Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde"

Transkript

1 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der er desuden kun et endeligt antal træk, dvs. spillet vil altid slutte, og det kan ikke ende uafgjort. Vindende strategi At en spiller har en vindende strategi, betyder at spilleren altid kan vinde ligegyldigt hvordan modparten spiller. I spil der har et endeligt antal træk, og som ikke kan ende uafgjort, kan man i princippet lave en oversigt over alle mulige udfald af spillet. I praksis er der dog ofte alt for mange forskellige udfald til at det kan lade sig gøre. Fordi spillet er deterministisk og altid ender med en vinder, har en af de to spillere en vindende strategi. Lad os nemlig antage at A ikke har en vindende strategi. Det betyder at lige gyldigt hvordan A spiller, så kan A ikke sikre sig sejren. Da vi ved at spillet ender efter et endeligt antal træk, og at der til slut er en vinder, så betyder det at B kan sikre sig sejren uanset hvordan A spiller. Derfor har B en i dette tilfælde en vindende strategi. Altså kan vi konkludere at en af de to spillere altid har en vindende strategi. I det følgende er der forskellige strategier for hvordan man kan afgøre hvilken af de to spillere der har en vindende strategi i denne type spil. 1 Vindermængde og tabermængde I det første eksempel og de første opgaver vi skal se på, er strategien at dele alle spilpositioner i to grupper: De spilpositioner hvor første spiller har en vindende strategi hvis hun skal trække, og dem hvor hun ikke har, dvs. dem hvor spiller nummer to har en vindende strategi. Eksempel Lad n og k være positive heltal. I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2,...,k 1 eller k sten fra bordet. Den spiller der tager den sidste sten, har vundet. Spørgsmålet er nu for hvilke værdier af n den første spiller A har en vindende strategi. Dette kan man finde ud af ved at prøve sig frem med små tal. Det er for eksempel indlysende at for n {1, 2,..., k } har spiller A en vindende strategi, mens for n = k +1 har hun ikke. Dvs. A har en vindende strategi, hvis hun efter første træk kan efterlade k + 1 sten på bordet, og det kan hun netop for n {k + 2,k + 3,..., 2k + 1}. På denne måde ser man induktivt at A har en vindende strategi, netop når n ikke er et multiplum af k + 1. Inden vi argumenterer helt præcist for påstanden, indfører vi noget teori. Vindermængden Mængden V af alle spilpositioner hvor spiller A har en vindende strategi når A skal trække. Tabermængden Mængden T af alle spilpositioner hvor spiller A ikke har en vindende strategi når A skal trække. Sætning Vi betragter et spil med to spillere A og B som skiftes til at trække, der gælder samme regler for hvordan A og B må trække, og A starter. Spillet stopper når en af de to spillere ikke længere kan foretage et lovligt træk, og det sker efter et endeligt antal træk. Hvis man i spillet har inddelt alle mulige spilpositioner i to mængder V og T da er V vindermængden og T tabermængden hvis der gælder følgende: 1

