Grafer og graf-gennemløb

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grafer og graf-gennemløb"

Transkript

1 Grafer og graf-gennemløb

2 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder.

3 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E. Eller V og E genbruges/misbruges til også at betyde V og E.

4 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E. Eller V og E genbruges/misbruges til også at betyde V og E. Orienteret vs. uorienteret.

5 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E. Eller V og E genbruges/misbruges til også at betyde V og E. Orienteret vs. uorienteret. 0 m n(n 1) og 0 m n(n 1)/2

6 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E. Eller V og E genbruges/misbruges til også at betyde V og E. Orienteret vs. uorienteret. 0 m n(n 1) og 0 m n(n 1)/2 Evt. loops, multiple kanter.

7 Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E. Eller V og E genbruges/misbruges til også at betyde V og E. Orienteret vs. uorienteret. 0 m n(n 1) og 0 m n(n 1)/2 Evt. loops, multiple kanter. Vægtede grafer.

8 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ).

9 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ). Vejnet.

10 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ). Vejnet. Bekendtskaber.

11 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ). Vejnet. Bekendtskaber. Medforfatterskaber.

12 Grafer Modeller for mange ting: Ledningsnet (telefon, strøm, olie, vand,... ). Vejnet. Bekendtskaber. Medforfatterskaber. WWW-grafen af sider og links.

13 Datastrukturer for grafer Graf-repræsentationer:

14 Datastrukturer for grafer Graf-repræsentationer: Adjancency list og adjancency matrix

15 Datastrukturer for grafer Graf-repræsentationer: Adjancency list og adjancency matrix Plads: Henholdsvis O(n + m) og O(n 2 ).

16 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS:

17 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s

18 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide

19 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte

20 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå

21 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå Når en knude v ( s) mødes første gang: den husker, hvem der opdagede den (dens predecessor) i variablen v.π.

22 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå Når en knude v ( s) mødes første gang: den husker, hvem der opdagede den (dens predecessor) i variablen v.π. Vi bruger adjacency list repræsentationen.

23 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå Når en knude v ( s) mødes første gang: den husker, hvem der opdagede den (dens predecessor) i variablen v.π. Vi bruger adjacency list repræsentationen.

24 Grafgennemløb Fælles for BFS og DFS: Startknude (source) s Ikke-mødte knuder: Hvide Færdigbehandlede knuder: Sorte Front (mødte, men ikke færdigbehandlede): Grå Når en knude v ( s) mødes første gang: den husker, hvem der opdagede den (dens predecessor) i variablen v.π. Vi bruger adjacency list repræsentationen. Bemærk: Kanterne (v, v.π) udgør tilsammen altid et træ med s som rod og indeholdende alle opdagede knuder (ses nemt via induktion over antal mødte knuder).

25 Bredde-Først-Søgning (BFS) Holder de grå knuder (fronten) i en KØ.

26 Bredde-Først-Søgning (BFS) Holder de grå knuder (fronten) i en KØ. Tilføjer også en distance v.d til alle knuder v.

27 Bredde-Først-Søgning (BFS) Holder de grå knuder (fronten) i en KØ. Tilføjer også en distance v.d til alle knuder v.

28 Bredde-Først-Søgning (BFS) Eksempel:

29 Egenskaber Køretid: O(n + m)

30 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Initialisering tager O(n) tid. I resten af algoritmen kan en knude ikke indsættes i køen mere end een gang (pga. farvemærkningen), så maksimalt arbejde er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde.

31 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Initialisering tager O(n) tid. I resten af algoritmen kan en knude ikke indsættes i køen mere end een gang (pga. farvemærkningen), så maksimalt arbejde er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Definition: δ(s, v) er længden af en korteste sti, målt i antal kanter, fra startknuden s til knuden v. Findes ingen sti, defineres δ(s, v) =.

