Stokastiske processer og køteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stokastiske processer og køteori"

Transkript

1 Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40

2 Info Praktisk information Hjemmeside jm/cources/vs7 Litteratur 1 Andersen, KE (2001). Operationsanalytiske metoder i produktionsog lagerstyring. 2 Kopier og noter. Software 1 R (http://www.r-project.org). 2 Excel. JM (I17) VS7-1. minimodul 2 / 40

3 Info Praktisk information Tentativ kursusform på eftermiddage (tilsvarende på formiddage) : Repetition : Opgavegning : Forelæsning. Eksamen (!) Individuel mundtlig eksamen (karakterer efter binær skala) på baggrund af (skriftligt) miniprojekt. Afleveringsdato:?. december Eksamensdato: 9. januar JM (I17) VS7-1. minimodul 3 / 40

4 Info Dagens program Dagens program 1 Lidt overordnet om køteori og anvendelser. 2 Noget om kursets indhold. 3 Modeller for køsystemer, og hvorfor vi skal se på stokastiske (fremfor deterministiske) af slagsen. 4 Stokastiske processer definition og eksempler. 5 Markovprocesser definition og beregning. JM (I17) VS7-1. minimodul 4 / 40

5 Køteori lidt praktisk motivation Motivation Produktionssystemer. Hvor lang tid tager en ordre? Er der nok maskiner? Bør man ændre prioriteringen på ordrer? Supermarked. Venteliste. Callcenter. Ventetid ved kasselinie? Er der nok kasser åbne? Ventetid på operation? Er der allokeret tilstrækkelige ressourcer til behandlingsformen? Risiko for optaget? Ventetid på service? Skal der bruges flere operatører? Arrest-til-grundlovsforhør. Ventetid fra anholdelse til foretræde for domstol? Bemanding tilstrækkelig? Datakommunikation Sandsynlighed for pakketab? Forsinkelse på pakker? Skal bufferstørrelsen ændres? JM (I17) VS7-1. minimodul 5 / 40

6 Køsystemer Ingredienser Tre hovedbestanddele: Kunde: Kø: Server: Det/den, som afventer service. Mængden af kunder, som afventer service (evt. med et maksimalt antal pladser i køen). Det/den, som udfører service. Generelt ikke kunde/server/kø i sædvanlig fysisk forstand. Målsætning Sikre tilfredsstillende performance ved dimensionering: 1 Teoretisk baseret simulering af køsystem før implementation. 2 Empirisk baseret optimering efter implementation. JM (I17) VS7-1. minimodul 6 / 40

7 Køsystemer Modeldannelse for køsystemer Modellering 1 Definér centrale karakteristika for køsystem. Pas på detaljeringsgrad; modeller kan let bliver uoverskuelige! Hold altid formålet for øje; hvad skal modellen bruges til? 2 Udvikl matematisk formulering. Deterministisk eller stokastisk model? Kan man bruge gængse, velstuderede modeltyper? Afvej nøje modelrealisme op imod formål. Gør ikke tingene unødigt komplicerede, men vær opmærksom på forsimplende antagelser. 3 Bestem performancemål og dimensionering (en del af 1+2). 4 Ideelt: Validér (dele af) modellen mod rigtige data. JM (I17) VS7-1. minimodul 7 / 40

8 Køsystemer Eksempler Eksempler Kasselinie i den lokale kiosk (let eksempel) 1 server (kassen). System blokeret, når kunde ekspederes. Performancemål: F.eks. gennemsnitlig ventetid eller blokadesandsynlighed. Dimensionering: Flere kasselinier? Hurtigere ekspedienter? Call-center (svært eksempel) Mange servere. System blokeret, når alle er optaget. Tekniske overvejelser ang. matematisk model 1 Kunder, der bliver afvist kan ringe igen. 2 Kunder kan blive utålmodige og opgive før service. Performancemål/dimensionering? JM (I17) VS7-1. minimodul 8 / 40

9 Kort om deterministiske produktionssystemer Deterministiske produktionssystemer Antagelser 1 Deterministiske ankomster (x enheder/time). 2 Deterministiske produktionstider. 3 Uendeligt mange køpladser per maskine. 4 Ligevægt ingen ophobning af enheder i system.... kan i så fald benytte fluid modeller Produktionssystem som deterministisk fluid model Produkter strømmer gennem system med fast hastighed. Produktionslinier som rør, hvor Længden er et mål for produktionstiden Tykkelsen er et mål for maksimalt throughput. JM (I17) VS7-1. minimodul 9 / 40

10 Kort om deterministiske produktionssystemer Deterministiske produktionssystemer eksempel Eksempel 40% forarbejdning i areal 2 & 3, 60% i areal 4 & 5. Produktionstider: Maskine Tid (timer/enhed) Hvad er maksimalt throughput λ (enheder/time)? Maskine 1: 0.2λ Maskine 2: λ = 0.24λ Maskine 3: λ = 0.16λ Maskine 4: λ = 0.18λ Maskine 5: λ = 0.30λ Maskine 6: 0.1λ Maskine 5 er flaskehalsen fuld udnyttelse når 0.30λ = 1 λ = 3.33/time. JM (I17) VS7-1. minimodul 10 / 40

11 Kort om deterministiske produktionssystemer Fordele/ulemper ved deterministiske modeller Fordele/ulemper + Let at analysere komplicerede netværk af produktionslinier. + Fordrer kun begrænset kendskab til systemparametre. + Hurtige skøn af performance. - Gennemført determinisme sjældent realistisk. - Ufleksible. Vi skal arbejde med mere generelle stokastiske modeller eksempler på beregninger i det deterministiske setup vil blive givet ifm. opgaveregning. JM (I17) VS7-1. minimodul 11 / 40

12 Stokastiske modeller for køsystemer Stokastiske modeller Køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for ekspedition). Vi vil normalt antage FIFO (first-in-first-out). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (ekspeditionstid per kunde). Kønetværk Flere køsystemer sat sammen. Eks. Patienter på venteliste opereration/reoperation. Produktionssystem med kvalitetskontrol. JM (I17) VS7-1. minimodul 12 / 40

13 Stokastiske modeller for køsystemer Ankomstprocesser Ankomstproces Bank. Kunder til pengeautomat. Hospital. Patienter på venteliste. Produktionssystem. Ordretilgang, råvaretilgang. Arrest-til-grundlovsforhør. Anholdte. Vi skal se på ankomstprocesser, som er fornyelsesprocesser: T n = n U i, U i uafhængige og identisk fordelte, n = 1, 2,... i=1 Yderpunkter i denne klasse: Fuldstændig tilfældige ankomster (Poissonproces). Deterministiske ankomster. JM (I17) VS7-1. minimodul 13 / 40

14 Stokastiske modeller for køsystemer Ekspeditionstidsprocesser Ekspeditionsproces Bank. Tid for transaktion. Hospital. Transport, narkose, operation, opvågning. Produktionssystem. Forarbejdningstid, transport, reparation/omstilling af maskiner, kvalitetskontrol, shipping. Arrest-til-grundlovsforhør. Tid til grundlovsforhør. Yderpunkter: Eksponentialfordelingen (ingen hukommelse). Deterministisk proces (konstant ekspeditionstid). JM (I17) VS7-1. minimodul 14 / 40

15 Vi skal se på... Hovedpunkter Modeller for ankomst- og ekspeditionstidsproces. Simple stokastiske kømodeller som kan analyseres eksakt. Statistiske metoder til empirisk analyse af køsystemer. Performancemål og outputanalyse for simulationer. Køteori for produktionssystemer Realistiske produktionssystemer: brug simulation! Kræver Empiriske metoder til bestemmelse af systemmodel. Kendskab til outputanalyse og performancemål. Hvorfor så vide noget om forsimplede eksakte modeller? Hvad kan man, og hvad kan man ikke regne på? Springbræt til studier af mere avanceret teori. JM (I17) VS7-1. minimodul 15 / 40

16 Stokastiske processer Ω: Udfaldsrum. F: Mængde af delmængder af Ω (hændelser). I praksis er alle A Ω hændelser. P: Sandsynlighedsmål, funktion fra F til [0, 1]. Stokastisk variabel: Funktion X fra Ω til R så {ω : X (ω) x} F for alle x R. Fastlagt ved fordelingsfunktion F X (x) := P(X x), x R. Stokastisk proces: Samling af stok. var. {X (t) : t T }, hvor T [0, ). Fastlagt (i dette kursus) via marginale fordelinger for n N P(X (t 1 ) x 1,..., X (t n ) x n ), (x 1,..., x n ), (t 1,..., t n ) R n. Heuristisk: Stokastisk proces = stokastisk variabel med værdier i klassen af funktioner T R. JM (I17) VS7-1. minimodul 16 / 40

17 Vigtige begreber Stokastisk proces {X (t) : t T }, hvor T [0, ) Indeksmængde: T. Udfald/tilstand: X (ω, t) er udfaldet af X (t) til tid t. Udfaldsfunktion: X (ω, ) er udfaldene for alle tider. Tilstandsrum: Billedmængden for X (, t). Betegnes S for en vilkårlig tid t. JM (I17) VS7-1. minimodul 17 / 40

18 Eksempel random walk For T = {0, 1, 2,...} (diskret tid) og n = 1, 2,..., definér { X (n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X (0) := 0, X (n) := X (n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Position Position Tid JM (I17) VS7-1. minimodul 18 / 40

19 ... og i 2 dimensioner Random walk y x JM (I17) VS7-1. minimodul 19 / 40

20 Eksempel Brownsk bevægelse 1 X (0) = 0; 2 X (t) X (s) N(0, t s), t > s, uafh. af {X (u) : 0 u s}; 3 udfaldsfunktionerne for X er kontinuerte. Patologisk! X intetsteds differentiabel, uendelig længde osv. JM (I17) VS7-1. minimodul 20 / 40

21 Stokastisk proces fra den virkelige verden Ventetid på ekspedition i et callcenter. Matematisk model...? JM (I17) VS7-1. minimodul 21 / 40

22 Vores setup Med mindre andet fremgår beskæftiger vi os med stokastiske processer med endeligt tilstandsrum S = {0, 1,..., n} og kontinuert tid T = [0, ). Eksempel antal kunder i et callcenter efter midnat JM (I17) VS7-1. minimodul 22 / 40

23 Et simpelt køsystem Afvisningssystem uden køplads: 1 server og ingen køplads (eksempelvis 1 badeværelse og ingen køplads). Model: Stokastisk proces {X (t) : t [0, )} hvor X (t) := 1 hvis system optaget til tid t, 0 ellers. Bemærk, X er fastlagt ved ankomst/ekspeditionstidsproces. JM (I17) VS7-1. minimodul 23 / 40

24 Markovprocesser med diskret tilstandsrumn X stokastisk proces på T = [0, ) med tilstandsrum S = {0,..., n} Tidsafhængig overgangssandsynlighed: p ij (s, t) := P(X (t) = j X (s) = i), i, j S, t s 0. Da man altid befinder sig i en tilstand j {0,..., n} gælder n p ij (s, t) = 1. j=0 X kaldes en Markovproces, hvis X har Markovegenskaben: P(X (t) = j X (t 1 ) = x 1,..., X (t m ) = x m, X (s) = i) = p ij (s, t), for alle tider t 1 t m s t samt tilstande i, j S Heuristisk: P(fremtid fortid og nutid) = P(fremtid nutid). JM (I17) VS7-1. minimodul 24 / 40

25 Eksempler på Markovprocesser Random walk X (0) := 0, X (n) := { X (n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X (n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Fornyelsesprocesser T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte. De fleste afledte processer i køsystem med Markov ankomstproces (kølængde, ventetid etc). JM (I17) VS7-1. minimodul 25 / 40

26 Ligevægtssandsynligheder for Markovprocesser Stokastisk proces X er en stationær/homogen Markovproces, hvis 1 X har Markovegenskaben, og 2 p ij (s, t) afhænger kun af t s. Antag stationaritet. Hvis der for alle i, j eksisterer t så p ij (t) > 0 (irreducibilitet) gælder lim p ij(t) = p j [0, 1]. (1) t Højresiden kaldes ligevægtssandsynligheden for tilstand j. Heuristisk: p j er brøkdelen af tid i tilstand j i det lange løb. Kan benyttes til beregning af udnyttelsesgrader, gennemsnitlig ventetid, brøkdel af kunder, som afvises osv. Hvis grænseværdien (1) eksisterer for alle i, j, taler man om et ligevægtssystem eller et ergodisk system. JM (I17) VS7-1. minimodul 26 / 40

27 Eksempel ligevægt for reflekteret random walk JM (I17) VS7-1. minimodul 27 / 40

28 Mellemlandingsformlen Hvordan kommer man fra tilstand i til tid s til tilstand j til tid t? F.eks. ved mellemlanding i tilstand l }{{} i tid s }{{} l tid u j }{{} tid t Loven om total sandsynlighed giver, s u t p ij (s, t) = = n P(X (t) = j X (u) = l, X (s) = i)p(x (u) = l X (s) = i) l=0 n p il (s, u)p lj (u, t) (af Markovegenskaben). l=0 Mellemlandingsformlen/Chapman-Kolmogorov s ligning. JM (I17) VS7-1. minimodul 28 / 40

29 Overgangsintensiteter Antag at 1 p ii (t, t) = 1 for vilkårligt t (dvs. p ij (t, t) = 0 for i j); 2 p ij er differentiabel i andenkoordinaten. Så defineres overgangsintensiteten c ij som c ij (s) := t p ij(s, t). t=s Bemærk n j=0 c ij(s) = 0 (bevarelse af masse) og c ij (s) 0 for i j. Markovprocessen er fastlagt af c ij for alle i j (samt begyndelsesbetingelser). Momentan tilbøjelighed til overgang fra i til j til tid s (i j). Tit er disse c ij (i j) kendte (vi kender ankomst/afgangsrate), og vi ønsker at bestemme overgangs/ligevægtssandsynligheder. JM (I17) VS7-1. minimodul 29 / 40

30 Kolmogorov s fremadgående diff. lign. I Mellemlandingsformel: p ij (s, t) = n l=0 p il(s, u)p lj (u, t). Fremadgående diff. lign.: Differentiér mht. t og lad u t t p ij(s, t) = n p il (s, t)c lj (t), l=0 0 s < t På matrixform: p 00 p 0n p 00 p 0n c 00 c 0n t. =.. p n0 p nn p n0 p nn c n0 c nn eller med matrixnotation, P t (s, t) = P(s, t)c(t). Matrixdifferentialligning: generelt vanskelig at løse analytisk. JM (I17) VS7-1. minimodul 30 / 40

31 Kolmogorov s fremadgående diff. lign. II Antag at X stationær Markovproces (p ij (s, t) afh. kun af t s). Så er overgangsintensiteterne uafhængige af s: t p p ij (s + h s) p ij (s s) ij(s, t) = lim t=s h 0 h p ij (h) p ij (0) = lim = c ij. h 0 h Dvs. C(t) C er en konstant matrix, c ij 0 for i j, mens c ii 0. Fremadgående diff. lign. bliver da: d dt p ij(t) = n p il (t)c lj P (t) = P(t)C. l=0 Kan løses både eksakt og mht. ligevægtsfordelingen. JM (I17) VS7-1. minimodul 31 / 40

32 Hvad betyder konstante overgangsintensiteter? Definér T i := tid i tilstand i (sojourn time ell. opholdstid). Sandsynligheden at blive i tilstand i i lille interval (t, t + h) 1 p ij (h) 1 c ij h = 1 + c ii h. j:j i j:j i Inddel [0, t] i k lige store intervaller. Af Markovegenskaben k 1 P(T i > t) = lim P(T i > t(l + 1)/k T i > tl/k) k l=0 ( k = lim 1 + c ii t/k) = e c ii t. k Dvs. fordelingsfkt. F Ti (t) = 1 e c ii t (eksponentialfordeling). JM (I17) VS7-1. minimodul 32 / 40

33 Udregning af ligevægtsfordeling Lad t. Så fås 0 = n l=0 p lc lj, j = 0,..., n. På vektorform, C p = 0, hvor p = [p 0,..., p n ]. Da n j=0 c ij = 0, har C rang højest n. Bestemmelse af n + 1 ligevægtssandsynligheder? Yderligere betingelse n i=0 p i = 1 (vektorform 1 p = 1). Ligevægtsfordelingen p for en stationær Markovproces med kendt intensitetsmatrix C kan bestemmes ved løsning af ligningssystemet [ ] [ ] 1 1 p =, 0 C hvor p = [p 0,..., p n ] m. p i ligevægtssandsynlighed for tilstand i. JM (I17) VS7-1. minimodul 33 / 40

34 På kogebogsform 1 Lad C være en intensitetsmatrix. 2 Lad A være matricen, som fremkommer ved at udskifte øverste række i C med ettaller. 3 Lad a være vektoren [1, 0,..., 0]. 4 Ligevægtsfordelingen p for Markovkæden med intensitetsmatrix C er da givet ved p = A 1 a. JM (I17) VS7-1. minimodul 34 / 40

35 Eksempel simpelt afvisningssystem I 1 server, 1 køplads. Tilstandsproces X (t) := { 1 hvis system optaget til tid t 0 ellers. Hopdiagram: JM (I17) VS7-1. minimodul 35 / 40

36 Eksempel simpelt afvisningssystem II Intensitet hvormed kunder ankommer: 15/time. c 01 = 15, hvoraf c 00 = 15 af massebevarelse. Intensitet hvormed kunder ekspederes: 10/time. c 10 = 10, hvoraf c 11 = 10 af massebevarelse. Transponeret intensitetsmatrix C = [ 15 ] Fjern øverste række, erstat med [1, 1]. Ligningssystem: [ ] [ ] [ 1 1 p1 1 = p = [0.4, 0.6] p 2 0]. Dvs. system optaget 60% af tiden. JM (I17) VS7-1. minimodul 36 / 40

37 Eksakte (ikke-ligevægt) beregninger I Lineært differentialligningssystem x (t) = Ax(t) for en kontinuert differentiabel vektorfunktion x, en matrix A. Generel løsning x(t) = i α i exp(λ i t)v i, hvor λ i : v i : α i : ite egenværdi for A ite egenvektor for A konstant, fastlægges ud fra begyndelsesbetingelser.. JM (I17) VS7-1. minimodul 37 / 40

38 Eksakte (ikke-ligevægt) beregninger II X stationær Markovproces; fremadg. diff. lign. P (t) = P(t)C. Løs som n + 1 differentialligningssystemer. p i0 (t) p i0 (t) d = C, i = 0,..., n dt. p in (t). p in (t) med begyndelsesbetingelsen P(0) = I. Man kan vise, at p i0 (t) p 0 n. =. + α i,j e λ j t v j, p in (t) p j=1 n hvor α i,j -erne er konstanter bestemt ved begyndelsesbetingelsen P(0) = I, og λ j < 0 er en egenværdi for C med tilhørende egenvektor v j. Heraf: indsvingning mod ligevægt er eksponentiel. JM (I17) VS7-1. minimodul 38 / 40

39 Eksakte beregninger, simpelt afvisningssystem Transponeret intensitetsmatrix C = [ ] Egenværdier 0, 25 med egenvektorer [1, 3/2], [ 1, 1]. Løsning (under begyndelsesbetingelsen) viser sig så at være [ ] [ ] [ p00 (t) p 01 (t) e 25t 0.6e = + 25t ] p 10 (t) p 11 (t) e 25t 0.4e 25t. Ligevægt når e 25t 0 svarende til et kvarters tid... JM (I17) VS7-1. minimodul 39 / 40

40 Opsamling hvad skal I kunne? Teori Redegøre for hvad der forstås ved et køsystem. Definere en stokastisk proces (side 16) og skelne mellem begreberne på side 17. Definere en Markovproces og kende eksempler herpå; vide at Markovprocesser har eksponentialfordelte sojourn times. Definere overgangssandsynligheder, stationaritet, ligevægtssandsynligheder og overgangsintensiteter. Regneteknik Udregne ligevægtsfordelingen for en stationær Markovproces. Udregne overgangssandsynlighederne for en stationær Markovproces. JM (I17) VS7-1. minimodul 40 / 40

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

At bruge sin dyrebare tid på frivilligt arbejde -En analyse af hvem der bruger mest tid på frivilligt arbejde og hvorfor?

At bruge sin dyrebare tid på frivilligt arbejde -En analyse af hvem der bruger mest tid på frivilligt arbejde og hvorfor? At bruge sin dyrebare tid på frivilligt arbejde -En analyse af hvem der bruger mest tid på frivilligt arbejde og hvorfor? Hans-Peter Qvist, Aalborg Universitet SDU, 5. juni, 2014 1 Baggrund Fra den empirisk

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL

Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL Anders Ebert-Petersen Business Advisor Risk Intelligence Agenda 1. Indledning 2. Overordnet information om PROC MODEL 3. Eksempel med anvendelse

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin sommer 15 Institution VUC-vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kofi Mensah 1maC05

Læs mere

Lær med cases. Checkliste til individuel forberedelse

Lær med cases. Checkliste til individuel forberedelse Denne checkliste er tænkt som en guide til studerende som skal i gang med at bruge cases i undervisningen. Den indeholder en oversigt over aktiviteter du med fordel kan benytte under forberedelsen, så

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for matematik C

Undervisningsbeskrivelse for matematik C Termin Termin hvor undervisnings afsluttes: maj-juni skoleåret 12/13 Institution Thisted Gymnasium og HF-kursus Uddannelse STX Fag og niveau Matematik C Lære Mads Lundbak Severinsen Hold 1.d Oversigt over

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1 Indledning Alle projekter har et mål. Hvad enten det drejer sig om et personligt projekt om at holde op med at ryge, projektet med at bygge en bro eller projektet med at arrangere en havefest for hele

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Filosofien og matematikken bag Google

Filosofien og matematikken bag Google 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

REEFTlink Et banebrydende produkt til on-line overvågning af jeres produktionsapparat

REEFTlink Et banebrydende produkt til on-line overvågning af jeres produktionsapparat Rikard Karlsson, produktionschef hos Elektrolux, Ljungby, Sverige: REEFTlink er en komplet, dynamisk og fremtidssikret løsning, der dækker hele vores behov for Lean og Takt-baseret produktionsstyring.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Skive-Viborg Hfe Matematik C Claus Ryberg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

MAKRO 2 DEN BASALE SOLOW-MODEL. Y t = BK α t L 1 α. K t+1 K t = sy t δk t, L 0 givet. L t+1 =(1+n) L t, 2. årsprøve. r t = αb L t.

MAKRO 2 DEN BASALE SOLOW-MODEL. Y t = BK α t L 1 α. K t+1 K t = sy t δk t, L 0 givet. L t+1 =(1+n) L t, 2. årsprøve. r t = αb L t. DEN BASALE SOLOW-MODEL Y t = BK α t L 1 α t MAKRO 2 K t+1 K t = sy t δk t, L t+1 =(1+n) L t, K 0 givet L 0 givet 2. årsprøve Forelæsning 4 Kapitel 3 og 4 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f07/makro

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Løsningen garanterer at finde alle de cookies, som et nationalt tilsyn kan finde. Løsningen er valideret af Audit Bureau of Circulation i England.

Løsningen garanterer at finde alle de cookies, som et nationalt tilsyn kan finde. Løsningen er valideret af Audit Bureau of Circulation i England. Cookievejledningens Tekniske Guide Den tekniske guide beskriver fem skridt til overholdelse af cookiereglerne: 1. Fastlæggelse af webejendom 2. Undersøgelse af om der sættes cookies på hjemmesiden 3. Afgivelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Marie Kruses Skole Stx Matematik B til A Mads Hoy Sørensen 3s og 3b Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Social Engineering og Insidere

Social Engineering og Insidere Social Engineering og Insidere IT-sikkerheds menneskelige side InfinIT/Security - Spot On René Rydhof Hansen Institut for Datalogi, Aalborg Universitet Hvem har adgang? SWDEV Dev HW Hvad er en Insider?

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

trine kolding Få styr på tiden Sådan bliver du mere effektiv

trine kolding Få styr på tiden Sådan bliver du mere effektiv trine kolding Få styr på tiden Sådan bliver du mere effektiv BØRSEN MIKRO kapitel 5 Tidsregistrering En tidsrealist er bevidst om, at ting tager tid, og bruger tidsestimering som et værktøj til skabe en

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere