LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT"

Transkript

1 LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGRD TP'S KTURIT S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

2 Indholdsforegnelse. Indledning 4. Rapporens indhold 4 3. Daamaeriale 4 4. Lexis diagrammer 5 5. Beskrivelse af daamaeriale ved hjælp af Lexis diagramme 5 6. Besemmelse af dødelighed , B- og C-grupper af døde Esimaion af dødsinensieen Besemmelse af anal dødsfald O x, Tilnærmelse af eksponeringen E x, Sammenligning af hisorisk dødelighed besem ud fra de re grupper (, B og C) Esimaion af fremidig dødelighed - populaionsmeoden 0 7. Sammenligning af forvene resleveid besem ved populaionsmeoden for hver af de re grupper (, B og C) Vurdering af populaionsmeoden - dødelighed 8. Kerneudglaning i forbindelse med esimaion af dødeligheden Validering ved anvendelse af back-esing Eksempel Forholde mellem esimerede og fakiske dødsinensieer Eksempel Forholde mellem esimerede og fakiske resleveider Vurdering af populaionsmeoden - hensæelser 7 0. Vurdering af populaionsmeoden - reneredukion 0. Vurdering af dødeligheden - besandsberagninger. Dødelighedens bedning for de samlede pensionsmæssige hensæelser Vurdering af populaionsmeoden besandsberagninger Populaionsmeoden - konklusioner 6 3. TP's nuværende dødelighedsgrundlag 6 4. De videre arbejde 8 5. Referencer 9 6. Formler m.v nden meode il besemmelse af eksponeringen Besemmelse af N ~ x, S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

3 6.3 Besemmelse af forvene resleveid Besemmelse af livsvarig livrene SS-programmer 33 ppendiks 34 ppendiks 36 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

4 . Indledning Danskerne bliver ældre og ældre. Lid mere eknisk formulere har middelleveiden i en længere periode være sigende i Danmark (som i en række andre lande). En sigende middelleveid kaldes også longevi. Den længere leveid har sor bedning for TP, hvis primære opgave er a de en livslang pension. TP har allerede foreage de førse (akuarekniske) skrid i relaion il longevi. Ved årsskife 998/999 overgik TP således il e dnamisk dødelighedsgrundlag, dvs. forudsæningerne vedrørende dødelighed opdaeres årlig svarende il den senese observerede dødelighed i TP's besand. Formåle med denne rappor er, a belse den overordnede udvikling i dødeligheden i perioden i Danmark vurdere behove for derligere (akuarekniske) skrid i relaion il longevi foreslå evenuelle fremidige ilag i TP Rapporen besår af følgende dele:. Rapporens indhold beskrivelse af de anvende daamaeriale diskussion af meoder il dødelighedsundersøgelse basere på dee maeriale analser af dødeligheden basere på daamaeriale evaluering af TP's dødelighedsgrundlag anbefalinger Vi har ilsræb en grundig dokumenaion af vores overvejelser og resulaer. Vi har bl.a. valg a afslue rapporen med e kapiel, som angiver, hvorledes anvende formler er udled, og hvilke (SS-) programmer, der er bene. 3. Daamaeriale Daamaeriale indeholder dels folkeal og dels anal dødsfald i Danmark fra 835 frem il og med 00. For e give kalenderår er daamaeriale opdel efer fødselsår og indeholder således for hver fødselsår (og for hver køn):. anal personer i befolkningen den. januar. anal dødsfald opdel i -års aldersinervaller S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

5 Daamaeriale fra 835 og frem il og med 995 er sille il rådighed af Peer Fledelius, men er oprindelig indsamle fra Danmarks Saisik af Kirill ndreev il brug for dennes Ph.d.-afhandling, se ndreev (999). Daamaeriale for perioden 996 il 00 er basere på befolkningsregnskaber indhene direke fra Danmarks Saisik. I resen af denne rappor vil vi bene beegnelsen kohore for fødselsår. 4. Lexis diagrammer Demografiske oplsninger (fx om dødelighed) beskrives ofe ved hjælp af Lexis diagrammer (inroducere af Lexis i 875). I Lexis diagramme (som de ofes benes i dag) udgøres abscissen af kalenderiden, mens ordinaen udgøres af alderen. De enkele individ er repræsenere ved en linie svarende il de aldre og den kalenderid, som vedkommende er under observaion. Linierne i Lexis diagrammer kan være brude, fx hvis de anvendes på befolkningen, hvor personer udvandrer og senere indvandrer igen. Se nedensående figur. alder + - x- x x+ kalenderid figur For en glimrende gennemgang af Lexis diagramme henvises il Keiding (990). 5. Beskrivelse af daamaeriale ved hjælp af Lexis diagramme Vi ager i førse omgang udgangspunk i e konkre kalenderår og en konkre kohore. Dee daamaeriale beskrives dernæs ved hjælp af Lexis diagramme. Eferfølgende formaliserer vi denne beskrivelse for vilkårlig kalenderår og vilkårlig kohore. For åre 994 er der regisrere følgende vedrørende kohore 943: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

6 Kohore lder Populaion nal dødsfald Timing Kalenderår Disse regisreringer kan illusreres i e Lexis-diagram som følger (figur ): alder kalenderid figur (nalle under kolonne "populaion" vedrørende iming refererer il populaionen opgjor som de, der flder 5 år i løbe af 994. Se også nedensående fodnoe eller afsni 6..) Formalisere kan daamaeriale beskrives som følger: For e give kalenderår x er daamaeriale som nævn opdel kohorevis (for hver køn). For kohoren, der er fld år primo kalenderår x (dvs. kohoren x--), indeholder daamaeriale således (figur 3): ndreev (999) opgør populaionen på o forskellige måder: Dels populaionen pr.. e give kalenderår (iming ), dels populaionen, der flder en given alder i løbe af e give kalenderår (iming ). Denne opdeling har vi viderefør i daamaeriale, som ligger il grund for denne rappor. Rapporens analser er dog alene basere på populaionen for iming, dvs. populaionen opgjor den.. Vi bemærker, a ndreev (999) beegner populaionen for iming som "cross-ear populaion", mens den for iming beegnes "cross-age populaion". Se ndreev (999), s. 70, eller denne rappors afsni 6.. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

