TEK-NAT formelsamling
|
|
- Steffen Dahl
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 den ægte: TEK-NAT formelsamling Elektronik og elektroteknik (x-4)^2-4 log(x) sinh(x) e^x cos(x)-3,* cosh(x+4) tan(x), * sin(x)-3, * 0^x ln(x) Udført af Jes Toft Kristensen 23. maj
2 Side 2 af 28 Emne : Intro Denne formelsamling er på ingen måde ment som fyldestgørende og komplet. Mange ting er ikke med, idet dette er piratviden som alle skal have, hvis du eksempelvis ikke kan huske impedansen for en modstand, har du nok flere problemer end denne formelsamling kan løse. Idet jeg nu er kommet på 3. semester, kommer der nok nogen tilføjelser. Disse tilføjelser er markeret med en stjerne (*) i indholdsfortegnelsen og i overskrifter. P aa samme m aade er det for f oelgnde semestre angivet: 4. semester (χ) 5. semester (κ) 6. semester (ϱ) 7. semester (ς) 8. semester (ψ) Indhold Intro 2 2 Nørd 2 2. Links and Debian mirrors EMAS genveje Matlab/Octave programmering VS Konvertering mellem formater Mat/Fys 6 3. osinus & Sinus Differentation og integration Lineær algebra Egenv aerdier og egenvektorer Udvidede matrice (χ) Komplekse tal Fysik formler Konstanter og grundenheder Ellære* E-felter B-felter Lige for at iterere EMF (faraday) Komplex integration* Linie og kurveintegraler* Fourier serier, integraler og transform* 3 3. Komplekse r aekker (χ) Residue regning (χ) Z-transformation (χ) Elektronik 7 4. Grundlæggende kredsløbselementer apacitorer Spoler Steady-state tilstande Norton and Thevenin equilevants Miller-transformation* h-parametre* OpAmps, ideelle Ikke idelle opamps* KL and KVL Analysemetoder Linearitets-princippet Superposition Maske (mesh) analyse Punkt (nodal) analyse Laplace - transform S domain analysis Initial conditions Overføringsfunktioner og respons Dioder* MF Transistorer* HF transistorer* Gates Arbejdsmæssigt Elektronik Kravspecifikation Fjol itater Busplaner Nørd Her ligger alle de nørdede ting, som man bruger når man lever som nørd. Elektronik & Elektroteknik
3 2 NØRD Side 3 af Links and Debian mirrors Links of interest: The linux documentation project The TAN LATEX archive Debian mirrors (som i /etc/apt/sources.list): deb ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://sunsite.dk/mirrors/debian testing main contrib non-free deb testing/non-us main contrib non-free deb ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free deb-src ftp://ftp.dk.debian.org/debian testing main contrib non-free For at downsample mp3 til mp3, saa det passer udemærket i en usb/mp3-afspiller, kan man bruge følgende: lame --mp3input -h -V 6 -B 60 filind.mp3 filud.mp3 hvori man bruger variabel bitrate i kvalitet 6 (0 bedst, til 9), og en maksimal bitrate paa 60. En anden m aade at nedkonvertere p aa er at bruge f olegende scripts: for i in *.mp3; do mv $i echo $i tr _ ; done og for i in *.[Mm][Pp og til sidst for i in *.MP3; do mv $i basename $i.mp3.mp3 ; done. Saa virker det ihvertfald i xcdroast.. Mplayer kan alt, og den kan ogsaa spille i framebuffer, hvilket gøres ved mplayer -vo fbdev fil.film. Alternativt kan man også få mplayer til at afspille uden lag, måske ved at gøre følfende: mplayer -cache 892 -fr hdparm kan seje ting, proev bare hdparm -X66 -d -u -m6 -c3 /dev/hda For at spoofe en mac-addresse g oeres f oelgende: ifconfig eth0 hw ether 00:00:00:00:00:00, saa er den god. SSH kan forwarde porte fra en fjern host til din egen, via en gate. Det gode eksempel er: ssh -L 3030:btech.dhs.org:3030 zil.kom.auc.dk cat - hvorefter man kan bruge gmudix og connecte til localhost:3030 for at spille p aa deres fantastiske battletech MUD server. 2.2 EMAS genveje Open file -x -f search forward -s Set mark here - or -SP Save file -x -s search backward -r Kill word M-DEL / M-d Insert file -x i query replace M-% Kill line M-0 -k / -k Undo stuff -x u indent line TAB save register -x r s select buffer -x b indent region -M-\ insert register -x r i list buffers -x -b shell command M-! rect 2 register -x r r kill buffer -x k del other windows -x kill rectangle -x r k split -x 2 split -x 3 prefix rectangle -x r t = ctrl, M = meta/alt. command / command means backward/forward 2.3 Matlab/Octave Hvis du skal anvende octave, så hent straks octave-forge, hvor der ligger mange flere kommandoer i. Her vil der blot være et kort resume af de forskellige kommandoer. Husk at der altid kan bruges help og help -i <emne>. Det kan altid anbefales at kigge hjælpefilerne, idet gennemgangen her er overfladisk. Octave minder meget om matlab, så kommandoerne kan for det meste bruges uafhængit, men slå tingene op hvis de driller. For at beregne fakultet (n!), bruges prod( : n). AAU 2004
4 Side 4 af 28 Emne : Polynomier Et polynomie defineres med a = [ ], hvilket giver at a = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. (kan vises med polyout(a)) polyval(a,n), evaluer polynomiet a, med v eardien n. roots(a), giver rødderne på polynomiet a. conv(a,b) og deconv(a,b), Foldning og udfoldning af polynomier. cross(a,b), krydsproduktet af vektorer a og b (typisk a, b R 3 ). norm(a,b), længden af vektor a og b. dot(a,b), krydsproduktet af vektor a og b. tf(t,n), lav en overførselsfunktion ud af udtrykket t = tæller, og n = nævner (kan være polynomier etc... ), kan senere bruges til at lave bodeplots med. Overførselsfunktioner kan vises med residue kan beregne residuet for et t aeller og n aevner polynomie. sysout(l, tf ) eller sysout(l, zp ), som giver transfer function og zero-pole function. Plots og in/output For at styre output, sætter man først sin terminal. gset term ARG, hvor ARG kan være X, png, postscript, jpg, gset output filnavn.komplet Giver et output filnavn. Skriv til filen med replot eller tilsvarende (fig, postscript, X). gset ARG noget, hvor ARG kan være title, xlabel, ylabel, grid og mange andre ting. bode(l), laver bodeplots (3 billeder) ud fra overførselsfunktionen L (L skal laves med tf2sys(a)). plot(x,y,fmt, ;title; ), plotter punkterne x og y, hvor FMT er formaterringskommandoer (linespoints osv.), se hjælpfilen for options. gset arg option formatering af plots (gerne sammen med hold on/off). Bare skriv gset, og du får en liste af options. plot(a,b, ;\\\\ Titel ; tegner noget, bemærk escape sekvensen med fire backslashes.. for at få en backslash til fig2ps osv... Symbolsk algebra Octave kan godt lave symbolske regnerier.. det er dog afh aengigt af octave-forge pakken. Tingene enables ved at kalde symbols, og bagefter kan man definere en symbolsk v aerdi med x = sym ( x );. Herefter defineres eksempelvis a = 2 x 2 + 4;. Nu kan differentiate(a,x,n) og sikkert andre funktioner bruges (man kan definere flere symbolske v aerdier, og derved have a = 2*x*b;). Lineær algebra og scripts En matrice laves med a = [3 2 4 ; 3 24 ; ], hvilket her giver en 3x3 matrice. Man kan så bruge rref(a), det(a), a*b, a row-reduce, determinant, multiply og transpose. Nedenunder er der givet forskellige scripts, der kan ligge i.m filer. Elektronik & Elektroteknik
