Teoretisk datalogi eller anvendt matematik?

Transkript

1 Teoretisk datalogi eller anvendt matematik? Henrik Kragh Sørensen Institut for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet Resumé Undervisningsgangens temaer: Matematisk tilgang til datalogi-faget. Beregnelighed og kompleksitet. Formelle metoder i datalogien. Datalogi i matematik. Datalogi er meget andet end matematik. Case(s): Software som videnskab: (Mahoney 2001). Formelle metoder i datalogien: (Bowen og Hinchey 1995, Bowen og Hinchey 2006). Forelæsning #3, Datalogiens Videnskabsteori 2009

2 Dagens program Meddelelser og spørgsmål. Opsamling: Modellering og reduktionisme, AI Videnskabens fremskridt. Matematik og datalogi I: Formelle metoder Matematik og datalogi II: Experimentel matematik Afslutning: Datalogiens agendaer Meddelelser Tilmelding på AULA også på øvelseshold. Kom til øvelserne. Modelleringsspørgsmålet Verden for sig eller verden for os? Model som afbildning af (en del af) verden: abstraktion, objektificering, modularisering, generalisation. Virkeligheden kan være på mange niveauer fra fysisk virkelighed til modeller og abstrakte systemer. Ontologiske forbindelser mellem objekter i model og verden. AI: for og imod ALAN TURING ( ), 1950: Beregnelighed og intelligens; 1956 fødselsåret for artificial intelligence optimisme og succes skak symbolsk / klassisk AI. HUBERT LEDERER DREYFUS ( 1929) analyse og kritik af AI: 2

3 Psykologisk antagelse: Menneskelig intelligens er symbolbehandling efter regler. Epistemologisk antagelse: Viden er formaliserbar (i kontekst-uafhængige formale regler). Ontologisk antagelse: Verden (så vidt mennesker kan forstå den) har en formaliserbar struktur ofte grundlag for ovenstående. Biologisk antagelse: Hjernen fungerer ved symbolbehandling efter regler. Repræsentation vs. objekt, beskrivelse vs. reproduktion. Problemet med regler vs. common-sense What computers (still) can t do (1972/1992). Dreyfus: Intelligens er situeret og embodied. Neurale netværk og emergens. Menneskelig og kunstig intelligens 3

4 Turings test og det kinesiske værelse Paradigmer og forskningsprogrammer Simpel model: fact system teori. Forklarer ikke udvikling i teorier (særlig godt). Induktion (verifikation) vs. falsifikation. THOMAS S. KUHN ( ): normalvidenskab (paradigme) anomalier krise revolution normalvidenskab (inkommensurabelt paradigme). Sekventiel udviklingsteori. Paradigmatiske eksempler disciplinær (kognitiv) matrix. Eget paradigmatiske eksempel: Det nye verdensbillede. IMRE LAKATOS ( ): samtidige forskningsprogrammer (hård kerne, beskyttende lag, teoretiske forudsigelser og testbare påstande) progressive og degenerative rationel (?) stillingtagen mellem alternativer. Sammenlign også med test vs. (formel) verifikation. KUHNS normalvidenskab, paradigmer, anomalier, kriser, revolutioner og ny (inkommensurabel) normalvidenskab. 4

5 teori 1 teori 2 teori 3 teori 4 eksperiment 1 eksperiment 2 eksperiment 3 eksperiment 4 t Teorier (resultater) forkastes. Kommensurabilitet og matematikkens vækst. Hvor blodig skal en revolution være? Hvor blodig en revolution kan der være i matematikken? Revolutioner på sandhedsniveau? intuitionisme? NEG?... på objektniveau? intuitionisme? mængdelære?... på meta-niveau? masser (?) Lakatos MSRP LAKATOS Methodology of Scientific Research Programmes. 5

6 empiriske beskyttende bælte hård kerne forudsigelser Paradigmer (moder?) i datalogi Batch processing til kunstig intelligens hvad skal computeren (og programmører og dataloger) bruges til? TURING og JOHN VON NEUMANN ( ): Modeller af beregnelighed og computere. Programmeringssprog (procedurelle, funktionelle, OO, etc). Computer-begreber: kvante-computere, bio-computere. Datalogi indlejret i den akademiske verden Professionalisering og disciplindannelse. Datalogi som en ung disciplin. 6

