaære (disse er typisk modstande, kondensatorer og spoler. Men opamps der har en linær forstærkning, er også lineære). Et hypotetisk eksempel på anvendelse af linearitet, er hvis man har en forsynings-spænding, og igennem et net af komponenter, skal ende med et bestemt spændingsfald over en modstand. Man påtrykker så en tilfældig spænding på forsyningen, og regner det hele igennem. Man kan så justere det endelige spændingsfald over modstanden, ved at justere den påtrykte spænding på forsyningen Superposition En kreds med flere forsyninger kan regnes en forsyning ad gangen, og til sidst lægges alle ting sammen, hvilket giver et endeligt billede. Her skal strømforsyninger erstattes af brudte forbindelser, og spændingsforsyninger erstattes af kortslutninger Maske (mesh) analyse Mesh analyse udføres ved at KVL rundt i kredsens masker. Her anvendes strømmen i masken dog til at udtrykke spændingen (i R + i R 2 L di dt = 0 eksempelvis). Med dette opbygges således flere ligninger, der er garanteret ig lineært uafhængige, og derved findes der unikke løsninger ifølge den lineære algebra. i Findes der strømkilder i kredsen, bliver ligningerne noget nemmere at opstille, idet vi udtrykker ukendte maske-strømme som strømkilden, samt en anden strøm (se figur til højre). v R v2 R2 v3 Her ses det at i = i g3, samtidig med at i 3 i 2 = i g2 i 3 = vg3 ig2 + i g2 + i 2. Vi har nu kun en supermaske, som vi løser vha. ligning (vi skal blot i2 huske at regne i3 i g med i strømmene). R3 R (i g + i 2 ) + (R 2 + R 3 )(i g + (i g2 + i 2 )) = v g3 (8) i 2 = v g3 R i g (R 2 + R 3 )(i g + i g2 ) R + R 2 + R 3 (9) ved 3 eller flere ligninger/ubekendte er det en fordel at stille op p aa matriceform og loese med rref(a) ellers cramers regel Punkt (nodal) analyse Man sætter et enkelt punkt til potentialet 0, og beregner alle andre potentialer, eventuelt vha. opstilling af formel til lineær algebra. Se på strømme imellem punkter (idet I R = U). Den totale str oem til punktet skal v aere p aa den ene side af lighedstegnet, imens sp aendinger divideret med modstande skal st aa p aa den anden side. Sp aendingen for punktet selv divideres med den totale impedans for punktet (den impedans som punktet kigger ud i). Opstilles ligninger for samme figur som i mesh-analyse, findes f oelgende: v = v g3 (20) i g2 = v 2 (R + R 2 ) + v R + v 3 (2) R 2 v 3 i g2 = + v 2 (22) R 2 + R 3 R 2 AAU 2004