32 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Initialisering tager O(n) tid. I resten af algoritmen kan en knude ikke indsættes i køen mere end een gang (pga. farvemærkningen), så maksimalt arbejde er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Definition: δ(s, v) er længden af en korteste sti, målt i antal kanter, fra startknuden s til knuden v. Findes ingen sti, defineres δ(s, v) =. Sætning: 1. Når BFS stopper, har den nået alle knuder v for hvilke der findes en sti fra startknuden s til v. 2. En sti af længde v.d kan for alle nåede knuder findes (i baglæns rækkefølge) ved at følge predecessor-referencer v.d gange, startende fra v (dvs. v.π, (v.π).π, ((v.π).π).π,... ), og.d-værdierne for knuderne på denne sti falder med een for hvert skridt. 3. Når BFS stopper, gælder v.d = δ(s, v) for alle knuder.

33 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang.

34 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang. Punkt 1):

35 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang. Punkt 1): Antag der findes en knude, som kan nås med en sti fra s, men som BFS ikke når. Lad v være første knude (set fra s) på denne sti som BFS ikke når, og lad u være knuden før på stien. Da u blev taget ud af køen, burde v (som er i u s naboliste) være nået. Modstrid.

36 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang. Punkt 1): Antag der findes en knude, som kan nås med en sti fra s, men som BFS ikke når. Lad v være første knude (set fra s) på denne sti som BFS ikke når, og lad u være knuden før på stien. Da u blev taget ud af køen, burde v (som er i u s naboliste) være nået. Modstrid. Punkt 2):

37 Bevis Bemærk først at en knude v indsættes i køen een gang, så v.d og v.π gives en værdi præcis een gang. Punkt 1): Antag der findes en knude, som kan nås med en sti fra s, men som BFS ikke når. Lad v være første knude (set fra s) på denne sti som BFS ikke når, og lad u være knuden før på stien. Da u blev taget ud af køen, burde v (som er i u s naboliste) være nået. Modstrid. Punkt 2): Induktion over antal indsættelser i køen: Når en knude u udtages af køen, og en knude v fra u s naboliste indsættes i køen, sættes v.d = u.d + 1 og v.π = u. Hvis udsagnet galdt for u, kommer det klart til at gælde for v. Basis er første indsættelse (af s, for hvilken udsagnet gælder pga. initialiseringen i BFS).

38 Bevis Punkt 3):

39 Bevis Punkt 3): Definér for heltal i 0: i = {v V δ(s, v) = i} D i = {v V v.d = i}

40 Bevis Punkt 3): Definér for heltal i 0: i = {v V δ(s, v) = i} D i = {v V v.d = i} Vi viser via induktion på i at for alle i gælder i = D i.

41 Bevis Punkt 3): Definér for heltal i 0: i = {v V δ(s, v) = i} D i = {v V v.d = i} Vi viser via induktion på i at for alle i gælder i = D i. Dette vil medføre punkt 3) for alle knuder, der kan nås fra s. For resten af knuderne forbliver v.d = efter initialisering, så punkt 3) gælder også for dem.

42 Bevis Punkt 3): Definér for heltal i 0: i = {v V δ(s, v) = i} D i = {v V v.d = i} Vi viser via induktion på i at for alle i gælder i = D i. Dette vil medføre punkt 3) for alle knuder, der kan nås fra s. For resten af knuderne forbliver v.d = efter initialisering, så punkt 3) gælder også for dem. Observér først at BFS-algoritment starter med D 0 = {s} i køen, og derefter for i = 0, 1, 2, 3,... udtager alle knuder i D i mens den indsætter alle knuder i D i+1.

43 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0.

44 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0. Induktionssskridt: antag udsagn er sandt for i 1 og lavere, vis det er sandt for i.

45 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0. Induktionssskridt: antag udsagn er sandt for i 1 og lavere, vis det er sandt for i. For en knude v D i eksisterer via punkt 2) en sti fra s til v af længde i. Derfor gælder δ(s, v) i. Vi kan ikke have δ(s, v) i 1, da induktionsantagelse så ville give v.d = δ(s, v) i 1, i modstrid med v D i. Derfor er δ(s, v) = i. Dette viser D i i.

46 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0. Induktionssskridt: antag udsagn er sandt for i 1 og lavere, vis det er sandt for i. For en knude v D i eksisterer via punkt 2) en sti fra s til v af længde i. Derfor gælder δ(s, v) i. Vi kan ikke have δ(s, v) i 1, da induktionsantagelse så ville give v.d = δ(s, v) i 1, i modstrid med v D i. Derfor er δ(s, v) = i. Dette viser D i i. For enhver knude u i eksisterer pr. definition af δ en sti fra s til u af længde i. For næstsidste knude w på denne sti gælder δ(s, w) i 1. Fra induktionsantagelsen får vi at w.d = δ(s, w). Da w blev taget ud af køen, var u (en nabo til w) enten hvid, eller u var allerede nået fra en knude t, som allerede var taget ud og derfor (via observationen på sidste side) har t.d w.d. I begge tilfælde bliver u.d blev sat til højst w.d + 1 = δ(s, w) + 1 i = δ(s, u). Fra punkt 2) haves u.d δ(s, u). I alt gælder u.d = δ(s, u). Dette viser i D i.

47 Bevis Basis (i=0): klar, da D 0 = {s} = 0. Induktionssskridt: antag udsagn er sandt for i 1 og lavere, vis det er sandt for i. For en knude v D i eksisterer via punkt 2) en sti fra s til v af længde i. Derfor gælder δ(s, v) i. Vi kan ikke have δ(s, v) i 1, da induktionsantagelse så ville give v.d = δ(s, v) i 1, i modstrid med v D i. Derfor er δ(s, v) = i. Dette viser D i i. For enhver knude u i eksisterer pr. definition af δ en sti fra s til u af længde i. For næstsidste knude w på denne sti gælder δ(s, w) i 1. Fra induktionsantagelsen får vi at w.d = δ(s, w). Da w blev taget ud af køen, var u (en nabo til w) enten hvid, eller u var allerede nået fra en knude t, som allerede var taget ud og derfor (via observationen på sidste side) har t.d w.d. I begge tilfælde bliver u.d blev sat til højst w.d + 1 = δ(s, w) + 1 i = δ(s, u). Fra punkt 2) haves u.d δ(s, u). I alt gælder u.d = δ(s, u). Dette viser i D i. Alt i alt: i = D i.

48 Dybde-Først-Søgning (DFS) Holder de grå knuder (fronten) i en STAK.

49 Dybde-Først-Søgning (DFS) Holder de grå knuder (fronten) i en STAK. Stakken er implicit i den rekursive formulering nedenfor (er rekursionsstakken), men kan også kodes eksplicit. Mere præcist: elementerne på stakken er de grå knuder, hver med en delvist gennemløbet naboliste [gennemløbet i for-løkken i DFS-Visit]. DFS tilføjer også timestamps u.d for discovery (hvid grå) og u.f for finish (grå sort) til alle knuder u.

50 Dybde-Først-Søgning (DFS) Eksempel:

51 Egenskaber Køretid: O(n + m)

52 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Den ydre algoritme DFS tager O(n) tid. Hovedalgoritmen DFS-Visit kan ikke kaldes på en knude mere end een gang (pga. farvemærkningen), så arbejdet dér er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde.

53 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Den ydre algoritme DFS tager O(n) tid. Hovedalgoritmen DFS-Visit kan ikke kaldes på en knude mere end een gang (pga. farvemærkningen), så arbejdet dér er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Observér: Discovery (hvid grå) af v = sæt v.d = kald af DFS-Visit på v = PUSH af v på stakken. Finish (grå sort) af v = sæt v.f = retur fra kald af DFS-Visit på v = POP af v fra stakken.

