Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard

2 Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er som følger: ni felter på et bræt er på tilfældig måde anbragt følgende beløb: stk., stk., stk., stk. og. stk.. Spilleren kender beløbene, men ved ikke i hvilke felter, de enkelte beløb er placeret, eftersom de er dækket af et gummilag. Spilleren får nu lov til at skrabe ét felt af gangen, dog højst tre felter i alt. Det er tilladt inden et tredje skrab at stige af og modtage det sidst skrabede beløb. Foretager spilleren derimod et tredje skrab, så er han nødsaget til at modtage det beløb, der måtte vise sig her. Stopstrategier Spørgsmålet er nu, hvilken stopstrategi spilleren skal vælge for at optimere sine muligheder? Hvad der menes med disse ord er selvfølgelig en subjektiv vurdering. Måske står spileren lige og mangler kr. til en motorcykel, hvorfor det er vigtigt for ham, at han vinder mindst kr. Personen vil da måske vælge at stoppe på kr. selvom han vil have en god mulighed for at vinde endnu mere. For ham er det måske vigtigere, at han ikke er uheldig og kun vinder kr. eller kr. Vi skal først have en definition: Definition Med begrebet en optimal stopstrategi vil vi mene en strategi, der ved gentagne spil vil give en større eller mindst lige så stor forventet gennemsnitlig gevinst, som ved anvendelse af enhver anden stopstrategi.

3 Mandags Chancen er et spil, der ikke er mere omfattende, end at det kan analyseres i hånden. spil med et meget stort antal spiludfald kan det være nødvendigt at anvende computer til analysen. visse tilfælde vil end ikke verdens største computer have kapacitet nok til at udregne den bedste strategi indenfor en rimelig tid. For at få en idé om den bedste strategi i Mandags Chancen er det en god idé at betragte en forenklet udgave af spillet, for eksempel ét, hvor der er fire felter med beløbene,, og og muligheder for at skrabe højst to gange Øvelse ) Overvej, om du vil stoppe, hvis du i første skrab får a) b) c) ) Antag, at vi ønsker at ændre beløbet på den største præmie. Hvad skal beløbet mindst ændres til, før du skifter mening med hensyn til at stoppe/ikke stoppe i spørgsmål b) ovenfor? ) Prøv at give en matematisk opskrift, med hvilken man kan afgøre, om man skal stoppe/ikke stoppe efter første skrab. Man kan danne sig et vist overblik over situationen ved at tegne et såkaldt udfaldstræ. Forgreningerne viser de mulige udfald, når der skrabes. De involverede beløb er B =, B = 0.000, B = Lad os vedtage at kalde et udfald for udfald, hvis B skrabes, udfald hvis B skrabes og udfald, hvis B skrabes. På figuren nedenfor har jeg indtegnet to forgreningsniveauer, svarende til de to skrabemuligheder. De skraverede felter repræsenterer udsolgte beløb. Ved hver forgrening kan man angive sandsynligheden for at få det pågældende udfald, givet den viden, man har om de beløb, der allerede er skrabet. første forgrening er sandsynligheden for udfald, udfald og udfald henholdsvis ½, ¼ og ¼.

4 Ved. forgrening ved man hvad der blev skrabet i første omgang. Lad os sige, at første skrab gav udfald. Da vil der til et eventuelt sidste skrab kun være stk. og stk tilbage. Derfor vil sandsynligheden fra udfald og udfald være henholdsvis / og /, mens udfald ikke kan forekomme (se skravering). Øvelse Udregn de manglende sandsynligheder for udfaldene i. forgreningsniveau og indtegn dem i udfaldstræet. Lidt Teori Set over mange spil, så vil man gennemsnitligt få mest ud af det, såfremt man følger den såkaldte optimale Snell-strategi eller bare Snell-strategien. Den er defineret ved: Man stopper spillet, såfremt man i gennemsnit ikke kan forvente at opnå mere ved at fortsætte spillet, underforstået under brug af Snell-strategien. At denne strategi er fornuftig er vel heller ikke så mærkeligt: Hvorfor fortsætte spillet, hvis man gennemsnitligt ikke kan forvente at vinde mere ved at fortsætte? For at kunne analysere Snell-strategien er det hensigtsmæssigt med et lidt mere generelt setup, hvor vi tillader op til N skrab, hvor antallet af forskellige beløb er n, og hvor beløbene er B, B,..., B n. Som tidligere vil vi kalde et udfald for udfald, hvis B skrabes, udfald hvis B skrabes, etc.

