Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Transkript

1 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Hvad er en vektorfunktion? Parameter og Koordinatfunktioner Definitionsmængde Banekurven for en vektorfunktion Brug af grafprogrammer Forskellen på banekurver og grafer Pointen med det hele: Bevægelse! Et vigtigt eksempel: Rette linjer Et eksperiment Konklusion på eksperimentet Kontinuitet og differentiabilitet 15 6 Hastighed, fart og acceleration Hastighed Fart Acceleration Indtegning af hastighed og acceleration på banekurven 18 7 Et interessant eksempel: Cirkelbevægelse Den generelle cirkelbevægelse

3 Resumé I dette dokument gennemgår vi den basale teori om vektorfunktioner. 1 Introduktion Vektorfunktioner er præcis hvad navnet antyder: Funktioner som laver vektorer. På den måde er det et emne som kombinerer næsten alle emner fra de første to års undervisning i gymnasiematematik f.eks. talbegrebet, funktionsbegrebet, analytisk geometri, vektorer, differentiation og integration. Samtidigt åbner det døre til mange avancerede emner, som f.eks. geometri i flere dimensioner og koblede differentialligninger. Desuden er det et emne som man tydeligt kan se praktiske anvendelser af i f.eks. fysik eller i forbindelse med computergrafik uden at det bliver oversimplificeret eller kunstigt. Kort sagt: Spændende emne! Forudsætninger: Inden du læser dette dokument bør du som minimum have et godt kendskab til todimensionelle vektorer. Desuden bør du have den generelle teori om funktioner og hvordan man differentierer dem frisk i hukommelsen. Konventioner i dette dokument: For at dokumentet kan kunne læses af folk som endnu ikke kender til rumgeometri, vil vi lade som om en vektor altid er todimensionel. Dermed handler disse afsnit kun om todimensionelle vektorfunktioner. Hvis du har hørt om tredimensionelle vektorer eller har gættet at de findes så vil du dog nemt kunne gennemskue at præcis de side 1

4 samme definitioner og sætninger kan laves for tredimensionelle vektorfunktioner. Den eneste undtagelse er afsnittet om cirkelbevægelser, eftersom cirkelbevægelser i rummet er en ret kompliceret sag 1. Desuden får vi ofte brug for at tale om funktioner der ikke er vektorfunktioner, men derimod den slags funktioner du er vant til: Dem der tages på reelle tal og producerer reelle tal som funktionsværdier. Disse funktioner vil vi omtale som gammeldags funktioner. 1 Den letteste måde at angribe cirkelbevægelser i rummet på, er ved at starte med at studere rotationer ved hjælp af matricer. Det kan du læse mere om her. side 2

5 2 Hvad er en vektorfunktion? En vektorfunktion er en funktion der laver vektorer som funktionsværdier. Hvis vi skal være lidt mere præcise, så er det en funktion hvor primærmængden altså den hvor de variable funktionen kan tages på kommer fra er de reelle tal som du sikkert er vant til, men hvor sekundærmængden den hvor funktionsværdierne ligger i er mængden af todimensionelle vektorer. At f er en vektorfunktion kan altså skrives symbolsk som: f : R V 2 Hvor V 2 betegner mængden af todimensionelle vektorer. Eksempel 1 Vores første vektorfunktion. Hvis vi skal lave et konkret eksempel på en vektorfunktion, så skal vi altså definere en funktion, f, som til et givet reelt tal udregner en vektor. Hvordan skriver man sådan noget ned? Jo, for det første plejer man af årsager som bliver klare lige om lidt at kalde det givne reelle tal for t og ikke x som ellers ville være fristende. Når vi så har vænnet os til det, så er det bare at definere ft som en vektor der afhænger af værdien af t. Det kunne se sådan ud: ft = t 2 sint, t R Her har vi så en vektorfunktion. Til enhver værdi af t giver den en funktionsværdi som er en vektor. F.eks. kan vi udregne: f0 = 0 2 sin0 = 0 0 og fπ = π 2 sinπ π 2 = 0 9,87 0 side 3

6 Øvelse 2. Prøv at finde på en vektorfunktion, f, som opfylder at: f0 = 1 3 Kan du også få den til at opfylde at: altså begge dele på en gang f1 = Parameter og Koordinatfunktioner Nu skal vi lige have nogle ord på plads. For det første vil vi ikke omtale det tal som sættes ind i funktionen som en variabel. Når det handler om vektorfunktioner bruger vi et andet spøjst ord i stedet for 2 : Definition 3. Det tal fra definitionsmængden som sættes ind i en vektorfunktion kaldes for parameteren eller nogle gange: den frie parameter. Desuden har du sikkert allerede opdaget at man definerer en vektorfunktion ved simpelt hen at finde på to gammeldags funktioner: 2 Ordet parameter kræver lidt tilvænning. Prøv at tænke på en situation hvor du har hørt det brugt i hverdagen. Du har måske hørt en politiker udtale noget i stil med Der er mange paramtre som spiller ind her eller prøvet at indstille parametre for et computerprogram. Generelt skal ordet parameter forstås som noget der styrer noget andet. Jeg plejer at tænke på at parametre er sådan nogle skrueknapper som man har magt til at skrue op eller ned for som man lyster, og så er der noget andet som ændrer sig når man gør det. side 4

7 En som udregner førstekoordinaten og en som udregner andenkoordinaten. Disse to funktioner har vi også brug for at give et navn: Definition 4. De to gammeldags funktioner som udregner henholdsvist førstekoordinaten og andenkoordinaten af en vektorfunktions værdi kalder man for vektorfunktionens koordinatfunktioner. Man omtaler dem som henholdsvist første koordinatfunktion og anden koordinatfunktion. Når man skal tale om en vektorfunktions koordinatfunktioner det har man tit brug for er det smart at give dem nogle bogstavnavne. Her er det meget almindeligt at kalde den funktion som udregner førstekoordinaten for x, og den som udregner andenkoordinaten for y. Pas på: Dette kan være årsag til en masse forvirring hvis man ikke lige får det på plads med det samme: Når man arbejder med vektorfunktioner, så bruger man bogstavet x til at betegne en funktion, nemlig den som udregner vektorfunktions første koordinat. Dette er en af grundene til at vi bruger t til at betegne parameteren, sådan at x ikke pludselig har to forskellige betydninger samtidigt. Eksempel 5. Vektorfunktionen f, som vi definerede i sidste afsnit består af de to koordinatfunktioner: xt = t 2, t R og yt = sint, t R Når man skal tale om en generel vektorfunktion f.eks. når man formulerer sætninger om vektorfunktioner, er det næsten altid nødside 5

8 vendigt at tale om dens koordinatfunktioner også. Derfor starter man meget ofte sådan en snak med at vedtage bogstavnavne til alle funktionerne. Det kan man gøre på følgende måde: Eksempel 6. Lad f være en vektorfunktion givet ved: og så kører det ft = xt yt 2.2 Definitionsmængde Lige som med gammeldags funktioner kan vi angive en definitionsmængde for en vektorfunktion. Altså en delmængde af primærmængden som vi tillader at funktionen tages på. Det kan enten gøres direkte ved at angive hvilke t værdier funktionsreglen gælder for. Hvis vi nu ville bestemme at funktionen f fra eksempel 1 kun måtte tages i positive tal, så kunne vi definere at: eller ft = t 2 sint Man kan også angive direkte at: Dmf =]0; [ Dmf = R +, t > 0 Traditionel dovenskab: Lige som med gammeldagsfunktioner er der tradition for at man nogle gange glemmer at angive en definitionsmængde. side 6

9 I så fald har man vedtaget at definitionsmængden består af alle de reelle tal hvor funktionsreglen giver mening. Det kan nogle gange give lidt ekstra arbejde med at undersøge hvilke t værdier der giver meningsløse udtryk når de indsættes i funktionsreglen. Her skal man kigge efter præcis de samme farer som ved gammeldags funktionerer f.eks. at man ikke må dividere med nul eller kvadratrod af et negativt tal. Man skal bare holde øje med at begge de to koordinatfunktioner skal give mening. Øvelse 7. Hvis vi kun definerer vektorfunktionen, f ved at angive reglen: ft = hvad er så definitionsmængden? t 1 1 t Her kommer en øvelse i at lave generelle regler ved hjælp af symboler. Hvis du har løst den sidste opgave, har du sikkert en fornemmelse af at definitionsmængden for en vektorfunktion bestemmes ved at bestemme definitionsmængderne for begge dens koordinatfunktioner. Men hvad er sammenhængen helt præcist? Nedenfor er nogle forslag. De fleste er meningsløse, og andre er forkerte. Kun en af dem er helt rigtig. Hvilken? Øvelse 8. Hvis f er en vektorfunktion givet ved: så er... ft = xt yt side 7

