TEK-NAT formelsamling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TEK-NAT formelsamling"

Transkript

1 den ægte: TEK-NAT formelsamling Elektronik og elektroteknik (x-4)^2-4 log(x) sinh(x) e^x cos(x)-3,* cosh(x+4) tan(x), * sin(x)-3, * 0^x ln(x) Udført af Jes Toft Kristensen 23. maj

2 Side 2 af 28 Emne : Intro Denne formelsamling er på ingen måde ment som fyldestgørende og komplet. Mange ting er ikke med, idet dette er piratviden som alle skal have, hvis du eksempelvis ikke kan huske impedansen for en modstand, har du nok flere problemer end denne formelsamling kan løse. Idet jeg nu er kommet på 3. semester, kommer der nok nogen tilføjelser. Disse tilføjelser er markeret med en stjerne (*) i indholdsfortegnelsen og i overskrifter. P aa samme m aade er det for f oelgnde semestre angivet: 4. semester (χ) 5. semester (κ) 6. semester (ϱ) 7. semester (ς) 8. semester (ψ) Indhold Intro 2 2 Nørd 2 2. Links and Debian mirrors EMAS genveje Matlab/Octave programmering VS Konvertering mellem formater Mat/Fys 6 3. osinus & Sinus Differentation og integration Lineær algebra Egenv aerdier og egenvektorer Udvidede matrice (χ) Komplekse tal Fysik formler Konstanter og grundenheder Ellære* E-felter B-felter Lige for at iterere EMF (faraday) Komplex integration* Linie og kurveintegraler* Fourier serier, integraler og transform* 3 3. Komplekse r aekker (χ) Residue regning (χ) Z-transformation (χ) Elektronik 7 4. Grundlæggende kredsløbselementer apacitorer Spoler Steady-state tilstande Norton and Thevenin equilevants Miller-transformation* h-parametre* OpAmps, ideelle Ikke idelle opamps* KL and KVL Analysemetoder Linearitets-princippet Superposition Maske (mesh) analyse Punkt (nodal) analyse Laplace - transform S domain analysis Initial conditions Overføringsfunktioner og respons Dioder* MF Transistorer* HF transistorer* Gates Arbejdsmæssigt Elektronik Kravspecifikation Fjol itater Busplaner Nørd Her ligger alle de nørdede ting, som man bruger når man lever som nørd. Elektronik & Elektroteknik

3 2 NØRD Side 3 af Links and Debian mirrors Links of interest: The linux documentation project The TAN LATEX archive Debian mirrors (som i /etc/apt/sources.list): deb ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb testing/non-us main contrib non-free deb ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free For at downsample mp3 til mp3, saa det passer udemærket i en usb/mp3-afspiller, kan man bruge følgende: lame --mp3input -h -V 6 -B 60 filind.mp3 filud.mp3 hvori man bruger variabel bitrate i kvalitet 6 (0 bedst, til 9), og en maksimal bitrate paa 60. En anden m aade at nedkonvertere p aa er at bruge f olegende scripts: for i in *.mp3; do mv $i echo $i tr _ ; done og for i in *.[Mm][Pp og til sidst for i in *.MP3; do mv $i basename $i.mp3.mp3 ; done. Saa virker det ihvertfald i xcdroast.. Mplayer kan alt, og den kan ogsaa spille i framebuffer, hvilket gøres ved mplayer -vo fbdev fil.film. Alternativt kan man også få mplayer til at afspille uden lag, måske ved at gøre følfende: mplayer -cache 892 -fr hdparm kan seje ting, proev bare hdparm -X66 -d -u -m6 -c3 /dev/hda For at spoofe en mac-addresse g oeres f oelgende: ifconfig eth0 hw ether 00:00:00:00:00:00, saa er den god. SSH kan forwarde porte fra en fjern host til din egen, via en gate. Det gode eksempel er: ssh -L 3030:btech.dhs.org:3030 zil.kom.auc.dk cat - hvorefter man kan bruge gmudix og connecte til localhost:3030 for at spille p aa deres fantastiske battletech MUD server. 2.2 EMAS genveje Open file -x -f search forward -s Set mark here - or -SP Save file -x -s search backward -r Kill word M-DEL / M-d Insert file -x i query replace M-% Kill line M-0 -k / -k Undo stuff -x u indent line TAB save register -x r s select buffer -x b indent region -M-\ insert register -x r i list buffers -x -b shell command M-! rect 2 register -x r r kill buffer -x k del other windows -x kill rectangle -x r k split -x 2 split -x 3 prefix rectangle -x r t = ctrl, M = meta/alt. command / command means backward/forward 2.3 Matlab/Octave Hvis du skal anvende octave, så hent straks octave-forge, hvor der ligger mange flere kommandoer i. Her vil der blot være et kort resume af de forskellige kommandoer. Husk at der altid kan bruges help og help -i <emne>. Det kan altid anbefales at kigge hjælpefilerne, idet gennemgangen her er overfladisk. Octave minder meget om matlab, så kommandoerne kan for det meste bruges uafhængit, men slå tingene op hvis de driller. For at beregne fakultet (n!), bruges prod( : n). AAU 2004

4 Side 4 af 28 Emne : Polynomier Et polynomie defineres med a = [ ], hvilket giver at a = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. (kan vises med polyout(a)) polyval(a,n), evaluer polynomiet a, med v eardien n. roots(a), giver rødderne på polynomiet a. conv(a,b) og deconv(a,b), Foldning og udfoldning af polynomier. cross(a,b), krydsproduktet af vektorer a og b (typisk a, b R 3 ). norm(a,b), længden af vektor a og b. dot(a,b), krydsproduktet af vektor a og b. tf(t,n), lav en overførselsfunktion ud af udtrykket t = tæller, og n = nævner (kan være polynomier etc... ), kan senere bruges til at lave bodeplots med. Overførselsfunktioner kan vises med residue kan beregne residuet for et t aeller og n aevner polynomie. sysout(l, tf ) eller sysout(l, zp ), som giver transfer function og zero-pole function. Plots og in/output For at styre output, sætter man først sin terminal. gset term ARG, hvor ARG kan være X, png, postscript, jpg, gset output filnavn.komplet Giver et output filnavn. Skriv til filen med replot eller tilsvarende (fig, postscript, X). gset ARG noget, hvor ARG kan være title, xlabel, ylabel, grid og mange andre ting. bode(l), laver bodeplots (3 billeder) ud fra overførselsfunktionen L (L skal laves med tf2sys(a)). plot(x,y,fmt, ;title; ), plotter punkterne x og y, hvor FMT er formaterringskommandoer (linespoints osv.), se hjælpfilen for options. gset arg option formatering af plots (gerne sammen med hold on/off). Bare skriv gset, og du får en liste af options. plot(a,b, ;\\\\ Titel ; tegner noget, bemærk escape sekvensen med fire backslashes.. for at få en backslash til fig2ps osv... Symbolsk algebra Octave kan godt lave symbolske regnerier.. det er dog afh aengigt af octave-forge pakken. Tingene enables ved at kalde symbols, og bagefter kan man definere en symbolsk v aerdi med x = sym ( x );. Herefter defineres eksempelvis a = 2 x 2 + 4;. Nu kan differentiate(a,x,n) og sikkert andre funktioner bruges (man kan definere flere symbolske v aerdier, og derved have a = 2*x*b;). Lineær algebra og scripts En matrice laves med a = [3 2 4 ; 3 24 ; ], hvilket her giver en 3x3 matrice. Man kan så bruge rref(a), det(a), a*b, a row-reduce, determinant, multiply og transpose. Nedenunder er der givet forskellige scripts, der kan ligge i.m filer. Elektronik & Elektroteknik