22 Side 22 af 28 Emne : 4.8 Laplace - transform Nedenfor ses laplace-transfor tabellen. Denne kan ligeledes anvendes til fourier-transformen, ved at indsætte s = jω. Funktioner f(t) F (t). Linearity c f (t) + c 2 f 2 (t) c F (s) + c 2 F 2 (s) d 2. Differentation dt f(t) sf (s) f(0) d 3. n-fold diff dt f(t) sn F (s) + K(many) d 2-fold diff dt f(t) s2 F (s) sf(0) f (0) R 4. Integration t 0 f(τ)dτ F (s)/s 5. Time shift f(t t 0 )u(t t 0 ), t 0 > 0 e sto F (s) 6. Frequency shift e s0t f(t) F (s + s 0 ) 7. t-multiplication tf(t) d ds F (s) 8. n-fold t-multiplic. t n f(t) () n dn ds n F (s) 9. Impulse-response h(t) H(s) 0. Initial rate thm. f(0+) = lim s sf (s). Final value thm. f( ) = lim s 0 sf (s) 2. compound e at f(t) F (s a) Singularity functions f(t) F (s) Unit impulse δ(t) Unit step u(t) /s Unit ramp r(t) = tu(t) /s 2 Unit parabola p(t) = /2t 2 u(t) /s 3 n th integal of impulse δ n (t) /s n Unit doublet δ (t) s n th deriv. of impulse δ n (t) s n Ordinary functions f(t) F (s) onstant /s t t /s 2 Power of t t n /(n )! /s n Exponential e at /(s + a) t-mult. exponential te at /(s + a) 2 repeated t-mult. exp. t n e at /(s + a) n sine sin ωt ω/(s 2 + ω 2 ) cosine cos ωt s/(s 2 + ω 2 ) damped sine e at sin ωt ω/([s + a] 2 + ω 2 ) damped cosine e at sin ωt (s + a)/([s + a] 2 + ω 2 ) t-mult. sine t sin ω 2ωs/(s 2 + ω 2 ) t-mult cosine t cos ωt (s 2 ω 2 )/(s 2 + ω 2 ) ω rectified sine sin ωt s 2 +ω 2 coth πs 2ω 4.9 S domain analysis Lad os med det samme slå fast, at KL og KVL, og dermed nodal- og mesh-analyse stadig gælder. Vi kan så definere impedancen for de forskellige elementer, i stedet for modstand (dette gælder så længe alle Elektronik & Elektroteknik

23 4 ELEKTRONIK Side 23 af 28 initial conditions er sat til 0). V (s) = Z(s)I(s), Z r (s) = R Z L (s) = sl Z c (s) = s Admittans kan også bestemmes, dog ved at invertere ovenstående formler. (23) 4.9. Initial conditions S-domæne analyse, kan også inkludere kondensatorer og spoler, der er opladet fra starten. Her indsættes spændingskilder eller strømkilder for at kompensere for dette. Udtryk er vist i figur i L + i L R sl /s R sl /s Li (0) L Spændingskilder V (0)/s Li (0) L s Strømkilder V (0)/s Figur 3: Initial-conditions spændings og strømkilder Overføringsfunktioner og respons Det er givet at H(s) = Y (s), y(t) = x(t) h(t) Y (s) = H(s) X(s) (24) X(s) Z t h(t) = (f g)(t) = f(t) g(t) = f(τ)g(t τ) dτ (25) 0 hvoraf det ses at en foldning i tidsdomænet bliver til en multiplikation i laplace-domænet, hvor initialconditions er sat til 0. Dette kaldes også forced response (se ellers [Johnson et al., 997, s. 545] og [Kreyzig, 999, s. 279] for mere om foldningsintegraler (rækkefølgen for funktionerne er vigtige!). Formel (25) er også kaldet tidsfoldningsformlen/sætningen, det er denne vi prøver at undgå, ved at anvende laplace/fourier transformer. Denne her holder dog foldningen i tidsdomænet. Husk at multiplicere med heavisides enheds-step (u(t)) når der laves invers laplace-transfor. Dette er dikteret af at systemet er kausalt, hvilket betyder at systemet ikke kan generere signaler ud af sig selv, altså kan der først komme et output til tiden efter 0, hvilket heavisides enhedsstep sørger for. Overføringsfunktionen H(s) er defineret som den laplace-transformerede (eller impedans-udtrykket), uden initial konditions. Enhedsimpulsresponsen h(t) findes ved at lave invers-laplace transformation på H(s). Zero-input y zi (t) responsen er defineret som kredsens respons ved inputs sat til 0, med initial-conditions. Altså beregnes y(t) som den invers-laplace-transformerede af H(s), med initial conditions og ingen inputs. AAU 2004