5 Som tidligere set, giver spillet anledning til et udfaldstræ. En position heri er beskrevet ved de udfald k, k,..., k r, man møder ved at gå baglæns tilbage i træet til træets rod. Man kan sige, at med informationen = ( k, k,..., k r ) kender man de udfald, der allerede er forekommet i de hidtidige skrab, inklusiv rækkefølgen. Til hver position i udfaldstræet kan vi nu definere nogle størrelser: P ( k ) Sandsynligheden for et udfald k i næste skrab, givet informationen. V Den forventede gennemsnitlige gevinst ved at fortsætte med at skrabe, givet informationen. F Den forventede gennemsnitlige gevinst, givet informationen. Bemærk, at når vi her taler om den forventede gennemsnitlige gevinst, så mener vi under anvendelse af Snell-strategien. Man noterer sig, at den forventede gennemsnitlige gevinst løbende ændrer sig, når man skraber løs. Det, der er tilbage at skrabe, afhænger nemlig af informationen. Derfor benyttes betegnelsen den forventede gennemsnitlige gevinst, givet. Tilsvarende med de andre to størrelser. Man får nu nemt følgende sammenhæng, idet B er det sidst skrabede beløb: () F = max( B, V ) kr kr dentiteten () er en direkte konsekvens af, at man vælger at stoppe, hvis det sidst skrabede beløb B k er mindst lige så stort som den gevinst, man i gennemsnit vil r kunne forvente at opnå ved at fortsætte. Vi har desuden følgende: n () V = ( P( k) F ) k k = hvor k = ( k, k,..., kr, k). summen () kan det forekomme, at visse af F erne k ikke har mening. Dette sker hvis der ikke er flere udfald k tilbage i de uskrabede felter. disse tilfælde vedtager vi den konvention at lade det være underforstået, at man undlader de pågældende led i summen. Derved bliver udtrykket for V korrekt. dentiteten () udtrykker, at den forventede gennemsnitlige gevinst ved at fortsætte med at skrabe fra position fås ved at udregne det vejede gennemsnit af de forventede gennemsnitlige gevinster i de positioner k, man vil kunne nå med det ekstra skrab. Når Snell-strategien sættes på formel, får den følgende udseende: Man stopper første gang B V. kr 4

6 Snell-strategien anvendt på det forenklede spil Lad os analysere, hvordan Snell-strategien udmønter sig i tilfældet med det forenklede skrabespil. Sandsynlighedsvægtene er allerede udregnet i øvelse eller før. øvrigt er Snell-strategien defineret rekursivt bagfra, så for at bestemme de enkelte V- værdier og F-værdier, må vi trevle situationen op ved at begynde med det sidste forgreningsniveau i udfaldstræet, altså niveau N =, og derfra arbejde os baglæns igennem træet. Se i øvrigt figuren på side 6. Niveau højeste niveau starter vi med F-værdierne. F = B = F = B = F = B = 0.000,,, F = B = F = B = 0.000,, F = B = F = B = 0.000,, Begrundelse: Man har foretaget de maksimalt to skrab, som er tilladt. Dermed er man nødsaget til at beholde det, man har fået i sidste skrab. Dette er så samtidigt lig med den forventede gennemsnitlige gevinst, givet udfaldet af de to første skrab. Niveau Først udregnes V-værdierne ved hjælp af ():, k k= V = P( k) F = = 0.000, k k = V = P( k) F = = 6.666, 67, k k = V = P( k) F = =., Herefter kan F-værdierne findes ved hjælp af (): F F F = max( B, V ) = max(; 0.000) = = max( B, V ) = max(0.000; 6.666, 67) = = max( B, V ) = max(0.000;.,) =

7 Niveau 0 Først udregnes V-værdien ved hjælp af (): V = P( k) F = =.500 k = k 4 4 og da der endnu ikke er skrabet noget felt i niveau 0, så er F =.500. udfaldstræet for det forenklede skrabeproblem på side har jeg anbragt nogle tomme felter. Det er meningen, at man her skal anføre de til positionen hørende V-værdier. følge ovenstående beregninger kommer det udfyldte træ til at se ud som på figuren nedenfor. Man ser, at man skal stoppe spillet, hvis man skraber eller i første skrab, for i disse tilfælde er det sidste og eneste skrabede beløb større end den tilsvarende V-værdi, som er den forventede gennemsnitlige gevinst ved at fortsætte. Måske var det den samme strategi du fandt på i øvelse? , , Øvelse ) Undersøg den optimale Snell-strategi i forbindelse med Mandags Chancen ved at regne dig baglæns igennem udfaldstræet som i det enklere tilfælde ovenfor. Løst sagt: F-værdierne i tredje og sidste niveau er lig med de sidst skrabede beløb. Gå til forrige niveau. Udregn her V-værdier som vejede gennemsnit af de relevante F-værdier i niveauet højere. Opskriv de udregnede V-værdier på de re- 6

8 spektive pladser i træet. Udregn for hver position i det betragtede niveau i træet maksimum mellem det netop skrabede beløb og den tilhørende V-værdi (står side om side i træet). Dette er positionens F-værdi. Gå til forrige niveau og gentag proceduren etc. etc. ) Hvor meget vil man i længden i gennemsnit kunne forvente at vinde i Mandags Chancen ved brug af den optimale Snell Strategi? ) Besvar følgende spørgsmål udfra tallene i det udfyldte udfaldstræ og giv samtidigt en logisk forklaring på, hvorfor det forholder sig sådan: a) Hvad er det bedste beløb at få i første skrab? b) Det næstbedste? c) Tredjebedste? 4) Hvad er sandsynligheden for at ende med hovedgevinsten på, hvis man anvender Snell-strategien? Øvelse 4 ) Lad os overveje en helt anden stopstrategi i det forenklede skrabespil: At man stopper i det øjeblik, man får den maksimale gevinst på Underforstået, at hvis den ikke kommer, så skraber man til enden. Vis, at den forventede gennemsnitlige gevinst ved denne strategi er lig med.666,67, altså mindre end den optimale Snell-strategi. Hjælp: Du kan bruge udfaldstræet på side 7. den forbindelse får du ikke brug for V-værdierne anbragt i de to tomme felter, for de involverer som bekendt Snell-strategien. Betragt den tilsvarende strategi i tilfældet med Mandags Chancen: At man kun stopper spillet før tid, såfremt man får den maksimale gevinst på. Det kan vises, at man i længden ved brug af denne strategi vil få en forventet gennemsnitlig gevinst på 4.66,67 altså ikke så meget som i tilfældet med den optimale Snell-strategi! ) Undersøg ved hjælp af udfaldstræet for Mandags Chancen følgende strategi: At man stopper første gang man får minimum. Øvelse 5 Undersøg følgende mere sofistikerede strategi i tilfældet med Mandags Chancen: Man stopper efter første skrab, hvis man får eller derover. Hvis man ikke får dét i første skrab, anvendes følgende stopstrategi efter. skrab: Man stopper ved og derover, med mindre det første skrab viste, i hvilket tilfælde man vælger at stoppe ved og derover. 7

9 Mandags Chancen

10 Løsning til udfyldning af udfaldstræet for Mandags Chancen

11 77.57, ,4 96.4, , ,00.57, , , , ,6 74.5,7 7.57, ,9 67.4,6 7.57,4 5.4,57.0, ,57.4, , , ,4.57, ,00.57,4 5.74,.57,4 5.4, , , Mandags Chancen NB! Hvis man anvender den optimale Snell-strategi, så skal man stoppe spillet, hvis man kommer til et sted i træet, hvor der er en kraftig sort ramme.