5 2 NØRD Side 5 af 28 # Usage: mult (a, n, x) #Usage: madd (a, n, m, x) # Multiplies row a(n,:) with x #Multiply row a(n,:) by x, function a = mult (a, n, x) #and add it to a(m,:) a(n,:) = a(n,:) * x; function a = madd (a, n, m, x) endfunction N = a(n,:)*x; a(m,:) = a(m,:) + N; endfunction # usage: swap (a, n, m) # usage: makes transfer function from poles # swaps matrice row a(n,:) w=20*0^7; w2 =w; w3 = 0^9 #with a(m,:), nice hack!! A=500; beta = /25; N = beta*a function c = swap (a, n, m) D = conv([/w ],conv([/w2 ],[/w3 ])); b = a(n,:); sysa=tf(n,d); bode(sysa); a(n,:) = a(m,:); #i matlab kan man ogsaa bruge margin(n,d); a(m,:) = b; c = a; endfunction 2.4 programmering Meget korte referencer! goer meget ud af, hvilket typer variabler der kastes rundt (pointers, funktioner osv..) 2.5 VS oncurrent versioning system. Nogen rare kommandoer er (i bash eller tilsvarende terminal): export cvs vil nu kigge i /path/to/root efter filer. I dette bibliotek, bør der ligge et dir der hedder VSROOT. export VS RSH=ssh cvs import -m logbesked. user start hvor punktummet efter logbesked er det dir du står i nu. Brugeren er din unix - bruger og start skal hedde start. Bemærk at du importere alt det, der er i biblioteket./. Kommandoerne er fundet på [E, 2004, /guides/] 2.6 Konvertering mellem formater F oelgende kommandoer kan med de rette pakker anvendes i linux/unix, til konvertering mellem alle underlige formater. Programmer n aevnt nedenfor er det der anvendes: GV (har en save marked page funktion ) pstoedit (mange muligheder, se transfig... Summering af konvertering pstoedit -f fig test.ps test.fig AAU 2004

6 Side 6 af 28 Emne : 3 Mat/Fys Alt hvad vi har lært i matematik og fysik, det er jo så handy. 3. osinus & Sinus Ret meget info om sinus og cosinus, for det er jo så interessant. Herunder additionsformler, samt hyperbolske sin og cos funktioner (se i håndbog for skabsnudister). 3.2 Differentation og integration f (x) f(x) R f(x)dx k n x n x n n+ xn+ 2 x x 2 3 x x ax a x a a : a+ xa+ 2 ln x x e x e x e x ae ax e ax a x ln(a) a x, a > 0 a 0 : a eax a : ln(a) ax sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) cos 2 (x) = + tan2 (x) tan(x) ln cos(x) sin 2 (x) = cot2 (x) cot(x) ln sin(x) sin(2x) cos 2 x (x) 2 + sin(2x) 4 sin(2x) sin 2 x (x) 2 sin(2x) 4 2 tan(x)( + tan 2 (x)) tan 2 (x) tan(x) x 3(sin(x) sin 3 (x)) cos 3 (x) sin(x) 3 sin3 (x) 3(cos(x) cos 3 (x)) sin 3 (x) cos(x) 3 cos3 (x) sin(x) cos 2 ln (x) cos(x) ŕ +sin(x) cos(x) ŕ = ln tan( x 2 + π 4 ) cos(x) sin 2 ln (x) sin(x) ŕ cos(x) sin(x) ŕ = ln tan( x 2 ) arcsin(x) x arcsin(x) + x 2 x 2 x arccos(x) x arccos(x) x 2 2 +x 2 arctan(x) x arctan(x) 2 ln ( + x2 ) +x 2 arc cot(x) arc cot(x) + 2 ln( + x2 ) n cos(nx) sin(nx) /n cos(nx) n sin(nx) cos(nx) /n sin(nx) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (kf) (x) = kf (x) (f ) (x) = (f f )(x) ţ ű f = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)) 2 () (f g) (x) = (f g)(x)g (x) (2) Elektronik & Elektroteknik

7 3 MAT/FYS Side 7 af 28 Z b h i b f(x)g(x) = F (x)g(x) a Z x dx, Z b Z b Z g(b) F (x)g (x) dx, f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt (3) a a a g(a) t = 3x dt = 3dx dx = Z 3 ů ÿ 3 dt, t 3 dt = ln 3x (4) Lineær algebra Multiplikation af matricer, er defineret som følger: a b c d e f g h i a + 2b + 3c 4a + 5b + 6c 7a + 8b + 9c d + 2e + 3f 4d + 5e + 6f 7d + 8e + 9f g + 2h + 3i 4g + 5h + 6i 7g + 8h + 9i = č a b c ď = 2 3 2a 2b 2c 4 3a 3b 3c 5 4a 4b 4c Her skal der også dækkes determinanter (specielt med at a svarer til at slette row og column, og så bestemme determinant derefter, se note i Fraleigh Beauregard, under determinanter). ramers regel kan l oese en lignings-system af typen Ax = B, ud fra x n = det(b n)/det(a), hvor B n er matrice a, hvor s oejle n er erstattet af vektoren B (som er en enkelts oejle-matrice.. basta). ramers regel er til tider lidt fjollet, idet man med moderne regnekraft kan bringe matricen AB (sat sammen) p aa row-reduced echelon form (rref), hvilket giver svaret direkte. P aa basis gennemgik vi noget mere, men det gider jeg ikke dokumentere Egenv aerdier og egenvektorer Egenv aerdier og egenvektorer angiver analytiske egenskaber ved den p aag aeldende matrice. Det der s oeges er Ax = λx, hvori λ og x er en ubekendte. Opstillet p aa formeludtryk ser du ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 273]: ů ÿ ů x x 2 ÿ ů x = λ x 2 ÿ (5) det(a λ I) = 0 (6) hvor egenv aerdien λ kan indtage n forskellige v aerdier, i en n n matrice. I ovenst aaend eksempel er λ = og λ 2 = 6. Egenvektoren x bestemmes ved at l oese ligningen 2 2 λ n x 2 ů 5 λn 2 ÿ ů x det(a λ I) = 0 (7) ÿ = (8) (5 λ n )x + 2x 2 = 0 (9) 2x + x 2 (2 λ n ) = 0 (0) for hver v aerdi af λ. Den resulterende matrice r aekke-reduceres indtil der kan siges noget fornuftigt om hver variables x og x 2. Af ovenst aaende ses det klart at ů ÿ x λ= = () 2 ů x λ=6 = Udvidede matrice (χ) ÿ y (2) I [Kreyzig, 999, s. 38] beskrives de relle matricer, der har forskellige egenskaber. A T = A, symmetrisk, a kj = a jk. A T = A, sk aev-symmetrisk, a kj = a jk. Diagonalen i en sk aev-symmetrisk matrice er altid 0. Egenv aerdierne er 0 eller rent imagin aere. A T = A, Ortogonal, a kj = a jk. Determinanten er altid + eller. I [Kreyzig, 999, s ] gennemg aaes de komplekse matricer, der blot er generaliseringer af de relle matricer. A T = A Hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier er relle. AAU 2004

