Løsning til aflevering uge 11

Transkript

1 Løsning til aflevering uge /nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere l i formlen for svingningstiden T. l T hvor T. s og g. m / s g T l l T l T T l g g g g T 16. l g 9. 8 m 66. 9m b) Pendulets højde over gulvet beregnes i den situation, hvor pendulet har den største højde. Ifølge skitsen kan pendulets største højde udtrykkes ved h= d 0. m Afstanden d kan beregnes ved at anvende Pythagoras på ABC. c a b hvor c l; a m ; b l d l a l d l d l a l d l a d l l a d m 0. 1m Nu kan højden beregnes: h= d 0. m = m 0. m 0mm

2 c) Pendulets største hastighed beregnes. Med pendulets laveste punkt D som reference, så har pendulet, når det når den største højde i punkt B beliggenhedsenergien E m g d. pot Denne beliggenhedsenergi er i pendulets laveste punkt D omsat til bevægelsesenergi 1 eller hastighedsenergi EKin m v. I det vi kan betragte systemet som energibevarende, kan vi opstille følgende energiligning: 1 1 Epot EKin m g d m v g d v v gd m m km v sek sek h m km v sek h Opg. Geometri I et koordinatsystem udgør følgende punkter vinkelspidserne i en trekant. A(-,0); B(,0); C(0,1). a) Beregn trekantens areal samt alle vinkler og sider. C 0, 1 Y S O A 0, M c B0, X AB x x 5 A B B c BC BO CO x y

3 A c AC AO CO x y CO 1 CO 1 1 sina A sin sin AO AO 15 CO 1 CO 1 1 sinb A sin sin BO BO 18 C 180 A B Arealet beregnes af: 1 1 TABC CO AB b) Beregn længden af median mc og beregn medianernes skæringspunkt. Først beregnes koordinaterne til midtpunktet af siden c. Midtpunktet benævner jeg M c M c xa xb ya yb 0 0 1,,,0 Længden af medianen mc beregnes: 1 c c c c m CM OM CO 1 1 m 1 Medianernes skæringspunkt beregnes: Jeg vælger at benævne medianernes skæringspunkt for S xa xb xc ya yb yc S,,, 1 S,

4 Opg.. a) En ligning er givet ved: a k 6a Ligningen har to løsninger. Den ene løsning er a Bestem konstanten k og den anden løsning. Konstanten k beregnes ved at indsætte a i ligningen k 6 k 1 k 1 k 8 a k 6a. Nu kan den anden løsning bestemmes ved at indsætte værdien for k i ligningen. a k 6 a for k a 8 6a a 6a 8 a 6a a a a a a 1 a 1 x 1 x 1 x 1 x x L, Opg.. b) 9a 1 9a a , Først bestemmes Grundmængden G. Det skal gælde at nævneren ikke må være nul. a a Andengradsligningen løses. B D 9 A D B AC a ; hvor D B AC. A ;B ;C a, a, Grundmængden er således G=R\,

5 Før jeg påbegynder den egentlige løsning forsøger jeg at faktorisere brøkens tæller og nævner. 9a a a Tælleren kan faktoriseres til Tælleren (to tals sum gange de samme to tals differens) a a Om faktorisering af et andengradsudtryk gælder: y Ax Bx C Først løses ligningen Ax Bx C 0. D=0 y Ax Bx C A x a ; a er løsning til andengradsligningen. D>0 y Ax Bx C A x a x b ; a og b er løsninger til andengradsligningen. D<0 y Ax Bx C; andengrads udtrykket kan ikke faktoriseres. Af ovenstående fremgår det, at brøkens nævner kan faktoriseres! Benyt factor eller Solve på lommeregneren. 1 Nævneren kan faktoriseres til: 9a a 9 a a Nu skriver jeg igen ligningen op: a a a a a a 9 a a a a 1 a a a a 9 a a a a a a 1 a a 1 a a a a 1 a a 1 a a a 1a 1a 10 a Da a tilhører grundmængden G er løsningsmængden L 1 1

6 Opg.. c) 1 ( x 1) x x G R ( x 1) x x x x x x x x 6x x L, 6 6 Opg.. d) x 8 x Først grundmængden: x 0 G 0, Nu ganger jeg igennem med x på begge sider af lighedstegnet x x x 8 x x 8 x x 8 x 8 x Begge sider af lighedstegnet skal have samme fortegn derfor: 8 x 0 x 8 Før vi kvadrer på begge sider så bliver G 0,8 x 8 x 9x 8 x 8x 9x 78 x 56x x x solve x x x x x , 16 9 x ikke tilhøre grundmængden så er L 16 Da 9

7 Opg.. e) x x x R x 1 x 1 x x 5x 8x x 5x 8x 0 x x 0 x x 1 0 x 0 x 1 L 0,1 Opg.. f) x x x x 1x 8x 0 x x 1x x 0 x 1x 8 0 x 0 x 1x 8 0 x 8 1x 8 0 Kan løses som en kamufleret andengradsligning. x 1x 8 0 u x u 1u 8 0 u 16 u x x 16 x L 0,

8 Opg.. g) g g 8 x 1 G R \ 1 g 1 g 1 g g g g g 1 g 1 g 1 g 1 Ligningen kan løses som en kamufleret andengradsligning. g u u u u u g u g ug u g ug u g u g ug u g 1 u u g 1 u u u u u 8 0 Nu kan vi bestemme de to løsninger til g: g g g g L, 5

9 Opg.. To ligninger med to ubekendte. En mor er 1 år ældre end sit barn og om 6 år vil barnet være 5 gange yngre end moderen. Hvor gammel er moderen? og hvor er barnets far? Barnets alder kalder jeg b og moderens alder for m. På grundlag af Udsagnet: En mor er 1 år ældre end sit barn kan jeg skrive ligningen: m1 b. På grundlag af Udsagnet: om 6 år vil barnet være 5 gange yngre end moderen 1. 5 kan jeg skrive ligningen: b 6 m 6 Ligningssystemet består af to ligninger med to ubekendte. 1) m 1b 1 ) b 6 m 6 5 m1 b indsættes i ligning ) og jeg får: 1 1 b 6 1 b 6 b 6 7 b 5b 0 7 b 5 5 5b b 7 0 b b år b 9 mdr. Barnet må således være et foster! a) Moderens alder beregnes ved at indsætte m 1 år 0 år og mdr. b I ligning 1). b) Barnets far må være tæt på såvel mor som barn.