7 alder D + + N x, D x, -..x..(x+)..(x+) kalenderid figur 3 Her er:. N : nal personer pr...x for kohoren x--. D : nal personer, som er død i alder i år x, for kohoren x-- 3. : nal personer, som er død i alder + i år x, for kohoren x-- D + Vi bener de angivne oppræfikser "" og "" vedrørende anal dødsfald for a bringe noaionen i overenssemmelse med ndreev (999). 6. Besemmelse af dødelighed Dødeligheden kan angives både som en sandsnlighed og som en inensie. Vi har valg a angive dødeligheden som en inensie, da de ofe er mere hensigsmæssig a arbejde med denne. 6. -, B- og C-grupper af døde Når vi ønsker a besemme dødeligheden ud fra de givne daamaeriale, er der i radiionel demografisk eori (se fx Mahiessen (970)) angive re forskellige måder a opgøre dødeligheden på: -grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kalenderår og alder. B-grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kohore og kalenderår. C-grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kohore og alder. Nedenfor er de re grupper af døde illusrere i Lexis diagramme (figur 4): S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

8 -grupper af døde B-grupper af døde C-grupper af døde x x+ x+ x x+ x+ x x+ x+ figur 4 De re grupper illusrerer e valg imellem hvilke o af følgende re paramere. alder,. kohoren, eller 3. kalenderåre, som vi illægger sørs væg i analserne (de re parameres bedning for dødeligheden er indbrdes afhængige). Vi vil beegne grupperne af døde ved -, B- og C-grupper. I afsni 7. har vi sammenligne forvenede resleveider ved anvendelse af hver af de re grupper. 6. Esimaion af dødsinensieen De er velkend fra esimaionseorien (se fx Borgan (986)), a ved en fuldsændig observaionsplan er Maximum-Likelihood (ML) esimaoren for dødsinensieen, der anages skkevis konsan i hver alder, give ved occurence/exposure-raer (O/E-raer), dvs. O µ ˆ = (6..) E Her er µ dødsinensieen i alder, O de observerede anal dødsfald og E den samlede eksponeringsid i samme alder. Vi bener denne esimaor ved anvendelse af -, B- og C-grupperne, dvs. a dødsinensieen esimeres ved i O i µ ˆ =, i =, B eller C (6..) E i S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

9 Her refererer x og il de fremhævede område angive i figur 4 for den beragede gruppe af døde. Endvidere er, B eller C (med oplag idenifikaion) en kor skrivemåde for denne gruppe. Vi underforsår, a esimaoren afhænger af kønne. Denne manglende angivelse af kønne er også gennemfør nedenfor for de undersøge sørrelser, når de ikke er meningsforsrrende. Observerede anal dødsfald, i O - og -erne, se afsni 6.3. D Dx,, i =, B eller C, besemmes uanse grupper direke ud fra Da daamaeriale ikke indeholder idspunkerne for dødsfaldene, vil vi ilnærme eksponeringen i E, i =, B eller C, ved hjælp af -erne, se afsni 6.4. N x, 6.3 Besemmelse af anal dødsfald O x, Vi besemmer anal dødsfald ved: O + O = D D (6.3.) B = D + D (6.3.) C O D + Dx+, = (6.3.3) 6.4 Tilnærmelse af eksponeringen E x, Vi besemmer eksponeringen ved: E E = ½ (N + N ) (6.4.) x, x+, = ½ (N N ) (6.4.) B + x, x+, C E N x+, = (6.4.3) (vi har beskreve andre meoder for ilnærmelse af eksponeringen i afsni 6. og 6.). 6.5 Sammenligning af hisorisk dødelighed besem ud fra de re grupper (, B og C) Vi har foreage en numerisk sammenligning af dødsinensieen µ esimere ved anvendelse af hver af de re grupper (, B eller C). Sammenligningen viser, a vurdere ud fra gennemsnie over alle aldre og alle kalenderår regne fra 900 er relaionen mellem -erne for de enkele grupper følgende: µ x, µ (6.5.) C B x, µ µ Eller udrk ved e-årige overlevelsessandsnligheder: p B p p (6.5.) C S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

10 Vi opnår dee resula uvæge og ved anvendelsen af eksponeringen som væg sam både for mænd og kvinder hver for sig. Dødeligheden er alså (gennemsnilig) sørs, når vi anvender -grupper og minds, når vi anvender B-grupper. C Forholde angive i (6.5.) kan begrundes heurisisk med, a både og må være sørre end B µ, da personerne, der indgår i de o førsnævne grupper, i gennemsni er ca. ½ år ældre end personerne, der indgår i sidsnævne gruppe for samme kalenderår x og alder. Forholde C mellem og kan forklares med en longevi-effek, ide der ved anvendelse af - µ µ grupper indgår en ældre kohore/e idligere kalenderår end ved anvendelse af C-grupper. µ µ 7. Esimaion af fremidig dødelighed - populaionsmeoden Der findes forskellige meoder il esimaion af fremidig dødelighed. I denne rappor koncenrerer vi os om populaionsmeoden. Populær sag forudsæer denne meode, a den fremidige dødelighed svarer il den senese konsaerede dødelighed. Lid mere præcis vil vi beegne dødeligheden give ved (6..) for senese års observaioner som populaionsmeoden, når den benes som esimaor for den fremidige dødelighed. Vi bruger beegnelsen populaionsmeode, uanse om vi vælger -, B- eller C-grupper. Endvidere bener vi også beegnelsen populaionsmeode, når vi foreager kerneudglaning af dødeligheden give ved (6..). 7. Sammenligning af forvene resleveid besem ved populaionsmeoden for hver af de re grupper (, B og C) I dee afsni undersøger vi bedningen af a vælge, B eller C-grupper. Som sammenligningsgrundlag har vi valg a beregne forvenede resleveider med kerneudglaede dødeligheder (Kerneudglaningen er beskreve derligere i afsni 8.). S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 0/37

11 figur 5 Ovensående figur 5 viser forskel i resleveider for mænd basere på daa for kalenderåre 990. E ilsvarende billede ses for andre kalenderår og for kvinder (dvs. den angivne figur er repræsenaiv for andre kalenderår for både mænd og kvinder). De fremgår af figuren, a forskellen i forvene resleveid mellem gruppe og C er af mindre sørrelsesorden, max. ca. 0, år, mens forskellen mellem gruppe B og de o øvrige grupper er sørre (op il ca. 0,5 år). I de ældre aldre indsnævres forskellen mellem de re forskellige grupper. 8. Vurdering af populaionsmeoden - dødelighed Som nævn i indledningen er emne for denne rappor longevi (de forhold, a middelleveiden i en længere periode har være sigende). Populaionsmeoden forudsæer, a den fremidige dødelighed svarer il den senese konsaerede dødelighed. Hvis dødeligheden forsæer med a falde, vil populaionsmeoden ssemaisk undervurdere de fremidige signinger i levealderen. I de næse kapiler behandles dee forhold i dealjer. Vi har basere vores analser på en (december 003) endnu ikke offenliggjor arikel "Predicion of old-age morali" af Fledelius e al. (00). I ariklen undersøges de, hvilken derligere korrekion der hisorisk se ville have være behov for, såfrem den fremidige dødelighed havde være beskreve ved populaionsmeoden. Den valge meode har en række fordele. Her skal især nævnes, a den er mege udbred og forholdsvis nem a forså. Meoden lægger mege sor væg på hisoriske daa og modelarbejde er begrænse il en anelse kerneudglaning. Den væsenligse ulempe ved meoden er, a når vi vælger a illægge daa så sor væg, opsår der problemer i forhold il akualieen af resulaerne. Da vi har valg a se på de langsigede perspekiver, vejer fordelene dog lang ungere end ulemperne. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

12 8. Kerneudglaning i forbindelse med esimaion af dødeligheden Ved esimaion af den fremidige dødelighed ager Fledelius e al. udgangspunk i populaionsmeoden med anvendelse af -grupper, dvs. O µ ˆ = (8..) E O Her er anal dødsfald,, og eksponeringsid,, beskreve ved (6.3.) og (6.4.). Esimaoren (8..) modificeres dog således, a der foreages en kerneudglaning af både anal dødsfald, O, og eksponeringsiden,. E x, Den benede kerneudglaning er o-dimensionel over dels alder og dels kalenderid, og kernevægen er besem som de dobbele produk af Epanechnikov kernen. Epanechnikov kernen er give ved: K Epan. E (x) = 0,75 ( x ) I( x ) (8..) Når vindue b anvendes, er kernevægen for give ved: x ved udregning af den udglaede værdi i x derfor x x (x,x) = 0,75 ( ( ) ) I( x x b) (8..3) b b Epan. K b Heraf følger, a anvende kernevæg for kalenderår x og alder vedrørende den udglaede værdi i kalenderår x og alder er besem ved: 0,75 b b x x ( ( b Epan. K b Epan. (x,x ) K (, ) = b ) ) ( ( b ) ) I( x x b ) I( b ) (8..4) Og dermed er den kerneudglaede værdi vedrørende kalenderår x og alder for anal dødsfald, O, og eksponeringsiden, E, resp. faslag ved: Epan. Epan. O = K (x,x ) K (, ) O (8..5) x= 900 = x= 900 = 0 b b x, Epan. Epan. E = K (x,x ) K (, ) E (8..6) Derudover benes i udregningerne = b 6. b b = b x, S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

13 Populaionsmeoden bene af Fledelius e al. er nu give som O µ ˆ = (8..7) E 8. Validering ved anvendelse af back-esing Fledelius e al. sammenligner den esimerede dødelighed med den fakiske konsaerede dødelig- senere i dee afsni). Denne pe af validering af en model beegnes back- hed (se eksempel esing. Valideringen udvides endvidere il a omfae funkioner af dødsinensieerne, herunder overlevelsessandsnligheder, forvenede resleveider og livrener. En given funkion basere på dødsinensieer besem ved populaionsmeoden sammenlignes således med samme funkion base- på fakisk dødelighed. re Fledelius e al. beregner både dødelighed ifølge populaionsmeoden og fakiske dødeligheder ved (8..7). Mere formel besemmes de esimerede dødsinensieer ved populaionsmeoden for kohoren, der har alder ' i år x', ved: O pop x', µ ˆ x', =, = ',..., 00 (8..) E x', Mens de fakiske dødsinensieer for samme kohore findes ved: O fak µ ˆ =, = ',, 00, og x = x' - ' + (8..) E (8..) og (8..) sammenlignes nu for hver, eller som funkioner af disse dødsinensieer. I forbindelse med back-esing er de væsenlig, a der ikke er sammenfald mellem de daa, der benes il esimaion og de daa, der indgår i besemmelse af de fakiske observerede dødsinensieer (back-esen). I vores konkree ilfælde er der e vis sammenfald mellem daa, der indgår il besemmelse af dødeligheden ifølge populaionsmeoden, og daa vedrørende fakisk dødelig- hed i de nærmese år efer åre, som populaionsmeoden er basere på. Dee skldes kerneudglaningen og analle af år, hvor der er sammenfald, afhænger af vinduesbredden. Vi vurderer, a sammenfalde er uden væsenlig bedning, ide en evenuel korrekion af (8..) og (8..) ikke vil ændre ved de konklusioner, vi drager på basis af den anvende back-es. 8.. Eksempel Fledelius e al. ager i alle deres eksempler udgangspunk i en 65-årig og anager desuden, a den maksimale alder er 00 år. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

14 Ved anvendelse af populaionsmeoden i 960 il esimaion af den fremidige dødelighed for de 65-årige i dee år (dvs. kohore 895), findes denne som: O pop 960, 960, E960, µ ˆ =, = 65,..., 00 (8...) Denne dødelighed sammenlignes med den fakiske dødelighed for samme kohore ved back-es, dvs. (8...) sammenlignes med O fak E µ ˆ =, = 65,, 00, og x = (8...) I nedensående figur 6 er forskellen mellem de o dødeligheder også illusrere: alder Esimere (populaionsmeoden) Fakisk kalenderår figur Forholde mellem esimerede og fakiske dødsinensieer For en række kalenderår beregnes de esimerede fremidige dødeligheder ifølge populaionsmeoden for kohoren, som flder 65 år i de givne kalenderår. Disse esimerede dødeligheder sam- med de dødeligheder, som ren fakisk indraf i de eferfølgende år for denne kohore menlignes (jf. figur 6). Vi har valg a illusrere forholde mellem dødeligheden ifølge populaionsmeoden og den fakiske dødelighed ved kvoienen mellem disse o sørrelser, jf. eksemple herunder. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

15 8.3. Eksempel Den fremidige dødelighed esimeres i 960 ved populaionsmeoden for kohoren, som er 65 år i dee kalenderår, dvs. kohore 895. De fakiske dødeligheder for denne kohore findes i kalenderårene 960 frem il 995, hvor kohoren bliver 00 år. I nedensående figur 7 er forholde mellem esimere og fakisk dødelighed angive for denne kohore (kvinder): figur 7 Fx angiver værdien på ca.,4 i alder 85, a populaionsmeoden har overvurdere den fakiske dødelighed med ca. 40 % i denne alder. Som de fremgår af figuren, er forholde for alle aldre sørre end, dvs. a populaionsmeoden i dee eksempel har esimere dødeligheden for høj i alle aldre fra 65 år il 00 år. 8.4 Forholde mellem esimerede og fakiske resleveider. På baggrund af de enkele års dødsinensieer kan vi beregne de forvenede resleveider for en 65-årig både ud fra populaionsmeodens dødeligheder og de fakiske dødeligheder. Disse o forvenede resleveider afbildes som funkion af kalenderåre, hvor kohoren flder 65 (dvs. kalenderåre afspejler både de år, den pågældende kohore flder 65 år, og åre for anvendelsen af populaionsmeoden il esimaion af den fremidige dødelighed for denne kohore). Vi har daa il og med år 00 og berager alene kohorer, hvor vi har regisreringer for den fakiske dødelighed frem il og med de flde 00 år. Den senese kohore, vi analserer, er derfor danskere fød i 90. Denne kohore flde 65 i åre 966. Ved hjælp af formlen (6.3.) kan den forvenede resleveid i år x for en 65-årig med dødelighed ifølge populaionsmeoden, ˆµ, jf. (8..), besemmes ved: pop S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

16 00 = 65 ˆ pop (exp( ) ( exp( ˆ pop µ x,u µ x, ))) (8.5.) ˆ pop µ u= 65 x, Tilsvarende er den forvenede resleveid i år x for en 65-årig besem ud fra den fakiske dødelighed, ˆµ, jf. (8..), give ved: fak 00 = 65 ˆ fak (exp( ) ( exp( ˆ fak µ x+ u 65,u µ x 65, ))) ˆ fak + (8.5.) µ u= 65 x+ 65, Resleveiderne give ved (8.5.) skal kor beegnes forvene resleveid for esimere dødelighed (da vi alene berager populaionsmeoden i denne rappor il esimaion af fremidig dødelighed, bør beegnelsen ikke give anledning il misforsåelser). Tilsvarende vil vi beegne (8.5.) for den forvenede resleveid for fakisk dødelighed. I figurerne 8 (kvinder) og 9 (mænd) nedenfor er den forvenede resleveid for esimere og fakisk dødelighed for de 65-årige opegne som funkion af kalenderåre (dvs. de år kohoren flder 65): figur 8 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

17 figur 9 De overordnede billede for begge køn er, a den forvenede resleveid for fakisk dødelighed har være sigende gennem den beragede periode. Fx levede 65-årige kvinder i 966 ca. 4,4 år længere end deres jævnaldrende i 90, mens de ilsvarende al for mænd var,6 år. De fremgår også ved sammenligning af de o figurer, a 65-årige kvinder for alle årene har haf en højere fakisk forvene resleveid end mændene, og a denne forskel er øge gennem perioden. Med hensn il populaionsmeodens esimaion af forvene resleveid for fakisk dødelighed viser graferne følgende: For kvinder har populaionsmeoden frem il ca. 9 esimere den forvenede resleveid for fakisk dødelighed ilfredssillende. Herefer har populaionsmeoden for kvinder esimere forvene resleveid for fakisk dødelighed for lav. Forskellen mellem de o resleveider har være op il ca.,6 år (kalenderår 966). For mændene har populaionsmeoden sor se for alle årene undervurdere den forvenede resleveid for fakisk dødelighed. Forskellen mellem de o resleveider har være op il ca. 0,8 år (kalenderår 938). 9. Vurdering af populaionsmeoden - hensæelser Beregningen af pensionshensæelser er bl.a. basere på forudsæninger om den fremidige dødelighed. Når dødeligheden ændres, ændres derfor også hensæelserne. Ændring i dødelighed har sørs bedning for de livsvarige livrener bland de forskellige per af forsikringsproduker og lang den overvejende del af TP s hensæelser vedrører livsvarige livrener. I denne rappor fokuserer vi derfor udelukkende på livsvarige livrener, når vi undersøger den finansielle effek af longevi. I de eferfølgende sammenlignes livsvarige livrener basere på dødeligheden esimere ud fra populaionsmeoden med livsvarige livrener basere på den fakiske dødelighed. (Vi skal indskde, a den livsvarige livrene er en kor skrivemåde for den forvenede nuidsværdi af den koninuere bealingssrøm på kr., så længe forsikringsager lever. Vi skal endvidere bemærke, a en livsvarig livrene principiel dannes ved a ilføje diskoneringsfakorer il overle- S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

18 velsessandsnligheder. Dermed svarer forvene resleveid il en livsvarig livrene med en renefod lig nul). Ved hjælp af formel (6.4.3) kan livrener i år x for en 65-årig for esimere dødelighed, (8..), besemmes ved: pop ˆµ, jf. a 00 ˆ pop (exp( ( )) ( exp( ( ˆ pop = δ + µ x,u δ + µ x, )))) (9.) ˆ pop δ + µ pop x,65 = 65 u= 65 x, Her er δ = log( + i), hvor i er diskoneringsrenen. Tilsvarende er livrener i år x for en 65-årig for fakisk dødelighed, fak ˆµ, jf. (8..), give ved: a 00 ˆ fak (exp( ( )) ( exp( ( ˆ fak = δ + µ x+ u 65,u δ + µ x 65, )))) ˆ fak + (9.) δ + µ fak x,65 = 65 u= 65 x+ 65, Livrener for dels esimere og dels fakisk dødelighed er opegne som funkion af kalenderåre ved anvendelse af en 5 % diskoneringsrene i nedensående figur 0 (kvinder) og (mænd): figur 0 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

19 figur Som vi havde forvene, minder figur 0 og mege om figur 8 og 9 (de generelle niveau er lavere som følge af anvendelse af diskoneringsrenen). Den sigende værdi vedrørende fakiske dødeligheder viser, a longevi-effeken har sor indfldelse på sørrelsen af den livsvarige livrene. Forskellen mellem livrenerne viser, a hisorisk se medfører populaionsmeoden ofes en undervurdering af sørrelsen af livrenen for fakisk dødelighed. Forskellen mellem livrener for fakisk og esimere dødelighed udgør således op il 0,6 (kalenderår 966) for kvinder og 0,3 (kalenderår 938) for mænd. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

20 0. Vurdering af populaionsmeoden - reneredukion Til a beskrive forskellen mellem livsvarige livrener for esimere og fakisk dødelighed indfører Fledelius e al. en eksra forrenning udover diskoneringsrenen. Eksra forrenningen illægges således diskoneringsrenen ved beregning af livrener for fakisk dødelighed. Forskellen angives nu som den eksra forrenning, hvormed de o livrener er lig hinanden. De forekommer umiddelbar mere anvendelig a lade livrener for esimere dødelighed være udgangspunke svarende il beregningerne ved opgørelse af hensæelserne. I denne rappor anvendes derfor i sede en reneredukion il diskoneringsrenen. Med denne ilgang opgøres livrener for esimere dødelighed diskonere med diskoneringsrenen frarukke reneredukionen. Den reneredukion, hvormed de o livrener er ens, angiver så forskellen. Beskrives ovensående maemaisk, findes de ε, hvormed er lig a fak x,65 00 ˆ pop (exp( ( )) ( exp( ( ˆ pop = δi, ε + µ x,u δi, x, )))) ˆ pop ε + (0.) δ + µ pop,65, ε µ = 65 u= 65 i, ε x, x a, jf. (9.). Her er = log( + i ε). De er endvidere underforsåe, a ε afhænger af kalenderåre x. δi, ε De ε, der opflder, a (0.) og (9.) er lig hinanden, skal også kor beegnes den nødvendige reneredukion. I sede for a besemme de eksake ε har vi i førse omgang sammenligne (0.) med (9.) for forskellige passende værdier af ε. I figur (kvinder) og 3 (mænd) herunder har vi afbilde den livsvarige livrene som funkion af kalenderåre ved anvendelse af en 5 % diskoneringsrene med esimere og fakisk dødelighed ved forskellige reneredukioner. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 0/37

21 figur figur 3 De fremgår af figur og 3, a den nødvendige reneredukion varierer noge gennem den beragede periode. De ses endvidere, a der har være perioder, hvor reneredukionen har være negaiv svarende il en signing i dødeligheden. Overordne berage sikrer e sikkerhedsillæg besående af en reneredukion på omkring 0,8 % for kvinder og 0,6 % for mænd, a livrenen beregne for esimere dødelighed er il den sikre side ved sammenligning med livrener for fakisk dødelighed. I figur og 3 har vi som nævn beregne hensæelserne for passende diskree værdier af reneredukionen ε. Herunder vil vi beregne den nøjagige reneredukion ved hjælp af numeriske meoder il løsning af ikke-lineære ligninger. Resulaerne fremgår af figur 4 for både kvinder og mænd: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

22 figur 4 Konklusionerne er naurligvis de samme ud fra figur 4 som ud fra figur og 3, men figur 4 er måske mere illusraiv end de o forrige figurer. De fremgår fx deligere af figur 4, a mænd og kvinder har forskellig forløb med hensn il den nødvendige reneredukion il sikring af ilsrækkelige hensæelser for livrener. I begndelse af den beragede periode var reneredukionen således sørre for mænd end for kvinder, men dee billede vende i resen af den beragede periode. Hidil har vi alene berage de 65-årige. I figur 5 har vi illusrere reneredukionen besem for forskellige udvalge aldre (for kvinder). figur 5 Figur 5 kræver nok lid nærmere forklaring. Berager vi kohoren af kvinder fra 885, vil den i kalenderåre 90 være 35 år. En sammenligning af pensionsforpligelserne for denne kohore på dee idspunk opgjor med esimere og fakisk dødelighed (svarende il figurerne og 4) fører il en reneredukion på ca. 0,5 %. Berages den samme kohore i kalenderåre 940, vil den på dee idspunk være 55 år. En sammenligning af pensionsforpligelserne for denne kohore på dee idspunk opgjor med esimere og fakisk dødelighed (igen svarende il figurerne og 4) fører nu il en reneredukion på ca. 0,7 %. Vi bemærker, a den maksimale reneredukion varierer en del med alderen. For de 35-årige er den over 0,8 % og for de 75- og 85-årige ca., %. Vi bemærker endvidere, a variaionen er krafigs for de 75- og 85-årige. Tilsvarende undersøgelse for mænd viser e lignende resula som figur 5 (dog er niveaue for reneredukionen lavere).. Vurdering af dødeligheden - besandsberagninger S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

23 I kapilerne ovenfor har vi analsere dødsinensieer, resleveider og reneredukioner på kohoreniveau. I dee kapiel ønsker vi a analsere dødelighedseffeker på en hel forsikringsbesand.. Dødelighedens bedning for de samlede pensionsmæssige hensæelser Førs vil vi illusrere dødelighedens bedning for de pensionsmæssige hensæelser. De samlede pensionsmæssige hensæelser afhænger bl.a. af besandens sammensæning reneforudsæninger, og dødelighedsforudsæninger Da vi ønsker a analsere bedningen af ændringer i dødeligheden, har vi valg a fasholde forudsæningerne om besandens sammensæning og renen. Vi ager således udgangspunk i TP's samlede besand af livsvarige livrener ( 9-pensionsreigheder) ulimo 00 opdel på køn og kohorer og anager, a denne besand af reigheder har være gældende også hisorisk se. Renen holdes fas svarende il markedsrenen ulimo 00 (= 4,985 %). For perioden fra 84 il 00 esimerer vi ulimo hver år dødeligheden efer populaionsmeoden. På baggrund af fashold besand og rene beregner vi de samlede hensæelser ulimo hver år med den esimerede dødelighed, se nedensående figur 6. figur 6 I den beragede periode siger hensæelserne fra ca. 0 mia. kr. il ca. 00 mia. kr. Signingen har være forholdsvis jævn over hele perioden og der er kun ganske kore perioder, hvor hensæelserne er faldende. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

24 . Vurdering af populaionsmeoden besandsberagninger I dee afsni ønsker vi a vurdere populaionsmeoden på besandsniveau. Vi bener samme besands- og reneforudsæninger som i afsnie ovenfor. For hver kalenderår ønsker vi a besemme den nødvendige reneredukion, dvs.: Vi beregner de samlede hensæelser for besanden med fakiske dødeligheder. Disse hensæelser sammenligner vi med hensæelserne for besanden opgjor ud fra populaionsmeodens dødelighed og med en redukion af renen. Den nødvendige reneredukion findes herefer som den reneredukion, for hvilke de o hensæelser er ens. For a lee sammenligningen har vi valg a foreage beregningerne for samme aldersgrupper for alle kalenderår. Maemaisk beskreve findes alså de ε i kalenderår x, hvormed 00 pop ( p00,,la,l, ε ) = ( 00,,l = xsen (00 00) l {k,m} = xsen (00 00) l {k,m } 00 p a fak,l ) x sen p 00, Her er x sen, de senese kalenderår, hvor vi besemmer en nødvendig reneredukion, dvs. de skal gælde, a x. Endvidere er de samlede ( 9-) pensionsreigheder ulimo 00 for alder, mens variablen l refererer il kønne (k/m). Jf. i øvrig formel (9.) og (0.). De ses af formlerne, a jo senere e kalenderår x sen vi vælger ved beregningen af den nødvendige reneredukion på besandsniveau, jo højere er mindsealderen for de kohorer, vi kan medage i beregningerne. Forklaringen på dee er, a vi kun berager kohorer, hvor vi har regisrere dødeligheden frem il alder 00. f figur 7 herunder fremgår de, a hovedparen af hensæelserne (beregne med 00-dødelighed for TP's besand) vedrører de midaldrende og ældre. 73 % af 9-hensæelserne vedrører således gruppen af de 50-årige og ældre. På baggrund af figuren har vi valg a analsere besande svarende il aldre sørre end eller lig 39, 49, 59, 69 og 79. lernaiv kan vi age udgangspunk i e kalenderår, x sen, og så gradvis anvende ngre og ngre aldre jo idligere kalenderår, vi sammenligner. Dvs. for, finder vi de ε, hvor: x x sen pop fak ( p00,,la,l, ε ) = ( p00,,la,l ) = x (00 00) l {k,m} = x (00 00) l {k,m } S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

25 figur 7 figur 8 f figur 8 fremgår resulaerne for de senese 0 års dødeligheder, vi kan analsere for besanden fra alder 49 frem il alder 00 (disse år omfaer kohorerne fra 79 frem il 90). For kalenderåre 930 er der på figuren angive en reneredukion på ca. 0,4 %. Dee resula beder, a hvis vi havde anvend populaionsmeoden i 930 og anvend en reneredukion på 0,4 % som sikkerhedsillæg il diskoneringsrenen, ville vi dermed have haf ilsrækkelige hensæelser il a indfri de fakiske udbealinger (i perioden 930 il 98) for besanden. De ilsvarende resulaer med hensn il besande for aldre sørre end eller lig 39, 59, 69 og 79, kan ses i appendiks. Vi har valg a summere resulaerne i følgende abel : Frakiler for den nødvendige reneredukion (i %) som funkion af mindsealderen, der indgår i beregningerne S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

26 Frakiler i % aldre 39 aldre 49 aldre 59 aldre 69 aldre ,6 0,6 0,6 0,73 0, ,58 0,59 0,57 0,68 0, ,44 0,46 0,43 0,56 0, ,33 0,3 0,9 0,33 0,3 50 0,6 0,5 0,3 0,9 0,8 5 0,0 0,7 0, 0,06-0,0 0 0,5 0,0 0,0-0,09-0, 5 0,4 0,07-0,0-0,3-0,45 0, 0,05-0,06-0,9-0,65 abel Tabellen skal læses på følgende vis: For besanden af pensionsreigheder med mindsealder 39 har der i 50 % af de beragede år være behov for en reneredukion på op il 0,6 % for a age højde for udviklingen i dødeligheden. Hvis vi ønsker en højere sikkerhed, øges den nødvendige reneredukion (som eksempel har 90 % sikkerhed hisorisk se kræve en reneredukion på 0,44 % for aldre over 39). De fremgår af abellen, a medianen (50 % frakilen) falder svag med sigende alder, men variaionen (og dermed de høje frakiler) siger med alderen.. Populaionsmeoden - konklusioner Undersøgelserne ovenfor indikerer, a populaionsmeoden esimerer den fremidige dødelighed ilfredssillende, ide der dog samidig er behov for a anvende en reneredukion il opgørelsesrenen/markedsrenen som e sikkerhedsillæg/finansieringsillæg. nalserne i de foregående kapiler giver os e billede af, hvilken grad af sikkerhed en given reneredukion ville have give hisorisk se på TP s nuværende besand. En reneredukion på 0,6 % havde hisorisk se give sikkerhed på ca. 95 %, en reneredukion på 0,5 % havde give sikkerhed på ca. 90 %, en reneredukion på 0,3 % en sikkerhed på ca. 75 % og en reneredukion på 0,5 % havde hisorisk se give sikkerhed på ca. 50 %. 3. TP's nuværende dødelighedsgrundlag TP anvender i dag e dnamisk dødelighedsgrundlag. De dnamiske besår i, a grundlage opdaeres årlig. I dee kapiel gennemgår vi kor principperne i TP s nuværende dødelighedsgrundlag og vurderer grundlage på baggrund af analserne i de foregående kapiler. TP's dnamiske dødelighedsgrundlag kan beskrives ved:. en årlig opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års konsaerede dødelighed. e sikkerhedsillæg/finansieringsillæg S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

27 Den årlige opdaering af dødeligheden foreages ved hjælp af meoder, der svarer il populaionsmeoden beskreve i de forrige kapiler. Sikkerheds- eller finansieringsillægge afhænger af, hvornår bidragene er indbeal. For bidrag indbeal fra og med 00 (den ne TP-ordning) besår illægge af en eksplici reneredukion på 0,5 %. For bidrag il og med 00 (den gamle TP-ordning) besår illægge af en aldersredukion på ½ år. Denne aldersredukion ækvivalerer p.. med en reneredukion på ca. 0, %. I appendiks har vi beskreve TP's dnamiske dødelighedsgrundlag mere dealjere. Vi har i denne rappor anskueliggjor, a populaionsmeoden i kombinaion med en reneredukion il opgørelsesrenen/markedsrenen som e sikkerheds- eller finansieringsillæg esimerer den fremidige dødelighed ilfredssillende. De er derfor vores konklusion, a TP's dødelighedsgrundlag er konsruere hensigsmæssig. TP besemmer som nævn de senese års dødelighed ved en meode, der grundlæggende svarer il populaionsmeoden. Vi kan derfor bene resulaerne i denne rappor vedrørende den nødvendige reneredukion direke il vurdering af sikkerhedsillægge i TP's dødelighedsgrundlag. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

28 4. De videre arbejde Med denne rappor har vi afslue førse del af analserne vedrørende longevi. Vi er på nuværende idspunk ved a eablere e samarbejde med Københavns Universie vedrørende specialevejledning af suderende. Vi forvener, a de næse skrid vedrørende longevi bliver: nalser af dødelighed i de ældse aldre Kohoredødeligheder, dvs. analser af sammenhængen mellem dødeligheden i unge og i ældre aldre Fordele og ulemper ved a anvende (parameriserede) modeller S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

29 5. Referencer NDREEV, K (999). Demographic surfaces: Esimaion, ssessmen and Presenaion, wih applicaion o Danish Morali, Ph.D. Thesis. Universi of Souhern Denmark. BORGN, Ø. (986). Lecure noes in life hisor analsis. Preliminar version (Jul 986). Insiue of Mahemaics, Universi of Oslo. FLEDELIUS, P., NIELSEN, J. P. (00). Predicion of old-age morali. Ikke publicere (december 003). KEIDING, N. (990). Saisical inference in he Lexis diagram. Phil. Trans. R. Soc. Lond., 33, MTTHIESSEN, P. C. (970). Teoreisk Demografi. Københavns Universie. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

30 6. Formler m.v. Nedenfor følger en række formelbesemmelser m.v. 6. nden meode il besemmelse af eksponeringen I afsni 6.3 ilnærmes eksponeringen ved hjælp af populaionen opgjor pr... I overenssemmelse med den ovenfor benede noaion skal denne populaion beegnes. I sede for anvendelse af N -erne kan eksponeringen også ilnærmes ved populaionen, som flder en given alder i løbe af kalenderåre. Lad denne populaion være beegne N ~. N I nedensående figur 9 er forskellen på N og N ~ x, illusrere: + + N x, N ~ - -..x..(x+)..(x+)..x..(x+)..(x+) figur 9 Med udgangspunk i N ~ x, -erne ilnærmes eksponeringen som følger: B C E ~ (N ~ N ~ = + + ) (6..) E ~ = N ~ (6..) E ~ (N ~ N ~ = + x+,+ ) (6..3) I de eferfølgende afsni 6. er angive formel il beregning af N ~ x,. 6. Besemmelse af N ~ x, I ndreev's Ph.d.-afhandling, s. 8, angives følgende formel il beregning af N ~ x, : N ~ x, = ((N D ) + (N x+, + D x, )) (6..) S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 30/37

31 Formlen efervises nedenfor: Hvis M beegner neoindvandringen, og denne opdeles svarende il anal dødsfald, så gælder de, a N ~ = N M (6..) D + De gælder endvidere, a N + x+, = N D D + M M (6..3) Når neoindvandringen er ligelig fordel, og dermed, så kan (6..3) også skrives M = M + M = N + D + N x+, D (6..4) dvs. M = ( N + D + N x+,+ D x, ) (6..5) (6..) følger nu af (6..) og (6..5). 6.3 Besemmelse af forvene resleveid For den reelle og posiive sokasiske variable Y R + er 0 EY = P(Y s)ds (6.3.) Når dødsinensieerne anages konsane i helårige aldersinervaller, gælder de derfor, a forvene resleveid i alder er give ved: E (Y Y ) = 0 P(Y P(Y + = = s Y P(Y s Y )ds = )ds = s Y (P(Y Y ) )ds = + P(Y s Y )ds) = S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

32 (exp( µ du) exp( = = = (exp( u= + u µ du)) = s + µ u ) [ exp( µ (s ))] ) = µ (exp( µ u ) ( exp( µ ))). (6.3.) µ u= 6.4 Besemmelse af livsvarig livrene Nuidsværdien i alder af en livrene, der er opsa il alder 65, er give ved s (65 ) 0 v I(Y + s)ds (6.4.) Her er v =, hvor i er diskoneringsrenen. + i Dermed er den livsvarige livrene (annuieen) i alder, ( 65 ) 0 a, besem ved (65 ) 0 s s E ( v I(Y + s)ds Y ) = v P(Y + s) Y )ds (6.4.) (65 ) 0 nager vi, a dødsinensieerne er konsane i helårige aldersinervaller, og sæes δ = log( + i), gælder de derfor, a s ( 65 ) 0 a = v P(Y + s Y ) ds = (65 ) 0 65 v s P(Y + = (65 ) = (65 ) ( v v s x s Y P(Y P(Y )ds = s Y Y )ds = ) + v s (exp( ( δ + µ )du) exp( = (65 ) = (65 ) = (65 ) (exp( + P(Y s Y u ( δ + µ )du)) = s )ds) = + ( δ + µ u )) [ exp( ( δ + µ ) (s ))] ) = ( δ + µ ) u= (exp( ( δ + µ u )) ( exp( ( δ + µ )))) (6.4.3) ( δ + µ ) u= S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

33 7. SS-programmer lle SS-programmer er placere i biblioeke "s:\aku\longevi\ss-programmer\" i passende underbiblioeker heril. Beregning af dødsinensieen for hver af de re grupper (, B og C) foreages i programme "O_E_raer.sas", der er placere i underbiblioeke "\Beregning af O-E-raer\". Sammenseds er placere SS-programmerne "Samln_a_b_c_numerisk.sas" og "Samln_a_b_c_grafisk.sas", der sammenligner dødsinensieen µ beregne for de nævne re grupper, jf. afsni 6.5 og figur 5. Figurerne 4 il i ariklen af Fledelius e al. (figurer 7 il 3 i denne rappor) dannes i SS-programmer, der er placere i underbiblioeke "\Genskabelse af Fledelius e al\". Underbiblioekerne heril er selvforklarende. Figur 4, 5 og 8 i denne arikel opegnes i SS-programmer, der findes i underbiblioeke "\Overbgning på Fledelius e al\". Figur 4 og 5 således ved hjælp af programme "Livrener_eksak.sas", mens figur 8 ved "Rene_hens.sas". Figur 6 og 7 dannes i programmerne "Hensaeelser.sas" og "Kumulaiv_hens.sas" resp. placere i underbiblioek "\Udvikling i TP's hensæelser". Endelig besemmes frakilerne i abel ved hjælp af SS-programme "Frakiler_rene.sas" i underbiblioeke "\Overbgning på Fledelius e al\". S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 33/37

34 ppendiks Nedenfor er opegne den nødvendige reneredukion vedrørende besanden for forskellige aldre. For aldre 39: For aldre 59: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 34/37

35 For aldre 69: For aldre 79: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 35/37

36 ppendiks TP's dnamiske dødelighedsgrundlag besår af. en årlig opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års dødelighed. e sikkerhedsillæg Nedenfor følger en maemaisk/eknisk beskrivelse af., dvs. TP's årlige opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års dødelighed. Beskrivelsen er hene fra TP's Pensions- og hensæelsesgrundlag. Eferfølgende redegøres også for., dvs. sikkerhedsillægge. Mænds og kvinders dødssandsnligheder q x, og q, anvend i år, beregnes med udgangspunk i den senes observerede dødelighed (år -) for den del af TP-besanden, som er bosa i Danmark for henholdsvis mænd og kvinder. Dødssandsnlighederne kerneudglaes som vis nedenfor: ~ N x q x, = ~, = T x, hvor K( ω) er definere ved 5 K ( ω ) ( ω ) 6 og hvor b = 6 = ω s = 6,.., 9 s = 6,.., 9 x s K( ) N b b x, s x s K ( ) T b b x, s ~ N x, ~ T x, = anal beregnede dødsfald bland x-årige mandlige medlemmer i år - = anal beregnede x-årige mandlige medlemmer i år - N x, s T x, s = konsaerede anal døde mandlige medlemmer i aldersinervalle [x-s;x+s] = observerede anal mandlige medlemmer i aldersinervalle [xs;x+s] For aldre over 90 il og med 9 beregnes dødeligheden lineær med udgangspunk i dødssandsnligheden for mænd i alder 90 med en årlig signing på 0,075: q x, q = 90, + 0,075 (x-90) for 90< x< 0 for x 0 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 36/37

37 Med hensn il sikkerhedsillægge afhænger dee af ordningen 3. For den ne ordning i TP anvender vi en redukion i diskonerings-/markedsrenen på 0,5 % som sikkerhedsillæg. For den gamle ordning i TP besår sikkerhedsillægge af en aldersforskdning. ldersforskdningen indebærer, a hver medlem anages ½ år ngre end den fakiske alder. Teknisk se er denne forskdning i øvrig en konsekvens af anvendelse af B-grupper. 3 TP besår af o ordninger, den ne og den gamle ordning. Den ne ordning vedrører reigheder opjen for bidrag for 00 og senere, mens den gamle ordning vedrører reigheder opjen for bidrag il og med 00. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 37/37

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Teknisk grundlag Nykredit Livsforsikring A/S. Dato: Opdatering skal senest ske:

Teknisk grundlag Nykredit Livsforsikring A/S. Dato: Opdatering skal senest ske: Teknisk grundlag Nykredi Livsforsikring A/S Dao: 31.12 2015 Opdaering skal senes ske: 01.07 2017 (CVR NR. 25 70 71 84) Indhold 0. Indledning 1. Forsikringsformer 2. Grundlag for beregning af forsikringspræmier,

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

2.2.2 Generelle regler ved tilbagekøb Overførsel Fripolice Fripolice for forsikringer tegnet før

2.2.2 Generelle regler ved tilbagekøb Overførsel Fripolice Fripolice for forsikringer tegnet før Indhold Indhold... 1 1. Anvende grundformer... 6 1.1 Parameerdefiniioner... 6 1.2 Oversig over grundformer... 6 1.2.1 Neopassiver uden kollekive elemener og uden invalidiesydelser... 6 1.2.2 Neopassiver

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2007. Marianne Frank Hansen, Martin Eggert og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2007. Marianne Frank Hansen, Martin Eggert og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 27 Marianne Frank Hansen, Marin Egger og Peer Sephensen December 27 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... Befolkningsfremskrivning 27...

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Sundhedsudgifter og finanspolitisk holdbarhed

Sundhedsudgifter og finanspolitisk holdbarhed 1 Sundhedsudgifer og finanspoliisk holdbarhed Marianne Frank Hansen, Danish Raional Economic Agens Model, DREAM Lars Haagen Pedersen, De Økonomiske Råds Sekrearia, DØRS Working Paper 2010:2 Sekreariae

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest Prospek PROSPEKT FOR Hedgeforeningen Jyske Inves Ansvar for prospek Hedgeforeningen Jyske Inves er ansvarlig for prospekes indhold. Vi erklærer herved, a oplysningerne i prospeke os bekend er rigige og

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

Ejendomsinvestering og finansiering

Ejendomsinvestering og finansiering Ejendomsinvesering og finansiering Dag 5 1 Ejendomsinvesering og finansiering Undervisningsplan Inrodukion Inveseringsejendomsmarkede Teori- og meodegrundlag Inrodukion il måling af ejendomsafkas Renesregning

Læs mere

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Beskrivelse af forskningsprojek om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Michael Bergman og Peer Birch Sørensen Økonomisk Insiu, Københavns Universie Okober 202 Projekes baggrund og

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

5 Lønindeks for den private sektor

5 Lønindeks for den private sektor 57 5 Lønindeks for den privae sekor 5.1 Grundlæggende informaion om indekse 5.2 Navn Lønindeks for den privae sekor. Der offenliggøres e ilsvarende lønindeks for den offenlige sekor, der i princippe beregnes

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats B A T k a r e l l e BAT Nr. 2 april 2008 I indeværende folkeingssamling skal Folkeinge beslue en ændring af Øsafalen med de formål a sramme op omkring regisreringen og konrollen af udsaionerende virksomheder.

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040 Grønlands Økonomiske Råd, okober 21 Teknisk baggrundsnoa om de finanspoliiske udfordringer frem mod 24 Indhold Del I: Model og meode...3 1. Finansindikaoren...3 1.1. Den offenlige ineremporale budgeresrikion

Læs mere

Nye data for husholdningernes bilpark; bruttostock, nettostock, afskrivninger og usercost. Version II

Nye data for husholdningernes bilpark; bruttostock, nettostock, afskrivninger og usercost. Version II Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir[Udkas] Peer Rørmose Jensen 12. Februar 24 Nye daa for husholdningernes bilpark; bruosock, neosock, afskrivninger og usercos. Version II Resumé: ADAM s variabler

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Vandløbsregulativ for kommunevandløb nr. 9

Vandløbsregulativ for kommunevandløb nr. 9 Vandløbsregulaiv for kommunevandløb nr. 9 l Ravnsborg kommune Sorsrøms am side 2 af 10 ndholdsforegnelse: 1. Grundlage for regulaive. 2. Beegnelse af vandløbe. 3. Vandløbes skikkelse og dimensioner. 4.

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Servitutter. - og deres betydning for ejendomsværdien

Servitutter. - og deres betydning for ejendomsværdien Serviuer - og deres beydning for ejendomsværdien H OLGER M ADSEN - M ADS N. O LSEN - M ARTIN L UNN K ANDIDATPROJEKT L ANDINSPEKTØRUDDANNELSEN I NSTITUT FOR PLANLÆGNING A ALBORG U NIVERSITET D. 2. J UNI

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Mismatch på det danske arbejdsmarked. Andreas Østergaard Iversen, Peter Stephensen og Jonas Zangenberg Hansen

Mismatch på det danske arbejdsmarked. Andreas Østergaard Iversen, Peter Stephensen og Jonas Zangenberg Hansen Mismach på de danske arbejdsmarked Andreas Øsergaard Iversen, Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen November 2016 Mismach på de danske arbejdsmarked Indholdsforegnelse 1. Indledning... 2 2. Fremskrivning

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Likviditetsanalyse med Konstant og Stokastisk Recovery i et Affint Modelsetup

Likviditetsanalyse med Konstant og Stokastisk Recovery i et Affint Modelsetup COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL, 2013 Cand.merc.(ma) KANDIDATAFHANDLING Likvidiesanalyse med Konsan og Sokasisk Recovery i e Affin Modelseup LIQUIDITY ANALYSIS IN AN AFFINE FRAMEWORK WITH CONSTANT AND STOCHASTIC

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

c. Godkendelse af dagsordenen ( ) d. Godkendelse af referat fra UDDU møde februar 2015 Ingen indsigelser

c. Godkendelse af dagsordenen ( ) d. Godkendelse af referat fra UDDU møde februar 2015 Ingen indsigelser : Dao for møde: Side Dagsorden il møde i UDDU maj 2015 07.05.15 1/7 Referen: Udfærdige dao : Mødesed Tilsedeværende: Søren Kold, Susanne Malle, Marie Fridberg,, Jakob Kli,, 1.0 Formalia a. Valg af dirigen

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Dansk pengeefterspørgsel

Dansk pengeefterspørgsel 45 Dansk pengeeferspørgsel 98 Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I den økonomiske lieraur har pengeeferspørgselsfunkioner ilrukke sig beydelig opmærksomhed. De skyldes

Læs mere