1 Indledning 1. 2 Forskellige former for vækst Proportional vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens vækst...

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Indledning 1. 2 Forskellige former for vækst 2 2.1 Proportional vækst...2 2.2 Lineær vækst...6 2.3 Eksponentiel vækst...10 2.4 Potens vækst..."

Transkript

1 Indhold 1 Indledning 1 2 Forskellige former for vækst Proportional vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens vækst Temaer Tema: Idræt Tema: Kropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr Tema: Nedbrydning af rusmidler Værktøjer (Hentes på LMFK's hjemmeside 4.1 Tabeller og grafer 4.2 Bedste proportionale vækst: y = a x 4.3 Bedste lineære vækst: y = a x + b 4.4 Bedste eksponentielle vækst: y = b a x 4.5 Bedste potensvækst: y = b x a 1 Indledning I dette materiale vil vi se forskellige eksempler på vækst, som f.eks. hvordan telefonregningen vokser, når man sender flere SMS'er, hvordan Danmarks befolkningstal er vokset gennem tiden, hvordan stofskiftet hos pattedyr vokser med kropsvægten. I alle disse tilfælde vokser den pågældende størrelse, dvs. der er tale om positiv vækst. Der er dog også mange eksempler på negativ vækst, såsom hvordan mængden af et rusmiddel i kroppen aftager med tiden, hvordan udklækningstiden for flueæg falder, når luftfugtigheden øges, hvordan antallet af SMS'er, man kan sende for et fast beløb, aftager, når prisen på at sende én SMS vokser. I Afsnit 2 giver vi først et eksempel (udgift ved at sende SMS'er) på, hvordan matematik kan bruges til at beskrive virkeligheden; bl.a. ved at indføre variable. Derefter gennemgås forskellige typer vækst, hovedsageligt vha. øvelser. Endelig består Afsnit 3 af nogle temaer omhandlende forskellige emneområder. 1

2 2 Forskellige former for vækst Dette afsnit handler om følgende typer vækst: proportional vækst, lineær vækst, eksponentiel vækst og vækst med potensfunktioner. For hver type vækst regnes først nogle øvelser, hvorefter vi opsummerer, hvad man generelt kan sige om den pågældende væksttype. 2.1 Proportional vækst Vi starter afsnittet med et eksempel på, hvordan matematik kan bruges til at beskrive virkeligheden. Eksempel Udgift ved at sende SMS'er Det koster Louise 0.25 kr. at sende en SMS. I følgende skema har vi angivet Louises udgift i kr., når hun sender det angivne antal SMS'er. Antal sendte SMS er Udgift (kr.) Sammenhængen mellem antal sendte SMS'er og Louises udgift i kr. kan også angives vha. en graf, som på Figur 1, hvor antal sendte SMS'er er angivet ud ad førsteaksen og udgiften i kr. ud ad andenaksen. Figur 1: Sammenhængen mellem antal sendte SMS'er og Louises udgift i kr. Det ses, at grafen er en ret linie gennem (0, 0), og at liniens hældning er 0.25 (prisen for at sende én SMS). Louise afsætter 50 kr. om måneden til at sende SMS'er for, og hun ønsker at vide, hvor mange SMS'er hun så kan sende. Da hun kan sende 4 SMS'er for 1 kr., slutter vi, at hun kan sende 50 4 = 200 SMS'er for de 50 kr. 2

3 For at kunne spare på skrivearbejdet indfører vi nu to forkortelser: s u står for antallet af sendte SMS'er, står for Louises udgift, målt i kr. I matematik kaldes den slags forkortelser for variable. Idet det koster 0.25 kr. at sende én SMS, ser vi, at sammenhængen mellem de to variable s og u er u = 0.25 s. Udgiften u fås altså ved at gange antallet af sendte SMS'er s med En sådan sammenhæng mellem variable kaldes i matematik for en formel. Det er en enkel måde at beskrive ofte komplicerede sammenhænge på. Formler har også andre fordele. F.eks. får man ved at gange med 4 på begge sider af lighedstegnet, at s =4 u. Her blev én formel altså lavet om til en anden formel. Denne anden formel angiver, hvor mange SMS'er (s) man kan sende for et beløb (u). Sættes u = 50, så fås s = 4 50 = 200, hvilket vi genkender (se ovenfor) som det antal SMS'er Louise kan sende for 50 kr. 3

4 Øvelse 1 Udgift ved at sende SMS'er (fortsættelse af eksempel) I forhold til eksemplet ovenfor falder prisen på at sende en SMS nu til 0.20 kr. (a) I følgende skema skal du angive Louises udgift i kr., når hun sender det angivne antal SMS'er. Antal sendte SMS'er Udgift (kr.) (b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem antal sendte SMS'er og Louises udgift i kr. Hvad er liniens hældningskoefficient? (c) Louise afsætter 50 kr. om måneden til at sende SMS'er for. Hvor mange SMS'er kan hun så sende? (d) Vi betegner antal sendte SMS'er med s og Louises udgift i kr. med u. Hvad skal tallet a være, for at der gælder u=a s? Øvelse 2 Omkreds af cirkler (a) Tegn nogle (mindst 4) cirkler vha. en passer. Mål radius og omkreds af hver af dem; brug f.eks. et stykke snor til at måle omkredsen. Angiv dine målinger i en tabel. Tilføj gerne målinger af radius og omkreds af forskellige runde genstande: kaffekopper, urtepotter, blomsterkummer o.l. (b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem radius og omkreds af de målte genstande. (c) Udregn forholdet mellem omkreds og radius for hver af cirklerne. Sammenlign med de andre elevers resultater. Kan du ud fra dine målinger formulere en generel regel om sammenhængen mellem omkreds og radius af en cirkel? (d) En god måde at få overblik over målinger på er ved at indtaste dem i et regneark eller som lister i en lommeregner. (Se tastevejledning). Gør dette med jeres målinger af omkreds og radius og få regnearket eller lommeregneren til at udregne forholdet mellem omkreds og radius. Øvelse 3 Kogning af ris På en pakke ris angives det, at der til 4 personer skal benyttes 4 dl ris, som koges i 6 dl vand. (a) Hvor meget ris og vand skal benyttes til 3 personer? (b) Ifølge en legende solgte opfinderen af skakspillet det til en kejser. Kejseren skulle betale 1 riskorn for det første felt, 2 for det andet, 4 for det tredje osv. Man kan vise, at kejseren på denne måde i alt skulle betale riskorn for skakspillet. Kan denne mængde ris koges i Tanganyikasøen? Denne sø i Centralafrika har et areal på km 2 og en middeldybde på 600 m. [Du får brug for en del mellemregninger, for at besvare dette spørgsmål. Start f.eks. med at finde ud af hvor meget 1000 riskorn fylder.] 4