5 2 NØRD Side 5 af 28 # Usage: mult (a, n, x) #Usage: madd (a, n, m, x) # Multiplies row a(n,:) with x #Multiply row a(n,:) by x, function a = mult (a, n, x) #and add it to a(m,:) a(n,:) = a(n,:) * x; function a = madd (a, n, m, x) endfunction N = a(n,:)*x; a(m,:) = a(m,:) + N; endfunction # usage: swap (a, n, m) # usage: makes transfer function from poles # swaps matrice row a(n,:) w=20*0^7; w2 =w; w3 = 0^9 #with a(m,:), nice hack!! A=500; beta = /25; N = beta*a function c = swap (a, n, m) D = conv([/w ],conv([/w2 ],[/w3 ])); b = a(n,:); sysa=tf(n,d); bode(sysa); a(n,:) = a(m,:); #i matlab kan man ogsaa bruge margin(n,d); a(m,:) = b; c = a; endfunction 2.4 programmering Meget korte referencer! goer meget ud af, hvilket typer variabler der kastes rundt (pointers, funktioner osv..) 2.5 VS oncurrent versioning system. Nogen rare kommandoer er (i bash eller tilsvarende terminal): export VSROOT:user@host:/path/to/root cvs vil nu kigge i /path/to/root efter filer. I dette bibliotek, bør der ligge et dir der hedder VSROOT. export VS RSH=ssh cvs import -m logbesked. user start hvor punktummet efter logbesked er det dir du står i nu. Brugeren er din unix - bruger og start skal hedde start. Bemærk at du importere alt det, der er i biblioteket./. Kommandoerne er fundet på [E, 2004, /guides/] 2.6 Konvertering mellem formater F oelgende kommandoer kan med de rette pakker anvendes i linux/unix, til konvertering mellem alle underlige formater. Programmer n aevnt nedenfor er det der anvendes: GV (har en save marked page funktion ) pstoedit (mange muligheder, se transfig... Summering af konvertering pstoedit -f fig test.ps test.fig AAU 2004
6 Side 6 af 28 Emne : 3 Mat/Fys Alt hvad vi har lært i matematik og fysik, det er jo så handy. 3. osinus & Sinus Ret meget info om sinus og cosinus, for det er jo så interessant. Herunder additionsformler, samt hyperbolske sin og cos funktioner (se i håndbog for skabsnudister). 3.2 Differentation og integration f (x) f(x) R f(x)dx k n x n x n n+ xn+ 2 x x 2 3 x x ax a x a a : a+ xa+ 2 ln x x e x e x e x ae ax e ax a x ln(a) a x, a > 0 a 0 : a eax a : ln(a) ax sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) cos 2 (x) = + tan2 (x) tan(x) ln cos(x) sin 2 (x) = cot2 (x) cot(x) ln sin(x) sin(2x) cos 2 x (x) 2 + sin(2x) 4 sin(2x) sin 2 x (x) 2 sin(2x) 4 2 tan(x)( + tan 2 (x)) tan 2 (x) tan(x) x 3(sin(x) sin 3 (x)) cos 3 (x) sin(x) 3 sin3 (x) 3(cos(x) cos 3 (x)) sin 3 (x) cos(x) 3 cos3 (x) sin(x) cos 2 ln (x) cos(x) ŕ +sin(x) cos(x) ŕ = ln tan( x 2 + π 4 ) cos(x) sin 2 ln (x) sin(x) ŕ cos(x) sin(x) ŕ = ln tan( x 2 ) arcsin(x) x arcsin(x) + x 2 x 2 x arccos(x) x arccos(x) x 2 2 +x 2 arctan(x) x arctan(x) 2 ln ( + x2 ) +x 2 arc cot(x) arc cot(x) + 2 ln( + x2 ) n cos(nx) sin(nx) /n cos(nx) n sin(nx) cos(nx) /n sin(nx) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (kf) (x) = kf (x) (f ) (x) = (f f )(x) ţ ű f = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)) 2 () (f g) (x) = (f g)(x)g (x) (2) Elektronik & Elektroteknik
7 3 MAT/FYS Side 7 af 28 Z b h i b f(x)g(x) = F (x)g(x) a Z x dx, Z b Z b Z g(b) F (x)g (x) dx, f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt (3) a a a g(a) t = 3x dt = 3dx dx = Z 3 ů ÿ 3 dt, t 3 dt = ln 3x (4) Lineær algebra Multiplikation af matricer, er defineret som følger: a b c d e f g h i a + 2b + 3c 4a + 5b + 6c 7a + 8b + 9c d + 2e + 3f 4d + 5e + 6f 7d + 8e + 9f g + 2h + 3i 4g + 5h + 6i 7g + 8h + 9i = č a b c ď = 2 3 2a 2b 2c 4 3a 3b 3c 5 4a 4b 4c Her skal der også dækkes determinanter (specielt med at a svarer til at slette row og column, og så bestemme determinant derefter, se note i Fraleigh Beauregard, under determinanter). ramers regel kan l oese en lignings-system af typen Ax = B, ud fra x n = det(b n)/det(a), hvor B n er matrice a, hvor s oejle n er erstattet af vektoren B (som er en enkelts oejle-matrice.. basta). ramers regel er til tider lidt fjollet, idet man med moderne regnekraft kan bringe matricen AB (sat sammen) p aa row-reduced echelon form (rref), hvilket giver svaret direkte. P aa basis gennemgik vi noget mere, men det gider jeg ikke dokumentere Egenv aerdier og egenvektorer Egenv aerdier og egenvektorer angiver analytiske egenskaber ved den p aag aeldende matrice. Det der s oeges er Ax = λx, hvori λ og x er en ubekendte. Opstillet p aa formeludtryk ser du ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 273]: ů ÿ ů x x 2 ÿ ů x = λ x 2 ÿ (5) det(a λ I) = 0 (6) hvor egenv aerdien λ kan indtage n forskellige v aerdier, i en n n matrice. I ovenst aaend eksempel er λ = og λ 2 = 6. Egenvektoren x bestemmes ved at l oese ligningen 2 2 λ n x 2 ů 5 λn 2 ÿ ů x det(a λ I) = 0 (7) ÿ = (8) (5 λ n )x + 2x 2 = 0 (9) 2x + x 2 (2 λ n ) = 0 (0) for hver v aerdi af λ. Den resulterende matrice r aekke-reduceres indtil der kan siges noget fornuftigt om hver variables x og x 2. Af ovenst aaende ses det klart at ů ÿ x λ= = () 2 ů x λ=6 = Udvidede matrice (χ) ÿ y (2) I [Kreyzig, 999, s. 38] beskrives de relle matricer, der har forskellige egenskaber. A T = A, symmetrisk, a kj = a jk. A T = A, sk aev-symmetrisk, a kj = a jk. Diagonalen i en sk aev-symmetrisk matrice er altid 0. Egenv aerdierne er 0 eller rent imagin aere. A T = A, Ortogonal, a kj = a jk. Determinanten er altid + eller. I [Kreyzig, 999, s ] gennemg aaes de komplekse matricer, der blot er generaliseringer af de relle matricer. A T = A Hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier er relle. AAU 2004
