Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Transkript

1 Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

2 Sidste gang: Længden af et kurvestykke. fra γ(t 0 ) til γ(t 1 ) s = t 1 t 0 γ (t) dt Målforhold m(p, γ (t 0 )) = (f γ) (t 0 ) γ (t 0 ) = Df (γ(t 0))γ (t 0 ) γ (t 0 ) Brug kædereglen og få m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Konstater, at det kun afhænger af retningen af γ (t). Når γ = (cos α, sin α) fås m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

3 Principskitse Forvanskning ved X Forvanskninger ved f er Forvanskning ved X X(λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X(λ, ϕ) er kortet. BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til kuglen/ellipsoiden/et kort/... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

4 I opgaver: Parametrisering af en længdegrad L λ0 (R cos(s) cos(λ 0 ), R cos(s) sin(λ 0 ), R sin(s)), π/2 < s < π/2 Parametrisering af en breddegrad B ϕ0 (R cos(ϕ 0 ) cos(t), R cos(ϕ 0 ) sin(t), R sin(ϕ 0 )), π < t < π Parametrisering efter Mercatorprojektion (λ, ϕ) (λ, ln(tan(π/4 + ϕ/2))) Billedet af en længdegrad:(λ 0, ln(tan(π/4 + s/2))), π/2 < s < π/2 Billedet af en breddecirkel: (t, ln(tan(π/4 + ϕ 0 /2))), π < t < π Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

5 Udregning af målforhold Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kuglen/ellipsoiden, E, F og G Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kortet, Ẽ, F og G Målforholdet i retning efter kurven givet ved (λ(t), ϕ(t)) fås af m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

6 Målforhold og retning Sætning Målforholdet afhænger kun af punktet (λ, ϕ) og tangentretningen γ (t) (γ (t)) En retning er givet ved en vinkel: (λ, ϕ ) = (cos α, sin α) - f.eks. givet ved en linie i (λ, ϕ)-planen (λ(t), ϕ(t)) = (λ 0 + t cos α, ϕ 0 + t sin α) m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

7 Eksempel - cylinderprojektioner Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

8 Idag Første Fundamentalform og vinkler Første fundamentalform og arealer Vinkelbevarende (konforme) kort Arealbevarende kort Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

9 Et par eksempler på misvisende kort Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

10 Vinkler mellem kurver To kurver γ 1 (t) og γ 2 (s). Skæringspunkt P = γ 1 (t 0 ) = γ 2 (s 0 ) Vinklen mellem γ 1 og γ 2 i P er vinklen mellem γ 1 (t 0) og γ 2 (s 0) cos v = γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) v = arccos( γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

11 Principskitse Forvanskning ved X Forvanskninger ved f er Forvanskning ved X X(λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X(λ, ϕ) er kortet. BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til kuglen/ellipsoiden/et kort/... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

12 Første fundamentalform og vinkler γ 1 (t) = X(λ 1 (t), ϕ 1 (t)) γ 2 (t) = X(λ 2 (t), ϕ 2 (t)) cos v = γ 1 (0) γ 2 (0) γ 1 (0) γ 2 (0) cos v = Eλ 1 λ 2 + F(λ 1 ϕ 2 + λ 2 ϕ 1 ) + Gϕ 1 ϕ 2 (E(λ 1 )2 + 2Fλ 1 ϕ 1 + G(ϕ 1 )2 ) (E(λ 2 )2 + 2Fλ 2 ϕ 2 + G(ϕ 2 )2 ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

13 Første fundamentalform og konforme kort Sætning En projektion med første fundamentalform Ẽ, F, G fra en datumflade med første fundamentalform E, F = 0, G er konform hvis og kun hvis for alle (λ, ϕ) F = F = 0 og Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

14 Konforme kort og målforhold m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Indsæt F = F = 0 og Ẽ E = G G (Ẽ = ke og G = kg og få m(λ, ϕ) = k = Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

15 Målforholdet for en konform projektioner er uafhængigt af retningen. Og omvendt: En projektion, hvis målforhold er uafhængigt af retningen, er konform. Målforholdet er: m(λ, ϕ) = Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

16 Første fundamentalform og arealer Areal(X(U)) = U d b c a X λ (λ, ϕ) X ϕ (λ, ϕ) dλdϕ = EG F 2 dλdϕ hvor vi bruger omskrivningen v w = v 2 w 2 (v w) 2 med v = X λ og w = X ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

17 Første fundamentalform og arealer Sætning En projektion er arealbevarende hvis og kun hvis EG F 2 = Ẽ G F 2 for alle (λ, ϕ). Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

18 Forste fundamentalform for kuglefladen X(λ, ϕ) = X λ (λ, ϕ) = X ϕ (λ, ϕ) = R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ E(λ, ϕ) = R 2 cos 2 (ϕ), F (λ, ϕ) = 0, G(λ, ϕ) = R 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

19 Første fundamentalform for ellipsoiden X(λ, ϕ) = N cos ϕ cos λ N cos ϕ sin λ N (1 e 2 ) sin ϕ E = N 2 cos 2 ϕ Hvor N = F = 0 G = M 2 a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ M = a 2 b 2 (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 3/2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

20 Konstruktion af konforme projektioner Pr. håndkraft... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

21 Mercatorprojektion (λ, ϕ) (k λ, k ln(tan(π/4 + ϕ/2))) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

22 arealtro cylinderprojektion Archimedes Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23

23 Målforhold og zonebredde Nøjagtighedskrav kontra bredde. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 23