8 Side 8 af 28 Emne : A T = A Sk aev-hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier rent imagani aere eller 0. A T = A Unit aer. Egenv aerdier har absolut v aerdi 0. Determinanten har ogs aa absolut v aerdi 0. [Kreyzig, 999, s. 390, thm 4.]. En matrice kan skrives p aa kvadratisk form vha. [Kreyzig, 999, s. 388]: ů ÿ ů ÿ x T 3 4 x Ax = [x x 2 ] (3) 6 2 x 2 x T Ax = 3x 2 + 0x x 2 + 2x 2 2 (4) x T Ax = a x 2... (5) n X n X... + a jk x k x j + a nnx 2 n (6) k=2 j=2 Unit aere transformationer [Kreyzig, 999, s. 389] bibeholder indre produkt og norm. y = Ax, a b = a T b (7) Matricer A og B siges at v aere similare, hvis B = P AP kan udf oeres. Heri er P en egenv aektor for A samt at A og B har samme egenv aerdier. Hvis dette g aelder s aa er y = P x en egenv aektor for B, svarende til samme egenv aerdi som den P er udledt af [Kreyzig, 999, s. 392]. Hvis A har forskellige egenv aerdier, s aa er egenvektorene uafh aengige, og danner en basis for n eller R n. Men baser eksisterer under meget simplere forhold/former, og de uafh aengige egenv aerdier/vektorer er ikke noget krav. Diagonalisering af en matrice sker if oelge [Kreyzig, 999, s. 394] D = X AX (8) D n = X A n X (9) hvori D er matrice med A s egenv aerdier p aa diagonalen, samt X dannet med A s egenvektorer som s oejler. Yderliger Transformering til principal-akse g oeres, for nemmere at kunne overskue en given funktion, der eventuelt har et f aelles-led. Eksempelvis en ellipse som vist i figur. Her transformeres fra x koordinaterne til y koordinaterne, hvorved man ud fra funktionen kan se hvad den forestiller. Dette foretages ud fra Q = X AX, hvor A er reel-symmetrisk og X best aar af orthonormale (normerede) egenvektorer af A som s oejler. Q er typisk en kvadratisk form. Sammenh aengen mellem y og x koordinater er givet ved x = Xy. y2 x2 y x Im Sk aevhermetisk (sk aevsymmetrisk) R = Re Unit aer (orthogonal) Hermetisk (symmetrisk) Figur : Transfor til principal-akser Elektronik & Elektroteknik

9 3 MAT/FYS Side 9 af Komplekse tal For ethvert punkt, givet ved komplekse tal a = (a, a 2 ) = r v og b = (b, b 2 ) = p θ. q a = r cos v, a 2 = r sin v, r = a 2 + a2 2 cos v = q a, sin v = q a 2, tan v = a 2, a 0 a 2 +a2 a 2 2 +a2 a 2 a + b = (a + b, a 2 + b 2 ), a b = (r p) v+θ = (a b a 2 b 2, a b 2 + a 2 b ) b a = p θ = č p ď r v r θv a 2 = aa (r v ) n = (r n ) nv z n = a = r v z = č n r ď v n +p 2π n = i (20) Den komplekse eksponentialfunktion For z = x + iy, x, y R og A = a + ia 2, B = b + ib 2 gælder det at Ligning (24) og (25) findes i [Kreyzig, 999, s. 787]. Eulers formler Findes mere på [Kreyzig, 999, s. 682] e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) (2) Re[Ae Bt ] = e b t (a cos (b 2 t) a 2 sin (b 2 t)) (22) Im[Ae Bt ] = e bt (a 2 cos (b 2 t) + a sin (b 2 t)) (23) cos(kz) = ş e kjz + e kjzť (24) 2 sin(kz) = ş e kjz e kjzť (25) 2j cos z = ejz + e jz, sin z = ejz e jz 2 2j (26) 3.5 Fysik formler Temperaturafhængighed mht. transistorer/dioder (Boltzmanns konstant k og elementarladningen q indgår). V T = k T q, T [K], k =, [J/K] q = [] (27) k e = = N m πɛ 0 2, ɛ 0 = Nm 2 (28) q electron = , µ 0 = 4π 0 7 [T m/a] (29) V T er typisk på 25.2mV ved 25. µ 0 er permeabiliteten af det frie rum. 3.6 Konstanter og grundenheder Alle konstanter! AAU 2004

10 Side 0 af 28 Emne : Elektroniske grundenheder Alle grundenheder, og definitioner, på eksempelvis stroem, spaending osv. 3.7 Ellære* Kraften fra ladning virkende på ladning 2 er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 74] F 2 = k e qq 2 r 2 r 2 (30) hvor r 2 er en enhedsvektor fra q til q 2 og r er afstanden mellem ladningerne. Retningen som kraften påvirker q 2 med afhænger af polariteten. Modsat polaritet tiltrækker, samme polaritet frastøder E-felter Det elektriske felt er i [Serway & Beichner, 2000, s. 79] defineret til E = F ů ÿ p q p V, F p = m p a, E = k e q p r 2 r (3) m hvor feltlinierne altid peger i retning af det laveste potentiale. Det elektriske felt (E-feltet fremover) opstår pga. forskellige ladninger, placeret fra hinanden. Flux er pr. [Serway & Beichner, 2000, s. 744] defineret til E-feltet gennem overfladen A. Dette kan opskrives alternativt, hvor θ er vinklen mellem overfladen A og feltlinierne fra E-feltet. ů N m 2 ÿ Φ E = E A, Φ E = EA cos(θ) (32) Z Φ E = E da, Φ E = S I E da = q in ɛ 0 (33) De sidste integraler angiver lovene for flux igennem overflader. Bemærk at det lukkede integrale angiver fluxen gennem en lukket overflade, hvilket er Gauss lov, der siger at dette altid er Φ E = q in ɛ0 hvor q in er ladningen indenfor den lukkede overflade. Hvis der ikke er nogen ladning indenfor den lukkede overflade, så vil fluxen igennem denne være 0 (ind = ud). Elektrisk potentiale er i [Serway & Beichner, 2000, s. 769] defineret til Z B U = U B U A = q 0 E ds (34) A V = U B U A q 0 = U q 0, E q = /2m v 2 (35) Det negative tegn betyder, at partiklen q ) mister pontentiel energi fra A til B, hvorved den får mere kinetisk energi (højere fart). Kapacitansen af en overflade (kondensatorplade) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 804] defineret til = Q/ V hvor Q er den samlede ladning på pladen, imens V er spændingsforskellen mellem de 2 plader. Bemærk at der altid vil være samme ladningsmængde på to plader, dog med modsatrettede fortegn. Enheden for dette er fahrad [F ]. Dielektrikum og temperaturafhængighed er diskuteret yderligere i [Serway & Beichner, 2000, s. 88 og s. 853]. Lad os bare sige at strøm er defineret som dq dt = I B-felter Magnetiske felter (B-felter) opstår som følge af en nordpol og en sydpol (lam forklaring.. nogen der han noget bedre?). Kraftpåvirkningen af en partikel er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 908] F B = qv B ů T esla = Ns m = N Am ÿ (36) hvilket kan omsættes til en kraft på en leder [Serway & Beichner, 2000, s. 9] F B = I L B, ţz b ű F B = I ds B (37) a hvor L er en vektor der peger i lederns retning, og har samme længde som lederen. Momentet på en strømsløjfe er i [Serway & Beichner, 2000, s. 96] defineret til τ = IA B. Hvor A er en normalvektor til ovefladen A, med længde = areal af A. Biot-savarts lov siger noget om B-felter som følger af ledere der leder strøm. Denne er opgivet i [Serway & Beichner, 2000, s. 939] til at være db = µ 0 Ids r 4π r 2, B = µ Z 0I 4π dette er kaldet den magnetiske fluxdensitet. ds r r 2 (38) Elektronik & Elektroteknik