8 Side 8 af 28 Emne : A T = A Sk aev-hermetisk, a kj = a jk. Egenv aerdier rent imagani aere eller 0. A T = A Unit aer. Egenv aerdier har absolut v aerdi 0. Determinanten har ogs aa absolut v aerdi 0. [Kreyzig, 999, s. 390, thm 4.]. En matrice kan skrives p aa kvadratisk form vha. [Kreyzig, 999, s. 388]: ů ÿ ů ÿ x T 3 4 x Ax = [x x 2 ] (3) 6 2 x 2 x T Ax = 3x 2 + 0x x 2 + 2x 2 2 (4) x T Ax = a x 2... (5) n X n X... + a jk x k x j + a nnx 2 n (6) k=2 j=2 Unit aere transformationer [Kreyzig, 999, s. 389] bibeholder indre produkt og norm. y = Ax, a b = a T b (7) Matricer A og B siges at v aere similare, hvis B = P AP kan udf oeres. Heri er P en egenv aektor for A samt at A og B har samme egenv aerdier. Hvis dette g aelder s aa er y = P x en egenv aektor for B, svarende til samme egenv aerdi som den P er udledt af [Kreyzig, 999, s. 392]. Hvis A har forskellige egenv aerdier, s aa er egenvektorene uafh aengige, og danner en basis for n eller R n. Men baser eksisterer under meget simplere forhold/former, og de uafh aengige egenv aerdier/vektorer er ikke noget krav. Diagonalisering af en matrice sker if oelge [Kreyzig, 999, s. 394] D = X AX (8) D n = X A n X (9) hvori D er matrice med A s egenv aerdier p aa diagonalen, samt X dannet med A s egenvektorer som s oejler. Yderliger Transformering til principal-akse g oeres, for nemmere at kunne overskue en given funktion, der eventuelt har et f aelles-led. Eksempelvis en ellipse som vist i figur. Her transformeres fra x koordinaterne til y koordinaterne, hvorved man ud fra funktionen kan se hvad den forestiller. Dette foretages ud fra Q = X AX, hvor A er reel-symmetrisk og X best aar af orthonormale (normerede) egenvektorer af A som s oejler. Q er typisk en kvadratisk form. Sammenh aengen mellem y og x koordinater er givet ved x = Xy. y2 x2 y x Im Sk aevhermetisk (sk aevsymmetrisk) R = Re Unit aer (orthogonal) Hermetisk (symmetrisk) Figur : Transfor til principal-akser Elektronik & Elektroteknik
9 3 MAT/FYS Side 9 af Komplekse tal For ethvert punkt, givet ved komplekse tal a = (a, a 2 ) = r v og b = (b, b 2 ) = p θ. q a = r cos v, a 2 = r sin v, r = a 2 + a2 2 cos v = q a, sin v = q a 2, tan v = a 2, a 0 a 2 +a2 a 2 2 +a2 a 2 a + b = (a + b, a 2 + b 2 ), a b = (r p) v+θ = (a b a 2 b 2, a b 2 + a 2 b ) b a = p θ = č p ď r v r θv a 2 = aa (r v ) n = (r n ) nv z n = a = r v z = č n r ď v n +p 2π n = i (20) Den komplekse eksponentialfunktion For z = x + iy, x, y R og A = a + ia 2, B = b + ib 2 gælder det at Ligning (24) og (25) findes i [Kreyzig, 999, s. 787]. Eulers formler Findes mere på [Kreyzig, 999, s. 682] e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) (2) Re[Ae Bt ] = e b t (a cos (b 2 t) a 2 sin (b 2 t)) (22) Im[Ae Bt ] = e bt (a 2 cos (b 2 t) + a sin (b 2 t)) (23) cos(kz) = ş e kjz + e kjzť (24) 2 sin(kz) = ş e kjz e kjzť (25) 2j cos z = ejz + e jz, sin z = ejz e jz 2 2j (26) 3.5 Fysik formler Temperaturafhængighed mht. transistorer/dioder (Boltzmanns konstant k og elementarladningen q indgår). V T = k T q, T [K], k =, [J/K] q = [] (27) k e = = N m πɛ 0 2, ɛ 0 = Nm 2 (28) q electron = , µ 0 = 4π 0 7 [T m/a] (29) V T er typisk på 25.2mV ved 25. µ 0 er permeabiliteten af det frie rum. 3.6 Konstanter og grundenheder Alle konstanter! AAU 2004
10 Side 0 af 28 Emne : Elektroniske grundenheder Alle grundenheder, og definitioner, på eksempelvis stroem, spaending osv. 3.7 Ellære* Kraften fra ladning virkende på ladning 2 er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 74] F 2 = k e qq 2 r 2 r 2 (30) hvor r 2 er en enhedsvektor fra q til q 2 og r er afstanden mellem ladningerne. Retningen som kraften påvirker q 2 med afhænger af polariteten. Modsat polaritet tiltrækker, samme polaritet frastøder E-felter Det elektriske felt er i [Serway & Beichner, 2000, s. 79] defineret til E = F ů ÿ p q p V, F p = m p a, E = k e q p r 2 r (3) m hvor feltlinierne altid peger i retning af det laveste potentiale. Det elektriske felt (E-feltet fremover) opstår pga. forskellige ladninger, placeret fra hinanden. Flux er pr. [Serway & Beichner, 2000, s. 744] defineret til E-feltet gennem overfladen A. Dette kan opskrives alternativt, hvor θ er vinklen mellem overfladen A og feltlinierne fra E-feltet. ů N m 2 ÿ Φ E = E A, Φ E = EA cos(θ) (32) Z Φ E = E da, Φ E = S I E da = q in ɛ 0 (33) De sidste integraler angiver lovene for flux igennem overflader. Bemærk at det lukkede integrale angiver fluxen gennem en lukket overflade, hvilket er Gauss lov, der siger at dette altid er Φ E = q in ɛ0 hvor q in er ladningen indenfor den lukkede overflade. Hvis der ikke er nogen ladning indenfor den lukkede overflade, så vil fluxen igennem denne være 0 (ind = ud). Elektrisk potentiale er i [Serway & Beichner, 2000, s. 769] defineret til Z B U = U B U A = q 0 E ds (34) A V = U B U A q 0 = U q 0, E q = /2m v 2 (35) Det negative tegn betyder, at partiklen q ) mister pontentiel energi fra A til B, hvorved den får mere kinetisk energi (højere fart). Kapacitansen af en overflade (kondensatorplade) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 804] defineret til = Q/ V hvor Q er den samlede ladning på pladen, imens V er spændingsforskellen mellem de 2 plader. Bemærk at der altid vil være samme ladningsmængde på to plader, dog med modsatrettede fortegn. Enheden for dette er fahrad [F ]. Dielektrikum og temperaturafhængighed er diskuteret yderligere i [Serway & Beichner, 2000, s. 88 og s. 853]. Lad os bare sige at strøm er defineret som dq dt = I B-felter Magnetiske felter (B-felter) opstår som følge af en nordpol og en sydpol (lam forklaring.. nogen der han noget bedre?). Kraftpåvirkningen af en partikel er defineret som [Serway & Beichner, 2000, s. 908] F B = qv B ů T esla = Ns m = N Am ÿ (36) hvilket kan omsættes til en kraft på en leder [Serway & Beichner, 2000, s. 9] F B = I L B, ţz b ű F B = I ds B (37) a hvor L er en vektor der peger i lederns retning, og har samme længde som lederen. Momentet på en strømsløjfe er i [Serway & Beichner, 2000, s. 96] defineret til τ = IA B. Hvor A er en normalvektor til ovefladen A, med længde = areal af A. Biot-savarts lov siger noget om B-felter som følger af ledere der leder strøm. Denne er opgivet i [Serway & Beichner, 2000, s. 939] til at være db = µ 0 Ids r 4π r 2, B = µ Z 0I 4π dette er kaldet den magnetiske fluxdensitet. ds r r 2 (38) Elektronik & Elektroteknik