7 Datalogi som en service-ydelse og/eller en selvstændig disciplin. Datalogiens immateriele genstandsområde. Datalogi som vidtfavnende tværvidenskabelige disciplin multiple metoder, datalogi som modellering. Datalogiens historie og institutionalisering (kursusuge #4). Datalogiens forbindelser i den akademiske verden (igen i kursusuge #7). Datalogiens matematiske udspring Flere slags genealogi for computere og datalogi: Computere i erhvervslivet (batch processing, IBM), Computere i administrationen (som ovenfor + system-definerende teknologi), Computere i krig (kryptering, kodebrydning, Bletchley Park, Los Alamos). Behov for numeriske beregninger fx i Los Alamos; sml. (Ulam 1980): Fra lineære problemer til ikke-lineære problemer, Fra eksakte løsninger (lukkede former) til approximative løsninger (numeriske løsninger, modeller), Nye problemer opstår programmering, numeriske beregninger, etc. teoretisering. Turing-maskinens matematiske baggrund Hilbert s program og Entscheidungs-problemet : Aksiomssystemer for matematiske områder, Uafhængighed mellem (systemer af) aksiomerne, Konsistens (evt. relativ), Fuldstændighed (sml. Gödel), Afgørbarhed (sml. Turing). Turing (1936): Matematisering af effektivt beregnelige tal i form af beregnelig på en idealiseret maskine ingen fysiske computere, endnu. Anvendt på afgørbarhedsproblemet indses dets umulighed Også denne del af Hilbert s program urealiserbar Konsekvenser for matematikken (?). Forbindelse til Turings senere arbejde ved Bletchley Park (?). 7

8 Teoretisk datalogi Forskellige problemstillinger: Programmering sprog, grammatik, semantik, oversættelse, Simulering på endelige maskiner talrepræsentation etc., Beregnelighed og modeller herfor automater, Turing-maskiner, uberegnelige opgaver, Kompleksitet klassifikationer af problemer og maskiner, Sikkerhed hemmeligholdelse, kryptering og integritet, Korrekthed og verifikation, Menneske-maskin-interaktion og kunstig intelligens,... Forskellige metoder, centrale spørgsmål (agendaer), tvær-disciplinære forbindelser matematik, lingvistik, psykologi, filosofi,.... Formalisering og professionalisering som selvstændig disciplin. 8

9 Matematik, beviser og datalogi (MacKenzie 2004, figure 1) 9

10 Matematik i datalogi Formelle metoder: bevise korrekthed bevis vs. evidens (test), deduktion vs. induktion formalvidenskab vs. realvidenskab. Kritiske systemer fx militær, sikkerhed (time-sharing), sundhed,.... Niveauer af formelle beviser: specifikation, implementation(er), afvikling. Specifikationer og mulighed for at omgå dem LaPadula, The Orange Book & covert channels. Redskaber til formelle beviser: små matematikbeviser, store matematikbeviser, computer-assisterede beviser, automatiserede computer-beviser. Begrænsninger ved formelle metoder computeren som fysisk artefakt, total formalisering, tids- og ressourcekrævende. Forskellige bevisstandarder VIPER-eksemplet (Verifiable Integrated Processor for Enhanced Reliability): Matematisk proof of correctness på design-niveau debat om bevis : specifikation, design, jura. Datalogi i matematik Matematikkens immaterielle objekter kan tilgås via datalogi modellering, visualisering, eksperimenteren. Geometri (og knuder, topologi, etc.), Talteori (fx eksperimenter), Analyse og differentialligninger (forbindelse til fysik), Logik (udforskning af konsekvenser),... Reduktion af matematiske problemer åbner for brute-force : Smart matematik + programmering + afvikling = resultat. Matematikkens bevis-etos (sine-non-qua): Logico-deduktivt, Offentligt (fuldstændigt), Overskueligt og forklarende. Datalogiens muligheder (forkærlighed?) for formelle beviser. 10

11 Fire-farve-sætningen (4CT) Om at farvelægge lande på et landkort præciseret matematisk formulering af problemet. En gammel (1852) formodning med fejlagtige beviser. Simple første skridt. Generaliseringer viser sig simplere: fem-farve-sætningen (Kempe, Heawood), fire-farve-sætningen på en torus. Undervejs både populært problem og test-case for grafteori. Appel & Haken 1976: Matematik + computer test af 1476 grafer (1200 CPU-timer) hver graf-analyse overstiger det menneskeligt mulige. Flere CPU-kørsler nødvendige; bevis består af matematik + computer-program + argument for korrekthed + output Appel-Hagen-Koch: 150 sider. Modtagelse af 4CT Ron Graham (Bell Labs): The real question is this: If no human being can ever hope to check a proof, is it really a proof? Samtidige filosofiske diskussioner om computerens brug Graham vs. en ny slags blyant. Et nyt bevis med meget færre (633) test-konfigurationer og med PC-software (1996) ændrer det på nogle af analyserne (bevis, overskuelighed, sandhed,... )? Beviset checket ved hjælp af en bevis-checker (2004) ændrer det på nogle af analyserne? Computere i matematik Bevis-dele delegeret til computere store beviser: Keplers pakke-problem, Fire-farve-sætningen. Værktøjer til opdagelse (præ-formel matematik): Symbolmanipulation, 11