54 Egenskaber Køretid: O(n + m) Bevis: Den ydre algoritme DFS tager O(n) tid. Hovedalgoritmen DFS-Visit kan ikke kaldes på en knude mere end een gang (pga. farvemærkningen), så arbejdet dér er proportionalt med eet gennemløb af alle nabolister, dvs. O(m) arbejde. Observér: Discovery (hvid grå) af v = sæt v.d = kald af DFS-Visit på v = PUSH af v på stakken. Finish (grå sort) af v = sæt v.f = retur fra kald af DFS-Visit på v = POP af v fra stakken. Kanten (v, v.π) sættes ved kald af DFS-Visit på v. Af dette, samt ovenstående: Kanterne (v, v.π) udgør præcis rekursionstræerne for DFS-Visit (eet træ for hvert kald fra DFS). Intervallet [v.d, v.f ] er den periode v er på stakken.

55 Egenskaber Hvis u og v er på en stak samtidig, og v er pushed sidst, må v poppes før u kan poppes. Af dette, samt at push/pop sætter d/f, følger at for alle knuder u og v må intervallerne [u.d, u.f ] og [v.d, v.f ] enten være disjunkte (u og v var ikke på stakken samtidig) eller det ene må være helt indeholdt i den andet (knuden med det største interval kom på stakken først).

56 Egenskaber Hvis u og v er på en stak samtidig, og v er pushed sidst, må v poppes før u kan poppes. Af dette, samt at push/pop sætter d/f, følger at for alle knuder u og v må intervallerne [u.d, u.f ] og [v.d, v.f ] enten være disjunkte (u og v var ikke på stakken samtidig) eller det ene må være helt indeholdt i den andet (knuden med det største interval kom på stakken først). Discovery- og finish-tider er derfor nestede som parenteser er det.

57 Egenskaber Når en kant (u, v) undersøges fra u haves flg. tilfælde: 1. tree-kanter: v hvid 2. back-kanter: v ikke-hvid (grå/er på stak) og v s interval indeholder u s 3. forward-kanter: v ikke-hvid (sort/er ikke længere på stak) og v s interval er indeholdt i u s 4. cross-kanter: v ikke-hvid (sort/er ikke længere på stak) og v s interval er før u s Da u er øverste knude på stakken, er 2 eneste mulighed når v er grå/på stak. Da intervaller altid er nestede, er 3 og 4 eneste muligheder når v er sort/ikke længere på stak. Derfor er de fire tilfælde udtømmende. Bemærk at de kan genkendes under DFS via farvningen og d/f -værdierne i knuder.

58 Egenskaber 1. tree-kanter: v hvid 2. back-kanter: v ikke-hvid (grå/er på stak) og v s interval indeholder u s 3. forward-kanter: v ikke-hvid (sort/er ikke længere på stak) og v s interval er indeholdt i u s 4. cross-kanter: v ikke-hvid (sort/er ikke længere på stak) og v s interval er før u s For uorienterede grafer er der kun tree-kanter og back-kanter (såfremt en kant kategoriseres første gang den undersøges fra een af dens ender). Dette følger af at u allerede må være blevet undersøgt fra v hvis v er sort/ikke længere på stak og kanten (v, u) må derfor allerede være kategoriseret. Derved kan 3 og 4 ikke opstå.

59 DAGs og topologisk sortering DAG = Directed Acyclic Graph. Topologisk sortering af en DAG: en lineær ordning af knuderne så alle kanter går fra venstre til højre.

60 DAGs og topologisk sortering DAG = Directed Acyclic Graph. Topologisk sortering af en DAG: en lineær ordning af knuderne så alle kanter går fra venstre til højre.

61 DAGs og topologisk sortering Lemma: En orienteret graf har en kreds (cycle) der findes back-edges under et DFS-gennemløb.

