En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik

Transkript

1 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Af (f. 1970) er cand.scient i fysik fra Niels Bohr Institutet i Artiklen bygger på hans speciale. I dag arbejder han som softwareudikler på Danmarks Meteorologiske Institut. post@ steffengrondal. dk 1 Introduktion Denne artikel betragter et simpelt hypotetisk mekanisk system: En uendelig lang singende streng, hortil der er fastgjort en eller flere partikler (ds små mekaniske legemer). Dette system udiser mange lighedstræk med den klassiske elektrodynamik; Således kan man beskrie fænomener så som stråling fra en punktformet kilde, strålingsdæmpning, strålingsabsorberende medium, samt reflektion og absorption af stråling, når stråling rammer dette medium. 2 Grundligninger for den singende streng Bølgeligningen for en singende streng er som bekendt[1] giet ed: ψ(x, t) t 2 2 ψ(x, t) x 2 = F (x, t) T Her er ψ bølgefunktionen, der beskrier strengens udsing fra ligeægtsstillingen, x er den rumlige akse, som den hilende streng il ære sammenfaldende med (x tænkes orienteret andret med oksende ærdier 8 (1)

2 Gamma 152 mod højre), t er tiden, er bølgens hastighed, T er spændingen i strengen og F er krafttætheden (kraft pr længdeenhed) hidrørende fra en ydre kraft på strengen. En bølge transporterer energi. Udtrykket for energitransporten findes i de fleste elementære lærebøger[1]: P + (x, t) = P (x, t) = T ψ t Her er P + (x, t) den energi pr tidsenhed, der til tidspunktet t passerer gennem punktet x mod højre. Tilsarende er P (x, t) den energi pr tidsenhed, der til tidspunktet t passerer gennem punktet x mod enstre. 3 Greens funktion løsning Vi il nu søge en generel løsning til bølgeligningen (1). Vi indfører Greens funktionen G(x x 0, t t 0 ) defineret ed ψ x t 2 2 x 2 G(x x 0, t t 0 ) = δ(x x 0 )δ(t t 0 ) (3) Her er δ(x) Diracs deltafunktion, der som bekendt opfylder (2) f(x)δ(x a)dx = f(a) (4) Af (3) følger, at løsningen til bølgeligningen (1) kan skries ψ(x, t) = G(x x 0, t t 0 ) F (x 0, t 0 ) T hor ψ 0 er en løsningen til den homogene bølgeligning dx 0 dt 0 + ψ 0 (x, t) (5) ψ 0 t 2 2 ψ 0 x 2 = 0 (6) der er bestemt af randbetingelserne. I det følgende il i se bort fra bidraget ψ 0, idet det fulde bidrag til bølgefunktionen tænkes at hidrøre fra eksplicitte kilder (giet ed F (x, t)). 9

3 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma Retarderet løsning Greens funktionen er ikke entydig defineret ed (3). I almindelighed benyttes den såkaldte retarderede Greens funktion giet ed: G ret (x x 0, t t 0 ) = 2 θ(t t 0 x x 0 (7) hor θ(x) = 1 his x > 0 0 his x < 0 (8) er trinfunktionen. At (7) er en løsning til (3) ses lettes ed at benytte 1 dθ(x) dx = δ(x) (9) samt at trinfunktionen kan skries som θ(x) = x 2 2. Indsættes (7) i (5) med ψ 0 = 0 fås x ψ(x, t) = t x x 0 2T F (x 0, t 0 ) dt 0 dx 0 (10) 4 Stråling fra punktformet kilde En punktformet kilde i x = 0 gier anledning til følgende kraft pr længdeenhed: F (x, t) = f(t) δ(x) (11) hor f(t) har dimension af kraft. Løsningen til bølgeligningen (10) kan nu skries t x ψ(x, t) = 2T f(t 0) dt 0 (12) Man bemærker ikke oerraskende at den punktformede kilde il gie en bølge, der er symmetrisk om x = 0. Man kan lidt malende sige at den punktformede kilde stråler ud fra x = 0. 1 Sammenhængen mellem δ-funktionen og trinfunktionen, ses let ed at foretage partiel integration i dθ(x a) g(x) dx dx og sammenholde resultatet med (4) 10