2 Når man trækker fra en spilposition i V, skal der findes et lovligt træk så man efter trækket opnår en spilposition fra T. Når man trækker fra en spilposition i T skal man efter et vilkårligt lovligt træk opnå en spilposition fra V, eller det skal være umuligt at trække. Bevis Antag at mængderne T og V opfylder ovenstående. Hvis A trækker fra en position i V, kan A altid trække så der opnås en spilsituation fra mængden T. Når modparten B derefter trækker, opnår B lige meget hvilket træk der vælges, en situation fra mængden V, eller også kan B ikke trække og har tabt. Da man altid kan trække fra en spilposition fra V, kan spillet fortsætte på denne måde så A altid har mulighed for at trække. Da spillet ender efter et endeligt antal træk, betyder det at B ender med ikke at kunne trække. Derfor vinder A. Dette viser at A har en vindende strategi for alle spilpositioner fra mængden V. Hvis A trækker fra en spilposition i mængden T, vil der lige meget hvordan A trækker, opstå en situation fra V. I dette tilfælde har vi lige vist at B der nu skal trække, har en vindende strategi. Eksempel fortsat Nu vender vi tilbage til eksemplet fra før. Af analysen fremgår det hvordan man deler startmulighederne op i tabermængden og vindermængden T = {n n = m (k + 1) for m } V = {n n m (k + 1) for m }. Vi kan argumentere for at dette faktisk er tabermængden og vindermængden ved at benytte sætningen: Ved en spilposition fra V, dvs. en situation hvor n ikke er et multiplum af k + 1, kan A efter hvert træk efterlade et bord med et multiplum af k + 1 sten ved at fjerne den rest man får ved at dividere n med k +1 (denne rest er altid blandt 1, 2,...,k ). Ved en spilposition fra T, dvs. hvor n er et multiplum af k + 1 sten, vil A ligegyldigt hvordan hun trækker, opnå en situation hvor der ikke er et multiplum af k + 1 sten da hun skal fjerne mellem 1 og k sten. Prøv at benytte sætningen til at bestemme vinder- og tabermængde i de næste opgaver. Husk at det er en god idé at bygge mængderne op ved at starte med de helt simple tilfælde hvor der kun er få træk til spillet stopper. Opgave 1.1. I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2, 2 2, 2 3, 2 4,... sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem de værdier af n for hvilke spiller A har en vindende strategi. Opgave 1.2. I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne p m sten fra bordet, hvor p er et primtal og m et ikke-negativt helt tal. Primtallet p og tallet m må gerne variere fra træk til træk. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem tabermængden. Opgave 1.3. I en skål er der til at starte med 2012 mønter. Spiller A og B spiller følgende spil. I hvert træk har de følgende to valgmuligheder: a) lægge 1 mønt i skålen; b) fjerne 4 mønter fra skålen (hvis der er mindst 4 mønter i den). Den spiller der tager den sidste mønt fra skålen, vinder alle de 2012 mønter der var til at starte med. Det er spiller A der starter, og det antages at begge spillere har et utømmeligt lager af mønter. Vis at en af de to spillere har en vindende strategi, og bestem hvilken spiller. Opgave 1.4. Fire bunker med henholdsvis 38, 45, 61 og 70 tændstikker ligger på et bord. To spillere skiftes til at udvælge to bunker og fjerne et antal tændstikker fra hver. (De skal altså fjerne mindst en fra hver bunke, men behøver ikke at fjerne lige mange fra hver.) Den spiller som først ikke kan trække, taber. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1996) 2