11 3 MAT/FYS Side af 28 Kraften mellem 2 paralelle ledere er i [Serway & Beichner, 2000, s. 943] opgivet til F B l = µ 0I I 2 2πa (39) med a som afstand og l som længden af lederne (her opgivet som kraft per længdeenhed). Dette anvendes til at definere coulomb-enheden som funktion af ampere. Dette ledes videre til amperes lov (samme kilde, s. 945), der siger at magnetfeltet B omkring en leder, vil ligge i cirkler omkring lederen. Styrken af det magnetiske felt er uafhængig af afstanden til ledern (det skriver de fandme!). Men det hele er opgivet som I B ds = µ 0 I (40) Magnetfeltet i en solenoide (laang, tynd satan) er i [Serway & Beichner, 2000, s. 95] B = µ 0 n l I (4) hvor feltlinierne løber fra nord til syd (den ene ende til den anden). Magnetisk flux er defineret som Φ B = R B da. Anvendes dette på en lukket figur (kugle etc), vil integralet give 0. Dette er den magnetiske fluxdensitet pr. arealenhed, alts aa fluxen. Ampere-maxwells lov siger at magnetfelter opstår som følger af strøm i en leder og tidsvariable E-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 954] I Bd s = µ 0 (I + I d ) = µ 0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt (42) Lorentz lov siger til sidst noget om sammenhængen mellem E- og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 000] F = q(e + v B) (43) For at g oere forvirringen komplet har man indf oert den magnetiske feltstyrke H, som er opgivet vha. I H = ni, µ 0 H = B, H di = I N (44) Lige for at iterere B er fluxdensiteten antallet af streger pr. arealenhed. Fluxen (Φ er antallet af streger indenfor et afgr aenset omr aade. Den magnetiske feltstyrke H angiver hvor st aerke de her streger er [Serway & Beichner, 2000, s. 958]. Men bare fordi bogen kager rundt i dette, er der ingen grund til at blive forvirret. Til slut vil jeg bare sige at energien i en spole E = /2 L I EMF (faraday) Den elektromotiske kraft induceret i en kreds, eventuelt en spole med n vindinger [Serway & Beichner, 2000, s. 982 og s. 06] EMF = n dφ B dt = L di dt (45) Lenz lov siger at polariteten for den inducerede emf vil være sådan, at den skaber en strøm hvis magnetiske flux vil modvirke den magnetiske fluxændring [Serway & Beichner, 2000, s. 989]. En anden ligning siger noget om sammenhængen mellem E-felter og B-felter [Serway & Beichner, 2000, s. 993] I Eds = dφ B (46) dt hvor det inducerede E-felt ikke er konservativt. 3.8 Komplex integration* Denne del bygger på [Kreyzig, 999, s. 73]. I komplek integration integrerer man funktionen f(z) over path, dette opstilles som følger (højresiden hvis er lukket): Z I f(z) dz, f(z)dz (47) hvis f(z) er analytisk i domænet D, så skal denne opfylde kriterierne [Kreyzig, 999, s. 669] w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) (48) u x = v y, u y = v x (49) kan funktionen evalueres som Z f(z) dz = F (z ) F (z 0 ) (50) idet analytiske funktioners integralværdier er uafhængige af path. AAU 2004
12 Side 2 af 28 Emne : En alternativ metode til integration, hvor funktionen ikke nødvendigvis er analytisk, er ud fra at path er beskrevet via z(t), hvor a t b. Z Z b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt (5) a auchys integral theorem siger at hvis f(z) er analytisk i et simpelt forbundet domæne D, så vil integrationen over en lukket path give 0. I f(z) dz = 0 (52) hvis der eksisterer punkter z 0 hvor funktionen f(z) ikke er holomorf (analytisk) i domænet D som den lukkede path indeholder, skal cauchys integral formel anvendes. Denne siger at integralet for den analytiske funktion, over den lukkede path vil være det samme som funktionsværdien f(z 0 ). I f(z) dz = 2πjf(z 0 ) (53) z z 0 hvor f(z 0 ) er omskrevet version af hele funktionen f(z). Konsekvensen af dette er, at brøker kan opspaltes i partialbrøker, og det er kun de dele der har en pol indenfor analyseområdet, man skal regne med. Hvis man har funktionen f(z) = f (z)/(z z 0a ) + f 2 (z)/(z z 0b ) og man integrere i et områd hvor z 0a ligger udenfor og z 0b indenfor, bliver den endelige integralværdi I = 2πjf 2 (z 0b ). Ligger begge punkter indenfor bliver integralværdien I 2 = 2πjf (z 0a ) + 2πjf 2 (z 0b ). Dette skyldes den tidligere formel (52) der afhænger af at funktionen er analytisk i, hvilket den er for f (z) (som derfor giver 0), men ikke er for f 2 (z) (som derfor giver en værdi ifølge chauchy). Ydermere har analytiske funktion afledte af alle grader. Værdien i disse punkter z 0 er givet ved f (n) (z 0 ) = n! I f(z) dz (54) 2πj (z z 0 ) n+ dette anvendes hvis en funktion har n te-rod indenfor, (f (n) = dn f(z) dz n ). irkler i det komplekse plan er opgivet som z + h 0 = r, med z som variabel (kompleks), h 0 som centrum konstant (h 0 = 2 centrum i 2) og r som radius). Altid! 3.9 Linie og kurveintegraler* Dette er resume fra [Kreyzig, 999, s. 522] heri gennemgåes linie og kurveintegraler. Allerførst et eksempel på hvad curl består af (også kaldet rot engang imellem). v(x, y, z) = v i + v 2 j + v 3 k (55) i j k curl V = v = x y z (56) ŕ v v 2 v ŕ 3 ţ v3 = y v ű ţ 2 v i + z z v 3 x... ű j +... ţ v2 x v y ű k (57) et andet værktøj der anvendes er divergensen af en funktion, hvilket er divf = F x + F 2 y + F 3 z hvor F = [F, F 2, F 3 ] eller F = F i + F 2 j + F 3 j. Linie integralet er defineret som følger Z (58) Z F (r) dr = (F dx + F 2 dy + F 3 dz) =... Z b... F (r(t)) dr dt (59) a dt hvor er givet som r(t) = [x(t), y(t), z(t)] eller x(t)i+y(t)j+z(t)k med a t b. Herved fremkommer altså integralet af F over path. Linie integraler har samme egenskaber som normale integraler, idet de kan splittes, reverseres, adderes og multipliceres med konstanter, som normalt. Uafhængighed af path gør at integralværdien kun er afhængig af start og slutpunkterne, dvs. uafhængig af path imellem punkterne. For at opnå uafhængighed af path skal funktionen være eksakt. Eksakthed opnåes ved at F er gradientvektoren til en funktion f (vilkårlig) ( f = F ). Et andet krav er at curlf = 0. Dette kan i komponenter omskrives til F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y (60) Elektronik & Elektroteknik