5 Opsummering af proportional vækst To variable x og y kaldes proportionale, hvis der gælder y=a x, hvor a er en konstant (som kaldes proportionalitetskonstanten). To variable x og y er proportionale, netop når forholdet mellem dem er konstant: y a x =. Hvis man tegner grafen for y = a x, så fås en ret linie, som går gennem (0,0) og har hældningskoefficient a. Figur 2: Grafen for y = a x Hvis x øges med 1, så ændres y med størrelsen a. Mere generelt: Hvis x øges med størrelsen x, så ændres y med størrelsen y = a x. Hvis x fordobles, så fordobles y ligeledes. Lommeregnere og regneark kan bruges til at få overblik over målinger og undersøge, om der er tale om proportionalitet. (Se tastevejledning). Lommeregnere og regneark har ofte en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde den rette linie gennem (0, 0), der passer bedst med en række målinger. (Se tastevejledning). 5

6 2.2 Lineær vækst Øvelse 4 Omkostning ved at sende SMS'er inklusive telefonabonnement (a) Peter betaler 60 kr. om måneden i abonnement hos sit mobilselskab. Han har ikke råd til at ringe og bruger udelukkende telefonen til at sende SMS'er. Ligesom Louise i eksemplet på side 2 koster det Peter 0.25 kr. at sende en SMS. I følgende skema skal du angive Peters udgift i kr., når han i løbet af en måned sender det angivne antal SMS'er. Antal sendte SMS'er Udgift (kr.) (b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem antal sendte SMS'er og Peters udgift i kr. (c) Peter afsætter 80 kr. om måneden til at sende SMS'er for. Hvor mange SMS'er kan han så sende? Hvad sker der, hvis han som Louise kun afsætter 50 kr. om måneden? (d) Vi betegner antal sendte SMS'er med s og Peters udgift i kr. med u. Hvad skal de to tal a og b være, for at der gælder u=a s+b? (e) Prisen på at sende en SMS falder nu til 0.20 kr. (som for Louise i Øvelse 1). Gentag spørgsmål (a)-(d) med denne pris. Grafen skal tegnes i samme koordinatsystem som før. Hvad er hældningskoefficienterne på de tegnede linier? Hvor skærer de u-aksen? (f) Vi betragter nu den situation, hvor Louise betaler 0.25 kr. for at sende en SMS, mens Peter betaler 0.20 kr. pr. SMS udover abonnementet på 60 kr. om måneden. Hvis Louise og Peter sender lige mange SMS'er, hvor mange skal de så sende om måneden, for at de betaler det samme? 6. jan 2004 SMS-rekord i Danmark nytårsnat At sige godt nytår i en SMS er på mode, og nytårsnat slog danskerne alle hidtidige rekorder i SMS-afsendelse. Af Sisse K. Ibsen Mere end 300 SMS er per sekund. Mindst per minut og over en million SMS er sendt i timen. Og det alene fra TDC s kunder nytårsnat.»det er ny rekord. Ved indgangen til 2003 satte vi også SMS-rekord, men i år blev der sendt omkring 50 procent flere SMS er per sekund«, siger vicedirektør i TDC Mobil, Henning Dickow. Den tætteste trafik lå de første halvanden time efter året var skudt ind. Samme besked lyder fra konkurrenten:»vi har aldrig i Telias historie oplevet så mange SMSbeskeder som sendt først nytårsaften og siden 1. januar«, siger Telias kommunikationschef Robert Neimanas. Samlet sendte Telias mobilkunder over 13 millioner SMS'er i løbet af de to døgn. Nytårsaften er ikke bare store festaften, men også store SMS-aften. I år slog vi alle rekorder. - Foto: Pelle Rink 6

7 Øvelse 5 Høstudbytte og gødning Når man gøder jorden med kunstgødning, vokser høstudbyttet. Så længe man ikke gøder for meget, gælder der, at jo mere man gøder, jo større bliver høstudbyttet. Når man kommer op på en vis gødningsmængde, får man dog ikke ret meget ud af at gøde yderligere (især ikke når udgifterne til gødning tages i betragtning). For en kornsort har man målt følgende samhørende værdier af den anvendte mængde kvælstofgødning pr. hektar (1 hektar er m 2, dvs. ca. 2 fodboldbaner) og høstudbyttet pr. hektar: Mængde kvælstofgødning (kg/hektar) Høstudbytte (tons/hektar) (a) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med mængden af kvælstofgødning ud ad førsteaksen og høstudbyttet ud ad andenaksen. (b) Udregn for hver forøgelse på 20 kg/hektar af gødningsmængden (dvs. fra 0 til 20, fra 20 til 40 osv.) den tilsvarende forøgelse af høstudbyttet, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Mængde kvælstofgødning (kg/hektar) Høstudbytte (tons/hektar) Forøgelse af høstudbytte (tons/hektar) - Hvad kan du konkludere? Hvor meget tror du, det maksimalt kan betale sig at gøde pr. hektar? (c) Vi betragter nu kun de målinger, hvor gødningsmængden ikke overstiger den maksimale gødningsmængde fundet i (b). Brug en lineal til at tegne den rette linie, der ser ud til at passe bedst med målingerne. Er der god overensstemmelse mellem linien og målepunkterne? (d) Vi betegner gødningsmængden målt i kg/hektar med G og høstudbyttet målt i tons/hektar med H. Benyt linien tegnet i (c) til at bestemme to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder H=a G+b. Hvilken sammenhæng er der nogenlunde mellem tallet a og de forøgelser af høstudbyttet, som du udregnede i (b)? (e) Hvilket høstudbytte vil du forvente at opnå ved brug af 50 kg gødning pr. hektar? (f) Hvor meget skal man gøde for at opnå et høstudbytte på 4.2 tons pr. hektar? Hvor meget skal man gøde for at opnå et høstudbytte på 7 tons pr. hektar? Ser disse svar realistiske ud i forhold til målingerne? (g) Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde den rette linie, der passer bedst med en række målinger. (Se tastevejledning). Benyt denne funktion til at bestemme to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder H=a G+b. Sammenlign med den værdi af a og b, du fandt i (d). 7