10 Dmf = Dmx + Dmy 1 Dmf = Dmx Dmy 2 Dmf = Dmx Dmy 3 Dmf = Dmx og Dmy 4 Dmf = Dmx Dmy 5 Dmf = Dmx Dmy 6 3 Banekurven for en vektorfunktion En gammeldags funktion fra R til R har en graf som kan hjælpe os med at danne overblik over funktionens opførsel. Nu skal vi indføre noget lignende for vektorfunktioner: Definition 9. Hvis f er en vektorfunktion givet ved: ft = xt yt så defineres banekurven også kaldet parameterkurven for f som følgende delmængde af koordinatsystemet: K = {xt; yt t Dmf} Forklaring: Den definition er ikke så nem at læse, men det er faktisk ret simpelt: Man tager alle t-værdier i definitionsmængden en af gangen og til hver af disse beregner man xt og yt. Hvilket er præcis det samme som man ville gøre hvis man ville beregne ft. Men i stedet for at side 8

11 betragte xt og yt som koordinater til en vektor, betragter vi dem som koordinater til et punkt 3. De punkter som fremkommer på denne måde er hvad vi kalder banekurven for f. 3.1 Brug af grafprogrammer De fleste grafprogrammer kan tegne banekurver for parameterfunktioner, og du gør klogt i at finde ud af hvordan dit grafprogram lokkes til det. Som regel er man nødt til at oplyse at man vil definere en vektorfunktion. Led efter valgmuligheder i stil med: vektorfunktion vector function, parameterfunktion parametric function, banekurve eller parameterkurve parametric curve. Derefter skal du blot indtaste de to koordinatfunktioner enkeltvist. Glem dog aldrig hvordan man tegner parameterkurver i hånden! Det er den eneste måde at forstå sammenhængen mellem en vektorfunktion og dens banekurve på, og hvis du overlader den forståelse til en computer vil du ofte støde på problemer som du ikke ved hvordan du skal løse, fordi du mangler overblikket. 3.2 Forskellen på banekurver og grafer Her er de vigtigste forskelle på banekurven for en vektorfunktion og grafen for en gammeldags funktion. Læg meget godt mærke til det, for det vil spare dig for en masse forvirring senere: Grafen for en gammeldags funktion kan aldrig have to punkter med samme x-koordinat. Det ville jo betyde at funktionen havde to forskellige funktionsværdier i denne x-koordinat. Banekurven 3 Denne dobbelttydighed, eller dualitet som det hedder med et fint ord, hvor en vektor nogle gange kan betragtes som et punkt nemlig det punkt som vektoren peger på når den indtegnes fra origo og et punkt nogle gange kan betragtes som en vektor nemlig punktets stedvektor har vi også snakket om i dokumentet om vektorer. side 9

12 for en vektorfunktion kan sagtens have to punkter med samme x- koordinat. Den kan endda blive en lodret linje. Prøv selv at tegne banekurven for vektorfunktionen f, givet ved: 1 ft =, t R t Lidt mere underligt 4 : Banekurven for en vektorfunktion kan gå igennem det samme punkt flere gange 5 Prøv f.eks. at tegne banekurven for vektorfunktionen f, givet ved: t 2 ft = t 3, t R t På grafen for en gammeldags funktion kan man se at funktionen i en bestemt x-koordinat giver den tilhørende y-koordinat som funktionsværdi. På banekurven for en vektorfunktion, kan man ikke se hvilke værdier af parameteren t der har givet de forskellige punkter. Det er så vigtigt at vi lige gentager det: Man kan ikke se værdierne af parameteren ved at kigge på banekurven for en vektorfunktion På grafen for en gammeldags funktion kan man fornemme om funktionen er kontinuert ved at se om grafen hænger sammen i alle x-koordinater og om den er differentiabel ved at se om kurven er blød og uden knæk. Lige om lidt definerer vi hvad det vil sige at en vektorfunktion er kontinuert og hvad det vil sige at den er differentiabel. Og det viser sig at man ikke kan se nogen af disse egenskaber ved at kigge på banekurven. F.eks. skal vi se at vektorfunktionen, f, givet ved: t 2 ft = 4 Hvis du har lyst til at se endnu mere mystiske vektorfunktioner i denne stil, så prøv at søge efter space filling curves på internettet. 5 Det står i anførselstegn, fordi det faktisk er lidt upræcist at sige det sådan. Banekurven består af punkter, og hvert punkt er enten med eller ikke med på banekurven. Man kan ikke være med to gange. t 3 side 10