13 3 MAT/FYS Side 3 af 28 (ved funktioner af 2 variable, er det kun det sidste led der er krav og F i domænet D har kontinuerte første ordens afledte) Dobbelt integraler over regionen R, i planen kan transformeres til linie integraler over afgrænsningen (og omvendt!). Dette kaldes Greens theorem i planet Z Z ţ F2 R x F ű dx dy =... y I... (F dx + F 2 dy) (6) Stokes theoem siger at overfladeintegraler kan transformeres om til linieintegraler på følgende måde Z Z S I (curlf ) n da = F r (s)ds (62) hvor S er en orienteret overflade, hvis afgrænsning er kurven. n er normalvektor i S og r (s) er den afledte af kurven (unit tangent vector). Der står mere i [Kreyzig, 999, s. 56] (specielt på s. 520 omkring path uafh anegighed). Tripple integraler over regionen T i rummet kan transformeres til overfladeintegraler over den afgrænsende overflade S vha. Gauss divergenstheorem (h oejresiden af integralet kaldes ogs aa fluxintegralet [Kreyzig, 999, s. 496]). Z Z Z Z Z divf dv = F n da (63) T S 3.0 Fourier serier, integraler og transform* Dette er sammenfattet af [Kreyzig, 999, s. 580] og [Johnson et al., 997, kap. 7, s. 689]. Den trigonometriske fourierserie er givet i [Kreyzig, 999, s. 580] som konvergerer en periodisk funktion f(x) (med perioden 2L), med følgende koefficienter f(t) = a 0 + ş ş nπ ť a n cos L x... n= ş nπ ťť... +b n sin L x (64) Z L a 0 = f(x) dx (65) 2L L Z L ş nπ ť a n = f(x) cos L L L x dx (66) b n = Z L ş nπ ť f(x) sin L L L x dx (67) Fourierserier kan kun approximere periodiske funktioner, brug i stedet fouriertransformen til ikkeperiodiske funktioner. Det kan med fordel tjekkes om en funktion er lige (f(x) = f(x), altså symmetrisk om y-aksen) eller ulige (f(x) = f(x), altså spejlet i x- og y-aksen). Hvis en funktion er lige, vil dennes b n konstant være 0 (og derfor behøves den ikke at blive regnet ud), er funktionen ulige er konstanten a n = 0. Man siger at den lige del reduceres til cosinusformen (cosinus delen plus konstanten), og den ulige del reduceres til sinus-formen (sinus delen). I [Johnson et al., 997, s. 697] er den trigonometriske fourier-serie opgivet som f(t) = a X (a n cos(nω 0 t) +... n=... b n sin(nω 0 t)) (68) Z 2 T a 0 = f(t) dt (69) T 0 Z 2 t0 +T a n = f(t) cos(nω 0 t) dt (70) T t 0 Z 2 t0 +T b n = f(t) sin(nω 0 t) dt (7) T t 0 Af rare informationer kan det gives at cos(nπ) = () n, sin(nπ + π/2) = () n. Den eksponentielle fourier-række er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 706] til f(t) = c n e jnω 0t (72) n= c n = Z T /2 f(t)e jnω0t dt T T /2 (73) c n = (a n + b n )/2 (74) husk at der muligvis skabes problemer n aar n = 0, opdel derfor integraler i flere intervaller og evaluer. Fourier transformen bygger på grundformlerne (her vist som frem, og tilbage), og er fuldstændig tilsvarende laplace-transformen. Transform-integralerne er opgivet i [Johnson et al., 997, s. 722]. Altså kan AAU 2004
14 Side 4 af 28 Emne : man bruge skemaet for laplace-transformerede, til begget transformer (s = jω). Z F (jω) = f(t)e jωt dt (75) f(t) = Z F (jω)e jωt dω 2π (76) disse kan bruges, hvis man eksemplevis skal transformere et arbitr aert signal (eksempelvis konstant i en tidsperiode). Husk at e 0, ogs aa selvom der er en kompleks del. Man kan ydermere bestemme amplitudespektret, frekvensspektert og effekt-spektret, defineret p aa f oelgende m aade (X(jω) = som eksempel): a+jω abs(x(jω)) = X(jω) = a 2 +ω 2 (77) arg(x(jω)) = tan (X(jω)) = tan ą ć ω a (78) eff(x(jω)) = X(jω) 2 = a 2 +ω 2 (79) Spektrene er tegnet nedenfor. I [Johnson et al., 997, s. 75] st aar der definitioner p aa amplitude, fase og effekt, ud fra den trigonomtriske funktions konstanter. ω 3. Komplekse r aekker (χ) I figur de vigtigste komplekse r aekker angivet. Disse anvendes i forbindelse med laurent-r aekker Sum R aekke Udvikling e q P n=0 sin q cos q sinh q cosh q q q n n! + q! + q2 2!... qn n!... P q2n+ n=0 ()n 2n+ P q2n n=0 ()n (2n)! P q 2n+ n=0 (2n+)! q! q3 3! + q5 5! q7 5!... q2 2! + q4 4!... q! + q3 3! + q5 5!... P q 2n n=0 + q2 (2n)! 2! + q4 4!... P n=0 qn q < q P n=0 qn < q P +q n=0 ()n q n < q q N+ q P N n=0 qn \{0} ln( + q) P n= ()n+ qn n q q2 2 + q Tabel : De vigtigste komplekse r aekker Elektronik & Elektroteknik
15 3 MAT/FYS Side 5 af Residue regning (χ) Residue regning bygger p aa laurent-serier, der ser ud som f oelger [Kreyzig, 999, s. 796]: f(z) = f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z n=0 n= 0 ) n (80) n= a n (z z 0 ) n, a n = I f(z) dz (8) 2πj (z z 0 ) n+ Denne serie konvergerer (g aar mod et bestemt tal) i en aaben ring, med centrum i z 0. Man taler om at udvikle en serie ud fra et bestemt z 0. Konvergensradius kan for ovenst aaende laurent-serie bestemmes vha. auchy-hadamard formlen [Kreyzig, 999, s. 744] R = L = lim a n n ŕ an + ŕ, 0 < z z 0 < R (82) En singularitet er et punkt hvori f(z) oph oerer med at v aere analytisk. Et nulpunkt er hvor f(z) = 0. Hvis man har en singularitet, men alle punkter omkring z 0 (singulariteten) er ikke-singulaere, s aa er z 0 en isoleret singularitet [Kreyzig, 999, s. 776]. Form aalet med auchy s integrationsmetode er at udnytte [Kreyzig, 999, s. 78]: I kx f(z)dz = 2πj Res z=zj f(z) (83) j= Ideen er, at hvis integralet er analytisk over hele, s aa er integralet if oelge auchy s integral theorem = 0, men findes der en singulariteter indenfor findes der en laurent-r aekke for funktionen, hvorved formel (83) kan anvendes. Residuet er v aerdien for b n med n = (b i formel (80)). Tricket er nu, at der er alternative m aader at bestemme residuet p aa, og derved regne integralet fra (83). Fra [Kreyzig, 999, s. 782] angives f oelgende formler til bestemmelse af residue (dog kun ved simple poler): Res z=z0 f(z) = b = lim z z 0 (z z 0 )f(z) (84) Res z=z0 f(z) = b = Res z=z0 p(z) q(z) = p(z 0) q (z 0 ) Desuden kan man anvende partialbr oeksopspalting (ikke beskrevet i Kreyzig): I z 23 I = z 2 dz 4z 5 (86) z 23 = a(z 5) + b(z + ), a = 4, b = 3 (87) f(z) = 4 z z 5 (88) I = 2πj(4 + (3)) = 2πj (89) (85) AAU 2004
16 Side 6 af 28 Emne : Ved poler af h oejere orden (sin, cos differentieret eksempelvis) skal den mere generelle formel anvendes (2. linie specifikt til 2. ordens poler) Res z=z0 f(z) = ů d m ÿ lim (m )! z z 0 dz m [(z z 0) m f(z)] Res z=z0 f(z) = lim z z 0 h č(z z0 ) 2 f(z) ď i, m = 2 (9) Dette kan ogs aa anvendes til integration af uegentlige relle funktioner ( ing aar i gr aenser), se [Kreyzig, 999, s. 788] samt integraton af funktioner af typen F (cos θ, sin θ). Se [Kreyzig, 999, s. 787]. (90) 3.3 Z-transformation (χ) Z-transformationen er en transformation fra det tidsdiskrete signal x[n] til det kontinuerte udtryk X(z). Transformationen er i [Oppenheim, 998, s. 95] angivet til: Z{x[n]} = n= x[n]z n = X(z) (92) Der findes en stringent matematisk metode til at lave den omvendte transformation, men denne er meget kompliceret, så vi anvender små julelege i stedet for. Dette bygger i bund og grund på at genkende udtryk, eller bringe på genkendelig form, og så regne ud fra tabel 2 på side 8 og 3 på side 9. Hvis z = re jω indsættes, og r = er dette en fouriertransformation, hvilket udnyttes til at bestemme frekvensrespon X(e jω ) og gruppe-delay τ(ω) = grd[h(e jω )] = d dω (arg[h(ejω )) [Oppenheim, 998, s.243]. Oftest ses det af summen i (92) at tingene kan bringes på en form, hvor det geometriske række (q n fra tabel på side 4) kan anvendes. Hele regnestykket kan se ud som x[n] = (a) n u[n ], Z{x[n]} (93) X (a) n z n (a) n z n n= n= (a) n z n ą a z ć n n= n=0 X(z) = a z, a z < (94) Den sidstnævnte grænse fremkommer idet rækkeudviklingen af q n stiller dette krav. Området er en cirkel, og kaldes Radius of onvergence (RO), og X(z) er analytisk i hele RO (X(z) er en laurent serie). Oftest kan man med fordel dele summer op, som eksempelvis n= x[n] = X x[n] + x[n] = n= n=0 (x[n])... + x[n] = n= n=0 + (x[n]) + x[n] (95) n=0 n=0 Til invers transformation kan man opsplitte i partialbrøker, og anvende tabel 2. En anden metode der kan anvendes, hvis X(z) = P n= x[n]zn er den angivne form, er at bruge udtrykket x[nn 0 ] z n 0X(z). Heraf ses det at koefficienterne i X(z) kan anvendes som koefficienter i en tidsforskudt enhedsimpuls. Eksempel: X(z) = 2z 4z 3z (96) x[n n 0 ] z n 0 X(z) (97) X(z) = x[n]z n (98) n= n 0 = x[] = 2 (99) n 0 = 0 x[0] = 5 (00) n 0 = x[] = 4 (0) n 0 = 2 x[2] = 3 (02) x[n] = 2δ[n + ] + 5δ[n] δ[n ] 3δ[n 2] (03) Systemet kan oftetst karakteriseres meget nøje ud fra viden om kausalitet, stabilitet og hvor RO er placeret. Fra [Oppenheim, 998, s. 05] er følgende egenskaber ved RO angivet:. RO er en ring i z-planet, med center i origo. 0 r R < z < r L. Elektronik & Elektroteknik
17 4 ELEKTRONIK Side 7 af Fouirer transformen af x[n] konvergerer absolut, kun hvis RO indeholder enhedscirkeln (r = ). 3. RO kan ikke indeholde poler (så er den jo ikke analytisk længere). 4. x[n] er en begrænset serie. Dvs. den er nul, undtagen i et afgrænset område < N n N 2 <. Grænsetilfældene z = 0 og z = skal altid gennemtænkes ekstra! 5. Hvis x[n] er en højresidet serie (dvs. 0 for n < N < ), så går RO fra den yderste pol (største pol ) ud til (og måske inkluderende). Hvis 6. Hvis x[n] er en venstresidet serie (dvs. 0 for n > N 2 > ), så går RO fra den inderste (mindste pol ) nonzero/ikkenul pol og ind til (måske inkluderende) z = Hvis x[n] er en dobbeltsidet serie (forklaring), så er RO en cirkelring. 8. RO skal være en forbundet region. Yderligere er det vigtigt at cementere følgende facts: Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN indeholder enhedscirklen, så er systemet stabilt. Hvis RO for OVERFØRINGSFUNKTIONEN går fra yderste pol og mod uendeligt, så er systemet kausalt. Idet dette jo er matematik, og vi har Uwe Hartmann, så er foldnings-summen for det diskrete spektre, samt nogen yderligere regler, angivet nedenfor: y[n] = h[n] x[n] = nx x[k]h[n k] (04) k=0 h[n] δ[n] = h[n] (05) Tricket er at impulsresponsen (h[n]) evalueres i hele k, for hvert input i n. Foldningen er kommutativ. Haves eksempelvis et udtryk hvor y[n] = (x[n] + x[n] h [n]) h 2 [n] (06) y[n] = x[n] ( + h [n]) h 2 [n] (07) h[n] = y[n] x[n] = ( + h [n]) h 2 [n] (08) 4 Elektronik 4. Grundlæggende kredsløbselementer Her gennemgåes de grundlæggende kredsløbselementer. Når man regner med forstærkninger, får man en forstærkning på n gange, ud fra db tallet på: 4.. apacitorer Grundformlerne for at regne på kondensatorer er: 4..2 Spoler i c = dv dt [A], db = 20 log(n), f = ω 2 π v c (t) = (09) R t t 0 i(τ)dτ + v(t 0 ) [V ], w c = 2 v2 [J] (0) U Aflad = U 0 e t R [V ], U Oplad = U 0 ( e t R ) [V ] X c = [Ω] () 2πf Grundformlerne for at regne på spoler er: i L (t) = Z t i(τ)dτ + v(t 0 ) [A], L t 0 v L = L di dt [V ], w L = Li 2 (t) [J], X L = 2πfL [Ω] (2) AAU 2004
18 Side 8 af 28 Emne : Sequence Transform RO δ[n] Alle z u[n] u[n ] z < z z z < δ[n m] z m Alle z, undtagen (m > 0 0) eller m < 0 ) a n u[n] a n u[n ] na n u[n] na n u[n ] cos(ω 0 n)u[n] sin(ω 0 n)u[n] r n cos(ω 0 n)u[n] r n sin(ω 0 n)u[n] a n u[n], 0 n N a n+ u[n] a n+ u[n ] a n u[n ] a n u[n] u[n] u[n] u[n] az az az (z ) 2 az (az ) 2 cos(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 sin(ω 0 )z 2 cos(ω 0 )z +z 2 r cos(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 r sin(ω 0 )z 2r cos(ω 0 )z +r 2 z 2 a N z N az a az a az z az z az z z z a < z z < a a < z z < a < z < z r < z r < z 0 < z a < z z < a a < z z < a < z < z < z Tabel 2: Z-transformationer og tilbage igen, fra [Oppenheim, 998, s. 04]. Udtryk under stregen er venligst udledt af Jan Sundvall. Disse en kombination af denne tabel samt tabel Steady-state tilstande I analyse af kredsløb, kan stabile tilstande bestemmes (strømme og spændinger er konstante), såfremt disse findes. Når en kreds opnår steady-state, kan spoler erstattes med kortslutninger, og kondensatorer erstattes med åbne forbindelser. 4.2 Norton and Thevenin equilevants Elektronik & Elektroteknik
19 4 ELEKTRONIK Side 9 af 28 Sequence Transform RO x[n] X(z) R x x [n] X (z) R x ax [n] + bx 2 [n] ax [n] + bx 2 [n] R x R x2 x[n n 0 ] z n 0 R x z n 0 x[n] X(z/z 0) z 0 R x nx[n] z dx(z) dz R x x [n] X (z ) R x Re{x[n]} Im{x[n]} x [n] X ( z ) 2 [X(z) + X (z )] Indeholder R x [X(z) X (z )] 2j Indeholder R x /R x x [n] x 2 [n] X (z) X 2 (z) Indeholder R R 2 x[n] = 0, n < 0 lim z X(z) = x[0] Tabel 3: Z-transformation egenskaber [Oppenheim, 998, s. 26]. Med Thevenin til venstre og Norton til højre, kan følgende formler anvendes til at bestemme ekvivalenter. ((S) = Short irquit og (O) = Open irquit). v T = v oc, R T = v oc/i sc (3) i N = i sc, R N = v oc/i sc (4) + vt RT i v in i RN v 4.3 Miller-transformation* z Anvendes i forbindelse med en forstærker, der har en impedance over sig, og forstærkningen k. Transformationen er vist til højre. Formlerne der anvendes er: Vin K Vout z K z2 z = k z z 2 = z k (5) hvor z ikke må ændre sig så længe transformationen anvendes. (udledes ved at se på strømme ind, og v 2 /v = k). Dette er specielt handy, hvis man har en kondensator over en forstærker (som i hybrid-π-modellen), hvorved formlerne bliver til c = c( k), c 2 = c( ) c, k >>. (og jo, i hybridπ modellen havner de transformerede kapacitanser p aa hver sin k side af str oemgeneratoren. Her skal man anvende forst aerkningen fra indgangsbenet til udgangsbenet, alts aa uden eksterne kredse p aa.) AAU 2004