12 Søgning, Empiri. Computer(programmer) som matematikerens assistent? Simulering og visualisering PDE, geometri,.... Black box? Bevis eller evidens Matematikkens etos, igen: Beviser eller evidens? Kan datalogi (og computere) bidrage empiri til matematik? Omvendt: Matematikkens betydning i datalogien beviser eller evidens? Praksis (sml. Naur): Datalogi er at sammenligne med et professionelt håndværk, herunder brug af matematik. Matematiske beviser kan sikre korrekthed? Ekstensive tests kan sikre korrekthed? Videnskabssyn og videnskabsteori: Deduktion vs. induktion induktionsproblemet. Datalogi i naturvidenskab Datalogi og computere som udvidet lommeregner. Virtuelle laboratorier: Modellering software forudsigelser (simulation) fx beregningskemi. Erkendelsesmæssig gevinst af modellering ontologiske konsekvenser. Økonomisk gevinst af simulation både i academia og i industrien (medicinalkemi, rumforskning). Modellering af ikke-gentagelige forsøg fx astronomi, klimaforskning forskning i modellerne virtuelt laboratorium, igen disciplin-dannelse og -transformation. Meta-modeller Computere og datalogi som paradigme: Beregnelighed uden for datalogien, Lingvistik, Kunstig intelligens. Turing s man. 12

13 Opsamling Datalogi som akademisk disciplin: Tværvidenskabelig, Anvender andre videnskaber, Leverer model for andre videnskaber, Anvendes i andre videnskaber. Forholdet til matematik & datalogiens agendaer: Låner matematikkens deduktive redskaber, Andet bevisbegreb i datalogi (formelle beviser), Computere anvendes i matematik som empiri og som bevis-hjælpere behov for verifikation og datalogi. Øvelser denne kursusuge: Datalogiens agendaer og Formelle metoder i datalogi. Næste uge: Datalogiens historie og den akademiske verden. Litteratur Appel, K. og Haken, W.: 1977, The solution of the Four-Color-Map Problem, Scientific American 237(4), Bowen, J. P. og Hinchey, M. G.: 1995, Ten commandments of formal methods, IEEE Computer 28(4), Bowen, J. P. og Hinchey, M. G.: 2006, Ten commandments of formal methods: Ten years later, IEEE Computer 39(1), Brey, P.: 2001, Hubert Dreyfus: Humans versus computers, i H. Achterhuis (red.), American Philosophy of Technology: The Empirical Turn, Indiana Series in the Philosophy of Technology, Indiana University Press, Bloomington / Indianapolis, kapitel 2, pp Devlin, K.: 2005, Last doubts removed about the proof of the Four Color Theorem. Devlin s Angle (MAA column). MacKenzie, D.: 2001a, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust, MIT Press, Cambridge (Mass) / London. MacKenzie, D.: 2001b, A view from the Sonnenbilch: On the historical sociology of software and system dependability, i U. Hashagen, R. Keil-Slawik og A. Norberg (red.), History of Computing: Software Issues, Springer, Berlin etc., pp International Conference on the History of Computing, ICHC April 5 7, 2000, Heinz Nixdorf MuseumsForum, Paderborn, Germany. 13

14 MacKenzie, D.: 2004, Computers and the sociology of mathematical proof, i T. H. Kjeldsen, S. A. Pedersen og L. M. Sonne-Hansen (red.), New Trends in the History and Philosophy of Mathematics, bind 19 af University of Southern Denmark Studies in Philosophy, University Press of Southern Denmark, Odense, pp MacKenzie, D.: 2005, Computing and the cultures of proving, Philosophical Transactions of The Royal Society, A 363, Mackenzie, D. og Pottinger, G.: 1997, Mathematics, technology, and trust: Formal verification, computer security, and the U. S. military, IEEE Annals of the History of Computing 19(3), Mahoney, M. S.: 2001, Software as science science as software, i U. Hashagen, R. Keil-Slawik og A. Norberg (red.), History of Computing: Software Issues, Springer, Berlin etc., pp International Conference on the History of Computing, ICHC April 5 7, 2000, Heinz Nixdorf MuseumsForum, Paderborn, Germany. Robertson, N., Sanders, D. P., Seymour, P. og Thomas, R.: 1996, A new proof of the four-colour theorem, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 2(1), Sørensen, H. K.: 2009, Noter til datalogiens videnskabsteori Til brug for undervisningen i kurset Datalogiens Videnskabsteori, Aarhus Universitet, Version 1.6, 7. april Tymoczko, T.: 1979, The Four-Color Problem and its philosophical significance, i T. Tymoczko (red.), New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology, Birkhäuser, Boston, pp Først offentliggjort: The Journal of Philosophy 76(2), 57 83, Ulam, S. M.: 1980, Von Neumann: The interaction of mathematics and computing, i N. Metropolis, J. Howlett og G.-C. Rota (red.), A History of Computing in the Twentieth Century: A Collection of Essays, Academic Press, New York etc., pp Wilson, R.: 2002, Four Colours Suffice. How the Map Problem was Solved, Penguin/Allen Lane, London etc. 14