11 3 MAT/FYS Side af 28 Kraften mellem 2 paralelle ledere er i [Serway & Beichner, 2000, s. 943] opgivet til F B l = µ 0I I 2 2πa (39) med a som afstand og l som længden af lederne (her opgivet som kraft per længdeenhed). Dette anvendes til at definere coulomb-enheden som funktion af ampere. Dette ledes videre til amperes lov (samme kilde, s. 945), der siger at magnetfeltet B omkring en leder, vil ligge i cirkler omkring lederen. Styrken af det magnetiske felt er uafhængig af afstanden til ledern (det skriver de fandme!). Men det hele er opgivet som I B ds = µ 0 I (40) Magnetfeltet i en solenoide (laang, tynd satan) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 95] B = µ 0 n l I (4) hvor feltlinierne løber fra nord til syd (den ene ende til den anden). Magnetisk flux er defineret som Φ B = R B da. Anvendes dette på en lukket figur (kugle etc), vil integralet give 0. Dette er den magnetiske fluxdensitet pr. arealenhed, alts aa fluxen. Ampere-maxwells lov siger at magnetfelter opstår som følger af strøm i en leder og tidsvariable E-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 954] I Bd s = µ 0 (I + I d ) = µ 0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt (42) Lorentz lov siger til sidst noget om sammenhængen mellem E- og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 000] F = q(e + v B) (43) For at g oere forvirringen komplet har man indf oert den magnetiske feltstyrke H, som er opgivet vha. I H = ni, µ 0 H = B, H di = I N (44) Lige for at iterere B er fluxdensiteten antallet af streger pr. arealenhed. Fluxen (Φ er antallet af streger indenfor et afgr aenset omr aade. Den magnetiske feltstyrke H angiver hvor st aerke de her streger er [Serway & Beichner, 2000, s. 958]. Men bare fordi bogen kager rundt i dette, er der ingen grund til at blive forvirret. Til slut vil jeg bare sige at energien i en spole E = /2 L I EMF (faraday) Den elektromotiske kraft induceret i en kreds, eventuelt en spole med n vindinger [Serway & Beichner, 2000, s. 982 og s. 06] EMF = n dφ B dt = L di dt (45) Lenz lov siger at polariteten for den inducerede emf vil være sådan, at den skaber en strøm hvis magnetiske flux vil modvirke den magnetiske fluxændring [Serway & Beichner, 2000, s. 989]. En anden ligning siger noget om sammenhængen mellem E-felter og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 993] I Eds = dφ B (46) dt hvor det inducerede E-felt ikke er konservativt. 3.8 Komplex integration* Denne del bygger på [Kreyzig, 999, s. 73]. I komplek integration integrerer man funktionen f(z) over path, dette opstilles som følger (højresiden hvis er lukket): Z I f(z) dz, f(z)dz (47) hvis f(z) er analytisk i domænet D, så skal denne opfylde kriterierne [Kreyzig, 999, s. 669] w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) (48) u x = v y, u y = v x (49) kan funktionen evalueres som Z f(z) dz = F (z ) F (z 0 ) (50) idet analytiske funktioners integralværdier er uafhængige af path. AAU 2004

12 Side 2 af 28 Emne : En alternativ metode til integration, hvor funktionen ikke nødvendigvis er analytisk, er ud fra at path er beskrevet via z(t), hvor a t b. Z Z b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt (5) a auchys integral theorem siger at hvis f(z) er analytisk i et simpelt forbundet domæne D, så vil integrationen over en lukket path give 0. I f(z) dz = 0 (52) hvis der eksisterer punkter z 0 hvor funktionen f(z) ikke er holomorf (analytisk) i domænet D som den lukkede path indeholder, skal cauchys integral formel anvendes. Denne siger at integralet for den analytiske funktion, over den lukkede path vil være det samme som funktionsværdien f(z 0 ). I f(z) dz = 2πjf(z 0 ) (53) z z 0 hvor f(z 0 ) er omskrevet version af hele funktionen f(z). Konsekvensen af dette er, at brøker kan opspaltes i partialbrøker, og det er kun de dele der har en pol indenfor analyseområdet, man skal regne med. Hvis man har funktionen f(z) = f (z)/(z z 0a ) + f 2 (z)/(z z 0b ) og man integrere i et områd hvor z 0a ligger udenfor og z 0b indenfor, bliver den endelige integralværdi I = 2πjf 2 (z 0b ). Ligger begge punkter indenfor bliver integralværdien I 2 = 2πjf (z 0a ) + 2πjf 2 (z 0b ). Dette skyldes den tidligere formel (52) der afhænger af at funktionen er analytisk i, hvilket den er for f (z) (som derfor giver 0), men ikke er for f 2 (z) (som derfor giver en værdi ifølge chauchy). Ydermere har analytiske funktion afledte af alle grader. Værdien i disse punkter z 0 er givet ved f (n) (z 0 ) = n! I f(z) dz (54) 2πj (z z 0 ) n+ dette anvendes hvis en funktion har n te-rod indenfor, (f (n) = dn f(z) dz n ). irkler i det komplekse plan er opgivet som z + h 0 = r, med z som variabel (kompleks), h 0 som centrum konstant (h 0 = 2 centrum i 2) og r som radius). Altid! 3.9 Linie og kurveintegraler* Dette er resume fra [Kreyzig, 999, s. 522] heri gennemgåes linie og kurveintegraler. Allerførst et eksempel på hvad curl består af (også kaldet rot engang imellem). v(x, y, z) = v i + v 2 j + v 3 k (55) i j k curl V = v = x y z (56) ŕ v v 2 v ŕ 3 ţ v3 = y v ű ţ 2 v i + z z v 3 x... ű j +... ţ v2 x v y ű k (57) et andet værktøj der anvendes er divergensen af en funktion, hvilket er divf = F x + F 2 y + F 3 z hvor F = [F, F 2, F 3 ] eller F = F i + F 2 j + F 3 j. Linie integralet er defineret som følger Z (58) Z F (r) dr = (F dx + F 2 dy + F 3 dz) =... Z b... F (r(t)) dr dt (59) a dt hvor er givet som r(t) = [x(t), y(t), z(t)] eller x(t)i+y(t)j+z(t)k med a t b. Herved fremkommer altså integralet af F over path. Linie integraler har samme egenskaber som normale integraler, idet de kan splittes, reverseres, adderes og multipliceres med konstanter, som normalt. Uafhængighed af path gør at integralværdien kun er afhængig af start og slutpunkterne, dvs. uafhængig af path imellem punkterne. For at opnå uafhængighed af path skal funktionen være eksakt. Eksakthed opnåes ved at F er gradientvektoren til en funktion f (vilkårlig) ( f = F ). Et andet krav er at curlf = 0. Dette kan i komponenter omskrives til F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y (60) Elektronik & Elektroteknik