20 Side 20 af 28 Emne : 4.4 h-parametre* H-parametre bruges til at beskrive forstærkere og andre kredse (opamps, transistorer etc.). Dette er defineret ud fra figur 5 på side 25 (til højre på figuren). Sammenhængen er ud fra figuren givet ved V = h I + h 2 V 2, I 2 = h 2 I + h 22 V 2 (6) h = V I ŕ, h 2 = I 2 V2 =0 I ŕ, h 2 = V V2 =0 V ŕ, h 22 = I 2 2 I =0 V ŕ (7) 2 I =0 Evalueringsbetingelserne er at (V, V 2) = 0 er spændingskilderne er kortsluttede. Hvis (I, I 2 ) = 0 er strømkilderne en afbrydelse. [Sedra & Smith, 998, side B.]. 4.5 OpAmps, ideelle OPAMPS (operationsforstærkere) er vist på figur 2, og karakteriseret ved følgende: Z2 Uendelig høj indgangsimpedance (dvs, ingen strøm ind i terminalerne på indgangssiden). V V2 V0 Vi Z V0 Virtual short cirquit. Operationsforstærkeren vil gøre alt, for at der er samme potentiale på indgangsbenene. Dvs. at forskellen på benene ideelt set er 0. Uendelig råforstærkning. Dvs. at det eneste der sætter begrænsningen i forstærkningen er forsyningen. Figur 2: OPAMP symbol samt inverterende kobling A = V 0 V i V o = A(V V 2 ) For den inverterende kobling (vist til højre i figuren), kan det vises at A = Z Z Ikke idelle opamps* slew rate, offset voltage, bias-strøm, temperatur-drift, indgangsimpedancer, båndbredde. FET og BJT forskelle. 4.6 KL and KVL Kirchoffs current law (KL) foreskriver at al strøm til et punkt, også må forlade punktet. Dvs. at I in +... I out... = 0. Med dette kan opstilles en række ligninger for en kreds, og disse kan så løses vha. lineær algebra. Kirchoffs voltage law (KVL) foreskriver at summen af spændinger i en lukket kreds, altid skal være 0 (her regnes også med fortegn). På figuren til højre, er der vist et sådant loop. Et loop på denne måde, ville give en ligning: R + R 2 + R 3 R 4 = 0 (idet spændingsfaldet over R 4 er modsat vores regneretning). + R R2 + R Analysemetoder R4 I det følgende afsnit, redegøres for nogen metoder og tricks, til analyse af elektroniske kredsløb. + Elektronik & Elektroteknik
21 4 ELEKTRONIK Side 2 af Linearitets-princippet En lineær funktion er en funktion der opfylder kriteriet f(nx) = n f(x), og komponenter der opfylder dette, anses derfor også for at være lineaære (disse er typisk modstande, kondensatorer og spoler. Men opamps der har en linær forstærkning, er også lineære). Et hypotetisk eksempel på anvendelse af linearitet, er hvis man har en forsynings-spænding, og igennem et net af komponenter, skal ende med et bestemt spændingsfald over en modstand. Man påtrykker så en tilfældig spænding på forsyningen, og regner det hele igennem. Man kan så justere det endelige spændingsfald over modstanden, ved at justere den påtrykte spænding på forsyningen Superposition En kreds med flere forsyninger kan regnes en forsyning ad gangen, og til sidst lægges alle ting sammen, hvilket giver et endeligt billede. Her skal strømforsyninger erstattes af brudte forbindelser, og spændingsforsyninger erstattes af kortslutninger Maske (mesh) analyse Mesh analyse udføres ved at KVL rundt i kredsens masker. Her anvendes strømmen i masken dog til at udtrykke spændingen (i R + i R 2 L di dt = 0 eksempelvis). Med dette opbygges således flere ligninger, der er garanteret ig lineært uafhængige, og derved findes der unikke løsninger ifølge den lineære algebra. i Findes der strømkilder i kredsen, bliver ligningerne noget nemmere at opstille, idet vi udtrykker ukendte maske-strømme som strømkilden, samt en anden strøm (se figur til højre). v R v2 R2 v3 Her ses det at i = i g3, samtidig med at i 3 i 2 = i g2 i 3 = vg3 ig2 + i g2 + i 2. Vi har nu kun en supermaske, som vi løser vha. ligning (vi skal blot i2 huske at regne i3 i g med i strømmene). R3 R (i g + i 2 ) + (R 2 + R 3 )(i g + (i g2 + i 2 )) = v g3 (8) i 2 = v g3 R i g (R 2 + R 3 )(i g + i g2 ) R + R 2 + R 3 (9) ved 3 eller flere ligninger/ubekendte er det en fordel at stille op p aa matriceform og loese med rref(a) ellers cramers regel Punkt (nodal) analyse Man sætter et enkelt punkt til potentialet 0, og beregner alle andre potentialer, eventuelt vha. opstilling af formel til lineær algebra. Se på strømme imellem punkter (idet I R = U). Den totale str oem til punktet skal v aere p aa den ene side af lighedstegnet, imens sp aendinger divideret med modstande skal st aa p aa den anden side. Sp aendingen for punktet selv divideres med den totale impedans for punktet (den impedans som punktet kigger ud i). Opstilles ligninger for samme figur som i mesh-analyse, findes f oelgende: v = v g3 (20) i g2 = v 2 (R + R 2 ) + v R + v 3 (2) R 2 v 3 i g2 = + v 2 (22) R 2 + R 3 R 2 AAU 2004
22 Side 22 af 28 Emne : 4.8 Laplace - transform Nedenfor ses laplace-transfor tabellen. Denne kan ligeledes anvendes til fourier-transformen, ved at indsætte s = jω. Funktioner f(t) F (t). Linearity c f (t) + c 2 f 2 (t) c F (s) + c 2 F 2 (s) d 2. Differentation dt f(t) sf (s) f(0) d 3. n-fold diff dt f(t) sn F (s) + K(many) d 2-fold diff dt f(t) s2 F (s) sf(0) f (0) R 4. Integration t 0 f(τ)dτ F (s)/s 5. Time shift f(t t 0 )u(t t 0 ), t 0 > 0 e sto F (s) 6. Frequency shift e s0t f(t) F (s + s 0 ) 7. t-multiplication tf(t) d ds F (s) 8. n-fold t-multiplic. t n f(t) () n dn ds n F (s) 9. Impulse-response h(t) H(s) 0. Initial rate thm. f(0+) = lim s sf (s). Final value thm. f( ) = lim s 0 sf (s) 2. compound e at f(t) F (s a) Singularity functions f(t) F (s) Unit impulse δ(t) Unit step u(t) /s Unit ramp r(t) = tu(t) /s 2 Unit parabola p(t) = /2t 2 u(t) /s 3 n th integal of impulse δ n (t) /s n Unit doublet δ (t) s n th deriv. of impulse δ n (t) s n Ordinary functions f(t) F (s) onstant /s t t /s 2 Power of t t n /(n )! /s n Exponential e at /(s + a) t-mult. exponential te at /(s + a) 2 repeated t-mult. exp. t n e at /(s + a) n sine sin ωt ω/(s 2 + ω 2 ) cosine cos ωt s/(s 2 + ω 2 ) damped sine e at sin ωt ω/([s + a] 2 + ω 2 ) damped cosine e at sin ωt (s + a)/([s + a] 2 + ω 2 ) t-mult. sine t sin ω 2ωs/(s 2 + ω 2 ) t-mult cosine t cos ωt (s 2 ω 2 )/(s 2 + ω 2 ) ω rectified sine sin ωt s 2 +ω 2 coth πs 2ω 4.9 S domain analysis Lad os med det samme slå fast, at KL og KVL, og dermed nodal- og mesh-analyse stadig gælder. Vi kan så definere impedancen for de forskellige elementer, i stedet for modstand (dette gælder så længe alle Elektronik & Elektroteknik
