Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider med ialt opgaver Der må gøres brug af bøger, noter, fotokopier mv Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler De anførte procenter angiver med hvilken vægt de enkelte opgaver tæller ved den samlede bedømmelse Eksamenssættet har to uafhængige dele Del I indeholder almindelige opgaver I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang Del II indeholder multiple choice opgaver Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt Husk at skrive jeres fulde navn, studienummer samt hold nummer på hver side af besvarelsen Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på side af besvarelsen God arbejdslyst! NAVN: STUDIENUMMMER: HOLDNUMMER: Aalborg HOLD (v Lisbeth Fajstrup) Aalborg HOLD (v Olav Geil) Aalborg HOLD (v Leif Kjær Jørgensen) Aalborg HOLD (v Bo Rosbjerg) Aalborg HOLD 5 (v Jacob Broe) AAU-Cph, Dansk hold (v Aage Nielsen og Iver Ottosen) Esbjerg, Dansk hold (v Ulla Tradsborg) Side af 8

2 Del I ( almindelige opgaver ) Opgave (%) Lad [ A = 6 6 ] [, b = ] og c = [ ] Bring A på reduceret trappeform (reduceret echelonform, reduceret rækkeechelonform) Løs ligningen Ax = b eller argumenter for, at den ikke har nogen løsning Løs ligningen Ax = c eller argumenter for, at den ikke har nogen løsning Opgave (6%) Lad A = [ 5 6 ] [, B = ], c = og d = [ ] Afgør i hvert af følgende fire tilfælde, om udtrykket giver mening For hvert udtryk, der giver mening, beregn værdien Hvis udtrykket ikke giver mening, skriv da giver ikke mening (Ac) + d AB BA c T A Opgave (5%) Lad A = Bestem A Side af 8

3 Opgave (8%) Lad T : R R være en lineær transformation givet ved x x T x = x x x Opskriv standardmatricen A hørende til T Opskriv standardmatricen for den inverse lineære transformation Opgave 5 (%) I denne opgave arbejdes der med en lineær transformation T : R R Betragt basen {[ ] [ ]} B =, Matrixrepræsentationen af T med hensyn til B (også kaldet B-matricen for T) er givet ved [ ] [T] B = Find T ([ ]) og T ([ Find standardmatricen A for T ]) Hvilken geometrisk operation svarer T til? Side af 8

4 Opgave 6 (%) Lad A = Find egenværdierne hørende til A Find for hver af ovenstående egenværdier en basis for det tilhørende egenrum Er A diagonaliserbar? (husk at argumentere for dit svar) Argumenter for, at A 57 = A Opgave 7 (%) Lad W = Span, 5 5 Argumenter for, at og u =, Find w i W og z i W så u = w + z Bestem den ortogonale projektionsmatrix P W Find en basis for det ortogonale komplement W 5 5 er en ortonormal basis for W Side af 8

5 Opgave 8 (%) Underrummet W af R 5 har basis,, Bestem en ortogonal basis for W ved hjælp af Gram-Schmidt processen Er den fundne ortogonale basis også en ortonormal basis? (husk at argumentere for dit svar) Side 5 af 8

6 Opgave 9 (5%) Del II ( multiple choice opgaver) Det oplyses, at A er en symmetrisk matrix Endvidere oplyses det, at u er en tilhørende egenvektor med egenværdien, og at v er en tilhørende egenvektor med egenværdien Præcis et af følgende udsagn er korrekt Afkryds dette u v = u v = u v = Opgave (6%) A er en n n matrix hvorom der gælder, at det ( A ) = 7 Afkryds for hvert af følgende to spørgsmål det rigtige svar det(a) = det(a T A ) = Side 6 af 8

7 Opgave (%) Betragt u =, u =, u =, u = Lad A = [u u u u ] og W = Span{u, u, u, u } Afkryds sande udsagn blandt de udsagn nedenfor (Alene de udsagn, du afkrydser indgår i bedømmelsen Blandt de udsagn, du afkrydser vil et forkert afkrydset udsagn ophæve et korrekt afkrydset udsagn Har du eksempelvis afkrydset 5 udsagn, hvoraf er korrekte, men er forkert, så får du point for -= korrekte svar Har du afkrydset udsagn, af hvilke er korrekte, men er forkerte, da får du point for -= korrekte svar Du kan ikke opnå en negativ score Så hvis du har afkrydset udsagn, hvoraf er korrekt, men er forkerte, ja så får du point for korrekte svar) Dimensionen af W er Dimensionen af W er Dimensionen af W er A er invertibel (inverterbar, regulær) det(a) = {u, u, u, u } udgør en basis for W {u, u } udgør en basis for W {u, u } udgør en basis for W {u, u } udgør en basis for W Span{u, u, u } = W Side 7 af 8

8 Opgave (8%) Lad A = T(x) = Ax og definer funktionen (afbildningen) T : R Besvar følgende fem sand/falsk opgaver: R ved a T er en lineær transformation b T er surjektiv (Alternativt dansk udtryk: På Engelsk udtryk: Onto) c T er injektiv (Alternative danske udtryk: En-til-en, enentydig Engelsk udtryk: One-to-one) d T er invertibel (inverterbar) e T beskriver en rotation Side 8 af 8