4 Gamma Partikel fastgjort til strengen Som specialtilfælde for en punktformet kilde il i betragte en partikel, der er fastgjort til strengen i punktet x = 0. Partiklen kan kun beæge sig i samme retning som strengen, y, og der gælder derfor for partiklens position: y(t) = ψ(x = 0, t) (13) Af (12) følger da og dermed dy dt = 2T f(t) (14) ψ(x, t) = y(t x ) (15) Denne simple sammenhæng kan synes noget oerraskende, men beror på tre igtige antagelser: 1. Der er intet begyndelsesfelt (ψ 0 = 0). 2. Det er kun partiklen i x = 0 der bidrager til kraften pr længdeenhed (F (x, t)), jænfør (11). 3. Strengen er uendelig lang. Slutteligt bemærkes, at f(t) simpelthen blot er den kraft, som partiklen påirker strengen med. 5 Udstrålet effekt fra partikel Vi il nu benytte (2) til at studere hor meget energi, der udsendes fra partiklen på strengen (- husk på, at energien kun stammer fra partiklen, da den er den eneste kilde til bølger). Først betragtes et punkt x = r > 0. Den energi, der pr tidsenhed strømmer gennem dette punkt mod højre, er giet ed P + (x = r, t) = T dy dτ t r 1 dy dτ t r = 1 2 2T f(t r )2 (16) 11

5 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Et tilsarende resultat fås ed at betragte energistrømmen mod enstre gennem punktet x = r < 0 og således blier den samlede energi, der pr tidsenhed strømmer æk fra partiklen gennem kugleskallen med radius r, P (r, t) = P (x = r, t) + P + (x = r, t) = 2T f(t r )2 (17) Man ser at effekten afhænger af kraften til t r udstrålede effekt for partiklen er derfor og den momentant P (t) = 2T f(t)2 = 2T ( dy )2 dt (18) (hilket naturligis også let indses ed blot at tage grænsen r 0 i (17)). I udledningen af (18) er benyttet (14). Den udstrålede effekt er giet entydigt ed partiklens hastighed. 6 Strålingsdæmpning Oenstående resultat (18) fortæller, at en partikel il miste energi, når den genererer bølger; et ikke særligt oerraskende resultat. Men his man spørger til dynamikken for partiklen er der en interessant konsekens. Lad os forestille os, at partiklen er under påirkning af en ydre konserati kraft, for eksempel en harmonisk kraft (partiklen er eentuelt fastgjort til en fjeder og til strengen samtidig). Beægelsesligningen kunne da se ud som m d2 y dt = dv (19) 2 dy hor m er partiklens masse og V (y) er potentialet for det ydre kraftfelt (fjederen i eksemplet). Men ifølge (19) il den mekaniske energi ære bearet under partiklens beægelse og dette stemmer ikke med, at partiklen il miste energi, når den skaber en bølge. For at redde energibearelse adderes derfor en dæmpende kraft g(t) til beægelsesligningen: 12 m d2 y dt 2 = dv dy + g(t) (20)

6 Gamma 152 Multipliceres denne ligning med dy dt tidsenhed er giet ed P (t) = d dt 1 2 m ( dy dt )2 fås, at tabet af mekanisk energi pr + V (y) = g(t) dy dt (21) Sammenholdes med (18), ses at energibearelse kun kan ære opfyldt dersom g(t) = 2T dy = f(t) (22) dt Dette er et yderst tilfredsstillende resultat Den indførte dæmpende kraft g(t) kan gøre rede for energiregnskabet som ønsket. Ligning (22) kan let tolkes ud fra loen om aktion og reaktion (Newtons 3. lo): His partiklen påirker strengen med en kraft f(t) il strengen irke tilbage på partiklen med en lige så stor men modsat rettet kraft. Dæmpningskraften er således blot reaktionskraften fra strengen. 7 Strålingsabsorberende medium Det er muligt at indføre et strålingsabsorberende medium, altså et medium, der il absorbere energien i bølgen. Idéen er at betragte en større samling af partikler, der alle er fastgjort til strengen og placeret jænt og tæt. Her partikel mærker en dæmpende kraft (udoer reaktionen fra strengen) og resultatet er, at bølger blier absorberet i dette medium, hilket ises ed en eksplicit beregning. Vi il i dette afsnit ikke benytte Greens funktion løsninger til bølge ligningen, men kun sele bølgeligningen (1), dynamikken for en partikel giet ed beægel-sesligningen (20) og at partiklerne er fastgjort til strengen (13). Betragt først igen partiklen, der er fastgjort til strengen i x = 0. Vi betragter specialtilfældet hor denne udoer reaktionkraften fra strengen ( f(t)) kun mærker en harmonisk kraft mω 2 0y (sarende til den 13