13 er perfekt differentiabel, selvom banekurven har et voldsomt knæk. Øvelse 10. Start dit grafprogram og tegn hvis ikke du allerede har gjort det banekurverne for alle de vektorfunktioner der nævnes i eksemplerne ovenover. Det vil hjælpe dig med at huske nogle af de særheder som banekurver kan have. 3.3 Pointen med det hele: Bevægelse! På nuværende tidspunkt har du nok luret hvad pointen med vektorfunktioner er, nemlig at de skal bruges til at beskrive en bevægelse igennem koordinatsystemet. Det reelle tal som man tager vektorfunktionen på skal man tænke på som tiden hvilket forklarer valget af bogstavet t, og den vektor som funktionen beregner til en given værdi af t skal tænkes på som x-koordinaten og y-koordinaten til et punkt som flytter sig når tiden går. Banekurven for en vektorfunktion kan man således tænke på som de striber som et fly trækker efter sig når det bevæger sig hen over himlen. Hvis man gør det, er de fleste særheder nævnt i sidste afsnit ret oplagte. F.eks. er det klart hvorfor den kan skære sig selv og hvorfor man ikke kan aflæse værdierne af parameteren t på banekurven. På nuværende tidspunkt spørger du måske dig selv: Hvis vi alligevel skal betragte vektorfunktionens værdier som punkter, hvorfor kalder man det så ikke bare for en punktfunktion lige fra starten? Det er et fremragende spørgsmål som fortjener et godt svar: For det første vil vi gerne benytte os af at vektorer kan skaleres og lægges sammen. Det ser du et eksempel på lige om lidt. For det andet vil du meget snart møde nogle vektorfunktioner hvis værdier man i allerhøjeste grad betragter som vektorer. side 11

14 4 Et vigtigt eksempel: Rette linjer Dette afsnit er et lille eksperiment, hvor du skal prøve selv at regne konklusionerne ud i stedet for at læse dem. Bagefter skal jeg nok liste de konklusioner op som du gerne skulle være nået frem til, men prøv lige en times tid om du kan finde dem selv først. Hvis du allerede kender til parameterfremstillinger af rette linjer, så vil dette afsnit virke som repetition for dig. 4.1 Et eksperiment Øvelse 11. Betragt følgende lidt mystiske definition af en vektorfunktion: ft = t 1 1 Lad dig ikke skræmme at den ikke helt er på samme form som du har set indtil videre. 1. Beregn funktionsværdierne vektorerne: f0, f1 og f2. 2. Hvad er denne vektorfunktions koordinatfunktioner? 3. Tegn dens banekurve. 4. Kan du forklare hvorfor banekurven bliver en ret linje? 5. Kan du forklare hvorfor banekurven blive lige præcis dén rette linje som det gør? 6. Kan du forklare betydningen af de fire tal som er brugt til at definere vektorfunktionen? 7. Kan du med den forståelse du har opbygget lave en vektorfunktion hvis banekurve er en ret linje som går gennem punkterne 1; 4 og 5; 3 side 12

15 8. Kan du lave mere end en vektorfunktion hvis banekurve er en ret linjer som går igennem disse punkter? 4.2 Konklusion på eksperimentet For at beregne funktionsværdierne, skal vi bare huske hvordan vektorer lægges sammen og skaleres. F.eks. er: 3 1 f2 = = = = Koordinatfunktionerne kan ses mere tydeligt hvis vi foretager den generelle omskrivning: Så koordinatfunktionerne er: og 3 1 ft = + t t 3 t = + = 4 t 4 + t xt = 3 t yt = 4 + t Med lidt træning kan man godt se dette uden at lave omskrivningen. Banekurven er lynhurtigt tegnet i et grafprogram se fig. 1. Forklaringen på hvorfor det bliver en ret linje er lidt mere indviklet. Man kan starte med at påpege at begge koordinatfunktionerne er lineære, så x-koordinaten og y-koordinaten vokser begge i en fast side 13