3 2 Kopier modpartens træk Nu skal vi se på nogle spil som nemt bliver så uoverskuelige at det er umuligt at bestemme taber- og vindermængden. Når man er på jagt efter en vindende strategi, kan man ikke få overblik over alle de situationer der kan opstå i spillet, men man kan ved hjælp af en strategi der bygger på symmetri hvor man så at sige "kopierer"modstanderens træk, sørge for at man kun kommer ud i et overskueligt udvalg af alle disse muligheder. Eksempel På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en springer. Spiller A placerer hvide springere og B sorte. De må kun placere springerne på tomme felter som ikke er truet af en springer af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en springer, har tabt. Vi skal nu undersøge hvem af A og B der har en vindende strategi, når spiller A starter. Det er let at se at det bliver fuldstændigt uoverskueligt at opdele samtlige mulige situationer i en vinder- og tabermængde, men hvis vi blot kan finde en vindende strategi for en af spillerne, er det også godt nok. I dette tilfælde har spiller B en vindende strategi. Hvis hun udnytter den vandrette (eller lodrette) symmetriakse midt gennem brættet der parrer felterne to og to, og hver gang spiller A har placeret en springer, placerer en springer på det felt der er parret med det felt hvor spiller A placerede, vil hun altid have mulighed for at trække. Det følger af at den springer A netop har placeret på et felt, ikke kan true makkerfeltet. Da A kunne sætter sin springer på et felt uden at den blev truet, så kan spiller B derfor tilsvarende sætte sin springer på makkerfeltet uden at den bliver truet, da alle sorte springere er en spejling af alle hvide springere i symmetriaksen. Her udnytter man altså at felterne kan parres to og to så man hele tiden har mulighed for at kopiere modspillerens træk og dermed sikre sig at hun først står i en situation hvor hun ikke kan trække. Opgave 2.1. På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en løber. Spiller A placerer hvide løbere og B sorte. De må kun placere løberne på tomme felter som ikke er truet af en løber af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en løber, har tabt. Afgør hvilken af de to spillere der har en vindende strategi. Opgave 2.2. Georg og hans mor spiller et spil hvor der til at starte med er n bunker med lige mange mønter i hver. De har tur på skift, og i hver tur må de fjerne en eller flere mønter fra samme bunke. Den spiller der tager den sidste mønt, har vundet. Georg starter altid. Bestem de værdier af n for hvilke Georg har en vindende strategi. Opgave 2.3. Astrid og Malte spiller følgende spil på et n 1001 skakbræt, hvor n På skift farver de for et positivt heltal k alle de k 2 felter i et k k kvadrat. Tallet k må gerne variere fra træk til træk, men det er ikke tilladt at kvadratet indeholder felter som allerede er farvede. Den spiller der først ikke kan trække, har tabt. Bestem samtlige værdier af n for hvilke Astrid har en vindende strategi når hun starter. Opgave 2.4. På et uendeligt skakbræt skiftes to spillere til at markere et tomt felt. Den ene spiller markerer med kryds og den anden med bolle. Den der først har udfyldt fire felter som danner et 2 2 kvadrat med sit symbol, har vundet. Har en af de to spillere en vindende strategi? (Baltic Way 1996) (Bemærk at dette spil afviger fra de andre vi har set på, da det kan fortsætte i det uendelige.) Opgave 2.5. Tallet er skrevet på en tavle. Anne og Berit spiller et spil hvor de efter tur foretager en af to operationer (i) erstatter et tal x på tavlen med to hele tal a og b større end 1 så x = ab ; (ii) sletter den ene eller begge af to ens tal på tavlen. Spilleren som ikke er i stand til at foretage sit træk, har tabt spillet. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi hvis Anne starter? (NMC 2007) 3

4 3 Strategityveri I de foregående eksempler og opgaver har vi eksplicit bestemt tabermængden og vindermængden eller fundet en konkret strategi vinderen kunne følge, men det er ikke altid så let. I mange spil kan man alligevel vise at den ene spiller har en vindende strategi, endda uden at man kan vide hvad et eneste træk i denne strategi er! Eksempel I et spil er der en chokoladebar som er inddelt i n m små kvadrater, n,m > 1. Der er to spillere A og B som skiftes til at trække, og I hvert træk skal de vælge et kvadrat som ikke allerede er spist, og spilleren spiser derefter kvadratet samt alle kvadrater til højre for dette kvadrat og alle kvadrater under dette som endnu ikke er spist. Hvis man fx vælger det markerede kvadrat på figuren, så spiser man de fjernede kvadrater. Det øverste venstre kvadrat er forgiftet, og den der spiser dette kvadrat, taber. Spiller A starter. Vi vil nu vise at spiller A har en vindende strategi for alle mulige værdier af n og m. Vi viser det indirekte ved at antage at spiller B har en vindende strategi. I første træk vælger A det nederste højre kvadrat. Da spiller B har en vindende strategi, kan B trække så B vinder uafhængigt af hvordan A spiller. Den situation der opstår efter at B har trukket, kalder vi S. Nu ser vi på et nyt spil hvor A vælger samme kvadrat som B før valgte, og da A på denne måde spiser de samme kvadrater som B plus det nederste højre kvadrat, så opstår situationen S. Men nu kan A vinde da A så at sige kan stjæle den vindende strategi B havde i første scenarie. Dette er i modstrid med at B har en vindende strategi, og derfor er vores antagelse forkert. Da spillet slutter efter et endeligt antal træk og ikke kan ende uafgjort, må A have en vindende strategi. I dette eksempel så vi hvordan man kan vise noget ved at benytte et argument der handler om at man kan stjæle modstanderens strategi. På engelsk kaldes dette strategy stealing Opgave 3.1. En tændstiksæske indeholder 300 tændstikker. To spillere A og B skiftes til at trække, og i hvert træk skal de fjerne et antal tændstikker fra æsken - mindst én og højst halvdelen. Den som først ikke kan trække, har tabt. Spiller A starter. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? Opgave 3.2. På en tavle står tallene 1, 2, 3,...,n. To spillere A og B spiller følgende spil. De skiftes til at trække, og i hvert træk skal de fjerne et tal m samt alle dets divisorer. Den som fjerner det sidste tal, har vundet. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi når A starter? Eksempel I dette eksempel skal vi se på et spil hvor der ligger to bunker med sten på bordet. Hvert træk består i at fjerne et antal sten fra den ene bunke eller fjerne samme antal sten fra begge bunker. Den spiller der fjerner den sidste sten, har vundet. En udgangsposition med a sten i den ene bunke og b i den anden betegner vi med (a,b). Vi ønsker at vise at der findes uendeligt mange udgangspositioner så spiller B har en vindende strategi, men altså ikke bestemme dem. Dette svarer til at vise at tabermængden er uendelig. Man kan godt pusle sig frem til de første elementer i tabermængden og finde en algoritme for hvordan det næste element fremkommer, og derved vise at den er uendelig, men i dette eksempel skal vi se på et andet trick hvor man overhovedet ikke behøver at bestemme et eneste element i tabermængden. Vi viser det i stedet indirekte ved at antage at tabermængden er endelig; lidt ligesom før hvor vi stjal modpartens strategi. Da tabermængden er endelig, findes et største element i tabermængden (n,m ), n m, så ingen andre elementer i tabermængden indeholder en bunke med flere end n sten. Dermed må udgangspositionen (n +1, 2n +2) ligge i vindermængden. Lige meget hvordan man trækker i denne situation, opnår man en situation hvor mindst en af bunkerne indeholder flere end n 4

5 sten. Ifølge antagelsen findes der fra denne position en vindende strategi da denne position ikke ligger i tabermængden, men det er i modstrid med at (n + 1, 2n + 2) ligger i vindermængden. Antagelsen er derfor forkert, og tabermængden må være uendelig. Læg mærke til at vi igen overhovedet ikke har peget på hvilke spilpositioner der ligger i de to mængder. Vi kan faktisk ud fra denne analyse ikke pege på et eneste element i tabermængden selv om vi har vist at den er uendelig. Opgave 3.3. To personer spiller følgende spil. Der ligger til at starte med n sten på bordet, og hver spiller skiftes til at tage m 2 sten fra bordet hvor m er et positivt heltal. Den spiller der tager den sidste sten, har vundet. Vis at der findes uendeligt mange værdier af n for hvilke spiller nummer to har en vindende strategi. (Baltic Way 1995) 5

6 4 Løsningsskitser Opgave 1.1 Påstand: Tabermængden består af alle positive multipla af 3, og vindermængden af alle positive heltal som ikke er et multipla af 3. Argument: Hvis A trækker fra en situation fra V, dvs. antallet af sten er ikke er et multiplum af 3, da kan A ved at fjerne 1 eller 2 sten efterlade et multipla af tre sten til modstanderen. Hvis A derimod trækker fra en situation fra T, dvs. når der ligger et multipla af tre sten på bordet, da vil A aldrig efterlade et multipla af tre sten da 3 2 k, k = 0, 1, 2,.... Spiller A efterlader derfor altid en situation fra vindermængden. Opgave 1.2 Påstand: Tabermængden er samtlige positive multipla af 6. Det indser vi på følgende måde: Det mindste tal i tabermængden må være n = 6 da det er det mindste tal som ikke er en primtalspotens. Ved at overveje tallene 7, 8, 9, 10, 11, 12 får man hurtigt en idé om at tabermængden er alle multipla af 6. Da ingen primtalspotenser er delelige med 6, vil man fra en udgangsposition med et multiplum af 6 sten på bordet altid efter endt træk ende med et antal sten som ikke er et multiplum af 6. Desuden kan man fra enhver udgangsposition der ikke er delelig med 6, efter endt træk ende med et multiplum af 6 sten på bordet da man kan fjerne 1, 2, 3, 4 eller 5 sten. Dermed består tabermængden af samtlige multipla af 6. Opgave 1.3 Spiller A har en vindende strategi. Vi påstår at tabermængden består af følgende spilpositioner {1, 3, 6, 9, 12,...}, og at vindermængden består af de resterende. Hvis man skal trække når der ligger 3k mønter i skålen, så vil man ligegyldigt om man tager 4 mønter eller lægger 1 mønt, efterlade et antal mønter som hverken er et multiplum af 3 eller er 1, dvs. en spilsituation fra vindermængden. Hvis man skal trække når der ligger 1 mønt, efterlader man 2 mønter som er en situation fra vindermængden. Hvis man trækker fra en sitation fra vindermængden, kan man altid efterlade et multiplum af 3 mønter: Hvis antal mønter har rest 1 ved division med tre, fjerner man 4 mønter (det kan altid lade sig gøre da 1 ikke ligger i vindermængden), og hvis antal mønter har rest 2 ved division med 3, da lægger man en mønt i skålen. Da 2012 ligger i vindermængden, har A en vindende strategi. Opgave 1.4 Påstand: Tabermængden består af alle spilpositioner med henholdsvis a,a,a og b, hvor b a, tændstikker i de fire bunker. Vindermængden består af alle de resterende positioner. Argument: Fra et udgangspunkt i V kan man nemlig i et træk komme til en spilposition fra T. Vælg nemlig to bunker som ikke indeholder færrest tændstikker, og fjern tændstikker fra disse så de har samme antal tændstikker som den bunke med færrest. Læg mærke til at der findes to bunker som ikke indeholder samme antal som den med færrest tændstikker, da vi ikke er i en situation fra T. Fra et udgangspunkt i T, dvs. fra en position med a,a,a og b, b a, tændstikker i de fire bunker, kan man efter endt træk aldrig ende i en tilsvarende (overvej), man ender derfor altid med en position fra V. Dermed har den spiller som starter, en vindende strategi. Opgave 2.1 Spiller B har en vindende stretegi på samme måde som i eksemplet med springerne. Opgave 2.2 Georg har en vindende strategi for ulige n. I første træk skal Georg fjerne en hel bunke. Derefter er der et lige antal bunker med lige mange mønter i hver. Hver gang Georgs mor fjerner x mønter fra en bunke med y mønter, skal Georg gøre det samme. På den måde vil der efter Georgs tur altid være et lige antal bunker der kan sættes sammen i par således at to bunker der danner par, indeholder lige mange mønter. Derfor kan Georg altid udføre det beskrevne træk, og Georgs mor kan aldrig vinde. Da der er endeligt mange mønter, vil spillet slutte efter et endeligt antal træk, og derfor vil Georg til sidst vinde. Hvis n er lige, kan Georgs mor vinde ved at følge samme strategi. Opgave 2.3 Astrid har en vindende strategi for samtlige værdier af n. Hvis n er ulige, farvelægger Astrid et kvadrat i midten af brættet i første træk. Nu har hun delt brættet i to symmetriske halvdele, og hun kan nu hver gang kopiere Maltes træk symmetrisk på den modsatte side. Hvis n er lige, starter hun blot med at farvelægge et 6

7 kvadrat i midten med en række af små kvadrater forneden. Brættet er endnu engang delt i to symmetriske halvdele hvor man ikke kan tegne et kvadrat der lapper ind over begge, og hun kan nu igen følge samme strategi som før. Opgave 2.4 Ingen af de to spillere har en vindende strategi. Inddel brættet i vandrette 2 1 brikker således at brikkerne i hver række ligger forskudt i forhold til hinanden. Spiller B kan forhindre spiller A i at vinde ved at hele tiden at markere det andet felt i den brik som spiller A netop har markeret i. Dette skyldes at alle 2 2 kvadrater indeholder en hel brik. På helt tilsvarende måde kan spiller A forhindre spiller B i at vinde: Hvis spiller B sætter kryds i samme brik som A har markeret i, markerer A efterfølgende et vilkårligt felt. Hvis spiller B sætter et kryds i en brik A ikke har markeret i, så sætter A kryds i det andet felt i denne brik. På denne måde sikrer A sig at B aldrig får udfyldt begge felter i en brik. Ingen af de to spillere har derfor en vindende strategi. Dermed kan spillet fortsætte i det uendelige uden at nogen af de to spillere kan vinde. Opgave 2.5 Anne har en vindende strategi. I første træk vælger Anne at erstatte med og På den måde opnår hun to tal med helt de samme egenskaber når vi ser på divisorer, da de begge er på formen p 2007, hvor p er et primtal. Herefter kan hun kopiere Berits træk på følgende måde: Lad p og q være primtallene 2 og 5 i en eller ande rækkefølge. Efter første træk efterlader Anne en situation hvor der står præcis de samme potenser af p og q på tavlen. Hvis Berit vælger et tal p k, må hun erstatte det med primtalspotenserne p m og p k m, for et heltal m som opfylder at 1 m < k. Nu vælger Anne tilsvarende q k og erstatter det med q m og q k m. Hvis Berit vælger at slette et eller begge af to ens tal p n, væger Anne at slette det ene eller begge af tallene q n. På denne måde efterlader hun altid en situation til Berit hvor der står præcis de samme potenser af p og q på tavlen. Hun kan derefter altid kopiere Berits træk som beskrevet. Da spillet stopper efter et endeligt antal træk, må Anne vinde hvis hun følger denne strategi. Opgave 3.1 Vi viser indirekte at spiller A har en vindende strategi. Antag at B har en vindende strategi. Først fjerner A en tændstik og efterlader altså 299 tændstikker til B. Spiller B har pr. antagelse en vindende strategi og fjerner nu x tændstikker som led i strategien. Pga. af reglerne må x {1, 2, 3,..., 149}. Når A skal trække i en situation med 299 x, ved vi at A ikke kan vinde hvis B spiller optimalt. I stedet for at tage én tændstik til at starte med, kan A fjerne x + 1 tændstikker, da x 300. Nu 2 efterlader A en situation med 299 x tændstikker til B, og fra analysen af vores første scenarie ved vi at B ikke kan vinde hvis A spiller optimalt. Men dette er i modstrid med vores oprindelige antagelse. Da spillet slutter efter et endeligt antal træk, og spillet ikke kan ende uafgjort, må A have en vindende strategi. Opgave 3.2 Spiller A har en vindende strategi, og dette viser vi indirekte. Antag at spiller B har en vindende strategi. Først fjerner spiller A tallet 1, og derefter fjerner spiller B tallet m og dets divisorer. Da spiller B følger sin vindende strategi, efterlader hun en tabende situation til A, og denne situation betegnes S. Men hvis spiller A starter med at fjerne m og alle dets divisorer, da efterlader A situationen S til B og har dermed en vindende strategi hvilket er en modstrid. Dermed kan spiller B ikke have en vindende strategi, og da spillet ender med en vinder efter et endeligt antal træk, må A have en vindende strategi. Opgave 3.3 Vi skal med andre ord vise at tabermængden er uendelig, og dette viser vi indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Lad a være det største tal i tabermængden. Betragt nu udgangspositionen med a 2 +a +1 sten. Da (a +1) 2 > a 2 +a +1, kan første spiller efter et træk ikke ende i tabermængden da der er flere end a sten tilbage ligegyldigt hvordan hun trækker. Dette er en modstrid, og tabermængden er altså uendelig. 7

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Mattip om. Division 1. Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Dividend og divisor.

Mattip om. Division 1. Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Dividend og divisor. Mattip om Division 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan Dividend og divisor Divisionsmanden Division med rest Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3 2016 mattip.dk 1 Division

Læs mere

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang

Læs mere

Før-skoleskak Undervisningsbog

Før-skoleskak Undervisningsbog Før-skoleskak Undervisningsbog Dansk Skoleskak - leg og læring Før-skoleskak - undervisningsbog Dansk Skoleskak 1. udgave, 1. oplag 2013 ISBN: 978-87-87800-88-4 Udgiver Dansk Skoleskak - Skoleskak.dk Før-skoleskak

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Tråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt)

Tråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt) Der findes nogle få, fundamentale regler, som jeg vil prøve at redegøre for. Som regel består den af en plade (af meget varierende størrelse, men den for mig bedste størrelse er ca. 5 x 5 cm). Den kan

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta.

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta. Alhambra Et spil af Dirk Henn for 2-6 spillere. De bedste bygmestre fra Europa og den arabiske verden vil bevise deres kunstfærdige arkitektur. Du har fået stillet deres bygningsarbejdere til rådighed

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Filtmåtter med de 120 hyppige ord

Filtmåtter med de 120 hyppige ord VEJLEDNING TIL Fodspor Filtmåtter med de 120 hyppige ord Med bogen På sporet af ordet fang tyven, opgaveæsken og app en På sporet af ordet, Turbo-ord, sækkekort, Læs Lydret bøgerne, gulvtæppet og filtmåtterne

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright Skak Regler og strategi Version 1.0 1. september 2015 Copyright Forord At lære at spille skak er ikke svært. Det tager få minutter. At blive dygtig tager som regel årevis. Om man er dygtig eller ej, er

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. 2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Læs selv om KORTTRICKS. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om KORTTRICKS. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Korttricks 3 Magi eller matematik? Findes magi? Kan en tryllekunstner

Læs mere

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html 1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

3.2. Grundlæggende Spilleregler

3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2.1. 1 Skakspillets natur og mål 1.1 Et parti skak er et spil mellem to modstandere som skiftevis flytter deres brikker på et kvadratisk bræt, kaldet et "skakbræt". Spilleren

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Usædvanlige opgaver Lærervejledning

Usædvanlige opgaver Lærervejledning Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Mattip om Brøker Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Kan ikke Kan næsten Kan Det samme tal kan skrives både som brøk og decimaltal I en uægte brøk er tælleren større end nævneren

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Oversættelse af LibreOffice Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Wiki Vi har en wikiside, hvor du kan finde flere oplysninger om Pootle: http://wiki.documentfoundation.org/da/pootle

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

QIANBALL DOUBLE REGLER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE. KFUMs Idrætsforbund.

QIANBALL DOUBLE REGLER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE. KFUMs Idrætsforbund. KFUMs IDRÆTSFORBUND PRÆSENTERER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE Sidste års medalje vindere. Udarbejdet af KFUMs Idrætsforbund. KFUMs IDRÆTSFORBUND Revideret januar 2008. Danske double spilleregler for

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af

Læs mere

Side 1 af 8. Vejledning

Side 1 af 8. Vejledning Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:

Læs mere

Bumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+

Bumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Bumser og Drager Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Spillet indeholder: 1 Spilplade (T-shirt) 1 Figur 8 Røde terninger 60 Dårlig Ide kort 6 Karakterplader 6 Vinder emblemer 12 Eventyrkort

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

KOPIARK. Format 2.klasse Kopiside

KOPIARK.  Format 2.klasse Kopiside KOPIARK Format 2.klasse Kopiside nr. 1 Stranden Strimler til at skrive navne i. A4 A3 Format 3. klasse Kopiark Elevbog side 5 Format bh. kl. Alinea Kopiark Elevbog side 7 Stranden nr. 2 Søjler til registrering

Læs mere

Primtal Rekursion Kernebegreber, anvendelser og fundamenter i datalogi Torsdag den 17. marts 2005 Nils Andersen A.K. Dewdney kap.

Primtal Rekursion Kernebegreber, anvendelser og fundamenter i datalogi Torsdag den 17. marts 2005 Nils Andersen A.K. Dewdney kap. Primtal Rekursion Kernebegreber, anvendelser og fundamenter i datalogi Torsdag den 17. marts 2005 Nils Andersen A.K. Dewdney kap. 50+24 Primtalsformler Stokastisk primtalstest Deterministisk primtalstest

Læs mere

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et

Læs mere