13 3 MAT/FYS Side 3 af 28 (ved funktioner af 2 variable, er det kun det sidste led der er krav og F i domænet D har kontinuerte første ordens afledte) Dobbelt integraler over regionen R, i planen kan transformeres til linie integraler over afgrænsningen (og omvendt!). Dette kaldes Greens theorem i planet Z Z ţ F2 R x F ű dx dy =... y I... (F dx + F 2 dy) (6) Stokes theoem siger at overfladeintegraler kan transformeres om til linieintegraler på følgende måde Z Z S I (curlf ) n da = F r (s)ds (62) hvor S er en orienteret overflade, hvis afgrænsning er kurven. n er normalvektor i S og r (s) er den afledte af kurven (unit tangent vector). Der står mere i [Kreyzig, 999, s. 56] (specielt på s. 520 omkring path uafh anegighed). Tripple integraler over regionen T i rummet kan transformeres til overfladeintegraler over den afgrænsende overflade S vha. Gauss divergenstheorem (h oejresiden af integralet kaldes ogs aa fluxintegralet [Kreyzig, 999, s. 496]). Z Z Z Z Z divf dv = F n da (63) T S 3.0 Fourier serier, integraler og transform* Dette er sammenfattet af [Kreyzig, 999, s. 580] og [Johnson et al., 997, kap. 7, s. 689]. Den trigonometriske fourierserie er givet i [Kreyzig, 999, s. 580] som konvergerer en periodisk funktion f(x) (med perioden 2L), med følgende koefficienter f(t) = a 0 + ş ş nπ ť a n cos L x... n= ş nπ ťť... +b n sin L x (64) Z L a 0 = f(x) dx (65) 2L L Z L ş nπ ť a n = f(x) cos L L L x dx (66) b n = Z L ş nπ ť f(x) sin L L L x dx (67) Fourierserier kan kun approximere periodiske funktioner, brug i stedet fouriertransformen til ikkeperiodiske funktioner. Det kan med fordel tjekkes om en funktion er lige (f(x) = f(x), altså symmetrisk om y-aksen) eller ulige (f(x) = f(x), altså spejlet i x- og y-aksen). Hvis en funktion er lige, vil dennes b n konstant være 0 (og derfor behøves den ikke at blive regnet ud), er funktionen ulige er konstanten a n = 0. Man siger at den lige del reduceres til cosinusformen (cosinus delen plus konstanten), og den ulige del reduceres til sinus-formen (sinus delen). I [Johnson et al., 997, s. 697] er den trigonometriske fourier-serie opgivet som f(t) = a X (a n cos(nω 0 t) +... n=... b n sin(nω 0 t)) (68) Z 2 T a 0 = f(t) dt (69) T 0 Z 2 t0 +T a n = f(t) cos(nω 0 t) dt (70) T t 0 Z 2 t0 +T b n = f(t) sin(nω 0 t) dt (7) T t 0 Af rare informationer kan det gives at cos(nπ) = () n, sin(nπ + π/2) = () n. Den eksponentielle fourier-række er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 706] til f(t) = c n e jnω 0t (72) n= c n = Z T /2 f(t)e jnω0t dt T T /2 (73) c n = (a n + b n )/2 (74) husk at der muligvis skabes problemer n aar n = 0, opdel derfor integraler i flere intervaller og evaluer. Fourier transformen bygger på grundformlerne (her vist som frem, og tilbage), og er fuldstændig tilsvarende laplace-transformen. Transform-integralerne er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 722]. Altså kan AAU 2004

14 Side 4 af 28 Emne : man bruge skemaet for laplace-transformerede, til begget transformer (s = jω). Z F (jω) = f(t)e jωt dt (75) f(t) = Z F (jω)e jωt dω 2π (76) disse kan bruges, hvis man eksemplevis skal transformere et arbitr aert signal (eksempelvis konstant i en tidsperiode). Husk at e 0, ogs aa selvom der er en kompleks del. Man kan ydermere bestemme amplitudespektret, frekvensspektert og effekt-spektret, defineret p aa f oelgende m aade (X(jω) = som eksempel): a+jω abs(x(jω)) = X(jω) = a 2 +ω 2 (77) arg(x(jω)) = tan (X(jω)) = tan ą ć ω a (78) eff(x(jω)) = X(jω) 2 = a 2 +ω 2 (79) Spektrene er tegnet nedenfor. I [Johnson et al., 997, s. 75] st aar der definitioner p aa amplitude, fase og effekt, ud fra den trigonomtriske funktions konstanter. ω 3. Komplekse r aekker (χ) I figur de vigtigste komplekse r aekker angivet. Disse anvendes i forbindelse med laurent-r aekker Sum R aekke Udvikling e q P n=0 sin q cos q sinh q cosh q q q n n! + q! + q2 2!... qn n!... P q2n+ n=0 ()n 2n+ P q2n n=0 ()n (2n)! P q 2n+ n=0 (2n+)! q! q3 3! + q5 5! q7 5!... q2 2! + q4 4!... q! + q3 3! + q5 5!... P q 2n n=0 + q2 (2n)! 2! + q4 4!... P n=0 qn q < q P n=0 qn < q P +q n=0 ()n q n < q q N+ q P N n=0 qn \{0} ln( + q) P n= ()n+ qn n q q2 2 + q Tabel : De vigtigste komplekse r aekker Elektronik & Elektroteknik

15 3 MAT/FYS Side 5 af Residue regning (χ) Residue regning bygger p aa laurent-serier, der ser ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 796]: f(z) = f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z n=0 n= 0 ) n (80) n= a n (z z 0 ) n, a n = I f(z) dz (8) 2πj (z z 0 ) n+ Denne serie konvergerer (g aar mod et bestemt tal) i en aaben ring, med centrum i z 0. Man taler om at udvikle en serie ud fra et bestemt z 0. Konvergensradius kan for ovenst aaende laurent-serie bestemmes vha. auchy-hadamard formlen [Kreyzig, 999, s. 744] R = L = lim a n n ŕ an + ŕ, 0 < z z 0 < R (82) En singularitet er et punkt hvori f(z) oph oerer med at v aere analytisk. Et nulpunkt er hvor f(z) = 0. Hvis man har en singularitet, men alle punkter omkring z 0 (singulariteten) er ikke-singulaere, s aa er z 0 en isoleret singularitet [Kreyzig, 999, s. 776]. Form aalet med auchy s integrationsmetode er at udnytte [Kreyzig, 999, s. 78]: I kx f(z)dz = 2πj Res z=zj f(z) (83) j= Ideen er, at hvis integralet er analytisk over hele, s aa er integralet if oelge auchy s integral theorem = 0, men findes der en singulariteter indenfor findes der en laurent-r aekke for funktionen, hvorved formel (83) kan anvendes. Residuet er v aerdien for b n med n = (b i formel (80)). Tricket er nu, at der er alternative m aader at bestemme residuet p aa, og derved regne integralet fra (83). Fra [Kreyzig, 999, s. 782] angives f oelgende formler til bestemmelse af residue (dog kun ved simple poler): Res z=z0 f(z) = b = lim z z 0 (z z 0 )f(z) (84) Res z=z0 f(z) = b = Res z=z0 p(z) q(z) = p(z 0) q (z 0 ) Desuden kan man anvende partialbr oeksopspalting (ikke beskrevet i Kreyzig): I z 23 I = z 2 dz 4z 5 (86) z 23 = a(z 5) + b(z + ), a = 4, b = 3 (87) f(z) = 4 z z 5 (88) I = 2πj(4 + (3)) = 2πj (89) (85) AAU 2004