8 Øvelse 6 Udklækningstid for flueæg 1 Forsøg har vist, at udklækningstiden for flueæg aftager, når luftfugtigheden øges. Konkret har man i et forsøg foretaget følgende målinger af sammenhængen: Luftfugtighed (%) Udklækningstid (timer) (a) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med luftfugtigheden ud ad førsteaksen og udklækningstiden ud ad andenaksen. (b) Udregn for hver forøgelse på 6% af luftfugtigheden (dvs. fra 46% til 52%, fra 52% til 58% osv.) det tilsvarende fald i udklækningstiden, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Luftfugtighed (%) Udklækningstid (timer) Fald i udklækningstid (timer) - Hvad kan du konkludere? (c) Brug en lineal til at tegne den rette linie, der ser ud til at passe bedst med målingerne. Er der god overensstemmelse mellem linien og målepunkterne? (d) Vi betegner luftfugtigheden målt i % med L og udklækningstiden målt i timer med U. Benyt linien tegnet i (c) til at bestemme to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder U=a L+b. Hvilken sammenhæng er der nogenlunde mellem tallet a og de fald i udklækningstiden, som du udregnede i (b)? (e) Hvilken udklækningstid vil du forvente, når luftfugtigheden er 80%? (f) Hvor høj skal luftfugtigheden være, for at udklækningstiden bliver 20 timer? (g) Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde den rette linie, der passer bedst med en række målinger. (Se tastevejledning.) Benyt denne funktion til at bestemme to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder U=a L+b. Sammenlign med de værdier af a og b, du fandt i (d). 1 Data i dette eksempel er taget fra Practical statistics for environmental and biological scientists af John Townsend (Wiley, 2002). 8

9 Opsummering af lineær vækst En variabel y afhænger lineært af en variabel x, hvis der gælder hvor a og b er konstanter. y = a x + b, Hvis man tegner grafen for y = a x + b, så fås en ret linie, som har hældningskoefficient a, og som skærer y-aksen i værdien b. Figur 3: Grafen for y = a x + b Hvis x øges med 1, så ændres y med størrelsen a. Mere generelt: Hvis x øges med størrelsen x, så ændres y med størrelsen y = a x. Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde den rette linie, der passer bedst med en række målinger. (Se tastevejledning). 9

10 2.3 Eksponentiel vækst Øvelse 7 Andemad I et forsøg med andemad har man dagligt optalt antallet af blade. Målingerne er angivet i følgende tabel. Dag Antal blade (a) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med dagene ud ad førsteaksen og antal blade ud ad andenaksen. (b) Udregn for hver dag den faktor, som antallet af blade er vokset med i forhold til dagen før (dvs. fra dag 0 til dag 1, fra dag 1 til dag 2 osv.). Angiv disse tal i nederste række i skemaet. Dag Antal blade Faktor - Hvad kan du konkludere? (c) Vi betegner antallet af dage siden starten af forsøget med t og antal blade med N. Vi ønsker at undersøge, om udviklingen i antallet af blade kan beskrives som eksponentiel vækst, hvilket vil sige på formen N t = b a, hvor a og b er konstanter. Vil vi nu beskrive en metode til at bestemme a og b. Udregn gennemsnittet af de faktorer, som du udregnede i (b), og sæt a lig med dette gennemsnit. Hvorfor er det et rimeligt valg af a? Udfyld den nederste række i skemaet Dag, t Antal blade, N N t a Tag derefter gennemsnittet af tallene i nederste række, og lad b være lig med dette gennemsnit. Hvorfor er det et rimeligt valg af b? 10

11 (d) Indsæt de fundne værdier af a og b i udtrykket N t = b a, og tegn grafen i det koordinatsystem, hvor du har afsat målingerne. Er der god overensstemmelse mellem grafen og målepunkterne? (e) Hvor mange blade vil du forvente, der er efter 7.5 dag? (f) Hvor mange dage ser det ud til, der går, før antallet af blade er fordoblet? Man kan vise, at denne fordoblingstid generelt kan udregnes vha. formlen 2 t fordobling = ln(2) ln( a). Hvilken fordoblingstid giver det med den fundne værdi af a? (g) Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde de bedste værdier af a og b ud fra en række målinger. (Se tastevejledning). Benyt denne funktion til at bestemme to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder N=b a t. Sammenlign med de værdier af a og b, du fandt i (c). (h) Det følgende kan være en smart metode til at afgøre, om en række målinger stemmer overens med eksponentiel vækst. Lav et koordinatsystem som i (a) med dagene ud ad førsteaksen og antal blade ud ad andenaksen. Andenaksen skal dog se anderledes ud end tidligere: Skalaen på andenaksen kaldes en enkeltlogaritmisk skala. Afsæt målingerne i dette koordinatsystem. (Det kræver lidt øvelse at finde ud af, hvordan tallene op ad andenaksen skal afsættes). Hvordan ligger målepunkterne? Man kan vise, at hvis de ligger på en ret linie (med enkeltlogaritmisk skala på andenaksen), så stemmer målingerne overens med eksponentiel vækst. 2 Her betegner ln den naturlige logaritme, der f.eks. findes som en tast på din lommeregner. 11

12 Øvelse 8 Populationsvækst (a) For en koloni af elefantsæler på 30 sæler oplyses det, at den har en vækstrate på 10% om året, dvs. at antallet af sæler ganges med en faktor 1.1 hvert år. (i) Bestem antallet af sæler efter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 år. (ii) Opstil en formel, der angiver antallet af sæler N udtrykt ved antal år t. (iii) Hvor mange år går der, før koloniens størrelse er fordoblet? (b) Når rotter har tilstrækkeligt gode levevilkår, formerer de sig med en fordoblingstid på ca. 50 dage. (i) Antallet af rotter betegnes med N og antal dage med t. Benyt fordoblingstiden til at bestemme konstanten a i udtrykket N t = b a. (ii) Til at starte med er der 10 rotter. Hvor lang tid går der, før der er 1000 rotter? 12

13 Øvelse 9 Befolkningstallet i Danmark i perioden I nedenstående tabel er angivet, hvorledes befolkningstallet i Danmark har udviklet sig i perioden Årstal Befolkningstal (a) Afsæt målingerne i et almindeligt koordinatsystem med årstallet ud ad førsteaksen og befolkningstallet ud ad andenaksen. (b) Diskutér hvilke samfundsmæssige faktorer, der kan have indflydelse på væksten i befolkningstallet. (c) Lad N betegne befolkningstallet og t årstallet. Tegn grafen (gerne vha. lommeregner eller IT) for eksponentialfunktionen N = t ( 1769) i det koordinatsystem, hvor du har afsat målingerne. I hvilken periode vokser befolkningstallet eksponentielt? Med hvilken vækstrate? (d) Benyt en enkeltlogaritmisk skala som i Øvelse 7 til at undersøge, om befolkningstallet vokser eksponentielt. (e) Følgende grafiske præsentation af befolkningstallets udvikling stammer fra Danmarks Statistikbank. Figur 5: Befolkningstallet i Danmark i perioden Det ser ud som om, befolkningstallet vokser lineært indtil ca og derefter flader ud. Dette stemmer ikke overens med, hvad vi har sluttet ovenfor. Hvad er der galt på Figur 5? 13