24 Side 24 af 28 Emne : Zero-state y zs(t) responsen er defineret som kredsens respons overfor inputs, med initial conditions sat til 0 (det samme som foldningen mellem x(t) og h(t)). Heraf er det givet at y(t) = y zi (t) + y zs (t) hvorved det kun er nødvendigt at kende zero-state og zero-input responsen, for at finde den endelige signal-respons. 4.0 Dioder* 4. Middelfrekvens (normale) Transistorer* Liste over sammenhænge ved aktiv operation. B = Base, = ollector, E = Emitter, V be = voltage base-emitter. Man kan få en FET-model, ved at lade r π gå mod uendeligt (afbrydelse). Værdien for I s kan findes i datablade, eller ved at indsætte værdier for et kendt punkt (hvilket også godt kan findes i datablade, det man skal kende er i c og v BE. ş ť i c = I S e v BE /V T, i B = i β = ISβ e v BE /V T, i E = i α = ţ IS α ű e v BE /V T (26) i = αi E i B = ( α)i E = i E β+ i = βi B (27) i E = (β + )i B β = α α α = β β + (28) V T = kt q (29) På figur 4 (venstre og midt) ses kurver for afhængigheder mht. transistorer. i i Saturation Break Down B npn E pnp E B 0.5V 0.7V B r pi g v m pi r 0 v BE v E 0V 0.3V E Figur 4: npn-transistor kurver samt hybrid-π småsignalsmodel Ydermere er vist småsignalsmodellen hybrid-π (Denne gælder også for npn-transistorer, dog er parasit capacitorer ikke indtegnet). Hvor r 0 tager højde for Early effekten (denne kan udelades). Sammenhænge i modellen er givet ved (I Q er strømmen ind i collector, ved arbejdspunktet Q). g m = I Q V T, r π = β g m = β V T I Q, v BE = V rπ, r 0 = V A I Q = h oe h, r µ = F E r µ r π h re (30) hvor V A angiver Early-voltage, der ligger mellem 50V og 00V. Str oemgeneratoren g m v π kan erstattes af en str oemgenerator med parametrene β i b [Sedra & Smith, 998, s. 26]. Elektronik & Elektroteknik

25 4 ELEKTRONIK Side 25 af 28 I [Sedra & Smith, 998, s. 262] er f oelgende fremgangsm aade angivet, til at lave sm aasignalsanalyse med: () Bestem D-operating point. I s aerdeleshed str oemmen I. (2) Udregn v aerdier for sm aasignalsmodell (3) Fjern D-kilder. Sp aendinger er kortslutninger, str oemkilder er afbrydelser. Store kondensatorer bliver til kortslutninger. (4) Erstat BJT/FET med deres sm aasignalsmodeller. (5) Analyser kredsen til oensket data er fundet. 4.. Højfrekvens transistorer* Herunder beskrives Høj-frekvens forhold for transistorer. I den udvidede hybrid-π model (se figur 5) anvendes følgende variabler: r π = h fe g m, r x = h ie r π, β A = h fe (3) r µ = r π h ie, r 0 = h oe, c µ = B0 = g m w t c π (32) h = h ie, h 2 = h fe, h 22 = h oe, h 2 = h re (33) De forskellige h-parametre findes i datablade, sammen med f t = ω t 2π som er unity-gain frekvensen. r my B r pi c pi I h I 2 c my h 2 2V + + r V h22 2 g m v V pi 0 h 2 I E Figur 5: HF hybrid-π transistormodel (venstre) samt diagram for h-parametre (højre) Bestemmelse af højfrekvens knækfrekvens 2 gøres vha. tomgangs-tidskonstant metoden. Her er ω H givet ved ω H = P n i= T, T it = i R i, ω H == 2π f H (34) it Hvor man tager en kondensator ad gangen, og R i er den modstand kondensatoren kigger ind i, samtidig med at andre kondensatorer er erstattet af afbrydelser. Dette gøres for samtlige kondensatorer, og så har man summen. I tabel 4.5 i [Sedra & Smith, 998, s. 327] er angivet sammenh aenge mellem SPIE og normale parametre. Hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) er på 2 Frekvensen hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) har sit 3dB punkt, senere ender dette i unity-gain, hvor forstærkningen er. AAU 2004