16 Side 6 af 28 Emne : Ved poler af h oejere orden (sin, cos differentieret eksempelvis) skal den mere generelle formel anvendes (2. linie specifikt til 2. ordens poler) Res z=z0 f(z) = ů d m ÿ lim (m )! z z 0 dz m [(z z 0) m f(z)] Res z=z0 f(z) = lim z z 0 h č(z z0 ) 2 f(z) ď i, m = 2 (9) Dette kan ogs aa anvendes til integration af uegentlige relle funktioner ( ing aar i gr aenser), se [Kreyzig, 999, s. 788] samt integraton af funktioner af typen F (cos θ, sin θ). Se [Kreyzig, 999, s. 787]. (90) 3.3 Z-transformation (χ) Z-transformationen er en transformation fra det tidsdiskrete signal x[n] til det kontinuerte udtryk X(z). Transformationen er i [Oppenheim, 998, s. 95] angivet til: Z{x[n]} = n= x[n]z n = X(z) (92) Der findes en stringent matematisk metode til at lave den omvendte transformation, men denne er meget kompliceret, så vi anvender små julelege i stedet for. Dette bygger i bund og grund på at genkende udtryk, eller bringe på genkendelig form, og så regne ud fra tabel 2 på side 8 og 3 på side 9. Hvis z = re jω indsættes, og r = er dette en fouriertransformation, hvilket udnyttes til at bestemme frekvensrespon X(e jω ) og gruppe-delay τ(ω) = grd[h(e jω )] = d dω (arg[h(ejω )) [Oppenheim, 998, s.243]. Oftest ses det af summen i (92) at tingene kan bringes på en form, hvor det geometriske række (q n fra tabel på side 4) kan anvendes. Hele regnestykket kan se ud som x[n] = (a) n u[n ], Z{x[n]} (93) X (a) n z n (a) n z n n= n= (a) n z n ą a z ć n n= n=0 X(z) = a z, a z < (94) Den sidstnævnte grænse fremkommer idet rækkeudviklingen af q n stiller dette krav. Området er en cirkel, og kaldes Radius of onvergence (RO), og X(z) er analytisk i hele RO (X(z) er en laurent serie). Oftest kan man med fordel dele summer op, som eksempelvis n= x[n] = X x[n] + x[n] = n= n=0 (x[n])... + x[n] = n= n=0 + (x[n]) + x[n] (95) n=0 n=0 Til invers transformation kan man opsplitte i partialbrøker, og anvende tabel 2. En anden metode der kan anvendes, hvis X(z) = P n= x[n]zn er den angivne form, er at bruge udtrykket x[nn 0 ] z n 0X(z). Heraf ses det at koefficienterne i X(z) kan anvendes som koefficienter i en tidsforskudt enhedsimpuls. Eksempel: X(z) = 2z 4z 3z (96) x[n n 0 ] z n 0 X(z) (97) X(z) = x[n]z n (98) n= n 0 = x[] = 2 (99) n 0 = 0 x[0] = 5 (00) n 0 = x[] = 4 (0) n 0 = 2 x[2] = 3 (02) x[n] = 2δ[n + ] + 5δ[n] δ[n ] 3δ[n 2] (03) Systemet kan oftetst karakteriseres meget nøje ud fra viden om kausalitet, stabilitet og hvor RO er placeret. Fra [Oppenheim, 998, s. 05] er følgende egenskaber ved RO angivet:. RO er en ring i z-planet, med center i origo. 0 r R < z < r L. Elektronik & Elektroteknik

17 4 ELEKTRONIK Side 7 af Fouirer transformen af x[n] konvergerer absolut, kun hvis RO indeholder enhedscirkeln (r = ). 3. RO kan ikke indeholde poler (så er den jo ikke analytisk længere). 4. x[n] er en begrænset serie. Dvs. den er nul, undtagen i et afgrænset område < N n N 2 <. Grænsetilfældene z = 0 og z = skal altid gennemtænkes ekstra! 5. Hvis x[n] er en højresidet serie (dvs. 0 for n < N < ), så går RO fra den yderste pol (største pol ) ud til (og måske inkluderende). Hvis 6. Hvis x[n] er en venstresidet serie (dvs. 0 for n > N 2 > ), så går RO fra den inderste (mindste pol ) nonzero/ikkenul pol og ind til (måske inkluderende) z = Hvis x[n] er en dobbeltsidet serie (forklaring), så er RO en cirkelring. 8. RO skal være en forbundet region. Yderligere er det vigtigt at cementere følgende facts: Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN indeholder enhedscirklen, så er systemet stabilt. Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN går fra yderste pol og mod uendeligt, så er systemet kausalt. Idet dette jo er matematik, og vi har Uwe Hartmann, så er foldnings-summen for det diskrete spektre, samt nogen yderligere regler, angivet nedenfor: y[n] = h[n] x[n] = nx x[k]h[n k] (04) k=0 h[n] δ[n] = h[n] (05) Tricket er at impulsresponsen (h[n]) evalueres i hele k, for hvert input i n. Foldningen er kommutativ. Haves eksempelvis et udtryk hvor y[n] = (x[n] + x[n] h [n]) h 2 [n] (06) y[n] = x[n] ( + h [n]) h 2 [n] (07) h[n] = y[n] x[n] = ( + h [n]) h 2 [n] (08) 4 Elektronik 4. Grundlæggende kredsløbselementer Her gennemgåes de grundlæggende kredsløbselementer. Når man regner med forstærkninger, får man en forstærkning på n gange, ud fra db tallet på: 4.. apacitorer Grundformlerne for at regne på kondensatorer er: 4..2 Spoler i c = dv dt [A], db = 20 log(n), f = ω 2 π v c (t) = (09) R t t 0 i(τ)dτ + v(t 0 ) [V ], w c = 2 v2 [J] (0) U Aflad = U 0 e t R [V ], U Oplad = U 0 ( e t R ) [V ] X c = [Ω] () 2πf Grundformlerne for at regne på spoler er: i L (t) = Z t i(τ)dτ + v(t 0 ) [A], L t 0 v L = L di dt [V ], w L = Li 2 (t) [J], X L = 2πfL [Ω] (2) AAU 2004

18 Side 8 af 28 Emne : Sequence Transform RO δ[n] Alle z u[n] u[n ] z < z z z < δ[n m] z m Alle z, undtagen (m > 0 0) eller m < 0 ) a n u[n] a n u[n ] na n u[n] na n u[n ] cos(ω 0 n)u[n] sin(ω 0 n)u[n] r n cos(ω 0 n)u[n] r n sin(ω 0 n)u[n] a n u[n], 0 n N a n+ u[n] a n+ u[n ] a n u[n ] a n u[n] u[n] u[n] u[n] az az az (z ) 2 az (az ) 2 cos(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 sin(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 r cos(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 r sin(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 a N z N az a az a az z az z az z z z a < z z < a a < z z < a < z < z r < z r < z 0 < z a < z z < a a < z z < a < z < z < z Tabel 2: Z-transformationer og tilbage igen, fra [Oppenheim, 998, s. 04]. Udtryk under stregen er venligst udledt af Jan Sundvall. Disse en kombination af denne tabel samt tabel Steady-state tilstande I analyse af kredsløb, kan stabile tilstande bestemmes (strømme og spændinger er konstante), såfremt disse findes. Når en kreds opnår steady-state, kan spoler erstattes med kortslutninger, og kondensatorer erstattes med åbne forbindelser. 4.2 Norton and Thevenin equilevants Elektronik & Elektroteknik

19 4 ELEKTRONIK Side 9 af 28 Sequence Transform RO x[n] X(z) R x x [n] X (z) R x ax [n] + bx 2 [n] ax [n] + bx 2 [n] R x R x2 x[n n 0 ] z n 0 R x z n 0 x[n] X(z/z 0) z 0 R x nx[n] z dx(z) dz R x x [n] X (z ) R x Re{x[n]} Im{x[n]} x [n] X ( z ) 2 [X(z) + X (z )] Indeholder R x [X(z) X (z )] 2j Indeholder R x /R x x [n] x 2 [n] X (z) X 2 (z) Indeholder R R 2 x[n] = 0, n < 0 lim z X(z) = x[0] Tabel 3: Z-transformation egenskaber [Oppenheim, 998, s. 26]. Med Thevenin til venstre og Norton til højre, kan følgende formler anvendes til at bestemme ekvivalenter. ((S) = Short irquit og (O) = Open irquit). v T = v oc, R T = v oc/i sc (3) i N = i sc, R N = v oc/i sc (4) + vt RT i v in i RN v 4.3 Miller-transformation* z Anvendes i forbindelse med en forstærker, der har en impedance over sig, og forstærkningen k. Transformationen er vist til højre. Formlerne der anvendes er: Vin K Vout z K z2 z = k z z 2 = z k (5) hvor z ikke må ændre sig så længe transformationen anvendes. (udledes ved at se på strømme ind, og v 2 /v = k). Dette er specielt handy, hvis man har en kondensator over en forstærker (som i hybrid-π-modellen), hvorved formlerne bliver til c = c( k), c 2 = c( ) c, k >>. (og jo, i hybridπ modellen havner de transformerede kapacitanser p aa hver sin k side af str oemgeneratoren. Her skal man anvende forst aerkningen fra indgangsbenet til udgangsbenet, alts aa uden eksterne kredse p aa.) AAU 2004

20 Side 20 af 28 Emne : 4.4 h-parametre* H-parametre bruges til at beskrive forstærkere og andre kredse (opamps, transistorer etc.). Dette er defineret ud fra figur 5 på side 25 (til højre på figuren). Sammenhængen er ud fra figuren givet ved V = h I + h 2 V 2, I 2 = h 2 I + h 22 V 2 (6) h = V I ŕ, h 2 = I 2 V2 =0 I ŕ, h 2 = V V2 =0 V ŕ, h 22 = I 2 2 I =0 V ŕ (7) 2 I =0 Evalueringsbetingelserne er at (V, V 2) = 0 er spændingskilderne er kortsluttede. Hvis (I, I 2 ) = 0 er strømkilderne en afbrydelse. [Sedra & Smith, 998, side B.]. 4.5 OpAmps, ideelle OPAMPS (operationsforstærkere) er vist på figur 2, og karakteriseret ved følgende: Z2 Uendelig høj indgangsimpedance (dvs, ingen strøm ind i terminalerne på indgangssiden). V V2 V0 Vi Z V0 Virtual short cirquit. Operationsforstærkeren vil gøre alt, for at der er samme potentiale på indgangsbenene. Dvs. at forskellen på benene ideelt set er 0. Uendelig råforstærkning. Dvs. at det eneste der sætter begrænsningen i forstærkningen er forsyningen. Figur 2: OPAMP symbol samt inverterende kobling A = V 0 V i V o = A(V V 2 ) For den inverterende kobling (vist til højre i figuren), kan det vises at A = Z Z Ikke idelle opamps* slew rate, offset voltage, bias-strøm, temperatur-drift, indgangsimpedancer, båndbredde. FET og BJT forskelle. 4.6 KL and KVL Kirchoffs current law (KL) foreskriver at al strøm til et punkt, også må forlade punktet. Dvs. at I in +... I out... = 0. Med dette kan opstilles en række ligninger for en kreds, og disse kan så løses vha. lineær algebra. Kirchoffs voltage law (KVL) foreskriver at summen af spændinger i en lukket kreds, altid skal være 0 (her regnes også med fortegn). På figuren til højre, er der vist et sådant loop. Et loop på denne måde, ville give en ligning: R + R 2 + R 3 R 4 = 0 (idet spændingsfaldet over R 4 er modsat vores regneretning). + R R2 + R Analysemetoder R4 I det følgende afsnit, redegøres for nogen metoder og tricks, til analyse af elektroniske kredsløb. + Elektronik & Elektroteknik

21 4 ELEKTRONIK Side 2 af Linearitets-princippet En lineær funktion er en funktion der opfylder kriteriet f(nx) = n f(x), og komponenter der opfylder dette, anses derfor også for at være lineaære (disse er typisk modstande, kondensatorer og spoler. Men opamps der har en linær forstærkning, er også lineære). Et hypotetisk eksempel på anvendelse af linearitet, er hvis man har en forsynings-spænding, og igennem et net af komponenter, skal ende med et bestemt spændingsfald over en modstand. Man påtrykker så en tilfældig spænding på forsyningen, og regner det hele igennem. Man kan så justere det endelige spændingsfald over modstanden, ved at justere den påtrykte spænding på forsyningen Superposition En kreds med flere forsyninger kan regnes en forsyning ad gangen, og til sidst lægges alle ting sammen, hvilket giver et endeligt billede. Her skal strømforsyninger erstattes af brudte forbindelser, og spændingsforsyninger erstattes af kortslutninger Maske (mesh) analyse Mesh analyse udføres ved at KVL rundt i kredsens masker. Her anvendes strømmen i masken dog til at udtrykke spændingen (i R + i R 2 L di dt = 0 eksempelvis). Med dette opbygges således flere ligninger, der er garanteret ig lineært uafhængige, og derved findes der unikke løsninger ifølge den lineære algebra. i Findes der strømkilder i kredsen, bliver ligningerne noget nemmere at opstille, idet vi udtrykker ukendte maske-strømme som strømkilden, samt en anden strøm (se figur til højre). v R v2 R2 v3 Her ses det at i = i g3, samtidig med at i 3 i 2 = i g2 i 3 = vg3 ig2 + i g2 + i 2. Vi har nu kun en supermaske, som vi løser vha. ligning (vi skal blot i2 huske at regne i3 i g med i strømmene). R3 R (i g + i 2 ) + (R 2 + R 3 )(i g + (i g2 + i 2 )) = v g3 (8) i 2 = v g3 R i g (R 2 + R 3 )(i g + i g2 ) R + R 2 + R 3 (9) ved 3 eller flere ligninger/ubekendte er det en fordel at stille op p aa matriceform og loese med rref(a) ellers cramers regel Punkt (nodal) analyse Man sætter et enkelt punkt til potentialet 0, og beregner alle andre potentialer, eventuelt vha. opstilling af formel til lineær algebra. Se på strømme imellem punkter (idet I R = U). Den totale str oem til punktet skal v aere p aa den ene side af lighedstegnet, imens sp aendinger divideret med modstande skal st aa p aa den anden side. Sp aendingen for punktet selv divideres med den totale impedans for punktet (den impedans som punktet kigger ud i). Opstilles ligninger for samme figur som i mesh-analyse, findes f oelgende: v = v g3 (20) i g2 = v 2 (R + R 2 ) + v R + v 3 (2) R 2 v 3 i g2 = + v 2 (22) R 2 + R 3 R 2 AAU 2004

22 Side 22 af 28 Emne : 4.8 Laplace - transform Nedenfor ses laplace-transfor tabellen. Denne kan ligeledes anvendes til fourier-transformen, ved at indsætte s = jω. Funktioner f(t) F (t). Linearity c f (t) + c 2 f 2 (t) c F (s) + c 2 F 2 (s) d 2. Differentation dt f(t) sf (s) f(0) d 3. n-fold diff dt f(t) sn F (s) + K(many) d 2-fold diff dt f(t) s2 F (s) sf(0) f (0) R 4. Integration t 0 f(τ)dτ F (s)/s 5. Time shift f(t t 0 )u(t t 0 ), t 0 > 0 e sto F (s) 6. Frequency shift e s0t f(t) F (s + s 0 ) 7. t-multiplication tf(t) d ds F (s) 8. n-fold t-multiplic. t n f(t) () n dn ds n F (s) 9. Impulse-response h(t) H(s) 0. Initial rate thm. f(0+) = lim s sf (s). Final value thm. f( ) = lim s 0 sf (s) 2. compound e at f(t) F (s a) Singularity functions f(t) F (s) Unit impulse δ(t) Unit step u(t) /s Unit ramp r(t) = tu(t) /s 2 Unit parabola p(t) = /2t 2 u(t) /s 3 n th integal of impulse δ n (t) /s n Unit doublet δ (t) s n th deriv. of impulse δ n (t) s n Ordinary functions f(t) F (s) onstant /s t t /s 2 Power of t t n /(n )! /s n Exponential e at /(s + a) t-mult. exponential te at /(s + a) 2 repeated t-mult. exp. t n e at /(s + a) n sine sin ωt ω/(s 2 + ω 2 ) cosine cos ωt s/(s 2 + ω 2 ) damped sine e at sin ωt ω/([s + a] 2 + ω 2 ) damped cosine e at sin ωt (s + a)/([s + a] 2 + ω 2 ) t-mult. sine t sin ω 2ωs/(s 2 + ω 2 ) t-mult cosine t cos ωt (s 2 ω 2 )/(s 2 + ω 2 ) ω rectified sine sin ωt s 2 +ω 2 coth πs 2ω 4.9 S domain analysis Lad os med det samme slå fast, at KL og KVL, og dermed nodal- og mesh-analyse stadig gælder. Vi kan så definere impedancen for de forskellige elementer, i stedet for modstand (dette gælder så længe alle Elektronik & Elektroteknik