16 Figur 1: Banekurven for vektorfunktionen f. takt. Det giver dog bare ikke nogen forståelse af hvorfor det er præcis denne rette linje som kommer frem. Hvis man leder efter hvert af tallene, 3, 4, 1 og 1 på den rette linje, så opdager man måske at linjen har en hældning på lige præcis 1. Men det er en tilfældighed at hældningen er det samme som lige præcis det tal som står øverst til højre. Prøv f.eks. at skifte 1-tallet ud med 5 og se hvad der sker. I stedet skal man prøve at forstå de to vektorer som indgår i definitionen hver for sig. Hvis man kigger efter, så går banekurven igennem punktet: 3; 4 fordi f0 = 3 4 Dette er ikke en tilfældighed. Uanset hvilke fire tal jeg havde brugt i definitionen, så ville f0 give koordinaterne i den første vektor. Man kan altså tænke på den første vektor som koordinaterne til et startpunkt eller udgangspunkt for linjen 6. 6 Linjen starter jo ikke i dette punkt, eftersom t også kan være negativ. side 14

17 5 Kontinuitet og differentiabilitet Her kommer to definitioner, der er så nemme at det næsten virker som snyd men det er det ikke: Definition 12. En vektorfunktion, f, kaldes kontinuert hvis dens koordinatfunktioner er kontinuerte. Definition 13. En vektorfunktion, f, kaldes differentiabel hvis dens koordinatfunktioner er differentiable. I resten af dette dokument vil vi lade som om alle funktioner er differentiable og dermed også kontinuerte. Det er selvfølgelig forkert, men det vil sandsynligvis være korrekt for alle de vektorfunktioner du støder på. 6 Hastighed, fart og acceleration Ideen med vektorfunktioner er altså at lave en matematisk model af en bevægelse i flere dimensioner. Nu tager vi denne ide et skridt videre og indfører nogle begreber som du garanteret allerede synes hører sammen med bevægelse. 6.1 Hastighed Definition 14. Hvis f er en vektorfunktion, givet ved: ft = xt yt side 15

18 så defineres hastigheden af f også kaldet den afledede af f som vektorfunktionen f, givet ved: f t = x t y t Denne definition er utroligt nem at huske. Man differentierer en vektorfunktion ved at differentiere dens koordinatfunktioner hver for sig. Den nye vektorfunktion kalder man så for hastigheden. Øvelse 15. Find hastigheden af vektorfunktionen fra opgave Fart Fra fysik ved du sikkert allerede at man skelner mellen de to ord hastighed og fart på engelsk henholdsvist: velocity og speed. Den førstnævnte er et mål for hvor hurtigt man bevæger sig og i hvilken retning, mens den sidste kun måler hvor hurtigt man bevæger sig. En lidt mere præcis definition af denne forskel er: Hastigheden er en vektor, og farten er størrelsen eller længden af denne vektor. Vi laver den samme definition her: Definition 16. Hvis f er en vektorfunktion givet ved: ft = xt yt så defineres farten af f som størrelsen af hastigheden. Ofte giver man denne funktion bogstavnavnet s forkortelse for speed. Altså: st = f t = x t 2 + y t 2 side 16

19 Bemærk at farten er en gammeldags funktion som udelukkende tager positive værdier. 6.3 Acceleration Definition 17. Hvis f er en vektorfunktion, givet ved: ft = xt yt så defineres accelerationen af f også kaldet den dobbelt afledede af f som vektorfunktionen f, givet ved: f t = x t y t Størrelsen af accelerationen har ikke noget smartere navn end bare størrelsen af accelerationen. Den er dog ofte meget interessant, så det kan være praktisk men ikke nødvendigt at bruge et fast bogstav til at betegne den. Vi vil som regel bruge bogstavet a. Dermed er a den gammeldags funktion givet ved: at = x t 2 + y t 2 Her er en fælde som mange falder i på et eller andet tidspunkt: Øvelse 18. Svaret på dette spørgsmål er nej. Men kan du se hvorfor? Er størrelsen af accelerationen det samme som den afledede af farten? Med andre ord: Er det lige meget om man først finder størrelsen af hastigheden, og bagefter differentierer, eller om man først diffeside 17