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Fasedrejning i RC / CR led og betragtninger vedrørende spoler

Fasedrejning i RC / CR led og betragtninger vedrørende spoler Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers frekvensafhængighed,

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Laplace transformationen

Laplace transformationen MODUL 6 Laplace transformationen Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN 24. juni 214 2 Indhold 1 Laplace transformationen 5 1.1 En lineær transformation.............................. 7 1.2

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Øvelse i termisk analyse

Øvelse i termisk analyse Øvelse i termisk analyse Fysisk teknik ved Bo Jakobsen http://dirac.ruc.dk/~boj/teaching Efterår 2011 1 Baggrund Øvelsenhartilformålatsættejerindienmetodetilatbestemmeetmateriales frekvensafhængige varmekapacitet.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Start af nyt schematic projekt i Quartus II

Start af nyt schematic projekt i Quartus II Start af nyt schematic projekt i Quartus II Det følgende er ikke fremstillet som en brugsanvisning der gennemgår alle de muligheder der er omkring oprettelse af et Schematic projekt i Quartus II men kun

Læs mere

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter Kollektor Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999 Basis Emitter 1 Indholdsfortegnelse Problemformulering 3 Transistorens opbygning 4 Transistoren DC forhold

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

E3-4 Analog Elektronik (AEL)

E3-4 Analog Elektronik (AEL) E3-4 Analog Elektronik (AEL) Komponenter, Kredsløb og Analyse Jan Hvolgaard Mikkelsen, Ole Kiel Jensen og Sofus Birkedal Nielsen {jhm, okj, sbn}@es.aau.dk Aalborg Universitet 2010 Kursusoversigt Kursusgang

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Numerisk Fysik. Emner

Numerisk Fysik. Emner Numerisk Fysik Emner 1 Vektorer, 2D plot, fit i hånden 2 Arrays, lineære fit, koordinat-transformationer 3 Funktioner, minima, integration, ikke-lineære fit 4 Små-simuleringer 5 1. ordens differentialligninger

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Indholdsfortegnelse PSpice modul 3. Forudsætninger. Forberedelse til øvelser

Indholdsfortegnelse PSpice modul 3. Forudsætninger. Forberedelse til øvelser Indholdsfortegnelse PSpice modul 3 Model Editor, opret diode ud fra model fundet på internettet.... 2 Parametrisk Analyse... 6 Ekstra - Parametrisk analyse på diode parameter... 9 Forudsætninger For at

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Introduktion Indtastning Funktioner Scripts Optimering. Matlab

Introduktion Indtastning Funktioner Scripts Optimering. Matlab - robert@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ robert/teaching/2010/matlab 9. august 2010 1/39 Disposition 1. Lidt om. 2. Basiskursus. 3. Opgaver. 4. Mere til basiskursus. 5. Opgaver. 2/39 MATLAB = MATrix

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Logik Rapport - Alarm. Klaus Jørgensen Itet. 1a. Klaus Jørgensen & Ole Rud 9/9-2002 Vejledere: PSS & SKH

Logik Rapport - Alarm. Klaus Jørgensen Itet. 1a. Klaus Jørgensen & Ole Rud 9/9-2002 Vejledere: PSS & SKH - Alarm Klaus Jørgensen Itet. 1a. Klaus Jørgensen & Ole Rud 9/9-2002 Vejledere: PSS & SKH Indholdsfortegnelse. Side 2. Side 2. Side 3. Side 3. Side 4. Side 4. Side 5. Side 6. Side 7. Side 8. Side 9. Side

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Kort introduktion til MATLAB

Kort introduktion til MATLAB BILAG H Kort introduktion til MATLAB Matlab er et interaktivt programmeringssprog udviklet til manipulering af vektorer og matricer, og er baseret på LINPACK og EISPACK bibliotekerne. På grund af den lette

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere