En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik"

Transkript

1 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Af (f. 1970) er cand.scient i fysik fra Niels Bohr Institutet i Artiklen bygger på hans speciale. I dag arbejder han som softwareudikler på Danmarks Meteorologiske Institut. steffengrondal. dk 1 Introduktion Denne artikel betragter et simpelt hypotetisk mekanisk system: En uendelig lang singende streng, hortil der er fastgjort en eller flere partikler (ds små mekaniske legemer). Dette system udiser mange lighedstræk med den klassiske elektrodynamik; Således kan man beskrie fænomener så som stråling fra en punktformet kilde, strålingsdæmpning, strålingsabsorberende medium, samt reflektion og absorption af stråling, når stråling rammer dette medium. 2 Grundligninger for den singende streng Bølgeligningen for en singende streng er som bekendt[1] giet ed: ψ(x, t) t 2 2 ψ(x, t) x 2 = F (x, t) T Her er ψ bølgefunktionen, der beskrier strengens udsing fra ligeægtsstillingen, x er den rumlige akse, som den hilende streng il ære sammenfaldende med (x tænkes orienteret andret med oksende ærdier 8 (1)

2 Gamma 152 mod højre), t er tiden, er bølgens hastighed, T er spændingen i strengen og F er krafttætheden (kraft pr længdeenhed) hidrørende fra en ydre kraft på strengen. En bølge transporterer energi. Udtrykket for energitransporten findes i de fleste elementære lærebøger[1]: P + (x, t) = P (x, t) = T ψ t Her er P + (x, t) den energi pr tidsenhed, der til tidspunktet t passerer gennem punktet x mod højre. Tilsarende er P (x, t) den energi pr tidsenhed, der til tidspunktet t passerer gennem punktet x mod enstre. 3 Greens funktion løsning Vi il nu søge en generel løsning til bølgeligningen (1). Vi indfører Greens funktionen G(x x 0, t t 0 ) defineret ed ψ x t 2 2 x 2 G(x x 0, t t 0 ) = δ(x x 0 )δ(t t 0 ) (3) Her er δ(x) Diracs deltafunktion, der som bekendt opfylder (2) f(x)δ(x a)dx = f(a) (4) Af (3) følger, at løsningen til bølgeligningen (1) kan skries ψ(x, t) = G(x x 0, t t 0 ) F (x 0, t 0 ) T hor ψ 0 er en løsningen til den homogene bølgeligning dx 0 dt 0 + ψ 0 (x, t) (5) ψ 0 t 2 2 ψ 0 x 2 = 0 (6) der er bestemt af randbetingelserne. I det følgende il i se bort fra bidraget ψ 0, idet det fulde bidrag til bølgefunktionen tænkes at hidrøre fra eksplicitte kilder (giet ed F (x, t)). 9

3 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma Retarderet løsning Greens funktionen er ikke entydig defineret ed (3). I almindelighed benyttes den såkaldte retarderede Greens funktion giet ed: G ret (x x 0, t t 0 ) = 2 θ(t t 0 x x 0 (7) hor θ(x) = 1 his x > 0 0 his x < 0 (8) er trinfunktionen. At (7) er en løsning til (3) ses lettes ed at benytte 1 dθ(x) dx = δ(x) (9) samt at trinfunktionen kan skries som θ(x) = x 2 2. Indsættes (7) i (5) med ψ 0 = 0 fås x ψ(x, t) = t x x 0 2T F (x 0, t 0 ) dt 0 dx 0 (10) 4 Stråling fra punktformet kilde En punktformet kilde i x = 0 gier anledning til følgende kraft pr længdeenhed: F (x, t) = f(t) δ(x) (11) hor f(t) har dimension af kraft. Løsningen til bølgeligningen (10) kan nu skries t x ψ(x, t) = 2T f(t 0) dt 0 (12) Man bemærker ikke oerraskende at den punktformede kilde il gie en bølge, der er symmetrisk om x = 0. Man kan lidt malende sige at den punktformede kilde stråler ud fra x = 0. 1 Sammenhængen mellem δ-funktionen og trinfunktionen, ses let ed at foretage partiel integration i dθ(x a) g(x) dx dx og sammenholde resultatet med (4) 10

4 Gamma Partikel fastgjort til strengen Som specialtilfælde for en punktformet kilde il i betragte en partikel, der er fastgjort til strengen i punktet x = 0. Partiklen kan kun beæge sig i samme retning som strengen, y, og der gælder derfor for partiklens position: y(t) = ψ(x = 0, t) (13) Af (12) følger da og dermed dy dt = 2T f(t) (14) ψ(x, t) = y(t x ) (15) Denne simple sammenhæng kan synes noget oerraskende, men beror på tre igtige antagelser: 1. Der er intet begyndelsesfelt (ψ 0 = 0). 2. Det er kun partiklen i x = 0 der bidrager til kraften pr længdeenhed (F (x, t)), jænfør (11). 3. Strengen er uendelig lang. Slutteligt bemærkes, at f(t) simpelthen blot er den kraft, som partiklen påirker strengen med. 5 Udstrålet effekt fra partikel Vi il nu benytte (2) til at studere hor meget energi, der udsendes fra partiklen på strengen (- husk på, at energien kun stammer fra partiklen, da den er den eneste kilde til bølger). Først betragtes et punkt x = r > 0. Den energi, der pr tidsenhed strømmer gennem dette punkt mod højre, er giet ed P + (x = r, t) = T dy dτ t r 1 dy dτ t r = 1 2 2T f(t r )2 (16) 11

5 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Et tilsarende resultat fås ed at betragte energistrømmen mod enstre gennem punktet x = r < 0 og således blier den samlede energi, der pr tidsenhed strømmer æk fra partiklen gennem kugleskallen med radius r, P (r, t) = P (x = r, t) + P + (x = r, t) = 2T f(t r )2 (17) Man ser at effekten afhænger af kraften til t r udstrålede effekt for partiklen er derfor og den momentant P (t) = 2T f(t)2 = 2T ( dy )2 dt (18) (hilket naturligis også let indses ed blot at tage grænsen r 0 i (17)). I udledningen af (18) er benyttet (14). Den udstrålede effekt er giet entydigt ed partiklens hastighed. 6 Strålingsdæmpning Oenstående resultat (18) fortæller, at en partikel il miste energi, når den genererer bølger; et ikke særligt oerraskende resultat. Men his man spørger til dynamikken for partiklen er der en interessant konsekens. Lad os forestille os, at partiklen er under påirkning af en ydre konserati kraft, for eksempel en harmonisk kraft (partiklen er eentuelt fastgjort til en fjeder og til strengen samtidig). Beægelsesligningen kunne da se ud som m d2 y dt = dv (19) 2 dy hor m er partiklens masse og V (y) er potentialet for det ydre kraftfelt (fjederen i eksemplet). Men ifølge (19) il den mekaniske energi ære bearet under partiklens beægelse og dette stemmer ikke med, at partiklen il miste energi, når den skaber en bølge. For at redde energibearelse adderes derfor en dæmpende kraft g(t) til beægelsesligningen: 12 m d2 y dt 2 = dv dy + g(t) (20)

6 Gamma 152 Multipliceres denne ligning med dy dt tidsenhed er giet ed P (t) = d dt 1 2 m ( dy dt )2 fås, at tabet af mekanisk energi pr + V (y) = g(t) dy dt (21) Sammenholdes med (18), ses at energibearelse kun kan ære opfyldt dersom g(t) = 2T dy = f(t) (22) dt Dette er et yderst tilfredsstillende resultat Den indførte dæmpende kraft g(t) kan gøre rede for energiregnskabet som ønsket. Ligning (22) kan let tolkes ud fra loen om aktion og reaktion (Newtons 3. lo): His partiklen påirker strengen med en kraft f(t) il strengen irke tilbage på partiklen med en lige så stor men modsat rettet kraft. Dæmpningskraften er således blot reaktionskraften fra strengen. 7 Strålingsabsorberende medium Det er muligt at indføre et strålingsabsorberende medium, altså et medium, der il absorbere energien i bølgen. Idéen er at betragte en større samling af partikler, der alle er fastgjort til strengen og placeret jænt og tæt. Her partikel mærker en dæmpende kraft (udoer reaktionen fra strengen) og resultatet er, at bølger blier absorberet i dette medium, hilket ises ed en eksplicit beregning. Vi il i dette afsnit ikke benytte Greens funktion løsninger til bølge ligningen, men kun sele bølgeligningen (1), dynamikken for en partikel giet ed beægel-sesligningen (20) og at partiklerne er fastgjort til strengen (13). Betragt først igen partiklen, der er fastgjort til strengen i x = 0. Vi betragter specialtilfældet hor denne udoer reaktionkraften fra strengen ( f(t)) kun mærker en harmonisk kraft mω 2 0y (sarende til den 13

7 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 potentielle energi V (y) = 1 2 mω2 0 y2 ) og en dæmpende kraft, mγ dy dt. Beægelsesligningen (20) kan nu skries m d2 y dt = dy 2 mω2 0y mγ dt f(t) (23) Ligning (23) kan løses formelt ed at skrie y(t) og f(t) på Fourierform Indsat i (23) fås y(t) = f(t) = ỹ(ω)e iωt dω (24) f(ω)e iωt dω (25) f(ω) = m ( ω 2 ω iωγ) ỹ(ω) (26) Udnyttes yderligere, at partiklen er fastgjort til strengen (13) og skries bølge-funktionen på Fourierform fås ψ(x, t) = ψ(x, ω)e iωt dω (27) f(ω) = m ( ω 2 ω iωγ ) ψ(x = 0, ω) (28) Lad os nu forestille os, at en række identiske partikler, alle under påirkning af en harmonisk kraft mω0y 2 og en dæmpningkraft mγ dy dt, er fastgjort til strengen i området x > 0 og el at mærke jænt fordelt med tætheden N. Krafttætheden F (x, t) er i princippet en sum oer de enkelte partiklers kraft på strengen og derfor udpræget diskontinuert (på grund af delta-funktionen fra her partikel). Men i ønsker ikke at beregne bølgen med mikroskopisk nøjagtighed så i midler ud hilket gier F (x, t) = Nm ( ω 2 ω iωγ) ψ(x, ω)e iωt dω, x > 0 (29) 7.1 Reflektion og transmission af stråling gennem det absorberende medium Som et konkret eksempel på det absorberende mediums egenskaber, il i bereg-ne løsningen til bølgeligningen (1) i tilfældet hor mediet rammes af en simpel planbølge. 14

8 Gamma 152 Udenfor mediet (x < 0) gælder den homogene bølgeligning, (6). Vi il antage, at bølgen består af en simpel planbølge, der beæger sig ind mod det strålingsabsorberende medium, samt en reflekteret bølge ψ(x, t) = ψ I (x, t) + ψ R (x, t), x < 0 (30) Her er ψ I (x, t) den plane bølge, der rammer det strålingsabsorberende medium og derfor udbreder sig mod højre ψ I (x, t) = A sin (ω I (t x ) ) = A(ω)e iω(t x ) dω (31) hor A(ω) = A 2i (δ(ω + ω I) δ(ω ω I )) (32) Den reflekterede bølge ψ R (x, t) må udbrede sig mod enstre ψ R (x, t) = B(ω)e iω(t+ x ) dω (33) I det absorberende medium (x > 0) gælder den inhomogene bølgeligning (1), med F (x, t) giet ed (29). Den inhomogene bølgeligning kan derfor skries 2 ψ(x, ω) x 2 = ω2 2 (η(ω) + iκ(ω))2 ψ(x, ω) (34) hor i benytter den Fouriertransformerede bølgefunktion ψ(x, ω) jænfør (27) og har indført det komplekse brydningsindeks η(ω) + iκ(ω) ed (η(ω) + iκ(ω)) 2 = 1 2 ω 2 N T m ( ω 2 0 ω2 iγω ) (35) Af (35) følger: η(ω) = η( ω) > 0 κ(ω) = κ( ω) > 0 for ω > 0 η(ω) = 1 for N = 0 κ(ω) = 0 for N = 0 κ(ω) = 0 for γ = 0 η(ω) = 1 for γ = 0 og ω = ω 0 (36) 15

9 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Den generelle løsning til (34) er ψ(x, ω) = C(ω)e iω(η(ω)+iκ(ω)) x + D(ω)e iω(η(ω)+iκ(ω)) x (37) Her il leddet proportionalt med C(ω) sare til en bølge, der udbreder sig mod højre, mens leddet proportionalt med D(ω) sarer til en bølge, der udbreder sig mod enstre, jænfør (27). Vi antager, at der ikke er noget bidrag fra bølgen, der udbreder sig mod enstre og sætter derfor D(ω) = 0. Den fulde løsning til bølgeligningen fremkommer nu ed at forlange at bølge-funktionen og dens afledede med hensyn til x er kontinuert oeralt. Betragtes specielt punktet x = 0 (grænsen mellem medium og akuum ) fås A(ω) + B(ω) = C(ω) (38) og iω A(ω) iω B(ω) = iω (η(ω) + iκ(ω)) C(ω) (39) Disse to ligninger løses let med resultatet: B(ω) = 1 (η(ω) + iκ(ω)) A(ω) (40) 1 + (η(ω) + iκ(ω)) 2 C(ω) = A(ω) (41) 1 + (η(ω) + iκ(ω)) Indsættes heri (32) og indsættes dette i (27) fås ψ R (x, t) = ψ(x, t) = 1 η(ω) iκ(ω) ia 1 + η(ω) + iκ(ω) 2 e iω(t+ x ) (42) (δ(ω ω I ) δ(ω + ω I )) dω ia 1 + η(ω) + iκ(ω) e iω(t (η(ω)+iκ(ω)) x ) (43) (δ(ω ω I ) δ(ω + ω I )) dω, x > 0 der let integreres og efter længere men triielle beregninger gier ψ R (x, t) = 1 η(ω I) 2 κ(ω I ) 2 (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A sin (ω I (t + x ) ) 2κ(ω I ) + (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A cos (ω I (t + x ) ) 16 (44)

10 Gamma 152 og 2 (1 + η(ω I )) ψ(x, t) = (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A sin 2κ(ω I ) + (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A cos (ω I (t η(ω I ) x ) ) e ω Iκ(ω I ) x (ω I (t η(ω I ) x ) ) e ω Iκ(ω I ) x, x > 0 (45) hor i har brugt de to første ligninger i (36). Om de to løsninger (44) og (45) bemærkes Begge løsninger er reelle (som forentet) Frekensen af den reflekterede bølge er den samme som for den indfaldende bølge, ψ I (x, t), hilket også er som forentet. η(ω I ). Den effektie hastighed i det strålingsabsorberende medium er Med andre ord bestemmes hastigheden af den reelle del af brydningsindekset, η(ω I ). Den imaginære del af brydningsindekset κ(ω I ) medfører, at stråling absorberes i mediet, jænfør leddet e ω Iκ(ω I ) x i (45). Man kan let ln 2 beregne haleringstykkelsen til ω I κ(ω I ). I tilfældet N = 0 (intet absorberende medium) reduceres (44) og (45) til ψ R (x, t) = 0 henholdsis ψ(x, t) = ψ I (x, t) for x > 0, jænfør ligning 3 og 4 i (36). Den fulde løsning er således blot en planbølge, der udbreder sig mod oksende ærdier for x. Igen helt som forentet. His der ikke er nogen dæmpende kraft i mediet (altså his γ = 0) og den indfaldende bølge ψ I justeres så ω I = ω 0, følger af ligning 5 og 6 i (36), en løsning, der er identisk med løsningen i tilfældet N = 0. Med andre ord il den indfaldende bølge i dette tilfælde penetrere ganske uhindret gennem mediet. Dette er en speciel form for resonans med det mediet. I grænsen hor mediet er uendeligt tæt og/eller tungt (Nm ) il i hae η og κ (jf (35)). I denne grænse reduceres (44) og (45) til ψ R (x, t) = A sin ( ω I (t + x )) henholdsis 17

11 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 ψ(x, t) = 0. Vi har med andre ord - ikke oerraskende - fuldstændig reflektion i dette tilfælde. 8 Analogi til elektrodynamik Den her beskrene model er som sagt på mange måder analog med den klassiske elektrodynamik. Både had angår resultater og ræssonementer. En fuldstændig gennemgang af dette il føre for idt her, så derfor blot nogle kommentarer: Den æsentligeste forskel er, at elektrodynamikken udspiller sig i det tre-dimensionale rum. Dette gier ekstra frihedsgrader og dermed ekstra kompleksitet. For eksempel il man i bølgeligningen skulle benytte d Alembert operatoren, = 2 x y z 2 for 2 x 2. i stedet I stedet for et skalarfelt ψ har man i elektrodynamikken to ektorfelter (den elektriske og det magnetiske feltstyrke). Igen noget der forøger kompleksiteten. Man kan løse den inhomogene bølgeligning med en Greens funktion, men denne il nu afhænge af alle tre rum-koordinater. Således er den retarderede Greens funktion G ret (x x 0, y y 0, z z 0, t t 0 ) = δ(t 0 t r r 0 c ) 4π r r 0 (46) Løsningen for en enkelt partikel er elkendt som Liénard-Wieckerts løsnin-gen (se for eksempel [2]). Igen er felterne beskreet entydigt ed partiklens beægelse, men med en kompliceret afhængighed af partiklens position, hastighed og acceleration. Den udstrålede effekt beregnes ed hjælp af Poynting ektoren, men da feltet (Liénard-Wieckert løsningen) er ret kompliceret beregnes normalt den energi, der strømmer ud gennem en stor kugleskal om partiklen. Fordelen er, at man så kan nøjes med at medtage de bidrag til felterne, som aftager sagest med afstanden r (som 1 r ). 18

12 Gamma 152 Resultatet (kendt som Larmors teorem) gier den energi der stråles uendelig langt æk P (t) = 2 q 3 4πε 0 d2 r dt d2 r 2 dt 2 (47) Sammenlignes med (18) ses analogien tydeligt: Hor i for strengen hade, at den udstrålede effekt ar proportional med kadratet på partiklens hastighed, blier den i elektrodynamikken proportional med kadratet på partiklens acceleration. Dette resultat gælder dog kun i den ikke-relatiistiske grænse. Strålingsdæmpningen kan beregnes fuldstændig analogt med beregningerne i afsnit 6. His man indskrænker tilfældet til en ikkerelatiistisk kasiharmonisk beægelse fås, at strålingsdæmpningen er proportional med den tidsafledede acceleration. I modsætning til strengtilfældet er det ikke helt let at finde den fysiske årsag til dæmpningskraften. Desuden gier det problemer at hae en dæmpningskraft, der afhænger af den tidsafledede af accelerationen. (Se [3] for en dybtgående diskussion af disse emner.) I elektrodynamikken er det muligt at indføre et dipolfelt, der er karakteriseret ed en indre harmonisk og dæmpende kraft på dipolen. Et sådan dipolfelt il irke som et absorberende medium (se for eksempel [4]) og en analyse iser, at det elektriske felt i dette medium adlyder en ligning analog med (34), og altså med et kompleks brydningsindeks. Endelig kan man let beregne reflektion og transmission af planbølget elektromagnetisk stråling, der falder inkelret ind på det absorberende dipol medium. Resultater er ikke oerraskende meget lignende (44) og (45). Dog haes ikke en resonans i tilfældet ω I = ω 0 (men en diergens). 19

13 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Litteratur [1] B. Elbek: Bølger, Niels Bohr Instututtet (1994) [2] L.D. Landau & E.M. Lifshitz: The Classical Theory of Fields, 4 ed, Pergamon (1975) [3] F. Rohrlich: Classical Charged Particles, World Scientific Publishing Company, 3 edition (2007) [4] R. Becker: Electromagnetic Fields and interaction Vol 1 and 2, Doer (1982) 20

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Introduktion til den specielle relativitetsteori

Introduktion til den specielle relativitetsteori Introduktion til den specielle relativitetsteori Mogens Dam Niels Bohr Institutet 18. september 2007 7. udgave Denne tekst søger for at dokumentet printer som tiltænkt Forord Denne indføring i den specielle

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Introduktion til teknikken bag MR-skanning

Introduktion til teknikken bag MR-skanning Introduktion til teknikken bag MR-skanning Lars G. Hanson, larsh@drcmr.dk MR-afdelingen, Hvidovre Hospital, DRCMR For seneste dokumentversion, se http://www.drcmr.dk/ English version: An introduction to

Læs mere

EKSPERIMENTELLE BEVISER

EKSPERIMENTELLE BEVISER kapitel 4 EKSPERIMENTELLE BEVISER Der er et væld af, hvad man kunne kalde eksperimentelle beviser for, at relativitetsteorien er korrekt. Når jeg skriver beviser i anførelsestegn, er det i tråd med den

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen

Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen Technicolor ved LHC Af er ph.d.-studerende ved Niels Bohr Institutet og High Energy Physics Center, Syddansk Universitet. E-mail:toudal@ nbi. dk Resumé I denne artikel vil jeg beskrive Technicolor som

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

DI ANALYSE. Modernisering af den offentlige sektor

DI ANALYSE. Modernisering af den offentlige sektor DI ANALYSE Modernisering af den offentlige sektor Status og potentiale 2014 Modernisering af den offentlige sektor Status og potentiale 2014 Udgiet af DI Redaktion: Simon Sami Dalsø Tryk: Kailow Graphic

Læs mere

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid Figur fra Dansen på deadline side 52 slut Afviklet arbejde halvdelen Udnyttet tid om prokrastineringsformlen bliver det forhåbentlig lettere for dig at undersøge, hvad det er, der skaber problemer, når

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

En enkel eller mere kompliceret forklaring?

En enkel eller mere kompliceret forklaring? Palle Svensson En enkel eller mere kompliceret forklaring? politica, 45. årg. nr. 1 2013, 28-43 Vi har her at gøre med et meget sobert og solidt arbejde. Det er rigtig flot, at Green-Pedersen på få år

Læs mere

Statistik. Erik Vestergaard

Statistik. Erik Vestergaard Statistik Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 1. Grupperede observationer I statistik beskæftiger man sig med indsamling, bearbejdelse og

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene?

Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene? Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene? Jan Rose Skaksen, Økonomisk Institut, CBS Jens Sand Kirk, DREAM Peter Stephensen, DREAM 1. Introduktion Danmark har

Læs mere

DE MENTALE LOVE MÅDEN SINDET FUNGERER PÅ

DE MENTALE LOVE MÅDEN SINDET FUNGERER PÅ 1 DE MENTALE LOVE MÅDEN SINDET FUNGERER PÅ af Barbara Berger (Copyright Barbara Berger 2000/2009) 2 Indhold Introduktion 3 De Mentale Love / Måden sindet fungerer på - Loven om at tanker opstår 4 - Loven

Læs mere

Lederen gør en forskel. Rapport fra projekt ledelse, faglighed, pædagogiske kvalitet

Lederen gør en forskel. Rapport fra projekt ledelse, faglighed, pædagogiske kvalitet Lederen gør en forskel Rapport fra projekt ledelse, faglighed, pædagogiske kvalitet UdviklingsForum november 2009 LEDEREN GØR EN FORSKEL Rapport fra en undersøgelse af ledelse af dagtilbud i Århus Kommune

Læs mere

Om akustik. Gode toner i arkitekturen

Om akustik. Gode toner i arkitekturen Om akustik Gode toner i arkitekturen > Kapitel 1 > Grundlæggende akustiske begreber Det ombyggede kraftvarmeværk på havnen i Århus huser i dag Filmbyen, hvor akustikken er reguleret med lydabsorberende

Læs mere