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Lederens ressourceoptimering

Lederens ressourceoptimering Lederens ressourceoptimering 44568 5S Sortere Sætte i orden Skure Standardisere Selvdisciplin 1 Derfor skal der indføres 5S Eksempler på forventede resultater ved succesfuld 5S implementering: Reducerede

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012

Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012 Indholdsfortegnelse - Spilleregler - Bånd oversigt - Gevinst oversigt - Featurespil Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012 Spilleregler: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VægtAgenten Betjeningsvejledning Version 3.0

VægtAgenten Betjeningsvejledning Version 3.0 Download og installation Dagligt brug Side 1 af 6 Trin 1: Denne vejledning beskriver, hvordan du Downloader og installerer VægtAgenten Vigtigt! Bruger du Windows 95 eller 98 så se her: Før du installerer

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

(Positions) Talsystemer

(Positions) Talsystemer (Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem

Læs mere

Øvelsesbeskrivelser for SLH. Sunds Lydige Hunde

Øvelsesbeskrivelser for SLH. Sunds Lydige Hunde Øvelsesbeskrivelser for SLH. Sunds Lydige Hunde Øvelsesbeskrivelserne er kopieret fra DKK (Dansk Kennel Klub) Regler for lydighedstræning Hunden trænes alle 13 træningsaftener af samme fører, som skal

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik med LEGO WeDo klasse. Lærervejledning - Målmanden. Formål med opgaven: Aktivitet: Instruktion: Evaluering:

Matematik med LEGO WeDo klasse. Lærervejledning - Målmanden. Formål med opgaven: Aktivitet: Instruktion: Evaluering: Lærervejledning - Målmanden Eleverne skal bygge målmanden efter den vejledning der er givet i LEGO WeDo. De skal bruge en papirbold til at skyde på målmanden. Hvor mange papirbolde redder målmanden og

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

I det første indtastningsfelt indtastes fødselstidspunktet.

I det første indtastningsfelt indtastes fødselstidspunktet. Dokumentation vedr. HK s efterlønsberegner Notatet giver en beskrivelse af de forudsætninger, der ligger til grund for beregningerne foretaget på HK s efterlønsberegner. HK s efterlønsberegner er udviklet

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

DDK Specialeworkshop #3, november 2015

DDK Specialeworkshop #3, november 2015 Gruppe 1: Jer der har en problemformulering Materiale: de medbragte problemformuleringer (papir x 4) og blyanter. Husk at få blyanterne med retur. Del jer op i grupper på fire personer. Specialemakkere

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

Opgaver i solens indstråling

Opgaver i solens indstråling Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med

Læs mere

Vejledning til udfyldelse af Ansøgningsskema om tilskud under LAG-indsatsen

Vejledning til udfyldelse af Ansøgningsskema om tilskud under LAG-indsatsen Vejledning til udfyldelse af Ansøgningsskema om tilskud under LAG-indsatsen 05.02.2015 1 Indledning Du finder her en vejledning til udfyldelse af ansøgningsskemaet til brug ved ansøgning om tilskud under

Læs mere

Julen er hjerternes og gavernes - og undertiden SKAT s fest

Julen er hjerternes og gavernes - og undertiden SKAT s fest - 1 Julen er hjerternes og gavernes - og undertiden SKAT s fest Af advokat (L) og advokat (H), cand. merc. (R) Julen er hjerternes og gavernes fest. Med store gaver kan det også blive til skattevæsenets

Læs mere

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser...2 2. Poker...3 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

VVM-anmeldeskema, ny boringer. Donbækvej 26, 9900 Frederikshavn

VVM-anmeldeskema, ny boringer. Donbækvej 26, 9900 Frederikshavn VVM-anmeldeskema, ny boringer. Donbækvej 26, 9900 Frederikshavn Basisoplysninger Tekst Projektbeskrivelse (kan vedlægges) Ny vandforsyningsboring Navn, adresse, telefonnr. og e-mail på bygherre Helge Hagen

Læs mere

Europa Cup - rangerings- og seedningssystem

Europa Cup - rangerings- og seedningssystem Europa Cup - rangerings- og seedningssystem Informationsmateriale: Rangering og seedning gældende fra 2002/2003 Baggrund Tilbage i 2002/2003 blev større ændringer implementeret hvad angår Champions League

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er 46.440 personer der

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse.

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Det nye Markedskort - gamle data på nye måder

Det nye Markedskort - gamle data på nye måder et nye Markedskort - gamle data på nye måder f professor arsten Stig Poulsen, Jysk nalyseinstitut /S et er i år netop 0 år siden, at Markedskortet blev introduceret af Otto Ottesen, kendt professor i afsætningsøkonomi

Læs mere

Kvantitative sanssvar, Stayman, Transfer, Superfit

Kvantitative sanssvar, Stayman, Transfer, Superfit Sans-systemet I,1 Åbninger i sans og svar Kvantitative sanssvar, Stayman, Transfer, Superfit En af de mest grundlæggende dele i et naturligt Bridgesystem er sanssystemet, der som udgangspunkt har åbningsmeldingen

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Rettevejledning til: Økonomisk kandidateksamen 2004I(1) Prioritering & Styring

Rettevejledning til: Økonomisk kandidateksamen 2004I(1) Prioritering & Styring Rettevejledning til: Økonomisk kandidateksamen 2004I(1) Prioritering & Styring Ad (1): Hvordan status quo virker. Hvis studenterne ikke er informeret om evalueringen, så kan den enkelte lærer give denne

Læs mere

HER OG NU s tredje e-mail udgave i 2004 er på gaden med højaktuel information om:

HER OG NU s tredje e-mail udgave i 2004 er på gaden med højaktuel information om: LTD - HER OG NU Juni 2004. HER OG NU s tredje e-mail udgave i 2004 er på gaden med højaktuel information om: Individuelle lønsamtaler pr. 1. april 2004 Beklædningsordninger FTF-A frivillig forsikring giver

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Regler for VinterCup 2012/13

Regler for VinterCup 2012/13 Regler for VinterCup 2012/13 Generelt: VinterCup er en parkonkurrence, hvor parret følges ad under hele løbet. Der køres efter indtegnede poster på et kort. Der er en maksimal køretid på 90 minutter, og

Læs mere

Modellering med Lego education kran (9686)

Modellering med Lego education kran (9686) Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt

Læs mere

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Maj 2015 INDHOLD 1. INDLEDNING... 1 1.1 FORMÅL... 1 1.2 VEJLEDNINGENS SAMMENHÆNG MED DEN FÆLLESSTATSLIGE IT-PROJEKTMODEL... 1 1.3 GEVINSTDIAGRAMMET... 2 1.4

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

E-MAIL MICROSOFT OUTLOOK 2010

E-MAIL MICROSOFT OUTLOOK 2010 E-MAIL MICROSOFT OUTLOOK 2010 Erik Thorsager, Esbjerg. 3. udgave: Outlook Side 1 Microsoft Outlook 2010 Hvordan skriver og sender jeg en e-mail? Det engelske ord mail betyder post. E står for elektronisk.

Læs mere

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder 14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig

Læs mere