14 Opsummering af eksponentiel vækst En variabel y afhænger eksponentielt af en variabel x, hvis der gælder y=b a x, hvor a > 0 og b er konstanter. For a > 1 vokser y, når x vokser. Hvis vi skriver a som a = 1 + r, så er tallet r vækstraten. (F.eks. vil a = 1.05 svare til en vækstrate på 0.05 = 5%). For a < 1 aftager y, når x vokser. Hvis vi skriver a som a = 1 r, så er tallet r den negative vækstrate. (F.eks. vil a = 0.99 svare til en negativ vækstrate på 0.01 = 1%). På nedenstående figur ses to eksempler på grafer for eksponentialfunktioner: y *2^x *0.8^x Figur 6: Grafer for y = x og y = x Hvis x øges med 1, så ganges y med størrelsen a. Mere generelt: Hvis x øges med størrelsen x, så ganges y med størrelsen a x. For a > 1 er fordoblingstiden givet ved x t fordobling ln(2) = ln( a) For a < 1 er halveringstiden givet ved t halvering = 1 ln( 2) ln( a) Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde de bedste værdier af a og b ud fra en række målinger. (Se tastevejledning). 14

15 2.4 Potens vækst I Afsnit 2.1 betragtede vi proportionale størrelser, hvor sammenhængen mellem x og y er på formen y = a x, hvor a er en konstant. Vi vil nu betragte lignende, men lidt mere komplicerede sammenhænge. Vi vil se eksempler, hvor y er proportional med x 2 eller x 3, y er omvendt proportional med x, hvilket vil sige proportional med 1 x, y er proportional med en eller anden potens x a af x. y proportional med x 2 eller x 3 Øvelse 10 Areal af cirkelskiver (a) Tegn på kvadreret papir nogle (mindst 4) cirkler vha. en passer, og mål radius for hver af dem. Tæl antallet af små kvadrater inden for hver cirkel. (Hvad vil du gøre med de kvadrater, der kun ligger delvist inden for cirklen?) Benyt dette til at vurdere cirkelskivernes areal. Angiv dine målinger i en tabel. (b) Udregn derefter forholdet mellem areal og radius for hver af cirklerne. Er det konstant? Prøv derefter at udregne forholdene mellem areal og radius i anden potens (dvs. areal ). 2 Sammenlign med de andre elevers resultater. Kan du ud radius fra dine målinger formulere en generel regel om sammenhængen mellem areal og radius for en cirkel? Opskriv denne sammenhæng vha. variable. (c) En god måde at få overblik over målinger på er ved at indtaste dem i et regneark eller som lister i en lommeregner. (Se tastevejledning). Gør dette med jeres målinger af omkreds og areal, og få regnearket eller lommeregneren til at udregne forholdet mellem omkreds og radius i anden potens. (d) Her er en anden metode til at bestemme arealerne af cirkelskiverne: Klip cirkelskiverne ud, og vej dem på en passende vægt. Hvordan kan du benytte vægten af cirkelskiverne til at bestemme deres areal? (Det kan være en hjælp at veje et A4-ark og måle dets areal). Øvelse 11 Afmåling af spaghetti 15

16 På følgende tegning ses en plasticskive til afmåling af spaghetti til 1, 2, 3 eller 4 personer. Figur 7: Skive til afmåling af spaghetti (a) Det oplyses, at det mindste hul har en diameter på 2 cm. Hvilken diameter har de andre huller? (b) Spaghettien er 25 cm lang og har en massefylde på 1.1 gram/cm 3. Hvor mange gram regnes der med pr. person? (c) Hvilken diameter skal et hul have, for at der er plads til en hel pakke spaghetti (500 gram)? Øvelse 12 Overflade-rumfang forhold i celler For celler i biologi er transporten af forskellige stoffer ind i cellen af stor betydning. Den mængde stof, der kan transporteres ind i cellen, er proportional med cellens overfladeareal, men cellens behov for de pågældende stoffer er proportionalt med cellens rumfang. Derfor er man ofte interesseret i forholdet mellem overfladeareal og rumfang af celler. (a) Udregn overfladen O og rumfanget V for kugleformede celler med de angivne værdier af cellens radius r. Udregn dernæst forholdet O V. Radius i mm, r Overflade i mm 2, O Rumfang i mm 3, V O V Bestem en formel, der udtrykker V O ved hjælp af r. De fleste celler har en radius på højst 0.1 mm. Kan du give en kort forklaring på dette? (b) I forsøg, hvor man efterligner celler, arbejder man ofte med terningformede agarblokke. Udregn overfladen O og rumfanget V for terningformede celler med de angivne værdier af cellens kantlængde x. Udregn dernæst forholdet O V. Kantlængde i mm, x Overflade i mm 2, O Rumfang i mm 3, V O V ved hjælp af x. Hvordan ser resultaterne ud i for- Bestem en formel, der udtrykker V O hold til kugleformede celler? 16

17 y omvendt proportional med x Øvelse 13 Antal SMS'er og stykpris Vi vender tilbage til eksemplet i Afsnit 2.1 om Louise, der sender SMS'er. Vi skal undersøge, hvor mange SMS'er hun kan sende for et fast beløb, når prisen på at sende én SMS ændres. (a) Louise afsætter 50 kr. om måneden til at sende SMS'er for. I følgende skema skal du angive det antal SMS'er, Louise kan sende for de 50 kr., når prisen målt i kr. på at sende én SMS er som angivet. Pris (kr.) Antal SMS'er (b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem prisen målt i kr. på at sende én SMS og det antal SMS'er, Louise kan sende for 50 kr. (c) Hvis prisen på at sende én SMS fordobles, hvad sker der så med det antal SMS'er, Louise kan sende for 50 kr.? Hvis prisen på at sende én SMS stiger med 10%, hvad sker der så med det antal SMS'er, Louise kan sende for 50 kr.? (d) Vi betegner prisen målt i kr. på at sende én SMS med p og det antal SMS'er, Louise kan sende for 50 kr., med s. Hvad skal tallet a være, for at der gælder a s =? p (e) Gentag spørgsmål (a)-(d), når Louise i stedet for afsætter 70 kr. om måneden til at sende SMS'er for. Se også Øvelse 17 om kondital, iltoptagelse og hvilepuls. y proportional med x a Indtil nu har vi arbejdet med følgende potensfunktioner: Når y er proportional med x, så findes en konstant b, så y = b x, når y er proportional med x 2, så findes en konstant b, så y = b x 2, når y er proportional med x 3, så findes en konstant b, så y = b x 3, når y er omvendt proportional med x, så findes en konstant b, så y b 1 = = b x. x Mere generelt kommer man ud for sammenhænge, hvor y er proportional med x a for en konstant a, dvs. hvor der findes konstanter a og b, så y a = b x. 17

18 Øvelse 14 Atletikrekorder Verdensrekorderne i løb for kvinder (pr. 22/7/1999) er angivet i følgende tabel: Distance (meter) Tid (sekunder) (a) Hvad vil du forvente, der sker med tiden, når distancen fordobles? Underbygges din forventning af målingerne? Tyder dette på, at tiden er proportional med distancen? (b) En anden måde, hvorpå man kan undersøge, om der er proportionalitet, består i at udregne forholdet mellem tid og distance. Hvis der er proportionalitet, så skulle dette forhold være nogenlunde konstant. Udregn forholdet mellem tid og distance (for hver distance), og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Distance (meter) Tid (sekunder) Tid Distance Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? Hvis ikke, vokser eller aftager forholdet, når distancen øges? (c) Lad D betegne distancen målt i meter og T tiden målt i sekunder. Udregn for T hver distance størrelsen og angiv disse tal i nederste række i skemaet D Distance (meter) Tid (sekunder) T D 1.13 Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? Florence Griffith Joyner (FloJo) er den kvinde i verden, der har løbet hurtigst: Hun holder verdens-rekorden på både 100 meter og 200 meter. Rekorden på 200 meter blev sat ved OL i Seoul

19 (d) Tag gennemsnittet af tallene i nederste række i skemaet i (c), og lad b være lig med dette gennemsnit. Indsæt den fundne værdi af b i udtrykket T = b D og benyt dette til at beregne forventede værdier af T for hver af distancerne. (e) Med hvilken faktor vil man forvente, tiden vokser, når man fordobler distancen? (f) Bestem den forventede verdensrekord i maraton (42195 meter) for kvinder. Til sammenligning oplyses det, at verdensrekorden er 8447 sekunder. (g) Hvor langt vil man forvente, at en kvinde maksimalt kan løbe i en Cooper-test (dvs. på 12 minutter)? (h) I Øvelse 7 og 9 så vi, at en enkeltlogaritmisk skala kan bruges til at afgøre, om en række målinger stemmer overens med eksponentiel vækst. Vi skal nu se, at et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem kan bruges til at afgøre, om en række målinger stemmer overens med potens vækst. Lav et koordinatsystem med distancen målt i meter ud ad førsteaksen og tiden målt i sekunder ud ad andenaksen. Akserne skal dog se anderledes ud end normalt: 1.13 Figur 8: Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem Afsæt målingerne i dette koordinatsystem. Hvordan ligger de? Man kan vise, at hvis de ligger på en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, så stemmer målingerne overens med potens vækst. Se også Øvelse 21 om sammenhængen mellem stofskifte og kropsvægt samt Øvelse 22 om sammenhængen mellem skeletvægt og kropsvægt. 19

20 Opsummering af potens vækst En variabel y er en potensfunktion af variablen x, hvis der gælder y a = b x, hvor a og b er konstanter. For a > 0 vokser y, når x vokser. For a < 0 aftager y, når x vokser. På nedenstående figur ses to eksempler på grafer for potensfunktioner: y *x^2 1.7*x^(-0.4) Figur 9: Grafer for y = 0.2 x 2 og y = 1.7 x 0.4 Hvis x ganges med 2, så ganges y med størrelsen 2 a. Mere generelt: Hvis x ganges med konstanten k, så ganges y med størrelsen k a. Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde de bedste værdier af a og b ud fra en række målinger. (Se tastevejledning). x 20

21 3 Temaer Dette afsnit består af nogle temaer. I hvert tema regnes en række øvelser inden for et fælles emne. De væksttyper, der optræder, er de samme som i Afsnit 2, men i dette afsnit er øvelserne sorteret efter emne og ikke efter væksttype. 3.1 Tema: Idræt Øvelse 15 Hals- og håndledstykkelse (a) Mål med et målebånd alle på holdets halstykkelse (omkreds) og håndledstykkelse (omkreds) i cm, og indfør målingerne i følgende skema: Elev Halstykkelse (cm) Håndledstykkelse (cm) (b) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med (f.eks.) halstykkelsen i cm ud ad førsteaksen og håndledstykkelsen i cm ud ad andenaksen. (c) Er der en sammenhæng mellem de målte værdier af hals- og håndledstykkelse? I bekræftende fald hvilken? (d) Hvilken halstykkelse vil du forvente for personer med håndledstykkelse på hhv. 10, 15 og 20 cm? Øvelse 16 Håndkraft og sammenpresning af fjeder (a) Ved hjælp af et hånddynamometer kan man måle den statiske styrke i de muskler, der bøjer fingrene. Mål alle på holdets statiske styrke (i kg) og det stykke, fjederen sammenpresses (i mm). Omregn den statiske styrke i kg til statisk styrke i N (Newton). Indfør målingerne i følgende skema: Elev Sammenpresning (mm) Statisk styrke (kg) Statisk styrke (N) (b) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med sammenpresningen i mm ud ad førsteaksen og den statiske styrke i N ud ad andenaksen. 21

22 (c) Lad x betegne sammenpresningen i mm og F den statiske styrke i N. Fra fysik (Hookes lov) vides det, at der bør gælde F=k x, hvor k kaldes fjederkonstanten. Hvad er fjederkonstanten i dette tilfælde? (d) Hvilken statisk styrke svarer til en sammenpresning på 2 cm? Øvelse 17 Kondital, iltoptagelse og hvilepuls (a) Alle på holdet måler deres hvilepuls under de rette betingelser. Konditallet, der er defineret som: maksimal iltoptagelse (i ml/min) legemsvægt (i kg) findes vha. af en eller flere konditionstests. Indfør målingerne i følgende skemaer: Elev Hvilepuls Kondital Piger Drenge Årets bedste kondital i Haslev årgang 2004: Janus Hansen Elev Hvilepuls Kondital (b) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med hvilepulsen ud ad førsteaksen og konditallet ud ad andenaksen. Benyt forskellige symboler for piger og drenge. (c) Er der en sammenhæng mellem de målte værdier hos piger af hvilepulsen og konditallet? I bekræftende fald hvilken? Gentag spørgsmålet med drenge. Er der forskel på målingerne for drenge og piger? (d) Hvilket kondital svarer til en hvilepuls på 30 for piger? (e) Find den maksimale iltoptagelse evt. vha. konditallet. Indfør målingerne i følgende skemaer: Elev Hvilepuls Maksimal iltoptagelse Elev Hvilepuls Maksimal iltoptagelse Piger Drenge (f) Gentag spørgsmål (b)-(d) med konditallet erstattet af maksimal iltoptagelse. 22

23 Øvelse 18 Hoppehøjde og lårmusklens tværsnitsareal (a) Hoppehøjden (i meter) måles for alle på holdet: Udgangsstillingen er 90 bøjning i både knæ- og hofteled. Udgangsstillingen holdes mindst 1 sekund, inden der hoppes, så forspænding undgås. (b) Lårmusklens tværsnitsareal beregnes på følgende måde (se tegning): Omkredsen (i cm) af låret måles med et målebånd midt mellem hofteled og knæled. Dette benyttes til at bestemme radius R i cm af hele låret. Hud-og fedttykkelsen d (i cm) måles med en hudfoldsmåler (eller en skydelære) forrest på låret. (Bemærk at man faktisk måler størrelsen 2d med hudfoldsmåleren). Bestem radius r (i cm) af lårets fedtfrie område ud fra værdierne af R og d. Beregn lårets fedtfrie tværsnitsareal (arealet af den inderste cirkel). Lårmusklens tværsnitsareal er ca. 48% af lårets fedtfrie tværsnitsareal. (c) Indfør målingerne i følgende skema: Elev Lårmusklens tværsnitsareal (cm 2) Hoppehøjde (meter) (d) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med tværsnitsarealet i cm 2 ud ad førsteaksen og hoppehøjden i meter ud ad andenaksen. (e) Er der en sammenhæng mellem hoppehøjden og tværsnitsarealet? I bekræftende fald hvilken? (f) Hvilket tværsnitsareal skal der til for at opnå en hoppehøjde på 1 meter? Øvelse 19 BMI (Body Mass Index) (a) Mål din højde (i meter) og vægt (i kilo), og udveksl dine målinger med resten af holdet. Afsæt alle målingerne i et koordinatsystem med højden ud ad førsteaksen og vægten ud ad andenaksen. (b) Til at bedømme om en persons vægt passer godt til højden, benytter man ofte det såkaldte Body Mass Index (BMI). Dette index afhænger af personens vægt i kilo og højden i meter på følgende vis: BMI = vægt i kilo ( højde i meter) 2. 23

24 Hvis h betegner højden i meter og v betegner vægten i kilo, har vi altså BMI = v 2 h. Normalt siger man, at vægten passer godt til højden, hvis BMI opfylder 20 BMI 25. Udtryk vægten v vha. højden h, når det oplyses, at BMI = 20. Indtegn den tilsvarende graf i det koordinatsystem, hvor du har afsat dine målinger. Gør derefter det samme med BMI = 25. Hvad betyder det, når en måling ligger mellem de to grafer? Hvad når den ligger over eller under de to grafer? (c) Ernæringseksperten Lars Okholm har angivet følgende tommelfingerregel til at beregne normalvægten ud fra højden: Tag højden i cm og træk 100 fra. Træk derefter 10% fra. Træk 3 kilo fra for kvinder og 1 kilo fra for mænd. Udregn normalvægten for gruppens medlemmer vha. Okholms tommelfingerregel. Afsæt disse Okholm-punkter i det koordinatsystem, hvor du har afsat dine målinger. Brug forskellige symboler for mænd og kvinder. Tegn en ret linie gennem Okholm-punkterne for kvinder og en ret linie gennem Okholmpunkterne for mænd. Hvordan passer disse Okholm-linier med målingerne og med graferne svarende til BMI = 20 og BMI = 25? (d) For maratonløbere regner man som tommelfingerregel med, at vægten (målt i kilo) skal være en tredjedel af højden målt i cm. Indtegn den tilsvarende graf. Hvilken kropsbygning har de fleste maratonløbere? (e) Ifølge Diabetesforeningen (www.diabetes.dk/default.asp?id=4219) har man risiko for at få livsstilssygdomme såsom diabetes (sukkersyge), hvis vægten målt i kilo er mere end højden i cm minus 90. Tegn den graf, der svarer til, at vægten er lig med højden i cm minus 90. Sammenlign med de grafer, der svarer til BMI på hhv. 25 og 30. Test din risiko for type 2 diabetes danskere har type 2 diabetes uden at vide det. Måske er du en af dem? Hvad er type 2 diabetes Type 2 diabetes er kendt under mange navne: Gammelmandssukkersyge, aldersdiabetes, mild diabetes. Disse navne er misvisende. Type 2 diabetes rammer stadig flere mennesker uanset alder og køn. Type 2 diabetes er en farlig sygdom, men der kan med livsstilsændringer og medicin gøres meget for at undgå alvorlige komplikationer på øjne, kredsløb, nyrer og nerver. Symptomerne på type 2 diabetes er ofte svage. Derfor har du og din læge måske ikke været advaret. Herunder kan du teste, om du er i farezonen med stor risiko for at have type 2 diabetes. Højde og vægtgrænse Trækker du 90 fra din højde i cm, finder du den vægtgrænse, hvor din risiko for livsstilssygdomme generelt øges. Høj risiko for at have type 2 diabetes opstår især ved svær overvægt og visse andre situationer. Når dit BMI (Body Mass Index) overstiger 30, er du svært overvægtig. Det udregnes således: Tag din vægt i kilo. Divider vægten med din højde i meter (fx 1,70) ganget med sig selv. Eksempel: 90 / (1,70 x 1,70) = 90 / 2,89 BMI = 31,1 24

25 3.2 Tema: Kropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr Jo større et pattedyr er, jo større vil vi forvente at dets blodmængde, stofskifte og skeletvægt er. I de følgende tre øvelser skal vi dog se, at der er stor forskel på, hvordan disse tre størrelser vokser med pattedyrets vægt. Øvelse 20 Blodmængde i pattedyr I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt og blodmængde for en række pattedyr: Dyr Mus Rotte Kat Hund Ged Menneske Hest Elefant (indisk) Vægt (kg) Blodmængde (liter) (a) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med kropsvægten i kg ud ad førsteaksen og blodmængden i liter ud ad andenaksen. (Med mindre du har et meget stort stykke papir, kan det være en idé at udelade elefanten). Ser det ud til, at blodmængden er proportional med kropsvægten, dvs. at der hører en fast blodmængde til hvert kg kropsvægt? (b) En anden måde, hvorpå man kan undersøge, om der er proportionalitet, består i at udregne forholdet mellem blodmængde og kropsvægt for hvert dyr. Hvis der er proportionalitet, så skulle dette forhold være nogenlunde konstant. Udregn for hvert dyr forholdet mellem blodmængde og kropsvægt, dvs. hvor mange liter blod der er pr. kg kropsvægt. Angiv disse tal i nederste række i skemaet. Dyr Mus Rotte Kat Hund Ged Menneske Hest Elefant (indisk) Vægt (kg) Blodmængde (liter) Liter blod pr. kg Hvad kan du konkludere? (c) Hvis et dyr vejer 3 gange så meget som et andet dyr, hvilket forhold vil man så forvente mellem deres blodmængder? (d) Brug en lineal til at tegne den rette linie gennem (0, 0), der ser ud til at passe bedst med målingerne. Er der god overensstemmelse mellem linien og målepunkterne? 25

26 (e) Vi betegner kropsvægten målt i kg med K og blodmængden målt i liter med B. Benyt linien tegnet i (d) til at bestemme et tal a, så der med god tilnærmelse gælder B = a K. Hvilken sammenhæng er der nogenlunde mellem tallet a og de forhold mellem blodmængde og kropsvægt, som du udregnede i (b)? (f) Hvor mange liter blod vil man forvente i en gris på 100 kg? (g) Hvilken kropsvægt vil man forvente for en hamster med en blodmængde på 7.25 ml? (h) En god måde at få overblik over målinger på er ved at indtaste dem i et regneark eller som lister i en lommeregner. (Se tastevejledning). Gør dette med målingerne af blodmængde og kropsvægt og få regnearket eller lommeregneren til at udregne forholdet mellem blodmængde og kropsvægt. (i) Lommeregnere og regneark har en indbygget funktion, der (efter visse retningslinier, som vi ikke vil komme ind på) kan finde den rette linie gennem (0, 0), der passer bedst med en række målinger. (Se tastevejledning). Benyt denne funktion til at bestemme tallet a, så der med god tilnærmelse gælder B = a K. Sammenlign med den værdi af a, du fandt i (e). Øvelse 21 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt (i kg) og stofskifte (som måles som det antal liter ilt, der forbrændes i timen) for forskellige pattedyr. Dyr Vampyrflagermubjørn Næse- Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvægt (kg) Stofskifte (liter ilt pr. time) (a) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med kropsvægten ud ad førsteaksen og stofskiftet ud ad andenaksen. Ser det ud til, at stofskiftet er proportionalt med kropsvægten, dvs. at der hører et fast stofskifte til hvert kg kropsvægt? 26

27 (b) En anden måde, hvorpå man kan undersøge, om der er proportionalitet, består i at udregne forholdet mellem stofskifte og kropsvægt for hvert dyr. Hvis der er proportionalitet, så skulle dette forhold være nogenlunde konstant. Udregn for hvert dyr forholdet mellem stofskifte og kropsvægt, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Dyr Vampyrflagermubjørn Næse- Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvægt (kg) Stofskifte(liter ilt pr. time) Stofskifte Kropsvægt Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? Hvis ikke, vokser eller aftager forholdet, når kropsvægten vokser? (c) Lad K betegne kropsvægten målt i kg og S stofskiftet målt i liter ilt pr. time. Udregn for hvert dyr størrelsen S 0.75 K og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Vampyrflagermubjørn Næse- Dyr Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvægt Stofskifte S K 0.75 Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? (d) Tag gennemsnittet af tallene i nederste række i skemaet i (c), og lad b være lig med dette gennemsnit. Indsæt den fundne værdi af b i udtrykket S = b K og tegn grafen for denne funktion i det koordinatsystem, hvor du har afsat målingerne. Er der god overensstemmelse mellem grafen og målepunkterne? (Se for en mulig biologisk forklaring på dette fænomen). (e) Hvis et dyr er dobbelt så tungt som et andet, hvor mange gange større er dets stofskifte så? (f) Hvilket stofskifte vil man forvente for et menneske på K = 70 kg? (g) Det oplyses, at et dyrs stofskifte er 3.4 liter ilt pr. time. Hvilken kropsvægt vil du forvente for dyret? (h) I bogen Gullivers rejse af Jonathan Swift er Gulliver 12 gange større end lilleputterne i hver af de tre dimensioner (højde, bredde og tykkelse). Derfor besluttede lilleputternes kejser, at der til hvert måltid skulle serveres 12 3 = 1728 portioner (i lilleput-størrelse) for Gulliver. Kan du ved at benytte konklusionerne i denne øvelse komme med et bedre forslag til antallet af portioner? (i) Kan du se, hvordan følgende sætning afspejler konklusionerne i denne øvelse?

28 Hvis stofskiftet var proportionalt med kropsvægten, så ville en ko være kogende på overfladen eller en mus være nødt til at have en 20 cm tyk pels for at holde sig varm (i) Benyt et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem som i Øvelse 14 til at afgøre, om målingerne stemmer overens med potens vækst. Øvelse 22 Skeletvægt og kropsvægt hos pattedyr I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt og skeletvægt i kg for forskellige pattedyr. Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt (kg) Skeletvægt (kg) (a) Udregn for hvert dyr forholdet mellem skeletvægt og kropsvægt, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt (kg) Skeletvægt (kg) Skeletvægt Kropsvægt Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? Hvis ikke, vokser eller aftager forholdet når kropsvægten vokser? (b) Lad K betegne kropsvægten målt i kg og S skeletvægten målt i kg. Udregn for hvert dyr størrelsen S K 1.09 og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt Skeletvægt S K 1.09 Ser dette forhold ud til at være nogenlunde konstant? (c) Tag gennemsnittet af tallene i nederste række i skemaet i (b), og lad b være lig med dette gennemsnit. Indsæt den fundne værdi af b i udtrykket S = b K og benyt dette til at beregne forventede værdier af S for hvert af dyrene. Hvordan stemmer disse forventede værdier med målingerne? (d) Hvis et dyr er dobbelt så tungt som et andet, hvor mange gange tungere er dets skelet så?,

29 (e) Så vidt vides, er Baluchiterium, der var i familie med næsehornet og havde en kropsvægt på ca. 30 tons, det største pattedyr, der nogensinde har levet. Benyt formlen i (c) til at vurdere dets skeletvægt. Hvor stor en del af dets vægt udgjorde skelettet? (f) Det oplyses, at et dyrs skeletvægt er 10 kg. Hvilken kropsvægt vil du forvente for dette dyr? (j) Benyt et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem som i Øvelse 14 og 21 til at afgøre, om målingerne stemmer overens med potens vækst. 29