20 rentierer hastigheden og bagefter finder størrelsen af den afledede accelerationen? Et godt argument imod dette kunne være et eksempel på vektorfunktion hvor de to beregninger gav vidt forskellige resultater. 6.4 Indtegning af hastighed og acceleration på banekurven Som nævnt tidligere er det ikke alle vektorfunktioner som man har lyst til at opfatte som punktfunktioner. Hastigheden og accelerationen er lige præcis sådan nogle vektorfunktioner. Deres funktionsværdier skal i allerhøjeste forstås som vektorer, og ikke som punkter. Derfor er det sjældent interessant at tegne parameterkurverne for hastigheden og accelerationen selvom man selvfølgelig godt kan gøre det! I stedet gør man ofte noget andet, nemlig at vælge nogle konkrete værdier af parameteren, t, og til disse værdier beregne både hastigheden, f t og accelerationen, f t. Disse to vektorer indtegner man så sådan som man indtegner vektorer i et koordinatsystem i det samme koordinatsystem som banekurven for f, ud fra den position som svarer til den valgte t-værdi! Det lyder indviklet, men det er det slet ikke: Eksempel 19. Hvis en skiløber set ovenfra har bevæget sig som beskrevet af vektorfunktionen f, givet ved: ft = cost 20 t t2 20, t [0; 20] så kunne det være at han bagefter fik lyst til at udregne sin position, hastighed og acceleration til f.eks. tidspunktet t = 2. side 18

21 og Eftersom f t = f t = sint 1 2t 20 cost 2 20 er det hurtigt at beregne alle tre: og og f2 = f 2 = f 2 = cos sin cos2 2 20, t [0; 20], t [0; 20] 0,42 17,8 0,91 1,2 0,42 1,1 Mens det giver god mening at tænke på den første vektor som et punkt nemlig det punkt han har befundet sig i til tidspunktet t = 2, er det meget mere naturligt at tænke på de to andre vektorer som vektorer, nemlig hans hastighed både retning og fart og acceleration hvilken retning og hvor kraftigt han forsøgt at presse sig selv med skiene. Og det allermest naturlige sted at tegne disse to vektorer er ud fra det punkt han befandt sig i til t = 2. Det har vi gjort på figur 2 nedenfor. side 19

22 Figur 2: Banekurven for en skiløber med hastighed rød og acceleration grøn indtegnet til t = 2. 7 Et interessant eksempel: Cirkelbevægelse Lad os nu se på en bevægelse som du sikkert allerede kender fra fysik 7 : Jævn cirkelbevægelse. Betragt vektorfunktionen f, defineret ved: ft = cost sint, t R Hvis vi Inden du læser videre, så prøv om du kan løse følgende opgave. De to første spørgsmål er meget nemmere end det sidste. 7 Eller alternativt: Fra stangtennisspillet hjemme i haven! side 20

23 Øvelse 20. Ovenfor definerede vi en vektorfunktion der viste sig at modellere en bevægelse rundt på enhendscirklen. 1. Kan du finde på en vektorfunktion som angiver en bevægelse rundt på cirklen med centrum i 0;0 og radius 3? 2. Kan du finde på en vektorfunktion som angiver en bevægelse rundt på cirklen med centrum i 2;3 og radius 1? 3. Kan du finde på en vektorfunktion som bevæger sig rundt om enhedscirklen dobbelt så hurtigt som den vi definerede i starten af afsnittet? Det kan muligvis være en hjælp at tænke på koordinatfunktionerne som harmoniske svingninger og overveje hvad deres amplitude, offsetværdi og vinkelfrekvens mon betyder. 7.1 Den generelle cirkelbevægelse Hvis du har lavet opgaven i sidste afsnit, har du måske indset at en cirkelbevægelse omkring punktet: P = a; b i radius r, og med omløbstid T kan laves ved at lade koordinatfunktionerne være harmoniske svingninger med henholdsvist cosinus og sinus som grundfunktion med offsetværdier henholdsvist a og b, amplitude r og periode T. Eftersom perioden, T og vinkelfrekvensen ω hænger sammen ved: T = 2π ω kan vi også sige det sidste som at de to harmoniske svingninger skal have vinkelfrekvens: ω = 2π T side 21

24 Dermed kan den generelle cirkelbevægelse beskrives med vektorfunktionen: a + r cosω t a cosω t ft = = + r b + r sinω t b sinω t side 22