23 4 ELEKTRONIK Side 23 af 28 initial conditions er sat til 0). V (s) = Z(s)I(s), Z r (s) = R Z L (s) = sl Z c (s) = s Admittans kan også bestemmes, dog ved at invertere ovenstående formler. (23) 4.9. Initial conditions S-domæne analyse, kan også inkludere kondensatorer og spoler, der er opladet fra starten. Her indsættes spændingskilder eller strømkilder for at kompensere for dette. Udtryk er vist i figur i L + i L R sl /s R sl /s Li (0) L Spændingskilder V (0)/s Li (0) L s Strømkilder V (0)/s Figur 3: Initial-conditions spændings og strømkilder Overføringsfunktioner og respons Det er givet at H(s) = Y (s), y(t) = x(t) h(t) Y (s) = H(s) X(s) (24) X(s) Z t h(t) = (f g)(t) = f(t) g(t) = f(τ)g(t τ) dτ (25) 0 hvoraf det ses at en foldning i tidsdomænet bliver til en multiplikation i laplace-domænet, hvor initialconditions er sat til 0. Dette kaldes også forced response (se ellers [Johnson et al., 997, s. 545] og [Kreyzig, 999, s. 279] for mere om foldningsintegraler (rækkefølgen for funktionerne er vigtige!). Formel (25) er også kaldet tidsfoldningsformlen/sætningen, det er denne vi prøver at undgå, ved at anvende laplace/fourier transformer. Denne her holder dog foldningen i tidsdomænet. Husk at multiplicere med heavisides enheds-step (u(t)) når der laves invers laplace-transfor. Dette er dikteret af at systemet er kausalt, hvilket betyder at systemet ikke kan generere signaler ud af sig selv, altså kan der først komme et output til tiden efter 0, hvilket heavisides enhedsstep sørger for. Overføringsfunktionen H(s) er defineret som den laplace-transformerede (eller impedans-udtrykket), uden initial konditions. Enhedsimpulsresponsen h(t) findes ved at lave invers-laplace transformation på H(s). Zero-input y zi (t) responsen er defineret som kredsens respons ved inputs sat til 0, med initial-conditions. Altså beregnes y(t) som den invers-laplace-transformerede af H(s), med initial conditions og ingen inputs. AAU 2004

24 Side 24 af 28 Emne : Zero-state y zs(t) responsen er defineret som kredsens respons overfor inputs, med initial conditions sat til 0 (det samme som foldningen mellem x(t) og h(t)). Heraf er det givet at y(t) = y zi (t) + y zs (t) hvorved det kun er nødvendigt at kende zero-state og zero-input responsen, for at finde den endelige signal-respons. 4.0 Dioder* 4. Middelfrekvens (normale) Transistorer* Liste over sammenhænge ved aktiv operation. B = Base, = ollector, E = Emitter, V be = voltage base-emitter. Man kan få en FET-model, ved at lade r π gå mod uendeligt (afbrydelse). Værdien for I s kan findes i datablade, eller ved at indsætte værdier for et kendt punkt (hvilket også godt kan findes i datablade, det man skal kende er i c og v BE. ş ť i c = I S e v BE /V T, i B = i β = ISβ e v BE /V T, i E = i α = ţ IS α ű e v BE /V T (26) i = αi E i B = ( α)i E = i E β+ i = βi B (27) i E = (β + )i B β = α α α = β β + (28) V T = kt q (29) På figur 4 (venstre og midt) ses kurver for afhængigheder mht. transistorer. i i Saturation Break Down B npn E pnp E B 0.5V 0.7V B r pi g v m pi r 0 v BE v E 0V 0.3V E Figur 4: npn-transistor kurver samt hybrid-π småsignalsmodel Ydermere er vist småsignalsmodellen hybrid-π (Denne gælder også for npn-transistorer, dog er parasit capacitorer ikke indtegnet). Hvor r 0 tager højde for Early effekten (denne kan udelades). Sammenhænge i modellen er givet ved (I Q er strømmen ind i collector, ved arbejdspunktet Q). g m = I Q V T, r π = β g m = β V T I Q, v BE = V rπ, r 0 = V A I Q = h oe h, r µ = F E r µ r π h re (30) hvor V A angiver Early-voltage, der ligger mellem 50V og 00V. Str oemgeneratoren g m v π kan erstattes af en str oemgenerator med parametrene β i b [Sedra & Smith, 998, s. 26]. Elektronik & Elektroteknik

25 4 ELEKTRONIK Side 25 af 28 I [Sedra & Smith, 998, s. 262] er f oelgende fremgangsm aade angivet, til at lave sm aasignalsanalyse med: () Bestem D-operating point. I s aerdeleshed str oemmen I. (2) Udregn v aerdier for sm aasignalsmodell (3) Fjern D-kilder. Sp aendinger er kortslutninger, str oemkilder er afbrydelser. Store kondensatorer bliver til kortslutninger. (4) Erstat BJT/FET med deres sm aasignalsmodeller. (5) Analyser kredsen til oensket data er fundet. 4.. Højfrekvens transistorer* Herunder beskrives Høj-frekvens forhold for transistorer. I den udvidede hybrid-π model (se figur 5) anvendes følgende variabler: r π = h fe g m, r x = h ie r π, β A = h fe (3) r µ = r π h ie, r 0 = h oe, c µ = B0 = g m w t c π (32) h = h ie, h 2 = h fe, h 22 = h oe, h 2 = h re (33) De forskellige h-parametre findes i datablade, sammen med f t = ω t 2π som er unity-gain frekvensen. r my B r pi c pi I h I 2 c my h 2 2V + + r V h22 2 g m v V pi 0 h 2 I E Figur 5: HF hybrid-π transistormodel (venstre) samt diagram for h-parametre (højre) Bestemmelse af højfrekvens knækfrekvens 2 gøres vha. tomgangs-tidskonstant metoden. Her er ω H givet ved ω H = P n i= T, T it = i R i, ω H == 2π f H (34) it Hvor man tager en kondensator ad gangen, og R i er den modstand kondensatoren kigger ind i, samtidig med at andre kondensatorer er erstattet af afbrydelser. Dette gøres for samtlige kondensatorer, og så har man summen. I tabel 4.5 i [Sedra & Smith, 998, s. 327] er angivet sammenh aenge mellem SPIE og normale parametre. Hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) er på 2 Frekvensen hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) har sit 3dB punkt, senere ender dette i unity-gain, hvor forstærkningen er. AAU 2004

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Skriftlig prøve i matematik 4

Skriftlig prøve i matematik 4 Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 03 080527HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 4. juni 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 17% (Kompleks funktionsteori

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Fourier transformationen

Fourier transformationen MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Lineære systemer med hukommelse.

Lineære systemer med hukommelse. Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

1 v out. v in. out 2 = R 2

1 v out. v in. out 2 = R 2 EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 07

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 07 MAT4 for E4+D4/08 H. Ebert MATEMATIK 4 Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 07 Matematik 4 for E4+D4/09 Opgavesæt 07 090519HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 3. juni 2009 kl. 09.00-13.00.

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1 ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 = Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Skriftlig omprøve i matematik 4

Skriftlig omprøve i matematik 4 Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 04 080812HEb Skriftlig omprøve i matematik 4 Omprøve d. 18. august 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 20% (Kompleks funktionsteori

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 11

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 11 E4+D4/10 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET 2 Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 11 Beregningsteknik for E4+D4/10 Opgavesæt 11 100607HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0.

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0. Maskeligninger: Givet følgende kredsløb: 22Vdc 1,5k 1Vdc Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med. I maskerne er der sat en strøm på. Retningen er tilfældig

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. 2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den

Læs mere