30 3.3 Tema: Nedbrydning af rusmidler Øvelse 23 Nedbrydning af alkohol (a) En person indtager hurtigt efter hinanden 5 øl med en alkoholprocent på 4%. (Vi regner her med vægtprocent, dvs. at det er 4% af øllens vægt, der er alkohol). Hvor mange gram alkohol har personen så i kroppen? (b) Normale personer forbrænder alkohol med en hastighed på ca. 8 gram i timen (uafhængigt af mængden af alkohol i blodet). Hvor meget alkohol har personen fra (a) tilbage i kroppen efter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 timer? (c) Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af alkohol i kroppen afhænger af antallet af timer siden indtagelsen af de 5 øl. (d) Opstil en formel, der angiver, hvordan mængden af alkohol i kroppen afhænger af antallet af timer siden indtagelsen af de 5 øl. (e) Hvor længe går der, før personen ikke har noget alkohol tilbage i kroppen? (f) En anden person indtager én øl til at starte med og derefter én øl hver halve time (i en hurtig slurk). Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af alkohol i kroppen på denne person afhænger af antallet af timer, siden indtagelsen begyndte. Øvelse 24 Nedbrydning af andre rusmidler 3 Alkohol er det eneste rusmiddel, der nedbrydes med konstant hastighed. For alle andre rusmidler gælder der, at man i løbet af et fast tidsrum nedbryder en vis procentdel af rusmidlet. Dette betyder, at mængden af rusmidlet i kroppen aftager eksponentielt med tiden. Betegnes mængden af rusmidlet i kroppen med M og tiden efter indtagelse med t, så har vi altså M M a t = 0, hvor M 0 er mængden af rusmidlet i kroppen lige efter indtagelse, og a er en konstant, der afhænger af det pågældende rusmidddel. Da mængden aftager med tiden, vil a < 1. (a) For et vist rusmiddel oplyses det, at a = 0.95 (når tiden måles i timer). (i) En person indtager 3 mg af rusmidlet. Hvor meget af rusmidlet har personen tilbage i kroppen efter 1, 2, 5, 12, 24 og 100 timer? (ii) Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af rusmidlet i kroppen afhænger af antallet af timer siden indtagelsen. (iii) Bestem halveringstiden for rusmidlet. (b) THC (det aktive stof i hash) har en halveringstid på ca. 4 døgn. (i) En person indtager 12 mg THC. Hvor meget THC har personen tilbage i kroppen efter 4, 8, 12 og 16 døgn? (ii) Benyt halveringstiden til at bestemme konstanten a i udtrykket t M = M0 a (når tiden måles i døgn). (iii) Tegn en graf, der viser hvordan mængden af THC i kroppen afhænger af antallet af døgn siden indtagelsen. (iv) Hvor længe går der, før mængden af THC i kroppen er faldet til 0.1 mg? (v) Hvad sker der, hvis personen indtager 12 mg THC hver fjerde dag? 3 Sundhedsstyrelsen har en god hjemmeside med oplysning om bl.a. nedbrydning af rusmidler: 30

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Dette projekt lægger op til et samarbejde med biologi eller idræt, men kan også gennemføres som et projekt i matematik, hvor fokus er at studere forskellen på lineære

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Det matematiske modelbegreb

Det matematiske modelbegreb 1 Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I får mulighed for at udvikle modelleringskompetence og derved danne jer et indblik i denne kompetence bliver rustet til at tilrettelægge undervisningsmiljøer/-situationer,

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 13.00 HFE081-MAB

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 13.00 HFE081-MAB HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 14. maj 2008 Kl. 09.00 13.00 HFE081-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Hvor meget kan du drikke og stadigt være i stand til at køre?

Hvor meget kan du drikke og stadigt være i stand til at køre? Undervisningsmateriale indsamlet af PARSEL konsortiet Som en del af et EU FP6 finansieret projekt (SAS6 CT 2006 042922 PARSEL) om Popularitet og Relevans af Naturvidenskabsundervisning for scientific Literacy

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17 Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Bliv klogere på din sundhed. Medarbejderens egen sundhedsmappe

Bliv klogere på din sundhed. Medarbejderens egen sundhedsmappe Projekt Sund Medarbejder Bliv klogere på din sundhed Medarbejderens egen sundhedsmappe I samarbejde med Bliv klogere på din sundhed Navn: Dato: Du har nu mulighed for at komme igennem forskellige målinger,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Facitliste til MAT X Grundbog

Facitliste til MAT X Grundbog Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation

Læs mere

Omvendt proportionalitet og hyperbler... 25 Eksponentialfunktioner... 28 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner...

Omvendt proportionalitet og hyperbler... 25 Eksponentialfunktioner... 28 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner... Funktioner Omvendt proportionalitet og hperbler... 5 Eksponentialfunktioner... 8 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner... 33 Funktioner Side 4 Omvendt proportionalitet og

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf113-MAT/C-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU Fredag den 29. august 2008 Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår med lige

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres. KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre

Læs mere

Krop og muskler. NV forløb i 1s. Udarbejdet i samarbejde med Hadsten Amtsgymnasium. Krop og muskler NV forløb i 1s 2006 side 1 af 8

Krop og muskler. NV forløb i 1s. Udarbejdet i samarbejde med Hadsten Amtsgymnasium. Krop og muskler NV forløb i 1s 2006 side 1 af 8 Krop og muskler NV forløb i 1s Udarbejdet i samarbejde med Hadsten Amtsgymnasium Krop og muskler NV forløb i 1s 2006 side 1 af 8 Krop og muskler fysik og biologi fokus på formidling Dato Lektion Fag Lærer

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Artikel 1: Energi og sukker

Artikel 1: Energi og sukker Artikel 1: Energi og sukker Selvom der er meget fokus på, hvor vigtigt det er at spise sundt, viser de seneste undersøgelser, at danskerne stadig har svært at holde fingrene fra de søde sager og fedtet.

Læs mere

Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald

Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald Der findes mange situationer, hvor en bestemt størrelse ændres som følge af vekselvirkninger med

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

1. ALKOHOL OG NERVER. Forslag til elevarbejde OPGAVEARK

1. ALKOHOL OG NERVER. Forslag til elevarbejde OPGAVEARK 1. ALKOHOL OG NERVER Niveau De gymnasielle uddannelser dele af materialet kan også bruges på erhvervsuddannelser og produktionsskoler. Fag Biologi (Niveau B) eller som del af tværfagligt forløb. Kilde

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver. Omvendt proportionalitet og hyperbler. Matematik på Åbent VUC

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver. Omvendt proportionalitet og hyperbler. Matematik på Åbent VUC Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Omvendt proportionalitet og hperbler 1: 4 m m 1; 8; 6; 4, 8 ; 4;..; 4 4,9 m ( = 4 ) : 1.5 kr. 65 kr..5; 1.5; 8;..; 417 Ja mdr. 15. : 6,6 kr., kr. 1, kr. 9,9

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen gl-2hf111-mat/c-2605201 11 Torsdag den 26. maj 2011 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. (4 timer) Matematik D Almen voksenuddannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU131-MAT/D Torsdag den 12. december 2013 kl. 9.00-13.00 Bier og biavl Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx101-MAT/A-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Målestoksforhold. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 25 Ekstra: 10 Mdt mat: 1 Point:

Målestoksforhold. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 25 Ekstra: 10 Mdt mat: 1 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Målestoksforhold Følgende gennemgås: Målestoksforhold Regnetrekanten Fra virkelighed til tegning Skitse & målestokstegning Fra tegning til virkelighed At finde

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK C-NIVEAU. Tirsdag den 11. december 2007. Kl. 09.00 12.00 2HF073-MAC

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK C-NIVEAU. Tirsdag den 11. december 2007. Kl. 09.00 12.00 2HF073-MAC HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK C-NIVEAU Tirsdag den 11. december 2007 Kl. 09.00 12.00 2HF073-MAC Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår med

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole

Læs mere