7 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 potentielle energi V (y) = 1 2 mω2 0 y2 ) og en dæmpende kraft, mγ dy dt. Beægelsesligningen (20) kan nu skries m d2 y dt = dy 2 mω2 0y mγ dt f(t) (23) Ligning (23) kan løses formelt ed at skrie y(t) og f(t) på Fourierform Indsat i (23) fås y(t) = f(t) = ỹ(ω)e iωt dω (24) f(ω)e iωt dω (25) f(ω) = m ( ω 2 ω iωγ) ỹ(ω) (26) Udnyttes yderligere, at partiklen er fastgjort til strengen (13) og skries bølge-funktionen på Fourierform fås ψ(x, t) = ψ(x, ω)e iωt dω (27) f(ω) = m ( ω 2 ω iωγ ) ψ(x = 0, ω) (28) Lad os nu forestille os, at en række identiske partikler, alle under påirkning af en harmonisk kraft mω0y 2 og en dæmpningkraft mγ dy dt, er fastgjort til strengen i området x > 0 og el at mærke jænt fordelt med tætheden N. Krafttætheden F (x, t) er i princippet en sum oer de enkelte partiklers kraft på strengen og derfor udpræget diskontinuert (på grund af delta-funktionen fra her partikel). Men i ønsker ikke at beregne bølgen med mikroskopisk nøjagtighed så i midler ud hilket gier F (x, t) = Nm ( ω 2 ω iωγ) ψ(x, ω)e iωt dω, x > 0 (29) 7.1 Reflektion og transmission af stråling gennem det absorberende medium Som et konkret eksempel på det absorberende mediums egenskaber, il i bereg-ne løsningen til bølgeligningen (1) i tilfældet hor mediet rammes af en simpel planbølge. 14

8 Gamma 152 Udenfor mediet (x < 0) gælder den homogene bølgeligning, (6). Vi il antage, at bølgen består af en simpel planbølge, der beæger sig ind mod det strålingsabsorberende medium, samt en reflekteret bølge ψ(x, t) = ψ I (x, t) + ψ R (x, t), x < 0 (30) Her er ψ I (x, t) den plane bølge, der rammer det strålingsabsorberende medium og derfor udbreder sig mod højre ψ I (x, t) = A sin (ω I (t x ) ) = A(ω)e iω(t x ) dω (31) hor A(ω) = A 2i (δ(ω + ω I) δ(ω ω I )) (32) Den reflekterede bølge ψ R (x, t) må udbrede sig mod enstre ψ R (x, t) = B(ω)e iω(t+ x ) dω (33) I det absorberende medium (x > 0) gælder den inhomogene bølgeligning (1), med F (x, t) giet ed (29). Den inhomogene bølgeligning kan derfor skries 2 ψ(x, ω) x 2 = ω2 2 (η(ω) + iκ(ω))2 ψ(x, ω) (34) hor i benytter den Fouriertransformerede bølgefunktion ψ(x, ω) jænfør (27) og har indført det komplekse brydningsindeks η(ω) + iκ(ω) ed (η(ω) + iκ(ω)) 2 = 1 2 ω 2 N T m ( ω 2 0 ω2 iγω ) (35) Af (35) følger: η(ω) = η( ω) > 0 κ(ω) = κ( ω) > 0 for ω > 0 η(ω) = 1 for N = 0 κ(ω) = 0 for N = 0 κ(ω) = 0 for γ = 0 η(ω) = 1 for γ = 0 og ω = ω 0 (36) 15

9 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Den generelle løsning til (34) er ψ(x, ω) = C(ω)e iω(η(ω)+iκ(ω)) x + D(ω)e iω(η(ω)+iκ(ω)) x (37) Her il leddet proportionalt med C(ω) sare til en bølge, der udbreder sig mod højre, mens leddet proportionalt med D(ω) sarer til en bølge, der udbreder sig mod enstre, jænfør (27). Vi antager, at der ikke er noget bidrag fra bølgen, der udbreder sig mod enstre og sætter derfor D(ω) = 0. Den fulde løsning til bølgeligningen fremkommer nu ed at forlange at bølge-funktionen og dens afledede med hensyn til x er kontinuert oeralt. Betragtes specielt punktet x = 0 (grænsen mellem medium og akuum ) fås A(ω) + B(ω) = C(ω) (38) og iω A(ω) iω B(ω) = iω (η(ω) + iκ(ω)) C(ω) (39) Disse to ligninger løses let med resultatet: B(ω) = 1 (η(ω) + iκ(ω)) A(ω) (40) 1 + (η(ω) + iκ(ω)) 2 C(ω) = A(ω) (41) 1 + (η(ω) + iκ(ω)) Indsættes heri (32) og indsættes dette i (27) fås ψ R (x, t) = ψ(x, t) = 1 η(ω) iκ(ω) ia 1 + η(ω) + iκ(ω) 2 e iω(t+ x ) (42) (δ(ω ω I ) δ(ω + ω I )) dω ia 1 + η(ω) + iκ(ω) e iω(t (η(ω)+iκ(ω)) x ) (43) (δ(ω ω I ) δ(ω + ω I )) dω, x > 0 der let integreres og efter længere men triielle beregninger gier ψ R (x, t) = 1 η(ω I) 2 κ(ω I ) 2 (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A sin (ω I (t + x ) ) 2κ(ω I ) + (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A cos (ω I (t + x ) ) 16 (44)

10 Gamma 152 og 2 (1 + η(ω I )) ψ(x, t) = (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A sin 2κ(ω I ) + (1 + η(ω I )) 2 + κ(ω I ) 2A cos (ω I (t η(ω I ) x ) ) e ω Iκ(ω I ) x (ω I (t η(ω I ) x ) ) e ω Iκ(ω I ) x, x > 0 (45) hor i har brugt de to første ligninger i (36). Om de to løsninger (44) og (45) bemærkes Begge løsninger er reelle (som forentet) Frekensen af den reflekterede bølge er den samme som for den indfaldende bølge, ψ I (x, t), hilket også er som forentet. η(ω I ). Den effektie hastighed i det strålingsabsorberende medium er Med andre ord bestemmes hastigheden af den reelle del af brydningsindekset, η(ω I ). Den imaginære del af brydningsindekset κ(ω I ) medfører, at stråling absorberes i mediet, jænfør leddet e ω Iκ(ω I ) x i (45). Man kan let ln 2 beregne haleringstykkelsen til ω I κ(ω I ). I tilfældet N = 0 (intet absorberende medium) reduceres (44) og (45) til ψ R (x, t) = 0 henholdsis ψ(x, t) = ψ I (x, t) for x > 0, jænfør ligning 3 og 4 i (36). Den fulde løsning er således blot en planbølge, der udbreder sig mod oksende ærdier for x. Igen helt som forentet. His der ikke er nogen dæmpende kraft i mediet (altså his γ = 0) og den indfaldende bølge ψ I justeres så ω I = ω 0, følger af ligning 5 og 6 i (36), en løsning, der er identisk med løsningen i tilfældet N = 0. Med andre ord il den indfaldende bølge i dette tilfælde penetrere ganske uhindret gennem mediet. Dette er en speciel form for resonans med det mediet. I grænsen hor mediet er uendeligt tæt og/eller tungt (Nm ) il i hae η og κ (jf (35)). I denne grænse reduceres (44) og (45) til ψ R (x, t) = A sin ( ω I (t + x )) henholdsis 17

11 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 ψ(x, t) = 0. Vi har med andre ord - ikke oerraskende - fuldstændig reflektion i dette tilfælde. 8 Analogi til elektrodynamik Den her beskrene model er som sagt på mange måder analog med den klassiske elektrodynamik. Både had angår resultater og ræssonementer. En fuldstændig gennemgang af dette il føre for idt her, så derfor blot nogle kommentarer: Den æsentligeste forskel er, at elektrodynamikken udspiller sig i det tre-dimensionale rum. Dette gier ekstra frihedsgrader og dermed ekstra kompleksitet. For eksempel il man i bølgeligningen skulle benytte d Alembert operatoren, = 2 x y z 2 for 2 x 2. i stedet I stedet for et skalarfelt ψ har man i elektrodynamikken to ektorfelter (den elektriske og det magnetiske feltstyrke). Igen noget der forøger kompleksiteten. Man kan løse den inhomogene bølgeligning med en Greens funktion, men denne il nu afhænge af alle tre rum-koordinater. Således er den retarderede Greens funktion G ret (x x 0, y y 0, z z 0, t t 0 ) = δ(t 0 t r r 0 c ) 4π r r 0 (46) Løsningen for en enkelt partikel er elkendt som Liénard-Wieckerts løsnin-gen (se for eksempel [2]). Igen er felterne beskreet entydigt ed partiklens beægelse, men med en kompliceret afhængighed af partiklens position, hastighed og acceleration. Den udstrålede effekt beregnes ed hjælp af Poynting ektoren, men da feltet (Liénard-Wieckert løsningen) er ret kompliceret beregnes normalt den energi, der strømmer ud gennem en stor kugleskal om partiklen. Fordelen er, at man så kan nøjes med at medtage de bidrag til felterne, som aftager sagest med afstanden r (som 1 r ). 18

12 Gamma 152 Resultatet (kendt som Larmors teorem) gier den energi der stråles uendelig langt æk P (t) = 2 q 3 4πε 0 d2 r dt d2 r 2 dt 2 (47) Sammenlignes med (18) ses analogien tydeligt: Hor i for strengen hade, at den udstrålede effekt ar proportional med kadratet på partiklens hastighed, blier den i elektrodynamikken proportional med kadratet på partiklens acceleration. Dette resultat gælder dog kun i den ikke-relatiistiske grænse. Strålingsdæmpningen kan beregnes fuldstændig analogt med beregningerne i afsnit 6. His man indskrænker tilfældet til en ikkerelatiistisk kasiharmonisk beægelse fås, at strålingsdæmpningen er proportional med den tidsafledede acceleration. I modsætning til strengtilfældet er det ikke helt let at finde den fysiske årsag til dæmpningskraften. Desuden gier det problemer at hae en dæmpningskraft, der afhænger af den tidsafledede af accelerationen. (Se [3] for en dybtgående diskussion af disse emner.) I elektrodynamikken er det muligt at indføre et dipolfelt, der er karakteriseret ed en indre harmonisk og dæmpende kraft på dipolen. Et sådan dipolfelt il irke som et absorberende medium (se for eksempel [4]) og en analyse iser, at det elektriske felt i dette medium adlyder en ligning analog med (34), og altså med et kompleks brydningsindeks. Endelig kan man let beregne reflektion og transmission af planbølget elektromagnetisk stråling, der falder inkelret ind på det absorberende dipol medium. Resultater er ikke oerraskende meget lignende (44) og (45). Dog haes ikke en resonans i tilfældet ω I = ω 0 (men en diergens). 19

13 En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Gamma 152 Litteratur [1] B. Elbek: Bølger, Niels Bohr Instututtet (1994) [2] L.D. Landau & E.M. Lifshitz: The Classical Theory of Fields, 4 ed, Pergamon (1975) [3] F. Rohrlich: Classical Charged Particles, World Scientific Publishing Company, 3 edition (2007) [4] R. Becker: Electromagnetic Fields and interaction Vol 1 and 2, Doer (1982) 20