62 DAGs og topologisk sortering Lemma: En orienteret graf har en kreds (cycle) der findes back-edges under et DFS-gennemløb. Bevis: : Se på første knude v i kredsen som bliver grå - dvs. alle andre knuder u i kredsen har v.d < u.d. Da intervaller enten er helt indeholdt i hinanden eller er disjunkte, gælder enten v.d < u.d < u.f < v.d eller v.f < u.d. Antag det sidste tilfælde forekommer, og se på den første (set fra v) sådanne knude u i kredsen, og lad w være dens forgænger (evt. v selv). Da haves w.f v.f < u.d, men pga. kanten (w, u) kan dette ikke forekomme (kanten må blive undersøgt, og u opdaget inden w er færdig). Så kun første tilfælde forekommer. Specielt gælder dette sidste knude u i kredsen (som peger på v), hvorved kanten (u, v) erklæres en backedge.

63 DAGs og topologisk sortering Lemma: En orienteret graf har en kreds (cycle) der findes back-edges under et DFS-gennemløb. Bevis: : Se på første knude v i kredsen som bliver grå - dvs. alle andre knuder u i kredsen har v.d < u.d. Da intervaller enten er helt indeholdt i hinanden eller er disjunkte, gælder enten v.d < u.d < u.f < v.d eller v.f < u.d. Antag det sidste tilfælde forekommer, og se på den første (set fra v) sådanne knude u i kredsen, og lad w være dens forgænger (evt. v selv). Da haves w.f v.f < u.d, men pga. kanten (w, u) kan dette ikke forekomme (kanten må blive undersøgt, og u opdaget inden w er færdig). Så kun første tilfælde forekommer. Specielt gælder dette sidste knude u i kredsen (som peger på v), hvorved kanten (u, v) erklæres en backedge. : Når en back-edge findes: Der er en kreds af trækanter (mellem knuderne som lige nu er på stakken) og een back-kant.

64 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge.

65 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge. Bevis: Check de fire edge cases (tree, back, forward, cross), brug parentes-strukturen af discovery- og finish-tider.

66 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge. Bevis: Check de fire edge cases (tree, back, forward, cross), brug parentes-strukturen af discovery- og finish-tider. Korollar til to foregående lemmaer: Graf er en DAG DFS finder ingen back-edges ordning af knuder efter faldende finish-tider giver en topologisk sortering.

67 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge. Bevis: Check de fire edge cases (tree, back, forward, cross), brug parentes-strukturen af discovery- og finish-tider. Korollar til to foregående lemmaer: Graf er en DAG DFS finder ingen back-edges ordning af knuder efter faldende finish-tider giver en topologisk sortering.

68 DAGs og topologisk sortering Lemma: For en kant (u, v) gælder u.f < v.f kanten er en back-edge. Bevis: Check de fire edge cases (tree, back, forward, cross), brug parentes-strukturen af discovery- og finish-tider. Korollar til to foregående lemmaer: Graf er en DAG DFS finder ingen back-edges ordning af knuder efter faldende finish-tider giver en topologisk sortering. Tid: O(n + m).

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P

Læs mere

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06 Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer Førsteårsprojekt F2008 Nogle algoritmer på grafer Peter Sestoft 2008-02-19 Oversigt for i dag Definition: graf og orienteret graf Repræsentation ved kantlister Bredde-først gennemløb Dybde-først gennemløb

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Sortering af information er en fundamental og central opgave.

Sortering af information er en fundamental og central opgave. Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august 2010 1 Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på den type

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer 1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z},

Læs mere

Sortering i lineær tid

Sortering i lineær tid Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

DM507 - Algoritmer og datastrukturer

DM507 - Algoritmer og datastrukturer - Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering Peter Sestoft 2008-03-11* SØGES 1-2 studerende til Åbent Hus torsdag 10. april kl 1700-1800 Skal kunne fortælle 5-10 minutter om hvad hvordan

Læs mere

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. 22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327

Læs mere

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet MasterClass Matematik, Mærsk Mc-Kinney Møller Videncenter, Sorø, 29-31. oktober 2009 Algoritmer: Matricer

Læs mere