23 4 ELEKTRONIK Side 23 af 28 initial conditions er sat til 0). V (s) = Z(s)I(s), Z r (s) = R Z L (s) = sl Z c (s) = s Admittans kan også bestemmes, dog ved at invertere ovenstående formler. (23) 4.9. Initial conditions S-domæne analyse, kan også inkludere kondensatorer og spoler, der er opladet fra starten. Her indsættes spændingskilder eller strømkilder for at kompensere for dette. Udtryk er vist i figur i L + i L R sl /s R sl /s Li (0) L Spændingskilder V (0)/s Li (0) L s Strømkilder V (0)/s Figur 3: Initial-conditions spændings og strømkilder Overføringsfunktioner og respons Det er givet at H(s) = Y (s), y(t) = x(t) h(t) Y (s) = H(s) X(s) (24) X(s) Z t h(t) = (f g)(t) = f(t) g(t) = f(τ)g(t τ) dτ (25) 0 hvoraf det ses at en foldning i tidsdomænet bliver til en multiplikation i laplace-domænet, hvor initialconditions er sat til 0. Dette kaldes også forced response (se ellers [Johnson et al., 997, s. 545] og [Kreyzig, 999, s. 279] for mere om foldningsintegraler (rækkefølgen for funktionerne er vigtige!). Formel (25) er også kaldet tidsfoldningsformlen/sætningen, det er denne vi prøver at undgå, ved at anvende laplace/fourier transformer. Denne her holder dog foldningen i tidsdomænet. Husk at multiplicere med heavisides enheds-step (u(t)) når der laves invers laplace-transfor. Dette er dikteret af at systemet er kausalt, hvilket betyder at systemet ikke kan generere signaler ud af sig selv, altså kan der først komme et output til tiden efter 0, hvilket heavisides enhedsstep sørger for. Overføringsfunktionen H(s) er defineret som den laplace-transformerede (eller impedans-udtrykket), uden initial konditions. Enhedsimpulsresponsen h(t) findes ved at lave invers-laplace transformation på H(s). Zero-input y zi (t) responsen er defineret som kredsens respons ved inputs sat til 0, med initial-conditions. Altså beregnes y(t) som den invers-laplace-transformerede af H(s), med initial conditions og ingen inputs. AAU 2004
24 Side 24 af 28 Emne : Zero-state y zs(t) responsen er defineret som kredsens respons overfor inputs, med initial conditions sat til 0 (det samme som foldningen mellem x(t) og h(t)). Heraf er det givet at y(t) = y zi (t) + y zs (t) hvorved det kun er nødvendigt at kende zero-state og zero-input responsen, for at finde den endelige signal-respons. 4.0 Dioder* 4. Middelfrekvens (normale) Transistorer* Liste over sammenhænge ved aktiv operation. B = Base, = ollector, E = Emitter, V be = voltage base-emitter. Man kan få en FET-model, ved at lade r π gå mod uendeligt (afbrydelse). Værdien for I s kan findes i datablade, eller ved at indsætte værdier for et kendt punkt (hvilket også godt kan findes i datablade, det man skal kende er i c og v BE. ş ť i c = I S e v BE /V T, i B = i β = ISβ e v BE /V T, i E = i α = ţ IS α ű e v BE /V T (26) i = αi E i B = ( α)i E = i E β+ i = βi B (27) i E = (β + )i B β = α α α = β β + (28) V T = kt q (29) På figur 4 (venstre og midt) ses kurver for afhængigheder mht. transistorer. i i Saturation Break Down B npn E pnp E B 0.5V 0.7V B r pi g v m pi r 0 v BE v E 0V 0.3V E Figur 4: npn-transistor kurver samt hybrid-π småsignalsmodel Ydermere er vist småsignalsmodellen hybrid-π (Denne gælder også for npn-transistorer, dog er parasit capacitorer ikke indtegnet). Hvor r 0 tager højde for Early effekten (denne kan udelades). Sammenhænge i modellen er givet ved (I Q er strømmen ind i collector, ved arbejdspunktet Q). g m = I Q V T, r π = β g m = β V T I Q, v BE = V rπ, r 0 = V A I Q = h oe h, r µ = F E r µ r π h re (30) hvor V A angiver Early-voltage, der ligger mellem 50V og 00V. Str oemgeneratoren g m v π kan erstattes af en str oemgenerator med parametrene β i b [Sedra & Smith, 998, s. 26]. Elektronik & Elektroteknik
25 4 ELEKTRONIK Side 25 af 28 I [Sedra & Smith, 998, s. 262] er f oelgende fremgangsm aade angivet, til at lave sm aasignalsanalyse med: () Bestem D-operating point. I s aerdeleshed str oemmen I. (2) Udregn v aerdier for sm aasignalsmodell (3) Fjern D-kilder. Sp aendinger er kortslutninger, str oemkilder er afbrydelser. Store kondensatorer bliver til kortslutninger. (4) Erstat BJT/FET med deres sm aasignalsmodeller. (5) Analyser kredsen til oensket data er fundet. 4.. Højfrekvens transistorer* Herunder beskrives Høj-frekvens forhold for transistorer. I den udvidede hybrid-π model (se figur 5) anvendes følgende variabler: r π = h fe g m, r x = h ie r π, β A = h fe (3) r µ = r π h ie, r 0 = h oe, c µ = B0 = g m w t c π (32) h = h ie, h 2 = h fe, h 22 = h oe, h 2 = h re (33) De forskellige h-parametre findes i datablade, sammen med f t = ω t 2π som er unity-gain frekvensen. r my B r pi c pi I h I 2 c my h 2 2V + + r V h22 2 g m v V pi 0 h 2 I E Figur 5: HF hybrid-π transistormodel (venstre) samt diagram for h-parametre (højre) Bestemmelse af højfrekvens knækfrekvens 2 gøres vha. tomgangs-tidskonstant metoden. Her er ω H givet ved ω H = P n i= T, T it = i R i, ω H == 2π f H (34) it Hvor man tager en kondensator ad gangen, og R i er den modstand kondensatoren kigger ind i, samtidig med at andre kondensatorer er erstattet af afbrydelser. Dette gøres for samtlige kondensatorer, og så har man summen. I tabel 4.5 i [Sedra & Smith, 998, s. 327] er angivet sammenh aenge mellem SPIE og normale parametre. Hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) er på 2 Frekvensen hvor forstærkningen (som funktion af frekvensen) har sit 3dB punkt, senere ender dette i unity-gain, hvor forstærkningen er. AAU 2004
(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereSkriftlig prøve i matematik 4
Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 03 080527HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 4. juni 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 17% (Kompleks funktionsteori
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mere1 v out. v in. out 2 = R 2
EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereSignalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereEksamen i Signalbehandling og matematik
Opgave. (%).a. Figur og afbilleder et diskret tid signal [n ] og dets DTFT. [n] bruges som input til et LTI filter med en frekvens amplitude respons som vist på figur. Hvilket af de 4 output signaler (y
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereMATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereOpgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 07
MAT4 for E4+D4/08 H. Ebert MATEMATIK 4 Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 07 Matematik 4 for E4+D4/09 Opgavesæt 07 090519HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 3. juni 2009 kl. 09.00-13.00.
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereOPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereAnalog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %
A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereLineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =
Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mere